03第三章 误差的合成与分配x
第三章 误差的合成和分配
大纲要求
掌握函数误差的定义。 掌握随机误差的合成、系统误差的合成、
系统误差与随机误差的合成方法。 掌握误差分配的方法。 掌握微小误差取舍准则 理解最佳测量方案的确定。
3-5
第一节 函数误差
一、函数(已定）系统误差计算 二、函数随机误差计算 三、误差间的相关关系及相关系数 (correlation coefficient)
上式成立条件： 1、各个测量值的随机误差为正态分布时 2、 lim x i 取相同的置信概率来估算 3、 lim y具有相同的置信概率。 4、相互独立。
3-18
三角形式的函数随机误差公式
1） 正弦函数形式为:
s i n fx 1 ,x 2 , ,x n
函数随机误差公式为： c1o s x f1 2x 2 1 x f2 2x 22 x fn 2x 2n
尺寸轴工件的直
指通过直接测量与被测量有函数 关系的量，通过函数关系求得被测 量值的测量方法。
径，因量程不够， 采用测量弦长与 矢高的方法，间 接得到工件直径
3-2
基本概念
间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故 称这种误差为函数误差(function error).
研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递 问题(Propagation of Error)。
3-13
函数标准差计算
y 2( x f1)2 x 2 1 ( x f2)2 x 2 2 ( x fn)2 x 2n 2 1 in j x fi x fjm N 1xiN m xjm
3-12
二、函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的指
第3章误差的合成与分配
2 x2
...xfn
2 xn
令 f /xi ai，则上式可写成
ya 1 2
x 1 2 a 2 2
x2 2 .. .a n 2
2 xn
各测量值随机误差间互不相关的情况较为常见，且当各相关
系数很小时，也可近似地作不相关处理，因此上两式是较为常
用的函数随机误差公式。
第20页，本讲稿共85页
当各个测量值的随机误差为正态分布时，上式中的 标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式为
值为
0 2 5 9 9 5 2 2 3 2 5 9 9 2 9
第13页，本讲稿共85页
二、函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的 ，对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评 定的。因此，函数随机误差计算，就是研究函数y的标准
差与各测量值x1,x2,…,xn的标准差之间的关系。前面讲到 的公式
若三角函数为
则三角函数的系统误差s为in f(x1,x2,..xn .),
在角 度s测i量n 中 ， x f1 需 要x 1 求 得 x f的2 误x 差2 不.是. 三. x 角fn函 x 数n误差，而是
所求角度的误差，因此必须进一步求解。
第6页，本讲稿共85页
对正弦函数微分得
d sin cosd d d sin
n
2
f
1ijxi
f xj
xi1xj1
y22
xf1
2
x122
xf2
2
x222
...xfn
2xn22n2 Nhomakorabeaf
1ijxi
f xj
xi2xj2
yN2
xf1
2x1N2
误差理论与数据处理 第三章 误差的合成与分配考试重点
1、函数系统误差计算y=f（x1，x2，...，xn）dy=（of/ox1）dx1+（of/ox2）dx2+...+（of/oxn）dxnAy=（of/ox1）Ax1+（of/ox2）Ax2+...+（of/oxn）Axn例如：线性公式y=a1x1+a2x2+...+anxn系统误差Ay=a1Ax1+a2Ax2+...+anAxn当ai=1时，则有Ay=Ax1+Ax2+...+Axn2、弓高弦长法D=(s*s)/(4*h)+hDo=(s*s)/(4*h)+hAD=（of/osAs+of/ohAh）D=Do-AD3、o=根号下（aioi）*（aioi）+2pijaiajoioj各个误差互不相关pij=0各个误差互相影响pij=14、未定系统误差的特征（1）未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而不具有抵偿性，利用多次重复测量取算术平均值的办法不能减小它对测量结果的影响。
（2）当测量条件改变时，由于未定系统误差的取值在某一极限范围内具有随机性，并且服从一定的概率分布。
5、误差分配根据给定测量总误差的允差来选择测量方案，合理进行误差分配，确定各单项误差，以保证测量精度。
6、微小误差的取舍准则被舍去的误差必须小于或等于测量结果总标准差的1/3~1/107、最佳测量方案的确定选择最佳函数误差公式使误差传递系数等于零或为最小计算题为求长方体的体积V，直接测量其各边长为a=161.6m b=44.5mm c=11.2mm。
已知测量的系统误差Aa=1.2mm Ab=-0.8mm Ac0.5mm 测量的极限误差为ga=+-0.8mm gb=+-0.5mm gc=+-0.5mm，试求立方体的体积及其体积的极限误差。
解：V=abc V=f（a，b，c）V o=abc体积V系统误差A V=Aabc+aAbc+abAc立方体体积实际大小V=V o-AV极限误差glimv=+-根号下[(of/oa)平方*ga平方+(of/ob)平方*gb平方+(of/oc)平方*gc平方]测量体积最后结果表示为V=V o-A V+glimv=（77795.70+-3729.11）mm立方测量某电路的电流I=22.5mA，电压U=12.6V，测量的标准差分别为Oi=0.5mA，Ou=0.1V，求所耗功率P=UI及其标准差Op。
第三章 误差的合成与分解
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工
人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知， 弓高的系统误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。 试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。 已知： h 0.005mm ， l 0.01mm 【解】
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 50 50.1 0.1mm
l 500 499 1mm
l2 5002 f 2 1 1 24 2 h 4h 4 50 f l 500 5 l 2h 2 50
sin f x1 , x2 ,..., xn cos f x1 , x2 ,..., xn
西华大学物理与化学学院 物理实验中心 谌晓洪
第三章 误差的合成与分配 第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大
工件直径。如图所示，车间工人用 一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦 长 s = 500mm。已知，弓高的系统 误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误 差 h = -1mm 。试问车间工人测量 该工件直径的系统误差，并求修正 后的测量结果。 【解】
cos f x1, x2 ,, xn
f 2 f 2 f 2 x1 x2 x x x xn 1 2 n
2 2 2
函数随机误差公式为： 1 sin
2 2 2
或 令 则
f ai xi
f f f 2 y x12 x 22 xn x1 x2 xn
误差理论第三章误差合成与分配
(二）相关系数 若两误差ξ 与η 之间的相关系数为: kξη Dξη
两误差 间的协 方差
ρ=
其取值范围-1 ≤ ρ ≤ +1 的取值也增大。
σ ξση
=
σ ξ ση
两误差 的标准 差
当0 < ρ < +1时，ξ 与η是正相关，即一误差增大时，另一误差 当-1 < ρ < 0时，ξ 与η是负相关，即一误差增大时，另一误差 的取值减少。 当ρ = 1时，为完全正相关；当ρ = −1时，为完全负相关，ξ 与η 之间存在确定线性函数关系。 当ρ = 0时，ξ 与η 之间不相关，即一误差增大时，另一误差可 能增大，也可能减少，但并不表示它们之间不存在其他的函数 关系。
2 2
2
将上式两边同时除以N，则有：
n ∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 ∂f ∂f 2 σy = σ x1 + σ x2 + L + σ xn + 2 ∑ ∂x1 ∂x2 ∂xn 1<i < j ∂xi ∂x j 2 2 2
∑δ x
一、函数系统误差计算
间接测量时，函数形式为：y =f ( x1 , x2 ,L , xn ) , 其中，x1，x2， ，xn为直接测量值；y为间接测量值。 L 由高数知，其增量可由微分来表示，即： ∂f ∂f ∂f dy = dx1 + dx2 + L + dxn ∂x1 ∂x2 ∂xn 由于直接测得值的系统误差∆x1，∆x2， ，∆xn皆较小，可用来 L 代替上式中的dxi。
同理可用极限误差来代替上式中的各σ ϕ 和σ xi ,即得到以极限误差来 表示的角度误差。
用弓高弦长法间接测量大直径。见书P61 例3.3 用弓高弦长法间接测量大直径。见书 用双圆球法检定高精度内锥角。见书P61 例3.4 用双圆球法检定高精度内锥角。见书
chapter3 课后答案
m
− Δ)
0 0 0.25 0 0.50
2
0.25
Δ=
∑ Δ i +15 = = +3.0 μm n 5
2
σΔ =
∑ ( Δi − Δ )
n −1
=
0.50 μm＝0.35 μm 5 −1
Δ lim Δ = ±
因此高度差的测量结果为
3σ Δ 3 × 0.35 =± μm≈±0.47 μm 5 n
Δ = Δ ± Δ lim Δ ＝3.00±0.47 μm
1 2 2 f 2 ) σ 1 + ( 12 )2 σ 2 f2 f2
1 2 19.8 ) (0.2)2 cm 2 + ( 2 )2 (0.005)2 cm 2 0.8 0.8
2
=0.086 cm
D = f1 / f 2 =
测量结果为 例3
19.8 = 24.75 0.8
D0 =D+σ D = 24.75 ± 0.29
L=[100 + (−0.005) ± 0.002]mm
= 99.995 ± 0.002 mm
量块的组合尺寸
课
H 2 = [(1.01− 0.0002) ± 0.0005]mm
H 3 = [(1.007 − 0.0002) ± 0.0005]mm
因此，该量块组修正后的尺寸有极限误差为
w.
表所示（单位 μm） 。
答
（3）计算被测锥角的实际值
课
H 5.0176 ＝ ≈0.050179 L 99.995
( +0.003) (′′) ≈ 12.4′′ Δ (′′) ＝ 2.06 × 105 l 50
＝ 2 52′34.5′′ + 12.4′′ ≈ 2 52′47′′
第三章 误差的合成与分配 (全)
5
对于 cot f ( x1, x2 ,..., xn ) ，角度系统误差为：
sin 2
n
P56-57：例3-1；3-2
i 1
二. 函数随机误差计算
随机误差 取值的分散程度 标准差
函数的随机误差
..., xn 的标准差之间的关系。
取值的分散程度 标准差 函数随机误差计算：就是研究函数y 的标准差与各测量值 x1 , x2 , 以各测量值的随机误差δx1, δx2, …….. Δxn
2
2
f f 2 2 2 2 2 2 ( x x ... x ) ... ( xn1 xn 2 ... xnN ) 21 22 2N x2 xn
2
n
1i j
(
m1
N
f f xim x jm ) xi x j
第一节 函数误差
间接测量：通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其
它量，按照已知的函数关系式计算出被测量。
间接测量误差是各直接测量值误差的函数，即函数误差。
研究函数误差的实质就是研究误差的传递性的问题。
对于这种有确定关系的误差的计算称为误差合成。
2
一. 函数系统误差的计算 在间接测量中，函数主要为多元初等函数，其表达式为：
10
那么，三角函数的标准差公式？ 假设三角函数的标准差为 ，各测量值的标准差为 x1 , x2 ,... xn ,
可得相应的角度标准差公式。 （1）对于 sin f ( x1, x2 ,..., xn ), 有：
f 2 f 2 f 2 1 xn x1 x2 ... cos x1 x2 xn
第3章误差的合成与分解3-1相对测量时需用54255mm的量块组做
第3章 误差的合成与分解3-1 相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件，量块组由4块量块研合而成，它们的基本尺寸为：140l mm =，140l mm =，212l mm =，3 1.25l mm =，4 1.005l mm =。
经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分10.7l m μ∆=-，20.5l m μ∆=+，30.3l m μ∆=-，40.1l m μ∆=+；lim 10.35l m δμ=±，lim 20.25l m δμ=±，lim 30.20l m δμ=±，lim 40.20l m δμ=±。
试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差。
【解】量块组的关系为：1234L l l l l =+++，显然本题是一个关于函数系统误差和函数随机误差的计算问题。
已知个组成块的尺寸偏差（属系统误差），则可计算量块组的系统误差。
12340.70.50.30.10.4L l l l l m μ∆=∆+∆+∆+∆=-+-+=-所以，量块组按基本尺寸使用时的修正值E 为：(0.4)0.4E L m μ=-∆=--= 量块组按基本尺寸使用时的测量误差（系统极限误差）为：lim 0.515L m δμ===±3-2 为求长方体体积V ，直接测量其各边长为：161.6a mm =，44.5b mm =，11.2c mm =，已知测量的系统误差为 1.2a mm ∆=，0.8b mm ∆=-，0.5c mm ∆=，测量的极限误差为0.8a mm δ=±，0.5b mm δ=±，0.5c mm δ=±，试求立方体的体积及其体积的极限误差。
【解】立方体体积： V=abc ，若不考虑测得值的系统误差，则计算体积为：0161.644.511.280541.44V abc mm ==⨯⨯=体积V 的系统误差为：31.20.80.5161.644.511.2[]80541.44()2745.744()V V V a b ca b c a b c V a b c abc mm ∂∂∂∆∆∆∂∂∂-∆=∆+∆+∆=++=++=考虑测量系统误差后的立方体体积：3077795.69677795.70()V V V mm =-∆=≈ 又直接测量值存在极限误差，则间接测量体积存在的极限误差为：lim 33729.1()V mm δ=====±故测量结果为：3lim 77795.703729.1()V V mm δ±=±3-3 长方体的边长分别为1a 、2a 、3a ，测量时：①标准差均为σ；②标准差各为1σ、2σ、3σ。
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第一节 函数误差
可判断 ij 1 或 ij 1 的情形
断定 xi 与 x j 两分量间近似呈现正的线性关系或负的 线性关系 当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或 减小，反之亦然 则各米分量间完全正相关 2、试样观察法和简略计算法 （1） 观察法
xi 与 x j 属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺，
f xi (i 1, 2,, n) 为各个输入量在该测量点 处的误差传播系数 ( x1 , x2 ,, xn )
பைடு நூலகம்
xi 和y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误 差放大或缩小的作用
xi 和 y的量纲或单位不相同，则 f xi 起到 误差单位换算的作用
第一节 函数误差
3） 正切函数形式为:
tan f x1, x2 ,, xn
2 2 2
f 2 f 2 f 2 x1 x2 cos 2 函数随机误差公式为： x x x xn 1 2 n
l 500 499 1mm
l2 5002 f 2 1 1 24 2 h 4h 4 50 f l 500 5 l 2h 2 50
误差传递系数为:
直径的系统误差:
D
f f l h 7.4mm l h
工件直径。如图所示，车间工人用 一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦 长 l = 500mm。已知，弓高的系统 误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误 差 h = -1mm 。试问车间工人测量 该工件直径的系统误差，并求修正 后的测量结果。 【解】
h l D 2
建立间接测量大工件直径的函数模型 l2 D h 4h 不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 50mm l 500mm 处的直径测量值 l2
几种简单函数的系统误差
1、线性函数 系统误差公式
y a1 x1 a2 x2 ... an xn
y a1x1 a2 x2 ... an xn
当 ai 1 y x1 x2 ... xn 当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个 测量值系统误差之和 2、三角函数形式
2 2 2
或 令 则
f ai xi
f f f 2 y x12 x 22 xn x1 x2 xn
y a12 x12 a22 x 22 an 2 xn 2
第一节 函数误差
（2） 简单计算法
n1 n3 cos n
n2 n1 n4
其中， n n1 n2 n3 n4 （3） 直接计算法
n3 0
根据 ( xi , x j ) 的多组测量的对应值 统计公式计算相关系数
( xi , x j )
D0 4h h 1300mm
R² -（1/2弦长）² =直角长边² R-直角长边=矢高h
R² -（1/2弦长）² =(R-h)² =R² -2Rh+h² 即： 2
l D h 4h
第一节 函数误差
计算结果：
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 50 50.1 0.1mm
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用 极限误差代替，可得函数的极限误差公式
2 y a12 x21 a22 x22 an 2 xn
xi 第i个直接测得量 xi 的极限误差
第一节 函数误差 三角形式的函数随机误差公式 三角函数标准差计算
1） 正弦函数形式为:
D
2
f 2 2 f 2 2 ( ) l ( ) h l h 52 0.012 242 0.0052 169 104 mm
有
D 0.13mm
D D0 D 1292.6mm
修正后的测量结果
D 0.13mm
第一节 函数误差
2、 相关系数估计
差的影响 当相关系数 ij 0 时
y a12 x12 a22 x 22 an 2 xn 2
当相关系数 ij 1 时
y a1 x1 a2 x 2 an xn
函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的传 播关系
第一节 函数误差
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示，车间工
人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长 s = 500mm。已知， 弓高的系统误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误差 h = -1mm 。 试求测量该工件直径的标准差，并求修正后的测量结果。 已知： h 0.005mm ， l 0.01mm 【解】
n f f f f f 2 2 2 D xn 2 x1 x2 x x ij 1i j x1 x2 i j xn 2 2 2
n f f f f f 2 2 2 xn 2 x1 x2 x x ij xi xj 1i j x1 x2 i j xn 2 2 2
第3章
误差的合成与分配
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基 本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量 方案的确定等问题 。通过本章的学习，读者 应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以 及误差的合成和分配。
教学重点和难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合 成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
可得： y y f ( x1 , x2 ,..., xn ) 得到
f f f x1 x2 xn x1 x2 xn
f f f y x1 x2 xn x1 x2 xn
第一节 函数误差
函数标准差计算
y2
x
k
ik
, x jk ，按如下
(x
k ik
ik
xi )( x jk x j )
(x
k
xi ) 2 ( x jk x j ) 2
xi 、x j
x 分别为 xik 、 jk 的算术平均值
（4） 理论计算法
第二节 随机误差的合成
任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量 过程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成 就是在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确 地表述这些误差的综合影响。 解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成 的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差 之间的相关性影响 随机误差的合成形式包括：
4） 余弦函数形式为:
cot f x1, x2 ,, xn
2 2 2
2 2 2 函数随机误差公式为： sin 2 f x1 f x 2 f xn x x x 1 2 n
相关系数对函数误差的影响
函数随机误差公式
n f f f f f 2 2 2 2 y x1 xn 2 x2 x x ij xi xj 1i j x1 x2 i j xn ij 反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总误 2 2 2
sin f x1, x2 ,, xn
f 2 f 2 f 2 x1 x2 x x x xn 1 2 n
2 2 2
函数随机误差公式为： 1 cos 2） 余弦函数形式为:
1 n f x xi cos i 1 i n 1 f x xi sin i 1 i
sin f x1 , x2 ,..., xn cos f x1 , x2 ,..., xn
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大
或 y
2
xi 第i个直接测得量 xi 的标准差 ij 第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
Dij ij xi xj 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差
f x 第i个直接测得量 xi 对间接量 y在该测量点 ( x1 , x2 ,, xn ) i
处的误差传播系数
故修正后的测量结果:
D D0 D 1300 7.4 1292.6mm
第一节 函数误差
二、函数随机误差计算
数学模型
函数的一般形式
y f ( x1 , x2 ,..., xn )
变量中只有随机误差 即： y y f ( x1 x1 , x2 x2 ,, xn xn ) 泰勒展开，并取其一阶项作为近似值
cos f x1, x2 ,, xn
f 2 f 2 f 2 x1 x2 x x x xn 1 2 n
2 2 2
函数随机误差公式为： 1 sin
第一节 函数误差
相互独立的函数标准差计算
若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 Dij ij 0 2 2 2
y2
f f f 2 x12 x 22 xn x1 x2 xn
相关系数的确定
1、直接判断法
可判断 ij 0 的情形
断定
xi 与 x j 两分量之间没有相互依赖关系的影响
当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替 变化，反之亦然