二次型和对称矩阵
第五章对称矩阵与二次型-
6
1
2
1
3
q1
1 6
,
q2
1 2
,
q3
1
3
2 0 1
6
3
故
1 6
1 2
1
3
P
q1 ,
q2
,
q3
1 6
1 2
1
3
2 6
0
1 3
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0
为正交矩阵，且
PT
AP
4
9
作正交变换 x P y ，即
x1 x2 x3
故原二次型可化为 f 2y122y2 27y3 2。
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例5.5 求可逆变换化二次型
fx 1 , x 2 , x 3 = x 1 2 4 x 2 2 4 x 3 2 2 x 1 x 2 2 x 1 x 3 8 x 2 x 3
为标准形，并写出所作的变换矩阵。
解：由于f含x1的平方项，将含x1的项归并进行配 方，得
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故矩阵A的特征值为122,37。
当 12 2时，解方程组 A2Ex0，即
因为
1 2 2 x1 0
2
4
4
x2
0
2 4 4 x3 0
1 2 2 1 2 2
2 4
4
0
对称矩阵与二次型_OK
a11 a21
正，即
a12 a负22定)
0,
a11 a1n 的奇, 数An阶主子式为负，偶数阶 主A子式0为
an1 ann
参考题2、判定二次型 的正定性。
f xT Ax
A
(1)k Ak 0
f 5x 2 6 y 2 4z 2 4xy 4xz
2021/9/4
28
解：f 的矩阵为
。 5 2 2 A 2 6 0
15
原二次型可化为 f 4 y22 9 y32 由于方程在4 y22 9 y32 1 在三维空间中表示椭圆柱 面，二正交变换不会改变几何特征，故
f x1, x2 , x3 1也表示椭圆柱面。
例5.4 求一个正交变换，将二次型
f x1, x2 , x3 = x12 2x22 2x32 4x1x2 4x1 x3 8x2x3
3
正 (负定) 义系2数：的个数称为f 二次k型1 y的12称正为(k负二2)y次惯22型性的系标数准。形kn(y其n2矩阵为对角形)，其中的
例5.1 将二次型
写成矩阵表示形式。
解：f的系数矩阵为
f = x12 2x1 x2 2x2 x3 2x32
1 1 0
A
1
0
1
0 1 2
2021/9/4
故
1 6
1 2
1
3
对称矩阵与二次型
对称矩阵与二次型
对称矩阵和二次型是线性代数中非常重要的概念，它们在各种数学和工程领域都有广泛的应用。本文将介绍对称矩阵的定义和特性，以及与之相关的二次型的概念和性质。
一、对称矩阵的定义与特性
在线性代数中，对称矩阵是指满足矩阵的转置等于其自身的矩阵。具体定义如下：
定义1：对称矩阵
设A是一个n×n的矩阵，如果满足A^T=A，则称A为对称矩阵。
对称矩阵的一些特性如下：
特性1：主对角线上的元素
对称矩阵的主对角线上的元素都相等，即a_ij = a_ji。
特性2：特征值
对称矩阵的特征值都是实数。
特性3：特征向量
对称矩阵的特征向量对应不同特征值的特征向量是正交的。
特性4：对角化
对称矩阵可以被对角化，即可以通过相似变换得到对角矩阵。
二、二次型的定义与性质
二次型是对称矩阵与向量的乘积，它是一个函数，将向量映射为实数。具体定义如下：
定义2：二次型
设f(x) = x^TAx是一个定义在R^n上的函数，其中A是一个n×n的对称矩阵，x是一个n维列向量。称f(x)为二次型。
二次型有一些重要的性质：
性质1：对称性
二次型的矩阵A是对称矩阵，即A^T=A。
性质2：标准型
对于任意二次型f(x)，都存在一个正交变换，将其化为标准型。标准型的形式为f(x) = λ_1y_1^2 + λ_2y_2^2 + ... + λ_ny_n^2，其中λ_1, λ_2, ..., λ_n为实数，y_1, y_2, ..., y_n为变量。
性质3：正定、负定与半正定
二次型可以根据其对应的矩阵A的特征值判定其正定、负定与半正定。当A的所有特征值均为正时，二次型为正定；当A的所有特征值均为负时，二次型为负定；当A的特征值既有正又有负时，二次型为不定；当A的特征值既有非负又有非正时，二次型为半正定。
二次型和对称矩阵
一个不错的方法,但是,如果类似这样的方程不是平面上
的,甚至是在任意欧氏空间中的,我们如何去化它为标准
形呢?
9.1.1 二次型及矩阵
定义1 设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式
（1） q ( x 1 ,x 2 , ,x n ) a 1 x 1 2 1 a 2 x 2 2 2 a n x n 2 n
再交换第1行与第i行，就可以把 a ii 换到左上角. 这样就相当于初等矩阵 P1i 右乘A, 再用
不 AP的1等i第于1P零1列i左 .加因到此A 乘 第，.j我于列们是，不P再1妨i用A设P1iaa1的11j左乘0，上第用角1行的加元aa到11素1j 第乘
a 11
j 行，就可以把第一行第 j 列和第 j 行第1列位置的 元素变成零.
nn
（2） q (x 1 ,x 2 , ,x n ) a ix jix j, a ij a ji
i 1j 1
令A(aij)是（2）式右端的系数所构成的矩阵,称为二次 型 q (x 1 ,x 2 , ,x n )的矩阵.因为 aij aji ,所以A是F上的
一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘法,（2）式可以写成
aijxi xj
i1 j1
可以通过变量的非奇异线性变换化为：
c 1 y 1 2 c 2 y n 2 c n y n 2 , c 1 , c 2 , , c n F
线性代数43二次型与对称矩阵的有定性
1 0, 1 0,..., 1 0 A－1的特征值都大于0，故A－1正定
1 2
n
A 0 0是A的特征值 A 0 0不是A的特征值
证法2 ∵A正定 A : E 即存在可逆矩阵C，使得
A CT E C CTC
A1 (C T C )1 C 1(C T )1 C 1(C 1 )T DT D DT E D
...,
xn
)
x12
x22
...
xn2
对任何
x
x2
o
M
有
f ( x1, x2,..., xn ) x12 x22 ... xn2
0
xn
故二次型 f ( x1, x2,...,xn) x12 x22 ... xn2 为正定二次型
1
x12 x22 ... xn2 (x1, x2,...,xn) 1
x
x1 x2
Rn
1
x3
f ( x1, x2, x3) ( x1 x2 2 x3 )2 0
1
0
1
f (1,1,1) 0 故此二次型为半负定二次型.
例 二次型 f ( x1, x2 ) x12 2x22是不定的.
f (1,0) 1 0 f (0,1) 2 0
定理4.7对角矩阵 d1
c2n cnn
C
0
方程组
U636-线性代数-5.3 二次型与对称矩阵的有定性
定义55(顺序主子式)
设n阶矩阵
a11 a12
A
a21Biblioteka Baidu
a22
an1 an2
行列式
a1n a2n
ann
举例
1 2 3 A 2 0 1 的顺序主子式为
0 0 2
|A1|1
| A2 |
1 2
2 0
4
|A3||A|8
a11 a12 | Ak | a21 a22
a1k a2k (k1 2 n)
xTAx0 (或0) 成立 则称f(x)xTAx为正定(负定)二次型 矩阵A称为正定矩 阵(负定矩阵)
如果对于任何x(x1 x2 xn)T 都有 xTAx0 (或0)
且有x00 使x0TAx00 则称二次型f(x)xTAx为半正定(半负定) 二次型 矩阵A称为半正定(半负定)矩阵
例1 二次型
f(x1 x2 xn)x12x22 xn2 是正定二次型 矩阵In是正定矩阵
矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指标pn 推论2
如果A为正定矩阵 则|A|0
分析
当ATA时 则有
Ip 0 0
A~ 0 0
Irp 0
0 0
由定理56及定理57可知 若A为正
定矩阵 则正惯性指标pn 即A~In 反之 若A~In 则A正定 即存在非奇 异矩阵C 使ACTInCCTC 此时|A||C|20
线性代数4.1二次型与对称矩阵
又如二次型
2 x1
+
2 x1 x2 + 3 x1 x3 + 2 x2
1 1 3 此二次型的矩阵为 1 2 2 A= 2 2 0 是对称矩阵. 是对称矩阵. 3 0 2 0
3 1 x1 x2 + x1 x3 2 2 1 2 + x2 x1+ 2x2 +0x2 x3 2 3 2 + x3 x1 +0x2 x3 + 0x3 2 = x12 +
在空间解析几何中, 二次曲面的一般方程为: 在空间解析几何中, 二次曲面的一般方程为:
a1 x 2 +a2 y 2 +a3 z 2 + 2b1 xy+2b2 yz+2b3 xz+ 2c1 x+2c2 y+2c3 z +d = 0
为球面. 配方: 2 − x 2 如 x 2 + y 2 +z 2 −2 x+2 z+ 1= 0 配方: ((xx −21)+1) +y 2 + ( z+1)2= 1 为球面. 对二次曲线及二次曲面的研究,发展了二次型的理论。 对二次曲线及二次曲面的研究,发展了二次型的理论。 二次型不仅在几何中出现, 二次型不仅在几何中出现, 在数学的其它分支 和经济管理的许多问题中也常常遇到. 以及工程技术 和经济管理的许多问题中也常常遇到.
6.3二次型与对称矩阵正定性(全)
§3 二次型与对称矩阵的正定性
定义6.3.1具有对称矩阵A 的二次型
f (X )=X T AX ，
如果对于任何X =(x 1, x 2, ¨, x n )T ≠0，都有
X T AX >0，(或< 0)
成立，则称f (X )=X T AX 为正定(负定)二次型，矩阵A 称为正定矩阵(负定矩阵)。
如果对于任何X =(x 1, x 2, ¨, x n )T ，都有X T AX ≥0，(或≤ 0)则称f (X )=X T AX 为半正定(负定)二次型，矩阵A 称为半正定(半负定)矩阵。
且有，使，
()000012,,,0T
n X x x x =≠000T
X AX =二次型正定(负定)，半正定(半负定)，则它对应的矩阵为正定(负定)，半正定(半负定)；反之亦然。
例6.3.1对二次型
，当时，显然，所以这个二次型是正定的，其矩阵E n 是正定矩阵。()222121
2
,,
,n n
f x x x x x x
=+++()12,,,0T
n X x x x =≠()12,,,0
n f x x x >例6.3.2二次型
，可写成，当时，，因此是半负定二次型，其对应的
矩阵是半负定矩阵。()22
21231
12132
233
,,2444f x x x x x x x x x x x x
=--+-+-()()2
123123,,20f x x x x x x =-+-≤12320
x x x +-=()123,,0f x x x =()123,,f x x x 112112224--⎛⎫
实对称矩阵与二次型
实对称矩阵与二次型
课后习题详解 习题8.1
1 求正交矩阵Q 使T Q AQ 化为对角矩阵D ,其中A 为:
(1) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭
(2)
724247⎛⎫ ⎪-⎝⎭
(3) 1141
41411⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭ (4) 2
22254245-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭
(5) 3242
62423-⎛⎫
⎪
- ⎪ ⎪⎝
⎭
(6) 744490405-⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭
(7) 0041001441001
40
0⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
⎪
⎝⎭ (8) 1333313333133
331---⎛⎫
⎪
--- ⎪
⎪
--- ⎪
---⎝⎭
解: (1) 22
1
||43(1)(3)1
2
E A λλλλλλλ---=
=-+=----
所以 121,3λλ==
11λ=代入 ()0E A X λ-= ,
12120|0
x x x x --=⎧⎨--=⎩得基础解系, 1(1,1)T
α=-,标准正交化为
:11,1)T η=
- 23λ=代入 ()0E A X λ-= ,
121200
x x x x -=⎧⎨
-+=⎩得基础解系, 2(1,1)T
α=,标准正交化为
:2T η=
取Q ⎛
= ⎝, 1003T Q AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭
. (2) 27
24
||625(25)(25)24
7
E A λλλλλλ---=
=-=+--+
所以 1225,25λλ==-
125λ=代入 ()0E A X λ-= ,
12121824024320x x x x -=⎧⎨-+=⎩得基础解系, 1
4(,1)3T
α=,标准正交化为:13443(,1)(,)5355
T T
η==
《线性代数及其应用》第七章 对称矩阵和二次型
Q(x1,x2,x3,x4 ) 3x12 3x22 3x32 x42 2x1x2 2x1x3 2x2x3
解 二次型 Q 的矩阵 A 为
3 1 1 0
A
1 1 0
3 1 0
1 3 0
0 0 1
,
且A的特征值是1,2,2和5，所以二次型是正定二次型。
ns
则 P 为正交矩阵，且 P-1AP = .
要注意矩阵 P 的列与对角矩 阵 主对角线上的元素 ( A 的特征值 ) 之间的对应关系.
例4
设
0 1 1 A 1 0 1 ,
1 1 0
求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵.
解 A 的特征多项式为
1 1 1 1 0
| A E | 1 1 1 1
3
1
P (e1 ,e2 ,e3 )
3
1
3
则 P 为正交矩阵, 且有
1 6
1 6
2 6
1
2
1 2
,
0
3 0 0
P 1 AP
Λ
0
6
0
.
0 0 8
注：例2中的特征向量是正交的。下列定理解释了原因。 定理1 如果A是对称矩阵，那么不同特征空间的任意两个
特征向量是正交的。
证明： 设 p1 和 p2 是对应不同特征值1，,2 的特征向量，
线性代数二次型
线性代数二次型 1
二次型与对称矩阵
一、 二次型及其矩阵
1 定义：含有n 个变量的二次齐次函数：
22
2
12111222(,,,)n nn n
f x x x a x a x a x =++
+
12121313(1)1222n n n n a x x a x x a x x --+++
+
称为二次型。
为便于用矩阵讨论二次型，令ij ji a a =，则二次型为：
2
12111121211(,,,)n n n f x x x a x a x x a x x =++
+ 2
212122222n n a x x a x a x x ++++
+
2
1122n n n n nn n
a x x a x x a x ++++ ,1
n
ij i j i j a x x ==
∑
令1112
12122212
n n n n nn a a a a
a a A a a a ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢
⎥⎣⎦， 12n x x x x ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，
则 12(,,
,)T n f x x x x Ax =，且A 为对称矩阵。
由于对称矩阵A 与二次型f 是一一对应关系，故称对称矩阵A 为二次
型f 的矩阵，也称二次型f 为对称矩阵A 的二次型，()R A 也称为二次型f 的秩。 例1 设
3132212
322
2132197532),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=
第二章 2
试求二次型矩阵A .
解 111=a , 222=a , 333=a , 2
52112==a a , 273223==a a , 293113==a a .
《线性代数及其应用》第七章 对称矩阵和二次型
证明
Bx = 0 只有零解
当 x 0 时, Bx 0,
x 0 , xT(BTB)x = ||Bx||2 > 0,
BTB 为正定矩阵.
证毕
第5、6、7章 小 结
概念：内积、正交、特征值、特征向量、正交矩阵 相似矩阵、对角化、二次型、正定矩阵
即
1 2 1 x2 0,
1 1 2 x3
得1个特征向量
1 p3 1 .
1
则 p1 , p2 , p3 为 A 的三个线性无关的特征 向量且这三个向量两两正交. 现把它们单位化.
1
令
e1
p1 p1
1
1 ,
2 0
1
e2
p2 p2
1
1
,
6 2
e3
p3 p3
1
1 1 .
并把它们正交化、单位化，仍记为
pi1 , pi 2 , , pini ，以这些向量为列构造矩阵
P ( p11,p12, , p1n1 ,p21,p22, , p2n2 , , ps1,ps2, ,psns ),
Λ diag(λ1, ,λ1, λ2, ,λ2 , , λs , ,λs ),
n1
n2
步骤 1 ：求出矩阵 A 的所有特征值，设 A有S个不同的特征值
1 , 2 , ···, s ，它们的重数分别为 n1 , n2 , ···, ns ,
二次型与实对称矩阵-例题
第四部分 二次型与实对称矩阵
一. 矩阵的特征值.
设A 是n 阶方阵,若对F ∈0λ,存在非零列向量n
F X ∈,使得X AX 0λ=.
)())((21n A E λλλλλλλ−−−=−",特征多项式的根.两个公式: n trA λλλ+++="21,n A λλλ"21=.
特征向量: 0)(=−X A E i λ的基础解系就是A 的属于i λ的线性无关的特征向量. 二. 二次型.
(1) n n n x x a x x a x x a x a x x x f 11311321122
11121222),,,(++++=""
2
22422432232222222n nn n n x a x x a x x a x x a x a +++++++"" ∑===
n j i j
i
ij a a x
x a ji
ij 1
, (n ij a A )(=) AX X T
=. A 称为f 的矩阵,是个对称阵.
(2) 非退化线性替换 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n
nn n n n n
n n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x """"22112222121212121111,CY X =
AX X X f T =)(⎯⎯⎯→←=∀CY
X ACY C Y BY Y Y g T T T ==)(
A ⎯→←
C AC C B T
= 合同. 取T n c c c X ),,,(210"=,有000)(AX X X f T =.对010X C Y −=,有000)(ACY C Y Y g T
§5.1 二次型及其矩阵表示
例2 设二次型
试写出二次型f的矩阵.（f为三元二次型）
解：将交叉项xixj的系数除2 即平均分配给 xixj及xjxi,则二次型f的系数矩阵A为
9
太简单 简略讲
例3 将二次型
写成矩阵形式.
解： 是一个四元二次型，先写出二次型的矩阵
10
11
太简单 简略讲
例３ 设
， 试写出以A为矩阵的二次型.
2a12 x1 x 2 2a13 x1 x 3 2a n1,n x n1 x n
取 a ji aij , 则2 aij xi x j aij xi x j a ji x j xi ,于是 2 f a11 x1 a12 x1 x 2 a1n x1 x n 2 a 21 x 2 x1 a 22 x 2 a2n x2 xn 2 a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n
7
例１
写出二次型
2 2 2 f x1 2 x2 3 x3 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵. 解 a11 1, a22 2 , a33 3 ,
a12 a21 2 , a13 a31 0 , a23 a32 3.
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
则二次型可记作 f xT Ax, 其中A为对称矩阵.
二次型与对称矩阵
二次型与对称矩阵
二次型与对称矩阵
1.设二次型()22212312233,,4323f x x x x x x x x =+++
a.求一个正交变换x Qy =将二次型化为标准形，并写出所用的正交变换。
b.用配方法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换。
c.用合同变换法将二次型化为标准形，并写出所用的可逆线性变换。
2.设
123A λλλ?? ?= ? ???，231B λλλ?? ?= ?
则存在可逆矩阵P ，使得T P AP B =，其中_____P =
3.二次型
2221231231213(,,)222f x x x x x x tx x x x =++-+正定时，t 应满足的条件是 _______________
4.设A 为实对称矩阵，且
0A ≠，则把二次型()T f x x Ax =化为 ()1T f y y A y -=的线性变换是____________
5.实二次型为正定的充分必要条件是__________
A . ()R A n = B. A 的负惯性指数为零
C. 0A >
D.A 的特征值全大于零
6.设 11
1111
1111
111
111A =，4000000000000000B = 则A 与B 的关系是__________
A . 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 相似但不合同 D.既不相似也不合同
7.设矩阵
320242025A =--??
正定，则与A 相似的对角矩阵为__________
A . 1210 B. 2010
C. 147
D.671-?? 8.设A ，B 为n 阶正定矩阵，则__________是正定矩阵
9.1 二次型和对称矩阵
B 3）传递性：若 C 与 B 合同， 与 A 合同，则 C 与 A 合同。
结论：合同矩阵的秩相等，且与一 个对称矩阵合同的矩阵也对称。
定义:若 F 上一个二次型可通过非奇 异线性变换变为 F 上的另一个二次型， 则这两个二次型等价。 定理9.1.3：数域 F 上两个二次型 等价 它们的矩阵合同。等价的二 次型的秩相同。
p 12 p 1n y 1 p 22 p 2n y 2
p n1 pn2 p nn
将（5） 和 （5） 代入（3），得
y1 y2 （6）q y 1 ,y 2 , ,y n ) (y 1 ,y 2 , ,y n )P ( AP y n
叫做 F 上一个 型。
n
元二次型，简称二次
例1、判断下列各式是否为二次型：
1）f1(x1,x 2 ,x 3 ) x 2x 2 x 3 4x1x 2 x1;
2）x
2 1
2 1
2
2
4x1x 2 3x 2 0;
2 1 2 2
2 2
2
3）f3(x1,x 2 ,x 3 ) x 7x1x 2 2x 2 5x 2x 3 x 3 ;
x 1 p 11y 1 p 12y 2 p 1n y n x 2 p 21y 1 p 22y 2 p 2n y n x n p n 1y 1 p n 2y 2 p nn y n
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那么
E2 E1 AE1 E 2 E s Q P AP QE s a11 0 0 a11 0 0 0 Q Q A1Q1 A1 Q1 0 0 0 c1 c2 0 c n 0
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由归纳法假设，存在n – 1阶可逆矩阵 Q1 使得
c2 Q1 A1Q1 0 c3 0 cn
取
1 0 0 0 Q Q1 0
P E1 E2 E sQ
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如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换： （4） xi pi j y j , i 1,2, , n, pij F (1 i , j n)
i 1 n
那么就得到一个关于 y1 , y2 ,, yn 的二次型
q( y1 , y2 ,, yn )
（4）式称为变量的线性变换，令 P ( pij ) 是（4） 的系数据构成的矩阵，则（4）可以写成
Pij Pi j ; Di (k ) Di (k ); Tij (k ) Tij (k )
现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n = 1时定
理显然成立。设n > 1，并且假设对于n – 1阶对称
矩阵来说，定理成立。 设A (aij ) 是一个n阶矩阵.
如果A = O，这时A本身就是对角形式。设 A O , 我们分两种情形来考虑.
事实上，由 P AP B 和 QBQ C 可得 ( PQ) A( PQ) QP APQ QBQ C 合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对 称矩阵合同的矩阵仍是对称的.
设q 和 q 是数域F上两个n 元二次型，它们的
矩阵分别为A 和 B. 如果可以通过变量的非奇异线 性变换将 q 变为 q ，则B与A 合同. 反之，设B与 A 合同. 于是存在F上非奇异矩阵P 使得 B P AP . 通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将 q 变为 q .
令A (aij ) 是（2）式右端的系数所构成的矩阵,称
（ 3）
x1 x2 q( x1 , x2 , , xn ) ( x1 , x2 , , xn ) A x n
二次型（3）的秩指的就是矩阵A的秩。
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9.1.2 线性变换
9.1 二次型和对称矩阵
一.内容分布 9.1.1 二次型及矩阵 9.1.2 线性变换 9.1.3 矩阵的合同 9.1.4 二次型的标准形 二.教学目的 1.掌握二次型及其矩阵的定义 以及矩阵的合同 2.理解关于二次型的线性变换 3.了解二次型的标准形 三.重点难点: 合同、线性变换、二次型的标准形
第九章
9.1 9.2 9.3 9.4
二次型
二次型和对称矩阵 复数域和实数域上的二次型 正定二次型 主轴问题
我思故我在。
-----笛卡儿(Rene Descartes， 1596-1650)
如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人 的肩上。
--- 牛顿（Newton,1642－1727）
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(a) 设A的主对角线上元素不全为零，例 如， aii 0 .如果i ≠ 1，那么交换A的第1列与第I 列， a ii 再交换第1行与第i行，就可以把 换到左上角。这 P1i 右乘 A 样就相当于初等矩阵 , 再用 P1i P1i 左乘A . 于是 P1i AP1i 的左上角的元素 a1 j 不等于零. 因此，我们不妨设 a11 0，用 乘 a11 a1 j A的第1列加到第 j 列，再用 乘第1行加到第 a11 j 行，就可以把第一行第 j 列和第 j 行第1列位置的 元素变成零。
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（2） q( x1 , x2 , , xn ) aij xi x j , aij a ji
i 1 j 1
n
n
为二次型 q( x1 , x2 ,, xn ) 的矩阵。因为 a ij a ji , 所以A是F上的一个n 阶对称矩阵，利用矩阵的乘 法，（2）式可以写成
F上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的 非奇异线性变换将其中一个变成另一个.
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定理9.1.3 数域F上两个二次型等价的必要且充分 条件是它们的矩阵合同。 等价的二次型具有相同的秩。 定理9.1.4 令A (aij ) 是数域F上的一个n阶对称矩 阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得
这里 c1 a11 。
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(b) 如果 aii 0, i 1,2, , n . 由于A≠O，所以 一定有某一个元素 aij 0, i j . 把A的第 j 列加 到第 i列, 再把第 j 行加到第 i行, 这相当于初等矩阵 T ji (1) 右乘A . 再用 Tij (1) T ji (1) 左乘A. 而经过这 样的变换后所得到的矩阵第 i行第 j 列的元素 是 2aij 0 . 于是由情形（b）就归结到情形（a）. 注意 在定理 9.1.2的主对角形矩阵 P AP 中，主 c1 , c2 ,, cn 的一部分甚至全部可以 对角线上的元素
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9.1.1 二次型及矩阵
定义1 设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式
2 2 2 q ( x , x , , x ) a x a x a x 1 2 n 11 1 22 2 nn n （ 1）
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an1,n xn1 xn
3 0 A1 6 0 0 6 0 0 0 3 , 0 12 4 3 4 0
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0 1 P1 0 0
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
把 A1 的第一列乘以2加到第三列，第一行乘以 2加到第三行，同时把 P1 的第一列乘以2加到第三 列。分别得到：
c i 的个数等于A的秩，如 是零。显然，不为零的 果秩A等于r > 0，那么由定理的证明过程可以知
c1 , c2 ,, cr 0, 而cr 1 cr 2 cn 0
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给了数域 F 上一个n 阶对称矩阵A， 由定理 9.1.2的证明过程还可以看出，我们可以具体求出 一个可逆矩阵P，使 P AP 有对角形式，只要在对 A施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对 n阶单位矩阵 I 施行同样的列初等变换，那么当A 化为对角形式时，I 就化为P。
例1
设
0 3 0 0 0 3 6 0 A 0 6 12 4 3 0 4 0
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我们按定理9.1.2所给出的方法对A施行行和列 初等变换，将A变成 P AP ，使得 P AP是一个对 角形矩阵。同时对单位矩阵 I 4 ，施行同样的初等 变换而得出P。 交换A第一列和第二列，第一行和第二行，同 时交换 I 4 的第一列和第二列。这时A和 I 4 分别化 为：
叫做F上的一个n 元二次型。 F 上n 元多项式总可以看成 F 上的n 个变量的函 数，二次型（1）定义了一个函数 q : F n F . 所 以n 元二次型也叫n 个变量的二次型. 在（1）中令 aij a ji (1 i , j n) . 因为 xi x j x j xi , 所以（1）式可以写成以下形式：
c1 P AP 0 c2 0 cn
即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合 同。
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证 我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定 理。回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵 Pi j , Di ( k )和Tij ( k )容易看出，
将（5）代入（3）就得到
矩阵P称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇异 的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为A是 对称矩阵，所以 ( PAP ) PAP PAP. PAP 也是对称矩阵。
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定理9.1.1 设 aij xi x j 是数域F上的一个以A为
n
n
3 0 A2 0 0 0 0 0 3 , 0 0 4 3 4 0 0 0 0 1 P2 0 0 1 0 0 0 2 0 0 1 0 0 0 1
把 A2 的第四列加到第二列，第四行加到第二 行，同时把 P2 和第四列加到第二列，得
① 自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为IAI=A ② 对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同，因为 由 P AP B 可以得出
( P 1 ) BP 1 ( P ) 1BP 1 A
③ 传递性：如果 B 与 A 合同，C 与 B 合同，那 么C 与 A 合同。
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0 0 3 0 0 6 4 3 A3 , 0 4 0 4 0 3 4 0
0 1 P3 0 0
1 0 0 0 2 0 0 1 0 1 0 1
以 2/3 和 －1 /2 乘 A3 的第二列依次回到第三 列和第四列上, 再以 2/3 和－1 /2 乘第二行依次加 到第三行和第四行上，同时对 P3 的列施行同样的 初等变换。得 1 0 0 1 2 3 0 0 3 2 0 1 0 2 0 0 6 0 A4 , P4 8 0 0 3 2 0 0 1 0 0 0 2 3 0 1 2 1 2 3 2
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这相当于用 T源自文库 j (
a1 j a11
) 右乘A，用
T j1 (
a1 j a11
) T1 j (
a1 j a11
)
左乘A。这样，总可以选取初等矩阵 E1 , E2 ,, E s , 使得 a11 0 0 0 E s E 2 E1 AE1 E 2 E s A1 0 这里 A1 是一个n – 1阶的对称矩阵。
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（ 5）
x1 x2 x n
y1 y2 P y n
y1 y2 （6） q( y1 , y2 , , yn ) ( y1 , y2 , , yn ) P AP y n
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最后，以 －3/4 乘 A4的第三列加到第四列上, 再以－3/4 乘第三行加到第四行上，并且对 p4 的 列施行同样的初等变换，我们得到
3 0 A5 0 0 0 6 0 0 0 0 , 0 0 0 1 P5 0 0
矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以P为矩 阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是 P AP 。
推论9.1.2 一个二次型的秩在变量的非奇异线性变 换之下保持不变。
i 1 j 1
注意: 如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论 9.1.2不成立
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9.1.3 矩阵的合同
定义2 设A，B是数域F上的两个n 阶矩阵。如果存 在F上的一个非异矩阵P，使得 P AP B 那么称B与A合同。 矩阵的合同关系的性质：