A概率论的基本概念
概率论的基本概念与计算方法
概率论的基本概念与计算方法概率论是研究随机现象规律的数学分支，主要涉及到随机事件的发生概率、事件之间的关系以及概率的计算方法。本文将介绍概率论的基本概念和常用的计算方法，以帮助读者更好地理解和应用概率论。
一、概率的基本概念
1. 随机事件：随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事情。例如，掷骰子的结果、抛硬币的正反面等都属于随机事件。
2. 样本空间：样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。例如，掷一颗骰子的样本空间为{1, 2, 3, 4, 5, 6}，抛一次硬币的样本空间为{正面，反面}。
3. 事件：事件是样本空间的子集，表示某个或某几个结果的集合。例如，掷一颗骰子出现偶数的事件可以表示为{2, 4, 6}。
4. 概率：概率是描述事件发生可能性大小的数值，范围在0到1之间。概率为0表示事件不可能发生，概率为1表示事件肯定发生。
二、概率的计算方法
1. 古典概率：古典概率适用于有限的、等可能的随机试验。计算方法为事件发生数目除以样本空间大小。
例如，抛一次硬币正反面的发生概率均等，即为0.5。掷一颗骰子出现奇数的概率为3/6=1/2。
2. 几何概率：几何概率适用于连续型事件，计算方法为事件发生的
可能性与总体中所有可能性的比值。
例如，从数轴上随机取一个点，使其落在某一区间内的概率等于这
个区间所占总体的长度比。
3. 统计概率：统计概率适用于大量试验中观察某事件发生的频率作
为概率的估计值。
例如，抛一次硬币出现正面的概率可以通过抛100次硬币后正面出
现的次数除以100来估计。
三、概率的性质与运算
概率论基础知识
一、事件运算常用定律（设A,B,C为事件）：
二、频率与概率
1.概率的公理化定义：
①非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0;
②规范性：对于必然事件S，有P(S)＝1;
③可列可加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于AiAj＝∅，i≠j，i,j＝1,2,…，有P(A1∪A2∪…)＝P(A1)＋P(A2)＋….
定理二：若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：
多个事件相互独立：一般，设A1，A2，…，An是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，…，An相互独立。
推论：①若事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的。
2.伯努利试验、二项分布[X～b(n,p)]：
伯努利试验：设实验E只有两个可能的结果： ，则称E为伯努利试验。
n重伯努利试验：将E独立重复地进行n次。
二项分布：(以X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数)
分布律：P{X＝k}＝ ，k＝0,1,2,…,n.
3.泊松分布[X～π(λ)]：设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…，λ＞0是常数：
三、三种重要的连续型随机变量：
1.均匀分布[X～U(a,b)]：
服从均匀分布的随机变量X落在区间（a,b）中任意等长度的子区间内的可能性是相等的。事实上，对于任一长度为l的子区间(c,c＋l)，a≤c＜c＋l≤b，有：
《概率论与数理统计》-课件 概率论的基本概念
以R2记事件“第二次在盒I中取到一只红球”,
以C记事件“在盒II中取到一只红球”.
(1) R2 [R1(CR2 CR2 )][R1(CR2 CR2 )],
P[R1(CR2 CR2 )] P(R1CR2 ) P(R1CR2 ) P(R2 CR1 )P(C R1 )P(R1) P(R2 CR1 )P(C R1 )P(R1 ) 6 8 6 5 3 6 378 . 10 11 10 10 11 10 1100
又知
P(
Ai
)
(n
1)! n!
,
i 1,2,,n,
P
(
Ai
Aj
)
(n
2)! n!
,
1 i j n,
P(
Ai
Aj
Ak
)
(n
3)!, n!
1 i j k n,
于是
P(B) n (n 1)! n (n 2)! n (n 3)! 1 n! 2 n! 3 n!
1
nr
( 1)k 1
1
.
k 1
k!
故 n 只球中指定的r 只球配对, 而其它 n r 只无
一配对的概率为
(n r )![1 nr (1)k1 1 ]
n!
k 1
k!
由于在 n 只球中指定 r 只球的方式有 n 种, r
第1章 概率论的基本概念
可见，既可以用文字表示事件，也可以将事件表 示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质， 且更便于今后计算概率。 还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有 一定的关系，如试验E2 ，当试验的结果是HHH 时，可以说事件A和B同时发生了；但事件B和C 在任何情况下均不可能同时发生。 易见，事件之间的关系是由他们所包含的样本点 所决定的，这种关系可以用集合之间的关系来描 述。
对于试验E2 ， A，B，C为以下随机事件 A: 第一次出现正面; A={HHH,HHT,HTH,HTT} B: 三次出现同一面; B={HHH,TTT} C: 恰好出现一次正面。 C={HTT,THT,TTH} 试验E4中 D，F为以下随机事件 D: 出现不大于6的点; D=S F: 出现小于1的点。 F=
A 对偶律， B A B 德摩根律
n n n i i i 1 i 1
A B A B
n i i
A A A A
i 1 i 1
运算顺序：逆交并差，括号优先。
例1.2 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹,以 A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标,试用A、B 、C表示下列事件：
二. 事件的关系及运算
AB eA 则 eB 集合A包含在 集合B之中
B
AB
A
事件A发生则 事件B发生 事件A包含在 事件B之中
若AB，又BA，则称事件A与B相等，记为 A=B。
概率论的基本概念
1 ， 4
P ( A) P ( B ) − P ( AB ) = P ( A)[ P ( AB ) + P ( AB )] − P ( AB ) = P ( A) P ( AB ) + P ( AB )[ P ( A) − 1]
≤ P ( A) P ( AB ) ≤ P ( A) P ( A) = P ( A)[1 − P ( A)] ≤
⎛ m + j − 1 ⎞⎛ N − m + n − j − 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ m − 1 ⎠⎝ n− j ⎝ ⎠, P (C ) = ⎛ N + n − 1⎞ ⎜ ⎟ n ⎝ ⎠
1≤ m ≤ N, 0 ≤ j ≤ n
例 6 从某鱼池中捕得 1200 条鱼，做了红色记号后再放回池中，经过适当时间后，再从鱼 池中捕 1000 条鱼，计算其中有红色记号的鱼的数目，共有 100 条鱼。 试估计该鱼池中共有多少条鱼。 解：设该鱼池中共有 n 条鱼， n 未知的，是我们要估计的。 更一般地设：第一次捕得的鱼有 n1 条（在本例中 n1
= 1200 ），
第二次捕得的鱼有 r 条（在本例中 r = 1000 ），而其中有记号的有 k 条 （在本例中 k = 100 ） 显然，在第二次捕得的鱼中有 k 条有记号鱼的概率为：
⎛ n ! ⎞⎛ n − n ! ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ k ⎠⎝ r − k ⎠ ⎝ pk ( n) = ⎛ n⎞ ⎜ ⎟ ⎝r⎠
概率论与数理统计基本概念
概率论与数理统计基本概念
概率论与数理统计是研究事件发生的可能性，以及由此衍生的结果
的一门学科。它可以帮助人们提高分析和预测能力。可以帮助我们了
解自然界及其客观原理，以及把握当代社会经济实体及其活动。
一、概率概念：
1. 随机事件：指事件发生以来，在所有结果中，用概率值去衡量其发
生的可能性，及其各个单一结果的概率分布情况；
2. 概率：是用来衡量某一随机事件发生的可能性的数值，可以给出这
个事件发生的可能性大小；
3. 概率分布：是某一随机变量及其可能取值之间发生关系的一种描述；
二、数理统计概念：
1、统计：是指对数据进行定量描述，尝试从数据中获得解释性的统计
特征；
2、变量：是指以数值形式表示的某类事物，是研究目标内容分析的一
种实际基础；
3、统计分布：是给定一组数据，通过统计手段，计算出变量的概率分
布情况，及其可能的变化规律；
4、极限定理：是一种概率论的定理，旨在探讨一个系统在重复抽样下，抽样结果的收敛情况；
5、数据描述：是指对数据的描述，可以让人简单明了地理解数据，及
其特征和趋势；
6、统计推断：是指根据统计样本信息，以概率结果作为有效依据，做
出关于总体参数情况的推断；
7、回归分析：是指建立一条回归函数模型，以描述解释变量对被解释
变量的影响；
8、判别分析：是指构建一个准确的模型，能够根据输入的观测值来准
确地判断属于哪一类人或物；
9、聚类分析：是指将一组数据进行分类，从而揭示内部数据间的关系，辅助决策；
10、卡方检验：是指判断某一种统计判断是否证实对某一总体分布结
果的检验，从而决定是否接受或拒绝假设。
第一章-概率论的基础知识
27! 3! 9! 9! 9! 50 P( A) N (S ) 203
7 10 10 3 C27 C20 C10 P( B) N (S )
一般地，把n个球随机地分成m组(n>m), 要求第 i 组恰 有ni个球(i=1,…m)，共有分法：
n! n1 !....nm !
(5) 随机取数问题
A={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT}
N ( A) 7 P( A) N (S ) 8
古典概型的几类基本问题
复习：排列与组合的基本概念 乘法定理：设完成一件事需分两步：第一步有 n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共 有n1n2种方法.
A
B
C
加法定理：设完成一件事可有两种途径，第 一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方 法，则完成这件事共有n1+n2种方法。
容的事件，即AiAj＝，(ij), i , j＝1, 2, …, 有
P( A1 A2 … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. 则称P(A)为事件A的概率。( p8) 称为概率的公理化定义
概率的性质 P(8-9) (1) P() 0 (2) 有限可加性：设A1，A2，…，An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ ，(ij), i , j＝1, 2, …, n , 则有 P( A1 A2 … An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… +P(An); (3) 单调不减性：若事件AB，则 P(A)≥P(B) A S , P( A) 1
概率的基本概念和计算
应用：在概率论中，可数可加性是概率的一个重要性质，它可以用于计算复杂事件的概率，特别是当这些事件可以分解为两两互斥的事件的并时
举例：掷一枚骰子，观察出现点数的情况，每个点数出现的概率是1/6。如果掷两枚骰子，则总共有36种可能的结果，每个点数出现的概率仍然是 1/6。因此，两个事件（掷一枚骰子出现某个点数）是互斥的，并且两个事件的概率之和等于同时掷两枚骰子出现该点数的概率。
概率在金融投资中的应用
概率在金融投资 中用于评估风险 和预测未来市场 走势
通过概率分析， 投资者可以制定 更加科学合理的 投资策略
概率在金融投资 中可以帮助投资 者规避风险，提 高投资收益的稳 定性
概率分析在金融 投资领域的应用 越来越广泛，为 投资者提供了更 加全面和准确的 信息支持
汇报人：XX
概率的统计定义
概率是描述随 机事件发生的 可能性大小的
数值。
概率可以通过 长期实验中某 一事件发生的 次数与总次数 的比值来估算。
概率取值范围 在0到1之间， 其中0表示事件 不可能发生，1 表示事件一定
发生。
概率越接近0表 示事件发生的 可能性越小， 概率越接近1表 示事件发生的 可能性越大。
定义：P(A∪B)=P(A)+P(B)P(A∩B)
概率的取值范围
概率的取值范围是[0,1]，表示事件发生的可能性程度。
1概率论的基本概念
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 §1.5 §1.6 随机试验 样本空间、随机事件 频率与概率 等可能概型(古典概型) 条件概率 独立性
第一章 概率论的基本概念
引言：概率论是研究什么的？
研究和揭示随机现象的统计 在一定条件下必然发生的现象 确定现象 规律性的数学学科 例：向空中抛一物体必然落向地面； 水加热到100℃必然沸腾； 异性电荷相吸引； 放射性元素发生蜕变; … … 例:抛一枚硬币,结果可能正(反)面朝上； 向同一目标射击,各次弹着点都不相同； 某地区的日平均气温； 掷一颗骰子，可能出现的点数；… …
1.事件的包含AB: 称事件B包含事件A，或A是B的子事件. 其含义是: 事件A发生必导致事件B 发生. S 显然， 对于任何事件A有 A S． A B 事件的相等A=B : 若 A B 且 B A . 2.和事件: A∪B称为事件A与B的和事件. 其含义是:当且 仅当事件A,B 中至少有一个发生时,事件 A∪B发生. 类似地, (1) (2)
2.事件发生: 在每次试验中,当且仅当事件A中的一个 样本点出现时，称这一事件A发生． 3.基本事件: 由一个样本点组成的单点集. 4.必然事件: 样本空间 S称为必然事件．在每次试验 中它总是发生的.
5.不可能事件: 空集称为不可能事件. 在每次试验
中它都不发生．
例1 E2:抛硬币三次,观察正面H、反面T出现的情况.
第一章 概率论的基本概念
频率的基本性质
由定义，易见频率具有下述基本性质：
⑴ 0≤ƒn(A)≤1; ⑵ ƒn(Ω)＝1; ƒn(φ)＝0; ⑶ 若A1，A2 ，… ，Ak是两两互不相容的事件，则 ƒn( A1∪A2∪…∪Ak )=ƒn(A1)+ƒn(A2)+…+ƒn(Ak).
按赢得整局赌博的概率的比例来分赌本 的思想,即——数学期望。
概率论与数理统计主要内容
概率论的基本概念 随机变量及其分布 二维随机变量及其分布 随机变量的数字特征 数理统计的基本概念 参数估计 假设检验 回归分析
第一章 概率论的基本概念
随机事件 事件的概率 条件概率 事件的独立性
第一章 概率论的基本概念
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6) (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)
事件间的关系
包含：A B或B A，称事件B包含事件A，即事
件A发生必然导致事件B发生。
相等： A B且B A，即A B，称事件A与事件B
相等。
n
和： A，B表示A、B二事件中至少有一个发生；k1 Ak
表示n个事件A1 ，A2 ， … ， An中至少有一个发生。
差：A-B，表示事件A发生，而事件B不发生。 n
概率论的基本概念总结
概率论的基本概念总结
概率论是一门研究随机现象和随机事件发生概率的学科。以下是概率论的一些基本概念和原理的总结：
1. 随机试验：指具有随机性质的实验，可以重复进行，并且每次实验的结果不确定。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果构成的集合，记作Ω。
3. 事件：样本空间Ω 中的子集称为事件。通常用大写字母A、
B、C 等表示事件。
4. 事件的概率：事件A 发生的可能性大小可以用概率来描述，记作 P(A)。概率是一个介于 0 和 1 之间的实数。
5. 等可能概型：当一个随机试验的样本空间中的每个结果发生的可能性相等时，称为等可能概型。
6. 频率：进行多次独立重复的随机试验，事件 A 发生的频率
近似等于其概率。
7. 概率的性质：概率具有以下性质：
- 非负性：对于任何事件 A，有P(A) ≥ 0。
- 规范性：对于样本空间Ω，有P(Ω) = 1。
- 加法性：对于任何两个互斥事件 A 和 B，有 P(A ∪ B) =
P(A) + P(B)。
- 完备性：对于任何事件 A，有 P(A) + P(A的补) = 1。
8. 条件概率：当已知随机试验的某些信息时，我们可以计算某一事件发生的概率，这就是条件概率。条件概率使用 P(B|A) 表示，读作“在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率”。
9. 乘法规则：当两个事件 A 和 B 依赖于彼此时，事件 A 和 B 同时发生的概率可以通过条件概率相乘得到，即P(A ∩ B) = P(A) * P(B|A)。
10. 独立事件：事件 A 和 B 是独立事件，如果 A 的发生与 B 的发生无关，即P(A ∩ B) = P(A) * P(B)。
概率论知识点
《概率论与数理统计》
第一章 概率论的基本概念
§2．样本空间、随机事件
1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生
B}x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生
B}x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生
B}x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生
φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的
且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件
2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃
结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —
§3．频率与概率
定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率
概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），
1.概率论的基本概念
{1}， 反面朝上} {1}， 反面朝上} {
记作
{0}， ，
{1， 则样本空间可表为 S = {1，0}.
例： E——在一批灯泡中任取一只灯泡, 在一批灯泡中任取一只灯泡, 在一批灯泡中任取一只灯泡 寿命. 寿命. 即样本点为[0, +∞) ∞)上的任一值 即样本点为[0, +∞)上的任一值 t, 故样本空间为 Ω = { t | t≥ 0 }.
**事件间的关系及事件的运算 **事件间的关系及事件的运算 数学符号 1°事A包含于事 B
具体含义
A⊂ B
发生. 事A发生必事 B 发生.
的并( 2°A 与 B 的并(和) AU B 至少有一发生. 事A与事 B 至少有一发生.
n
A1 ,A2 ,…,An的并 A1 U A 2 U L U A n 或 U A i
参 考 书 目
1、高教出版社《概率论与数理统计教程》魏宗舒 高教出版社《概率论与数理统计教程》 高教出版社《概率论与数理统计》 2、高教出版社《概率论与数理统计》 中山大学 3、大连理工大学出版社《概率论与数理统计典型 大连理工大学出版社《 题精讲》 题精讲》 秦禹春等编 4、科学出版社《全美经典学习指导系列——概率 科学出版社《全美经典学习指导系列 概率 与统计》 与统计》
例：E——掷一均匀骰子，观察几点朝上. 掷一均匀骰子， 掷一均匀骰子 观察几点朝上. 则样本点 e i = {i点朝上} 记作 { i }，i = 1 , 2 , L 6 , ， 点朝上} 样本空间为 Ω = {1, 2, 3, 4, 都为随机事件, 5, 6}. e 1 , e 2 , L , e 6 都为随机事件 这种事件是由单个样本点构成的, 叫 基本事件**; 这种事件是由单个样本点构成的, 基本事件**; ** 更多的随机事件是由多个样本点构成的, 更多的随机事件是由多个样本点构成的, 如: 出现1 {出现偶数点}={2, 4, 6},{出现1及5点}={1, 5}, ; 出现偶数点}={2, 等等; 等等 从集合角度看: 它们都是样本空间的子集, 从集合角度看: 它们都是样本空间的子集, 若该 子集包含的某个样本点在试验中出现, 子集包含的某个样本点在试验中出现, 则相应的 随机事件就发生. 随机事件就发生.
概率论基础知识
则A、B是上的两个事件：A={1, 2, 3, 4}, B={1, 2}。
当投掷结果出现4时，A发生； 当投掷结果出现2时，A、B都发生；
当投掷结果出现5时，A、B都不发生。
例3. 某课程考试成绩的样本空间为[0, 100]，对于如下的成绩等
P( A)
事件A包含的样本数m n
例4 一批产品共有100件，其中5件次品，现从中任取10件。问 (1) 全是正品的概率； (2) 恰有一件次品的概率； (3) 至少有3件次品的概率。
10 解 : 从100件产品中任取10件, 共有C100 种取法. 每种取法就是 10 一个样本, 故样本空间共有C100 个样本.
1 9 的取法共有 C5 C95 , 因此 1 9 C5 C95 P( B ) 10 0.34. C100
(3) 令 C " 取出的10件中至少有3件是次品". 则C " 恰有3件次品" "恰有4件次品" "恰有5件次品". 故C 所含的样本数为 :
3 7 6 5 5 C5 C95 C54 C95 C5 C95 , 3 7 4 6 5 5 C5 C9 C C C C 5 5 95 5 95 于是 P(C ) 0.0066. 10 C100
概率a公式
概率a公式
“概率a”公式是一种概率论的基本公式，它表达的是一个随机变量取值落在某一给定的区间的概率。该概率被表示为a，并用公式表示。
概率a的公式如下：
P(a)=∫ƒ(x)dx,
其中x表示随机变量，f(x)表示具体变量取值的概率密度函数，区间[x1,x2]代表概率落在该区间的概率。
在实际中，通常假设随机变量X服从正态分布。对于正态分布，f（x）函数可以被定义如下：
f(x)=1/(σ√2π)exp[-((x-μ)^2/(2σ^2))]
其中, μ为均值，σ为标准差。
上述的公式可以写成以下的形式：
P(a)=∫[1/(σ√2π)exp[-((x-μ)^2/(2σ^2))]]dx
这里，dx表示积分的跨度，即
dx=[x2-x1]/[x2-x1]
换句话说，按照概率a的公式，可以表示某一随机变量X在
[x1,x2]之间取值的概率。上述的公式非常有用，它可以帮助我们分析某一随机变量取值的概率，也可以用于统计分析。此外，它也可以用来计算某一区间内概率的可能性，从而根据概率a的公式来预测不同区间内概率的变化趋势。
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5.多维随机变量的函数的分布
20
第四章 随机变量的数字特征
1.数学期望的定义
定义1 设X是离散型随机变量，它的分布律是:
P(X=xk) = pk , k=1,2,… 如果 | xk | pk
k 1
有限,定义X的数学期望 E( X ) xk pk
k 1
定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数
出现的次数，则
P(X k)Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,, n
称r.v X服从参数为n和p的二项分布，记作 X ~ b(n,p)
9
4.泊松分布
定义：设随机变量X所有可能取的值为0 , 1 , 2 , … , 且概率分布为：
P( X k) e k , k0,1,2,,
np(1-p)
28
分布
概率密度 方差
区间(a,b)上 的均匀分布
f
(x)
b
1
a
,
0,
a x b, (b a)2 其它 12
E(百度文库)
f
(
x)
1
e
x
/
,
x 0,
2
0, 其它
N(, 2)
f (x)
1
e(
x )2 2 2