二次型和对称矩阵

第九章
9.1 9.2 9.3 9.4
二次型
二次型和对称矩阵 复数域和实数域上的二次型 正定二次型 主轴问题
我思故我在。
-----笛卡儿(Rene Descartes， 1596-1650)
如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人 的肩上。
--- 牛顿（Newton,1642－1727）
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如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换： （4） xi pi j y j , i 1,2, , n, pij F (1 i , j n)
i 1 n
那么就得到一个关于 y1 , y2 ,, yn 的二次型
q( y1 , y2 ,, yn )
（4）式称为变量的线性变换，令 P ( pij ) 是（4） 的系数据构成的矩阵，则（4）可以写成
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0 0 3 0 0 6 4 3 A3 , 0 4 0 4 0 3 4 0
0 1 P3 0 0
1 0 0 0 2 0 0 1 0 1 0 1
以 2/3 和 －1 /2 乘 A3 的第二列依次回到第三 列和第四列上, 再以 2/3 和－1 /2 乘第二行依次加 到第三行和第四行上，同时对 P3 的列施行同样的 初等变换。得 1 0 0 1 2 3 0 0 3 2 0 1 0 2 0 0 6 0 A4 , P4 8 0 0 3 2 0 0 1 0 0 0 2 3 0 1 2 1 2 3 2
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由归纳法假设，存在n – 1阶可逆矩阵 Q1 使得
c2 Q1 A1Q1 0 c3 0 cn
取
1 0 0 0 Q Q1 0
P E1 E2 E sQ
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（2） q( x1 , x2 , , xn ) aij xi x j , aij a ji
i 1 j 1
n
n
为二次型 q( x1 , x2 ,, xn ) 的矩阵。因为 a ij a ji , 所以A是F上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘 法，（2）式可以写成
c1 P AP 0 c2 0 cn
即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合 同。
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证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定 理。回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵 Pi j , Di ( k )和Tij ( k )容易看出，
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(a) 设A的主对角线上元素不全为零，例 如， aii 0 .如果i ≠ 1，那么交换A的第1列与第I 列， a ii 再交换第1行与第i行，就可以把 换到左上角。这 P1i 右乘 A 样就相当于初等矩阵 , 再用 P1i P1i 左乘A . 于是 P1i AP1i 的左上角的元素 a1 j 不等于零. 因此，我们不妨设 a11 0，用 乘 a11 a1 j A的第1列加到第 j 列，再用 乘第1行加到第 a11 j 行，就可以把第一行第 j 列和第 j 行第1列位置的 元素变成零。
那么
E2 E1 AE1 E 2 E s Q P AP QE s a11 0 0 a11 0 0 0 Q Q A1Q1 A1 Q1 0 0 0 c1 c2 0 c n 0
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9.1.1 二次型及矩阵
定义1 设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式
2 2 2 q ( x , x , , x ) a x a x a x 1 2 n 11 1 22 2 nn n （ 1）
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
事实上，由 P AP B 和 QBQ C 可得 ( PQ) A( PQ) QP APQ QBQ C 合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对 称矩阵合同的矩阵仍是对称的.
设q 和 q 是数域F上两个n 元二次型，它们的
矩阵分别为A 和 B. 如果可以通过变量的非奇异线 性变换将 q 变为 q ，则B与A 合同. 反之，设B与 A 合同. 于是存在F上非奇异矩阵P 使得 B P AP . 通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将 q 变为 q .
例1
设
0 3 0 0 0 3 6 0 A 0 6 12 4 3 0 4 0
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我们按定理9.1.2所给出的方法对A施行行和列 初等变换，将A变成 P AP ，使得 P AP是一个对 角形矩阵。同时对单位矩阵 I 4 ，施行同样的初等 变换而得出P。 交换A第一列和第二列，第一行和第二行，同 时交换 I 4 的第一列和第二列。这时A和 I 4 分别化 为：
这里 c1 a11 。
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(b) 如果 aii 0, i 1,2, , n . 由于A≠O，所以 一定有某一个元素 aij 0, i j . 把A的第 j 列加 到第 i列, 再把第 j 行加到第 i行, 这相当于初等矩阵 T ji (1) 右乘A . 再用 Tij (1) T ji (1) 左乘A. 而经过这 样的变换后所得到的矩阵第 i行第 j 列的元素 是 2aij 0 . 于是由情形（b）就归结到情形（a）. 注意 在定理 9.1.2的主对角形矩阵 P AP 中，主 c1 , c2 ,, cn 的一部分甚至全部可以 对角线上的元素
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这相当于用 T1 j (
a1 j a11
) 右乘A，用
T j1 (
a1 j a11
) T1 j (
a1 j a11
)
左乘A。这样，总可以选取初等矩阵 E1 , E2 ,, E s , 使得 a11 0 0 0 E s E 2 E1 AE1 E 2 E s A1 0 这里 A1 是一个n – 1阶的对称矩阵。
3 0 A1 6 0 0 6 0 0 0 3 , 0 12 4 3 4 0
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0 1 P1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
把 A1 的第一列乘以2加到第三列，第一行乘以 2加到第三行，同时把 P1 的第一列乘以2加到第三 列。分别得到：
F上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的 非奇异线性变换将其中一个变成另一个.
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定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分 条件是它们的矩阵合同。 等价的二次型具有相同的秩。 定理9.1.4 令A (aij ) 是数域F上的一个n阶对称矩 阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得
Pij Pi j ; Di (k ) Di (k ); Tij (k ) Tij (k )
现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n = 1时定
理显然成立。设n > 1，并且假设对于n – 1阶对称
矩阵来说，定理成立。 设A (aij ) 是一个n阶矩阵.
如果A = O，这时A本身就是对角形式。设 A O , 我们分两种情形来考虑.
矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以P为矩 阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是 P AP 。
推论9.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变 换之下保持不变。
i 1 j 1
注意: 如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论 9.1.2不成立
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9.1.3 矩阵的合同
定义2 设A，B是数域F上的两个n 阶矩阵。如果存 在F上的一个非异矩阵P，使得 P AP B 那么称B与A合同。 矩阵的合同关系的性质：
c i 的个数等于A的秩，如 是零。显然，不为零的 果秩A等于r > 0，那么由定理的证明过程可以知
c1 , c2 ,, cr 0, 而cr 1 cr 2 cn 0
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给了数域 F 上一个n 阶对称矩阵A， 由定理 9.1.2的证明过程还可以看出，我们可以具体求出 一个可逆矩阵P，使 P AP 有对角形I 施行同样的列初等变换，那么当A 化为对角形式时，I 就化为P。
叫做F上的一个n 元二次型。 F 上n 元多项式总可以看成 F 上的n 个变量的函 数，二次型（1）定义了一个函数 q : F n F . 所 以n 元二次型也叫n 个变量的二次型. 在（1）中令 aij a ji (1 i , j n) . 因为 xi x j x j xi , 所以（1）式可以写成以下形式：
令A (aij ) 是（2）式右端的系数所构成的矩阵,称
（ 3）
x1 x2 q( x1 , x2 , , xn ) ( x1 , x2 , , xn ) A x n
二次型（3）的秩指的就是矩阵A的秩。
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9.1.2 线性变换
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最后，以 －3/4 乘 A4的第三列加到第四列上, 再以－3/4 乘第三行加到第四行上，并且对 p4 的 列施行同样的初等变换，我们得到
3 0 A5 0 0 0 6 0 0 0 0 , 0 0 0 1 P5 0 0
将（5）代入（3）就得到
矩阵P称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇异 的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为A是 对称矩阵，所以 ( PAP ) PAP PAP. PAP 也是对称矩阵。
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定理9.1.1 设 aij xi x j 是数域F上的一个以A为
n
n
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（ 5）
x1 x2 x n
y1 y2 P y n