圆和直角三角形
圆形和三角形的认识
圆形和三角形的认识圆形是几何学中非常重要的一个形状，它具有独特的特征和性质。
三角形也是几何学中常见的形状，它也有自己独特的特点和规律。
下面将介绍圆形和三角形的认识。
一、圆形的认识圆形是具有完全相同半径的所有点所组成的形状。
它有以下几个基本特征：1. 圆心：圆形的中心点称为圆心，通常用字母O表示。
所有的点到圆心的距离都相等。
2. 半径：从圆心到圆上任意一点的距离称为半径，通常用字母r表示。
3. 直径：通过圆心并且两端点都在圆上的线段称为直径，通常用字母d表示。
直径的长度是半径的两倍。
4. 弧长：圆形上的一段连续的弧称为弧长。
5. 圆周率：圆周长与直径的比值称为圆周率，通常用希腊字母π表示，近似值为3.14159。
二、三角形的认识三角形是由三条线段组成的形状，它有以下几个基本特征和性质：1. 三个顶点：三角形有三个顶点，分别用大写字母A、B、C表示。
2. 三条边：三角形有三条边，分别用小写字母a、b、c表示。
3. 三个角：三角形有三个角，分别用大写字母A、B、C表示，对应于三个顶点。
4. 内角和：三角形的三个内角的和为180°。
即A角 + B角 + C角 = 180°。
5. 直角三角形：拥有一个90度内角的三角形称为直角三角形。
在直角三角形中，边与边之间满足勾股定理，即a² + b² = c²。
三、圆形和三角形的联系尽管圆形和三角形是不同的几何形状，但它们之间有着一定的联系和相互作用：1. 圆形内接于三角形：一个圆形可以被内接于一个三角形，即圆心位于三角形的内部，且圆形的边恰好与三角形的三条边相切。
2. 圆形外接于三角形：一个圆形也可以被外接于一个三角形，即圆心位于三角形的外部，且圆形的边恰好与三角形的三个顶点相切。
3. 三角形的内切圆和外接圆：每个三角形都有一个内切圆和一个外接圆。
内切圆的圆心与三角形的三条边相切，外接圆的圆心位于三角形的外部，且与三个顶点相切。
利用直角三角形画圆的算法
利用直角三角形画圆的算法————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:另外一种画圆的算法：算法的数学原理:我们知道圆的内接三角形中,如果有一条边是直径,那么该边所对应的角度是直角。
而在解析几何中,对任意两条斜率存在的直线，如果它们相互垂直,那么它们的斜率相乘为-1，而倘若是在园外（稍微在圆外一点)，则夹角变小，斜率相乘小于－1（待会儿给出证明)，倘若在园内一点，则夹角变大,斜率相乘大于-1,如图：证明:(由于只需要画出1/8圆即能画出整个圆，因此以下以第二个八分圆证明）对于B 点设cos ,sin x r y r θθ==(r 为圆的半径） 则sin sin ,cos cos BC BA r r k k r r r rθθθθ==+-,2222sin *1(cos 1)BC BA r k k r θθ==--。
对于B ’点设cos ,sin x r dx y r θθ=+=其中(0,cos )dx r r θ∈-则''sin sin ,cos cos B C B A r r k k r dx r r dx rθθθθ==+++- 22''22''sin *(cos )0*1B C B A B C B A r k k r dx r dx k k θθ=+->∴<-同理可得，对于B ”点""*1B C B A k k >-以上是对该数学方法的证明下面我们讨论一下具体的描点,如图:设我们已经画出了Ｐ点(P 在第二个八分圆的圆弧上），则我们设P （ｘ,ｙ），则下一个应该描的点应该是P １或P2，我们取P １和P ２的中点Pmid,我们只需要判断出Ｐmi ｄ与圆的关系即可判断应取P1还是P2了，如图:按照前面的论证方法,我们分别算出了121PmidA y k x r -=+-,121PmidC y k x r -=++ 2221()2*(1)PmidA PmidCy k k x r -=+- 因为是否在圆上是以斜率相乘是否为-1为分界线的,所以我们令*1PmidA PmidC k k +,则 222221()(1)2*1(1)PmidA PmidC y x r k k x r-++-+=+- 只需判断出*1PmidA PmidC k k +是否大于0即可我们观察到，对于第二个八分圆,分母22(1)0x r +-<恒成立,则我们只需要判断分子是否大于0即可，当分子2221()(1)02y x r -++->时,则Pmid 在圆外，取P2 当分子2221()(1)02y x r -++-<时，则P ｍid 在圆内，取P １如果相等,则我们约定取P2这样就可以画出圆来了,但是效率太低了,我们可以稍加改进，将其改变成增量的形式因为我们已经取了Ｐ点,则我们可以分情况讨论在P 点之前一次的取点情况,共有两种情况，一是P ’点,二是P ”点，则对应这两种情况:如果是P ’点，则计算的是P ’mid 点的斜率相乘的结果如果是P ”点,则计算的是Ｐ”m ｉd 点的斜率相乘的结果我们设a 为每一次的斜率相乘加1后的分子的值,则对应于Ｐ’m ｉd222'1()2P mid a y x r =++- 而对应于Ｐ”mid222"1()2P mid a y x r =-+- 而我们所需要求的Pm ｉd 点的222222'11()(1)()(221)(221)22Pmid P mid a y x r y x r x y a x y =-++-=++-+-+=+-+ 222222"11()(1)()(21)(21)22Pmid P mid a y x r y x r x a x =-++-=-+-++=++ 由此，我们便将a 的值表示成了增量的形式，通过判断a 的正负来判断该点是在圆内还是圆外,具体的c 代码算法部分如下所示：f ｌo ａt a,ｘ，y,r,esp ｉn ｏn ＝0.０0００1;ﻩint t ａg; ﻩﻩ ﻩ/／tag 是用来判别前一个点是Ｐ’还是P ”的ﻩx ＝0;ﻩﻩﻩﻩ /／tag==１,表示取的是P ’,tag==0，表示取得是P ”ｒ=１00;y=r ；ﻩpDC->SetP ｉxel(0,y,R ＧB(x,y,((x+y)/2）));ａ＝（y-0.5)*(y-０．5)+(ｘ+1)*（x+１)－r*r;if(a>e ｓpinon ）ﻩ{pD Ｃ－>Se ｔPixel(ｘ+1,ｙ-１,R ＧＢ（ｘ,y ，(（ｘ＋y)/2)）)；ﻩx ＋+,ｙ-－;ﻩﻩta ｇ＝1;ﻩ｝ﻩels ｅﻩ{ﻩ pD Ｃ->S ｅtPixel(x+１,y,ＲGB(x ，y,((x+y)/2)))；ﻩﻩx ＋+;ﻩﻩt ａg=0;}ﻩwh ｉｌe （ｘ<=y)｛ﻩ sw ｉｔｃh(ｔa ｇ)ﻩ {ﻩﻩｃase 0:ﻩﻩ a+＝2*x+1;ﻩbreak;ﻩ cas ｅ 1：ﻩﻩ ａ+=2*x －２＊y+1；ﻩ }ﻩ if （a>esp ｉｎｏｎ)ﻩ ｛ﻩ pD Ｃ->ＳetPi ｘｅl （x+１,ｙ－1,RG Ｂ(x,y,(（ｘ＋ｙ)/2)));x++,ｙ－-;ﻩtａg=1;ﻩﻩ｝ﻩelseﻩﻩ｛ﻩﻩpDC->SetPixel(ｘ+1,y,ＲGB(x,y,（(x+y)／2)));ﻩx++;ﻩﻩｔaｇ=0;ﻩ}｝ﻩ下图为用该算法画出的圆（圆心坐标是(１0０，,１00）,半径是1０0）:算法的分析到此为止。
求圆的内接直角三角形的直角边之和的最大值
求圆的内接直角三角形的直角边之和的最大值说到数学题目，大家都知道那是一道什么味道的“硬菜”——好像每次提起就得抬头大喘气，心里咯噔一下。
今天这道题还挺有趣，提到了圆和直角三角形。
你问我怎么回事？哦，题目是求圆的内接直角三角形的直角边之和的最大值。
听起来有点绕口，但其实不难理解，就是要在一个圆里面，找出一个直角三角形，使得它的直角边加起来的和最大。
怎么做到这一点呢？让我们一起解开这谜团吧！大家都知道圆的内接三角形吧。
其实就是在圆里画一个三角形，三角形的三个顶点都落在圆的周长上。
嗯，像什么？像是把三角形放进了一个“圆形的盒子”里，三角形的三条边恰好和圆的边相切。
如果这个三角形是直角三角形，那就有趣了，因为它的直角总是落在圆的直径上。
这一点很重要，等会儿你就明白了。
问题来了，怎么让这个三角形的直角边之和最大呢？大家仔细想一想。
直角三角形的两条直角边是对边和邻边，你知道吧？如果这两条边越长，三角形的面积就越大。
所以啊，我们要找的是让这两条直角边尽可能长的那个三角形。
那要怎么做呢？嘿嘿，告诉你，答案就在圆的直径上。
为什么呢？这是因为直径是圆中最长的线段，所有连接圆心到圆周的线段都不可能比直径更长。
所以，如果我们把直角放在圆的直径上，那么这两条直角边就相当于是圆的两条半径。
注意哦，直角三角形的两个直角边如果落在圆的两条半径上，它们的和就会是最长的。
你想象一下，如果直角边比半径短，那岂不是浪费了圆的“空间”？没错，所以要利用圆的直径，就能保证这两条直角边是最长的。
这个问题呢，仔细一想，数学上其实是有道理的。
如果你拿着量角器，开始试图在圆内“摆”一个直角三角形，你就会发现，直角放在直径上的三角形是最合适的，其他位置的直角三角形，直角边总会被“逼”得变短。
简直就是顺着圆的“脉络”走，走得越远，边长越短。
最后你只会发现，只有直角位于直径上时，才是最舒服、最合适的。
好啦，知道直角要放在哪儿了，接下来就看直角边的“合计”啦。
圆上任意一点与直径组成的三角形是直角三角形证明
圆上任意一点与直径组成的三角形是直角三角形证明示例文章篇一：《圆上任意一点与直径组成的三角形是直角三角形的证明》嘿，小伙伴们！今天我要给大家讲一个超级有趣的数学证明，就是圆上任意一点与直径组成的三角形是直角三角形呢。
咱们先想象一个圆，就像一个超级大的披萨饼一样圆溜溜的。
这个圆有一条直径，就好比是把这个披萨饼从正中间切开的那一条线，把这个圆分成了两个半圆。
那咱们在这个圆上随便找一个点，就叫这个点为点P吧。
然后把这个点P和直径的两个端点A和B连接起来，这样就形成了一个三角形，三角形PAB。
咱们怎么证明这个三角形是直角三角形呢？这时候啊，就要用到圆的一些特性啦。
我们知道圆的半径都是相等的。
假设这个圆的圆心是点O，那OA、OB和OP都是这个圆的半径，它们的长度都是一样的。
咱们来看这个三角形PAB。
我们可以把它看成是由两个等腰三角形组成的。
三角形POA和三角形POB都是等腰三角形呢。
在等腰三角形POA里，角OAP和角OPA是相等的，咱们就把这个角叫做角1吧。
在等腰三角形POB里，角OBP和角OPB是相等的，咱们把这个角叫做角2。
那整个三角形PAB的内角和是180度呀。
咱们来看角PAB加上角PBA再加上角APB 就等于180度。
角PAB就是角OAP，也就是角1，角PBA就是角OBP，也就是角2。
那角APB呢？角APB就等于180度减去角1再减去角2。
咱们再从另一个角度看这个圆。
圆心角AOB是180度，因为它是一个半圆对应的圆心角。
而圆周角APB所对的弧是半圆AB。
我们有一个定理，圆周角的度数是它所对圆心角度数的一半。
所以角APB就是90度。
这就好像是一场魔法一样。
你看，我们从圆的半径相等，到等腰三角形的角相等，再到三角形内角和，最后利用圆周角和圆心角的关系，就得出了这个结论。
我再给大家举个例子吧。
就好比我们在玩搭积木。
每一块积木都有它的作用，就像我们证明里的每一个条件一样。
圆的半径相等是一块积木，等腰三角形的性质是一块积木，三角形内角和是一块积木，圆周角和圆心角的关系也是一块积木。
直角三角形和圆知识点总结
一、直角三角形的性质1. 直角三角形的定义：直角三角形是一种特殊的三角形，其中有一个角是直角，即为90度。
2. 直角三角形的三边关系：直角三角形的三条边之间有特定的关系。
根据毕达哥拉斯定理可得出：直角三角形的斜边平方等于两直角边平方的和，即c^2 = a^2 + b^2。
3. 直角三角形的三角函数：在直角三角形中，角的正弦、余弦、正切等三角函数有着特定的定义和性质。
例如，正弦为对边与斜边之比，余弦为邻边与斜边之比，正切为对边与邻边之比。
这些三角函数的性质对于解决直角三角形相关的问题非常重要。
4. 直角三角形的角平分线、高、中线等性质：直角三角形中的角平分线将对边分成相等的两部分，高是指从直角顶点到斜边的垂直距离，中线是指连接斜边的中点与对边中点的线段。
这些线段与角的关系、长度的关系、位置的关系等都是直角三角形的重要性质。
5. 直角三角形的应用：在日常生活和数学问题中，直角三角形的应用非常广泛。
例如，利用正弦定理、余弦定理、面积公式等来解决实际问题，如计算高楼的高度、测量远处物体的距离等。
因此，掌握直角三角形的性质和应用是十分重要的。
二、圆的性质1. 圆的定义：圆是平面上到一个定点距离等于定长的点的全体的轨迹。
这个定点叫做圆心，到这个定点的距离叫做半径。
圆的直径是连接圆上两点的线段并经过圆心。
2. 圆的周长和面积公式：圆的周长公式为C= 2πR，圆的面积公式为A=πR^2。
其中，π是一个无理数，近似值为3.14。
掌握圆的周长和面积公式对于解决圆相关的实际问题非常有帮助。
3. 圆心角和弧度的关系：圆心角是由圆心上的两条射线所夹的角，弧度是指圆上一弧所对的圆心角的度数。
圆心角和弧度之间有一个重要的关系式：弧长 = 半径 * 弧度。
这个公式对于圆弧的计算非常有用。
4. 圆周角的性质：在一个圆中，圆周角是指一个角的顶点位于圆周上，两条边是圆的两条弧。
圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数。
这个性质对于解决圆周角相关的问题非常有用。
圆与直角三角形的碰撞
圆与直角三角形的碰撞圆和直角三角形，这俩家伙在数学的世界里那可真是有不少有趣的故事。
先来说说圆吧。
你看那圆滚滚的样子，就像个胖乎乎的小娃娃，没有棱角，总是那么圆润可爱。
比如说我们常见的车轮，为啥要做成圆的呢？这可大有讲究。
有一次我在路上看到一辆自行车，车轮是方的，那骑起来的样子别提多滑稽了。
骑的人费了好大的劲，车子还一颠一颠的，速度慢得像蜗牛。
这就是因为圆的独特性质，圆心到圆上任意一点的距离都相等，这样滚动起来才平稳又快速。
再瞧瞧直角三角形，那可是个有棱有角的“家伙”。
直角三角形里有个特别重要的定理，就是勾股定理。
这定理就像是直角三角形的“身份证”，让它在数学的大家庭里有着独特的地位。
记得有一回我去给学生们上课，讲到勾股定理，我就问他们：“如果一个直角三角形的两条直角边分别是 3 和 4，那斜边是多少？”结果有个小家伙马上抢答：“5 呀，老师，3 的平方加 4 的平方等于 5 的平方！”我当时心里那个乐呀，觉得这孩子真聪明。
当圆和直角三角形碰到一起，那更是精彩万分。
比如说，从圆里截取一个最大的直角三角形。
这时候你就得好好琢磨琢磨了。
圆的直径就是这个直角三角形的斜边，两条直角边呢，就是圆的半径。
想象一下，一个大大的圆，里面藏着一个直角三角形，是不是感觉特别神奇？还有啊，在实际生活中，也经常能看到圆和直角三角形的组合。
比如建筑工人在盖房子的时候，要用到圆形的柱子和直角三角形的钢梁来支撑结构。
设计师在设计图案的时候，也会巧妙地把圆和直角三角形融合在一起，让作品更加美观和有创意。
我曾经带着学生们做过一个小实验。
我们用硬纸板做了一个圆，然后在圆里画出最大的直角三角形。
孩子们一个个都特别认真，眼睛紧紧地盯着自己手中的纸板，小手不停地比划着。
当他们最终成功地画出那个直角三角形的时候，脸上洋溢着的那种成就感，真的让人特别欣慰。
总之，圆和直角三角形，它们既是数学中的重要角色，也是我们生活中的好帮手。
它们的碰撞，就像是一场精彩的舞会，给我们带来了无数的惊喜和乐趣。
直角三角形的内切圆半径公式推导
直角三角形的内切圆半径公式推导【原创实用版】目录1.直角三角形内切圆的定义与性质2.直角三角形内切圆半径公式的推导3.直角三角形内切圆半径公式的应用4.总结正文一、直角三角形内切圆的定义与性质直角三角形的内切圆是指与三角形的三边都相切，且切点分别为 D、E、F 的一个圆。
内切圆的半径称为内切圆半径，通常用 r 表示。
直角三角形内切圆具有以下性质：1.内切圆半径 r 等于三角形面积 S 除以半周长 s 的一半，即 r = S / (s/2)。
2.内切圆半径 r 等于三角形三边长度 a、b、c 的乘积除以 4 倍三角形面积，即 r = abc / (4S)。
二、直角三角形内切圆半径公式的推导为了推导直角三角形内切圆半径公式，我们可以运用切线长定理和三角形面积公式。
已知：在直角三角形 RtABC 中，∠C = 90°，内切圆 O 分别切 AB、BC、CA 于点 D、E、F。
证明：内切圆半径 r = (ab - c) / 2证明过程如下：1.由切线长定理得：AE = AF = √(AB -BF)，BD = BE = √(BC - EF)。
2.在四边形 CDOE 中，CD = CE = r，CO = √(r + (AB - BC))。
3.由勾股定理得：DE = √(CD + CE) = √(2r + (AB - BC))。
4.由三角形面积公式得：S△ABC = 1/2 × AB × BC = 1/2 × (AB + BC + AC) × r。
5.将 AB、BC、AC 用 r 表示，得：S△ABC = 1/2 × (2r + (AB - BC)) × r = 1/2 × (AB × r + BC × r - r × BC)。
6.将 S△ABC 用 S 表示，得：S = 1/2 × (AB × r + BC × r - r × BC)。
圆的内接直角三角形
圆的内接直角三角形圆的内接直角三角形是指一个直角三角形，其三个顶点同时位于一个圆的圆周上。
这种特殊的三角形在几何学中具有一些独特的性质和特点。
我们来探讨一下圆的内接直角三角形的构造方法。
假设有一个圆，我们可以在圆上随机选择一个点A作为直角三角形的顶点，然后在圆上选择另外两个点B和C，使得AB和AC分别为直角三角形的两条直角边。
这样，我们就得到了一个圆的内接直角三角形ABC。
接下来，我们来研究一下圆的内接直角三角形的性质。
首先，根据圆的性质，三角形ABC的三条边都是圆的弧。
其次，根据直角三角形的性质，角B和角C是直角。
另外，根据圆的内切角定理，角B 和角C分别等于其对应的弧所对的圆心角。
因此，我们可以得出结论：圆的内接直角三角形的两个锐角分别等于其对应的弧所对的圆心角。
圆的内接直角三角形还有一个非常重要的性质，即勾股定理。
由于角B和角C是直角，所以根据勾股定理，边AB的平方加上边AC 的平方等于边BC的平方。
这个定理在解决直角三角形的问题时非常有用，可以帮助我们计算三角形的边长。
除了勾股定理，圆的内接直角三角形还有其他一些有趣的性质。
例如，根据圆的性质，三角形ABC的三个顶点A、B、C以及圆心O共线。
另外，圆的内接直角三角形的外接圆就是原来的圆。
这个性质在解决与圆相关的问题时也非常有用。
圆的内接直角三角形在几何学中有着广泛的应用。
例如，在导航和测量中，我们经常需要计算两个地点之间的直线距离，这时就可以利用圆的内接直角三角形的勾股定理来计算。
另外，在建筑和工程中，我们也经常需要测量和计算各种角度和距离，圆的内接直角三角形的特性可以帮助我们解决这些问题。
圆的内接直角三角形是一个特殊的三角形，其三个顶点同时位于一个圆的圆周上。
这种三角形具有许多独特的性质和特点，如圆心角等于对应的弧、勾股定理等。
这些性质和特点在解决与圆和直角三角形相关的问题时非常有用。
因此，圆的内接直角三角形在几何学中具有重要的应用价值。
内切圆公式大全
内切圆公式大全
内切圆公式大全包括以下几种情况：
1.一般三角形内切圆半径公式：r = 2S / (a + b + c)，其中S是三角形的面积，a、b、c分别是三角形
的三边长。
2.直角三角形内切圆半径公式：r = (a + b - c) / 2，其中a、b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。
3.正方形内切圆半径公式：r = a / 2，其中a是正方形的边长。
4.正六边形内切圆半径公式：r = a / 2，其中a是正六边形的边长。
需要注意的是，以上公式仅适用于二维平面图形。
对于其他类型的图形或三维立体图形，内切圆半径的公式可能会有所不同。
同时，在实际应用中，还需要根据具体情况选择合适的公式进行计算。
中考数学圆与三角形
中考数学圆与三角形在数学的世界里，圆与三角形是两个最基本的几何形状。
它们不仅具有独特的美丽和规律，而且在解决各种实际问题时也扮演着至关重要的角色。
在中考数学中，圆与三角形的概念和性质是必须掌握的重点内容。
我们来探讨圆的世界。
圆是一个没有起点和终点的闭合曲线，它把平面上所有的点均匀地分散在各个方向。
圆的特性使其在许多实际问题中都有应用，例如在物理学中的转动问题，或者在日常生活中看到的圆形钟表等。
在中考数学中，我们需要掌握圆的基本性质，如圆心、半径、直径、圆周率等，同时还需要掌握与圆有关的定理和公式，如垂径定理、圆周角定理等。
接下来，我们进入三角形的世界。
三角形是一种由三条直线段围成的封闭图形，这三条直线的端点被称为三角形的顶点。
三角形具有稳定性，这一特性使其在工程和建筑设计中得到广泛应用。
在中考数学中，我们需要了解三角形的分类，如等腰等边、直角等，同时还需要掌握与三角形有关的性质和定理，如三角形的内角和定理、勾股定理等。
在掌握圆与三角形的基本概念和性质后，我们还需要学会如何运用这些知识来解决实际问题。
这需要我们具备一些基本的数学技能，如代数运算、几何证明、函数分析等。
在中考数学中，这类问题的解决通常需要综合运用我们所学的各种数学知识。
圆与三角形是中考数学中非常重要的内容，它们不仅涉及到许多基础概念和性质，而且还提供了解决各种实际问题的方法。
通过深入理解圆与三角形的性质和定理，我们可以更好地理解这两个形状的世界，并且能够更好地运用它们来解决生活中的各种问题。
因此，我们应该用心去探索和学习这一部分内容，以期在中考数学中取得优异的成绩。
三角形的稳定性：在几何中，三角形是一种基本的图形，它具有很强的稳定性。
在现实生活中，我们也可以看到很多应用三角形的实例，比如自行车框架，屋顶等。
三角形的稳定性在于它的三个边长确定后，这个三角形的形状和大小就固定了，不会因为任何外部力量的改变而改变。
三角形的内角和：在任何三角形中，三个内角的和总是等于180度。
直角三角形和圆的关系
直角三角形和圆的关系稿子一嘿，亲爱的朋友！今天咱们来聊聊直角三角形和圆这俩家伙的关系，可有趣啦！你知道不，直角三角形和圆有时候就像一对默契的小伙伴。
比如说，把一个直角三角形放在圆里，这三角形的斜边可能就是圆的直径。
想象一下，圆就像个大舞台，直角三角形在上面尽情表演。
还有哦，那个直角三角形内切圆也很神奇。
内切圆就像藏在三角形心里的小秘密，它和三角形的三条边都相切。
这个内切圆的半径，还能通过三角形的边长算出来呢。
而且呀，在解决数学问题的时候，直角三角形和圆常常一起出现帮忙。
有时候，圆能给直角三角形提供一些关键的线索，让解题变得轻松不少。
你看，直角三角形和圆，它们相互配合，就像舞台上的最佳搭档，给咱们带来了好多惊喜和乐趣。
是不是很有意思呀？稿子二亲，咱们来唠唠直角三角形和圆的那些事儿！先说直角三角形，它那三个角，有一个是直角，看着就特别有个性。
而圆呢，圆圆的，完美得没有一点棱角。
可别觉得它们没啥关系，关系大着呢！你想想，如果以直角三角形的斜边为直径画个圆，这直角三角形就乖乖地待在圆里啦。
还有那个直角三角形的外接圆，外接圆的圆心就在斜边的中点上，这是不是很神奇？就好像圆心是直角三角形的大管家，照顾着它。
另外，从面积角度看，圆的面积公式和直角三角形的面积公式虽然不同，但有时候能通过它们的关系求出一些难题的答案。
再说，如果把直角三角形的三个顶点都放在圆上，那这个圆就叫这个直角三角形的外接圆。
是不是感觉圆就像个温暖的怀抱，把直角三角形紧紧抱住。
直角三角形和圆，看似不同，其实关系密切得很，它们一起在数学的世界里创造了好多精彩！怎么样，是不是觉得很有趣呀？。
圆内接直角三角形定理
圆内接直角三角形定理圆内接直角三角形定理，这名字听起来就挺高大上的，不过别担心，我们就像聊天一样来聊聊它，轻松又有趣。
想象一下，有一天你在公园散步，突然看到一群孩子在画圆，哎呀，这画圆的过程可真有意思，圆滑得像个大饼。
孩子们玩得不亦乐乎，突然之间，一个小家伙把一个直角三角形画了进来，哎，这可不是普通的三角形，它可是内接于圆的。
于是我就忍不住想，这小家伙画的三角形可不简单啊，居然是直角三角形。
这时候，我的脑海中冒出一个问题，为什么这个三角形能在这个圆里安家落户呢？说到这，你可能会想，这个定理到底是什么意思？简单来说，如果一个三角形的三个顶点都在圆上，而且其中一个角是直角，那这个三角形就叫做内接直角三角形。
更有意思的是，圆的直径恰恰就是这个直角三角形的斜边。
这可真是个神奇的现象。
你想想，直角三角形的两个锐角加起来正好是直角，圆的周长又那么圆润，真是天作之合啊。
这个定理就像生活中的小秘密，总是在你不经意间闪现，哎，真是有趣。
说到这里，咱们得讲讲这个定理的一个小故事。
古代的希腊人可真是个了不起的民族，他们可不光会打仗，还爱研究数学。
那个时候，毕达哥拉斯这个名字应该很耳熟吧？他可是数学界的明星，听说他发明了许多定理，包括咱们今天要聊的这个。
某天，毕达哥拉斯正在思考人生，突然灵光一现，哎，为什么内接的直角三角形的斜边是直径呢？他便兴冲冲地跑去找朋友们分享这个发现。
他的朋友们一开始有点不屑，结果一试之下，哎呀，果然没错！于是这个定理就传遍了整个古希腊，成了家喻户晓的真理。
想象一下，当时的人们在阳光下，围着圆圈，兴致勃勃地讨论着这个神秘的定理，直呼“牛逼！”这就好像我们现在在咖啡店里闲聊，谈论着某个有趣的话题，互相分享着自己的见解。
生活就是这样，充满了惊喜和发现。
就像在探索一个未知的领域，每一次发掘都让人心潮澎湃。
这个定理在现实生活中也有许多应用呢。
比如，在建筑设计中，很多建筑师会利用这个定理来进行设计，确保他们的结构稳固又美观。
直角三角形的内切圆的半径-概述说明以及解释
直角三角形的内切圆的半径-概述说明以及解释1.引言1.1 概述直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为直角（90度）。
内切圆是指能够切确地与三角形的三边相切的圆。
本文旨在研究直角三角形的内切圆的半径及其相关性质。
在本文的概述部分，我们将首先介绍直角三角形的定义。
直角三角形是指一个三角形中有一个角度为直角，即为90度。
我们将探讨直角三角形的特性和其与其他类型三角形的区别。
随后，我们将引入内切圆的定义。
内切圆是指能够与直角三角形的三边相切的圆。
我们将讨论内切圆的特性，例如它与直角三角形的关系和相对位置。
在探讨了直角三角形和内切圆的定义后，我们将进一步研究内切圆的性质。
包括内切圆的位置、大小和形状等方面的性质，我们将详细讨论这些内容，以便更好地理解内切圆在直角三角形中的作用和特点。
接下来，我们将介绍内切圆的半径与直角三角形的关系，探讨这两者之间的数学联系。
我们将探究内切圆半径与直角三角形的各边长度之间的关系，并给出相应的证明和推导过程。
在结论部分，我们将总结本文的研究成果，阐明内切圆半径与直角三角形的关系及其应用。
我们将讨论内切圆半径对直角三角形的重要意义，并展望相关研究的可能性和未来的发展方向。
通过对直角三角形的内切圆及其半径的研究，我们可以更深入地理解三角形和圆的几何性质，同时也为解决相关几何问题提供了理论基础。
此外，对于数学教育和实际应用领域，了解内切圆的性质和特点也具有重要的意义。
我们期待通过本文的研究，能够为读者带来新的思考和启示。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以如下所示：文章结构部分主要介绍了整篇文章的组织架构和各个章节的主要内容。
通过清晰地列出文章的目录，读者可以更好地了解文章的整体结构和内容安排。
本文共分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，我们将首先对直角三角形的内切圆的半径进行一个概述，介绍该主题的背景和意义。
接下来，我们将介绍文章的结构并明确本文的目的，以便读者能够理解本文的整体框架和研究方向。
两圆公共弦推导
两圆公共弦推导
设两圆的半径分别为R1和R2，两圆心之间的距离为d。
我们可以通过构造两个直角三角形来推导两圆的公共弦。
首先，我们以两圆的其中一个交点为顶点，构造一个直角三角形，其中直角边是圆心连线中点到其中一个圆心的距离h1，斜边是一个圆的半径R1。
根据勾股定理，这个直角三角形的另一个直角边的长度为sqrt(R1^2 - h1^2)。
同样地，在另一个交点处，我们构造另一个直角三角形，其中直角边是圆心连线中点到另一个圆心的距离h2，斜边是另一个圆的半径R2。
根据勾股定理，这个直角三角形的另一个直角边的长度为sqrt(R2^2 - h2^2)。
由于两个直角三角形共享一个直角边，我们可以将它们的另一个直角边相加等于两个直角三角形的斜边长度，即：
sqrt(R1^2 - h1^2) + sqrt(R2^2 - h2^2) = d
这就是两圆公共弦的推导过程。
圆与直角三角形的碰撞
04
圆与直角三角形碰撞的模拟和实 验
模拟软件的选择和使用
选择合适的模拟软件
选择一款适合模拟圆与直角三角形碰撞的软件，如 Simulink、Matlab等，这些软件具有强大的物理模拟功 能，能够准确模拟复杂的碰撞过程。
软件安装与配置
按照软件安装指南进行安装，并根据模拟需求进行必要的 配置，如设置模拟时间、初始条件、边界条件等。
正确性和可靠性。
05
圆与直角三角形碰撞的实际应用
在物理教学中的应用
模拟天体运动
圆和直角三角形可以用来模拟行星和 卫星的运动轨迹，帮助学生理解万有 引力定律和开普勒定律等物理原理。
碰撞与弹力
通过圆与直角三角形的碰撞，可以解 释动量守恒、能量守恒等物理原理， 帮助学生理解碰撞过程中物体的速度 、动量和能量变化。
在工程设计中的应用
机械转动
在机械设计中，圆和直角三角形可以用来设计各种转动的零部件，如轴承、齿 轮等，以提高机械效率和稳定性。
建筑结构
在建筑设计领域，圆和直角三角形可以用来设计桥梁、建筑结构等，以满足强 度、刚度和稳定性的要求。
在科研中的应用
生物学研究
在生物学研究中，圆和直角三角形可以用来描述细胞、细菌 等微生物的形状和运动轨迹，有助于研究其生长、繁殖和运 动规律。
考虑更复杂的物理效应
在未来的研究中，可以进一步考虑碰撞过程中的能量耗散、摩擦力、流体动力学等复杂物 理效应，以更准确地模拟和预测实际应用中的碰撞行为。
拓展应用领域
圆与直角三角形的碰撞研究具有广泛的应用前景，如材料科学、工程结构、交通安全等。 未来研究可以进一步探索其在不同领域中的应用，为解决实际问题提供理论支持和实践指 导。
实验结果的分析和讨论
直角三角形内切圆半径公式的应用
直角三角形内切圆半径公式的应用首先，让我们先来看看直角三角形内切圆半径公式的推导过程。
1.假设我们有一个直角三角形ABC，其中∠ABC是直角。
2.画出三角形的内切圆O，假设它的半径为r。
3.连接AO、BO和CO，它们分别垂直于三角形的边AB、BC和AC。
4.根据垂直边上的高度定义可以得到以下三个等式：-AO+BO=AB-BO+CO=BC-AO+CO=AC5.根据勾股定理，我们可以得到：-AB²=AO²+BO²-BC²=BO²+CO²-AC²=AO²+CO²6.将第4步和第5步的等式相加，可得到：-AB²+BC²+AC²=2(AO²+BO²+CO²)7.将等式重写为：-(AB+BC+AC)²=2(AO²+BO²+CO²)8.由于AB+BC+AC是直角三角形的周长，我们可以将其表示为2P（P 表示三角形的半周长）。
9.将第8步的等式代入第7步，可得到：-(2P)²=2(AO²+BO²+CO²)10.简化等式，得到：-P²=AO²+BO²+CO²11.根据垂直边上的高度定义，AO、BO和CO分别等于r、r和r。
12.将AO²+BO²+CO²的值代入第10步的等式，得到：-P²=3r²13.消去平方根，最终得到直角三角形内切圆半径公式：-r=P/√3现在，让我们来看看几个直角三角形内切圆半径公式的实际应用。
应用1：计算内切圆的半径通过直角三角形内切圆半径公式，我们可以快速计算内切圆的半径。
只需要知道直角三角形的半周长P，就可以利用公式r=P/√3计算出内切圆的半径r。
应用2：计算直角三角形的面积应用3：计算其他圆的半径除了内切圆的半径，我们还可以利用直角三角形内切圆半径公式计算其他与直角三角形相关的圆的半径。
直角三角形内切圆半径公式推导
直角三角形内切圆半径公式推导
直角三角形的内切圆半径公式：r=(a+b-c)/2推导如下：
设Rt△ABC中,∠C＝90度,BC＝a,AC＝b,AB＝c内切圆圆心为O，三个切点为D、E、F,连接OD、OE
显然有OD⊥AC，OE⊥BC，OD＝OE
所以四边形CDOE是正方形
所以CD＝CE＝r
所以AD＝b－r，BE＝a－r
因为AD＝AF，CE＝CF
所以AF＝b－r，CF＝a－r
因为AF＋CF＝AB＝r
所以b－r＋a－r＝r
内切圆半径r＝(a＋b－c)/2
即内切圆直径L＝a＋b－c
直角三角形的判定方法：
判定1：有一个角为90°的三角形是直角三角形。
判定2：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形。
判定3：若a的平方＋b的平方=c的平方，则以a、b、c为边的三角形是以c 为斜边的直角三角形（勾股定理的逆定理）。
判定4：若一个三角形30°内角所对的边是某一边的一半，那么这个三角形是以这条长边为斜边的直角三角形。
判定5：两个锐角互余的三角形是直角三角形。
圆和解直角三角形习题
初三数学总复习---圆和解直角三角形练习题 审核人：张新颖一、锐角三角函数1．（2011山东烟台，9,4分）如果△ABC 中，sin A =cos B ，则下列最确切的结论是A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形 C. △ABC 是等腰直角三角形 D. △ABC 是锐角三角形2．（2011安徽芜湖，8，4分）如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为.A ．12 B ． 34C ．D ．453．（2011浙江温州，5，4分）在△ABC 中，∠C =90°，AB ＝13，BC ＝5，则sin A 的值是 A ．513B ．1213C ．512D ．1354．（2010黑龙江哈尔滨）在7,35,90,==∠=∠∆AB B C ABC Rt中，则BC 的长为A ．35sin 7B ．35cos 7C ．35cos 7D ．35tan 75．（2010 黄冈）在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，则tan B ＝ A ．43 B ．34 C ．35 D ．456．（2010湖南怀化）在Rt △ABC 中，∠C=90°，sin A =54，则cos B 的值等于 A ．53 B. 54 C. 43 D. 557．（2010 湖北孝感）如图，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则A ∠tan 的值是A ．56B ． 65C ． 3102 D ．101038114cos 45( 3.14)tan 603-⎛⎫--++ ⎪⎝⎭π9．计算：100012cos30( 3.14)2sin 602-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭π10．（2010 福建三明）如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC ⊥AB ，AD =CD ，54cos =∠DCA ，BC =10，则AB 的值是 A ．9 B ．8 C ．6 D ．3 11．（2010四川眉山）如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =30°，∠C =60°，AD =4，AB=，则下底BC 的长为 __________．60°30°D CBA12．（2011广东东莞，19，7分）如图，直角梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90°，∠C =30°．折叠纸片使BC 经过点D ．点C 落在点E 处，BF 是折痕，且BF = CF =8． （l ）求∠BDF 的度数； （2）求AB 的长．αDCA二、解直角三角形1．如图，在Rt ABC △中，90ACB CD AB =⊥，∠于点D．已知AC =2BC =，那么sin ACD ∠= AB ．23CD2．在正方形网格中，若α∠的位置如图所示，则cos α的值为Ａ．12Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．23．（2011浙江义乌，15，4分）左下图是市民广场到解百地下通道的手扶电梯示意图．其中AB 、CD 分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC =135°，BC 的长约是25m ，则乘电梯从点B 到点C 上升的高度h 是 m ．4．（2011江苏南通，17，3分）如右上图，测量河宽AB （假设河的两岸平行），在C 点测得∠ACB ＝30°，D 点测得∠ADB ＝60°，又CD ＝60m ，则河宽AB 为 m （结果保留根号）.6．如图，四边形ABCD 中，∠BAD =90°，∠ADC =135°， AB =38，BC =76，∠BAC =60°，求CD 的长.ABDD CBA 7．如图，四边形ABCD 中，∠A =∠C =90°，∠D =120°，BC =2，AD =1，求：四边形ABCD 的周长.8．（2011四川南充市，19，8分）如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，⊿BCE 沿BE 折叠为⊿BFE ,点F 落在AD 上. (1)求证：⊿ABE ∽⊿DFE ; (2)若sin ∠DFE =31,求tan ∠EBC 的值. FED CBA9．（2011江苏宿迁,23,10分）如图，为了测量某建筑物CD 的高度，先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m ，此时自B 处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m ，请你计算出该建筑物的高度．1.732，结果精确到1m ）（第9题）EDCBA三、圆的基本性质1．如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC AB⊥于点D，交⊙O于点C，且1CD=，则弦AB的长是 .2．如图，AB为直径，∠BAC=20，D为上的任意一点，则∠ADC＝度.3．如图，AB为O的直径，弦CD AB⊥，E为BC上一点，28CEA∠=，则ABD∠= .4．如图，在⊙O中，∠ACB=∠D=60°，AC=3，则△ABC的周长为________．第 1题图第2题图第3题图第4题图5．如图，AB为⊙O的直径，AC为弦，D为AC的中点，DE⊥AB于E交AC于F，若AF=2，则DF的长为．6．O的半径为1，AB是O的一条弦，且AB=则弦AB所对圆周角为______. 7．已知O中弦AB，AC=BAC∠=度.8．如图，已知ACB∠是O的圆周角，50ACB∠=，则AOB∠=A．40B．50C．80D．1009．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于A．100°B．110°C．120°D．130°第第8题图第9题图第10题图10．中，C、D三等分AB，AD、BC相交于点E，若CE=2，AE=4，则CD= A．3 C．D．411． 如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点H ，若∠D =30°，CH =1cm ，则AB = cm ．12． （2010四川乐山）如图，一圆弧过方格的格点A 、B 、C ，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A 的坐标为（－2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是A. （－1，2）B. （1，－1）C. （－1，1）D. （2，1）13．（2010江西省南昌）如图,⊙O 中，AB 、AC 是弦，O 在∠ABO的内部，α=∠ABO ，β=∠ACO ，θ=∠BOC ，则下列关系中，正确的是A.βαθ+=B. βαθ22+= C ．︒=++180θβα D. ︒=++360θβα 14．（2010广西柳州）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC =2cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC =60°．若动点E 以2cm/s 的速度从A 点 出发沿着A →B →A 方向运动，设运动时间为t (s )(0≤t ＜3)， 连结EF ，当t 值为________s 时，△BEF 是直角三角形．15．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC 、OD 分别交AB 于点E 、F ，•且AE =BF ，请你指出AC 与BD 的数量关系，并给予证明．FE OAC BA CBC D四、圆中的计算----计算弧长、扇形面积、圆锥(柱)的侧面积和全面积.1．（2011四川重庆，14，4分）在半径为 4π 的圆中，45°的圆心角所对的弧长等于 ．2．（2011广东广州市，10，3分）如图，AB 切⊙O 于点B ，OA =23，AB =3，弦BC ∥OA ，则劣弧 ⌒BC的弧长为A ．33π B ．32πC ．πD ．32πF ED CB A3．（2011山东滨州，11，3分）如图.在△ABC 中,∠B =90°, ∠A =30°，AC =4cm ，将△ABC 绕顶点C 顺时针方向旋转至△A′B′C ′的位置，且A 、C 、B′三点在同一条直线上,则点A 所经过的最短路线的长为A. B. 8cm C.163cm π D. 83cm π4．（2011江苏盐城，17，3分）如图，已知正方形ABCD 的边长为12cm ，E 为CD 边上一点，DE =5cm ．以点A 为中心，将△ADE 按顺时针方向旋转得△ABF ，则点E 所经过的路径长为 cm ．5． (20011江苏镇江,13,2分)已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20πcm,则此扇形的半径是______cm 面积是_____cm 2.(结果保留π) 6．已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于lA ．11πB ．10πC ．9πD ．8π7．如图，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，那么这个圆锥的侧面积是_________2cm ． 8．（2011山东泰安，14 ，3分）一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是 A.5π B. 4π C.3π D.2π9．（2011江苏无锡，4，3分）已知圆柱的底面半径为2cm ，高为5cm ，则圆柱的侧面积是 A ．20 cm 2 B ．20π cm 2 C ．10π cm 2 D ．5π cm 2B′A′CBA（第3题图）86（第7题）10．（ 2011重庆江津， 19，4分）如图,点A 、B 、C 在直径为32的⊙O 上,∠BAC =45º,则图中阴影的面积等于______________,(结果中保留π).11．（2011山东济宁，9，3分）如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为 A ．6cmB． C ．8cmD．12．（2011山东烟台，12,4分）如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线FK 1K 2K 3K 4K 5K 6K 7……叫做“正六边形的渐开线”，其中1FK ，12K K ，23K K ，34K K ，45K K ，56K K ，……的圆心依次按点A ，B ，C ，D ，E ，F 循环，其弧长分别记为l 1，l 2，l 3，l 4，l 5，l 6，…….当AB ＝1时，l 2 011等于 A.20112π B.20113π C.20114π D.20116π13．（2011甘肃兰州，18，4分）已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m ，半圆的直径为4m ，则圆心O 所经过的路线长是 m.（结果用π表示）（第11题）剪去第10题图l（第12题图）7五、三种位置关系 （一）直线与圆的位置关系1．已知∠ABC =60°，点O 在∠ABC 的平分线上，OB =5cm ，以O 为圆心3cm 为半径作圆，则⊙O 与BC 的位置关系是________． 2．已知O 的直径AB 与弦AC 的夹角为35°，过C 点 的切线PC 与AB 的延长线交于点P ，则P ∠等于 Ａ．15 Ｂ．20Ｃ．25Ｄ．303．如图，直线PAPB ，是⊙O 的两条切线，A B ，分别为切点，120APB =︒∠，10OP =厘米，则弦AB 的长为A．厘米B ．5厘米C．D厘米 4．如图，⊙I 是ABC △的内切圆，D ，E ，F 为三个切点，若52DEF =∠，则A ∠的度数为 Ａ．76 Ｂ．68Ｃ．52 Ｄ．385．已知圆O 的半径为1，点P 到圆心O 的距离为2，过点P 引圆O 的切线，那么切线长是__________． 6．（2011浙江省嘉兴，22，12分）如图，△ABC 中，以BC 为直径的圆交AB 于点D ，∠ACD =∠ABC ．（1）求证：CA 是圆的切线；（2）若点E 是BC 上一点，已知BE =6，tan ∠ABC =32，tan ∠AEC =35，求圆的直径．（第6题）第4题图AP（第2题）7．（2011广东株洲，22，8分）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 为⊙O 的切线，AC 交⊙O 于点E ，D 为AC 上一点，∠AOD =∠C ． （1）求证：OD ⊥AC ； （2）若AE =8，3tan 4A ，求OD 的长．8．（2011湖南永州，23，10分）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 是⊙O 上一点（不与A ，B 重合），连接AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 交BC 于点D ，在OD 的延长线上取一点E ，连接EB ，使∠OEB =∠ABC ．⑴求证：BE 是⊙O 的切线； ⑵若OA =10，BC =16，求BE 的长．9．（2011贵州安顺，26，12分）已知：如图，在△ABC 中，BC =AC ，以BC 为直径的⊙O 与边AB 相交于点D ，DE ⊥AC ，垂足为点E ． ⑴求证：点D 是AB 的中点；⑵判断DE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；⑶若⊙O 的直径为18，cosB =31，求DE 的长．EB（第8题图）第9题图（二）圆与圆的位置关系1．（2011浙江省舟山，5，3分）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是 （A ）两个外离的圆 （B ）两个外切的圆 （C ）两个相交的圆 （D ）两个内切的圆2．已知两圆的半径分别为3和4，圆心距为8，那么这两个圆的位置关系是 Ａ．内切Ｂ．相交Ｃ．外离Ｄ．外切3．（2011江苏扬州，4,3分）已知相交两圆的半径分别在4和7，则它们的圆心距可能是 A.2 B. 3 C. 6 D. 114．（2011广东茂名，7，3分）如图，⊙1o 、⊙2o 相内切于点A ，其半径分别是8和4，将⊙2o 沿直线1o 2o 平移至两圆相外切时，则点2o 移动的长度是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．8 或165．（2011湖北襄阳，9，3分）在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，若⊙A ，⊙B 的半径分别为1cm ，4cm ，则⊙A ，⊙B 的位置关系是 A .外切B .内切C .相交D .外离6．（2011广东肇庆，14，3分）已知两圆的半径分别为1和3，若两圆相切，则两圆的圆心距为 ．7．（2011四川广安，14，3分）已知⊙O 1与⊙O 2的半径1r 、2r 分别是方程2680x x -+=的两实根，若⊙O 1与⊙O 2的圆心距d =5．则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是___ _ 8. （2011江苏南通，18，3分）已知：如图，三个半圆以此相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上并与直线yx 相切，设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3的半径分别是r 1、r 2、r 3，则当r 1＝1时，r 3＝主视方向（第1题）（三）正多边形和圆1．（2011广东中山，5,3分）正八边形的每个内角为A ．120°B ．135°C ．140°D ．144°2．（2011广东肇庆，9，3分）已知正六边形的边心距为3，则它的周长是A ．6B ．12C ．36D ．3123．一元钱硬币的直径约为24mm ，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过 A ．12 mm B ．123mm C ．6mm D ．63mm4．（2010 山东济南） 如图，正六边形螺帽的边长是2cm ，这个扳手的开口a 的值应是（ ）A ．32 cmB ．3cmC ．332 cm D ．1cm 5． （2010湖南长沙）如图，在⊙O 中，OA ＝AB ,OC ⊥AB ,则下列结论错误的是A ．弦AB 的长等于圆内接正六边形的边长； B ．弦AC 的长等于圆内接正十二边形的边长； C ．AC ⌒＝BC ⌒； D ．30BAC ∠=︒（四）求阴影面积1．如图，在△OAB 中，OA =OB =2, ∠OAE =30°,⊙O 切AB 于E ，且分别交OA 、OB 于C 、D ,面积是____________．2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，CA=CB=2，分别以A 、B 、C 为圆心，以１为半径画圆，则图中阴影部分的面积是____________．3．如图，四边形ABCD 是一个矩形，⊙C 的半径是2cm ，CF=4cm ，EF=2cm,CE ⊥EF 于E,则图中阴影部分的面积为____________六、圆与直角三角形的综合1．（2011江西，21，8分）如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）.⑴求∠BAC的度数；⑵求△ABC面积的最大值.2．（2010浙江金华）如图，AB是⊙O的直径，C 是的中点，CE⊥AB于 E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF﹦BF；（2）若CD ﹦6，AC ﹦8，求⊙O的半径和CE的长.3．如图，以正方形ABCD的边AB为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，CG切半圆于E，交AD于F，交BA的延长线于G，GA＝8. （1）求∠G的余弦值；（2）求AE的长.B4．已知30MAN ∠=°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心，2为半径作O ，交AN 于D E ，两点，设AD x =．（1）如图（1），当x 取何值时，O 与AM 相切. （2）如图（2），当x 取何值时，O 与AM 相交于B C ，两点，且90BOC ∠=°.5．如图，△ABC 内接于⊙O ，AD ⊥BC ，OE ⊥BC ， OE ＝12BC ．（1）求∠BAC 的度数．（2）将△ACD 沿AC 折叠为△ACF ，将△ABD 沿AB 折叠为△ABG ，延长FC 和GB 相交于点H ．求证：四边形AFHG 是正方形．（3）若BD ＝6，CD ＝4，求AD 的长．2011.5怀柔3．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别为5cm 、8cm ，且它们的圆心距为8cm ，则⊙O 1与⊙O2(1) ADMENO(2)B CB的位置关系为A ．外离B ．相交C ．相切D ．内含 2011.5怀柔7．如图是一个圆锥形冰淇淋，已知它的母线长是5cm ，高是4cm ， 则这个圆锥形冰淇淋的底面面积是 A ．210cm π B ．29cm π C ．220cm π D ．2cm π大兴2011.511．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 、E 都是⊙O 上的点， 则∠ACE ＋∠BDE ＝ ．海淀2011.511. 如图，CD 是⊙O 的直径，弦AB ⊥CD 于点H ，若∠D =30°， CH =1cm ，则AB = cm ．昌平2011．47.如图，已知，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上， ∠ABC =50°，则∠D 为A ．50°B ．45°C ．40°D ． 30°朝阳2011.57．一元钱硬币的直径约为24mm ，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过 A ．12 mm B ．123mm C ．6mm D ．63mm朝阳2011.511．如图，△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，∠ACB =40°， 点D 是弧BAC 上一点，则∠D 的度数是______．大兴2011.57．如图3，四边形OABC 为菱形，点A 、B 在以点O 为圆心的弧DE 上，若OA=3，∠1=∠2,则扇形ODE 的面积为A.3π2 B. 2π C.5π2D. 3π 东城2011.5 CD(第11题图)DB OEDCBA O图1图26．已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于A ．11πB ．10πC ．9πD ．8π房山2011.54．如图，AB 为圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为点E ， 联结OC ，若OC=5，AE=2，则CD 等于A ．3B ．4C ．6D ．8门头沟2011.56．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，交⊙O 于点D ．若∠CDB =30°，⊙O CD 的长是A ．32B ．3C ．D ．9 密云2011.56．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，若∠ABC ＝70°， 则∠AOC 的度数等于A ．140°B ．130°C ．120°D ．110°丰台2011.511．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝l ，则弦AB 的长是 ．门头沟2011.520．已知Rt △ABC 中，∠ABC=90°，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ，连结BD ．（1）如图1，若BD ∶CD ＝3∶4，AD ＝3，求⊙O 的直径 AB 的长；（2）如图2，若E 是BC 的中点，连结ED ，请你判断直线ED 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论．密云2011.5 O E DC BABA20. 如图，AB 是O 的直径，30BAC ∠=︒，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N,交BC 的延长线于点E,直线CF 交EN 于点F,且.ECF E ∠=∠（1）证明CF 是O 的切线(2) 设⊙O 的半径为1．且AC=CE,求MO 的长.海淀2011.520. 如图，AB 为⊙O 的直径，AB =4，点C 在⊙O 上， CF ⊥OC ，且CF =BF . （1）证明BF 是⊙O 的切线;（2）设AC 与BF 的延长线交于点M ，若MC =6，求∠MCF 的大小.昌平2011．420．如图所示，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交⊙O 于点E ，若∠AEC =∠ODB ．（1）判断直线BD 和⊙O 的位置关系，并给出证明；（2）当AB =10，BC =8时，求BD 的长．朝阳2011.5 A FC OBMA E CB D OF21．已知：如图，⊙O 的半径OC 垂直弦AB 于点H ，连接BC ，过点A 作弦AE ∥BC ，过点C 作CD ∥BA 交EA 延长线于点D ，延长CO 交AE 于点F ． （1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）若BC ＝5，AB ＝8，求OF 的长．东城2011.520. 已知：AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于M 交⊙O 于点D ，CB ⊥AB 交AD 的延长线于C ． （1）求证：AD ＝DC ； （2）过D 作⊙O 的切线交BC 于E ，若DE ＝2，CE=1，求⊙O 的半径．房山2011.5A20．（本小题满分5分）已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点D 、E ， 联结EB 交OD 于点F ．（1）求证：OD ⊥BE ；（2）若AB=5，求AE 的长．丰台2011.520．在Rt △AFD 中，∠F =90°，点B 、C 分别在AD 、FD 上，以AB 为直径的半圆O 过点C ，联结AC ，将△AFC 沿AC 翻折得△AEC ，且点E 恰好落在直径AB 上.（1）判断：直线FC 与半圆O 的位置关系是_______________；并证明你的结论. （2）若OB =BD =2,求CE 的长．2011.5怀柔19. （本题满分5分）如图，已知AB 为⊙O 的直径,DC 切⊙O 于点C ,过D 点作 DE ⊥AB ,垂足为E ,DE 交AC 于点F . 求证：△DFC 是等腰三角形. 证明：西城2011.521．如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ， △BEF 的面积为8，且cos ∠BF A ＝32， 求△ACF 的面积．。
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题目：解直角三角形第一课时：复习内容：三角函数的概念，特殊角的三角函数值，解直角三角形 复习建议：（一）知识梳理：1、锐角三角函数定义：在△ABC 中，∠C=90°，斜边的对边A A ∠=sin ，斜边的邻边A A ∠=cos ，的邻边的对边A A A ∠∠=tan3、解直角三角在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c. 则锐角之间：∠A+∠B=90°. 三边之间：222c b a =+；边角之间：ba A cb Ac a A ===tan ,cos ,sin ； abB c a B c b B ===tan ,cos ,sin .4.勾股定理逆定理 (二)相关题目: 1、计算：0)151(30sin 2273--︒+含有30°、45°、60°角的三角函数式的值的计算 2、在Rt △ABC 中，∠C=90°.(1)已知31sin =B ，求tanA;(2)已知32cos =A ,c=12,求b;(3)已知21tan =B ，510=c ,求a;(4)已知 30=∠B ,c=18,求a.运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题3、如图：在Rt △ABC 中，∠C=90°，D 是AC 边上的中点，DE ⊥AB 于E,若21tan =A ,BE=7，求DE 的长.本题是利用公共角∠A ，通过设k 的思想解决问题4、在△ABD 中， 30=∠B ， 45=∠C ,322+=BC ,求AC 的长.本题是解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题（这几道题可做为例题）5.如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13㎝， 小孔到图中边AB 距离为1㎝，到上盖中与AB 相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h ㎝，则h 的最小值大约为_________㎝.（精确到个位，参考数据：1.37,52.2≈≈≈6.如图，在△ABC 中，∠C =90°，sin A =54，AB =15，求△ABC 的周长和tan A的值．7．如图（3）AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝3，AD ＝4，则sinB=A 、513B 、1213 Ｃ、35 Ｄ、458.如图，沿AC 方向开山修渠，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工. 从AC 上的一点B 取∠ABD=︒135，BD=520m ，∠D=︒45，如果要使A ，C ，E 成一直线，求开挖点E 离D 的距离(精确到1m).B DC AA105 6吸管9. 《中华人民共和国道路交通管理条理》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．”如图所示，已知测速站M 到公路l 的距离MN 为30米，一辆小汽车在公路l 上由东向西行驶，测得此车从点A 行驶到点B 所用的时间为2秒，并测得60AMN ∠=，30BMN ∠=．计算此车从A 到B 的平均速度为每秒多少米（结果保留两个有效数字），并判断此车是否超过限速．（参考数据：1.732≈1.414≈）10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC ⊥AB ，AD=CD ，cosB=135，BC=26．求（1）cos ∠DAC 的值；（2）线段AD 的长．11．某工厂接受一批支援四川省汶川灾区抗震救灾帐篷的生产任务．根据要求，帐篷的一个横截面框架由等腰三角形和矩形组成（如图所示）．已知等腰ABE△的底角AEB θ=∠，且3t a n 4θ=，矩形BCDE 的边2CD BC =，这个横截面框架（包括BE ）所用的钢管总长为15m ，求帐篷的篷顶A 到底部CD 的距离．（结果精确到0.1m ）（这几题可做为练习）建议：本课时的题目不宜太难，让学生掌握方法.MN B AlCB ADB E第二课时：复习内容：解直角三角形的应用要点：仰角、俯角、坡角、坡度、方位角的概念；将实际问题转化成数学问题.１.如图，小明在楼顶A 处测得对面大楼楼顶点C 处的仰角为52°，楼底点D 处的俯角为13°．若两座楼AB 与CD 相距60米，则楼CD 的高度约为 米．（结果保留三个有效数字）（sin130.2250︒≈，cos130.9744≈，tan130.2309≈，sin 520.7880≈，cos520.6157≈，tan52 1.2799≈）２.如图，甲船在港口P 的北偏西60方向，距港口80海里的A 处，沿AP 方向以12海里/时的速度驶向港口P ．乙船从港口P 出发，沿北偏东45方向匀速驶离港口P ，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向．求乙船的航行速度．（精确到0.1海里/1.41， 1.73）３.如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m ）≈1.4141.732 （以上可做为例题）4.由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45°，从A 沿倾斜角为30°的山坡前进1500米到B ，再次测得山顶D 的仰角为60°，求山高CD.AP东北45 6013B5.小王站在D 点测量学校旗杆顶点A 的 仰角∠AEC ＝33°，小王与旗杆的水平距离 BD ＝10m ，眼睛与地面的高度ED ＝1.6m ， 求旗杆AB 的高度（精确到0.1米）．6. 我市准备在相距2千米的A 、B 两工厂间修一条笔直的公路，但在B 地北偏东60°方向、A 地北偏西45°方向的C 处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（见下图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？ （参考数据：41.12≈73.13≈）7.如图，小唐同学正在操场上放风筝，风筝从A 处起飞，几分钟后便飞达C 处，此时，在AQ 延长线上B 处的小宋同学，发现自己的位置与风筝和旗杆PQ 的顶点P 在同一直线上.（1）已知旗杆高为10米，若在B 处测得旗杆顶点P 的仰角为30°，A 处测得点P 的仰角为45°，试求A 、B 之间的距离；（2）此时，在A 处背向旗杆又测得风筝的仰角为75°，若绳子在空中视为一条线段，求绳子AC 约为多少？（结果可保留根号）8.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为︒30，看这栋高楼底部的俯角为︒60，热气球与高楼的水平距离为66 m ，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m ，参考数据：73.13≈）CABDC9.某校九年级（2）班在测量校内旗杆高度的数学活动中，第一组的同学设计了两种测量方案，并根据测量结果填写了如下《数学活动报告》中的一部分．数学活动报告活动小组：第一组 活动地点：学校操场活动时间：××××年××月××日年上午9：00 活动小组皮尺、测角仪 皮尺、测角仪（1）请你在方案一二中任选一种方案．．．．（多选不加分），根据方案提供的示意图及相关数据填写表中的计算过程、测量结果．（2）请你根据所学的知识，再设计一种不同于方案一、二的测量方案三，并完成表格中方案三的所有栏目的填写．（要求：在示意图中标出所需的测量数据？长度用字母a b c ，，……表示，角度用字母αβγ，，……表示）．10.又到了一年中的春游季节，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下面是两位同学的一段对话： 甲：我站在此处看塔顶仰角为60 乙：我站在此处看塔顶仰角为30甲：我们的身高都是1.5m 乙：我们相距20m请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度（精确到1米）．BA C D MNαβD A α MC NGB β11.如图，山脚下有一棵树AB ，小华从点B 沿山坡向上走50米到达点D ，用 高为1.5米的测角仪CD 测得树顶的仰角为10°，已知山坡的坡角为15°，求树AB 的高．(精确到0．1米)（已知sin10°≈0.17, cos10°≈0.98, tan10°≈0.18, sin15°≈0.26, cos15°≈0.97, tan15°≈0.27．)12..曙光中学需制作一副简易篮球架，如图是篮球架的侧面示意图，已知篮板所在直线AD 和直杆EC 都与BC 垂直，BC ＝2.8米，CD ＝1.8米，∠ABD ＝40°，求斜杆AB 与直杆EC 的长分别是多少米？（结果精确到0.01米） 解：13..如图，已知某水库大坝迎水坡AB 的坡角α=47°，PQ 为水库水面（点P 在AB 上），AE ⊥PQ 于E ，PA=20米，求水深EA （精确到0.1米）14.港口B 位于港口O 正西方向120海里外,小岛C 位于港口O 北偏西60°的方向.一艘科学考察船从港口O 出发,沿北偏东30°的OA 方向以20海里/小时的速度驶离港口O.同时一艘快艇从港口B 出发,沿北偏东30°的方向以60海里/小时的速度驶向小岛C,在小岛C 用1小时装补给物资后,立即按原来的速度给考察船送去. (1)快艇从港口B 到小岛C 需要多少时间?(2) 快艇从小岛C 出发后最少需要多少时间才能和考察船D CB东１5. 如图，在海岸边有一港口O ．已知：小岛A 在港口O 北偏东30的方向，小岛B 在小岛A 正南方向，60OA =海里，OB =（1）小岛B 在港口O 的什么方向？ （2）求两小岛A B ，的距离．（以上可做为练习）建议：让学生学会建立数学模型B第三课时：复习内容：将解直角三角形的问题和其他问题的结合（如：三角形、四边形、函数、圆） 相关题目：１.如图，一次函数的图象经过M 点，与x 轴交于A点，与y 轴交于B 点，根据图中信息求：（1）这个函数的解析式；（2）tan ∠BAO ．２.如图，在直角坐标系中放入一个边长OC 为9的矩形纸片ABCO ．将纸片翻折后，点B 恰好落在x轴上，记为B ′，折痕为CE ，已知tan ∠OB ′C ＝34．（1）求B ′ 点的坐标；（2）求折痕CE 所在直线的解析式．３.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，⊙O 的半径R ＝2，sinB ＝43，则弦AC 的长为 。
４.已知：如图，在△ABC 中，ＡＤ是边ＢＣ上的高，Ｅ为边ＡＣ的中点，ＢＣ＝１４，ＡＤ＝１２，54sinB ;求：（1）线段AC 的长；（2）tan ∠EDC 的值５．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=45°，BE⊥CD于点E，AD=1，CD=22。