线段条数和角的个数

确定线段条数和角的个数

河北 李丽娟

线段条数和角的个数的确定，方法类似，结论相同。

例1．在一条直线上，如果给定2个点，那么以它们为端点的线段共有几条？如果给定3个点呢？给定4个点呢？给定n 个点呢？

分析：因为2个点确定1条线段，3个点确定3条线段，那么要求n 个点确定的线段，就需要找出规律，在n 个点中的任一点，以这一点为端点的线段共有（n-1）条（因为除它本身外，与其他任何一点都可以确定一条线段）那么n 个点共有n n () 1条线段，而每一条线段在它的每一个端点处都被计数一次，即每一条线段都被重复计数了一遍，因此在同一直

线上的n 个点确定的线段为n （n-1）2

条。 解：给定2个点确定的线段为1条，给定3个点确定的线段为3条，给定4个点确定的

线段为6条，给定n 个点确定的线段为n （n-1）2

条. 练：观察下图，数一数各图中分别有几个点，几条线段？想一想，它们有怎样的规律？你能根据规律说出不在同一直线上的六个点最多可以连出多少条线段？

解析：第一个图，不在同一直线上的三个点最多可以连出3条线段来；

第二个图，没有三个点在同一直线上的四个点可以连出6条线段来；

第三个图，没有三个点在同一直线上的五个点可以连出10条线段来。

我们可以列表把上述结论写下来进行观察：

从表格中可以发现，当点数每增加一点时，线段的条数从增加3条到增加4条，因此可猜测当点的个数为6时，线段的条数将比5个点时再增加5条，所以，有15条。那么，这个结论是否正确呢？我们可以画图来数一数，进行验证，结果恰好是15条。

这个结论能否从另外角度进行思考呢？答案是肯定的，我们以点的个数为5来举例说明。我们首先可以选取一个点进行观察，从它出发向别的点连线时，一共可以连到4条线段，

所以，任意一个点从自己出发都可以连到4条线段，但由于线段是由两个点来确定的，因此，在上述的计数过程中，每一条线段都被重复了一次。所以，5个点可以连到的线段的条数有4×52

=10（条）。 同理，可知6个点可以连到的线段的条数是5×62

=15（条）。 答案：第一个图有3个点，3条线段；第二个图有4个点，6条线段；第三个图有5个点，10条线段。点的个数增加1个时，线段的条数依次从增加3条到增加4条。没有三个点在同一直线上的6个点可以连出15条线段。

线段类的问题是这样，与角有关的问题也是应该这样去考虑。

例2．平面上有n 个点（3≥n ），若从中任取三个点，都能构成一个角，试求这n 个点最多能构成多少个有公共端点的角。

解：因为对n 个点的任三个点都能构成一个角，表明任取三点不共线（我们这里所说的角不包括平角），因此以n 个点中的任一个点为端点可引出1-n 条射线，故只须考虑这1-n 条射线最多构成多少个角？

当3=n 时，21=-n ，13=S

当4=n 时，31=-n ，2134+==S

当5=n 时，41=-n ，32165++==S

当6=n 时，51=-n ，4321106+++==S

以此类推：当n n =时，24321-+++++=n S n

12332++++-+-= n n S n

故)

1()1()1(2-++-+-=n n n S n 共有2-n 个 所以)2)(1(2--=n n S n ∴ S n =(n-1)(n-2)2

这表明以n 个点中的任一个点为顶点的角最多有（n-1）（n-2）2

个，故平面上n 个点最多能构成(n-1)(n-2)2

个角。 说明：此题只是要同学们记住以下结论，从一点出来n 条射线最多可组成n （n-1）2

个角，同时此题也可以作为结论来记。推导过程涉及以后的数学知识，同学们不需要掌握推导过程。