对面积的曲面积分

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高数第四节.对面积的曲面积分 (1)

1. f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
1
2
当为闭曲面时, f ( x, y, z)dS 可写成 f ( x, y, z)dS.
2. 当 f ( x, y, z) 1时, dS 是曲面的面积.
复习：
z n
设光滑曲面
M
则面积 A 可看成曲面上各点 M (x, y, z) S dA
处小切平面的面积 d A 无限积累而成. o
设它在 D 上的投影为 d , 则
x
y
d
d cos d A n ( fx( x0 , y0 ), fy( x0 , y0 ), 1 )
cos
1
1 fx2 (x, y) f y2 (x, y)
d A 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
z
h
oD xy
ay
x
因为dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
a
dxdy，
a2 x2 y2
dS
a
dxdy，
a2 x2 y2
ห้องสมุดไป่ตู้
dS z
Dxy
a2
adxdy x2
y2
add Dxy a2 2
a
2π
d
0
a2 h2 0
d a2 2
2πa
1 2
ln( a 2
2
) 0
a2
h2
2πa ln a . h
f (i ,i , i )Si
积分曲面
面积元素
积分和式
以上积分也称为第一类曲面积分或对面积的曲面积分.

对面积的曲面积分公式

对面积的曲面积分公式1. 对面积的曲面积分的概念。

- 设曲面∑是光滑的，函数f(x,y,z)在∑上有界。

把∑任意分成n小块Δ S_i（Δ S_i同时也表示第i小块曲面的面积），设(ξ_i,eta_i,ζ_i)是Δ S_i上任意取定的一点，作乘积f(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i，并作和∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。

- 如果当各小块曲面的直径的最大值λto0时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作∬_∑f(x,y,z)dS=limlimits_λto0∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。

2. 对面积的曲面积分的计算方法。

- 一、利用曲面的方程化为二重积分计算。

- 设曲面∑的方程为z = z(x,y)，∑在xOy面上的投影区域为D_xy，函数z(x,y)在D_xy上具有连续偏导数，被积函数f(x,y,z)在∑上连续，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{xy}f[x,y,z(x,y)]√(1 + z_x)^2+z_{y^2}dxdy。

- 类似地，如果曲面∑的方程为x = x(y,z)，∑在yOz面上的投影区域为D_yz，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{yz}f[x(y,z),y,z]√(1 + x_y)^2+x_{z^2}dydz。

- 如果曲面∑的方程为y = y(z,x)，∑在zOx面上的投影区域为D_zx，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{zx}f[x,y(z,x),z]√(1 + y_z)^2+y_{x^2}dzdx。

- 二、利用曲面的参数方程计算（略高于一般要求）- 设曲面∑的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(u,v) y = y(u,v) z =z(u,v)end{array}right.，(u,v)∈ D，且x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D上具有连续偏导数，(∂(x,y))/(∂(u,v)),(∂(y,z))/(∂(u,v)),(∂(z,x))/(∂(u,v))不全为零，则dS=√(EG - F^2)dudv，其中E=x_u^2+y_u^2+z_u^2，F = x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v，G=x_v^2+y_v^2+z_v^2。

曲面积分

函数z=f(x，y)在Dxy上具有一阶 o 连续偏导数，被积函数R(x，y， D xy z)在Σ上连续。 x 一代、二投、三定向
y
R( x, y, z) d x d y D
(S ) xy
说明: 如果积分曲面取下侧, 则
R( x, y, z ) d x d y Dx y R( x, y, z( x, y)) d x d y

若记正侧的单位法向量为 n ( cos , cos , cos )
令 d S n d S (d yd z, d zd x, d x d y )
A ( P( x, y, z ) , Q( x, y, z ) , R( x, y, z ) )
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
2
2
2 d
0
2

0
rdr 1 r cos
2
1 r
2
4
d 1 r2
cos 2 1 r 2 0
4 tan 1
例8 计算
其中Σ为平面x+y+z=1，与三坐标平面所围
( x 1)dydz ydzdx dxdy,
4
立体的表面，取外侧
解：
z
I

o x Dx y
y
f ( x, y, z ) dS 存在, 且有

Dx y
f ( x, y ,
)
一代、二换、三投影化为二重积分计算

Dx y
f ( x, y,
)
一代、二换、三投影, 化为二重积分计算 “一代”: 将z=z(x，y)代入被积函数f (x，y，z)，得f [x，y，z(x，y)]； “二换”：将dS换成相应的曲面面积元素的表达式： 2 如Σ：z=z(x，y)，则 dS 1 z x z 2 dxdy y “三投影”：认清Σ在xOy平面上的投影区域Dxy，二重积分是在区域上Dxy进行的。说明: 如果曲面方程为

对面积的曲面积分

M = lim∑ρ(ξi ,ηi ,ζ i )∆Si
0 λ→ i=1
n
∑
其中λ是n个小曲面个小曲面块的直径的最大值。块的直径的最大值。
o x
y
2
2、对面积的曲面积分的定义、定义8.3.1 设曲面是光滑的，函数 (x,y,z)在Σ上设曲面Σ是光滑的函数f 是光滑的，定义在上有界。任意分成n小块同时也代表第i小有界。把 Σ任意分成小块 ⊿ Si （同时也代表第小任意分成小块⊿ 块的面积）设上任意取定的一点，块的面积）,设 (ξi ,ηi ,ζi)是⊿Si上任意取定的一点，是作乘积 f (ξi ,ηi ,ζi)∆si (i=1，2，3，…，n)，并作和，，，，，
Σ
o
Dxy x
y
∫∫ f (x, y, z)dS Σ
Dxy
(∆σi )x y (ξi ,ηi ,ζ i )
)
= ∫∫
f (x, y,
7
说明（1）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” ）计算方法可概括为“一代、二换、三投影” “一代” 将z=z(x,y)代入被积函数 (x,y,z)，一代” 代入被积函数f 一代代入被积函数，得f [x,y,z(x,y)]；； “二换”将dS换成相应的曲面面积元素的表达式：二换” 换成相应的曲面面积元素的表达式：二换换成相应的曲面面积元素的表达式如Σ：z=z(x,y)，则：，
o x
13
y
I = 0 + 2∫∫ x x2 + y2 dxdy
Dxy
y
= 2∫ π dθ ∫
2 − 2
π
2acosθ
0
r cosθ ⋅ r ⋅ rdr

同济版大一高数第十一章第四节对面积曲面积分

P219 题1；3；4(1) ; 解答提示: 解答提示 P219 题1. P219 题3. 设则 7 P184 题2
∫∫Σ f (x, y, z) d S = ∫∫D
f (x , y , 0 ) d xdy
xy
26
P219 题4(1). ∑ 在 xoy 面上的投影域为
2
z
d S = 1+ zx2 + z y 2 dxdy
a −r
r dr
z∑
o x
1
Dx y
y
计算结果如何 ?
14
例5：计算：解：
I = ∫∫ xds ∑ : z = a2 − x2 − y2
∑
Q f ( x,y,z) = x 是关于x 的奇函数
又∑ 是关于 yoz 面对称。 ∴ I = 0
例6：计算：
I = ∫∫ (x2 + y2 + z2 )ds ∑ : x2 + y2 + z2 = a2
dS = 1+ z′ + z′ dxdy x y
2 2
= 1+ 0 + (−1) dxdy = 2dxdy,
2
故
∫∫ (x + y + z)ds =
Σ
Dxy
2 ∫∫ (5 + x)dxdy
Dxy
= 2 ⋅ 5∫∫ dxdy =125 2π.
16
1 2 例8：设均匀抛物面壳 z = 2 − x + y2 ： 2 其面密度为 ρ （常数），求 IZ
= −3∫
π
0
5 + 4cos2 t dcos t
23
内容小结
1. 定义:

曲面积分1

Dxz
(3) 若曲面Σ : x x( y, z ) 则
f ( x , y, z )dS

2 f [ x( y, z ) , y , z ] 1 x 2 xz dydz y
D yz
3
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
例求 x 2dS , : x 2 y 2 z 2 a 2
【思考】两类曲面积分的定义一个与的方向无关, 一个与
的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?
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4. 常用计算公式及方法面积分第一类 (对面积) 第二类 (对坐标) 代入曲面方程 (方程不同时，分片积分) 第一类：面积投影第二类：有向投影 (4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面转化二重积分
: z x 2 y 2 , dS 2d 积分曲面
zdS D

x y
2
2
2d
Dxy : x y 2 x
2 2
极坐标
xy
2 d
π 2 0
π 2 π 2
2 cos
0
d
16 2 cos 3 d 3
16 2 32 2 2. 3 3 9
1.对面积的曲面积分
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
对面积的曲面积分的计算法
思想是: 化为二重积分计算. 按照曲面的不同情况分为以下四种:
(1) 若曲面Σ : z z( x , y )
则

曲面的面积元素
2 dS 1 z x z 2 dxdy y
f ( x , y, z )dS 将曲面方程代入被积函数

高等数学第四节曲面积分

其中 d 是 dS 在 xy 平面上的投影区域的面积.
例 1 计算曲面积分 (xz2)dS, 其中为
球面 x2 + y2 + z2 = 1.

解球面方程为 z 1x2y2 与z 1x2y2.
上半球面记为 1，下半球面记为 2，则根据
对面积的曲面积分的性质，有
(xz2)dS(xz2)dS(xz2)dS.
设曲面是双侧的. 例如方程 z = z(x, y) 表示的曲
面，有上侧与下侧之分；方程 y = y(x, z)表示的曲面.
有左侧与右侧之分；方程 x = x(y, z) 所表示的曲面，有前侧与后侧之分；对于封闭曲面，有内侧与外侧之
分
z
上侧
z
外侧
Mo
内侧
下侧
内侧
O
y
x (a)
O
外侧 y
x (b)
P 1, Q 1,
x
y
所以由高斯公式，得
R 0. z
I(x1 )d yd zyd zd xd x d y

2dV
211111.
6
3
时，则曲面的法向量
n与
z
轴正向的夹角不大于 π
2
,
于是，曲面的面积元素 dS 在 xy 平面的投影 dxdy 不
为负值，如果 Dxy 表示曲面在 xy 平面上的投影区
域，那么我们可将对坐标的曲面积分化成在 xy 平面
上区域 Dxy 的二重积分来计算，即
R(x, y,z)dxdy R[x,y,z(x,y)d ]xdy.
在曲面上连续，则

f
(x,
y,
z)dS

10-4对面积的曲面积分33410

显然 xdS xdx 0d , y
1
D 1
xdS x11dx d0,y
2
D 1
讨论 3 时 ,将投影域选在 x 上 . oz （注意： y1x2分为左、右两片）
（左右两片投影相同）
xdSxdSxdS
3
31
32
2 x 1yx2yz2dxdz
Dxz
xoz
2 x
1 、 ( 2 xy 2 x 2 x z )ds , 其中为平面 2x 2y z 6在第一卦限中的部分；
2 、 ( xy yz zx )ds , 其中为锥面 z x 2 y 2 被柱面 x 2 y 2 2 ax 所截得的有限部分 .
三、求抛物面壳 z 1 ( x 2 y 2 )( 0 z 1 ) 的质量 , 此壳 2
关于坐标面、原点均对称 ,
积分曲面也具有对称性 ,
故原积分 8 ,
1
(其中 1 表示第一卦限部分曲面 )
1 ： x y z a , 即 z a x y
dS 1zx2zy2dxd y3dxdy
(x2y2z2)dS8(x2y2z2)dS
2011
记为 f(x,y,z)d.S
n
即 f(x,y,z)d S l i0im 1f(i, i, i) S i
其中 f(x, y,z)叫被积函数叫积，分曲.面
2.对面积的曲面积分的性质
若可分为分片光 1及滑 2,则的曲面
f(x ,y ,z )d S f(x ,y ,z )d Sf(x ,y ,z )d.S
2 、 f ( x , y , z ) ds = f ( x ( y , z ), y , z ) _ _ _ _ _ _ _ _ dydz ；

对面积的曲面积分

2
被柱面
x y 25
所截得的部分.
2 2
解曲面 : z 5 y 投影域: D xy {( x , y ) | x y 25 } 故 ( x

z
O
y z )d S
x
y
2 ( x y 5 y ) dxdy
D xy
dS
的二对重称积性分
z a a x y
2 2 2
O
x
y
2
投影域 Dxy : x
y a
2
2
17
对面积的曲面积分
Σ 是球面 x y z 2 az
2 2 2
对上半球 z a
dS
2 2
a x y
2 2
2
1 z x z y dxdy
2
a a x y
2 2
2
若可分为分片光滑的曲面
1及 2 , 则

f ( x , y , z )d S

1
f ( x , y , z )d S

2
f ( x , y , z )d S
5
对面积的曲面积分
补充：第一类面积分对称性
设分片光滑的曲面Σ 关于yOz面对称,
则

f ( x , y , z )d S
1
O
1
x
16
对面积的曲面积分
计算曲面积分 I

( x y z )d S
2 2 2
的值.
2 2 2 其中Σ 是球面 x y z 2 az .
(a 0)

对面积的曲面积分.

k 1
o
y
x
2.定义:
设为光滑曲面, f (x, y, z) 是定义在上的一个有界函数, 若对做任意分割和局部区域任意取点, “乘积和式极限”
记作 f (x, y, z)d S
都存在, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分. 其中 f (x, y, z) 叫做被积函数, 叫做积分曲面.其中, 表示 n 小块曲面的直径的最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).
(7) 积分中值定理
若f (x, y, z)在光滑曲面上连续,则至少存在一点
( ,, ) ,使得
f (x, y, z)dS f (,, )S
(8) 对称性
若积分曲面具有某种对称性 ,而被积函数 f (x, y, z)对于
该对称性是奇函数，则 f (x, y, z)dS 0.
例如：若关于xoy面是对称的，则当 f (x, y, z)对于变量
二重积分.
例33.1.计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出的顶部.
解:
z
Dxy : x2 y2 a2 h2
1
z x2
z
2 y
h o
Dxy a y x
d S z
a dxdy
2
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
a2 h2 rd r
0
a2 r2
2
a
1 ln(a2 2
r2)
1 zx2 (x, y) z y2 (x, y)dxdy
说明: 1) 如果曲面方程为
x x( y, z), ( y, z) Dyz 或 y y(x, z), (x, z) Dxz

对面积的曲面积分的可代入性和对称性

对面积的曲面积分的可代入性和对称性第十二章曲面积分一、对面积的曲面积分的可代入性对面积的曲面积分中被积函数可代入性：是指可以将曲面的表达式代入被积函数。

所以x , y , z 满足曲面的方程.是定义在曲(,,)f x y z面上的，也就是说以 f (x , y , z ) 的自变量x , y , z 为坐标的点P 就是曲面Σ上,比如：设 f (x , y , z )=xyz 是定义在曲面Σ：z = x 2 + y 2 上，从而 f (x ,y ,z ) 就可以写成 xy (x 2+y 2)，即f (x ,y ,z ) = xy (x 2+y 2).因为 f 中的x , y , z 是约定在曲面之上的，所以 z 的取值为x 2 + y 2 , 而点的坐标必须满足曲面的方程，而二重积分计算时则不能把边界曲线的表达式代入被积函数，满足的关系式通过不等式描述，一般含有“≤”或“≥”。

因为被积函数中的x , y 是平面区域D 内部的点对应的x , y ，此时x , y +≤+⎰⎰22221()d ,x y x y x y σ比如：中的取值限定在圆内，满足的是x 2 + y 2 ≤ 1，所以22221()d x y x y σ+≤+⎰⎰+≤≠⎰⎰2211d .x y σ二、对面积的曲面积分的对称性定义1设曲面∑上任取一点P(x, y, z)，若(x, y, – z)对应的点Q也在∑上，或者说：将∑的关系式中“z”换成“–z”，而关系式不变，则称曲面∑关于xOy面对称.【曲面还可以关于yOz面对称或zOx面对称。

】例如： Σ的关系式为：x2 + y2 + z2= a2 (z ≥ 0), 若将z改成-z，则关系式变成了： x2 + y2 +(-z)2= a2 (-z ≥0),即x2 + y2 + z2= a2 (z ≤ 0),关系式发生了变化，即曲面发生了变化，所以曲面不关于xOy面对称。

当然，如果大家把x改成-x,则关系式不变，所以曲面关于yOz面对称。

对面积的曲面积分

对面积的曲面积分
曲面积分是对一个曲面上某个标量函数的积分，它和常规的二重积分或三重积分类似，只不过积分的对象是曲面上的函数值。

对于一个曲面S，曲面积分的一般形式为：
∫∫S f(x,y,z) dS
其中f(x,y,z)是曲面S上的一个标量函数，dS是曲面S上的面积元素。

在实际计算过程中，需要将曲面分成小面元，然后对每个小面元进行积分，最终将所有小面元的积分累加起来得到整个曲面的积分值。

曲面积分在物理、工程、数学等领域中都有广泛的应用，例如计算电场、磁场、流体力学等。

在数学的研究中，曲面积分也是研究曲面上的微积分和几何学性质的重要工具。

需要注意的是，曲面积分的计算方法和结果与所采用的坐标系有关，通常需要根据具体问题选择合适的坐标系来计算。

- 1 -。

高数对面积的曲面积分讲解

如 : z z( x, y) ，则
dS
1

z
2 x

z
2 y
dxdy
“三投影”认清在二重积分是在区域上
xoy 平面上的投影区域 Dxy 进行的。
Dxy ，
10
2)如果曲面方程为 x x( y, z), ( y, z) Dyz
或 y y( x, z), ( x, z) Dxz
21
例5 设 : x2 y2 z2 a2
z 1
计算 I f ( x, y, z)dS
解锥面 z x2 y2 与上半球面 z
x o Dx y y
a2 x2 y2 的
交线为
设 1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 Dx y ( x, y)

1

x x2
y2
2

y x2
y2
2
O

dxdy

a
2a x
2dxdy
I ( xy y x2 y2 x x2 y2 ) 2dxdy
Dxy
20
y
0 2 x x2 y2dxdy
Dxy

2a cos

2
两片, 则计算较繁。解取曲面面积元素
则
I

0H
2
R2
R dz z2
2 arctan H
R
H
z dz
o
y
x
28
例11 求椭圆柱面
位于xoy面上方及平面
z = y 下方那部分柱面的侧面积 S 。

一,对面积的曲面积分的概念与性质

f(x ,y ,z )d S f[x ,y ,z (x ,y )1 ] zx 2 (x ,y ) zy 2 (x ,y )dx ． d
S
D x y
讨论：如果积分曲面S由方程yy(z, x)给出或由xx(y, z)给出，那么
f(x, y, z)在S上对面积的曲线面积分如何计算?
例 1 计算曲面积分 1 d ，其 S 中 S 是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 被平面 S z zh(0<h<a)截出的顶部．
Mf(x,y,z)dS S
另一方面，设积分曲面S由方程zz(x, y)给出，S在xOy面上的投影区域为Dxy，函数zz(x, y)在Dxy上具有连续偏导数，则光滑曲面S的质量M也可用元素法来求： S上任意点(x, y, z)处的面积元素为dS 1zx2(x,y)zy2(x,y)dxd，y
Dxy 为圆形闭区域：x2y2a 2h 2．又
z
1 z x 2 z y 2 a 2 a x 2 y 2 ． h
于是 1 d S adxdy
S z D x a 2 y x 2 y 2
Dxy
a
2 a 2 h 2 rdr
d x ady
x 2 y 2
Dxy
1 1x
30xd 0 xy(1xy)dy
S1
S2
S4Oຫໍສະໝຸດ 11 Dxy y 3 0 1 x ( 1 6 x ) 3 d 1 3 ． x 2 x 0S 3
质量元素为 d M f[x,y,z(x,y)]1zx 2(x,y)zy 2(x,y)d x，d y
于是质量 M f[x,y,z(x,y)]1zx 2(x,y)zy 2(x,y)dx．dy

对面积的曲面积分

第四节对面积的曲面积分4.1 学习目标了解对面积的曲面积分的概念、性质，掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量 .4.2 内容提要1.定义设函数f x, y,z 在光滑曲面上有界，将曲面任意分成n 小块 s ( S i也表示第i 小块曲面的面积)，在 S i 上任取一点 M i ( i , i , J ，作乘积f( i , i , i ) S i n (i 1,2,L ,n )，并作和 f i , i , is i ，记各小曲面直径的最大值为，如果对曲i 1面的任一分法和点(i , i , i )的任意取法，当 0时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数 f x,y,z 在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记nf(x, y,z)dS lim 0 i 1 f ( i , i , i ) S •【注】定义中的“ S i ”是面积元素，因此，S i 0 .2•性质f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x, y,z)dS ;1 2②当被积函数为1时，积分结果在数值上等于曲面的面积S ，即f (x, y, z)dS S .3.对面积的曲面积分的计算在xoy 面上的投影区域为 D xy ,函数z z x, y 在Dxy同样地:x x y,zf (x, y, z)dSD yzD xy 上具有连续偏导数，被积函数f (x, y,z)在上连续，则f (x,y,z)dSf(x, y,z(x,y)h 1dxdy①关于曲面具有可加性，若12，且1与2没有公共的内点，则设曲面由z z x, y 给出,x y,z , y,z dydz ,:y y z,xf(x,y,z)dS f x, yz,x ,zD xz4•对面积的曲面积分的应用设曲面上任意一点x, y, z处的面密度是x, y,z①曲面的质量x, y, zdS.②曲面的质心x,y,z 2 dzdx .x,y,z dS, x,y,z dS③曲面的转动惯量I x x,y,z dS Iyx, y,zI z x,y,z dS, I o z x, y, z dSdS,x, y,zdS.4.3 典型例题与方法基本题型I :计算对面积的曲面积分1 填空题:x2y2z24，则Q(X2y2)dS由积分区域的对称性知乙x2dS y2dS? z2dS而积分在上进行,乙（x2故应填12832 选择题(A) xdS (C) zdS乙（X2y2)dS - (x23z24,y2)dSa2(z 0),代入上式得,z2)dS .22128在第一卦限中的部分，则有（）4 xdS ；( B) ydS 4 xdS ；1 14 xdS ；( D) xyzdS 4 xyzdS解因为曲面是上半球面，关于yoz 面对称且被积函数f i (x, y,z) x ,f 2(x, y, z) xyz 都是变量X 的奇函数，于是 xdS xyzdS ° .类似地，关于xoz面对称且f 3(x, y,z) y 是变量y 的奇函数，于是 yds 0 .而 xdS 0, xyzdS 0 ,1 1故应选(C ).事实上，由对称性，zdS 4zdS ,zdS xdS, (0正确.1 1 1【方法点击】在计算对面积的曲面积分时，应注意下列技巧： (1) 利用对称性，但要注意，曲面关于某坐标面对称，被积函数关于相应变量具有奇偶性，两者缺一不可.(2)利用积分曲面的方程化简被积函数.例3计算曲面积分 (2x 2y z)ds ，其中是平面2x 2y z 2 0被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分D : 0 x 1,0 y22dSJ 1~x ~ dxdy ^ 2dxdy ,解法2x 2y,z x2,Z y 2.在xoy 平面上的投影是三角形，记为(2x 2y z)ds2g 1 z x 2 z y 2 dxdy6dxdy 3.D解法(2x 2y z)ds 2dS22 3 .【方法点击】在解法二中，将曲面方程代入到了曲面积分里, 形，最后用到了三角形的面积公式 .例 4 计算 | (x2y 2)dS ,因为积分曲面是一个三角为立体.x 2 y2z 1的边界.【分析】］根据积分曲面的方程, 分转化为投影区域上的二重积分进行计算.确定投影区域，计算曲面面积微元dS ，将曲面积1为锥面zx 2 y 2 , 0 z 1，在 1 上,图4-12为z 1上x 2y 21部分，在 2上，dS dxdy ,2 2i, 2在xOy 面的投影区域为D ：x y 1，所以图4-2【注】该题不能将积分曲面向xoy 面作投影，因为投影为曲线，不是区域•基本题型II :对面积的曲面积分的应用(x 21y 2)dS + (x y 2)dS2 (x 2 2 y )、. 2dxdy (xD2y )dxdy(.2 1) (x 2y 2)dxdy (1D3d八2).例5计算 z 2dS ，其中为 x 2 y 24介于z 0,z 6之间的部分•【分析】积分曲面如图11-13所示，此积分为对面积的曲面积分，积分曲面关于xoz 面，yoz 面对称，被积函数是偶函数，则有z 2dS = 4 z 2dS ， 1故可利用对称性解之•解设1 : x 4 y 2,其在yoz 面的投影域为D yz :dS . 1 x y 2x z2dydzdydzz dS = 4 z ? dS =4Ddy 288 .1例6求物质曲面S: z (x2 y2)(0 z 1)的质量，其面密度z((x, y,z) S).2解S在xoy平面上的投影区域D : x2 y2(、‘2)2.解以球心为原点，铅锤直径为Z 轴建立直角坐标系，则球面方程为x 2y 2z 2R 2，且任意点M (x,y, z)处的密度为x 2y 2.设球壳的质心坐标为(x,y,z)，由对称性知，x y 0 .z dS于是球壳的质量为2 R43 R4R12 3 3，于是半球壳的质心坐标为-2R 3 324.4 教材习题解答1.有一个分布着质量的曲面，在点(X, y, z)处它的面密度u(x,y, z)，用对面积的曲面积分表示这曲面对于 x 轴转动惯量。

对面积的曲面积分

高数第四节.对面积的曲面积分 (1)

对面积的曲面积分公式

曲面积分

对面积的曲面积分

同济版大一高数第十一章第四节对面积曲面积分

曲面积分1

高等数学第四节 曲 面 积 分

10-4对面积的曲面积分33410

对面积的曲面积分

对面积的曲面积分.

对面积的曲面积分的可代入性和对称性

对面积的曲面积分

高数 对面积的曲面积分讲解

一,对面积的曲面积分的概念与性质

对面积的曲面积分

高等数学第四节曲面积分

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