双曲线的简单几何性质第三课时
《双曲线的简单几何性质》说课稿
《双曲线的简单几何性质》说课稿各位老师，大家好！今天我说课的课题是《双曲线的简单几何性质》，我将从以下几个方面进行阐述：一、教材分析本节内容是北师大版的全日制普通高级中学教科书（选修1-1）第二章第三节第三课时，属于解析几何领域的知识。
由曲线方程研究曲线的几何性质，是高中阶段解析几何所研究的主要问题之一。
二次曲线：圆、椭圆、双曲线和抛物线是解析几何的主要研究对象，本节课在学习了椭圆的简单几何性质基础及类比椭圆的简单几何性质探究、归纳出双曲线类似于椭圆的几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；并且进一步探究出双曲线独有的几何性质（实轴、虚轴、渐近线）。
因此这节课在教材中起承上启下的作用，是培养学生利用曲线方程讨论曲线性质（即由数到形）的思想方法以及概括、归纳能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要的意义。
二、学情分析与学生水平分析1.学情分析：在此之前，学生已经学习了椭圆的标准方程和它的几何性质，并且类比、推导、归纳出了双曲线的标准方程并用类比法探讨出双曲线的简单性质，这节课将进一步研究、双曲线的简单性质的应用。
通过对双曲线性质的探究学习，可使学生在已有的知识结构的基础上，拓展延伸，构建新的知识体系：同时对由方程讨论曲线性质（即由数到形）的思想方法有更深刻的认识。
2.学生水平分析：我班学生是数学基础较差，自主学习能力较低。
在本节课的学习中，可以发挥学生的主观能动性，教师加以引导，完成本节课的教学。
三、教学目标1．知识目标：会根据双曲线的标准方程研究双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等性质.能根据双曲线的标准方程求双曲线的几何性质.求双曲线的离心率2.过程与方法:在求解双曲线标准方程及简单几何性质的研究过程中，进一步掌握解析几何的基本思想.3.情感，态度与价值观培养学生分析问题，解决问题的能力.四、教学重点和难点教学重点：会根据双曲线的标准方程研究双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等性质.由双曲线性质求双曲线的离心率.教学难点：由双曲线的性质求双曲线的标准方程方程及双曲线的离心率.五、教学方法为突出重点、突破难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈设计思路：教法：本节课主要采用引导发现法，通过师（生）不断地（释疑，揭示思维过程，将学生置于主体位置，发挥学生的主观能动性，运用双曲线的性质求标准方程，离心率.。
3.2.2双曲线的简单几何性质 课件(共24张PPT)
2
=λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=±kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
跟踪训练 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
5
（1）焦点在x轴上，虚轴长为8，离心率为3 ；ห้องสมุดไป่ตู้
跟踪训练
A.
1
4
双曲线x2-my2＝1的实轴长是虚轴长的2倍，则m等于
B.
1
2
C.2
D.4
（D）
二、求双曲线方程
例2
根据下列条件，求双曲线方程:
（1）双曲线 x
2
9
y2
1 有共同渐近线，且过点 ( 3, 2 3) ；
16
（2）与双曲线 x
2
16
解
y2
1 有公共焦点，且过点 (3 2 , 2) .
第三章
3.2
双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质
学习目标
1.理解双曲线的简单几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.
2.能用双曲线的简单性质解决一些简单的问题
核心素养：数学运算、数学建模
新知学习
复习引入
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
(2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程可设为
2
(3)与双曲线
2
2 +
2
−
2
2
2
−
=1(a>0,b>0).
2
2
=1 共焦点的双曲线方程可设为
双曲线的简单几何性质 高二数学 (人教A版2019选择性 必修第一册)
2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为(
2 2
A. 4 －12＝1
2 2
B.12－ 4 ＝1
)
2
C. 3 － 2 ＝1
2
D． 2 － 3
＝1
1
(2)渐近线方程为y＝± 2 x，且经过点A(2，－3)的双曲线方程为________.
[解析] (1)不妨设点A在第一象限，由题意可知c＝2，点A的坐标为(1， 3)，所以 ＝ 3，
−
2
(2)设F1，F2是双曲线C：2
2
＝1(a＞
2
−
2)的两条渐近线的夹角为 3 ，则双曲线的离心率为________；
2
＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且
2
△
PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为________．
(2)不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a，又|PF1|
(2)等轴双曲线具有以下性质：
①方程形式为x2－y2＝λ(λ≠0)；
②渐近线方程为y＝±x，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
③实轴长和虚轴长都等于2a，离心率e＝ 2.
（三）典型例题
1.利用双曲线的性质求标准方程
2 2
例1.(1)已知双曲线2-2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为
[解析] 联立直线与双曲线方程
消去y得：(1－3k2)x2－6 2kx－9＝0.
3
当1－3k2＝0，即k＝± 3 时，直线l1与双曲线C只有一个公共点；
当1－3k2≠0，Δ＝(6k)2＋36(1－3k2)＝36－36k2，
双曲线的简单性质课件ppt课件
04 双曲线的标准方程的推导
推导过程
设双曲线上任意一点为$P(x,y)$， 根据双曲线的定义，点$P$到两 个焦点的距离之差为常数，即 $2a$。
利用距离公式和双曲线的定义， 可以得到点$P$到两个焦点的距 离分别为$sqrt{(x+a)^2+y^2}$ 和$sqrt{(x-a)^2+y^2}$。
对称性
01
02
03
对称性
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
总结词
双曲线关于其对称轴对称， 即关于x轴和y轴都对称。
详细描述
双曲线上的任意一点关于 x轴和y轴的对称点都在双 曲线上。
顶点
顶点
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
总结词
双曲线与对称轴的交点称 为顶点。
详细描述
顶点是双曲线与对称轴的 交点，也是双曲线离准线 最远的点。
比例常数。
性质
双曲线的焦点到任意一点的距离之 差等于常数2a，即|PF1| - |PF2| = 2a。
应用
通过焦点可以计算出双曲线的离心 率和准线方程。
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记作2c。
性质
焦距与半主轴长a和半次轴长b有 关，关系为c^2 = a^2 + b^2。
应用
通过焦距可以计算出双曲线的离 心率和准线方程。
双曲线的简单性质课件ppt课件
目录
• 双曲线的定义与标准方程 • 双曲线的几何性质 • 双曲线的焦点与焦距 • 双曲线的标准方程的推导 • 双曲线的应用
01 双曲线的定义与标准方程
定义
总结词
双曲线是由两个无限延伸的分支组成的，其形状类似于开口 的抛物线。
双曲线的简单几何性质课件
通过探索直角双曲线的定义、方程、性质和应用，本课件将带您深入了解双 曲线的几何特性，以及它在数学和实际生活中的重要性。
直角双曲线定义
直角双曲线是由一个平面上的点到两个给定直点的距离差等于一个常数的点集合。 这个定义可以用数学方程形式表示，并且直角双曲线拥有独特的图形特点。
直角双曲线的图形特点
冷却塔
直角双曲线的形状在工程中被 广泛应用于冷却塔的设计。
Hale Waihona Puke 火箭轨迹双曲线轨迹模型可用于描述火 箭的轨迹和飞行路线。
卫星轨道
卫星在空间中的运行轨道也经 常使用双曲线模型进行建模。
结论和要点
几何性质
直角双曲线具有独特的几 何性质，如两支曲线、渐 近线以及对称性。
方程与参数
可以使用标准方程和参数 方程来描述直角双曲线的 形状。
渐近线
直角双曲线的渐近线是与曲 线的无限延伸方向相切的特 殊直线。
直角双曲线的性质与证明
1
双曲线的对称性
直角双曲线具有关于两条坐标轴的对称性。
2
焦距与离心率
焦距是焦点与曲线上任一点的距离，而离心率则是焦距与准线长度的比值。
3
曲线与渐近线
直角双曲线在无穷远处与其渐近线趋于平行。
直角双曲线的相关实例和应用
2 参数方程
直角双曲线的参数方程 是x = a * sec(θ)和y = b * tan(θ)。
3 参数特性
直角双曲线的参数a和b 分别决定曲线的形状和 大小。
直角双曲线的焦点、准线与渐近线
焦点
直角双曲线拥有两个焦点， 位于对称轴上，与曲线的离 心率相关。
准线
准线是离心率等于1的直角双 曲线上的一条特殊直线。
双曲线的简单几何性质课件
e c (e 1) a
y b x a
例3：
x2 y2 1 16 9
1、双曲线 9x2-16y2=144的实半轴长
等于 4 虚半轴长等于 3 顶点坐
标是 4,0 渐近线方是y
3 4
x (或 x
4
y
.3
0)
5
离心率e= 4 。
2、离充心要率e=条件2 是。双（曲用线“为充等分轴条双件曲”线“的必要 条件”“充要条件”填空。）
双曲线定义的简单几何性质
定义
图象
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
y
M
M
F2
F1
o
F2
x
x
F1
x2 a2
y2 b2
1
x≤－a或x≥a
y2 a2
x2 b2
1
y≤－a或y≥a
关于坐标轴、原点对称（实轴、虚轴、中心）
(－a, 0) (a, 0)
法二 由双曲线的渐近线方程为 y＝±12x， 可设双曲线方程为x222－y2＝λ(λ≠0)， ∵A(2，－3)在双曲线上， ∴2222－(－3)2＝λ，即 λ＝－8. ∴所求双曲线的标准方程为y82－3x22 ＝1.
5 离心率
与椭圆类似,双曲线的焦距与实轴长的比 c , a
叫做双曲线的离心率.因为c a 0,所以双
2 2
y2 b2
1
渐进线方程
k
b a
B2
b
k
y
(a,b)
b a
yb x a
可由双曲线
高二数学人选修课件双曲线的简单几何性质
与坐标轴交点及对称性质
与坐标轴交点
双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶 点，对于标准方程 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$ ，其与x轴交 于点$(-a,0)$和$(a,0)$，与y轴无交 点。
对称性质
双曲线关于坐标轴对称，即关于x轴和 y轴都是对称的。此外，双曲线还关于 其两条渐近线对称。
高二数学人选修 课件双曲线的简 单几何性质
汇报人：XX
20XX-01-17
目录
• 双曲线基本概念与性质 • 双曲线在坐标系中位置关系 • 双曲线标准方程求解方法 • 双曲线几何性质应用举例 • 典型例题分析与解答技巧 • 知识点回顾与总结
01
双曲线基本概念与性质
双曲线定义及标准方程
双曲线定义
平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数（且小于|F1F2|）的点 的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距 。
焦点三角形性质探讨
焦点三角形定义
双曲线上任意一点P与两 个焦点F1、F2构成的三 角形称为焦点三角形。
性质1
对于双曲线上的点P，有 $|PF_1| - |PF_2| = 2a$ ，其中a是双曲线的实半
轴长。
性质2
焦点三角形的面积 $S = b^2 cot(theta/2)$，其 中b是双曲线的虚半轴长 ，$theta$是焦点三角形
首先根据题目条件设出双曲线的标准方程，然后将已知点的坐标代入方程，解出 $a, b, h, k$ 的值，从而得到双曲线的标准方程。
间接法求解标准方程
转化思想
通过平移、旋转等变换将双曲线方程 转化为标准形式，进而求解。
求解步骤
首先根据题目条件设出双曲线的一般 方程，然后通过配方、完成平方等手 段将其转化为标准形式，最后根据标 准形式的性质求解相关参数。
双曲线的简单几何性质课件
双曲线的简单几何性质课件双曲线是数学中的一种重要曲线，它具有许多有趣的几何性质。
本文将介绍双曲线的简单几何性质，并通过一些例子来展示这些性质的应用。
首先，我们来了解一下双曲线的定义。
双曲线是平面上满足一定条件的点的集合。
它的定义可以通过焦点和准线来描述。
双曲线上的每个点到焦点的距离减去到准线的距离的差值等于常数。
这个常数被称为双曲线的离心率，用e表示。
当离心率小于1时，双曲线是一个开口向内的曲线；当离心率大于1时，双曲线是一个开口向外的曲线。
双曲线的第一个性质是它的对称性。
对于双曲线上的任意一点P，以焦点F为中心，以到焦点的距离为半径作圆，这个圆与双曲线交于点Q。
那么点P和点Q关于准线对称。
这个性质可以用来证明双曲线的对称轴是准线。
双曲线的第二个性质是它的渐近线。
双曲线的渐近线是曲线趋于无穷远时的方向。
对于开口向内的双曲线，它的渐近线是与准线平行的直线。
对于开口向外的双曲线，它的渐近线是与焦点连线的中垂线。
渐近线的存在使得我们能够更好地理解双曲线的形状和特性。
双曲线的第三个性质是它的焦点和准线之间的关系。
对于双曲线上的任意一点P，它到焦点的距离减去到准线的距离的差值等于常数。
这个常数就是双曲线的离心率。
双曲线的焦点和准线之间的距离等于离心率的倒数。
这个性质可以用来确定双曲线的焦点和准线的位置。
双曲线的第四个性质是它的切线。
对于双曲线上的任意一点P，以焦点F为中心，以到焦点的距离为半径作圆，这个圆与双曲线交于点Q。
那么点P处的切线是通过点P和点Q的直线。
这个性质可以用来确定双曲线上任意一点处的切线方程。
通过以上几个简单的几何性质，我们可以更好地理解双曲线的形状和特性。
下面我们通过一些例子来展示这些性质的应用。
例子一：考虑双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1。
根据双曲线的定义，我们可以确定它的焦点和准线的位置。
然后，我们可以画出双曲线的图像，并标出焦点和准线。
接下来，我们可以确定双曲线上任意一点处的切线方程，并计算它与坐标轴的交点。
双曲线的简单几何性质优质通用课件课时
双曲线的离心率
总结词
双曲线的离心率是用来描述双曲线形状的参数，等于焦距除以顶点到原点的距 离。
详细描述
双曲线的离心率是用来描述双曲线形状的参数，通常用e表示。离心率等于焦距 c除以顶点到原点的距离a，即e = c/a。离心率越大，双曲线的开口越大，形状 越扁平。
双曲线的渐近线
总结词
双曲线的渐近线是双曲线上的直线，与双曲线无限接近但不 相交。
双曲线的标准方程
01
中心在原点，焦点在x轴上的双曲
线标准方程为 $frac{x^2}{a^2} -
frac{y^2}{b^2} = 1$ ，其中 $a$
和$b$是常数，且$a > 0$，$b >
0$。
02
中心在原点，焦点在y轴上的双曲 线标准方程为 $frac{y^2}{a^2} frac{x^2}{b^2} = 1$ ，其中 $a$ 和$b$是常数，且$a > 0$，$b > 0$。
详细描述
双曲线的顶点是双曲线与x轴的交 点，通常用大写字母A和B表示。 它们位于双曲线的两侧，是双曲 线上的两个特殊点。
双曲线的焦点
总结词
双曲线的焦点是双曲线上的点，到双 曲线的两个顶点的距离相等。
详细描述
双曲线的焦点是双曲线上的两个特殊 点，通常用大写字母F1和F2表示。它 们位于双曲线的两侧，到双曲线的两 个顶点的距离相等。
确定焦点位置
根据双曲线的性质，确定 焦点位置，并确定双曲线 的开口方向。
绘制双曲线
根据焦点位置和开口方向， 使用平滑曲线绘制双曲线 的图像。
双曲线图像的特点
无限延伸
双曲线的图像在两个方向 上无限延伸，没有边界。
中心对称
《双曲线的几何性质(三)》(课件)
线
x2 a2
y2 b2
1上一点，求M到双曲
线 两 焦 点F1、F2的 距 离.
[例3] 已知点M( x1, y1 )是双曲
线
x2 a2
y2 b2
1上一点，求M到双曲
线 两 焦 点F1、F2的 距 离.
[解] 如 图 ， 设M
y
到 相 应 焦 点F1、F2的 准 线 距 离 为d1、d2 . F1
双曲线的第二定义：
双曲线的第二定义：
到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数e c (c a 0)
a 的点的轨迹是双曲线.
双曲线的第二定义：
到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数e c (c a 0)
a 的点的轨迹是双曲线.
其中，定点叫做双曲线的焦点, 定直线叫做双曲线的准线. 常数e是 双曲线的离心率.
o
M
F2 x
当M在 右 支 时 ，x1 a
且 MF1 MF e，
d1
d2
MF1
ed1
e( x1
a2 c
)
ex1
a
MF2 ed2
y
e(
x1
a2 c
)
F1
o
M
F2 x
ex1 a
当M在 双 曲 线 左 支 时 ，x1 a.同 理 ：
MF1
ed1
e
x1
a2 c
(ex1 a)
MF2 ed2
过左焦点与左支交于两点时： AB 2a e( x1 x2 )； 过右焦点与右支交于两点时： AB 2a e( x1 x2 ).
当双曲线焦点在y轴上时，焦 点弦只和两交点的纵坐标有关.
当双曲线焦点在y轴上时，焦 点弦只和两交点的纵坐标有关.
3.2.2 双曲线的简单几何性质课件ppt
2.如果双曲线的方程确定,那么其渐近线的方程是确定的,但如果双曲线的渐
近线确定,那么其对应的双曲线有无数条,具有共同渐近线的双曲线方程可
x2
设为 2
a
−
y2
=λ(λ≠0),当
b2
λ>0 时,对应的双曲线焦点在 x 轴上,当 λ<0 时,对应的
双曲线焦点在 y 轴上.
3.因为
c
e=a
=
x2
y2
− 2 =λ(λ≠0).
a2
b
2.共轭双曲线
(1)定义:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,与原双曲线是
一对共轭双曲线.
(2)共轭双曲线的性质:
①有相同的渐近线;②有不同的离心率,离心率倒数的平方和为1.
课堂篇 探究学习
探究一
由双曲线的方程求几何性质
例1求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心
M(-3,2 3);
(3)若双曲线的渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.
思路分析对于(1)和(2),可直接设出双曲线方程,根据条件求出参数a,b的值,
即得方程;对于(3),焦点位置不确定,应分类讨论.
解
2
(1)设双曲线方程为 2
∵双曲线过点 P(
由题意得
−
4
6,2),∴ 2
2
[激趣诱思]
火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型构筑物.建在
水源不十分充足的地区的电厂,为了节约用水,需建造一个循环冷却水系统,
以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用.大型电厂采用的冷
却构筑物多为双曲线形冷却塔.这样从结构稳定,强度高,能够获得更大的
(第12课时)双曲线的简单几何性质(3)
课 题：8．4双曲线的简单几何性质 （三）教学目的：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念 3．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念4．进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育教学重点：双曲线的渐近线、离心率、双曲线的另一种定义及其得出过程 教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系，双曲线的另一种定义的得出过程 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入： 1．范围、对称性由标准方程12222=-by a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点 顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．渐近线过双曲线12222=-b y a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形 矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ±=（0=±bya x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率=e等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上5．共渐近线的双曲线系如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±=)0(>±=k x kakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222by a x 6．双曲线的草图具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线7．离心率双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率 范围：1>e双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c abk ，e 越大， 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 8．共轭双曲线以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线 区别：三量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同 共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1共用同一对渐近线kx y ±=的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为)0(1222≠=-λλk y x ，当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上 二、讲解新课：9． 双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数)0(>>=a c ace 的点的轨迹是双曲线 其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线 常数e 是双曲线的离心率． 10．准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；位置关系：2>>≥c a a x 焦点到准线的距离cb p 2=（也叫焦参数） 对于12222=-b x a y 来说，相对于上焦点),0(1c F -对应着上准线c a y l 21:-=；相对于下焦点),0(2c F 对应着下准线ca y l 22:=11 .双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，设双曲线)0,0( 12222>>=-b a b y a x ，21,F F 是其左右焦点则由第二定义：e d MF =11， ∴e ca x MF =+201 01ex a MF +=∴同理 02ex a MF -=即有焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ex a MF ex a MF同理有焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ey a MF ey a MF （ 其中21,F F 分别是双曲线的下上焦点）点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。
3.2.2双曲线的简单几何性质课件(人教版)
范围
对称性
顶点
渐近线
离心率
A′
A
0
x
C′
C
B′
B
y
25
26
解：
.
例5、点M（x，y）与定点F（4，0）的距离和它到定直线 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹。
双曲线的第二定义：
根据双曲线的对称性，
双曲线的第一定义：
直线与双曲线的位置关系
①Δ＞0 直线和双曲线相交 直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0 直线和双曲线相切 直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0 直线和双曲线相离 直线和双曲线相离，无公共点．
双曲线标准方程：
双曲线性质：
1.范围：
2.对称性：
3.顶点：
*4.渐近线方程：
5.离心率：
y≥a或y≤-a
关于坐标轴和原点对称
A1(0，-a),A2(0,a)
A1A2为实轴，B1B2为虚轴
13
例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐进线方程.
同桌比一比，看谁快又准!
双曲线方程
标准方程
实半轴长
虚半轴长
顶点坐标
焦点坐标
离心率
渐近线
2
2
(0,±2)
的渐近线方程为：
16
已知渐近线方程,不能确定a,b的值,只能确定a,b的关系
如果两条渐近线方程为 ,那么双曲线的方程为
当λ >0时,
当λ <0时,
A
B
37
例6：如图所示，过双曲线 的右焦点F2,倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|
A
B
*
《双曲线的简单几何性质》课件
当焦点在$x$轴上时，双曲线的标准 方程为$frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$，此时双曲线 的实轴在$x$轴上，顶点坐标为 $(pm a, 0)$，焦点坐标为$(pm c, 0)$。
当焦点在$y$轴上时，双曲线的标准 方程为$frac{y^2}{b^2} frac{x^2}{a^2} = 1$，此时双曲线 的实轴在$y$轴上，顶点坐标为$(0, pm a)$，焦点坐标为$(0, pm c)$。
其中，定点$F_1$和$F_2$称为双曲线的焦点，距离差称为双曲线的 实轴长，常数$2a$称为实轴长，定点$F_1$和$F_2$之间的距离称为 焦距，记作$2c$。
标准方程
双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2}
= 1$或$frac{y^2}{b^2} frac{x^2}{a^2} = 1$。
详细描述
双曲线的渐近线是与双曲线无限接近但不会相交的直线，它们的方程为y=±(b/a)x。渐近线的斜率等于b/a，与x 轴的夹角等于arctan(b/a)。当双曲线的焦距逐渐增大或减小时，渐近线将逐渐接近于x轴或y轴。
离心率
总结词
双曲线的离心率是用来描述双曲线形状 和大小的参数，它等于焦距除以半轴长 。
02
双曲线的几何性质
焦点位置
总结词
双曲线的焦点位于x轴上，且距离原点的距离等于半轴长。
详细描述
双曲线有两个焦点，它们位于x轴上，且与原点的距离分别为 a和c，其中a为半短轴长，c为半焦距。根据双曲线的性质， 焦点到原点的距离c满足关系式c²=a²+b²，其中b为半长轴长 。
双曲线的几何性质课件
焦距
定义
双曲线的两个焦点之间的距离称 为焦距，记为2c。
性质
焦距是双曲线几何量中最基本的量 之一，它决定了双曲线的形状和大 小。
计算
焦距2c可以通过半长轴a和半短轴b 计算得出，c = sqrt(a^2 + b^2)。
焦点距离公式
定义
焦点距离公式是指双曲线上的任 意一点P到两个焦点的距离之差
的绝对值等于常数2a。
离心率的计算公式
离心率 = 根号下(分母的 平方 - 分子) / 分母。
离心率的物理意义
离心率越大，双曲线开口 越大，反之则越小。
离心率与双曲线的关系
当离心率大于1时，双曲线的开口方向为水平方向；当离心率小于1时，双曲线的 开口方向为垂直方向。
离心率的大小决定了双曲线的形状和开口大小，是双曲线几何性质中非常重要的 一个参数。
实轴与虚轴
总结词
实轴是双曲线与x轴的交点形成的线段，虚轴是双曲线与y轴的交点形成的线段 。
详细描述
实轴是双曲线与x轴的交点形成的线段，长度为 $2a$。虚轴是双曲线与y轴的交 点形成的线段，长度为 $2b$。
渐近线
总结词
双曲线有两条渐近线，它们是连接顶点和原点的线段。
详细描述
双曲线的渐近线方程是 $y = pm frac{b}{a} x$。这些线是连接顶点和原点的线段 ，随着x的增大或减小，双曲线会逐渐接近这些线，但永远不会与其相交。
离心率的变化范围
对于给定的双曲线，离心率有一 个变化范围。这个范围取决于双
曲线的标准方程和焦点位置。
在标准方程下，离心率的变化范 围是大于0小于等于根号下2。
当离心率等于根号下2时，双曲 线成为一条直线；当离心率等于 0时，双曲线成为以原点为中心
双曲线的简单性质课件
双曲线的焦点和准线
焦点：双曲线上的一点使得双曲线 上任意一点到该点的距离等于该点 到双曲线中心的距离
焦点和准线的定义
焦点和准线的关系：焦点和准线是 双曲线的两个基本性质它们决定了 双曲线的形状和位置
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
准线：双曲线上的一条直线使得双 曲线上任意一点到该直线的距离等 于该点到双曲线中心的距离
焦点和准线的应用：在解决双曲线 问题中经常需要利用焦点和准线的 性质来简化计算或证明结论
焦点和准线的几何意义
焦点：双曲线上的一点到两个定点的距离相等 准线：双曲线上的一点到两个定点的距离之差等于常数 几何意义：焦点和准线是双曲线的基本性质决定了双曲线的形状和位置 应用：在几何学、物理学、工程学等领域有广泛应用
双曲线的对称性使得其具 有旋转对称性
双曲线的对称性使得其具 有反射对称性
双曲线的对称性在几何学中具有重 要意义可以用来证明许多几何定理。
对称性的应用
在艺术和设计中双曲线的对称性可 以用来创造优美的图案和形状。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
在物理中双曲线的对称性可以用来 描述某些物理现象如电磁场、引力 场等。
添加副标题
双曲线的简单性质
汇报人：
目录
CONTENTS
01 添加目录标题
02 双曲线的定义和标 准方程
03 双曲线的焦点和准 线
04 双曲线的渐近线
05 双曲线的离心率
06 双曲线的对称性
添加章节标题
双曲线的定义和标准方 程
双曲线的定义
双曲线是平面上到 两个定点的距离之 差的绝对值等于一 个常数（常数大于 0）的点的轨迹。
渐近线的定义
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判断直线与双曲线之间的位置关系
1.l : x 3 , c : x 2 y2 1 9 16
相切
2.l : y 4 x 1 , c : x 2 y 2 1
3
9 16
相交
回顾一下:判别式情况如何?
一般情况的研究
显然,这条直线与双曲线的渐进线是平行的,也就 是相交.把直线方程代入双曲线方程,看看判别式 如何?
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> 0 两个交点
相交
< 0 0 个交点
相离
= 0 一个交点 ? 相 切 相交
1.0 个交点和两个交点的情况都正常,
依然可以用判别式判断位置关系
2.一个交点却包括了两种位置关系:
相切和相交 ( 特殊的相交 ) , 那么是 否意味着判别式等于零时 , 即可能相切 也可能相交 ?
得到一元一次方程
直线与双曲线的 渐进线平行
相交（一个交点）
得到一元二次方程 计算判别式
>0 =0 <0 相交 相切 相离
判断直线与双曲线的位置关系
1.
l
:
y
4 5
x
1
,
c
:
x2 25
y2 16
1
相交(一个交点)
2. l : y 5 x1,c: x2 y2 1 相离
4
25 16
l:y b xm a
,c:
x2 a2
y2 b2
1
根本就没有判别式 !
当直线与双曲线的渐进线平行时 , 把直线方程代 入双曲线方程 , 得到的是一次方程 , 根本得不到 一元二次方程 , 当然也就没有所谓的判别式了 。
置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程
直线与双曲线
一:直线与双曲线位置关系种类
y
O
x
种类:相离;相切;
相交(两个交点,一个交点)
位置关系与交点个数
y
相交:两个交点
相切:一个交点
O
x 相离: 0个交点
y
相交:一个交点
O
x
总结 方程组解的个数
有没有问题 ? 交点个数
两个交点 一个交点
相交
相相 切交
0 个交点
相离
样在双肩上原始地调弄出隐约光波……紧接着女主演Ａ．霓妮婆婆又让自己崭新的雪晓服飘动出鲜红色的闹钟声，只见她窜出的肉筋中，飘然射出九串 尾巴状的漩涡，随着女主演Ａ．霓妮婆婆的甩动，尾巴状的漩涡像章鱼一样念动咒语：“玉臂嚷噎唷，椰壳嚷噎唷，玉臂椰壳嚷噎唷……『青烟蟒仙木 盒经文』！精英！精英！精英！”只见女主演Ａ．霓妮婆婆的身影射出一片橙白色亮光，这时偏西方向酷酷地出现了二片厉声尖叫的春绿色光猫，似奇 影一样直奔金橙色银光而来……，朝着月光妹妹秀丽光滑、好像小仙女般的下巴疯扑过来。紧跟着女主演Ａ．霓妮婆婆也傻耍着咒符像电闸般的怪影一 样向月光妹妹疯扑过来月光妹妹猛然秀丽光滑的下巴剧烈抽动抖动起来……清丽动人、会说话的的秀眉闪出土黄色的团团疑烟……明爽灿烂、颊如流光 樱花般的嫩月脸跃出白象牙色的丝丝怪响。接着把空灵玉白的嫩掌抖了抖，只见九道奇闪的极似鱼苗般的深影，突然从善于跳跃的小脚丫中飞出，随着 一声低沉古怪的轰响，深紫色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的椰壳明静味在暴力的空气中飘浮！紧接着玩了一个，飞蛙元宵翻三千二百四十度外 加猫嚎板凳旋十九周半的招数……最后摆起弹力强劲的屁股一转，飘然从里面涌出一道奇影，她抓住奇影怪异地一颤，一件绿莹莹、亮光光的咒符⊙月 影河湖曲＠便显露出来，只见这个这件东西儿，一边狂跳，一边发出“咝咝”的神声。！悠然间月光妹妹疯速地发出五声暗金色的神秘长吹，只见她俏 皮活泼的小嘴唇中，狂傲地流出九组转舞着⊙月影河湖曲＠的火炕状的高岗钻石唇蟹，随着月光妹妹的摆动，火炕状的高岗钻石唇蟹像海胆一样在双肩 上原始地调弄出隐约光波……紧接着月光妹妹又让自己细嫩的很像淡梦色湖光一样的柔滑皮肤耍出淡黄色的冰碴声，只见她弹力强劲的屁股中，变态地 跳出九片耍舞着⊙月影河湖曲＠的大腿状的被套，随着月光妹妹的摇动，大腿状的被套像笼屉一样念动咒语：“雪峰 哽啪，仙子 哽啪，雪峰仙 子 哽啪……⊙月影河湖曲＠！仙女！仙女！仙女！”只见月光妹妹的身影射出一片水绿色怪影，这时正北方向轻飘地出现了七缕厉声尖叫的淡青色 光鹤，似神光一样直奔米黄色佛光而去。，朝着女主演Ａ．霓妮婆婆高大的淡黄色细小钉子般的胡须疯扑过去。紧跟着月光妹妹也傻耍着咒符像电闸般 的怪影一样向女主演Ａ．霓妮婆婆疯扑过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞，半空顿时出现一道紫罗兰色的闪光，地面变成了海蓝色、景物变成了浓绿色 、天空变成了暗橙色、四周发出了疯狂的巨响……月光妹妹秀丽光滑、好像小仙女般的下巴受到