课标通用安徽省2019年中考数学总复习专题8几何综合探究题课件

2019年中考数学二轮复习几何探究题(压轴题) 综合练习 (含答案)

2019年中考数学二轮复习

几何探究题（压轴题）

综合练习

1. (1)阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE(或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD)．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．

中线AD的取值范围是________；

(2)问题解决：

如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF.求证：BE＋CF＞EF；

(3)问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．

2.如图①，②，③分别以△ABC的AB和AC为边向△ABC外作正三角形(等边三角形)、正四边形(正方形)、正五边形，BE和CD相交于点O.

(1)在图①中，求证：△ABE≌△ADC.

(2)由(1)证得△ABE≌△ADC，由此可推得在图①中∠BOC＝120°，请你探索在图②中∠BOC的度数，并说明理由或写出证明过程．

(4)由此推广到一般情形(如图④)，分别以△ABC 的AB 和AC 为边向△ABC 外作正n 边形，BE 和CD 仍相交于点O ，猜想∠BOC 的度数为____________________(用含n 的式子表示)．

图① 图② 图③ 图④

【复习专题】中考数学复习：几何综合题

几何综合题（旋转为主的题型）

一、知识梳理

二、教学重、难点

三、作业完成情况

四、典题探究

例1 已知：如图，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP 、BP 为边向线段AB 的同侧作正△APC

和正△BPD ，AD 和BC 交于点M.

（1）当△APC 和△BPD 面积之和最小时，直接写出AP : PB 的值和∠AMC 的度数；（2）将点P 在线段AB 上随意固定，再把△BPD 按顺时针方向绕点P 旋转一个角度α，当α<60°

时，旋转过程中，∠AMC 的度数是否发生变化？证明你的结论.

（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC 的大小是否会发生变

化？若变化，请写出∠AMC 的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC 的度数.

例2 探究：

（1）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且∠EAF ＝45°，试判断BE 、DF 与EF 三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：；

（2）如图2，若把(1)问中的条件变为“在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF=

2

1

∠BAD ”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（3）在（2）问中，若将△AEF 绕点A 逆时针旋转，当点分别E 、F 运动到BC 、CD 延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明

..

例3 已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．

中考数学复习30：几何综合问题专题(共21张PPT)

班主任：我觉得何旋今天取得这样的成绩，我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的，何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩当中，心理素质非常好，是非常重要的。
【思维模式】初中数学中点的运动轨迹问题，通常有两种可能，一是轨迹是线段，此时只要求出两端点的坐标就可求得路径长；二是轨迹是圆弧，此时先去定圆弧所在圆的圆心、半径，再确定圆心角就可求得路径长．
语文
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例 1 ：（ 2013 山东烟台）已知，点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB上一动点（不与 A，B重合）分别过点 A，B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断 QE与QF的数量关系，并给予证明；（ 3 ）如图3 ，当点 P在线段BA（或 AB ）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明.

中考数学解答题压轴题突破重难点突破八几何综合探究题类型一：类比拓展型探究问题

在 Rt△FBM 中，FB＝AB＝BM， ∴FM＝ 2FB＝2 2a，∴EG⊥GB， ∵∠EBG＝∠ABE＋∠ABN＝45°，∴GB＝EG＝a， ∵NB＝ 3a，∴AE＝EF＝MD＝( 3－1)a，在 Rt△EFM 中，EM＝ FM2－EF2＝( 3＋1)a， ∴AD＝AE＋EM＋MD＝2AE＋EM＝(3 3－1)a，
(2)【问题解决】如图②，在任意直角三角形 ABC 内，找一点 D，过点 D 作正方形 DECF，分别交 BC，AC 于点 E，F，若 AB＝BE＋AF，求∠ADB 的度数；
如答图，延长 AC，使 FM＝BE，连接 DM， ∵四边形 DECF 是正方形， ∴DF＝DE，∠DFC＝∠DEC＝90°， ∵BE＝FM，∠DFC＝∠DEB＝90°，DF＝DE， ∴△DFM≌△DEB(SAS)，∴DM＝DB， ∵AB＝AF＋BE，AM＝AF＋FM，FM＝BE， ∴AM＝AB，又∵DM＝DB，AD＝AD，
解：∵∠BAD＝45°，BA＝BM，∴△AMB 是等腰直角三角形， ∴∠MBC＝∠AMB＝∠BAM＝45°，∵EF∥BM，∴∠FEM＝∠AMB＝45°， ∴∠AEB＝∠FEB＝12(180°＋45°)＝112.5°， ∴∠ABE＝180°－∠AEB－∠BAE＝22.5°， ∵AADN＝m，△AMB 是等腰直角三角形，AN 为底边上的高，则 AN＝12AM， ∵点 M 在 AD 边上，∴当 AD＝AM 时，m 取得最小值，最小值为 AAMN＝2，

2019年中考数学复习课件+练习：专题复习(六) 几何综合题(有答案)

专题复习(六) 几何综合题

类型1 类比探究的几何综合题

1．(2017·岳阳)问题背景：已知∠EDF 的顶点D 在△ABC 的边AB 所在直线上(不与A ，B

重合)．DE 交AC 所在直线于点M ，DF 交BC 所在直线于点N.记△ADM 的面积为S 1，△BND

的面积为S 2.

(1)初步尝试：如图1，当△ABC 是等边三角形，AB ＝6，∠EDF ＝∠A ，且DE ∥BC ，

AD ＝2时，则S 1·S 2＝12；

(2)类比探究：在(1)的条件下，先将点D 沿AB 平移，使AD ＝4，再将∠EDF 绕点D 旋

转至如图2所示位置，求S 1·S 2的值；

(3)延伸拓展：当△ABC 是等腰三角形时，设∠B ＝∠A ＝∠EDF ＝α.

(Ⅰ)如图3，当点D 在线段AB 上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，求S 1·S 2的表达式(结果

用a ，b 和α的三角函数表示)；

(Ⅱ)如图4，当点D 在BA 的延长线上运动时，设AD ＝a ，BD ＝b ，直接写出S 1·S 2的

表达式，不必写出解答过程．

解：(1)在图1中，

∵△ABC 是等边三角形，

∴AB ＝CB ＝AC ＝6，∠A ＝∠B ＝60°.

∵DE ∥BC ，∠EDF ＝∠A ＝60°，

∴∠BND ＝∠EDF ＝60°.

∴∠BDN ＝∠ADM ＝60°.

∴△ADM ，△BDN 都是等边三角形．

∴S 1＝34×22＝3，S 2＝34

×42＝4 3. ∴S 1S 2＝12.

(2)在图2中，设AM ＝x ，BN ＝y.

∵∠MDB ＝∠MDN ＋∠NDB ＝∠A ＋∠AMD ，∠MDN ＝∠A ，

D_2019中考数学专题复习几何变换几何综合题解析版

几何变换几何综合题

1．（1）【问题发现】

如图①，正方形AEFG的两边分别在正方形ABCD的边AB和AD上，连接CF．

填空：①线段CF与DG的数量关系为；

②直线CF与DC所夹锐角的度数为．

（2）【拓展探究】

如图②，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转，在旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立，

请利用图②进行说明．

（3【解决问题】

如图③，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC＝4，O为AC

的中点．若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D的运动过程中，线段OE长的最小值为（直接写出结果）．

2．在数学探究课上，老师出示了这样的探究问题，请你一起来探究：已知C是线段AB所在平面内任意一点，分别以AC、BC为边，在AB同侧作等边△ACE和△BCD，连接AD、BE交于点P．（1）如图1，当点C在线段AB上移动时，线段AD与BE的数量关系：．

（2）如图2，当点C在直线AB外，且∠ACB＜120°，上面（1）中的结论是否还成立？若成立请证明，不成立说明理由．此时∠APE是否随着∠ACB的大小发生变化，若变化写出变化规律，若不变，请写出∠APE的度数，不必说明理由．

（3）如图3，在（2）的条件下，以AB为边在AB另一侧作等边三角形∠ABF，连接AD、BE 和CF交于点P．求证：PA+PB+PC＝BE．若∠ABC＝60°，AB＝6，BC＝4试求PA+PB+PC的值，只需直接写出结果．

3．（1）如图1，在△ABC和△ECD是等边△，则BE、AD之间的数量关系为；∠DFE度数为；请用旋转的性质说明上述关系成立的理由．

第十八章全国通用版中考数学：《平行四边形》几何综合探究(二)—解析版

第十八章专题：《平行四边形》几何综合探究（二）

1.如图，正方形ABCD中，P为AB边上任意一点，AE⊥DP于E，点F在DP的延长线上，且

EF＝DE，连接AF、BF，∠BAF的平分线交DF于G，连接GC．

（1）求证：△AEG是等腰直角三角形；

（2）求证：AG+CG＝DG．

（3）若AP=BP=1，请直接写出BF的长。

【解答】

（1）证明：∵DE＝EF，AE⊥DP，

∴AF＝AD，

∴∠AFD＝∠ADF，

∵∠ADF+∠DAE＝∠PAE+∠DAE＝90°，

∴∠AFD＝∠PAE，

∵AG平分∠BAF，

∴∠FAG＝∠GAP．

∵∠AFD+∠FAE＝90°，

∴∠AFD+∠PAE+∠FAP＝90°

∴2∠GAP+2∠PAE＝90°，

即∠GAE＝45°，

∴△AGE为等腰直角三角形；

（2）证明：作CH⊥DP，交DP于H点，∴∠DHC＝90°．

∵AE⊥DP，∴∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DHC．

∵∠ADE+∠CDH＝90°，∠CDH+∠DCH＝90°，

∴∠ADE＝∠DCH．

∵在△ADE和△DCH中，

，

∴△ADE≌△DCH（AAS），

∴CH＝DE，DH＝AE＝EG．

∴EH+EG＝EH+HD，即GH＝ED，∴GH＝CH．∴CG＝GH．

∵AG＝EG，

∴AG＝DH，∴CG+AG＝GH+HD，∴CG+AG＝（GH+HD），即CG+AG＝DG．

（3）5

10

22.【感知】如图①，四边形ABCD 、CEFG 均为正方形．可知BE ＝DG ．

【拓展】如图②，四边形ABCD 、CEFG 均为菱形，且∠A ＝∠F ．求证：BE ＝DG ．

中考总复习之几何综合题

中考总复习---几何综合

几何综合题常研究以下几个方面的问题：

1.证明线段、角的数量关系（包括相等、和差、倍、分关系以及比例关系）；

2.证明图形的位置关系（如点与线、线与线、线与圆等）；

3.面积计算问题；

4.动态几何问题

在解几何综合问题时，常要分解基本图形，挖掘隐含的数量关系，另外，也需要注意使用数形结合、方程、分类讨论等数学思想方法来解决问题。借助变换的观点也能帮助我们找到更有效的解决问题的思路。

解几何综合题，要充分利用综合与分析的思维方法。当思维受阻时要及时改变方向;要熟悉常用的辅助线添法;强化变换的意识;从特殊或极端位置探究结论。

第一课时：基本证明与计算：

例1.直线CF垂直且平分AD于点E，四边形ABCD是菱形，BA的延长

线交CF于点F，连接AC。

（1）写出图中两对全等三角形。

（2）求证：ΔABC是正三角形。

例2、在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G. （1）求证：ΔADE≌ΔCBF

（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论。

例3、如图1，在四边形ABCD 中，已知AB=BC ＝CD ，∠BAD 和∠CDA 均为锐角，点P 是对角线BD 上的一点，

PQ ∥BA 交AD 于点Q ，PS ∥BC 交DC 于点S ，四边形PQRS 是平行四边形。

（1）当点P 与点B 重合时，图1变为图2，若∠ABD ＝90°，求证：△ABR ≌△CRD ；

（2）对于图1，若四边形PRDS 也是平行四边形，此时，你能推出四边形ABCD 还应满足什么条件？练习：

课标通用安徽省中考数学总复习专题8几何综合探究题课件

类型一
类型二
类型三
题型分类突破
素养训练提高
方法二:∵△DAE ≌△CEM ,CM=EM ,∠AED= 90 °, ∴AE=DE=EM=CM ,∠CME= 90 °,
∴FM ∶FE=NM ∶AE ,即FM ∶FE=FN ∶FA , ∵∠MFE= ∠NFA ,∴△FME ∽△FNA , ∴∠FME= ∠FNA ,∴AN ∥CM.
专题八几何综合探究题
题型概述方法指导
解题知识解读
题型分类突破
素养训练提高
几何综合探究题型连续5 年作为安徽中考压轴题.主要涉及利用
三角形相似或全等的判定及性质进行相关的探究与证明、三角形和四边形的综合探究与证明(常涉及线段的数量和位置关系、求线段长、特殊图形的判定等),这是安徽中考对几何推理与证明能力
1234
题型分类突破
素养训练提高
x= 3,且与x 轴相交于A ,B两点(B点在A 点右侧),与y轴交于C 点. (1)求抛物线的解析式和A 、B两点的坐标. (2)若点P是抛物线上B、C 两点之间的一个动点(不与B、C 重合),则是否存在一点P,使△PBC 的面积最大,若存在,请求出△PBC 的最大面积;若不存在,试说明理由. (3)若M 是抛物线上任意一点,过点M 作y轴的平行线,交直线BC 于点 N ,当MN= 3 时,求M 点的坐标.
素养训练提高

中考数学专题复习：几何综合题

中考数学专题
几何综合题
几何综合题单元主要涉及到三角形，四边形和圆三大模块。1,三角形主要包括等腰三角形、等边三角形、直角三角形和一般三角形的全等和相似的证明。2,四边形主要包括平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定和性质以及相关计算.3 圆主要包括圆的有关概念和性质、圆的有关角和定理的应用和计算。
小组合作
1.在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段
AM的长；
（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；
（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN
【考点总结】五、相似三角形
1．定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
2．判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似； (2)两角对应相等，两三角形相似； (3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (4)三边对应成比例，两三角形相似； (5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． 3．性质： (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例； (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； (3)相似三角形周长的比等于相似比； (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方

探究性问题课件(72张PPT)2024年中考人教版数学复习

类型一类比探究题
探究性问题
类比探究是一类共性条件与特殊条件相结合，由特殊情形到一般
情形（由简单情形到复杂情形）逐步深入，解决思想方法一脉相承的
综合性题目.这类问题常以几何综合题为主，具有条件类似、图形结构
类似、问法类似等特征.
类比探究问题的处理思路：
1.类比：类比是解决问题的第一原则，如类比字母、类比辅助线、
∵ 四边形是菱形， ∴ = ， //.
∴ ∠ = ∠.
∴ △ ≌ △ SAS .
∴ ∠ = ∠ = 60∘ ， = .
∵ = ， ∴ = .
∴ △ 是等边三角形.
图114
∴ = = 11.
= ，连接，，并延长交于点．
① ∠ 的度数是____.
图5ຫໍສະໝຸດ Baidu
小锦囊（2）同（1）中思路，根据边角关系，可先后证明△ ∽ △
，△ ∽ △ ，从而得到: 的结果，并将∠转化为
∠，就可在△ 中利用三角形的内角和定理，求出∠的度数.
∵ + = ， ∴ = − = 11 − 8 = 3 ，即的长为3．
7
探究性问题
针对训练
1.（2023·巴中）【提出问题】
（1）如图4，在 △ 和 △ 中，
∠ = ∠ = 90∘ ，且 = ，
= ，连接，连接，交的延长线

规律探索综合题(几何)-全国各地2019年中考数学压轴题几何大题题型分类汇编(解析版)

2019全国各地中考数学压轴大题几何综合

八、规律探索综合题

1.（2019•十堰）如图1，△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α，D为△ABC内一点，将△CAD绕点C按逆时针

方向旋转角α得到△CBE，点A，D的对应点分别为点B，E，且A，D，E三点在同一直线上．

（1）填空：∠CDE＝（用含α的代数式表示）；

（2）如图2，若α＝60°，请补全图形，再过点C作CF⊥AE于点F，然后探究线段CF，AE，BE之间的数量关系，并证明你的结论；

（3）若α＝90°，AC＝5，且点G满足∠AGB＝90°，BG＝6，直接写出点C到AG的距离．

解：（1）∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CBE

∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α

∴CD＝CE

∴∠CDE＝

故答案为：

（2）AE＝BE+CF

理由如下：如图，

∵将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角60°得到△CBE

∴△ACD≌△BCE

∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60°

∴△CDE是等边三角形，且CF⊥DE

∴DF＝EF＝

∵AE＝AD+DF+EF

∴AE＝BE+CF

（3）如图，当点G在AB上方时，过点C作CE⊥AG于点E，

∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，

∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10

∵∠ACB＝90°＝∠AGB

∴点C，点G，点B，点A四点共圆

∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且CE⊥AG

∴∠AGC＝∠ECG＝45°

∴CE＝GE

∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°

∴AG＝＝8

∵AC2＝AE2+CE2，

∴（5）2＝（8﹣CE）2+CE2，

∴CE＝7（不合题意舍去），CE＝1

中考数学解答题压轴题突破重难点突破八几何综合探究题类型二：操作型探究问题

证明：∵PQ⊥BC，NM⊥BC，NP⊥MN，∴∠PQM＝∠QMN＝∠PNM＝90°，∴ 四边形 PQMN 是矩形， ∵P′N′∥PN，M′N′∥MN，∴△BP′N′∽△BPN，△BM′N′∽△BMN，
P′N′ BN′ N′M′ BN′ P′N′ N′M′ ∴ PN ＝ BN ， NM ＝ BN ，∴ PN ＝ NM ， ∵M′N′＝P′N′，∴MN＝PN，∴矩形 PQMN 是正方形．
①a＞b 时，则 a＋b＝12，
∵正方形 ABIJ 是由正方形 ACDE 被分成的 4 个全等的四边形和正方形 CBLM
拼成，
∴E′F′＝EF，KF′＝FD，E′K＝BC＝5，
∵E′F′－KF′＝E′K，∴a－b＝5，
a＋b＝12， ∴a－b＝5，
17
17
解得 a＝ 2 ，∴EF＝ 2 ；
a＋b＝12，
(2)【问题解决】勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形 ACDE 的中心 O，作 FG⊥HP，将它分成 4 份，所分成的四部分和以 BC 为边的正方形恰好能拼成以 AB 为边的正方形．若 AC＝12， BC＝5，求 EF 的值；由题意得正方形 ACDE 被分成 4 个全等的四边形，设 EF＝a，FD＝b，分两种情况：
(1)【阅读理解】我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；

2019年初三数学中考复习几何综合题探究课件(共22张PPT)

由题意得AE⊥EF,AE=EF. ∴∠AEB+∠FEC=90°.
C
F G
A
E
D B
A
B'
C'
A B'
C'
B
CB
C'
B'
A
CB
A
C' B
C
B' CB
O
A
B'
B' C
B
O
C' A
O C
A
A
A
A
D
D
E
E
O
FC
B
C
D
B
O
C
B
E
C
B
O
D
解决几何综合题，是需要厚积而薄发。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。教学中关注知识形成过程，注重学生动手探究实践，敢于尝试。
解析 (1)①补全图形,如图所示.
②证法一:过F作FH⊥BG于H,
由题意得AE⊥EF,AE=EF.
∵∠B=∠AEF=∠EHF=90°, ∴∠AEB+∠FEC=90°,∠AEB+∠BAE=90°, ∴∠BAE=∠HEF,∴△ABE≌△EHF. ∴BE=FH,AB=EH, ∵E为BC的中点,∴BE=CE=CH=FH. ∴∠DCF=∠FCG=45°. 证法二:取线段AB的中点H,连接EH.

2019年中考数学二轮复习几何探究题(压轴题) 综合练习 (含参考答案)

12. 如图①，菱形 ABCD 中，已知∠BAD＝120°，∠EGF＝60°，∠EGF 的顶点 G 在菱形对角线 AC 上运动，角的两边分别交边 BC、CD 于点 E、F.
图① (1)如图②，当顶点 G 运动到与点 A 重合时，求证：EC＋CF＝BC； (2)知识探究： ①如图③，当顶点 G 运动到 AC 中点时，探究线段 EC、CF 与 BC 的数量关系；
AB EF (2)如图②，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为矩形，且BC＝FC＝k 时，若 BE＝1，AE＝2，CE＝3，求 k 的值； (3)如图③，当四边形 ABCD 和 EFCG 均为菱形，且∠DAB＝∠GEF＝45°时，设 BE＝m，AE＝n，CE＝p，试探究 m，n，p 三者之间满足的等量关系(直接写出结果，不必写出解答过程) ．
1 个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为 α，我们把sinα的值叫做这个平行四边形的变形度． (1)若矩形发生形变后的平行四边形有一个内角是 120°，则这个平行四边形的变形度是________；
猜想证明： 1
(2)设矩形的面积为 S1，其变形后的平行四边形面积为 S2，试猜想 S1，S2，sinα之间的数量关系，并说明理由；
图①
图②
6. 如图①，矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝5，BP＝1，∠MPN＝90°，将∠MPN 绕点 P 从 PB 处开始按顺时针方向旋转，PM 交边 AB(或 AD)于点 E，PN 交边 AD(或 CD)于点 F，当 PN 旋转至 PC 处时，∠MPN 的旋转随即停止． (1)特殊情形：如图②，发现当 PM 过点 A 时，PN 也恰好过点 D，此时，△ABP________△PCD(填“≌”或“∽”)；

中考数学解答题压轴题突破重难点突破八几何综合探究题类型四：动点型探究问题(最值问题)

求证：△AEF∽△DCE；证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，∴∠CED＋∠DCE＝90°， ∵EF⊥CE，∴∠CED＋∠AEF＝90°， ∴∠DCE＝∠AEF，∴△AEF∽△DCE.
(2)如图②，连接 CF，过点 B 作 BG⊥CF，垂足为 G，连接 AG.点 M 是线段 BC 的中点，连接 GM. ①求 AG＋GM 的最小值；【分层分析】当 A，G，M 三点共线时，AG＋GM＝AM，此时 AG＋GM 取最小值；
∵0＜3＋ 5＜6，0＜3－ 5＜6，∴线段 DE 的长为 3＋ 5或 3－ 5.
4．(2021·铜仁第 25 题 14 分)如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝6 3 cm，AC＝12 cm.点 P 是 CA 边上的一动点，点 P 从点 C 出发以每秒 2 cm 的速度沿 CA 方向匀速运动，以 CP 为边作等边三角形 CPQ(点 B，点 Q 在 AC 同侧)，设点 P 运动的时间为 x s，△ABC 与△CPQ 重叠部分的面积为 S.
13 OC最大＝CO′＝CD＋DO′＝2AB＋ 2 BO′＝3＋3 3.
(3)★如图③，若α＝45°，当点 A，B 运动到什么位置时，△AOB 的面积最大？请说明理由，并求出△AOB 面积的最大值．当点A，B运动到OA＝OB时，△AOB的面积最大，△AOB面积的最大值为9 ＋9 2.
解：连接 AM，∵BG⊥CF，∴△BGC 是直角三角形，∵点 M 是 BC 的中点， ∴MB＝CM＝GM＝12BC＝3， ∴点 G 在以点 M 为圆心，3 为半径的圆上，当 A，G，M 三点共线时，AG＋GM＝AM，此时 AG＋GM 取得最小值，