【附加15套高考模拟试卷】安徽省江南十校2020届高三冲刺联考(二模)数学(理)试卷含答案
安徽省江南十校2020届高三数学冲刺联考二模试题文
2020年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）文科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{|4}xA y y e ==-+，{|lg[(2)(3)]}B x y x x ==+-，则下列关系正确的是（ ） A ．A B ⊆ B ．AB =∅C ．R R C A C B ⊆D ．R C B A ⊆2.若复数(23)z i i =--（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是（ ）A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+3.已知向量a 与b b -也是单位向量，则向量a 与b 的夹角为（ ） A ．45 B ．60 C ．90 D ．1354.已知0.44a =，0.612b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，12log c =-，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．b c a << 5.下列命题中，真命题的个数是（ ）①已知直线1l ：(1)20mx m y +++=，2l ：(1)(4)30m x m y ++++=，则“2m =-”是“12l l ⊥”的充要条件；②“若22am bm <，则a b <”的逆否命题为真命题；③命题“若220a b +=，则0a b ==”的否命题是“若220a b +≠，则a ，b 至少有一个不等于0”；④命题p ：[1,)x ∀∈+∞，ln 0x >，则p ⌝：0[1,)x ∃∈+∞，0ln 0x <. A ．0 B ．1 C ．2 D ．36.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，22017OA a OB a OC =+且AB d BC =，则2018S （ ）A ．0B ．1009C ．2017D ．20187.已知实数x ，y 满足24010ln 0x y y y x --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则1x y z x ++=的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48.已知实数[0,4]m ∈，则函数21()ln 2f x m x x x=-+在定义域内单调递减的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．34 D ．589.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．60 10.已知1F ，2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则1213e e +的最大值为（ ） A ．223B ．233C ．23D ．2211.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．18-B ．18 C ．116- D ．11612.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A 是B 和C 的等差中项，0AB BC ⋅>，a =ABC ∆周长的取值范围是（ ）A ．2322⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭ B ．32⎫+⎪⎪⎭C ．⎝⎭D ．⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置） 13.下表提供了某学生做题数量x （道）与做题时间y （分钟）的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.7y x =+，则表中t 的值等于 ．14.已知双曲线C ：221916x y -=的左右焦点为1F 、2F ，过焦点且与渐近线平行的直线与双曲线相交于点M ，则12MF F ∆的面积为 ．15.已知O 为坐标原点，动点P 满足3OP =，M 、N ，则OM ON OP ++的最小值为 ．16.已知函数()f x 的定义域是R ，21,(0)()9ln(2),(0)x mx x f x x x π⎧-++≤=⎨++>⎩（m 为小于0的常数），设12x x <且12'()'()f x f x =，若21x x -的最小值大于6，则m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17.已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且满足2*3()n n a S n n n N +=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2111n n n c a S =+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：5362n T ≤<. 18.距离2018年全国普通高等学校统一招生考试已不足一个月，相信考生们都已经做了充分的准备，进行最后的冲刺.高考的成绩不仅需要平时的积累，还与考试时的状态有关系.为了了解考试时学生的紧张程度，对某校500名学生进行了考前焦虑的调查，结果如下：男女总计正常 30 40 70 焦虑 270 160 430 总计300200500（1）根据该校调查数据，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“该学校学生的考前焦虑情况”与“性别”有关？（2）若从考前正常的学生中按性别用分层抽样的方法抽取7人，再从被抽取的7人中随机抽取2人，求这两人中有女生的概率.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.20()P K k ≥0.258 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k1.3232.0722.7063.8415.0246.63519.如图，三棱锥D ABC -中，2AB =，2AC BC ==，ADB ∆是等边三角形且以AB 为轴转动.（1）求证：AB CD ⊥；（2）当三棱锥D ABC -体积最大时，求它的表面积.20.如图所示，已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，M 是抛物线上第一象限的点，直线l 与抛物线相切于点M .（1）过M 作HM 垂直于抛物线的准线于点H ，连接MF ，求证：直线l 平分HMF ∠； （2）若1p =，过点M 且与l 垂直的直线交抛物线于另一点Q ，分别交x 轴、y 轴于A 、B两点，求AB ABAM AQ+的取值范围. 21.已知函数ln ()a xf x x+=，()g x mx =. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a =时，()()f x g x ≤恒成立，求实数m 的取值范围；（3）当1a =时，求证：当1x >时，11(1)()21x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为1sin 32πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为244x my m =⎧⎨=⎩（m 为参数）. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）已知点3,2)P -，直线l 和曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅. 23.选修4-5：不等式选讲设对于任意实数x ，不等式53x x m ++-≥恒成立. （1）求m 的取值范围；（2）当m 取最大值时，解关于x 的不等式324x x m --≤-.2020年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）文科数学参考答案一、选择题1-5: CDACC 6-10: BBCAD 11、12：BB 二、填空题13. 6 14. 32315. 3 16. (16)-∞ 三、解答题17.解：（1）23n n a S n n +=+，当1n =时，11142a S a +=⇒=， 当2n =时，2122104a a a a ++=⇒=， 又∵{}n a 是等差数列，∴212d a a =-=，∴2(1)22n a n n =+-⨯=； （2）2211111(21)(21)n n n c a S n n n n =+=+-+-+11111221211n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭. ∴n T =111111123352121n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪-+⎝⎭1111112231n n ⎛⎫+-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭111112211n n ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭31122(21)1n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭. 当*n N ∈且n 逐渐增大时，n T 增大. ∴5362n T ≤<. 18.解：（1）假设该学校学生的考前焦虑与性别无关22500(3016027040)43070300200K ⨯-⨯=⨯⨯⨯30009.967 6.635301=≈>，∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下，该学校学生的考前焦虑情况与性别有关； （2）男生、女生分别抽取3人，4人.记为1A ，2A ，3A ，1B ，2B ，3B ，4B .基本事件为：12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，23A A ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，31A B ，32A B ，33A B ，34A B ，12B B ，13B B ，14B B ，23B B ，24B B ，34B B .满足条件的有：11A B ，12A B ，13A B ，14A B ，21A B ，22A B ，23A B ，24A B ，31A B ，32A B ，33A B ，34A B ，12B B ，13B B ，14B B ，23B B ，24B B ，34B B .∴186217m P n ===. 19.（1）证明：取AB 的中点H ，连接DH ，CH ，AC BC AB CHADB AB DH CH DH H⎫==⊥⎪∆⇒⊥⎬⎪=⎭是等边三角形AB CDH AB CD CD CDH ⊥⎫⇒⇒⊥⎬⊂⎭平面平面；（2）解：111333ABC hV S h h ∆=⨯⨯=⨯⨯=，∴若V 最大，则h 最大. ∴平面ADB ⊥平面ABC .此时ABC ADB ACD BCD S S S S S ∆∆∆∆=+++表1=+20.（1）证明：设2(2,2)(0)M pt pt t >则,22p H pt ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线HF 的斜率122pt k t p ==--，由22(0)y px p =>得y =， ∴直线l的斜率212k t==， ∴121(2)12k k t t⋅=-⋅=-，∴l HF ⊥. 又由抛物线定义MF MH =，∴l 平分HMF ∠； （2）解：当1p =时，2(2,2)M t t ，AB 的方程：222(2)y t t x t -=--，∴2(12,0)A t +，3(0,24)B t t +.∴3224212B M AB y t t t AM y t+===+，由2222(2)2y t t x t y x⎧-=--⎪⎨=⎪⎩23420ty y t t ⇒+--=， ∴1122Q Q t y y t t t+=-⇒=--，∴342242421212B Q ABy t t t t AQ y t t t++===-++， ∴4222422121AB AB t t t AM AQ t ++=+++22222141(1,)t t t =++=+∈+∞. 21.（1）解：ln ()a xf x x+=的定义域为(0,)+∞， 且221(ln )1ln '()a x x af x x x -+--==. 由'()01ln 0f x x a >⇒-->1ln 10ax a x e -⇒<-⇒<<，∴()f x 在1(0,)ae-单调递增，在1(,)a e -+∞单调递减；（2）解：0a =，ln ()xf x x=， ∴ln ()()x f x g x x ≤⇔2ln xmx m x≤⇔≥， 令2ln ()x u x x =，∴312ln '()xu x x-=，由'()00u x x >⇒<<∴()u x在单调递增，在)+∞单调递减，∴max ln 1()2u x u e e ===，∴12m e ≥； （3）证明：11(1)()21x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于11(1)(ln 1)211x x x x e e x xe -++⋅>++. 令(1)(ln 1)()x x p x x ++=，则2ln '()x xp x x -=，令()ln x x x ϕ=-则11'()1x x x xϕ-=-=，∵1x >，∴'()0x ϕ>，∴()x ϕ在(1,)+∞单调递增，()(1)10x ϕϕ>=>，'()0p x >，∴()p x 在(1,)+∞单调递增，∴()(1)2p x p >=，∴()211p x e e >++， 令12()1x x e h x xe -=+，则122(1)'()(1)x x x e e h x xe --=+，∵1x >，∴10xe -<，∴'()0h x <，()h x 在(1,)+∞单调递减， ∴当1x >时，2()(1)1h x h e <=+， ∴()2()11p x h x e e >>++，即11(1)()21x x x f x e e ⎛⎫⎛⎫++>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.22.解：（1）l10y +-=，C 的普通方程：24x y =；（2）2)P -在l 上，l的参数方程为1222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），将l 的参数方程代入C得：21422t ⎛⎫⎫=⨯-+ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭，即2440t -+=， ∴1244t t =，∴1244PA PB t t ==.23.解：（1）设()53f x x x =++-，则有22,5()8,5322,3x x f x x x x --<-⎧⎪=-<<⎨⎪+>⎩，根据函数的单调性有8m ≤.即m 的取值范围(,8]-∞；（2）当8m =时，324x x --≤，∴324x x -≤+， 当3x ≥时，原不等式324x x -≤+，7x ≥-，∴3x ≥； 当3x <时，原不等式324x x -≤+，13x ≥-，∴133x -≤<， ∴原不等式解集为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.。
安徽省江淮十校2020届高三第二次联考(11月)理科数学试题(含解析)
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安徽省江淮十校 2020 届高三第二次联考（11 月）理科数学
一、选择题（每小题 5 分,共 60 分）
1. 若全集������ = ������,集合������ = {������ ∈ ������|������2 < 16},������ = {������|������ − 1 ⩽ 0},则������ ∩ (������������������) = ( )
1
A.
2【答案】AB源自 √33C.−
1 2
D.
−
√3 3
【解析】由题意,|���⃗���| = √3 + 1 = 2,|������| = 1, 设2������ − ���⃗���与2������的夹角为������,则������������������������ = |(22���⃗⃗���⃗���⃗���−−���⃗⃗���⃗���⃗���|)|∙22���⃗⃗���⃗���⃗���|,而(2������ −
C. 若命题������,¬������均为假命题,则命题¬������ ∧ ������为真命题 D.
若������(������)是定义在������上的函数,则“������(0) = 0”是“������(������)是奇函数”的必要不充分条件
【答案】B
【解析】当������ ∈ (0, + ∞)时,函数������ = ( 23)������为减函数,∴( 23)������ < ( 23)0 = 1(������ > 0),即2������ < 3������, 故命题“∀������
{2,3}.
2. 下列说法错误的是( )
A. 命题“若������2 − 4������ + 3 = 0,则������ = 3”的逆否命题为“若������ ≠ 3,则������2 − 4������ + 3 ≠ 0” B. 命题“∀������ ∈ (0,
2020届安徽省江淮十校高三第二次联考(11月)数学(理)试题(解析版)
2020届安徽省江淮十校高三第二次联考（11月）数学（理）试题一、单选题1．若全集U =R ，集合2{|16}A x Z x =∈<，{|10}B x x =-≤，则()U A B ⋂=ð（ ） A ．{|14}x x <„ B ．{|14}x x <<C ．{1,2,3}D ．{2,3}【答案】D【解析】化简集合A ，再由交并补的定义，即可求解. 【详解】{|44}{3,2,1,0,1,2,3}A x x =∈-<<=---Z ， {|1}U B x x =>ð，(){2,3}U A B =I ð.故选:D 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2．下列说法错误的是（ ）A ．命题“若2430x x -+=，则3x =”的逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”B ．命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <”是假命题C ．若命题p 、q ⌝均为假命题，则命题p q ⌝∧为真命题D ．若()f x 是定义在R 上的函数，则“(0)0f =”是“()f x 是奇函数”的必要不允分条件 【答案】B【解析】选项A ：按照四个命题的关系，判断为正确；选项B ：转化为指数幂比较大小，不等式成立，故判断错误；选项C ：根据或且非的真假关系，判断为正确；选项D ：根据充分必要条件判断方法，为正确. 【详解】选项A: 命题“若2430x x -+=，则3x =”的 逆否命题为“若3x ≠，则2430x x -+≠”，故正确；选项B: (0,)x ∀∈+∞， 022()()13233x x x <==，而0,323x x x >∴<，命题“(0,)x ∀∈+∞，23x x <” 为真，判断错误；选项C: 若命题p 、q ⌝均为假命题， 则命题p ⌝、q 均为真命题， 故命题p q ⌝∧为真命题，判断正确； 选项D: ()f x 是定义在R 上的函数， 若“()f x 是奇函数”则“(0)0f =”正确； 而“(0)0f =”，()f x 不一定是奇函数， 如2()f x x =，选项D 判断正确. 故选:B 【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及到四种命题的关系，全称命题的真假判定，或且非复合命题的真假关系，以及充分必要条件的判断，属于基础题.3．已知函数()x x f x e e -=-（e 为自然对数的底数），若0.50.7a -=，0.5log 0.7b =，0.7log 5c =，则（ ）A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【答案】D【解析】先比较,,a b c 的大小关系，再根据()xx f x e e -=-单调性，比较函数值的大小，即可求解. 【详解】因为0.50.71a -=>，01b <<，0c <，∴a b c >> 又()f x 在R 上是单调递减函数，故()()()f a f b f c <<. 故选:D . 【点睛】本题考查了指数幂和对数值的大小关系，以及指数函数的单调性，属于中档题.4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，422S =，330n S =，4176n S -=，则n =（ ）A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】B【解析】根据等差数列的性质，求出1n a a +，再由前n 项和公式，即可求解. 【详解】∵123422a a a a +++=，4123154n n n n n n S S a a a a -----=+++= ∴14()176n a a +=，∴144n a a += ∴由1()2n n n a a S +=得443302n ⨯=，∴15n =. 故选:B . 【点睛】本题考查等差数列性质的灵活应用，以及等差数列的前n 项和公式，属于中档题. 5．函数2sin 2xy x =-的图象大致是 A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数22xy sinx =-的解析式，根据定义在R 上的奇函数图像关于原点对称可以排除A ，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个选项即可得到结果 【详解】当0x =时，0200y sin =-= 故函数图像过原点，排除A 又12cos 2y x =-'Q ，令0y '= 则可以有无数解，所以函数的极值点有很多个，故排除B D ，故函数在无穷域的单调区间呈周期性变化 结合四个选项，只有C 符合要求 故选C 【点睛】本题主要考查了由函数的表达式判断函数图像的大体形状，解决此类问题，主要从函数的定义域，值域，单调性以及奇偶性，极值等方面考虑，有时也用特殊值代入验证。
安徽省江淮十校2020届高三第二次联考(11月)数学(理)试题(解析版)
(a ln x 1)(1 ln x 1) 1 ，换元 t(x) ln x 1 ，得到 t2 (a 1)t a 1 0 ，转
∴由
Sn
n(a1 2
an )
得
n
44 2
330 ，∴ n
15 .
故选:B.
【点睛】
本题考查等差数列性质的灵活应用，以及等差数列的前 n 项和公式，属于中档题. 5．函数 y x 2sin x 的图象大致是
2
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据函数 y x 2sinx 的解析式，根据定义在 R 上的奇函数图像关于原点对 2
0 „
所以
2
4
„
2
或
4
…
2
2
4
„
3 2
或
4
…
3 2
2
4
„
7 4
所以
的取值范围是
0,
3 8
3 4
,
7 8
.
故选:C
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【点睛】 本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，属于中档题.
12．已知 f ( x) (ax ln x 1)( x ln x 1) 与 g(x) x2 的图像至少有三个不同的公共
3
5
D．
3
【答案】C
【解析】由已知条件结合余弦定理，可求出 BC 2 AC ， AB 2 ，建立坐标系求出点
C 所在的圆的方程，求出点 C 到 AB 距离的最大值，即可求出结论.
【详解】
依题意， sin A 2sin B ，得 BC 2AC ，
a cos B b cos A a2 c2 b2 b2 c2 a2 c 2
安徽省江南十校2020届高三第二次联考数学文试题
（2）设 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．
20．（12分）
已知函数 （ 为常数， ）．
（1）当 时，判断函数 的单调性；
（2）若函数 有两个极值点 ， ，且 求实数 的取值范围．
21．（12分）
如图1，在等腰梯形ABCD中， ， ，O是CD中点，将 沿AO折起，使平面 平面ABCO．如图2所示，E，F点分别是AB，CD上的点，且 ．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知i是虚数单位，则 （）
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ，则有（）
A． B．
C． D．
3．已知向量 ， ， ，若 ，则实数 （）
A． B． C． D．
则 ，即 ，
∵ ，∴ ．
14．32【解析】由 知等比数列 的公比 ，
则由题知 且 ，
则 ，求得 ， ，
则 ．
15． 【解析】如图，取 ，中点P，连接MP，NP，
由题知MN与BC所成的角即为MN与PN所成的角，
又正方体 的棱长为1，
则 ， ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 ，则 ，
且 ，
故MN与BC所成角的正弦值为 ．
17．（10分）
在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角A的大小；
（2）若 ， ，求 的面积．
18．（12分）已知点 ， ， ，点P为曲线C上任意一点，且满足 ．
（1）求曲线C的方程；
（2）若直线l过点M，求直线l被曲线C截得的最短弦长及此时直线l的方程．
安徽省江南十校2020届高三第二次联考数学理试题及参考答案
江南十校2020届高三第二次联考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}|exU y y ==，集合{|ln(1)0}A x x =-<，则UA =（ ）A.(,0][2,)-∞⋃+∞B.[2,)+∞C.(,1][2,)-∞⋃+∞D.(0,1][2,)⋃+∞2.函数136,0()2,0xx x f x x +<⎧=⎨⎩，若角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过(5,12)P -，则[(cos )]f f α=（ ） A.1 B.2 C.3 D.43.已知点(,)P x y 满足不等式3205050x y x y x -⎧⎪+-⎨⎪-⎩，点(,)Q x y是函数()f x =则两点P 、Q 之间距离的最小值为（ ）A.12-1C.4D.24.已知cos log sin log sin log 1,0,(cos ),(cos ),(sin )4b b b b x y z αααπαααα><<===，则x 、y 、z 的大小关系为（ ） A.x y z >> B.z x y >> C.z y x >> D.y z x >>5.如果关于实数θ的方程22sin 10x x θ--=有解，那么实数x 的取值范围是（ ） A.{|11}x x x -或 B.{|01}x x x >=-或 C.{|01}x x x <=或 D.{1,1}- 6.要得到函数y x =的图像，只需将函数sin 2cos2y x x =+的图像A.向左平移8π个单位 B.向右平移8π个单位 C.向左平移38π个单位 D.向右平移38π个单位7.在公差不为0的等差数列{}n a 中取三项2a 、4a 、8a ，这三个数恰好成等比数列，则此等比数列的公比为（ ） A.13 B.12C.2D.3 8.设m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同的平面.命题://p m n ，且p 是命题q 的必要条件，则q可以是（ ）A.//,//,//m n αβαβB.,,//m n αβαβ⊂⊂C.,,//m n αβαβ⊥⊥D.,//,//m n αβαβ⊂ 9.设函数()(0)xxf x e e x a x -=++->，若存在(0,1]b ∈使得[()]f f b b =成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.12,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦ B.12,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ C.1,e e e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ D.[2,)+∞10.长度为1的线段MN 的正视图、侧视图和俯视图的投影长分别为a 、b 、c ，则a b c ++的最大值为（ ）A.2B.22C.6D.311.如图所示，点P 为椭圆22143x y +=上任一点，1F 、2F 为其左右两焦点，12PF F △的内心为I ，则1212:IF F PF F S S =△△（ ）A.13 B.12 C.23 D.3412.偶函数()y f x =满足(2)(2)f x f x +=-，当[2,0]x ∈-时有()2xf x -=.若存在实数12n x x x 、、、满足120n x x x <<<，且()()()()()()12231299n n f x f x f x f x f x f x --+-++-=，则n x 的最小值为（ ）A.198B.199C.2198log 3+D.2199log 3-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置. 13.已知sin()2cos()παπα+=-，则2sin 2cos12αα⎛⎫-= ⎪⎝⎭___________. 14.已知三棱锥A BCD -所有顶点都在半径为2的球面上，AD ⊥面,90,2ABC BAC AD ︒∠==，则三棱锥A BCD -的体积最大值为___________.15.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若对任意1x 、2(,0)x ∈-∞且12x x ≠，都有()()112212x f x x f x x x -<-成立，则不等式()(1)(1)0xf x x f x -++<的解集为_____________.16.如图所示，1F 、2F 为椭圆的左右焦点，过2F 的直线交椭圆于B 、D 两点且222BF F D =，E 为线段1BF 上靠近1F 的四等分点.若对于线段1BF 上的任意点P ，都有11PF PD EF ED ⋅⋅成立，则椭圆的离心率为________.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） 已知函数()2sin(2),22f x x ππϕϕ=+-<<.（1）当3πϕ=时，求函数()()2sin2g x f x x =+的单调递增区间；（2）若函数()f x 满足66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求ϕ的值. 18.（本小题满分12分）如图在ABC △中，3BAC π∠=，满足3AD DB =.（1）若3B π∠=，求ACD ∠的余弦值；（2）点M 是线段CD 上一点，且满足12AM mAC AB =+，若ABC △的面积为23，求||AM 的最小值.19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和记为1,2n S a =且()*1(2)n n na n S n N +=+∈.（1）求数列{}n S 的前n 项和n T ； （2）数列{}n b 的通项公式(1)2nn nS b n =+证明1321121n b b b n -⋅<+.20.（本小题满分12分）已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，侧面PAD 与底面ABCD 所成的角为120°，PAD △是等边三角形，点P 到平面ABCD 距离为32.（1）证明：AD PB ⊥；（2）求二面角A PB C --的余弦值. 21.（本小题满分12分）如图，已知椭圆E 的右焦点为2(1,0)F ，P 、Q 为椭圆上的两个动点，2PQF △周长的最大值为8.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）记椭圆E 的左焦点为1F ，过2F 作直线l 与椭圆交于不同两点M 、N ，求1F MN △面积取最大值时的直线l 方程.22.（本小题满分12分）已知函数()xf x e x a =--，对于,()0x R f x ∀∈恒成立. （1）求实数a 的取值范围；（2）当实数a 取最大值时，函数211()()1sin 222g x f x x x x ⎛⎫=----⎪⎝⎭，当实数12x x ≠，若()()122g x g x +=，求证：120x x +<.绝密★启用前江南十校2020届高三第二次联考 数学（理科）试题参考答案一、选择题：1-5：DBABD 6-10：DCCC 11-12：AB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.答案25 14.答案：2 15.答案：1|2x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭ 16.3三、解答题：共70分. 17.（1）()2sin 22sin 223sin 236g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当222,262k x k k Z πππππ-+++∈时函数单递增，即()g x 的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）由66f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得()f x 图像关于6x π=对称故32k ππϕπ+=+.,6k k Z πϕπ=+∈.又22ππϕ-<<得6πϕ=.18.（1）由题意可设||DB a =，则||3AD a =.在ACD △中有：2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠ ① 在BCD △中有：2222cos BC DB CD DB CD BDC =+-⋅∠ ② ①+3·②sk 得2213CD a =，在ACD △中有：2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅∠，解得cos 26ACD ∠=或解：由题意可设ACD θ∠=， 在ACD △中：sin sin60AD CDθ︒= ① 在BCD △中：()sin60sin 60DB CDθ︒︒=- ②由①、②可得()3sin 60sin θθ︒-≤，解得tan θ=cos θ= （2）1223AM mAC AB mAC AD =+=+，且C 、M 、D 三点共线，所以13m = 7分13||||2322ABC S AB AC =⋅⋅=△，故||||8AB AC ⋅= 8分 222222111114116||43294339||AM AC AB AC AB AC AB AC AC ⎛⎫=+=++⋅=++ ⎪⎝⎭ 11分 当且仅当||23AC =时；所以min ||2AM = 12分19.（1）由1*(2),n n n n S n N α+=+∈可得()1(2)n n n n S S n S +-=+，即*12,1n n S S n N n n +=∈+，所以11221n n n S Sn -=⋅=，故2n n S n =⋅ 2分 12321222322n T n =⨯+⨯+⨯++⋅ ① 234121222322n n T n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②①-②得：1231122222n n n T n +-=⨯++++-⋅∴1(1)22n n T n +=-⋅+ 6分（2）2(1)2(1)21n n n n nS n nb n n n ⋅===++⋅+ 证法一：∵222221(21)(21)212(2)(2)121n n n n n n n n ----=<=-+ ∴1321132113211242352121n n n b b b n n n ---⋅=⨯⨯⨯<⨯⨯⋅⋅⋅=++证法二（参照给分）：∵1111122nn nn n nn n n n n n +=<=++++++ ∴1321132113211242352121n n n b b b n n n ---⋅=⨯⨯⨯<⋅=++.证法三（参照给分）：数学归纳法略. 20.（1）取AD 中点E ，则由已知得BE AD AD PE AD ⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭平面PBE AD PB ⇒⊥ 4分（2）AD PBE AD ABCD ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面平面平面ABCD ⊥平面PBE ，又平面PBE ⋂平面ABCD BE =.过P 作PO BE ⊥交BE 的延长线于O ，则PO ⊥面ABCD ，由题可得到60PEO ︒∠= 建立如图所示直角坐标系，设PB 的中点为G ，则3330,0,,,2P B PB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭中点3334G ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 连接33333,,,1,4AG A C GA ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3330,,,(2,0,0)22PB BG ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 于是0,0GA PB BC PB ⋅=⋅= 10分CA 与BC 的夹角θ为所求二面角的平面角，则27cos 7||||GA BC GA BC θ⋅==- 12分21.（1）取左焦点1(1,0)F -，2PQF △的周长为：2212||22||PF QF PQ a PF a PF PQ ++=-+-+()124||a PF PF PQ =-+-4a （三点P 、Q 、1F 共线时取等号），由48,2a a ==，椭圆E 的方程：22143x y +=（2）可设直线:1l x my =+221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221212226934690,,3434m m y my y y y y m m --++-=+==++ 7分 ()12212121212211214234MF Nm S F F y y y y y y m +=-=+-=+△ 令21(1),31t m t x t t=+=+在[1,)+∞单调递增，11233S t t=+，1F MN S △最大值为3，此时0m =，所以直线的方程为1x =. 12分22.（1）0x e x a --恒成立，x a e x -恒成立，令()(),()1,0,()0,x x h x e x h x e x h x h x ''=-=->>单调递增，x 0,()0,()x h x h x '<<单调递减，min ()(0)1h x h ==，故1a ≤. 4分 （2）211()sin 222x g x x x e =-+，()cos21cos20x g x x x e x '=-++， ()g x 单调递增，且(0)1g = 6分令()()()Q x g x g x =+-，则2221111()sin 2sin 22222x x x x Q x x x e x x e e e x --=-+--+=+- 8分 ()2(),()20x x x x Q x e e x h x h x e e --''=--==+-.()h x 单调递增，(0)0h =，故当0x >时，()0Q x '>，所以()Q x 单调递增，且(0)2Q =. 10分由(0)1g =及()g x 为单调递增函数，()()122g x g x +=，则1x 、2x 异号，不妨设20x >，则()2(0)2Q x Q >=，即()()()()()222212,2g x g x g x g x g x +->->-=，()g x 为单调递增函数，故2121,0x x x x ->+<. 12分。
安徽省江南十校2020届高三第二次联考理科数学
江南十校2020届高三第二次联考
数学（理科）
全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
小值．
（1）证明：AD PB ⊥；
（2）求二面角A PB C --余弦值． 21．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆E 的右焦点为()21,0F ，P ．Q 为椭圆上的两个动点，2PQF V 周长的最大值为8． （1）求椭圆E 的标准方程；
（2）记椭圆E 的左焦点为1F ，过2F 作直线l 与椭圆交于不同两点M ．N ，求1F MN V 面积取最大值时
的直线l 方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数()x f x e x a =--，对于(),0x f x ∀∈≥R 恒成立． （1）求实数a 的取值范围；
()()122g x g x +=，求证：120x x +<．
江南十校2020届高三第二次联考 数学（理科）试题参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 1．答案：D
解析：解得{}|0U y y =>，{}12|A x x =<<，
故()[)0,12,U A =⋃+∞ð．
10．答案：C
解析：构造长方体1111ABCD A B C D -，使MN 与1BD 重合．
设长方体长、宽、高分别为x ，y ，z ， 则2
2
2
1x y z ++=．。
江南十校2020高三第二次联考数学理科答案
绝密★启用前江南十校2020届高三第二次联考数学(理科)试题参考答案一㊁选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.1.答案:D 解析:解得U =y y {}>0,A =x 1<x {}<2,故C U A =0,()1∪2,+[)¥㊂2.答案:B解析:解得cos α=-513,故f cos ()α=1,则f f cos ()[]α=f ()1=2㊂3.答案:A解析:如图所示,点P 在平面区域内任一点P ,点Q 在半圆x 2+y 2=10≤y ≤()1上,过点O 作直线x +y -5=0的垂线,垂足为P ,交半圆于Q ,此时PQ 取最小值,求得PQmin=522-1㊂4.答案:B解析:()f t =log b t 为增函数,0<sin α<cos α<1得log b sin α<log b cos α<0;()g t =cos ()αt 为减函数,则x >y ㊂当a <0时,()h t =t a 在第一象限单调递减,a =logb sin α且cos α>sin α,则x <z ㊂故z >x >y ㊂5.答案:D解析:由题得sin θ=x 2+12x ,由x 2+12x ≥1或x 2+12x≤-1且-1≤sin θ≤1得:sin θ=±1,故x =±1㊂6.答案:D解析:y =sin 2x +cos 2x =2sin 2x +πæèçöø÷4=2sin2x +πæèçöø÷8,y =-2cos 2x =2sin 2x -πæèçöø÷2=2sin 2x -πæèçöø÷4,故向右移3π8个单位㊂ 7.答案:C解析:a 4=a 2+2d ,a 8=a 2+6d ,因为a 42=a 2㊃a 8且d ≠0,求得a 2=2d ,所以公比q =a 4a 2=2;或解:q =a 8a 4=a 4a 2=a 8-a 4a 4-a 2=4d 2d=2㊂8.答案:C解析:m ⊥αα‖}β⇒m ⊥β n ⊥üþýïïïïβ⇒m ‖n.9.答案:A解析:()f ′x =e x +e -x +1>0x ()>0,故()f x 在0,+()¥上单调递增㊂b ∈0,(]1时,()[]f f b =b 成立,即()f b =b 有解, 则e -b +e b +b -a =b ,故a =e -b +e b ,b ∈0,(]1㊂令e b =t ,则t ∈1,(]e ,e b +e -b =t +1t ∈2,e +1æèçùûúúe ,即a ∈2,e +1æèçùûúúe ㊂10.答案:C解析:构造长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1,使MN 与BD 1重合㊂设长方体长㊁宽㊁高分别为x ,y ,z ,则x 2+y 2+z 2=1㊂由题知x 2+z 2=a ,y 2+z 2=b ,x 2+y 2=c ,a 2+b 2+c 2=2㊂a +b +()c 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ac≤3a 2+b 2+c ()2=6,故a +b +c ≤6㊂11.答案:A解析:连PI 延长x 轴于D ,连IF 1㊁IF 2㊂在△PF 1D 中有ID IP =DF 1PF 1,在△PF 2D 中有IDIP =DF 2PF 2,故ID IP =DF 1PF 1=DF 2PF 2=DF 1+DF 2PF 1+PF 2=2c 2a =e =12,故S △IF 1F 2S △PF 1F 2=ID PD =13㊂12.答案:B解析:f (x +2)=f (2-x ),推得f (x +4)=f (-x )=f (x ),故f (x )最小正周期为4.f (x i )-f (x i +1)≤4-1=3,x n 取得最小值,则需尽可能多的x i 取到最高(低)点,由2993=9923以及2x =2得:x n (min)=99×2+1=199㊂二㊁填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.答案:25解析:sin(π+α)=2cos(π-α)可得tan α=2sin α(2cos 2α2-1)=sin αcos α=sin αcos αsin 2α+cos 2α=tan αtan 2α+1=2514.答案:2解析:如图,作小圆的直径AE ,连DE ,则DE =4,AE =DE 2-DA 2=23=2r =BC AB 2+AC 2=BC 2=12≥2AB ㊃AC ,则AB ㊃AC ≤6,V =13㊃12㊃AB ㊃AC ㊃AD =16×2AB ㊃AC =13×AB ㊃AC ≤215.答案:{x |x >-12}解析:令=g (x )=xf (x ),由x 1f (x 1)-x 2f (x 2)x 1-x 2<0,得g (x )在(-∞,0)为减函数,且g (x )为偶函数,故g (x )在(0,+∞)上为增函数,g (x )<g (x +1)即g (x )<g (x +1)故x <x +1,解得x >-12㊂16.答案:33解析:取F 1D 的中点Q ,连EQ ㊁PQ ㊂PF →1㊃→PD =14(PF →1+→PD )2(PF →1-→PD )[]2=14(4→PQ 2-DF →12)=→PQ 2-14DF →12,同理EF →1㊃→ED =→EQ 2-14DF →12,PF →1㊃→PD ≥EF →1㊃→ED 恒成立等价于→PQ ≥→EQ ,故EQ ⊥BF 1,得到DF 1=DB ,设DF 2=x ,则BF 2=2x ,DF 1=2a -x ,由2a -x =3x ,得x =a 2,BF 1=BF 2=a ,DF 1=32a ,在△F 1BF 2中,cos∠F 1BF 2=2a 2-4c 22a 2=1-2e 2,在△DF 1B 中,又cos∠F 1BD =a 2+(32a )2-32a )22a ㊃32a=13,所以1-2e 2=13,解得e =33.三㊁解答题:共70分.解答应写出必要的文字说明㊁证明过程或演算步骤.17.(1)()g x =2sin 2x +πæèçöø÷3+2sin 2x =23sin 2x +πæèçöø÷6, 3分当-π2+2k π≤2x +π6≤π2+2k π,k ∈Ζ时函数单调递增,即()g x 的单调递增区间为-π3+k π,π6+k éëêêùûúúπ,k ∈Ζ. 5分(2)由f (π6-x )=f (π6+x )得f (x )图像关于x =π6对称7分故π3+φ=k π+π2. φ=k π+π6,k ∈Ζ.又-π2<φ<π2得φ=π6. 10分18.(1)由题意可设→DB =a ,则→AD =3a .在△ACD 中有:AC 2=AD 2+CD 2-2AD ㊃CD cos∠ADC ①在△BCD 中有:BC 2=DB 2+CD 2-2DB ㊃CD cos∠BDC ②①+3㊃②可得CD 2=13a 2,在△ACD 中有:AD 2=AC 2+CD 2-2AC ㊃CD cos∠ACD ,解得cos∠ACD =513266分或解:由题意可设∠ACD =θ,在△ACD 中:AD sin θ=CDsin 60° ①在△BCD 中:DB sin(60°-θ)=CDsin 60°②由①㊁②可得3sin(60°-θ)=sin θ,解得tan θ=335,故cos θ=513266分(2)→AM =→m AC +12→AB =→m AC +23→AD ,且C ㊁M ㊁D 三点共线,所以m =137分S △ABC =12→AB ㊃→AC ㊃32=23,故→AB ㊃→AC =8 8分→AM 2=13→AC +12→æèçöø÷AB 2=19→AC 2+14→AB 2+13→AC ㊃→AB =43+19→AC 2+16→AC 2≥4 11分当且仅当→AC =23时;所以→AM min =2 12分19.(1)由na n +1=n ()+2S n ,n ∈N *可得n S n +1-S ()n =n ()+2S n ,即S n +1n +1=2S n n ,n ∈N *,所以S n n =S 11㊃2n -1=2n ,故S n =n ㊃2n2分T n =1×21+2×22+3×23+ +n ㊃2n ①2T n =1×22+2×23+3×24+ +n ㊃2n +1 ②①-②得:-T n =1×21+22+23+ +2n -n ㊃2n +1∴T n =n ()-1㊃2n +1+26分(2)b n =S n n ()+12n =n ㊃2n n ()+1㊃2n =n n +17分证法一:∵2n -12n =2n ()-122()n 2<2n ()-122()n 2-1=2n -12n +110分∴b 1㊃b 3 b 2n -1=12×34× ×2n -12n<13×35× 2n -12n +1=12n +112分证法二(参照给分):∵nn +1=n n +1㊃nn +1<n n +1㊃n +1n +2=n n +2,∴b 1㊃b 3 b 2n -1=12×34× ×2n -12n <13㊃35 2n -12n +1=12n +1.证法三(参照给分):数学归纳法略.20.(1)取AD 中点E ,则由已知得BE ⊥AD PE ⊥}AD⇒AD ⊥平面PBE ⇒AD ⊥PB 4分(2)AD ⊥平面PBE AD ⊂平面}ABCD⇒平面ABCD ⊥平面PBE ,又平面PBE ∩平面ABCD =BE.过P 作PO ⊥BE 交BE 的延长线于O ,则PO ⊥面ABCD ,由题可得到∠PEO =60° 6分建立如图所示直角坐标系,设PB 的中点为G ,则P (0,0,32),B (0,332,0),PB 中点G (0,334,34)连接AG ,A (1,32,0),C (-2,332,0),→GA =(1,-34,-34),→PB =(0,332,-32),→BC =(-2,0,0),于是→GA ㊃→PB =0,→BC ㊃→PB =010分→GA 与→BC 的夹角θ为所求二面角的平面角,则cos θ=→GA ㊃→BC →GA →BC =-277 12分21.(1)取左焦点F 1(-1,0),△PQF 2的周长为:PF 2+QF 2+PQ =2a -PF 1+2a -PF 2+PQ=4a -(PF 1+PF 2-PQ )≤4a (三点P ㊁Q ㊁F 1共线时取等号),由4a =8,a =2,椭圆E 的方程:x 24+y 23=15分(2)可设直线l :x =my +1x =my +1x 24+y 23ìîíïïï=1得(3m 2+4)y 2+6my -9=0,y 1+y 2=-6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4 7分S △MF 1N =12F 1F 2y 1-y 2=(y 1+y 2)2-4y 1y 2=12m 2+13m 2+49分令t =m 2+1(t ≥1),y =3t +1t在[1,+¥)单调递增,S =123t +1t≤3,S △F 1MN最大值为3,此时m =0,所以直线的方程为x =1. 12分22.(1)e x -x -a ≥0恒成立,a ≤e x -x 恒成立,令h (x )=e x -x ,h′(x )=e x -1,x >0,h′(x )>0,h(x )单调递增,x <0,h′(x )<0,h (x )单调递减,h (x )min =h (0)=1,故a ≤1 4分(2)g (x )=12sin 2x -12x 2+e x ,g′(x )=cos 2x -x +e x ≥1+cos 2x ≥0,g (x )单调递增,且g (0)=1 6分令Q (x )=g (x )+g (-x ),则Q (x )=12sin 2x -12x 2+e x -12sin 2x -12x 2+e -x =e x +e -x -x 2 8分令Q′(x )=e x -e -x -2x =h (x ),h′(x )=e x +e -x -2≥0.h (x )单调递增,h (0)=0,故当x >0时,Q′(x )>0,所以Q (x )单调递增,且Q (0)=2 10分由g (0)=1及g (x )为单调递增函数,g (x 1)+g (x 2)=2,则x 1㊁x 2异号,不妨设x 2>0,则Q (x 2)>Q (0)=2,即g (x 2)+g (-x 2)>2,g (-x 2)>2-g (x 2)=g (x 1),g (x )为单调递增函数,故-x 2>x 1,x 2+x 1<012分。
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安徽省江南十校2020届高三冲刺联考（二模）数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设椭圆22221(0,0)x ym nm n+=>>的焦点与抛物线28x y=的焦点相同，离心率为12，则m n-= A．234-B．433-C．438-D．843-2．一个几何体的三视图如图所示，其中主(正)视图是边长为2的正三角形，则该几何体的外接球的体积为( )A．83B．323C．643D．25633．过点()1,1P--且不垂直于y轴的直线l与圆22:230M x y x+--=交于,A B两点，点C在圆M上，若ABCV是正三角形，则直线l的斜率是（）A．34B．32C．23D．434．己知点A是抛物线212(0)=>︰y px pC与双曲线222221(00)-=>>︰，x ya bCa b的一条渐近线的交点，若点A到抛物线1C的准线的距离为p，则双曲线的离心率为（）A2B3C5D．25．若函数()22f x x ax=-+与()1ag xx=+在区间[]1,2上都是减函数，则a的取值范围（）A．()()1,00,1-UB．()(]1,00,1-UC．()0,1D．(]0,16．函数sin()(0,)y A x Aωϕϕπ=+><在一个周期内的图像如图所示，则此函数的解析式为（）A ．2sin(2)3y x π=+B ．2sin()23x y π=-C．2sin(2)3y x π=- D ．22sin(2)3y x π=+ 7．已知函数10()ln ,0x xf x x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩，＜＞，若()()F x f x kx =-有3个零点，则k 的取值范围为( )A ．(21e -，0)B ．(12e -，0)C ．(0，12e ) D ．(0，21e )8．将函数sin 2y x =的图像向右平移()0ϕϕ>个单位后与sin 2y x =-的图像重合，则ϕ的最小值为（ ）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π9．执行如图所示的程序框图，如果输入，则输出p 为（ ）A ．6B ．24C ．120D ．72010．已知直线l ：34150x y --=与圆C ：2222450(0)x y x y r r +--+-=>相交于A ，B 两点，若6AB =，则圆C 的标准方程为（ ）A ．22(1)(2)25x y -+-=B ．22(1)(2)36x y -+-=C ．22(1)(2)16x y -+-= D ．22(1)(2)49x y -+-= 11．给定函数①12y x =，②1y x =，③1y x =-，④cos()2y x π=-，其中既是奇函数又在区间(0,1)上是增函数的是A ．①B ．②C ．③D ．④12．已知椭圆()2222:=10x y C a b a b+>>的左、右焦点为1F ，2F ，左、右顶点为M ，N ，过2F 的直线l交C 于A ，B 两点(异于M 、N )，1AF B △的周长为43，且直线AM 与AN 的斜率之积为23-，则C 的方程为（ ）A ．22=1128x y +B ．22=1124x y +C ．22=132x y +D ．22=13x y +二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．函数1ln y x =（x e ≥）的值域是__________． 14．在中，，，，是的内心，若，其中，，则动点的轨迹所覆盖的面积为_______．15．三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面,,1,2,3BCD BC CD AB BC CD ⊥===,则球O 的表面积为__________．16．若1sin()64πα-=，则cos(2)3πα-的值为__________． 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数()ln f x x x ax a =-+．若()1,a ∈+∞，求函数()f x 在[]1,e 上的最小值；若()()2g x x f x =-，当()1,x ∈+∞时，()0g x ≥恒成立，求整数a 的最小值．18．（12分）如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，又AE ⊥平面ABD .若2AE =DE 与直线BC 所成的角；若二面角ABED 的大小为3π，求AE 的长度．19．（12分）某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； ()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．20．（12分）已知函数ln()(,)x af x bx a b Rx-=-∈.当0b=时，讨论函数()f x的单调性；若函数()()f xg xx=在x e=（e为自然对数的底）时取得极值，且函数()g x在(0,)e上有两个零点，求实数b 的取值范围.21．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E，F，O分别为DC，AE，BC的中点．以AE 为折痕把△ADE折起，使点D到达点P的位置，且平面PAE⊥平面ABCE（如图2）．求证：BC⊥平面POF；求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；在线段PE上是否存在点M，使得AM∥平面PBC？若存在，求的值；若不存在，说明理由．22．（10分）已知抛物线2:2C y px=过点(2,2)M，,A B是抛物线C上不同两点，且AB OMP（其中O 是坐标原点），直线AO与BM交于点P，线段AB的中点为Q.求抛物线C的准线方程；求证：直线PQ 与x轴平行.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A2．B3．D4．C5．D6．D7．C8．D9．B10．A11．D12．C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．(0,1]14．15．14π16．78三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）当12a <<时 ()1min a f x e a -=-+；当2a ≥时,()min f x e ae a =-+； （Ⅱ）2-.【解析】 【分析】（Ⅰ）求导得()'ln 1(0)f x x a x =+->，讨论当12a <<时，当2a ≥时，结合导数的正负，由单调性求最值即可；（Ⅱ）由()0g x ≥对一切1x >恒成立，可得2ln 1x x x a x -≥-对一切1x >恒成立，()2ln (1)1x x x h x x x -=>-令，求导，根据单调性求最值即可.【详解】（Ⅰ）Q ()'ln 1(0)f x x a x =+->，令()'0f x =则1a x e -=，Q 1a > ∴ 11a x e -=>， ①当12a <<时 11a e e -<<，当11a x e -≤<时 ()0f x '<， 当1a e x e -<≤时()0f x '>，∴ ()f x 在)11,a e -⎡⎣上递减 ，在(1,a e e -⎤⎦上递增，∴ ()()min 11a a f x f e e a --==-+②当2a ≥时，则1a e e -≥，()'0f x ≤Q 对一切1x e ≤≤恒成立，∴ ()f x 在[]1,e 上递减，∴ ()()min f x f e e ae a ==-+综上：当12a <<时 ()()11min a a f x f eea --==-+；当2a ≥时 ()()min f x f e e ae a ==-+（Ⅱ） Q ()2ln 0g x x x x ax a =-+-≥对一切1x >恒成立2ln 1x x x a x -∴≥-对一切1x >恒成立 ()()()222ln 3ln 1(1)(1)11x x x x x x h x x h x x x x --+--=>=--'>Q 令令()23ln 1(1)x x x x x ϕ=-+--> ()()()211(1)x x x x xϕ-'-=->Q当1x >时，()()0x x ϕϕ'<∴在()1,+∞上递减()91191=10,21ln20,ln 04164ϕϕϕ⎛⎫>=->=-< ⎪⎝⎭又（）0092,)04x x ϕ⎛⎫∴∃∈= ⎪⎝⎭使得（，即()00h x '=此时2000ln 31x x x =-+-当01x x <<时()'0h x >，当0x x >时()0h x '<∴ ()h x 在()01,x 上递增 在()0,x +∞上递减()()()32000max 0000211x x x h x h x x x x -+∴==-=---又()0094522416x h x <<∴-<<-， 又a Z ∈ ∴ min 2a =-.另解:Q ()2ln 0g x x x x ax a =-+-≥对一切1x >恒成立.取x e =则20e e ae a -+-≥ ∴ a e ≥-，又a Z ∈，取2a =-，此时()2ln 22g x x x x x =--+，令()2ln 2(1)h x x x x x=-+->， Q ()()()222212'(1)x x x x h x x x x-+--==>， 当12x <<时()'0h x <，当2x >时()'0h x >，()()1,22+h x ∴∞在上递减，在（，）上递增，()()min 21ln20h x h ∴==->，()2ln 201h x x x x x∴=-+->>对一切恒成立， 又1x >，()22ln 220a g x x x x x ∴=-=--+>当时，恒成立， 故min 2a =-. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()maxa f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()mina f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数.18．（1）2π；（2）2 【解析】 【分析】（1）由题意可知，AB ⊥AD, AE ⊥平面ABD ，以A 为原点，AB 、AD 、AE 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，作CF BD ⊥，垂足为F ，可得2CF =，得到C 点坐标，利用向量法能求得DE BC ⋅u u u v u u u v，即可得到所求角．（2）设AE 的长度为(0)a a >，则()0,0,E a ，由题意知AD ⊥平面ABE ，可得平面ABE 的一个法向量为1n u v ，再求得平面BDE 的法向量为2n u u v，121212cos ,n n n n n n u v u u vu v u u v u v u u v ⋅= 21224a ==+，解得a 即可. 【详解】∵正方形ABCD 边长为2 ∴AB AD ⊥，CB CD ⊥，2AB AD CD BC ====又AE ⊥平面ABD ，∴以点A 为原点，AB ，AD ，AE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．作CF BD ⊥，垂足为F ，∵平面ABD ⊥平面CBD ，CF ⊂平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，∴CF ⊥平面ABD ，∵2CB CD == ∴点F 为BD 的中点，2CF =（1）∵2AE =∴(2E ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，，(2C∴(0,2DE u u u v =-，(2BC =-u u u v ∴0DE BC ⋅=u u u v u u u v∴DE BC ⊥u u u v u u u v ∴直线DE 与直线BC 所成角为2π；（2）设AE 的长度为(0)a a >，则()0,0,E a∵AD ⊥平面ABE ∴平面ABE 的一个法向量为()10,1,0n =u v设平面BDE 的法向量为()2111,,n x y z =u u v ，又()2,0,BE a =-u u u v ，()2,2,0BD =-u u u v∴2n BE ⊥u u v u u u v ，2n BD u u v u u u v ⊥ ∴21121120220n BE x az n BD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u v u u u v u u v u u u v ，解得：11112a x z x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，取12z =，则11x y a ==，∴平面BDE 的一个法向量为()2,,2n a a u u v=∴121212cos ,n n n n n n u v u u vu v u u v u v u u v ⋅===∵二面角A BE D --的大小为3π12=，解得：a =∴AE． 【点睛】本题考查了利用空间向量解决异面直线所成角及二面角的问题，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题． 19．（1）13； （2）()1E X =. 【解析】 【分析】（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；（2）由题意知随机变量X 的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【详解】（1）由已知有1123432101()3C C C P A C ⋅+==， 所以事件A 的发生的概率为13； （2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2；2223342104(0)15C C C P X C ++===；111133342107(1)15C C C C P X C ⋅+⋅===； 11342104(2)15C C P X C ⋅===； 所以随机变量X 的分布列为：数学期望为()0121151515E X =???. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题。