等边三角形的性质与判定

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等边三角形性质与判定

等边三角形是指三条边都相等的三角形。在几何中，等边三角形具有一些特殊

的性质和判定方法。本文将介绍等边三角形的性质以及如何判定一个三角形是等边三角形。

一、等边三角形的性质

1.三边相等：等边三角形的三条边长度相等，即AB=AC=BC。

2.内角相等：等边三角形的三个内角都相等，每个角都是60度。

3.内角和为180度：等边三角形的三个内角和为180度，因为三个角

都是60度，所以它们的和为180度。

4.等边三角形是等腰三角形：等腰三角形是指两边长度相等的三角形。

等边三角形的三边都相等，因此也是等腰三角形。

5.等边三角形是等角三角形：等角三角形是指三个角度都相等的三角

形。等边三角形的三个内角都是60度，因此也是等角三角形。

二、判定一个三角形是否为等边三角形

判定一个三角形是否为等边三角形可以通过以下方法进行：

1.测量三条边的长度：通过使用测量仪器（例如尺子）或计算方法，

测量三条边的长度，如果它们长度相等，则可以判定为等边三角形。

2.判定三个角度是否相等：通过使用角度测量器或计算方法，测量三

个角度的大小，如果它们都是60度，则可以判定为等边三角形。

3.判定两边是否相等：通过测量任意两条边的长度，如果它们长度相

等，则可以判定为等边三角形。

需要注意的是，在实际应用中，我们常常会结合多种判定方法来确定一个三角

形是否为等边三角形，以增加判定结果的准确性。

三、等边三角形的应用

等边三角形在几何学中有广泛的应用，下面列举了其中一些常见的应用：

1.建筑与设计：等边三角形在建筑和设计中常常作为参考图形，用于

等边三角形的性质及判定方法

等边三角形的性质及判定方法等边三角形是指三条边相等的三角形，本文将介绍等边三角形的性

质及判定方法。首先，我将简要介绍等边三角形的定义，然后论述它

的性质，最后探讨判定等边三角形的方法。

等边三角形的定义是指三条边的长度相等，三个角的度数也相等的

三角形。在等边三角形中，每个角都是60度，因此等边三角形也是等

角三角形。

接下来，我们来探讨等边三角形的性质。首先，等边三角形的内角

均为60度。这是因为等边三角形的三边相等，每个角的对边也相等，

故三个角的度数均为60度。

其次，等边三角形的高、中线、角平分线都是重合的。这是因为等

边三角形具有三个对称轴，它们互相重合。这意味着等边三角形的高、中线、角平分线在三角形内部互相重合。

另外，等边三角形的面积可以通过以下公式计算：

面积 = (边长^2 * √3) / 4

在讨论了等边三角形的性质后，我们来探讨如何判定一个三角形是

否为等边三角形。判定一个三角形是否为等边三角形有几种方法。

首先，我们可以通过测量三角形的三边的长度来判断。如果三条边

的长度相等，那么这个三角形就是等边三角形。

其次，等边三角形的高、中线、角平分线都是重合的，我们可以通

过绘制这些线来判定一个三角形是否为等边三角形。如果这些线段重合，那么这个三角形就是等边三角形。

另外，我们还可以通过判断三角形的三个内角是否相等来确定是否

为等边三角形。如果三个内角的度数均为60度，那么这个三角形就是

等边三角形。

小结：

等边三角形是指三条边的长度和三个角的度数均相等的三角形。等

边三角形的性质包括内角均为60度，高、中线和角平分线重合等。判

等边三角形的性质及判定

A
你还能用其他
方法证明吗?
B
C
D
在直角三角形中,如果一个锐角等于30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
30°
在直角△ABC中
∵∠A＝30°
B┓
C ∴AC＝2BC
下图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱 BC 、 DE要多长?
（A）3条（B）6条（C）9条（D）7条
么? （2）求证：BD=1/2BC=1/4AB
∴ △ABC是等边三角形（2）各角的度数。例4 等边三角形ABC的周长等于21㎝，
A
等边三角形的内角都相等,且等于60 °
又 ∵AB＋BC＋CA＝21㎝（已知）
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角的平分线都三线合一。
探索星空：探究判定一
1、三个内角都等于60°的三角形是等边三角形?
∵ ∠A=∠B=∠C=60° ∴ AB=AC=BC (在同一个三角形中等角对等边) ∴ △ABC是等边三角形
A
B
C
探索星空：探究判定二
2、有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形?
A
当顶角为60°时，两个底角各为60°.
当底角为60°时，顶角为60°.
B
D
A EC
解:∵DE⊥AC, BC⊥AC, ∠A＝30° 可得 2BC＝AB, 2DE＝AD

等边三角形的判定和性质

情境导入
观察下列图片，你发现它们有什么共同点？
自主分析
活动1 什么是等边三角形？它与一般三角形有什么区别？
一般三角形
一般三角形
有二条边相等
等腰三角形
｛等腰
三角形
底≠腰底＝腰
等边三角形等边三角形
定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
(正三角形)
特殊的等腰三角形
活动2
通过折叠你发现等边三角形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？等边三角形的角有哪些性质，你能证明吗？
已知： AB=AC，∠A=60。
A
求证： △ABC是等边三角形
已知： AB=AC，∠B=60。
B
C
求证： △ABC是等边三角形
符号语言: ∵AB=AC ∠A=60。
∴ △ABC是等边三角形
一般三角形
等边三角形
⒈ 三个角都相等的三角形是等边三角形。
等腰三角形
等边三角形
⒉ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
(1)求证：△ABE≌△CAD； (2)求∠BFD的度数。
3. 如图, △ABC为等边三角形, ∠1=∠ 2=∠ 3
(1)求∠BEC的度数.
A
(2) △DEF为等边三角形吗?为什么?
1
F
D B2
E3 C
归纳总结，形成能力：
通过本节课的学习你有哪些收获？

等边三角形的性质和判定

等边三角形也称为等腰三角形，是三角形中最基本的一种形状，

它的三个边都是等长的。因为只有三条边，一般只需要判断三个边长

是否相等就可以是否是等边三角形。

等边三角形有着独特的性质，其中最重要的是它的三个内角都是

相等的，这代表等边三角形的三条边的本质是等边的，即它的三个角

都是相等的。另外，等边三角形只有两个外角是相等的，而另外一个

外角则是一个直角。

根据上述性质，可以通过测量等边三角形的3边长度，来判断它

是否是一个等边三角形。如果三边形长度都相等，则这个三角形就是

一个等边三角形。

同时，我们可以求出等边三角形的其它性质，比如它的三角形角

度和周长。此外，我们还可以通过以上方法计算出等边三角形的面积：将三角形三边长度分别记为a，b，c，那么根据海伦-克拉斯定理可以

得出等边三角形的面积为：面积=〖△〗√=〖a*b*c〗√，3s其中s为三边的一半周长。

由以上性质可以看出，等边三角形的相关性质十分简单，只需要

测量三边长度就可以判断它是否是一个等边三角形，同时也可以计算

出它的其它性质，如内外角和周长面积等，用来研究三角形在实际应

用中的特性和特点。

等边三角形性质与判定

等边三角形的定义：三条边都相等三角形叫做等边三角形；

等边三角形的性质：①等边三角形的三个内角都相等，都是60°；三边都相等

②等边三角形是轴对称图形，有3条对称轴。

等边三角形的判定

1.三边都相等的三角形是等边三角形

2.三个角都相等的三角形是等边三角形。

3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

题型1 等边三角形的判定

三角形的三边相等的三角形是等边三角形

三角形的三个内角相等的三角形是等边三角形

例1. 如图：在△EBD中，EB=ED，点C在BD上，CE=CD，BE⊥CE，A是CE延长线上一点，EA=EC．试判断△ABC的形状，并证明你的结论．

例3. 如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点

（1）若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；

（2）若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论．

例4.如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．

（1）求证：AE=BD；

（2）求证：MN∥AB．

课堂练习

等边三角形的性质应用及判定

【例8】如图，在等边△ABC中，点D,E分别在边BC,AB上，BD=AE,AD与CE交于点F.

求证：(1)AD=CE;(2)求∠DFC的度数。

【例9】如图，分别以Rt△ABC的直角边AC,BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF，连接BE,AF。

等边三角形的性质

反证法
• 反证法也是证明命题成立的一种重要方法，从结论的反面出发，通过证明正确的逻辑推理过程，推出与公理、定理、已知、定义相矛盾的结果，从而肯定原来的命题结论正确，这工证明方法是反证法。
等边三角形的性质和判定
定义：三条边都相等的三角形是等边三角形
性质定理
• 等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60度 • 判定定理一：有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。 • 判定定理二：三个角都相等的三角形是等边三角形
源自文库
有一个锐角是30度的直角三角形的性质
• 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么他所对的直角边等于斜边的一半。 • 注意：该性质只适用于含有30度的直角三角形，而非一般的的直角三角形或非直角三角形。 • 此定理的使用前提：在直角三角形中，因此只知道三角形中有一个角为30度，就说这个角的对边等于斜边的一半是错误的。

等边三角形的性质与判定

E C
6
课外活动小组在一次测量活动中,测得 ∠APB＝60°AP＝BP＝200m,他们便得到了一个结论:池塘最长处约为200m. 他们的结论对吗? A
解：∵ AP=BP=200m,∠APB=60° ∴ ΔPAB是等边三角形 ∴ AB=200m 所以池塘最长处约为200m
P
） 60°
B
7
1· 等边三角形中，两条中线交成的鈍角为（ 120 2· ΔABC的三边为a,b,c.且满足 (a - b) 2 + c−b° =0 则ΔABC是（等边三角形） 3· 下列说法不正确的是（ C ） A· 有两个角为60°的三角形是等边三角形 B· 有一个外角为120°的等腰三角形是等边三角形 C· 有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形 D· 有三个外角相等的三角形是等边三角形
1
三边都相等的三角形叫做等边三角形
2
等边三角形的性质
1.等边三角形的三条边都相等。
2.等边三角形的内角都相等,且都等于 60 ° 3.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴 4.等边三角形各边上中线,高及所对角的平分线都三线合一.
A
60° B ）
60° C （
3
一般三角形
⒈ 三个角都相等的三角形是等边三角形.
B
D A E C
答：立柱BC、DE分别要3.7m、wk.baidu.com.85m.

等边三角形的性质与判定

等边三角形是一种特殊的三角形，具备特定的性质和判定方法。本文将介绍等边三角形的性质，并探讨如何判定一个三角形是否为等边三角形。

一、等边三角形的性质

等边三角形具有以下几个显著的性质：

1. 边长相等：等边三角形的三条边长度完全相等。

2. 角度相等：等边三角形的三个内角均为60度。

3. 对称性：等边三角形具有三条对称轴，每条轴都经过一个顶点和对边的中点。

4. 高度、中线、角平分线重合：等边三角形的高度、中线和角平分线都重合于一条直线。

二、判断三角形是否为等边三角形

判定一个三角形是否为等边三角形有以下几种方法：

1. 边长判定法：若一个三角形的三边长度均相等，则该三角形为等边三角形。

2. 角度判定法：若一个三角形的三个内角均为60度，则该三角形为等边三角形。

3. 对称性判定法：若一个三角形具有三条对称轴，每条轴都经过一个顶点和对边的中点，则该三角形为等边三角形。

4. 高度、中线、角平分线重合判定法：若一个三角形的高度、中线和角平分线都重合于一条直线，则该三角形为等边三角形。

请注意，这些判定方法不仅可以单独使用，也可以结合使用，以得出更准确的结果。

三、等边三角形的应用

等边三角形在几何学和工程学中具有广泛的应用。

1. 建筑设计：等边三角形常用于设计正六边形的楼柱或柱子，使得建筑物更加稳定和均衡。

2. 航空航天：等边三角形的稳定性使得它在设计和制造飞行器的翼型中得到广泛应用。

3. 测量和定位：等边三角形在测量和定位领域也起到重要的作用，例如通过测量等边三角形的边长来判断距离等。

等边三角形的性质与定理

等边三角形是指三角形的三条边相等的特殊三角形。在等边三角形中，具有一些独特的性质和定理。本文将详细介绍等边三角形的性质与相关定理，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

1. 基本性质

等边三角形的三条边相等，每个内角都是60度。这是等边三角形的最基本的性质，由此可以得出其他重要结论。

2. 高度、中线、角平分线

在等边三角形中，高度、中线和角平分线重合。由于等边三角形的三个角均为60度，故通过三个顶点作垂直于对边的线段，这些线段重合。这一性质可以帮助我们求解等边三角形的各种参数。

3. 内切圆和外切圆

等边三角形的内切圆和外切圆存在一些有趣的性质。内切圆是与三角形的三条边相切于一点的圆，而外切圆则是与三角形的三条边相切于一点的圆。对于等边三角形而言，内切圆与外切圆的半径相等。

4. 正弦定理

正弦定理是三角形中常用的定理之一，也适用于等边三角形。对于一个等边三角形来说，其边长为a，则可以利用正弦定理计算角度或边长。正弦定理的公式如下：

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R（其中R为等边三角形的外接圆半径）

5. 面积公式

等边三角形的面积可以通过多种方式计算得出。一种常用的方法是使用边长公式求解。在等边三角形中，边长为a，则其面积S可通过以下公式计算：

S = (sqrt(3) * a^2) / 4

6. 等边三角形的判定

在几何学中，我们需要判定一个三角形是否为等边三角形。根据等边三角形的定义，仅需验证三条边是否相等即可。如果一个三角形的三条边相等，则可以确认该三角形为等边三角形。

等边三角形的判定和性质

含30°角的直角三角形的性质
(1)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么三个角的度数之比是1∶ 2∶3; (2)在三角形中,如果三个角的度数之比是1∶2∶3,那么有一个锐角等于30°; (3)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
【变式】如图,△ABC,△CDE均为等边三角形,连接AD,BE交于点O,AC与BE交于点P. 求证:∠AOB=60°.
2.用反证法证明“在源自文库个三角形中,至少有一个内角大于或等于60°”时,可先假
设“三角形的三个内角都小于60° ”,然后可证明与三“角形内角和定理
”
相矛盾,从而可知原命题正确.
3. 如图所示,一艘海轮位于灯塔P的北偏东30°方向,距离灯塔4海里的A处,该海轮沿南偏东30°方向航行 4 海里后,到达位于灯塔P的正东方向的B处.
知识点二等边三角形的有关性质【例2】如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作 EF ⊥DE,交BC的延长线于点F. (1)求∠F的度数; (2)若CD=2,求DF的长.
解:(1)因为△ABC为等边三角形,所以∠B=60°.因为DE∥AB,所以∠EDC=∠B= 60°.因为EF⊥DE,所以∠DEF=90°,所以∠F=90°-∠EDC=30°. (2)因为∠ACB=60°,∠EDC=60°,所以△EDC为等边三角形.所以ED=DC=2,因为∠DEF=90°,∠F=30°,所以DF=2DE=4.

等边三角形的性质与判定

一、知识链接

1.定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.

2.性质：等边三角形三条边都相等，三个角都相等且都为︒60.

3.判定：三条边都相等的三角形是等边三角形；

三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角等于︒60的三角形是等边三角形；有一个角是︒60的三角形是等边三角形.

4.直角三角形的性质：在直角三角形中，︒30所对的直角边等于斜边的一半.

二、典例分析

例1. 如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，△ABC 和△CDE •都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ，①求证：△BCE ≌△ACD ；②求证：CF=CH ；③判断△CFH 的形状并说明理由．

H F

例2．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=120°，AD ⊥AC 交BC 于点D ，求证：BC=3AD.

D C

三、巩固练习

1．正△ABC 的两条角平分线BD 和CE 交于点I ，则∠BIC 等于（） A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°

2．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）

A ．①②③

B ．①②④

C ．①③

D ．①②③④

3．如图，D 、E 、F 分别是等边△ABC 各边上的点，且AD=BE=CF ，则△DEF 的形状是（） A ．等边三角形 B ．腰和底边不相等的等腰三角形 C ．直角三角形 D ．不等边三角形

等边三角形的性质和判定

问题1:等边三角形有什么特征？
三条边相等三个内角相等
等边三角形的三个内角相等，且每个内角都等于60°；三条边都相等。
问题2:若一个三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是什么三角形？即三个内角都相等的三角形是等边三角形。
让我们来看看等边三角形的三个内角为什么是相等的吧。
∵ AB=AC=BC ∴ ∠A=∠B=∠C(在同一个三角形中等边对等角)
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
２、等边三角形的对称轴有（） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
练一练：
如图，△ABC 是等边三角形，
A
DE//BC, 分别交AB，AC 于点Biblioteka Baidu
D，E．求证：△ADE 是等边
三角形.
D
E
证明： ∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
B
C
∵ DE∥BC，
∴ ∠B =∠ADE，∠C =∠AED．
∴ ∠A=∠ADE =∠AED．
∴ △ADE 是等边三角形．
变式1 若点D、E 在边AB、 AC 的延长线上，且DE//BC，结论还成立吗？
∆ABC是等边三角形，AD平分∠BAC， A 则∠BAD=______, ∠ADB=________
有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

等边三角形的性质与判定解析

等边三角形的性质与判定解析等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。在本文中，我们将探讨等边三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等边三角形。

一、等边三角形的性质

1. 三边相等：等边三角形的最显著特征是其三条边的长度相等。三边均相等意味着等边三角形的内角也是相等的，每个角都是60度。

2. 内角相等：由于等边三角形的三边相等，根据三角形内角和的性质可知，等边三角形的每个内角都是60度。

3. 对称性：等边三角形具有一定的对称性质。如果我们以其中一个顶点为中心，以该顶点与另外两个顶点连线的垂直平分线为轴进行旋转，等边三角形将重合于原位置。

二、判定等边三角形

1. 通过边长判断：判定一个三角形是否为等边三角形最直观的方法是通过测量三条边的长度。如果三边的长度均相等，则可以确定该三角形为等边三角形。

2. 通过角度判断：等边三角形的每个内角都是60度，因此我们可以通过测量三个内角来判断一个三角形是否为等边三角形。如果三个内角的测量结果均为60度，则可以确定该三角形为等边三角形。

3. 通过对称性判断：根据等边三角形的对称性质，我们可以通过观察三角形的对称性来判断其是否为等边三角形。如果三角形具有明显的对称性，并且边长相等，那么可以确定该三角形为等边三角形。

三、等边三角形的应用

1. 建筑设计：等边三角形具有稳定性较好的特点，因此在建筑设计中经常使用等边三角形的原理来构建稳定的结构，如建筑物的支撑结构或者桥梁的支撑墩设计等。

2. 数学几何题：在解决一些数学几何问题时，等边三角形的性质常常被应用。通过利用等边三角形的特点，可以简化问题的求解过程，提高解题效率。

等边三角形的性质和判定

等边三角形是指三条边相等的三角形。它具有一些独特的性质和判定方法，本文将详细介绍等边三角形的性质以及如何判定一个三角形是否为等边三角形。

一、等边三角形的性质

1. 边长相等：等边三角形的三条边长度相等，记为a=a=a。

2. 角度相等：等边三角形的三个内角相等，每个角为60度。

3. 高度、中线、角平分线：等边三角形的高度、中线以及角平分线均相等。

4. 对称性：等边三角形具有对称性，即以任意边为轴进行折叠，三角形的各部分完全重合。

二、等边三角形的判定

1. 三边相等判定法：如果一个三角形的三边长度相等，那么它就是等边三角形。

2. 角度相等判定法：如果一个三角形的三个角度均为60度，那么它就是等边三角形。

3. 边长和角度判定法：如果一个三角形的两边边长相等且夹角为60度，那么它就是等边三角形。

三、等边三角形的应用

等边三角形作为一种特殊的三角形，在几何学和实际生活中有着广

泛的应用。

1. 建筑设计：等边三角形的稳定性和对称性使其成为建筑设计中常

用的形状。例如，蜂窝状的建筑结构常使用等边三角形。

2. 制作模型：等边三角形可以用于制作模型，特别是多面体模型。

例如，立方体的六个面均为等边三角形。

3. 计算几何：等边三角形的性质可用于计算几何中的推导和证明。

例如，通过等边三角形，我们可以推导出正六边形的面积和边长与半

径的关系。

四、等边三角形的例题

例题1：已知△ABC中，AB=BC=AC，且∠ABC=60度，求证

△ABC为等边三角形。

证明：根据等边三角形的判定法，我们需要证明△ABC的三边相等。已知AB=BC，再根据已知∠ABC=60度，可得到∠BAC=∠BCA=60度。由此可知，△ABC的三个角度均为60度，即满足等边三角形的定义。

等边三角形性质与判定

到点 E，使 CE＝CD，AB＝10.
(1)求 BE 的长；
(2)求∠DBE 与∠DEB 的度数．
图1
思路导引：(1)CE＝CD＝12AC＝12AB＝5.BE＝BC＋CE.(2)∠DBE＝ 12∠ABC＝30°，而∠DEB＝∠CDE，由三角形的外角可求∠DEB 的度数．
等边三角形性质与判定
解：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝10. 又∵D 是 AC 的中点，∴CD＝12AC＝5. 又∵CD＝CE，∴CE＝5. ∴BE＝BC＋CE＝10＋5＝15. (2)∵△ABC 是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. 又∵D 是 AC 的中点，∴BD 平分∠ABC. ∴∠DBE＝ 12∠ABC＝30°.
探索星空：探究性质一
1、等边三角形的内角都相等吗?为什么?
由已知:AB=AC=BC,
A
∵AB=AC
∴∠B=∠C (为什么?)
同理 ∠A=∠C ∴∠A=∠B=∠C
B
C
∵ ∠A+∠B+∠C=180°
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °
结论:等边三角形的内角都相等,且等于60 °.
等边三角形性质与判定
探索星空：探究性质二
等边三角形性质与判定
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请你说一说这节课的收获和体验让大家与你一起分享？
等边三角形性质与判定