高中数学选修2-1 圆锥曲线的定义

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2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》(5)word学案

2019-2020年高中数学苏教版选修2-1第2章《圆锥曲线与方程》（5）word 学案 [学习目标] 1.了解圆锥曲线的统一定义.2.能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题．[知识链接]1．椭圆上一点到准线距离与它到对应焦点距离之比等于多少？答：1e. 2．动点M 到一个定点F 的距离与到一条定直线l 的距离之比为定值的轨迹一定是圆锥曲线吗？答：当F ∉l 时，动点M 轨迹是圆锥曲线．当F ∈l 时，动点M 轨迹是过F 且与l 垂直的直线． [预习导引]1．圆锥曲线的统一定义平面内到一个定点F 和到一条定直线l (F 不在l 上)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 0<e <1时，它表示椭圆；e >1时，它表示双曲线；e ＝1时，它表示抛物线．2．对于椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)和双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，与F (c,0)对应的准线方程是l ：x ＝a 2c ，与F ′(－c ，0)对应的准线方程是l ′：x ＝－a 2c；如果焦点在y 轴上，则两条准线方程为y ＝±a 2c.要点一统一定义的简单应用例1 椭圆x 225＋y 29＝1上有一点P ，它到左准线的距离等于2.5，那么，P 到右焦点的距离为________．答案 8解析如图所示，PF 1＋PF 2＝2a ＝10，e ＝c a ＝45，而PF 12.5＝e ＝45，∴PF 1＝2，∴PF 2＝10－PF 1＝10－2＝8.规律方法椭圆的两个定义从不同角度反映了椭圆的特征，解题时要灵活运用．一般地，如果遇到有动点到两定点距离和的问题，应自然联想到椭圆的定义；如果遇到有动点到一定点及一定直线距离的问题，应自然联想到统一定义；若两者都涉及，则要综合运用两个定义才行．跟踪演练1 已知椭圆x 24b 2＋y 2b 2＝1上一点P 到右焦点F 2的距离为b (b >1)，求P 到左准线的距离．解方法一由x 24b 2＋y 2b 2＝1，得a ＝2b ，c ＝3b ，e ＝32.由椭圆第一定义， PF 1＋PF 2＝2a ＝4b ，得PF 1＝4b －PF 2＝4b －b ＝3b .由椭圆第二定义，PF 1d 1＝e ，d 1为P 到左准线的距离， ∴d 1＝PF 1e ＝23b ，即P 到左准线的距离为23b . 方法二 ∵PF 2d 2＝e ，d 2为P 到右准线的距离． e ＝c a ＝32，∴d 2＝PF 2e ＝233b . 又椭圆的两准线的距离为2·a 2c ＝833b ， ∴P 到左准线的距离为833b －233b ＝23b . 要点二应用统一定义转化求最值例2 已知椭圆x 28＋y 26＝1内有一点P (1，－1)，F 是椭圆的右焦点，在椭圆上求一点M ，使MP ＋2MF 之值为最小．解设d 为M 到右准线的距离．∵e ＝c a ＝12，MF d ＝12， ∴MF 12＝d ，即d ＝2MF (如图)．故MP ＋2MF ＝MP ＋MM ′.显然，当P 、M 、M ′三点共线时，所求的值为最小，从而求得点M 的坐标为(2315，－1)．规律方法本例中，利用统一定义，将椭圆上点M 到焦点F 的距离转化为到准线的距离，再利用图形的形象直观，使问题得到简捷的解决．跟踪演练2 已知双曲线x 29－y 216＝1的右焦点为F ，点A (9,2)，试在双曲线上求一点M ，使MA ＋35MF 的值最小，并求这个最小值．解过M 作MN 垂直于双曲线的右准线l 于N ，由第二定义可知MN ＝MF e(如图)．又a ＝3，b ＝4，c ＝5，e ＝53， ∴MN ＝35MF ，∴MA ＋35MF ＝MA ＋MN ，显然当M 、N 、A 三点共线时MA ＋MN ＝AN 为最小，即MA ＋35MF 取得最小值，此时AN ＝9－a 2c ＝9－95＝365，∴MA ＋35MF 的最小值为365，此时点M (352，2)．要点三圆锥曲线统一定义的综合应用例3 已知A 、B 是椭圆x 2a 2＋y 2925a 2＝1上的点，F 2是右焦点，且AF 2＋BF 2＝85a ，AB 的中点N 到左准线的距离等于32，求此椭圆方程．解设F 1为左焦点，则根据椭圆定义有：AF 1＋BF 1＝2a －AF 2＋2a －BF 2＝4a －(AF 2＋BF 2)＝4a －85a ＝125a . 再设A 、B 、N 三点到左准线距离分别为d 1，d 2，d 3，由梯形中位线定理有d 1＋d 2＝2d 3＝3，而已知b 2＝925a 2， ∴c 2＝1625a 2，∴离心率e ＝45，由统一定义AF 1＝ed 1，BF 1＝ed 2，∴AF 1＋BF 1＝125a ＝e (d 1＋d 2)＝125，∴a ＝1， ∴椭圆方程为x 2＋y 2925＝1. 规律方法在圆锥曲线有关问题中，充分利用圆锥曲线的共同特征，将曲线上的点到准线的距离与到焦点的距离相互转化是一种常用方法．跟踪演练3 设P (x 0，y 0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，F 1为其左焦点． (1)求PF 1的最小值和最大值；(2)在椭圆x 225＋y 25＝1上求一点P ，使这点与椭圆两焦点的连线互相垂直．解 (1)对应于F 1的准线方程为x ＝－a 2c，根据统一定义：PF 1x 0＋a 2c＝e ， ∴PF 1＝a ＋ex 0.又－a ≤x 0≤a ，∴当x 0＝－a 时，(PF 1)min ＝a ＋c a×(－a )＝a －c ；当x 0＝a 时，(PF 1)max ＝a ＋c a·a ＝a ＋c . (2)∵a 2＝25，b 2＝5，∴c 2＝20，e 2＝45. ∵PF 21＋PF 22＝F 1F 22，∴(a ＋ex 0)2＋(a －ex 0)2＝4c 2. 将数据代入得25＋45x 20＝40.∴x 0＝±532. 代入椭圆方程得P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫532，52，⎝⎛⎭⎫532，－52，⎝⎛⎭⎫－532，52，⎝⎛⎭⎫－532，－52.1．已知方程(1＋k )x 2－(1－k )y 2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围为________．答案－1<k <1解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋k >0，1－k >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k >－1，k <1，即－1<k <1. 2．已知点F 1，F 2分别是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF→1＋PF →2|的最小值是________．答案 2解析设P (x 0，y 0)，则PF →1＝(－1－x 0，－y 0)，PF →2＝(1－x 0，－y 0)，∴PF →1＋PF →2＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF →1＋PF →2|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1，∴当y 20＝1时，|PF →1＋PF →2|取最小值为2.3．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案 (0，22) 解析 ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则OP >c 恒成立，由椭圆性质知OP ≥b ，其中b 为椭圆短半轴长，∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2，∴(c a )2<12，∴e ＝c a <22. 又∵0<e <1，∴0<e <22. 4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m ＞0，n ＞0)，有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是________．答案 12解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝c 2， ①m 2＋n 2＝c 2，②c 2＝am ，③2n 2＝2m 2＋c 2，④由②④可得m 2＋n 2＝2n 2－2m 2，即n 2＝3m 2，⑤⑤代入②得4m 2＝c 2⇒c ＝2m ，⑥⑥代入③得4m 2＝am ⇒a ＝4m .所以椭圆的离心率e ＝c a ＝12.1.三种圆锥曲线的共同特征是曲线上的点到定点的距离与它到定直线距离的比是常数．2．利用圆锥曲线的统一定义可实现曲线上的点到焦点的距离与到准线距离的相互转化．一、基础达标1．若直线ax －y ＋1＝0经过抛物线y 2＝4x 的焦点，则实数a ＝______.答案－1解析焦点为(1,0)，代入直线方程，可得a ＝－1.2．已知椭圆的准线方程为y ＝±4，离心率为12，则椭圆的标准方程为____________．答案 x 23＋y 24＝1 解析由⎩⎨⎧ a 2c ＝4，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝1. 所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 23＋y 24＝1. 3．双曲线3x 2－y 2＝9，P 是双曲线上一点，则P 点到右焦点的距离与P 点到右准线的距离的比值为________．答案 2解析由统一定义，所求距离之比即为双曲线的离心率．双曲线方程可化为x 23－y 29＝1，得a 2＝3，b 2＝9，c 2＝a 2＋b 2＝12，所以e ＝c a ＝123＝2. 4．椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到左焦点F 1的距离为3，则点P 到左准线的距离为________．答案 5解析依题意e ＝35，所以点P 到左准线的距离d ＝PF 1e＝5. 5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，右准线方程为x ＝33，则双曲线方程为__________．答案 x 2－y 22＝1 解析由⎩⎨⎧c a ＝3，a 2c ＝33，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝3，所以b 2＝3－1＝2. 所以双曲线方程为x 2－y 22＝1. 6．已知抛物线y 2＝2px 的准线与双曲线x 2－y 2＝2的左准线重合，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析双曲线的左准线为x ＝－1，抛物线的准线为x ＝－p 2，所以p 2＝1，所以p ＝2. 故抛物线的焦点坐标为(1,0)．7．已知双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，一条准线方程为y ＝95，求该双曲线的标准方程．解由已知可设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由题意有⎩⎨⎧a 2c ＝95，ab ＝34，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝16. 所以所求双曲线方程为y 29－x 216＝1. 二、能力提升8．已知点P 在椭圆x 216＋y 225＝1上，F 1、F 2是椭圆的上、下焦点，M 是PF 1的中点，OM ＝4，则点P 到下准线的距离为________．答案 403解析因为OM 是△F 1F 2P 的中位线，所以PF 2＝2OM ＝8.又e ＝35，所以P 到下准线的距离d ＝PF 2e ＝8×53＝403. 9．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上横坐标为3a 2的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线的离心率的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析由已知得(3a 2－a 2c )e >3a 2＋a 2c，即3c 2>5ac ＋2a 2，所以3e 2－5e －2>0，解得e >2或e <－13(舍去)． 10．在给定的椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应的准线的距离为1，则椭圆的离心率为________．答案 22解析设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则右焦点F (c,0)，右准线l ：x ＝a 2c. 把x ＝c 代入椭圆的方程得y 2＝b 2(1－c 2a 2)＝b 4a 2，即y ＝±b 2a. 依题设知2b 2a ＝2且a 2c －c ＝b 2c＝1，所以e ＝c a ＝b 2a ·c b 2＝22×1＝22. 11．已知双曲线过点(3，－2)，且与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦点．(1)求双曲线的标准方程；(2)求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．解 (1)椭圆的焦点为(5，0)，(－5，0)，它也是双曲线的焦点．设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．则由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 9a 2－4b 2＝1，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝3，b 2＝2. 所以双曲线的标准方程为x 23－y 22＝1. (2)由(1)可知双曲线的右准线为x ＝a 2c ＝355. 它也是抛物线的准线，所以p 2＝355，故抛物线的标准方程为y 2＝－1255x . 12．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率e ＝22，点F 2到右准线l 的距离为 2.(1)求a 、b 的值；(2)设M 、N 是l 上的两个动点，F 1M →·F 2N →＝0，证明：当|MN →|取最小值时，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝0.(1)解因为e ＝c a ，F 2到l 的距离d ＝a 2c－c ，所以由题设得⎩⎨⎧ c a ＝22，a 2c －c ＝2，解得c ＝2，a ＝2.由b 2＝a 2－c 2＝2，得b ＝ 2.故a ＝2，b ＝ 2.(2)证明由c ＝2，a ＝2得F 1(－2，0)，F 2(2，0)，l 的方程为x ＝22，故可设M (22，y 1)，N (22，y 2)．由F 1M →·F 2N →＝0知(22＋2，y 1)·(22－2，y 2)＝0，得y 1y 2＝－6，所以y 1y 2≠0，y 2＝－6y 1. |MN →|＝|y 1－y 2|＝|y 1＋6y 1|＝|y 1|＋6|y 1|≥26，当且仅当y 1＝±6时，上式取等号，此时y 2＝－y 1，所以，F 2F 1→＋F 2M →＋F 2N →＝(－22，0)＋(2，y 1)＋(2，y 2)＝(0，y 1＋y 2)＝0.三、探究与创新13.如图所示，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4,0)，过点F 2作垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且F 1B ＋F 2B ＝10，椭圆上不同的两点A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)满足条件：F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列．(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC 中点的横坐标．解 (1)由椭圆定义及条件知，2a ＝F 1B ＋F 2B ＝10，得a ＝5，又c ＝4，所以b ＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.(2)由点B (4，y B )在椭圆上，得F 2B ＝y B ＝95. 因为椭圆右准线方程为x ＝254，离心率为45，根据椭圆定义，有F 2A ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 1，F 2C ＝45⎝⎛⎭⎫254－x 2，由F 2A 、F 2B 、F 2C 成等差数列，得 45⎝⎛⎭⎫254－x 1＋45⎝⎛⎭⎫254－x 2＝2×95，由此得出x 1＋x 2＝8.设弦AC 的中点为P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4.。

圆锥曲线的几个定义

圆锥曲线的几个定义
1) 当平面与二次锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。

2) 当平面与二次锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。

3) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。

4) 当平面只与二次锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥的对称轴垂直，结果为圆。

5) 当平面与二次锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线（每一支为此二次锥面中的一个圆锥面与平面的交线）。

6) 当平面与二次锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。

7）当平面与二次锥面的两侧都不相交，且过圆锥顶点，结果为一点。

2021_2022学年高中数学第3章圆锥曲线与方程章末复习课学案北师大版选修2_1

第3章圆锥曲线与方程1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准方程(以焦点在x轴为例) x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2＝2px(p >0) 关系式 a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，无渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率 0<e <1 e >1 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2决定形状的因素 e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小统一定义圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e2.椭圆的焦点三角形设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点(不在x 轴上)，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝α，那么△PF 1F 2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积S ＝b 2tan α2；(2)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c ． 3．待定系数法求圆锥曲线标准方程 (1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位〞和“定量〞两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．①可将椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，其中当1A >1B 时，焦点在x 轴上，当1A <1B时，焦点在y 轴上．②双曲线方程可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，当1A <0时，焦点在y 轴上，当1B<0时，焦点在x轴上．(2)抛物线的标准方程对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝ay (a ≠0)． 4．双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．(2)如果双曲线的渐近线为x a ±y b ＝0时，它的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．5．抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F 的弦长|AB |的一个重要结论． (1)y 2＝2px (p >0)中，|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (2)y 2＝－2px (p >0)中，|AB |＝－x 1－x 2＋p ； (3)x 2＝2py (p >0)中，|AB |＝y 1＋y 2＋p ； (4)x 2＝－2py (p >0)中，|AB |＝－y 1－y 2＋p . 6．直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，那么有：①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点； ③Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．提醒：直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝〔1＋k 2〕〔x 1－x 2〕2或⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2〔y 1－y 2〕2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．圆锥曲线的定义及应用【例1】 (1)F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，那么点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．[思路探究] (1)借助角平分线的性质及相关曲线的定义求解；(2)要求|PF 1||PF 2|的值，可考虑利用椭圆的定义和△PF 1F 2为直角三角形的条件，求出|PF 1|和|PF 2|的值，但Rt △PF 1F 2的直角顶点不确定，故需要分类讨论．(1)A [延长垂线F 2Q 交F 1P 的延长线于点A ，如图．那么△APF 2是等腰三角形，∴|PF 2|＝|AP |，从而|AF 1|＝|AP |＋|PF 1|＝|PF 2|＋|PF 1|＝2a . ∵O 是F 1F 2的中点，Q 是AF 2的中点， ∴|OQ |＝12|AF 1|＝a .∴Q 点的轨迹是以原点O 为圆心，半径为a 的圆．] (2)解：由题意知，a ＝3，b ＝2，那么c 2＝a 2－b 2＝5，即c ＝5，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5.①假设∠PF 2F 1为直角，那么|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2，|PF 1|2－|PF 2|2＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝103，|PF 1|＋|PF 2|＝6，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43.所以|PF 1||PF 2|＝72.②假设∠F 1PF 2为直角，那么|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2.即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2或|PF 1|＝2，|PF 2|＝4(舍去．)所以|PF 1||PF 2|＝2.运用定义解题主要表达在以下几个方面：(1)在求动点的轨迹方程时，如果动点所满足的几何条件符合某种圆锥曲线的定义，那么可直接根据圆锥曲线的方程写出所求的动点的轨迹方程；(2)涉及椭圆或双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常常运用圆锥曲线的定义并结合三角形中的正、余弦定理来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义，把抛物线上某一点到焦点的距离转化为到准线的距离，并结合图形的几何意义去解决．1．(1)点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过点M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，那么P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x ＞1)B ．x 2－y 28＝1(x ＜－1)C ．x 2＋y 28＝1(x ＞0)D ．x 2－y 210＝1(x ＞1)(2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点，F 是抛物线的焦点，点M 的坐标是(2，3)，求|PM |＋|PF |的最小值，并求出此时点P 的坐标．(1)A [设PM ，PN 与⊙C 分别切于点E ，F ，如图，那么|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB | ＝4－2＝2＜|MN |，∴P 点的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去右顶点)．∴所求轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ＞1)．](2)解：抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离，过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2，垂足为D ，那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如下图，根据平面几何知识，当M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小，且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4，所以|PM |＋|PFP 的纵坐标为3，所以其横坐标为98，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3.圆锥曲线简单性质的应用【例2】 (1)椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A ．x ＝±152yB ．y ＝±152xC ．x ＝±34y D ．y ＝±34x (2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .[思路探究] (1)由椭圆和双曲线有公共的焦点可得m ，n 的等量关系，从而求出双曲线的渐近线方程；(2)写出AB 的直线方程，由F 1到直线AB 的距离为b7得出a ，c 的关系，求椭圆的离心率e .(1)D [由题意，3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2，令x 22m 2－y 23n 2＝0，y 2＝3n 22m 2x 2＝316x 2，∴y ＝±34x ，即双曲线的渐近线方程是y ＝±34x .] (2)由A (－a ，0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝ba，故AB 所在的直线方程为y －b＝b ax ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c ，0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b 7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8×⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14×c a ＋5＝0，∴8e 2－14e ＋5＝0.∴e ＝12或e＝54(舍去)．综上可知，椭圆的离心率e ＝12.1.(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求该椭圆的离心率． [解] 题意可知，该椭圆的焦点在x 轴上，故椭圆的离心率e ＝1－5n 23m2＝1－5n 224n 2＝11412.2.(变条件)在本例(2)条件换为“F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，〞求椭圆离心率的取值范围．[解] ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴点M 的轨迹是以F 1F 2为直径的圆，其方程为x 2＋y 2＝c 2. 由题意知椭圆上的点在该圆的外部，设椭圆上任意一点P (x ，y )，到|OP |min ＝b ， ∴c ＜b ，即c 2＜a 2－c 2.解得e ＝c a ＜22. ∵0＜e ＜1，∴0＜e ＜22.1．本类问题主要有两种考察类型：(1)圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考察重点； (2)圆锥曲线的性质求其方程．2．对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法： (1)代入法就是代入公式e ＝c a求离心率；(2)列方程法就是根据条件列出关于a ，b ，c 的关系式，然后把这个关系式整体转化为关于e 的方程，解方程即可求出e 的值．直线与圆锥曲线的位置关系2程是________．(2)向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1，0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )． ①求点Q (x ，y )的轨迹C 的方程；②设曲线C 与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，求实数m 的取值范围．8x －y －15＝0 [(1)设所求直线与y 2＝16x 相交于点A 、B ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝16(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝16y 1＋y 2，得k AB ＝8. 设直线方程为y ＝8x ＋b ，代入点(2，1)得b ＝－15；故所求直线方程为y ＝8x －15.](2)①由题意得，a ＋3b ＝(x ＋3，3y )，a －3b ＝(x －3，3y )，∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0，即(x ＋3)(x －3)＋3y ·3y ＝0，化简得x 23＋y 2＝1，∴点Q 的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.②由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1.得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1.①(ⅰ)当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，那么x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .那么－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1， ②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.(ⅱ)当k ＝0时，|AM |＝|AN |， ∴AP ⊥MN ，m 2<3k 2＋1. 即为m 2<1，解得－1<m <1.综上，当k ≠0时，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，当k ＝0时，m 的取值范围是(－1，1)．解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．2．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？假设存在，求λ的值；假设不存在，请说明理由．[解] (1)由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，得1a 2＋94b 2＝1.① 依题设知a ＝2c ，那么b 2＝3c 2.②将②代入①，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可设AB 的斜率为k ，那么直线AB 的方程为y ＝k (x －1)． ③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12，并整理，得 (4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4〔k 2－3〕4k 2＋3. ④在方程③中令x ＝4，得M 的坐标为(4，3k )．从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.注意到A ，F ，B 三点共线，那么有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－〔x 1＋x 2〕＋1.⑤将④代入⑤，得k 1＋k 2＝2k －32·8k24k 2＋3－24〔k 2－3〕4k 2＋3－8k24k 2＋3＋1＝2k －1. 又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意.函数与方程的思想【例4】椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m ，0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值． [解] (1)由得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32.此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |>1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 〔x －m 〕，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1.所以|AB |＝〔x 2－x 1〕2＋〔y 2－y 1〕2＝〔1＋k 2〕[〔x 1＋x 2〕2－4x 1x 2]＝〔1＋k 2〕⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2〔1＋4k 2〕2－4〔4k 2m 2－4〕1＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，当且仅当m ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.1．函数思想是解决最值问题最有利的武器．通常用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题．2．方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决．3．如下图，过抛物线y 2＝2px 的顶点O 作两条互相垂直的弦交抛物线于A 、B 两点．(1)证明直线AB 过定点； (2)求△AOB 面积的最小值．[解] (1)证明：当直线AB 的斜率不存在时，AB ⊥x 轴，又OA ⊥OB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，设A (x 0，y 0)，那么y 20＝2px 0，∴x 0＝2p ，直线AB 过点(2p ，0)．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －a )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k 〔x －a 〕，消去x 得ky 2－2py －2pak ＝0，那么y 1y 2＝－2pa .又OA ⊥OB .∴y 1y 2＝－x 1x 2.由方程组消去y ，得k 2x 2－(2k 2a ＋2p )x ＋k 2a 2＝0，那么x 1·x 2＝a 2.因此，a 2＝2pa .∴a ＝2p ..下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。

(人教版)高中数学选修2-1课件：第2章圆锥曲线与方程2.3.1

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(2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴93m6m＋＋0＝ 9n1＝，1，解得nm＝＝－19，13， ∴所求双曲线的标准方程为x92－y32＝1.
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第二章圆锥曲线与方程
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定义法求方程
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝ 9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆的圆心M的轨迹方程．
思路点拨：根据两圆外切的定义从中找出相关的几何关系，与所学椭圆、双曲线的定义进行对比可解．
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(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式．
(4)双曲线的标准形式的特征是数xⅠ2 ＋数yⅡ2 ＝1，数Ⅰ与
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3．与双曲线x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程是 ________(只写出一个即可)．
解析：与x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程为8＋x2 k －10y－2 k＝1(－8<k<10)．
答案： x62－1y22 ＝1
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第二章圆锥曲线与方程

高中数学选修2-1 2.3.1双曲线的标准方程(一)

3.求解方程
（1）建系（2）设点 M(x,y) （3）限制条件（4）代入等式（5）化简整理
y M
O
x
MF1 MF2 2a 0 2a 2c
同学们亲手练习！
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2
2
4.双曲线的标准方程
2 2 x y y x 2 1(a 0, b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b 在双曲线方程中, 总有
2 2 2
双曲线 | MF1 | | MF2 | 2a x2 y2 2 1 2 a b 2 2 y x 2 1 2 a b ( c , 0) (0, c ) c a b
2 2 2
方程
焦点 a , b, c 的关系
四、讲练结合
例1.课本P 47, 例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1 5, 0 , F2 5, 0 , 双曲线上一点P到F1 , F2 距离之差的绝对值等于6.求双曲线的标准方程. 变式1.已知两点F1 5, 0 , F2 5, 0 , 求与这两点
(1)m ;
( 2)m ; (3)m 1; ( 4) 1 m 2
例3.求根据下列条件, 求双曲线的标准方程 (1)经过点P 3，10 ，Q 6， 2 的双曲线方程; ( 2)c 6 , 经过点( 5, 2), 焦点在x轴上. x y (3)已知双曲线与椭圆 1有共同的 27 36 焦点, 且过点
三、新知讲解
1.双曲线的定义平面内与两个定点F1 , F2的距离之差的绝对值等于常数2a (小于 | F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫双曲线的焦距.

高中数学解圆锥曲线问题常用方法知识点拨(二) 北师大版选修2-1

知识点拨：解圆锥曲线问题常用方法（二）【学习要点】解圆锥曲线问题常用以下方法：4、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来考虑问题，在解题时要充分利用代数运算的严密性与几何论证的直观性，尤其是将某些代数式子利用其结构特征，想象为某些图形的几何意义而构图，用图形的性质来说明代数性质。

如“2x+y”，令2x+y=b ，则b 表示斜率为-2的直线在y 轴上的截距；如“x 2+y 2”,令d y x =+22，则d 表示点P （x ，y ）到原点的距离；又如“23+-x y ”，令23+-x y =k ，则k 表示点P （x 、y ）与点A （-2，3）这两点连线的斜率……5、参数法（1）点参数利用点在某曲线上设点（常设“主动点”），以此点为参数，依次求出其他相关量，再列式求解。

如x 轴上一动点P ，常设P （t ，0）；直线x-2y+1=0上一动点P 。

除设P （x 1,y 1）外，也可直接设P （2y,-1,y 1）（2）斜率为参数当直线过某一定点P(x 0,y 0)时，常设此直线为y-y 0=k(x-x 0)，即以k 为参数，再按命题要求依次列式求解等。

（3）角参数当研究有关转动的问题时，常设某一个角为参数，尤其是圆与椭圆上的动点问题。

6、代入法这里所讲的“代入法”，主要是指条件的不同顺序的代入方法，如对于命题：“已知条件P 1,P 2求（或求证）目标Q”，方法1是将条件P 1代入条件P 2，方法2可将条件P 2代入条件P 1，方法3可将目标Q 以待定的形式进行假设，代入P 1,P 2,这就是待定法。

不同的代入方法常会影响解题的难易程度，因此要学会分析，选择简易的代入法。

【典型例题】例1：已知P(a,b)是直线x+2y-1=0上任一点，求S=136422+-++b a b a 的最小值。

分析：由此根式结构联想到距离公式，解：S=22)3()2(-++b a 设Q(-2,3),则S=|PQ|,它的最小值即Q 到此直线的距离 ∴S min5535|1322|=-⨯+-点评：此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题（注：可令根式内为t 消元后，它是一个一元二次函数）例2：已知点P(x,y)是圆x 2+y 2-6x-4y+12=0上一动点，求xy的最值。

高中数学圆锥曲线的统一定义教案(1课时) 苏教版选修2-1

2．5 圆锥曲线的统一定义（1课时）一、教学目标1. 了解圆锥曲线的统一定义.2．掌握根据标准方程求圆锥曲线的准线方程的方法。

二、教学重点、难点重点：圆锥曲线的统一定义。

难点：圆锥曲线的统一定义三、教学过程（一）创设情境我们知道，平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线L （F 不在L 上）的距离的比等于1的动点P 的轨迹是抛物线。

如图（1）即1PFPA =时，点P 的轨迹是抛物线。

下面思考这样个问题：当这个比值是一个不等于1的常数时，我们来观察动点P 的轨迹又是什么曲线呢？比如：12PF PA=和2PFPA =时，动点P 的轨迹怎么变化？（二）师生探究（利用多媒体演示）我们可以观察出一个像椭圆，一个像双曲线。

下面我们来探讨这样个问题：（例1）：已知点P（x,y）到定点F（c,0）的距离与它到定直线l：x=2ac 的距离的比是常数ca（a＞c＞0），求点P的轨迹。

（问题的解决过程要充分体现求曲线的方程时确定曲线类型的有效手段）结论：点P的轨迹是焦点为（-c，0），（c，0），长轴、短轴分别为2a，2b的椭圆。

这个椭圆的离心率e就是P到定点F的距离和它到定直线l（F不在l上）的距离的比。

变式：如果我们在例１中，将条件（a＞c＞0）改为（c＞a＞0），点Ｐ的轨迹又发生如何变化呢？（双曲线的类似命题由学生思考，发现，从而引导学生建立圆锥曲线的统一定义）下面，我们对上面三种情况总结归纳出圆锥曲线的一种统一定义．（教师引导学生共同来发现规律）结论：圆锥曲线统一定义：平面内到一个定点Ｆ和到一条定直线L（F不在L上）的距离的比等于常数e的点的轨迹．当０＜e ＜１时，它表示椭圆；当e＞１时，它表示双曲线；当e＝１时，它表示抛物线．（其中e是圆锥曲线的离心率，定点Ｆ是圆锥曲线的焦点，定直线是圆锥曲线的准线）下面，我们对圆锥曲线的准线作一下探讨：（利用图形的对称性解决）对于上述问题中的椭圆或双曲线，我们发现其中心在原点，焦点在x轴上，那么我们可得到与之相对应的准线方程：如：焦点Ｆ（－c，０）与准线x＝－2a对应，焦点Ｆ（c，０）c与准线x＝2a对应．c思考一：想一想：焦点在x轴的抛物线的准线方程又如何？思考二：对于焦点在y轴上的椭圆，双曲线，抛物线（标准形式）的准线方程又如何呢？例２：求下列曲线的焦点坐标，准线方程（１）22-=（3）216y x=x y8322516400x y+=（2）22例3：已知动点M到A（2，0）的距离等于它到直线x=-1的距离的2倍，求点M的轨迹方程。

高中数学选修2-1知识点 (1)包括必修二要看的内容

高二数学选修2－1第一章：命题与逻辑结构知识点：1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.3、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，则这两个命题称为互逆命题.其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆命题. 若原命题为“若p ，则q ”，它的逆命题为“若q ，则p ”.4、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，则这两个命题称为互否命题.中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的否命题. 若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”.5、对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，则这两个命题称为互为逆否命题。

其中一个命题称为原命题，另一个称为原命题的逆否命题。

若原命题为“若p ，则q ”，则它的否命题为“若q ⌝，则p ⌝”。

6、四种命题的真假性：原命题逆命题否命题逆否命题真真真真真假假真假真真假假假假假四种命题的真假性之间的关系：()1两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；()2两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．7、若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）．8、用联结词“且”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∧．当p 、q 都是真命题时，p q ∧是真命题；当p 、q 两个命题中有一个命题是假命题时，p q ∧是假命题．用联结词“或”把命题p 和命题q 联结起来，得到一个新命题，记作p q ∨．当p 、q 两个命题中有一个命题是真命题时，p q ∨是真命题；当p 、q 两个命题都是假命题时，p q ∨是假命题．对一个命题p 全盘否定，得到一个新命题，记作p ⌝．若p 是真命题，则p ⌝必是假命题；若p 是假命题，则p ⌝必是真命题．9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题称为全称命题．全称命题“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”，记作“x ∀∈M ，()p x ”．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题称为特称命题．特称命题“存在M 中的一个x ，使()p x 成立”，记作“x ∃∈M ，()p x ”．10、全称命题p ：x ∀∈M ，()p x ，它的否定p ⌝：x ∃∈M ，()p x ⌝。

选修2-1圆锥曲线全章节

问题1：解析几何与坐标法. 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标
法. 在数学中，用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫做解析几何.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.
问题2：平面解析几何研究的两个基本问题. （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究平面曲线的性质.
说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明. 另外，也可以根据情况省略步骤（2），直接列出曲线方程.
例2.已知一条直线l 和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2. 一条曲线也在l 的上方，它上面的每一点到F的距离减去到l 的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.
x+2y－7=0. ①
我们证明方程①是线段AB的垂直平分线的方程. （1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐
标都是方程①的解；
（2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即 x1+2y1－7=0, x1=7－2y1.
点M1到A，B的距离分别是
所以 | M1A || M1B | 即点M在线段AB的垂直平分线上. 由(1)、(2)可知,方程①是线段AB的垂直平分线的方程.
例3.已知曲线C的方程为 x 4 y2，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
解：由 x 4 y2 ，得x2＋y2＝4，又x≥0，所以方程 x 4 y2 表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆,从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积 S 1 4 2
第二章圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
1.理解曲线与方程的概念、意义.（重点、难点） 2.了解数与形结合的基本思想.（难点）

苏教版高中数学选修2-1第2章圆锥曲线与方程2.1含答案

§2.1圆锥曲线学习目标 1.了解当一个平面截一个圆锥面时，所截得的图形的各种情况.2.初步掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其几何特征.3.通过平面截圆锥面的实验和对有关天体运动轨道的了解，知道圆锥曲线在我们身边广泛存在．知识点一椭圆的定义观察图形，思考下列问题：思考1如图，把细绳两端拉开一段距离，分别固定在图板上的两点F1，F2处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么图形？答案椭圆思考2图中移动的笔尖始终满足怎样的几何条件？答案PF1＋PF2是常数(大于F1F2)．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．知识点二双曲线的定义观察图示，若固定拉链上一点F1或F2，拉开或闭拢拉链，拉链头M经过的点可画出一条曲线，思考下列问题：思考1图中动点M的几何性质是什么？答案|MF1－MF2|为一个正常数．思考2若MF1－MF2＝F1F2，则动点M的轨迹是什么？答案以F2为端点，向F2右边延伸的射线．梳理平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点三抛物线的定义观察图形，思考下列问题：思考如图，定点C和定直线EF，用三角板画出到定点的距离等于到定直线的距离的动点D的轨迹．则动点D的轨迹是什么？其满足什么条件？答案抛物线，动点D到定点C和定直线EF距离相等，且C不在EF上．梳理平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线．1．平面内到两定点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．(×)2．平面内到两定点的距离之差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线．(×)3．抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．(√)类型一圆锥曲线定义的理解例 1 平面内动点 M 到两点 F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离之和为 3m ，问 m 取何值时 M 的轨迹是椭圆？解 ∵MF 1＋MF 2＝3m ，∴M 到两定点的距离之和为常数，当 3m 大于 F 1F 2 时，由椭圆定义知，M 的轨迹为椭圆， ∴3m ＞F 1F 2＝3－(－3)＝6，∴m ＞2，∴当 m ＞2 时，M 的轨迹是椭圆．反思与感悟在深刻理解圆锥曲线的定义的过程中，一定要注意定义中的约束条件(1)在椭圆中，和为定值且大于 F 1F 2.(2)在双曲线中，差的绝对值为定值且小于 F 1F 2. (3)在抛物线中，点 F 不在定直线上．跟踪训练 1 (1)命题甲：动点 P 到两定点 A ，B 的距离之和 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，a 为常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的________条件．(2)动点 P 到两个定点 A (－2,0)，B(2,0)构成的三角形的周长是 10，则点 P 的轨迹是________．答案 (1)必要不充分 (2)椭圆解析 (1)若 P 点轨迹是椭圆，则 PA ＋PB ＝2a (a ＞0，且为常数)，∴甲是乙的必要条件．反之，若 P A ＋PB ＝2a (a ＞0，且是常数)，不能推出 P 点轨迹是椭圆．因为仅当 2a ＞AB 时，P 点轨迹才是椭圆；而当 2a ＝AB 时，P 点轨迹是线段 AB ；当 2a ＜AB时，P 点无轨迹，∴甲不是乙的充分条件．综上，甲是乙的必要不充分条件．(2)由题意知 P A ＋PB ＋AB ＝10，又 AB ＝4，∴PA ＋PB ＝6＞4.∴点 P 的轨迹是椭圆．类型二圆锥曲线轨迹的探究例 2 如图，已知动圆 C 与圆 F 1，F 2 均外切(圆 F 1 与圆 F 2 相离)，试问：动点 C 的轨迹是什么曲线？解设动圆 C 的半径为 R ，圆 F 1，F 2 的半径分别为 r 1，r 2，则 CF 1＝R ＋r 1，CF 2＝R ＋r 2. 所以 CF 1－CF 2＝r 1－r 2.跟踪训练 3 在△ABC 中，BC 固定，顶点 A 移动．设 BC ＝m ，且|sin C －sin B |＝ sin A ，则解因为|sin C －sin B |＝ sin A ，由正弦定理可得|AB －AC |＝ BC ＝ m ，且 m <BC ，又 CF 1－CF 2＝r 1－r 2<F 1F 2，故动圆圆心 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 2 的一支．引申探究若把原题中“外切”换成“内切”再求解，结论如何？解动点 C 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线靠近 F 1 的一支．反思与感悟紧扣圆锥曲线的定义，写出动点满足的条件，然后得到相应的轨迹．跟踪训练 2 已知动点 P 到点 A (－3,0)的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，试判断动点 P 的轨迹．解因点 P 到 A 的距离比它到直线 x ＝1 的距离大 2，所以点 P 到点 A 的距离等于它到直线 x ＝3 的距离．因为点 A 不在直线 x ＝3 上，所以点 P 的轨迹是抛物线．类型三圆锥曲线定义的应用例 3 在△ABC 中，B (－6,0)，C (0,8)，且 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列．(1)顶点 A 的轨迹是什么？ (2)指出轨迹的焦点和焦距．解 (1)由 sin B ，sin A ，sin C 成等差数列，得 sin B ＋sin C ＝2sin A ．由正弦定理可得 AB ＋AC＝2BC .又 BC ＝10，所以 AB ＋AC ＝20，且 20>BC ，所以点 A 的轨迹是椭圆(除去直线 BC 与椭圆的交点)．(2)椭圆的焦点为 B ，C ，焦距为 10.反思与感悟利用圆锥曲线的定义可以判定动点的轨迹，在判定时要注意定义本身的限制条件，如得到 MF 1＋MF 2＝2a (a 为大于零的常数)时，还需要看 2a 与 F 1F 2 的大小，只有 2a >F 1F 2 时，所求轨迹才是椭圆．若得到MF 1－MF 2＝2a (0<2a <F 1F 2)，轨迹仅为双曲线的一支．除了圆锥曲线定义本身的限制条件外，还要注意题目中的隐含条件．12顶点 A 的轨迹是什么？121 1 12 2 2所以点 A 的轨迹是双曲线(除去双曲线与 BC 的两交点)．F FF1．设F1，2是两个定点，1F2＝6，动点M满足MF1＋MF2＝10，则动点M的轨迹是________．答案椭圆解析因MF1＋MF2＝10>F1F2＝6，由椭圆的定义得动点的轨迹是椭圆．2．若F1，2是两个定点且动点P1满足PF1－PF2＝1，又F1F2＝3，则动点P的轨迹是________．答案双曲线靠近点F2的一支解析因PF1－PF2＝1<F1F2＝3，故由双曲线定义判断，动点P的轨迹是双曲线靠近点F2的一支．3．到定点(1,0)和定直线x＝－1距离相等的点的轨迹是________．答案抛物线解析依据抛物线定义可得．4．到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M的轨迹是________．答案两条射线解析据题|MF1－MF2|＝F1F2，得动点M的轨迹是两条射线．5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹是________．答案抛物线解析由正方体的性质可知，点P到C1D1的距离为PC1，故动点P到定点C1和到定直线BC的距离相等，且点C1不在直线BC上，符合抛物线的定义，所以动点P的轨迹是抛物线．1．若MF1＋MF2＝2a(2a>F1F2)，则动点M的轨迹是椭圆．若点M在椭圆上，则MF1＋MF2＝2a.2．若|MF1－MF2|＝2a(0<2a<F1F2)，则动点M的轨迹为双曲线．若动点M在双曲线上，则|MF1－MF2|＝2a.3．抛物线定义中包含三个定值，分别为一个定点，一条定直线及一个确定的比值．2”一、填空题1．平面内到两定点F1(－3,0)，F2(3,0)的距离的和等于6的点P的轨迹是________．答案线段F1F2解析依题意得PF1＋PF2＝6＝F1F2，故动点P的轨迹是线段F1F2.2．到定点(0,7)和到定直线y＝7的距离相等的点的轨迹是________．答案直线解析因定点(0,7)在定直线y＝7上，故符合条件的点的轨迹是直线．3．已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，在满足下列条件的平面内，动点P的轨迹为双曲线的是________．(填序号)①|PF1－PF2|＝3；②|PF1－PF2|＝4；③|PF1－PF2|＝5；④PF1－PF2＝±4.答案①解析根据双曲线定义知P到F1，F2的距离之差的绝对值要小于F1F2.4．到定点A(2,0)和B(4,0)的距离之差为2的点的轨迹是________．答案一条射线解析要注意两点：一是“差”而不是“差的绝对值；二是“常数”等于两定点间的距离．5．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹是____________．答案以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))解析如图，AD＝AE＝8.BF＝BE＝2，CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6＜AB＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支(除去点(3,0))．6．已知点M(x，y)的坐标满足(x－1)2＋(y－1)2－(x＋3)2＋(y＋3)2＝±4，则动点M的轨迹是________．答案双曲线解析点(x，y)到(1,1)点及到(－3，－3)点的距离之差的绝对值为4，而(1,1)与(－3，－3)距3 10．已知点 A (－1,0)，B (1,0)．曲线 C 上任意一点 P 满足P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0.则曲线解析由P A 2－PB 2＝4(|P A |－|PB |)≠0，得|P A |＋|PB |＝4，且 4>AB .| 离为 4 2，由定义知动点 M 的轨迹是双曲线．7．下列说法中正确的有________．(填序号)①已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 12 的点的轨迹是椭圆； ②已知 F 1(－6,0)，F 2(6,0)，到 F 1，F 2 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆；③到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)两点的距离之和等于点 M (10，0)到 F 1，F 2 的距离之和的点的轨迹是椭圆；④到点 F 1(－6,0)，F 2(6,0)距离相等的点的轨迹是椭圆．答案 ③解析椭圆是到两个定点 F 1，F 2 的距离之和等于常数(大于 F 1F 2)的点的轨迹，应特别注意椭圆的定义的应用．①中 F 1F 2＝12，故到 F 1，F 2 两点的距离之和为常数 12 的点的轨迹是线段 F 1F 2. ②中点到 F 1，F 2 两点的距离之和 8 小于 F 1F 2，故这样的点不存在．③中点 M (10,0)到 F 1，F 2 两点的距离之和为 (10＋6)2＋02＋ (10－6)2＋02＝20>F 1F 2＝12，故③中点的轨迹是椭圆．④中点的轨迹是线段 F 1F 2 的垂直平分线．故正确的是③.8．若动点 P 到定点 F (1,1)和到直线 l ：x ＋y －4＝0 的距离相等，则动点 P 的轨迹是________．答案直线解析设动点 P 的坐标为(x ，y )，则 (x －1)2＋(y －1)2＝|3x ＋y －4|.整理，得 x －3y ＋2＝0，10所以动点 P 的轨迹为直线．9．平面内有两个定点 F 1，F 2 及动点 P ，设命题甲：PF 1－PF 2|是非零常数，命题乙：动点P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则甲是乙的________条件．(“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)答案必要不充分解析由双曲线的定义可知，若动点 P 的轨迹是以 F 1，F 2 为焦点的双曲线，则|PF 1－PF 2| 是非零常数，反之则不成立．→ → → →C 的轨迹是______．答案椭圆→ → → →→ →故曲线 C 的轨迹是椭圆．(解析把轨迹方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|写成x2＋y2＝，∴动点M到原点的＝BD，MC＝CE，于是MB＋MC＝BD＋CE＝(BD＋CE)＝×39＝26>24＝BC. 11．已知动圆M过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其相内切，则动圆圆心M的轨迹为________．答案椭圆解析设动圆M的半径为r.因为动圆M与定圆B内切，所以MB＝8－r.又动圆M过定点A，MA＝r，所以MA＋MB＝8＞AB＝6，故动圆圆心M的轨迹是椭圆．二、解答题12．点M到点F(0，－2)的距离比它到直线l：y－3＝0的距离小1，试确定点M的轨迹．解由题意得点M与点F的距离等于它到直线y－2＝0的距离，且点F不在直线l上，所以点M的轨迹是抛物线．13．如图所示，已知点P为圆R：x＋c)2＋y2＝4a2上一动点，Q(c,0)为定点(c>a>0，为常数)，O为坐标原点，求线段PQ的垂直平分线与直线RP的交点M的轨迹．解由题意，得MP＝MQ，RP＝2a.MR－MQ＝MR－MP＝RP＝2a<RQ＝2c.∴点M的轨迹是以R，Q为两焦点，2a为实轴长的双曲线的右支．三、探究与拓展14．已知动点M的坐标满足方程5x2＋y2＝|3x＋4y－12|，则动点M的轨迹是__________．答案抛物线|3x＋4y－12|5距离与到直线3x＋4y－12＝0的距离相等．∵原点不在直线3x＋4y－12＝0上，∴点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x＋4y－12＝0为准线的抛物线．△15．在ABC中，BC＝24，AC，AB边上的中线长之和等于△39，求ABC的重心的轨迹．解如图所示，以BC的中点O为坐标原点，线段BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系xOy.设M为△ABC的重心，BD是AC边上的中线，CE是AB边上的中线，由重心的性质知M B 222222333333根据椭圆的定义知，点M的轨迹是以B，C为两焦点，26为实轴长的椭圆去掉点(－13,0)，(13,0)．。

高中数学选修2-1第二章圆锥曲线

双曲线的标准方程：双曲线的标准方程：
2
2
y x + 2 =1 (a > b > 0) 2 a b
2
2
x2 y2 − 2 =1 (a > 0,b > 0) 2 a b
抛物线的标准方程：抛物线的标准方程：
y2 x2 − 2 =1 (a > 0,b > 0) 2 a b
y2 = ±2px ( p > 0)
动 M 一定 F的离它一定线的离比点与个点距和到条直 l 距的是数e，常 l d .M
l
d
.M .
F
l
d.M
.
.
e >1
F
F
0 <e <1
e =1
定点是焦点，定直线叫做准线，常数e是离心率 .
椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：
x y + 2 =1 (a > b > 0) 2 a b
3．双曲线的几何性质：以．双曲线的几何性质： x2/a2-y2/b2=1(a、b＞0)表示的双曲线为例，其几表示的双曲线为例，＞表示的双曲线为例何性质如下：何性质如下： (1)范围：x≤-a，或x≥a 范围：范围， (2)关于轴、y轴、原点对称，关于x轴轴原点对称，关于 (3)两顶点是 ±a,0)(4)离心率两顶点是(± 两顶点是离心率 e=c/a∈(1,+∞).c=√a2+b2(5)渐近线方程为 ∈ 渐近线方程为 y=±bx/a，准线方程是 ±a2/c ± ，准线方程是x=±
椭圆圆锥曲线
定义标准方程
双曲线
几何性质
抛物线
直线与圆锥曲线的位置关系

人教版高中数学【选修 2-1】第三章圆锥曲线的概念及性质

人教版高中数学精品资料重点列表：重点名称重要指数重点1 椭圆 ★★★★ 重点2 双曲线 ★★★ 重点3 抛物线★★★★椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F 1、F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． (2)代数式形式：集合1212P={M||MF |+|MF |=2a |FF |=2c.} ①若a c >，则集合P 为椭圆； ②若a c =，则集合P 为线段； ③若a c <，则集合P 为空集．椭圆的标准方程：焦点在x 轴时，2222=1(a>b>0)x y a b +；焦点在y 轴时，2222=1(a>b>0)y x a b + 椭圆的标准方程：（1）焦点在x 轴，2222+=1(a>b>0)x y a b；（2）焦点在y 轴，2222y +=1(a>b>0)x a b.满足条件：22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞条件22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．双曲线的标准方程重点1：椭圆的定义及性质【要点解读】1．熟悉椭圆定义、标准方程，在熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程中所使用的数学思想方法．2．在运用椭圆的定义时，要注意“|F1F2|＜2a”这个条件，若|F1F2|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|＞2a，则轨迹不存在．3．椭圆的标准方程有两种形式，两种形式可以统一为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )，具体是哪种形式，由m 与n 的大小而定．4．求椭圆的标准方程常用的方法是待定系数法和定义法，即(1)先设出椭圆标准方程，根据已知条件列出a ，b 的两个方程，求参数a ，b 的值；(2)由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a ，b 的值．5．充分利用图形的几何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在椭圆的定义中．6．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方程与直线方程组成的方程组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x (或y )的一元二次方程的判别式Δ与零的大小关系来判定．7．直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方程可由韦达定理来解决．设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一．【考向1】利用定义求椭圆的方程【例题】如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8，求椭圆E 的方程．解：由题意得||AB ＋||AF 2＋||BF 2＝||AF 1＋||BF 1＋||AF 2＋||BF 2＝(||AF 1＋||AF 2)＋(||BF 1＋||BF 2)＝4a ＝8，得a ＝2.又e ＝c a ＝12，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝22－12＝3.∴椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1.【评析】椭圆的定义是高考的常考点，应掌握椭圆的定义以及参数a ，b ，c ，e 的几何意义和相互关系．【考向2】椭圆定义的应用【例题】如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．求该椭圆的离心率和标准方程．解：设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．易知||OB 1＝||OB 2＝12||OF 1＝c2，||AB 1＝||AB 2，又∵△AB 1B 2为直角三角形，∴∠B 1AB 2＝90°.∴||OA ＝||OB 1，即b ＝c 2，有b 2＝a 2－c 2＝c 24，得e 2＝45，e ＝255.∵S △AB 1B 2＝12||B 1B 2·||AO ＝12bc ＝12·c 2·c ＝c 24＝4，∴c 2＝16，b 2＝4，a 2＝20.∴椭圆方程为x 220＋y 24＝1. 【考向3】椭圆的离心率【例题】设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1解法二：设直线x ＝a 2c 与x 轴交于M 点，则|F 1F 2|＝|F 2P |≥|MF 2|，即2c ≥a 2c －c ，整理得13≤e 2<1，33≤e <1.∴椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1.故选D.【评析】(1)对于参数的取值范围问题，要能从几何特征的角度去分析参数变化引起的图形的变化．在学习中，要能主动的研究几何特征变化的根本性原因．(2)对几何对象的本质属性的把握越准确，代数化就越容易．(3)整个图形都随着P 点的变化而变化，P 点的变化使得线段||PF 2的长度也在变化，进而||PF 2与||MF 2的长度关系也在变化．正确的描述这一变化中量与量之间的数量关系是解题的关键所在．重点2：双曲线的定义及性质【要点解读】1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； (3)这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y ＝±b a x ，则可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)；(3)若过两个已知点则设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0)．4．应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用． 5．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混．【考向1】双曲线的定义【例题】求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过点(－5，2)，焦点为(6，0)； (2)实半轴长为23，且与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点．解：(1)∵焦点坐标为(6，0)，焦点在x 轴上，∴可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵双曲线过点(－5，2)， ∴25a 2－4b 2＝1，得a 2＝25b 2b 2＋4. 联立⎩⎨⎧a 2＝25b 2b 2＋4，a 2＋b 2＝c 2＝6，解得a 2＝5，b 2＝1，故所求双曲线方程为x 25－y 2＝1.(2)由双曲线x 216－y 24＝1得其焦点坐标为F 1(-25，0)和F 2(25，0)，由题意知，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．易知a ＝23，c ＝25，∴b 2＝c 2－a 2＝8.∴所求双曲线方程为x 212－y 28＝1. 【评析】(1)求双曲线的标准方程一般用待定系数法；(2)当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(A ·B ＜0)，这样可以简化运算．【考向2】双曲线的离心率【例题】(1)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(b ＞a ＞0)的半焦距为c ，直线l 经过(a ，0)，(0，b )两点，已知原点到直线l 的距离为34c ，则双曲线的离心率为________．(2)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A ，B 两点，若AF →＝4FB →，则C 的离心率为________．解：设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的右准线为l ，过A ，B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，作BD ⊥AM 于点D ，由直线AB 的斜率为3知直线AB 的倾斜角为60°，∴∠BAD ＝60°，|AD |＝12|AB |.又|AM |－|BN |＝|AD |＝1e (|AF →|－|FB →|)＝12|AB |＝12(|AF →|＋|FB →|)．又AF →＝4FB →， ∴1e ·3|FB →|＝52|FB →|，得e ＝65.故填65. (亦可联立直线与双曲线的方程求解，但计算较繁)【评析】(1)要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a ，c 的齐次式，进而求解．(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征||PF 1＋||PF 2≥2c 的运用，对于变式2(2)，还可利用双曲线的另一种定义(见人教A 版教材选修2－1P59例5)||PF 1＝e ⎝⎛⎭⎪⎫x P ＋a 2c ＝4a ，x P ＝3a 2c ≥a ，得1<e ≤3.(3)过焦点的弦被焦点所分成的线段成比例，一般可以寻找相似三角形，使用相似比【考向3】双曲线的渐近线【例题】已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1()a >0，b >0的离心率为52，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±14xB ．y ＝±13xC ． y ＝±12xD ． y ＝±x【评析】本题考查双曲线的离心率，a ，b ，c 的关系，以及双曲线的渐近线等知识．渐近线方程可以看作是把双曲线方程中的“1”用“0”替换而得到的两条直线方程．1．对双曲线的学习可类比椭圆进行，应着重注意两者的不同点，对双曲线的渐近线的概念要注意理解．2．双曲线的定义中，当||MF 1＞||MF 2时，动点M 的轨迹是双曲线的一支，当||MF 1＜||MF 2时，轨迹为双曲线的另一支，而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中强调“差的绝对值”．3．定义中|F 1F 2|＞2a 这个条件不可忽视，若|F 1F 2|＝2a ，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若|F 1F 2|＜2a ，则轨迹不存在．4．在椭圆的两种标准方程中，焦点对应“大分母”，即标准方程中，x 2，y 2谁的分母较大，则焦点就在哪个轴上；而在双曲线的两种标准方程中，焦点的位置对应“正系数”，即标准方程中，x 2，y 2谁的系数为正(右边的常数总为正)，则焦点就在哪个轴上．5．在椭圆中，a ，b ，c 满足a 2＝b 2＋c 2，即a 最大；在双曲线中，a ，b ，c 满足c 2＝a 2＋b 2，即c 最大．6．在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容，对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数．7．求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax 2＋By 2＝1的形式，当A ＞0，B ＞0，A ≠B 时为椭圆，当A ·B ＜0时为双曲线．重点3：抛物线的定义及性质【要点解读】1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2．求抛物线方程应注意的问题(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种； (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系； (3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．【考向1】抛物线的定义及标准方程【例题】(1)已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，又知抛物线上一点A (m ，－3)到焦点F 的距离为5，求m 的值，并写出抛物线的方程．②当抛物线开口向右或向左时，设抛物线的方程为y 2＝2ax (a ≠0)，准线方程可统一为x ＝－a2.由题意可得⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2＋m ＝5，2am ＝9，解得⎩⎨⎧a ＝1，m ＝92，或⎩⎨⎧a ＝－1，m ＝－92，或⎩⎨⎧a ＝9，m ＝12，或⎩⎨⎧a ＝－9，m ＝－12.∴当m ＝92时，抛物线的方程为y 2＝2x ；当m ＝－92时，抛物线的方程为y 2＝－2x ；当m ＝12时，抛物线的方程为y 2＝18x ；当m ＝－12时，抛物线的方程为y 2＝－18x .(2)已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( ) A ．2B ．3C ．115D ．3716解：易知直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，点P到l2的距离等于点P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，因此原问题可转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小．因此最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即d min＝|4－0＋6|42＋（－3）2＝2.故选A.【评析】(1)用数形结合的方法判断抛物线的开口方向，以便选择抛物线方程的具体形式．注意利用代数的观点，把抛物线向右或向左的情形统一起来，提高解题效率；(2)把“数”、“方程”向“形”的方向转化，运用运动变化的观点和几何的方法进行研究比直接代数化更简洁．1．抛物线的定义、标准方程和性质是解决有关抛物线问题的基础，应当熟练掌握．2．求抛物线的标准方程的常用方法是待定系数法或轨迹法．若抛物线的开口不确定，为避免多种情况分类求解的麻烦，可以设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny(m≠0，n≠0)．若m＞0，开口向右；若m＜0，开口向左．m有两解时，则抛物线的标准方程有两个．对n＞0与n＜0，有类似的讨论．3．抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题时，可以优先考虑利用抛物线的定义，将其转化为点到准线的距离，这样往往可以使问题简单化．4．提倡作出合理的草图，图形合理，才能观察出图形的几何性质，并加以研究，为准确的代数化打下基础．难点列表：椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为2222e?b b c a=等．设椭圆2222+=1(a>b>0)x y a b上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点。

人教版高中数学选修2-1《圆锥曲线起始课》教学设计(特级教师一等奖)

人教版高中数学选修2-1《圆锥曲线起始课》教学设计(特级教师一等奖)“圆锥曲线起始课”教学设计一．【教学内容解析】1．圆锥曲线是平面解析几何的重要组成部分，也可以说是核心内容．它是继研究了以直线和圆为代表的简单图形之后，用平面几何的方法无法研究的较为复杂的图形．圆锥曲线能充分体现解析几何研究方法．2．圆锥曲线是体现数形结合思想的重要载体．圆锥曲线的研究不是采用逻辑推理的形式，而是运用代数的方法．即以代数为工具解决几何问题，用代数的语言来描述几何图形，把几何问题转化为代数问题，实施代数运算，求解代数问题，再将代数解转化为几何结论，这一过程体现了从形到数的数形结合的思想．3．圆锥曲线是二次曲线非常重要的数学模型，同时它的几何性质在日常生活，社会生产以及其他科学中都有着重要而广泛的应用，宇宙天地的运动，光学仪器，建筑学等等．因此圆锥曲线的研究对学生进一步理解数学模型的意义，树立观念都非常有价值．本节课的内容是选自XXX《高中数学选修2-1》第三章知识的引言部分，属于策略性和介绍性为主的起始课．二．【教学目标设置】1．知识与技能目标本节课的主线为圆锥曲线的发展史，从中参插各种情景．通过用平面对圆锥面的不同的截法，产生三种不同的圆锥曲线，经历概念的形成过程，从整体上认识三种圆锥曲线的内在关系，通过具体情境，从中抽象出椭圆、双曲线、抛物线模型的过程，理解它们的定义（主要是椭圆）．2．过程与方法目标初步了圆锥曲线研究的内容；通过动手试验、互相讨论等环节，使学生形成自主研究以及相互协作的团队精神；通过对具体情形的分析，归纳得出一般规律，让学生具备初步归纳能力；借助实物模型，通过整体观察、直观感知，使学生形成积极主动、勇于探索的研究方式，完善思维结构，体会解析几何的研究方法．3．情感、态度与价值观目标通过以圆锥曲线的发展史为主线，设立多种情景引入方式，让学生激发研究圆锥曲线的兴趣，能够自主研究、自我探索，形成注重实践、热爱科学、勇于创新的情感、态度与价值观．4．重难点重点：圆锥曲线的发展史及定义，椭圆的定义．难点：用Dandelin双球发现椭圆的定义，通过椭圆的定义类比双曲线定义．三．【学生学情阐发】1．这节课的授课工具是高中二年级的学生，他们有较好的研究惯，有一定的口头和书面表达的能力．在知识层面上，高一阶段已研究了立体几何空间旋转体中的圆锥，学生具有一定的空间想象能力，学生还研究相识析几何中的直线和圆，具有一定的用解析方法处理题目的能力．在方法的层面，学生在高1、高二年级的研究中基本把握了数形结合的脑筋与类比与转化脑筋．2．学生在研究过程中,也可能会遇到诸多艰巨：从空间的圆锥截出平面图形的转化题目，特别是通过Dandelin双球发觉椭圆的定义；还有理解椭圆，双曲线定义时点的轨迹及静态题目．四．【讲授策略阐发】1．整个课堂的主线是圆锥曲线的发展史，使学生产生兴趣，并以润物细无声的方法安排各种情景，让学生很自然进入研究圆锥曲线的研究，为后面采用解析的方法研究埋下了伏笔．2．由于是起始课，因此多采取直观的演示幻灯片、动画、实验和使用实物模型，直观感知、操1作确认，避免过分抽象.思争吵证、度量计算等手腕在后续课程中再接纳．3．在处理椭圆定义的环节，创造条件让学生亲自动手画出椭圆，并安排了一系列情节引导学生在操作过程中注意细节，鼓励学生通过动手实验、独立思考、相互讨论等手段得出结论，鼓励学生表达自己的见解．4．从多种具体情形出发，引导学生归纳出一般规律，培养学生的归纳总结能力．采用模型和软件，使学生的想法能够即时得到实现，所想即所见，快速形成正确认知，提高教学实效性．五．【教学过程】环节1．课题引入教学过程和师生活动通过生活中的一系列图片让学生在认知的曲线．意图，理念与备注1．从实践生活出发，直观感知各种圆锥曲线的存在，使学生在脑筋中产生各类曲线的开端印象，为下一步的数学抽象做准备．2．特别是“愤怒的小鸟”这个抛物线段片让学生马上产生兴趣，积极参与发现与探索，加深直观印象．师生活动：让学生踊跃讲话．2．复和准备1.温圆锥的形成2.由圆锥的形成过程引入圆锥面注：这里还要提出圆锥的轴截面是等腰三角形,并引入顶角的一半,为后面轴截面和旋转轴所成的角的大小截出分歧的曲线留下知识.师生活动：教师引导学生回忆知识，尽量让学生口述其过程。

北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》曲线与方程

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例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
2
思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线
l
点的横坐标与纵坐标相等条件
曲线
y
x=y（或x- y=0）方程

l
0
x-y=0
x
含有关系：
（1）
l 上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在 l 上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 ,又说方程 x y 0 的直线是 l .
北师大版高中数学选修2-1 第三章《圆锥曲线与方程》
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Ⅰ、曲线与方程
复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程为 y kx ____________ b 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线 x-y=0 方程是______________ 3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为 2 2 2 _______________________. ( x a) ( y b) r
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由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤： (1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标； (2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)} (3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式； (5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略 19 步骤（2），直接列出曲线方程.

圆锥曲线知识点

高中数学选修圆锥曲线知识点圆锥曲线的统一定义：平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。

其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。

当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。

椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0<e<1）1．到两定点F1F2的距离之差的绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|)的点的轨迹2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（e>1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜=2a,｜F 1F2｜＜2a} 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜.=±2a,｜F2F2｜＞2a}.点集{M｜｜MF｜=点M到直线l的距离}.图形方程标准方程12222=+byax(ba>>0) 12222=-byax(a>0,b>0) pxy22=参数方程为离心角）参数θθθ(sincos⎩⎨⎧==byax为离心角）参数θθθ(tansec⎩⎨⎧==byax⎩⎨⎧==ptyptx222(t为参数) 范围─a≤x≤a，─b≤y≤b |x| ≥ a，y∈R x≥0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0), (-a,0) (0,0)【备注1】双曲线：（1）等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e .（2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222by a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-by a x . （3）共渐近线的双曲线系方程：)0(2222≠=-λλb y a x 的渐近线方程为02222=-b y a x 如果双曲线的渐近线为0=±bya x 时，它的双曲线方程可设为)0(2222≠=-λλby ax .椭圆的常用结论： 1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF1F2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b+=. 6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=. 7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFS b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - ,2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a⋅=-，即22y a x b K AB-=。

人教版数学选修21第二章直线与圆锥曲线讲义

案例（二）---精析精练课堂合作探究重点难点突破知识点一直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系根据曲线和方程的理论,如果直线和椭圆有交点,那么交点坐标就应该同时满足直线和椭圆的方程,否则就不满足,因此我们可以将直线和椭圆的位置关系转化为对直线的方程与椭圆的方程所联立的方程组上来,即通过考查方程组解的情况来判断直线和椭圆的位置关系,也就是:设直线方程y=kx+m,若直线与椭圆方程联立,消去y 得关于x 的一元二次方程:ax 2+bx+c=0(a ≠0),①△>0,直线与椭圆有两个交点,直线与椭圆相交；②△=0时,直线与椭圆有个公共点,直线与椭圆相切；③△<0时,直线与椭圆没有公共点，直线与椭圆相离.在直线与椭圆相交的问题中,两公共点之间的距离,也即直线被椭圆截得的弦长可以用下面的公式来求取.设直线与椭圆的两个交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线方程为y=kx+m(k ≠0）则|AB|=221221)()(y y x x -+-=221221)()(m kx m kx x x --++-=21k +|x 1-x 2|或者|AB|=211k |y 1-y 2|；当k=0时直线平行于x 轴,|AB|=|x 1-x 2|. (2)直线与双曲线的位置关根据曲线和方程的理论,如果直线和双曲线有交点,那么交点坐标就应该to 同时满足直线和双曲线的方程,否则就不满足.因此我们可以将直线和双曲线的位置关系转化为对直线的方程与双曲线的方程所联立的方程组上来,即通过考查方程组解的情况来判断直线和双曲线的位置关系,也就是:设直线方程y=kx+m,若直线与双曲线方程联立,消去y 得关于x 的一元二次方程:ax 2+bx+c=0,当二次项前面的系数为零时,直线与双曲线有一个交点,直线与渐近线平行;当二次项前面的系数不为零时,①△>0,直线与双曲线有两个交点,直线与双曲线相交;②△=0时,直线与双曲线有一个公共点,直线与双曲线相切;③△<0时,直线与双曲线没有公共点,直线与双曲线相离.在直线与双曲线相交的问题中,两公共点之间的距离,也即三直线被双曲线截得的弦长可以用上面的公式来求取.直线和双曲线的位置关系的判别比较复杂,需要耐心细致地处理,主要原因在于双曲线不是封闭的曲线.(3)直线与抛物线的位置关系的处理在处理直线与抛物线的交点问题,特别是抛物线的弦的问题时,往往采取设而不求的方法,以及直线方程和抛物线方程联立方程组,借助根与系数关系来解,可达到化繁为简的目的.这里要注意:当直线与抛物线相切时,直线与抛物线只有一个交点,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线也只有一个交点，造成这样情况的原因在于抛物线和双曲线一样,它们都是不封闭曲线,因此在处理直线和抛物线的问题时,要关注消元后的一元二次方程的二次项前的系数以及判别式.另外,前面所提的弦长公式仍然适用.利用抛物线的对称性解题往往会柳暗花明又一村.知识点二直线与圆锥曲线位置关系的三种题型.(1)直线与圆锥曲线的交点问题常用方法是代数方法和几何方法,但在代数方法中,要注意二次项前面系数是0的情况,在几何方法中,要注意直线与圆锥曲线相切不是直线与圆锥曲线只有一个交点的充要条件.(2)与弦的中点有关的问题常用方法是韦达定理和点差法.(3)弦长问题求弦长的方法:①公式法；②如果弦经过圆锥曲线的焦点，可利用焦半径公式.典型例题分析题型1 直线与圆锥曲线的交点问题【例1】直线1:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时l与C有:(1)一个公共点；(2)两个公共点；(3)没有公共点.解析讨论直线与圆锥曲线的位置关系时,一般都将两个方程联答案将l 和C 的方程联立⎩⎨⎧=+=.4,12x y kx y消去y 得k 2x 2+(2k-4)x+1=0. ①当k=0时,方程①只有一个解x=41,此时y=1.∴直线l 与C 只有一个公共点(41，1),此时直线l 平行于抛物线的对称轴.当k ≠0时,方程①是一个一元二次方程,△=(2k-4)2-4k 2=-16k+16=-16(k-1).(1) 当△>0,即k<1,且k ≠0时,l 与C 有两个公共点,此时称直线1与C 相交(2) 当△=0,即k=1时,与C 有一个公共点,此时称直线l 与C 相切；(3) 当△<0,即k>1时,与C 没有公共点,此时称直线l 与C 相离. 综上所述,当k=0,或k=1时,与C 有一个公共点；当k<1时,与C 有两个公共点；当k>1时,与C 没有公共点.规律总结 (1)直线与抛物线相切,则直线与抛物线只有个公共点.反过来,直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线不一定是相切的；(2)解析中方程①的二次项系数带有字母,不可忽视对字母k 的讨【变式训练1】直线l:ax+by-3a=0与双曲线9922y x -=1只有一个公共点,则l 共有条,它们的方程是 .答案 (1)当b=0时,l:x=3,9922y x -=1, ∴y=0,此时,l 与双曲线只有一个公共点.(2)当b ≠0时,⎪⎩⎪⎨⎧=--=3694)3(22y x b x a y 得(4b 2-9a 2)x 2+54a 2x-9(9a 2+4b 2)=0.①a.若462-9a 2=0,即=±32时,只有一个公共点,此时l:y=±32(3-x),即2x+3y-6=0.b.4b2-9a2≠0,即b a ≠±32时,二次方程①△=542a 4+36(4b 2-9a 2)(4b 2+9a 2)=36(81a 4+16b 4-81a 4)=36×16b 4>0,此时直线l 与双曲线必有两个交点.综上所述,共有3条,其方程为x3=0或2x+3y-6=0.题型2 弦长问题【例2】已知直线y=x-4被抛物线y 2=2mx(m ∈R)截得的弦长为62,求抛物线的标准方程.解析直线和抛物线的位置关系仍然是转化为对直线的方程与椭圆的方程所联立的方程组上来,即通过考查方程组解的情况来判断直线和抛物线的位置关系；同时弦长公式仍然适用.答案由⎩⎨⎧-==,4,22x y mx y 得x 2-2(4+m)x+16=0, 弦长=2212))(1(x x k -+=[]164)4(422⨯-+m=2)8(22m m +.由2)8(22m m +=62,得m=1或m=-9,经检验,m=1或m=-9均符合题意.∴所求抛物线标准方程为y 2=2x 或y 2=-18x.规律总结由于m ∈R,故m 的几何意又发生了变化,此时,|m|才表示焦点到准线的距离.【变式训练2】椭圆ax 2+by 2=1与直线x+y=1相交于A 、B 两点,若|AB|=22,且AB 的中点C 与椭圆中心连线的斜率为22,求实数a 、b 的值.答案设椭圆与直线交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点,则由⎩⎨⎧=+=+,1,122y x by ax 可得(a+b)x 2-2bx+b-1=0.所以x 1+x 2=b a b +2,x 1+x 2=ba b +-1,所|AB|=2)1(1-+·|x 1-x 1|=2·ba ab b a +-+2=22,得(a+b)2=a+b-ab ①.又因为kx=222121x x y y ++=2121x x y y ++=2121)1()1(x x x x +-+-=212x x +-1=b a =22,所以a=22b ②.把②代人①,得b=32,a=31. 题型3 中点弦问题【例3】设A 、B 是双曲线x 2-22y =1上的两点,点N(1,2)是线段AB 的中点.(1)求直线AB 的方程. (2) 如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点,那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆?为什么?解析涉及直线截圆锥曲线所得弦长及弦的中点的有关问题,常常要运用根与系数的关系.答案 (1)显然,AB 与x 轴不垂直,设其斜率为k,其方程为y=k(x-1)+2,代入双曲线方程并整理得(2-k 2)x 2-2k(2-k)x-k 2+4k-6=0.设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),由根与系数的关系及N 是AB 的中点,知22)2(2k k k --=2. 解得 k=1.因此,直线AB 的方程为y=x+1.(2)线段AB 的垂直平分线的方程为y=-x+3,代入双曲线方程,得x 2+6x-11=0.设C 、D 两点坐标分别为(x 3,y 3)、(x 4,y 4),由根与系数的关系,得x 3+x 4=-6,x 3x 4=-11.|x 3-x 4|=432434)(x x x x -+=45,据弦长公式得|CD|=21k +|x 3-x 4|=410.又设CD 中点为M,求得M 点的坐标为(-3,6)点A(-1,0)到点M 的距离|MA|=210.由于C 、D 是线段AB 垂直平分线上的两点,点B 到点M 的距离等于点A 到点M 的距离.这样点A 、B 、C 、D 到点M 的距离均等于2√10,因此四点共圆规律总结本题考查了直线、圆、双曲线的有关内容,是综合性较强的一个题目；证明四点共圆时,要充分利用CD 是直径这一隐含条件.【变式训练3】直线l:6x-5y-28=0交椭圆2222by a x +=1(a>b>2)于B 、C 两点,A(0,b)是椭圆的一个顶点,且△ABC 重心与椭圆的右焦点F 重合,求椭圆的方程.答案设B(x 1,y 1),C(x 2,y 2),设BC 的中点D(x 0,y 0),F(c,0),A(0,b),可利用|AF|:|FD|=2:1,结合定比分点公式求得x0=23c,y0=-2b .由于点D 在BC 的直线上,则18c+5b-56=0,①将B 、C 两点坐标代入椭圆方程并作差:2212122121))(())((b y y y y a x x x x +-++-=0,∴KAB ·=00x y -22ab , ∴2a 2=5bc. ②由于b 2+c 2=a 2 ③,由①②③可得:41c 2-194c+224=0,∴c=2或c=41112. ∵a>b>2,∴c=2,从而b=4,a 2=20,∴椭圆方程为:162022y x +=1 题型4 最值及参数范围问题【例4】在直线l:x+y-4=0上任取一点M,过M 且以椭圆121622y x +=1的焦点为焦点作椭圆,问M 点在何处,所作椭圆的长轴最短,并求此椭圆的方程.解析椭圆的长轴的长的2倍即为椭圆上点到两焦点距离的和,这样,求过直线l 上点M 所作长轴最短的椭圆,即转化为求直线l 上一点,使这点到两焦点F 1、F 2的距离之和最小.答案 a 2=16,b 2=12,∴c 2=a 2-b 2=4.故已知椭圆121622y x +=1的两焦点F 1(-2,0),F 2(2,0),过F 2向引垂直线l ′:y=x-2,求出F 2关于l 的对称点F ´2,则F 2的坐标(4,2)(如右图),直线F 1F 2′的方程为x-3y+2=0.∴⎩⎨⎧=-+=+-,04,023y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,35,25y x ∴M ⎪⎭⎫ ⎝⎛23,25即为所求的点. 此时,|MF 1|+|MF 2|=|MF 1|+|MF ′2|=|F1F ′2|=210. 设所求椭圆方程为2222by a x +=1, ∴a=10,c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6， ∴所求椭圆方程为61022y x +=1 规律总结本题的实际几何意义是:待求椭圆与已知直线l 相切时，长轴最短.【变式训练4】从椭圆2222by a x +=1(a>b>0)上一点M 向x 轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且其长轴端点A 及短轴端点B 的连线AB 平行于OM,若Q 为椭圆上任一点,F 2是右焦点,求∠F 1QF 2的最大值. 解析利用OM ∥AB,得a,b,c 的关系,由cos ∠F 1QF 2的取值范围确定∠F 1QF 2的最大值.答案如右图,点M 的坐标为(-c,ab 2),因为OM ∥AB,所以k CM =k AB ,∴-acb a b 2-=,即b=c,a=2c.设|QF 1|=m,|QF 2|=n, ∠F 1QF 2=θ由余弦定理,得cos θ=|QF ||QF |2|F ||QF ||QF |212212221•-+F=mn c mn n m 242)(22--+=mn b mn mn b 222224=--1≥1)2(222-+n m b =222ab -1=0. 当|QF 1|=|QF 2|时,等号成立. ∴0≤cos θ≤1.∴θ的最大值为2π,即∠F 1QF 2的最大值为2π.【例5】已知双曲线2222by a x -=1(a>0,b>0)的离心率е=332,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为23. (1)求双曲线的方程；(2)直线y=kx+m(k ≠0,m ≠0)与该双曲线交于不同的两点C,D,且C,D 两点都在以A 为圆心的同一圆上,求m 的取值范围. 解析 (1)依条件建立ab 的关系,求a 2,b 2；(2)利用直线与圆锥曲线有交点的条件,结合韦达定理作转化.答案 (1)由题设,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=,23,34122222b a ab a b λ解得a 2=3,b 2=1，∴双曲线的方程为32x -y 2=1.(2)把直线方程y=kx+m 代入双曲线方程,并整理得(1-3k 2)x 2-6kmx-3m 2-3=0.因为直线与双曲线交于不同两点, 所以⎩⎨⎧≠+>∆,031,02k 即k 2≠31,且m 2+1-3k 2>0. ①设C(x 1,,y 1),D(x 2,y 2),则x 1+x 2=2316kkm-, y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2m=2312k m-, 设CD 中点为P(x 0,y 0),其中则依题意,AP ⊥CD,∴kAP=22313131k km k m-+-=-k 1,整理得3k 2=4m+1. ② 将②式代入①式得m 2-4m>0, ∴m>4,或m<0,k 2≠31,3k 2≠1, ∴4m+1≠1,即m ≠0. 又3k 2=4m+1>0,即m>=-41, ∴m 的取值范围为m>4,或-4<m<0.规律总结 (1)应熟练掌握研究直线与圆锥曲线相交问题的一般方法；(2)第(2)小题中注意将点C 、D 都在以A 为圆心的同一圆上的条件转化为AP ⊥CD,进而转化为斜率关系,同时掌握设点不求点的处理技巧.【变式训练5】已知椭圆的两个焦点为F 1(0,-22),F 2(0,22),离心率e=322. (1)求椭圆方程;(2)一条不与坐标轴平行的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N,且线段MN 中点的横坐标为-21,求直线l 倾斜角的取值范围.答案(1)∵c=22,322=a c ,∴a=3,c=22, ∴b 2=1.∴椭圆方程为92y +x 2=1.(2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),且MN 中点为P(-21,y 0),k MN =k(k ≠0),则921y +x 21=1,922y +x 22=1.相减,得9))((2121y y y y +-+(x 1-x 2)(x 1+x 2)=0. ∴21212121)(9y y x x x x y y ++=--,∴y0=k29. 由于点(-21,k29)在椭圆92y +x2=1内部,∴4191)2(922+•k <1,∴k 2>3, ∴k>3或k<-3.∴直线l 倾斜角的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛32,22,3ππππY .规律方法总结(1) 直线与圆锥曲线的位置关系问题可消元构造一元二次方程,利用判别式来解决,并应注意讨论,不要漏项,也可利用图形的性质来解决.(2)涉及圆锥曲线的弦长,一般用弦长公式|AB|=21k +|x1-x2|=211k+ |y1-y2|,弦过焦点时,也可用定义或焦点弦来解决.(2)解决弦的中点问题常用方法:一是用韦达定理及中点坐标公式的构造.二是利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造出中点坐标和直线的斜率.(4)设而不求的方法,是直线与圆锥曲线位置关系的常用方法. (5)有关直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,一般采用假设反证法”或“假设验证法”,同时要注意直线与圆锥曲线的交点是否存在,即判断△与0的关系.定时巩固检测第1课时直线与圆锥曲线的位置关系基础训练1. 过点A(-p,p)作直线l 与抛物线y 2=2px 仅有一个公共点的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.不能确定【答案】 C(点拨:注意有一条直线与抛物线的对称轴平行.) 2. 直线l:y=k(x-2)与曲线x 2-y 2=1(x>0)相交于A 、B 两点,则直线l 的倾斜角范围是（）A.[0,π)B.(2π,2π)∪(2π,43π) C.[0,2π)∪(2π,π) D.(4π,43π) 【答案】 D(点拨:当直线l 与x 轴垂直时符合题意；另外,直线l 的斜率必须满足k>1或k 1<-1)3. 直线y=kx+1与椭圆my x 225+=1恒有公共点,且椭圆焦点在x 轴上,则m 的取值范围是 .【答案】1≤m<5(点拨:直线y=kx+1过定点(0,1),该点应在椭圆的内部(含短轴的端点).)4. 直线x+y=1与椭圆mx 2+ny 2=1相交于A 、B 两点,过A 、B 中点和坐标原点的直线的斜率为22,则nm的值为 . 【答案】22(点拨:利用点差法处理.) 能力提升5. 设直线y=k(x+3)与抛物线y=ax 2交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则2111x x +的值是（） A.-31 B.31C.-3D.不能确定与k 的值有关【答案】 A(点拨:将直线的方程代入抛物线方程中,利用韦达定理解决.)6. 已知双曲线方程2422y x -=1,.是否存在直线l,使N(1,21)为l 被双曲线所截弦的中点.若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由. 【答案】假设过N 的直线交双曲线于A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-②,124①,12422222121y x y x 作差得2))((4))((21212121y y y y x x x x -+--+=0，所以k AB =2121x x y y --=1,∴l 为:y=x-21，但由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=124,2122y x x y 得:2x 2-4x+9=0,△<0,所以无实根,因此直线l 与双曲线无交点,这一矛盾说明满足条件的直线l 不存在.7.已知直线y=-x+1与椭圆2222by a x +=1(a>b>0)相交于A 、B 两点,且线段AB 的中点在直线l:x-2y=0上. (1)求此椭圆的离心率；(2)若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆x 2+y 2=4上,求此椭圆的方程.【答案】 (1)设A 、B 两点的坐标分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2).则由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=1,12222b y ax x y 得:(a 2+b 2)x 2-2a 2x+a 2-a 2b 2=0 根据韦达定理,得x 1+x 2=2222b a a +,y 1+y 2=-(x 1+x 2)+2=2222ba b +,∴线段AB 的中点坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++222222,b a b b a a .由已知得222222ba b b a a +-+=0,∴,a 2-2b 2=2(a 2-c 2),∴a 2=2c 2,故椭圆的离心率为е=22. (2)由(1)知b=c,从而椭圆的右焦点坐标为F(b,0),设F(b,0)关于直线l:x-2y=0的对称点为(x 0,y 0),则21000•--b x y =-1且20b x +-2×20y=0, 解得x 0=53b 且y 0由已知得x 20+y 20=4,∴22)54()53(+b =4,∴b 2=4,故所求的椭圆方程为4822y x +=1.8. 若抛物线y=x 2上存在两点P,Q 关于直线 y=m(x-3)对称,求实数m 的取值范围. 【答案】如右图,设P(x1,x 21),Q(x2,x 22),过这两点的直线的斜率为k=212221x x x x --=x1+x2=-m 1,线段PQ 的中点坐标x中=221x x ++2=-m21.又由y=m(x3)⇒y 中=m （-m 21-3)=-m(m21+3),由于中点总在抛物线之内部,∴-m(m 21+3)>(-m 21)2(横坐标为-m21的抛物线上的点的纵坐标),从而有12m 3+2m 2+1<0,即m<-21.第2课时直线与圆锥曲线位置关系的应用基础训练1.直线y=x+b(b 为参数)被椭圆42x +y 2=1截得的弦长的最值是（）A.2B.554 C.5104 D.5108 【答案】 C(点拨:设直线与椭圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,22y x b x y 消去y 得5x 2+8bx+4b 2-4=0,x1+x2=-58b,x1x2=5442-b ,|AB|=11+212214)(x x x x -+=516162564222--b b =55242+-b ≤5104,所以所求最大值为5104.) 2.过原点的直线与椭圆2222by a x +=1(a>b>0)相交于A 、B 两点,若F(-c,0)是椭圆的左焦点,则△FAB 的最大面积是（） A.bc B.ab C.ac D.b 2【答案】 A(点拨:S △FAB =21c|yA-yB|,因为|yA-yB|max =2b,所以S △FAB 的最大值为21·c ·2b=bc.)3.设P(8,1)平分双曲线x 2-4y 2=4的一条弦,则这条弦所在的直线方程是 .【答案】 2x-y-15=0(点拨:设弦所在直线的方程为y-1=k(x-8),由⎩⎨⎧-=-=-),8(1,4422x k y y x 消去y 得(1-4k 2)x 2-8(1-8k)kx-4(1-8k)2-4=0,由x 1+x 2=241)81(8k kk --=16得k=2,所以所求直线的方程为2x-y-15=0.)4.抛物线x 2=21y 上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)关于直线l:y=x+m 对称,若x 1x 2=-21,则m= .【答案】设AB 中点M(x 0,y 0),点M 在l 上,kAB=-1,⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2221212121y x y x (x2+x1)(x2-x1)=21(y2-y1)⇒2x0=(-1),∴x0=-41⇒y0=-41+m,又y0=221y y +=x 21+x 22=(x1+x2)2-2x1x2=45212212=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴m=23. 能力提升5.直线y=x+3与曲线492xx y -=1A.没有交点B.只有一个交点C. 有两个交点D.有三个交点【答案】 D(点拨:曲线492x x y -=1的图象是双曲线的y 轴右侧部分和椭圆在y 轴的左侧部分.)6.椭圆22a x +22by =1,(a>b>0)与直线x+y-1=0相交于P 、Q 且OP ⊥OQ(O 为坐标原点),求证:21a +21b等于定值. 【答案】由⎩⎨⎧=+=-+,,01222222b a y a x b y x 消去y 得(a 2+b 2)x 2-2a 2x+a 2(1-b 2)=0, ∵有两个交点,△>0,即4a 4-4(a 2+b 2)a 2(1-b 2)>0,即b 2(a 2+b 2-1)>0,∵b ≠0,∴a 2+b 2>1设P(x 1,y 1),Q （x 2,y 2),则x 1+x 2=2222b a a +,x 1x 2=()22221b a b a +-，由OP ⊥OQ 得x 1x 2+y 1y 2=0,又y 1=1-x 1,y 2=1-x 2得:2x 1x 2-(x 1+x 2)+1=0,∴2()22221b a b a +--2222b a a ++1=0，化简得:a 2+b 2=2a 2b 2,故21a +21b =2为定值. 7.设抛物线x 2=-y 与直线y=3x-4交于M 、N 两点,点P 在抛物线上由M 到N 运动(1)求△PMN 的面积取得最大值时P 点的坐标(x 0,y 0)；(2)证明:与线段MN 平行的直线和抛物线交于A 、B 两点,则线段AB 被直线x=x 0平分【答案】(1)由⎩⎨⎧-=-=43,2x y y x 得:x1=-4,x 2=1,即M(-4,-16,N(1,.-1),因此∣MN ∣=510,要使S △PMN 的面积最大,只需P 到直线MN 的距离最大, 令P(x,y), d=d=1042523104-x 3x 104-y -3x 22-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=x ,由于-4<x<1,当x=-23时,d 达到最大,此时y=-49,故P 点坐标为(-23,-49) (2)设与MN 平行的直线截抛物线的弦AB 所在直线为:y=3x+b.由⎩⎨⎧-=+=yx b x y 2,3得 x 2+3x+b=0,则由△>0得b<49令A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-3,即AB 中点的横坐标为-23,即线段AB 被直线x=-23平分.8.过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线与这条抛物线交于A 、B 两点,O 为坐标原点.(1)△AOB 的重心G 的轨迹方程;(2)当直线l 的倾斜角为45︒时,试求抛物线上一点P 的坐标, 使AP ⊥BP【答案】(1)抛物线的焦点坐标为(1,0).当直线l 不垂直于x 轴时,设l:y=k(x-1),代入y 2=4x 得k 2x 2-2(k 2+2)x+k 2=0∵与抛物线相交于两点,∴k ≠0设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2),根据韦达定理x 1+x 2=()2222k k +,x 1x 2=1 ⎩⎨⎧-=-=kkx y k kx y 2211,从而y 1+y 2=k(x 1+x 2-2)=k 4, y 1y 2=k 2(x 1-1)(x 2-1)=-4设△AOB 的重心G(x,y)则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+=++=k y y y k x x x 343034323021221 消去k 并整理得y 2=9834-x当l 垂直于x 轴时,A 、B 的坐标分别是(1,2)和(1,-2) △AOB 的重心G(32,0)也透合y 2=9834-x因此所求轨迹方程为y 2=9834-x(3) 当直线l 的倾斜角为4︒时,k=1 ∴x 1+x 2=6,y 1+y 2=4设抛物线的准线上一点P(-1,y 0)∵AP ⊥BP.∴11202101+-•+-x y y x y y =-1，即()()121212021021+++++-x x x x y y y y y y =-1，16144200+++--y y =-1 （4）解得y 0=2,故所求点P 的坐标为(-1,2)。