7-2平稳过程-相关函数的谱分解bak

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平稳过程的功率谱密度

2T

RX ( )e i d lim 2T
S X ( ) lim Q 1 2T
T
1 E 2T
1 2 E T X (t )dt 4 T

2 FX ( , T ) d
1 2T

T
lim
1 2 E[ FX ( , T ) ]d 2T
令 T ，再取极限，交换求数学期望和积分的次序
1 Fx ( )eit d dt 2

Fx ( ) x(t )eit dtd

F [ f (t t0 )] e jt0 F [ f (t )]
1 2

Fx ( )Fx* ( ) d

(n) n ● 微分性质 F [ f (t )] ( j ) F [ f (t )]
取集合平均
FX ( , T ) X (t )e
T
T
it
dt
2
1 2T
T

T
T
X 2 (t )dt
1 4 T

FX ( , T ) dt
性质一：平稳过程的平均功率等于该过程的均方值。 1 T 1 T lim E{ X 2 (t )dt} lim E[ X 2 (t )]dt 2 X T T T 2T 2T T 常数 RX (0) 性质二： 2 X

随机过程-平稳过程

(i j时，独立增量； i j时，正交增量）
(3) 1 2 , E[ Z1 (2 ) Z1 (1 )]2 E[ Z 2 (2 ) Z 2 (1 )]2

1

( FX (2 ) FX (1 )]
随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
Zt Xe jtY , t ,
试求Z={Zt, -∞<t<+ ∞}的谱函数.
解易知Z是平稳过程.
RZ (t , t ) e j dF ( )

1 2

e j d (2 F ( ))
FZ ( ) 2 F ( )
随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
T
称之为X的随机谱函数. 且具有性质:
(1) E[Z ( )] 0
(2) 1 2 3 4 , E[( Z (2 ) Z (1 ))( Z (4 ) Z (3 ))] 0
1 (3) 1 2 , E[ Z (2 ) Z (1 ) ] ( FX (2 ) FX (1 )] 2
随机过程——西安电子科技大学数学系冯海林
定理5.5.5 设X={Xn, n=0, ±1, ±2,…}是零均值的实平稳时间序列,其谱函数为FX(ω ),则X可以表示为
X n cos ndZ1 () sin ndZ2 (), n 0, 1, 2,

概率论与随机过程考点总结

第一章随机过程的基本概念与基本类型一．随机变量及其分布

1．随机变量X , 分布函数)()(x X P x F ≤=

离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰∞-=x

dt t f x F )()( 2．n 维随机变量),,,(21n X X X X =

其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型联合分布列连续型联合概率密度３．随机变量的数字特征

数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X

⎰∞

∞-=dx x xf EX )(

方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度协方差两个随机变量Y X ,：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数两个随机变量Y X ,：DY

DX B XY XY ⋅=ρ 若0=ρ,则称Y X ,不相

关;

独立⇒不相关⇔0=ρ

４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k

)( 连续 ⎰∞

∞-=dx x f e t g itx )()(

重要性质：1)0(=g ,1)(≤t g ,)()(t g t g =-,k k k EX i g =)0( 母函数：

∑∞

===0)()(k k

k k

第四章随机过程中的平稳过程

所以， {X n , n 1, 2, }是一个平稳随机序列。
注在科学和工程中，例中的过程称为“白噪声”，它是实际中最常用的噪声模型。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
例3
设随机序列{ X (t ) sin 2t ， t T }，
其中T={1，2，…} ，η是在[0，1]上服从均匀分布的随机变量，试讨论随机序列 X (t ) 的平稳性。
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
第四章平稳过程
4.1 平稳过程的基本概念 4.2 平稳过程相关函数的性质 4.3 平稳过程的各态历经性 4.4 平稳过程的谱密度 4.5 平稳过程的谱分解 4.6 线性系统中的平稳过程
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
F (t1, t2 ,, tn；x1, x2 ,, xn )
F (t1 , t2 ,, tn ；x1, x2 ,, xn )
则称{X(t),t∈T} 为严(强、狭义）平稳过程，或称 {X(t),t∈T} 具有严平稳性。
2008年12月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
维分布都只由它的一、二阶矩来确定，广义平稳的正态随机过程必定是严格平稳的。因此，在实际中，我们通常只考虑广义平稳性，今后除特别声明外，平稳性指的是广义平稳。

电磁场理论

一、考试要求

要求考生能够系统地掌握电磁场理论的专门知识，概念要清楚并能灵活运用，熟练掌握解决电磁理论问题的基本技巧和数理知识，能够熟练运用数理知识和特殊函数理论解决电磁问题。

二、考试内容

1、基本电磁理论

1)场方程

2)位场、矢量位，包括赫兹矢量位

3)偶极子和多偶极子

4)正交和非正交坐标系

5)各向同性和各向异性媒质中的波

2、电磁边值问题

1)静电场和静磁场

2)电磁辐射

3)波导与导行波，包括多线、同轴、圆和球等

4)反射与折射

5)绕射

3、波问题

1)平面波

2)柱面波

3)球面波

4)传播和辐射

三、试卷结构

1、考试时间3小时，满分100分；

2、题目类型：概念与简述题，选择题（视当年情况可能取消），计算与

解答题（主要部分）。

通信网理论基础

一、考试要求

本课程的内容主要涉及通信网络性能分析的方法，要求学生掌握电信网络性能分析的基本概念和方法，特别是电路交换网络的平均呼损和分组交换网络的平均时延计算。深入了解Erlang拒绝系统M/M/s(s)和Erlang等待系统M/M/s 的分析方法，掌握通信网络拓扑结构的一些基本分析方法和算法，掌握通信网络可靠性分析的一些基本方法。

二、考试内容

1、电信网络概述

1)现代通信网络的概述和分类

2)电路交换网络和分组交换网络

3)网络性能分析论

2、通信网的拓扑结构

1)图论基础

2)最小支撑树问题和最短路径问题

3)最大流和最小费用流问题

3、通信网的业务分析

1)排队论基础、Poisson过程、生灭过程

2)通信网业务模型与分析

3)电路交换网络的性能分析

4)分组交换网络的性能分析

第四章平稳随机过程的谱分析

s2 (t)dt
即信号总能量有限，s(t)也称为有限能量信号
2020/5/20
10
4.1、平稳随机过程的功率谱密度
❖Parseval定理
信号在时域的总能量等于其在频域的总能量
即
[x(t)]2 dt 1
2
X
X
()
2d
证明： [x(t)]2 dt
1
x(t)
2
X
X
()e
，RX ( ) 0 。因此，通常情
34
况下，第二项为0)
4.2、功率谱密度与自相关函数的关系
Theorem 4.1 (Wiener-Khintchine Theorem)
若随机过程X t是平稳的，自相关函数绝对可积，则自相关函数
与功率谱密度构成一对傅氏变换，即：
SX ()
RX
(
)e
j
d
RX ( )
E[ X
X
(T ,)X
*
X
(T ,)]
lim 1 T 2T
E[
T T
X (t1)e jt1 dt1
T T
X (t2 )e jt2 dt2 ]
lim 1 T 2T
T T
T T
E[ X
(t1)
X
(t2
)]e
j(t2 t1)dt1dt2

第七讲功率谱密度分解

四
1
平稳随机过程的功率谱密度
平均功率与功率谱密度的定义
X ( t )dt 为平稳过程的平均功率 2T T
T 2
定义8 1 lim E 称T
T 1 2 2 由此易得：lim E X ( t ) dt R ( 0 ) X X T 2T T 从而有平稳过程的平均功率等于过程的均方值，
S X 2 0 RX cos d 1 RX 0 S X cos d
{ X t } 的相关函维纳-辛钦公式又称为平稳过程数的谱表示式或谱分解式.它表达了从时间角度（即用相关函数 RX ( ) )和从频率角度（即用谱密度 S X ）分别描述平稳过程的统计规律性之间的联系。有很大的理论和实用价值。在具体应用上我们可以根据实际情况选择时间域或等价的频率域方法去解决问题。性质2 S X 是的实的、非负偶函数。
2n 2 n 2
以必须满足 m n，且分母应该无实根。
若干相关函数及其对应的谱密度见书P255 表11.1(尤其是第一、五、七组）
例1 已知平稳过程的相关函数为： a2 2 a RX cos 0 b e 2 (a 0, b 0) 求功率谱密度 S X
S X 和自相关函数 RX 是
一傅氏变换对。即
i S X d RX e 称为维纳-辛钦公式。 1 i d RX S X e 2

时间序列分析方法第章谱分析完整版

时间序列分析方法第章

谱分析

HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】

第六章谱分析 Spectral Analysis

到目前为止，t 时刻变量t Y 的数值一般都表示成为一系列随机扰动的函数形式，一般的模型形式为：

我们研究的重点在于，这个结构对不同时点t 和τ上的变量t Y 和τ

Y 的协方差具有什么样的启示。这种方法被称为在时间域(time domain)上分析时间序列+∞∞-}{t Y 的性质。

在本章中，我们讨论如何利用型如)cos(t ω和)sin(t ω的周期函数的加权组合来描述时间序列t Y 数值的方法，这里ω表示特定的频率，表示形式为：

上述分析的目的在于判断不同频率的周期在解释时间序列+∞∞

-}{t Y 性质时所发挥的重要程度如何。如此方法被称为频域分析(frequency domain analysis)或者谱分析(spectral analysis)。我们将要看到，时域分析和频域分析之间不是相互排斥的，任何协方差平稳过程既有时域表示，也有频域表示，由一种表示可以描述的任何数据性质，都可以利用另一种表示来加以体现。对某些性质来说，时域表示可能简单一些；而对另外一些性质，可能频域表示更为简单。

§ 母体谱

我们首先介绍母体谱，然后讨论它的性质。 6.1.1 母体谱及性质假设+∞∞-}{t Y 是一个具有均值μ的协方差平稳过程，第j 个自协方差为：

假设这些自协方差函数是绝对可加的，则自协方差生成函数为：

这里z 表示复变量。将上述函数除以π2，并将复数z 表示成为指数虚数形式)ex p(ωi z -=，1-=i ，则得到的结果(表达式)称为变量Y 的母体谱：

随机信号分析_第三章_平稳随机过程的谱分析

取：
1 S X ( ) lim E[| FX (T , ) |2 ] T 2T 1 T A lim T dt表示时间平均 T 2T
可以得到两个结论：
1. 随机过程的平均功率可以通过对过程的均方值求时间平均得到。即：
Q A E[ x (t )]
SX(ω)
A2π/2
A2π/2
－ω0
0
ω0
ω
3.4 离散时间随机过程的功率谱密度
对于随机过程X(t)，如果时间上是离散的，即t=nT，（T为固定时间间隔）。则X(nT)就是时间离散随机过程，常常用X(n)来表示。
3.4.1 功率谱密度
设X(n)是广义平稳时间离散的随机过程（随机序列），具有0均值，其自相关函数为： RX(m)=E[X(n)X(n+m)] 当RX(m)满足绝对可积，也就是
A RX (t , t ) e j d

说明如果A<RX(t,t+τ)>绝对可积，那自相关函数的时间平均与功率谱密度是傅里叶变换对。
对于平稳随机过程，由于： A<RX(t,t+τ)>＝ A<RX(τ)>＝ RX(τ) 所以: j S X ( ) RX ( )e d
T 2

| FX (T , ) |2 d

第二章平稳随机过程的谱分析平稳随机过程

第二章平稳随机过程的谱分析平稳随机过

程

第二章平稳随机过程的谱分析

本章要解决的问题：

●

随机信号是否也可以应用频域分析方法?

●

傅里叶变换能否应用于随机信号？● 相关函数与功率谱的关系

● 功率谱的应用● 采样定理

● 白噪声的定义

2.1 随机过程的谱分析

2.1.1 预备知识

1、付氏变换:

对于一个确定性时间脉冲x(t)，设x(t)是时间t 的非周期实函数，且x(t) 满足狄利赫利条件（有限个极值，有限个断点，断点为有限值）且绝对可积，能量有限，则x(t)傅里叶变换存在。即：

满足上述三个条件的x(t)的傅里叶变换为：

其反变换为：

2、帕赛瓦等式

由上面式子可以重新得到：

——称为非周期性三十天拉热函数的帕塞瓦(Parseval)等式。

物理意义：若x(t)表示的是电压(或电流) ，则上式左边代表x(t)在时间(-∞, ∞) 区间的总能量（单位阻抗）。因此，等式右边的被

积函数

X X (ω)

表示了信号x(t)能量按频率分布的情况，故称

X X (ω)

为

能量谱密度。

2.1.2、随机过程的功率谱密度

变换一个信号的惟教变换是否存在，可能需要满足三个条件，那

么随机信号是否满足这三个条件从而存在付氏呢？

随机信号持续时间无限长，因此，对于非0的样本函数，它的能

量

一般也是无限的，因此，其付氏变换不牵涉到。

但是注意到它的平均功率是有限的，在特定的条件下，仍然洪可

以利用博里叶变换这一工具。

为了将傅里叶变换方法常量应用于随机过程，必须对过程的待测

函数做某些限制，最简单的一种方法是应用截取函数。

截取函数

x T (t):

图2.1 x (t)及其截取函数

有关功率谱分析的相关总结

谱是个很不严格的东西，常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的(能量有限信号可用能量谱分析，能量有限的信号通常为能量信号，他们的傅里叶变换是收敛的)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息，所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。有两个重要区别：1。功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数；而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。（随机过程有频谱吗？）（随机的频域序列）2。功率概念和幅度概念的差别。此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶矩是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛；而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。

频谱和功率谱的区别在于：

（1）信号通常分为两类：能量信号和功率信号；

（2）一般来讲，能量信号其傅氏变换收敛（即存在），而功率信号傅氏变换通常不收敛，当然，若信号存在周期性，可引入特殊数学函数（Delta）表征傅氏变换的这种非收敛性；（3）信号是信息的搭载工具，而信息与随机性紧密相关，所以实际信号多为随机信号，这类信号的特点是状态随机性随时间无限延伸，能量无限。换句话说，随机信号大多属于功率信号而非能量信号，它并不存在傅氏变换，亦即不存在频谱；

（4）若撇开搭载信息的有用与否，随机信号又称随机过程，很多噪声属于特殊的随机过程，它们的某些统计特性具有平稳性，其均值和自相关函数具有平稳性。对于这样的随机过程，自相关函数蜕化为一维确定函数，前人证明该确定相关函数存在傅氏变换；

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第二部分：深度阅读（ReadinginDepth，客观题），主要测试考生理解具体信息握相关阅读策略和技巧的程度。（1）能理解字面意义和隐含意义；（2）能根据所读材料进行判断和推理；（3）能分析所读材料的思想观点、语篇结构、语言特点和修辞手法；（4）能在理解全文的基础上，弄清文章的宏观结构并细化到对每个单词的微观理运用能力。
4．随机变量的特征函数
(一维和多维)随机变量的特征函数及其性质，n维正态(高斯)随机变量的性质5.收敛定理，随机变量的收敛性，分布函数的弱收敛和特征函数的收敛性，大数定理和中心极限定理
5．随机过程的一般概念
随机过程的概念和有限维分布函数族，随机过程的数字特征，几类重要的随机过程：正态过程、独立增量过程、泊松过程、维纳过程和正交增量过程
概念及转移函数及Q矩阵，柯尔莫哥洛夫向前方程和向后方程，连续时间的马尔科夫链的状态分类和平稳分布
10．泊松过程
齐次泊松过程及基本性质，非齐次泊松过程及其性质
三、试卷结构
1．考试时间：3小时，满分100分
2．题目类型：填空题、选择题、计算题、证明题
2207数理统计
一、考试目的
本科目的考试是相关方向的博士研究生入学的选拔性考试，偏重于对相关方向所需的数理统计学的理论基础的考查。考试的目的主要表现在：（1）对数理统计的基本知识的考查，包括数理统计学中的基本概念，基本方法和基本原理。（2）对能力的考查，包括统计思想的理解和把握，分析数据和处理数据的能力及统计建模的能力，以及综合应用数理统计学的知识和方法解决实际问题的能力。(3)攻读博士学位所需的数理基础，包括统计推理、归纳推理与逻辑推理的能力,运用数学语言表达思想，描述问题的能力。

时间序列

j≤
2
j
把 ( 4.2.3 )中的谱分布函数和 ( 4.2.1)中的随机系数联
系起来。该例的重要特点是对每一零均值平稳过程都形如 ( 4.2.1)的推广表示式，即 Xt =∫
( π ,π ]
e itv d Z ( v ) .
( 4.2.5 )
上式中的积分是关于正交增量过程的随机积分，积分的精确定义将在 4.7 给出。相应的，自协方差 γ X
( 4 . 3 . 2 )中以 N k 代替 N , 令 γ (h ) = ∫ e ih v d F ( v ) , ( π ,π ]
即所要证明 γ
( )的
谱表示。
imv
∑ ( N m )e
γ (m) ,
由 γ
( )的非负定性，对任何 v ∈ [ π , π ] , 有 f N (v ) ≥ 0 , 令 F N ( ) 是相应于密度函数 f N ( ) I ( π , π ] ( )的分 F N (λ ) = 0 , λ ≤ π , F N ( λ ) = F N (π ) , λ ≥ π ,
( 4.1.1) ( 4.1.2 )
γ ( h ) = E ( X t + h X ) EX t + h X t
复自方函的质值协差数性 1.5给了值稳程协差数性，似，值稳出实平过自方函的质类的复平过程协差数有下质自方函具以性：

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经验分享

下面是启道考博辅导班整理的关于北京邮电大学网络空间安全考博相关内容。

一、专业介绍

网络空间既是人的生存环境，也是信息的生存环境，因此网络空间安全是人和信息对网络空间的基本要求。另一方面，网络空间是所有信息系统的集合，而且是复杂的巨系统。人在其中与信息相互作用、相互影响。因此，网络空间安全问题更加综合、更加复杂。

与该专业相近的信息安全专业的培养内容强调信息本身及其环境的安全，因此，教学内容多偏重于安全技术，培养的人才大多从事信息安全的科学研究、技术开发、安全规划、运行维护、安全防御等和技术比较相关的工作；保密管理专业是教育部特殊专业、国家控制布点专业，开设院校很少，培养的人才大多数从事保密理论研究、保密技术开发、保密组织管理、保密法规制定等工作。

北京邮电大学网络空间安全学院的网络空间安全专业在博士招生方面，划分为26个研究方向

083900网络空间安全

研究方向：01 计算机网络、信息安全、大数据分析02 网络与信息安全、大数据与云安全、灾备技术03 分布式计算与可信服务、网络安全04 网络与信息安全、网络与云服务05 网络与信息安全、移动互联网安全、灾备技术06 网络与信息安全、大数据与云安全07 网络与信息安全、密码理论与技术08 现代密码理论及应用、量子密码、网络安全09 网络与信息安全、人工智能与安全10 复杂网络、群体智能、信息安全11 密码理论与技术、网络与信息安全12 软件安全、网络安全对抗、物联网安全13 智能漏洞挖掘、安全大数据智能分析14 无线安全通信理论与技术15 电磁空间信息安全、认知网络与数据融合16 网络攻防、人工智能安全、社会工程学17 人工智能与网络安全、物联网安全、大数据18 态势感知、侧信道攻击、轻量密码、区块链19 智能安全、安全大数据智能分析、复杂网络20 网络安全与人工智能融合、灾备技术21 信息隐藏、大数据与AI安全、工程系统安全22 网络与信息安全、智能信息处理23 密码研究与测评、密码工程、量子密码24 分组密码设计与分析、密码技术应用25 新形态密码理论与应用、密码通信技术26可信安全技术考试科目：①1101英语②2201概率论与随机过程③2206离散数学

第七章平稳过程的谱分析

我们知道，一个由不同角频率随机振幅互不相关的随机简谐运动的叠加构成的随机序列是平稳过程，那么，一个平稳过程是否都能分解为由角频率互不相同，相应的随机振幅互不相关的随机简谐运动的线性叠加呢？回答是肯定的. F ourier 分析的理论表明：任一时间函数()x t （周期或非周期的）可以看成有限个或无限个简谐振动的叠加.平稳过程的相关函数可以看成一时间函数，在时域上描述了随机过程的统计特征，因此，对于平稳过程的相关函数，利用F ourier 分析的方法进行研究，便可在频域上描述平稳过程的统计特征，进而得到平稳过程谱密度这一重要概念.谱密度在平稳过程的理论和应用中扮演着十分重要的角色，它与相关函数存在一一对应关系，从数学上看，谱密度是相关函数的F ourier 变换，在物理上可以看它为功率谱密度.

7.1 平稳过程的谱密度

首先我们简要介绍一下普通时间函数()x t 的频谱、能谱密度的概念.

为了对一确定信号()x t 作频谱分析，先假定()x t 表示在时刻t 加于1欧姆电阻上的电压，则2()x t 表示时刻t 的功率.当()x t 满足D irichlet 条件（即()x t 连续或有有限个第一间断点，且绝对可积）时，则()x t 的F ourier 变换存在，或者说()x t 具有频谱

()()

.i t

x F x t e dt ωω∞--∞

⎰

(7.1)

一般地，()x F ω是复值函数，有()()()i t

x x F x t e

dt F ωωω∞-∞

=⎰

()x F ω的F ourier 反变换为

随机信号处理(计算)总结

例1.2两台车床加工同一种零件，从这100个零件中任取一个.设取得合格品为事件A，取得的是第1台加工的为B1，取得的是由第2台加工的为B2。求由各台车床加工时，出合格品的概率？

解：由第一台加工出合格品的概率为

，由第一台加工出合格品的概率为，

由概率的古典定义：

由条件概率公式求，

()()

0.350.5

()0.875,()0.833

()0.4()0.6

P AB P AB

P A B P A B

P B P B

===≈

＝＝

例1.5（例1.2续）求：取出的合格品是由第一台车床加工的概率？

解：取出的合格品是由第一台车床加工的概率

由贝叶斯公式，得：

例 1.10已知：求：①

○2

解：①

解②：由分布函数的图可得

例1.15设二维随机变量( X,Y)的概率密度

(),0,0

(,)

x y

e x y

f x y

⎧<<∞<<∞

=⎨

⎩其它求：①分布函数？②落在如图所示的三

角形域G内的概率？③求边缘分布函数(|)

f x y和()

F y。④求边缘概率密度()

f x和

()

f y。⑤求条件分布函数(|)

F x y和(|)

F y x。⑥求条件概率密度(|)

f x y和(|)

f y x。

⑦X和Y是否统计独立？

解：①分布函数

②落在三角形域G内的概率

()

P A B

()

P A B

()851000.85()401000.4,()601000.6

()351000.35()501000.5

P A P B P B