高三第一轮复习——导数的应用PPT课件

0 < a < 1 时 , f x 在 [ 0 , ) 上 , 不 是 单 调 函 数 .
2020年10月2日
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二、例题选讲
例2.设f (x) = ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的 取值范围，并求其单调区间。
解 :fx3ax21,
若 a 0 , 则 f x 在 ( - , ) 恒 正 ,
导数的应用
2020年10月2日
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一、知识要点：
1.函数的单调性: ⑴设函数y = f(x)在某个区间可导,
若f '(x) >0，则f(x)为增函数； 若f '(x) <0，则f(x)为减函数.
2020年10月2日
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一、知识要点：
1.函数的单调性: ⑵求可导函数的单调区间的一般步骤和方法：
①确定函数f(x)的定义区间;
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当 x 2 k 4 ,2 k 5 4 k Z 时 , y 0 ,fx 为 减 函 数 ,
因 当 此 x 当 2 x k = 2 k 3 4 4 ,2 k k Z 4 时 ,k y 极 Z 大 值 时 , y 2 2 0 e , 2 k f x 4 为 ,增 函 数 ,
分析: 实际应用问题应先建立数学模型，注意自变量的 取值范围，若出现三次以上或带有根号的函数或 三角函数，可考虑求导来解决。
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例4.(2000年江西卷)用总长为14.8m的钢条制作一个 长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的
一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积 最大？并求出它的最大容积。
解:设容器底面短边长为x m,则另一边长为
(x+0.5)m,高为(14.8-4x-4(x+0.5))/4=(3.2-2x)m 则 3.2 – 2x > 0 , x>0 , 得 0<x<1.6. 设容器体积为y m3,则 y = x (x+0.5) (3.2 – 2x)
为 它 的 减 区 间 , - 1 3 a , - 1 3 a 为 它 的 增 区 间 .
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二、例题选讲
例 3.求 yexcosx的 极 值 .
解 :y e x c o s x s in x ,令 y 0 ,
即 c o s x s in x 0 得 , x kk Z ,
上是单调函数。
解 : fx x a , x [0 , ) , x [0 ,1 ) ,
x 2 1
x 2 1
故 当 a 1 时 , f x 0 在 [ 0 , ) 上 恒 成 立 , 即 a 1 时 , f x 在 [ 0 , ) 递 减 ;
又 当 0 < a < 1 时 , 设 有 x 1 , x 2 [ 0 , ) , 当 x 1 x 2 时 , f x 1 = f x 2 ,
即 x 1 2 1 - a x 1 =x 2 2 1 - a x 2 x 1 2 x 1 1 x 2 x 2 2 1 = a ,
令 x 1 = 0 , 可 求 得 x 2 = 1 - 2 a a 2 , 所 以 有 f0 = f 1 - 2 a a 2 , 显 然 1 - 2 a a 2 0 ,
判定函数 f(x) 在每个相应小区间内的增减性。
2020年10月2日
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一、知识要点：
2.可导函数的极值 ⑴极值的概念
设函数 f(x) 在点x0附近的所有的点都有f(x)< f(x0) (或 f(x) > f(x0) ),则称 f(x0) 为函数的一个极大(小) 值,称x0为极大(小)值点。 ⑵求可导函数 f(x) 极值的步骤：
①求导数 f x
②求方程 f x =0的根
③检验 f x 在上述根的左右的符号,如果在根的
左侧为正(负),右侧为负(正),那么函数 y = f (x)
在这个根处取得极大(小)值。
2020年10月2日Fra bibliotek4一、知识要点：
3.函数的最大与最小值 ⑴设y = f(x)是定义在区间[a , b]上的函数,y = f(x) 在(a , b)内有导数,求函数y = f(x) 在区间[a , b] 上的最大最小值,可分两步进行:
②求f x ,令f x = 0,解此方程,求出它在定义区
间内的一切实根; ③把函数 f(x) 的间断点(包括 f(x) 的无定义的点)
的横坐标和上面的各实根按从小到大的顺序排列
起来，然后用这些点把函数 f(x) 的定义区间分成
若干个小区间;
④确定 f(x) 在各区间内的符号,根据 f(x) 的符号
当 x = 2 k 3 4k Z 时 ,y 极 小 值 2 2 e 2 k 3 4 .
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二、例题选讲
例4.（2000年江西卷）用总长为14.8m的钢条制作一个 长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的 一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积 最大？并求出它的最大容积。
例1(2000年全国高考题)设函数 f x x21ax
其中a>0,求a的取值范围,使函数 f(x) 在区间[0, ) 上是单调函数。
分析：求 f x ,当x∈ [0, ) 时,看 f x
变化范围。
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例1（2000年全国高考题）设函数 f x x21ax
其中a>0,求a的取值范围，使函数f(x)在区间 [0, )
f x 只 有 一 个 单 调 区 间 , 与 题 意 不 符 .
若 a < 0 , 则 fx 3 a x 2 1 3 a 3 a x 1 3 a x 1 3 a , a 0 时 ,fx 有 三 个 单 调 区 间 , ( - , - - 1 3 a ] ,[- 1 3 a , )
①求y = f(x)在区间(a,b)内的极值; ②将y = f(x)在各极值点的极值与f(a), f(b)比较， 其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。
⑵若函数f(x)在区间[a , b]上单调递增(减),则f(a) 为最小(大)值,f(b)为最大(小)值。
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二、例题选讲