圆中常见辅助线的做法

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有关圆的七种辅助线的作法

有关圆的七种辅助线的作法作者：

来源：《语数外学习》2015年第10期

圆是初中几何的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题都需要添加辅助线来解答.只要添上合适的辅助线，就可以化繁为简、化难为易. 下面举例说明有关圆的几种辅助线的作法.

一、有关直径问题，常作直径上的圆周角

例1 ; 如图1，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB 于点M，交BC于点N.

（1）求证：BA·BM=BC·BN;

（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值.

图1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图2

（1）证明：如图2，连结MN，则∠BMN=90°=∠ACB，

∴△ACB∽△NMB，

∴ ;= ;，

∴AB·BM=BC·BN;

（2）解：如图2，联结OM，则∠OMC=90°，

∵N为OC中点，

∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°，

∵OM=OB，∴∠B= ;∠MON=30°，

∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6.

说明：若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”，从而得到90°的角或直角三角形来证明问题.

二、有关弦的问题，常作其弦心距

例2 ; 如图3，AB是⊙O的直径，PO⊥AB交⊙O于点P，弦PN与AB相交于点M，求证：PM·PN=2PO2.

图3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图4

证明：如图4，过O作OC⊥NP于点C，则PC= ;PN，∵OC⊥NP，PO⊥AB，

数学人教版九年级上册圆中常见辅助线的做法

常常作直径所对的圆周角
归纳提炼
Байду номын сангаас
3、遇到90度的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点
归纳提炼
4、遇到有切线时
常常作过切点的半径(连结圆心和切点)
归纳提炼
5、遇到证切线时
若直线和圆的公共点还未确定，则“作垂直，证半径” 若直线过圆上的某一点，则“连半径，证垂直”
归纳提炼
6、遇到三角形内切圆时
A
·
E
B
D
C
大显身手
8 、（盘锦中考）如图， AB 为⊙ O 的直径，点 P 是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为 P ，过点 B 的直线与线段 AD 的延长线交于点 F ，且 ∠F=∠ABC．（1）若CD=2 ，BP=4，求⊙O的半径；（2）求证：直线BF是⊙O的切线
小试牛刀
5．如图所示，已知 MN 是⊙O 的直径，直线 PQ 与⊙O 相切于 P 点， NP 平分∠MNQ. 求证：NQ⊥PQ；
小试牛刀 6、如图点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D=30° ① 求证：CD是⊙O的切线 ② 若⊙O的半径为3，求弧BC的长。
小试牛刀 7、如图， △ABC中，E是内心，AE延长线交△ABC的外接圆于点D。求证：DE ＝ DB
九年级数学上册(人教版)

圆也是一种辅助线（辅助圆）——3个辅助圆专题

圆也是一种辅助线（辅助圆）那么哪些情况下我们可以构造出辅助圆呢？

①“定点定长”可作圆

②“定长定角”可作圆

③“对角互补，同弦等角”可作圆

内容精选自辅助几何辅助线12个专题最后一篇，一起来复习总结吧！

辅助线目录2

圆内辅助线方法

在圆内作辅助线的方法有以下几种：

1. 直径：通过圆心作直径，将圆分成两个相等的半圆，可以用于确定圆上某点的位置或者进行圆的对称性证明。

2. 弦：连接圆上的两个点，形成一条弦。弦可以用来测量圆的直径、找到圆上的中点以及确定圆弧的长度和角度。

3. 切线：从圆外一点引切线与圆相切，切点即为切线与圆的交点。切线与半径垂直，并且切线和半径的夹角等于相应弧的夹角。

4. 弧：圆上两点之间的曲线部分称为弧。可以通过连接弧上的两点和圆心，构成一个扇形。通过测量弧长和圆心角可以计算出圆的周长和面积。

5. 径向线：连接圆心与圆上的任意一点，称为径向线。径向线可以用来分析圆上的几何性质，如角度和长度。

这些辅助线方法在解决圆相关的问题时非常有用，能够帮助我们理解圆的性质、推导定理以及进行计算和证明。

圆的辅助线作法详讲

初中数学“圆中辅助线”添法探究

弦与弦心距，密切紧相连.

直径对直角，圆心作半径.

已知有两圆，常画连心线.

遇到相交圆，连接公共弦.

遇到相切圆，作条公切线.

“有点连圆心，无点作垂线.”

切线证明法，规律记心间.

圆是初中数学教学重点内容之一,对培养学生的分析能力、逻辑推理能力、解决问题能力有着重要作用.圆的知识是中考必考内容,从基础知识检测到综合解题能力考察都出现在中考数学试卷中.由圆和直线型图形,圆和函数图象可以组合成一些复杂的几何题；由圆的重要性质和平面直角坐标系、函数、方程、面积等知识就组成了综合性强、涉及面广、图形变化大的中考压轴题.在解决此类问题时,常常需要添加辅助线,才能把题中的已知条件和所求问题联系起来,使问题逐层分解,化繁为简,化难为易,从而使解题简便易行.在圆中如何添辅助线？结合自己的教学实践作一些探究.

一、根据垂径定理及其推论，过圆心作弦的垂线.

例1 半径为5的圆中，求两条长为8和6的平行弦之间的距离.

分析:此题没有说明两条平行弦是在圆心的两旁还是同旁，因此要

考虑两种情况.

解:第一种情况:如图,弦AB 、CD 在圆心O 的同旁. 过O 作OE ⊥AB 于E ，交CD 于F ，则AE=1

2 AB=3.

连结OA 、OC. ∵AB ∥CD,

∴OE ⊥CD 于F ，则EF 是平行弦AB 、CD 间的距离. 在Rt △OEA 中，由OA=5,AE=3得OE=352

=4.

同理可得OF=3.∴EF=OE-OF=4-3=1.

第二种情况:如图,弦AB 、CD 在圆心O 的两旁. 过O 点作OE ⊥AB 于E ，延长EO 交CD 于F. 连结OA 、OC.

初中数学圆中常见辅助线的作法例题分析

1、遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；

②圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

【例题】如图, 在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C 、D 二点。求证：AC = BD

证明: 过O作OE⊥AB于E，

则OE⊥CD，∵OE过O，

∴由垂径定理得：AE=BE，CE=DE，

∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD．

故答案为：过O作OE⊥AB于E，

则OE⊥CD，∵OE过O，

∴由垂径定理得：AE=BE，CE=DE，

∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD．

2、遇到90度的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

【例题】如图，在Rt△ABC中,∠BCA = 90 o ,以BC为直径的⊙O交AB于E,D为AC中点，连结BD交⊙O于F。求证：BC/BE=CF/EF

证明：连结CE．

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BFC为90°，∠BEC为90°．

又∵∠ACB＝90°，∴∠ECB=∠BAC.

∵∠ECB=∠BAC ，∠EFB=∠ECB，∴∠BAC=∠EFB.

∵∠BAC=∠EFB ，∠ABD公用，

∴△BEF∽△BDA.∴EF/BE=AD/BD.

∵∠BFC=∠ACB=90°，∠CBD公用，∴△CBF∽△DBC.

∴CDBD=CFBC.

∵D为AC中点，∴AD=CD，

∴EF/BE=CF/BC.

圆形辅助线的做法

圆形

半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。

注意点

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。

圆部分

规律88.圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角

形，利用勾股定理解题.

例：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D二点.求证：AC = BD

证明:过O作OE⊥AB于E

∵O为圆心，OE⊥AB

∴AE = BE CE = DE

∴AC = BD

练习：如图，AB为⊙O的弦，P是AB上的一点，AB = 10cm，PA = 4cm.求⊙O 的半径.

规律89.有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角.

例：如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB,DN⊥AB,求证：

证明：（一）连结OC、OD

∵M、N分别是AO、BO的中点

∴OM = 1

AO、ON =

∵OA = OB

E D

C B

B A

∴OM = ON

∵CM ⊥OA 、DN ⊥OB 、OC = OD ∴Rt △COM ≌Rt △DON ∴∠COA = ∠DOB ∴

初中数学圆的辅助线八种作法

中考数学圆的辅助线

在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。下面以几道题目为例加以说明。

1.有弦，可作弦心距

在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。

例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，且AC=BD 。求证：PO 平分∠APD 。

分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F

AC=BD => = => =

=> AB=CD => OE=OF

∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF

0OP=OP

=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证

(

BD ， (

CD (

D 图 1

(

AC (

BD (

AB (

(

∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线

即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。

例谈圆中常见作辅助线的方法

圆是初中几何部分的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题型都需要添加辅助线来解决。只要添上合适的辅助线，不仅会使问题迎刃而解，而且还会有效地培养学生的解题能力与创造性思维能力。通过对实践教学中的归纳与总结，发现添加辅助线的方法有很多，本文就圆中常见作辅助线的方法归纳如下：

一、作弦心距（在与弦有关的计算或证明题时，常作辅助线的方法是作弦心距）

例1：如图1，ab为⊙o的直径，pq切⊙o于t，ac⊥pq于c，交⊙o于d，ad=2，tc=.求⊙o的半径。

解：过点o作om⊥ac于m，

∴am=md=ad/2=1.

∵pq切⊙o于t，

∴ot⊥pq.又∵ac⊥pq，om⊥ac，

∴∠otc=∠act=∠omc=90°，

∴四边形otcm为矩形.∴om=tc=，

∴在rt△aom中，

即⊙o的半径为2.

例2：如图2，已知在以o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab 交小圆于c、d两点.

求证：ac=bd.

证明：过点o作oe⊥ab于e，则ae=be，ce=de，

∴ae-ce=be-de.

∵ac=ae-ce，bd=be-de.

∴ac=bd.

二、连半径（与半径和弦有关的简单计算、已知圆中有切线的有关计算和证明时，常作辅助线的方法是连半径）

例3：如图3，⊙o的直径cd=20cm，直线l⊥co，垂足为h，交⊙o于a、b两点，ab=16 cm，直线l平移多少厘米时能于⊙o相切？解：连接oa，

∵l⊥co，∴oc平分ab∴ah=8cm.

在rt△aho中，oh=6cm.

∴ch=4cm，dh=16 cm.

答：直线l向左平移4cm，或向右平移16cm时能于⊙o相切。例4：如图4，pa是⊙o的切线，切点是a，过点a作ah⊥op于点h，交⊙o于点b.

圆中常见辅助线及作法

A
B
2．遇到有直径时（作直径）
常常添加直径所对的圆周角，利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
A
B
2．遇到有直径时（作直径）
常常添加直径所对的圆周角，利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
A
B
2．遇到有直径时（作直径）
常常添加直径所对的圆周角，利用圆周角的性质得到直角或直角三角形。
2．遇到有直径时（作直径）
3．遇到切线时在解决有关切线问题时，常作过切点的半
径，利用切线的性质定理得垂直
3．遇到切线时在解决有关切线问题时，常作过切点的半
径，利用切线的性质定理得垂直
三、基础训练
1.自主学习
5分钟
2.师友讨论
3分钟
3.同学展示时认真聆听提出质疑和补充不同的想
法
5分钟
4.解后反思画、标图、识图、构图、在识图
H
五、课后反思
1.谈谈收获和体会：从知识、思想、方法方面谈
2.评选优秀师友组
六、课堂检测（5分钟）
1.六位同学做第一题 2.其他人从2、3题选作（2题加5颗心，3题加 10颗心）
பைடு நூலகம்
圆中常用辅助线及作法
河南寨中学牛晓娜
2016年11月14
一、作业展示（6分钟）
1.总结圆中常见的辅助线（举出例题说明）

圆中常用的作辅助线的八种方法

方法 6 遇直径巧加直径所对的圆周角
7 如图;在△ABC中;AB＝BC＝2;以AB为直径的 ⊙O分别交BC;AC于点D;E;且点D是BC的中点
1求证：△ABC为等边三角形
证明：1 如图;连接AD; ∵AB是⊙O的直径; ∴∠ADB＝90° ∵点D是BC的中点; ∴AD是线段BC的垂直平分线 ∴AB＝AC ∵AB＝BC;∴AB＝BC＝AC; ∴△ABC为等边三角形
方法 2 连接圆上两点;巧用同弧所对的圆周角相等
2 如图;圆内接三角形ABC的外角∠ACM的平分线与圆交于D点;DP⊥AC;垂足是P;DH⊥BM; 垂足为H 求证：AP＝BH
证明：如图;连接AD;BD ︵
∵∠DAC ∠DBC是DC所对的圆周角
∴∠DAC＝∠DBC
∵CD平分∠ACM;DP⊥AC;DH⊥CM;
2
即点O到AD的距离为 1 2
本题作出直径DE;利用直径所对的圆周角是直角构造了两个直角三角形;给解题带来了方便
方法 4 证切线时辅助线作法的应用
4 如图;△ABC内接于⊙O;CA＝CB;CD∥AB且与OA的延长线交于点D 判断CD与⊙O的位置关系;并说明理由
解：CD与⊙O相切;理由如下：如图;作直径CE;连接AE ∵CE是直径;∴∠EAC＝90° ∴∠E＋∠ACE＝90° ∵CA＝CB;∴∠B＝∠CAB ∵AB∥CD; ∴∠ACD＝∠CAB ∴∠B＝∠ACD 又∵∠B＝∠E;∴∠ACD＝∠E ∴∠ACE＋∠ACD＝90°;即OC⊥DC 又OC为⊙O的半径;∴CD与⊙O相切

圆中常见辅助线

有弦要作弦心距，半径弦长勾股弦。有直径，作直角，直径和弦端点连。圆上若有一切线，连接圆心和切点。要想证明是切线，分清有无公共点；无点作垂证半径，有点连半证垂线。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。要想作个外接圆，各边作出中垂线。要想作个内切圆，各角作出平分线。相交圆作公共弦，相切圆作连心线。正多边形辅助线，边心距和半径添。

圆外一点圆心连。立体展开成平面。圆中计算要熟练，勾股模型记心间。

九年级数学圆中常见辅助线作法

圆中常见辅助线的作法典型例题：

例题1、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是弧AB 上

任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周长为12，则PA 长为______________

例题2、如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥L 于C ，BD ⊥L 于D ，且AC+BD=AB 。

求证：直线L 与⊙O 相切。

例题3、如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°角，CD 与⊙O 切于C ，

交AB•的延长线于D ，求证：AC=CD ．

B C D E

例题4、如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________．

1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）

1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。O

O C

B A

2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。

作用：①可得等腰三角形；

②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

2．遇到有直径时

常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形

3．遇到90°的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

4．遇到有切线时

（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点

圆的辅助线的常见添法

圆的辅助线是画圆过程中常用的技巧，可以帮助我们更准确地画出所需的图形。下面介绍几种常见的圆的辅助线添法。

一、正方形法

正方形法是最基本、最简单的圆的辅助线添法之一。具体步骤如下：

1. 画一个正方形，边长等于所需圆的直径。

2. 将正方形对角线画出来，并在对角线交点处做垂线。

3. 在垂线上取一个点作为圆心，以垂线长度为半径画出所需圆。

二、三角形法

三角形法也是常用的一种圆的辅助线添法。具体步骤如下：

1. 画一个等腰直角三角形，底边等于所需圆的直径。

2. 将底边中点与顶点相连，并做垂线。

3. 在垂足处作为圆心，以底边长度为半径画出所需圆。

三、六边形法

六边形法同样是一种常用的添法。具体步骤如下：

1. 画一个正六边形，外接于所需圆上。

2. 连接相邻两个顶点，形成一个正三角形。

3. 在正三角形的垂心处作为圆心，以正六边形边长为半径画出所需圆。

四、四边形法

四边形法也是一种常用的添法。具体步骤如下：

1. 画一个矩形，长宽分别等于所需圆的直径。

2. 将矩形对角线画出来，并在对角线交点处做垂线。

3. 在垂线上取一个点作为圆心，以矩形长或宽的一半为半径画出所需圆。

以上就是几种常见的圆的辅助线添法。通过这些方法可以更加准确地

画出所需图形，并且在实际应用中也有很大的帮助。

圆中常见的辅助线的作法分类大全

1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）

常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：1、利用垂径定理；

2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

4、可得等腰三角形；

5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。

例：如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO ⊥AB 交⊙O 于P 点，弦PN 与AB 相交于点M ，求证：PM •PN=2PO 2.

分析：要证明PM •PN=2PO 2，即证明PM •PC =PO 2，

过O 点作OC ⊥PN 于C ，根据垂经定理 NC=PC ，只需证明

PM •PC=PO 2，要证明PM •PC=PO 2只需证明Rt △POC ∽Rt △PMO. 证明: 过圆心O 作OC ⊥PN 于C ，∴PC=

1PN ∵PO ⊥AB, OC ⊥PN ，∴∠MOP=∠OCP=90°. 又∵∠OPC=∠MPO ，∴Rt △POC ∽Rt △PMO. ∴

PO PC PM PO 即∴PO 2= PM •PC. ∴PO 2= PM •2

PN ，∴PM •PN=2PO 2. 【例1】如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。

【例2】如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，

那么OP 的长的取值范围是_________．

【例3】如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，