〈常微分方程》应用题及答案

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常微分方程

一、填空题

1．0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的定义是。如果N M ,在某个单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，则它是恰当方程的充分必要条件是，此时其通解可用曲线积分表示为 .

2．设有定义在矩形域66,111:≤≤-≤-≤-y x R 上的初值问题

⎩⎨

⎧=+=0)1(sin '2y y x y ，由存在唯一性定理，其解的存在区间是 .

3．若)(,),(),(21x y x y x y n 为 n 阶线性微分方程

0)()()1(1)(=+++-y x p y x p y n n n

的解，其中)(,),(),(21x p x p x p n 在区间[]b a ,上连续，则)(,),(),(21x y x y x y n 在[]b a ,上线性无关的充分必要条件是

4．若)(),(t t ψΦ是同一n 阶齐线性微分方程组x t A x )('=在区间[]b a ,上的两

个基解矩阵，则它们之间有关系

5．方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=5

21972y x dt dy y x dt dx

的奇点是，其类型和稳定性为

6、方程),(y y x y '+'=φ)(可微φ 叫（）方程，其通解是（

），其奇解是（）

二、求下列微分方程的解（每题10分，共40分）

1．)0(2<=+x y xy dx dy x .

2．011cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+dy y x y dx y x .

3．()0'3'33

=-+xy y x (这里

dx dy y ='). 4．.0)'("2

常微分方程试题优选全文

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一单项选择题(每题2分, 共40分)

1. 以下四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个.

(1) (2)

(3) (4)

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

2. 为确信一个一样的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出

的初始条件是( ).

A. 当时,

B. 当时,

C. 当时,

D. 当时,

3. 微分方程的一个解是( ).

A. B. C. D.

4. 以下方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ).

A. B. C. D.

5. 假设方程是适当方程, 那么（）.

A. B. C. D.

6. 假设方程有只与y有关的积分因子, 那么可取为( ).

A. B.

C. D.

7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程.

A. B. C. D.

8. 是知足方程和初始条件( )的唯一解.

A. B.

C. D.

9. 设是n阶齐线性方程的解,

其中是某区间中的持续函数. 如下表达中, 正确的选项是( ).

A.若的伏朗斯基行列式为零, 那么线性无关

B.若的伏朗斯基行列式不为零, 那么线性相关

C.若的伏朗斯基行列式不为零, 那么线性无关

D.由的伏朗斯基行列式是不是为零, 不能确信的线性相关性

10. 设线性无关的函数和是方程的解,那么方程

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务3试题及答案

形考任务3

常微分方程学习活动3

第一章初等积分法的综合练习

本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、

第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．

要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。

一、填空题

1．微分方程0)(4

3='-'+''y y y x y xy 是二阶微分方程． 2．初值问题00

d (,)d ()y f x y x y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩的解所满足的积分方程是00(,)d x x y y f s y s =+⎰． 3．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是一阶线性非齐次微分方程．（就方程可积类型而言）

4．微分方程0d )2e (d e =++y y x x y

y 是全微分方程．（就方程可积类型而言）

5．微分方程03)(22=+'+''x y y y 是恰当倒数方程．（就方程可积类型而言） 6．微分方程

y x x

y sin d d 2=的所有常数解是Λ,2,1,0,±±==k k y π． 7．微分方程21d d y x y -=的常数解是 1±=y ． 8．微分方程x x y y x 122e

国家开放大学电大本科《常微分方程》网络课形考任务6试题及答案

形考任务6

常微分方程学习活动6

第三章一阶线性方程组、第四章n 阶线性方程的综合练习

本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、

第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．

一、填空题

1．若A (x )在(-∞,+∞)上连续，那么线性齐次方程组

Y A Y )(d d x x =，n R Y ∈的任一非零解在1+n R 空间不能与x 轴相交．

2．方程组n x x x

R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是n + 1维空间中的一条积分曲线． 3．向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的必要条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0． 4．线性齐次微分方程组

n x x x R Y R Y A Y ∈∈=,,)(d d ，的一个基本解组的个数不能多于n + 1 个． 5．若函数组)()(21x x ϕϕ，在区间),(b a 上线性相关，则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上恒等于零．

6．函数组⎩⎨⎧==x y x y cos sin 2

常微分方程课后习题答案

在学习常微分方程的过程中，课后习题是巩固知识和提高能力的重要环节。通过解答习题，我们可以更好地理解和应用所学的概念和方法。下面是一些常见的常微分方程习题及其答案，供大家参考。

一、一阶常微分方程

1. 求解方程：dy/dx = 2x。

解：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。

2. 求解方程：dy/dx = x^2 - 1。

解：对方程两边同时积分，得到y = (1/3)x^3 - x + C，其中C为常数。

3. 求解方程：dy/dx = 3x^2 + 2。

解：对方程两边同时积分，得到y = x^3 + 2x + C，其中C为常数。

二、二阶常微分方程

1. 求解方程：d^2y/dx^2 + 4dy/dx + 4y = 0。

解：首先求解特征方程：r^2 + 4r + 4 = 0，解得r = -2。因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-2x)，其中C1和C2为常数。

2. 求解方程：d^2y/dx^2 + 2dy/dx + y = x^2。

解：首先求解特征方程：r^2 + 2r + 1 = 0，解得r = -1。因此，方程的通解为y = (C1 + C2x)e^(-x) + (1/6)x^2 - (1/2)x + (1/2)，其中C1和C2为常数。

3. 求解方程：d^2y/dx^2 + 3dy/dx + 2y = e^(-x)。

解：首先求解特征方程：r^2 + 3r + 2 = 0，解得r = -1和r = -2。因此，方程的通解为y = (C1e^(-x) + C2e^(-2x)) + (1/3)e^(-x)，其中C1和C2为常数。

常微分方程答案

《常微分方程》测试题 1 答案

一、填空题（每空5分）

12、 z=

4、

5、

二、计算题（每题10分）

1、这是n=2时的伯努利不等式，令z=,算得

代入原方程得到，这是线性方程，求得它的通解为z=

带回原来的变量y，得到=或者，这就是原方程的解。

此外方程还有解y=0.

2、解：

积分：

故通解为：

3、解：齐线性方程的特征方程为，

，故通解为

不是特征根，所以方程有形如

把代回原方程

于是原方程通解为

4、解

三、证明题（每题15分）

1、证明：令的第一列为(t)= ,这时(t)==(t)故(t)是一

个解。同样如果以(t)表示第二列，我们有(t)== (t)这样(t)也是一个解。因此是解矩阵。又因为det=-t故是基解矩阵。

2、证明：（1）,(t- t)是基解矩阵。

（2）由于为方程x=Ax的解矩阵，所以(t)也是x=Ax的解矩阵，而当t= t时，(t)(t)=E, (t- t)=（0）=E. 故由解的存在唯一性定理，得(t)=(t- t)

《常微分方程》测试题2 答案

一、填空题：（每小题3分，10×3=30分）

1. 2. 3 3.

4. 充分条件

5. 平面

6. 无

7. 1 8. 9.

10. 解组线性无关

二. 求下列微分方程的通解：（每小题8分，8×5=40分）

1、解：将方程变形为

………（2分）

令，于是得……（2分）

时，，积分得

从而…（2分）

另外，即也是原方程的解………（2分）

2、解：由于

……………………（3分）方程为恰当方程，分项组合可得

…………（2分）

故原方程的通解为……（3分）

3、解：齐线性方程的特征方程为

特征根…（2分）

微分方程试题及部分应用题答案整理版

第十章微分方程习题

一.填空题：（33）

1-1-40、微分方程4233''4''')'(x y x y y =++的阶数是 . 1-2-41、微分方程

0'2'2=+-xy yy xy 的阶数是 . 1-3-42、微分方程0d d d d 2

2=++s x s

x s 的阶数是 .

1-4-43、

x y y y y sin 5''10'''4)()

4(=-+-的阶数是 . 1-5-44、微分方程xy x y

2d d =满足条件1|'0==x y 的特解是 . 1-6-45、微分方程0

d d =+y x y

的通解是 .

1-7-46、方程

y e y x

='的通解是 . 1-8-47、方程y y y ln '=的通解是 . 1-9-48、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-10-49、方程04'4''=+-y y y 的通解是 . 1-11-50、方程013'4''=+-y y y 的通解是 .

1-12-51、已知特征方程的两个特征根,3,221-==r r 则二阶常系数齐次微分方程

为

1-13-52、微分方程x

e y =''的通解为 . 1-14-53、微分方程

x e y x sin ''2-=的通解为 . 1-15-54、若0d ),(dx ),(=+y y x Q y x P 是全微分方程, 则Q P ,应满足 . 1-16-55、与积分方程

y x f y x x d ),(0⎰=等价的微分方程初值问题

是 .

1-17-56、方程

0d )2(d )(2

2=-++y xy x x y xy 化为齐次方程是 . 1-18-57、通解为

常微分方程期末考试试卷(A卷)

院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：

------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------

GMm

F r r =-

,试导出行星在太阳系的运动的轨道方程，

P 的正对岸为点O ，河宽，鸭子在静水中的游速为n ，n

常微分方程期末试题(A)答案

二、解下列一阶微分方程（每小题5分，共15分） 1、求解方程

2)(d d x

x y x y -=；解令xu y =，则x

x u y d d +='，代入原方程，得 2d d u u x u x

u -=+，2d d u x

u x -= 显然，0u =为方程的一个解，从而0y =为原方程的一个解。当0≠u 时，分离变量，再积分，得

C x x

u +=-

⎰⎰d d 2 C x u

+=ln 1

，C x u +=

ln 1 即通积分为： C

x x

y +=

2、求解方程)1(d d 2y x x

-=；解当1≠y 时，分离变量得

x x y y y

d d 12

=- 等式两端积分得

12d d 1C x x y y y

+=-⎰⎰

1222

1ln 21C x y +=- 12

e ,e 1C x C C y --±==-

方程的通积分为

e 12x C y --= 3、求解方程

x y x

2e 3d d =+ 解齐次方程的通解为 x

C y 3e

令非齐次方程的特解为 x

x C y 3e

)(-=

代入原方程，确定出 C x C x

5e 5

1)( 原方程的通解为 x

C y 3e

-=+x

4、解方程0d 2d )3e (322=++y y x x y x x

解 )3e (),(22y x y x M x +=，y x y x N 32),(=

y x y M ∂∂=

=∂∂26 因此，原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为 C x y x x x

微分方程练习题基础篇答案

dy
dy
即
dp p[
(1
p2 )]
0
，
p 0是方程的一个解，由
dp (1 p2 ) 0 得
dy
dy
arctan p y C1 即 y p tan( y C1) ，通解为 y arcsin exC2 C1
7
常微分方程基础练习题答案
1、填空题
（1）微分方程 y 2xy 的通解为 y
.
（2）微分方程 y y tan x cos x 的通解为 y
（3）微分方程
y
1 1 x2
的通解为
y
（4）微分方程 y 2 y 5y 0 的通解为 y
. .
.
（5）设 y ex (C1 sin x C2 cos x) （ C1 ， C2 为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程
（3）设 y1 和 y2 是微分方程 y py qy f (x) 的两个特解，则以下结论正确的是（
）.
1
(A) y1 y2 仍是该方程的解；
（B） y1 y2 仍是该方程的解；（C） y1 y2 是方程 y py qy 0 的解；（D） y1 y2 是方程 y py qy 0 的解.
28.y y x ，可降阶 y f (x, y) 型，令 p(x) y ，原方程化为 p p x ，一阶线性非齐次

〈常微分方程》应用题及答案

应用题（每题10分）

1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有

()()()f x y f x f y +=，求()f x 。

2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件

()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+=

（1）求()F x 所满足的一阶微分方程；（2）求出()F x 的表达式。

3、已知连续函数()f x 满足条件320

()3x x

t f x f dt e ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭

⎰，求()f x 。

4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞

>=，且满足

0()lim ()h x h f x hx e f x →⎛

⎫+ ⎪= ⎪

⎪⎝

⎭

，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5

(1)2

f =

，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1

()()()xt x t

f u du t f u du x f u du =+⎰

⎰⎰，求()f x 。

6、求连续函数()f x ，使它满足10

()()sin f tx dt f x x x =+⋅⎰

。

7、已知可微函数()f t 满足

31()

()1()x

f t dt f x t f t t =-+⎰，试求()f x 。

8、设有微分方程 '2()y y x ϕ-=，其中21

()01

x x x ϕ<⎧=⎨>⎩。试求在(,)-∞∞内的连续函

常微分方程期末考试试卷（A卷）

院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：

------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------

(完整版)常微分方程期末试题答案

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程

22d d y x x

y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.

3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x

y =初值唯一的充分条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x t

y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是中心 5．方程2)(2

1y y x y '+'=的通解是221C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是

()()x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关

8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e

-- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。

9．一阶线性微分方程

d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）．（A ）⎰=x

x p d )(e μ （B ）⎰=x x q d )(e μ （C ）⎰=-x x p d )(e μ （D ）⎰=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ）

（A ）可分离变量方程（B ）线性方程

（C ）全微分方程（D ）贝努利方程

《常微分方程》期末考试试题库

《常微分方程》期末考试试题

《常微分方程》期末考试题（一） (1)

《常微分方程》期末考试题（二） (6)

《常微分方程》期末考试题（三） (13)

《常微分方程》期末考试题（四） (18)

《常微分方程》期末考试题（五） (24)

《常微分方程》期末考试题（六） (31)

《常微分方程》期末考试题库 (36)

《常微分方程》期末考试题（一）

一、填空题（每空2 分，共16分）。

1、方程

22d d y x x y

+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面． 2. 方程组n x x x

R Y R Y F Y

∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线.

3．),(y x f y '

连续是保证方程

),(d d y x f x

=初值唯一的充分条件． 4．方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=x t

y y t

d d d d 的奇点)0,0(的类型是中心

5．方程2)(2

1y y x y '+

'=的通解是221

C Cx y +=

6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是

()()

x P y N 1

7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是线性无关

8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e -- 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程

d ()()d y

p x y q x x

+=的积分因子是（ A ）．（A ）⎰