探究与发现 祖暅原理与柱体椎体球体体积共28页文档
人教A版课标版必修探究与发现 祖暅原理与柱体椎体球体的体积共27页
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温
42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚
43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊
44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积 (2)
画出教学楼的三视图和直观图，估计教学楼的高、 宽、长及墙壁的厚度、窗户的大小等数据，体会 数学在生活中的应用。
探究柱体的体积
探究锥体的体积
问：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C' B'
A'
C' B'
A'
C
B
CHale Waihona Puke BAA分割成的每个锥体的体积有什么关系？说明理由
锥体的体积：
1 V锥体 3 V柱体
探究球体的体积
课堂小结
知识方面：本节课探究了利用祖暅原理获得柱体、 锥体、球体的体积公式
思维能力方面：体会到联想、类比、猜想、证明 等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面 的重要作用
祖暅原理与 柱体、锥体、球体的体积
甘肃省张掖市实验中学 唐超
明目标、知重点重点
1.了解祖暅原理； 2.能利用祖暅原理求柱体、锥体的体积； 3.能利用祖暅原理求球体的体积
祖暅介绍
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的影响，尤其 是父亲的影响，他从小热爱科学特别是对数学具有浓厚的兴趣。祖 冲之除了在圆周率方面的成就，还与他的儿子祖暅在一起，用巧妙 的方法解决了柱体、锥体、球体的体积计算。他们当时采取的原理， 在西方被称为“卡瓦列利”原理，但这是在租氏父子以后一千多年以 后，被意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念租氏父子的这一伟 大发现，数学上也将这个原理称作“祖暅原理”
小实验
将一叠作业本放在桌子上组成一个几何体，将它们改变一 下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高改变了没 有？几何体的体积改变了没有？说明理由
祖暅原理
“幂势既同，则积不容异"
“幂”是面积，“势”指的是高。
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1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
审
容
膝
之
易
安
。
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
人教A版课标版必修探究与发现 祖暅 原理与柱体椎体球体的体积
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
Байду номын сангаас
人教A版课标版必修探究与发现 祖暅原理与柱体椎体球体的体积27页PPT
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁 爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富 勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处 罚才能 使犯罪 得到偿 还。— —达雷 尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护 。—— 威·厄尔
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积祖暅原理是一种用来计算一些碰撞问题的方法。
它是由荷兰物理学家爱文·伽兹（Awe M. C. J. Gase）在1971年首次提出的。
祖暅原理可以应用于各种情况，包括碰撞、反弹、散射等。
这个原理的基本思想是，根据碰撞前后的动量守恒和能量守恒原理，可以推导出碰撞物体的质量、速度等参数。
柱体、锥体和球体是几何学中常见的三维几何体，它们的体积可以通过数学公式推导得到。
首先来讨论柱体。
柱体是一个具有平行的底面和均匀直径的圆柱形物体。
它的体积可以通过计算底面的面积乘以高度来获得。
具体地说，柱体的体积公式为：V=πr²h，其中r为底面半径，h为柱体的高度。
而锥体是一个具有底面是圆的三角锥形物体。
计算锥体的体积需要先求出底面的面积，再乘以高度的三分之一、锥体的体积公式为：
V=(1/3)πr²h，其中r为底面半径，h为锥体的高度。
最后，球体是一个具有球形的物体。
计算球体的体积需要先求出球的半径，再将半径的三次方乘以π的四分之三、具体地说，球体的体积公式为：V=(4/3)πr³，其中r为球的半径。
以上是关于柱体、锥体和球体的体积计算公式的一些基本介绍。
要具体计算一些物体的体积，需要提供它的底面半径、高度或半径等参数。
同时要注意单位的一致性，确保结果的准确性。
人教版高中数学必修二《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》
在展示评价后，若你仍有补充， 我们奖励 20 分
2020/3/11
题 号 方式
自探一 板书 自探二 板书
展示分工
第五组 第一组
点评分工
展示要求：
1.书面展示要板书工整、规范、快速; 2.组长结合本组情况，适当选派代表; 3.非展示同学继续讨论，完成后结合展示点评，迅速记
积为____。
5，0
2020/3/11
总结本节课内容，重点，难点！ 总结本节课同学们的表现！
2020/3/11
课后探究
利用祖暅原理探究台体的体积公式。 球、柱、台、锥体体积之间的关系。
课后作业：完成课时作业1。
2020/3/11
2020/3/11
学习目标:
（1）能够利用祖暅原理求柱体和锥体的体积。 （2）能够利用祖暅原理求球体的体积。
2020/3/11
祖暅原理 “幂势既同，则积不容异”
2020/3/11
探究一
如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅 原理推导柱体的体积公式吗？
V长方体 S底h
2020/3/11
2020/3/11
2020/3/11
结论 半径为R的球 的体积公式是
V球
4 3
R3
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质疑再探
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运用拓展
1.类比祖暅原理,如图所示,在平面直角坐标系中, 图1是一个形状不规则的封闭图形,图2是一个上 底为1的梯形,且当实数t取[0,3]上的任意值时，直 线y=t被图1和图2所截得的两线段长始终相等， 则图1的面积为___.
2020/3/11
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积课件
类比祖暅原理,如图,在平面直角坐
标系中,图1是一个形状不规则的封
闭图形,图2是一个上底为1的梯形,
且当实数t取[0,3]上的任意值时，
直线y=t被图1和图2所截得的两线
段长始终相等，则图1的面积为___.
祖暅原理
人教版高中数学必修二
2.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原
人教版高中数学必修二
设有底面积都等于S，高都等于h的锥体（如图：
两个棱锥和一个圆锥），使它们的下底面在同一
平面内。你能得到什么结论？
祖暅原理
C1
人教版高中数学必修二
B1 C1
A1
C
B1
A1
B C
A
B
A
祖暅原理
C1
人教版高中数学必修二
B1 C1
A1
C
B1
A1
B C
A
锥体的体积
B
A
V锥体
1
S底h
于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截
面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
祖暅原理的提出要比其他国家的数学家早
一千多年。在欧洲直到17世纪，才有意大利
数学家卡瓦列里提出上述结论。
祖暅原理
人教版高中数学必修二
由祖暅原理可得：V柱体=Sh
其中S 是柱体的底面积， h是柱体的高。
祖暅原理
2.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原
理）：“幂势既同，则积不容异”。“势”即是高，“幂”是
5，
0
面积。意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体
的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等。
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
为什么能用祖暅原理
在西方，球体的体积计算方法虽然早已由希腊数学家 阿基米德发现，但“祖暅原理”是在独立研究的基础上得出 的，且比阿基米德的内容要丰富，涉及的问题要复杂。二 者有异曲同工之妙。这一原理主要应用于计算一些复杂几 何体的体积上面。
在西方，直到17世纪，才由意大利数学家卡瓦列里 (Cavalieri.B,1589-1647)发现。于1635年出版的《连续不 可分几何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为 "卡瓦列里原理"。其实，他的发现要比我国的祖暅晚 1100多年。
球是圆的旋转体，而椭圆、双曲线、 抛物线与圆同属于圆锥曲线，那么椭 圆、双曲线、抛物线绕其对称轴旋转 所得到的几何体，体积又如何求呢？
我们能不能将球的体积的推导方法 迁移到旋转椭球体，旋转双曲体和 旋转抛物体的求法中去？
祖暅原理运用
椭球的体积
将椭圆
x2 a2
y2 b2
1 绕y轴旋转一周所得到的几何体称之
双曲线有两条渐近线， 而椭圆与抛物线则没有。如 果我们从这一差异入手让两条渐近线也一同绕虚轴旋一周， 那么在α与β之间也就形成了一个圆锥体，这正是我们所 需的几何图模型。
祖暅原理运用
祖暅原理运用
评注：对于此问题的解决， 我们没有去构造两个几何体 使它们的体积相等，而是运 用了割补思想，创造性应用 了祖暅原理。在旋转单叶双 曲面问题中， 我们将基本经 验（圆柱体中挖出一个几何 体）进行了调整，将基本要 素：所求几何体、圆锥体、 圆柱体等进行了重组，扩展 了基本原理的适应范围，体 现了创造性思维。
高中数学人教A版2003课标版必修2探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积(共24张PPT)
积。即
1
V锥体 3 sh
例：三个直角三角形如图放置，它们围绕 固定直线旋转一周形成几何体，求出该几 何体的体积（图中的长度单位是厘米）。
先研究半球的体积 思考：
如何找到一个与半球等体积的“替代品”呢？
结论 半径为R的球 的体积公式是
V球
4 R3
例: 一个正四面体的所有棱长都2 是 厘米， 四个顶点都在同一球面上，求此球的体积。
2、三棱锥P-ABC中侧棱PA长为3且垂直于 底面ABC，底面是边长为2的正三角形，求 这个三棱锥外接球的体积。
课后探究 利用祖暅原理探究台体的体积公式。 球、柱、台、锥体体积之间的关系。
当一个人用工作去迎接光明，光明很快就会来照耀着他。人在身处逆境时，适应环境的能力实在惊人。人可以忍受不幸，也可以战胜不幸，因为人有着惊人的 挥它，就一定能渡过难关。倘若你想达成目标，便得在心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。心等待,就可以每一个人都具有特殊能力的电路， 知道，所以无法充分利用，就好像怀重宝而不知其在；只要能发掘出这项秘藏的能力，人类的能力将会完全大改观，也能展现出超乎常人的能力我这一生不曾 和伟大的著作都来自于求助潜意识心智无穷尽的宝藏。那些最能干的人，往往是那些即使在最绝望的环境里，仍不断传送成功意念的人。他们不但鼓舞自己， 成功，誓不休止。灵感并不是在逻辑思考的延长线上产生，而是在破除逻辑或常识的地方才有灵感。真正的强者，善于从顺境中找到阴影，从逆境中找到光亮 进的目标。每一种挫折或不利的突变，是带着同样或较大的有利的种子。什么叫做失败？失败是到达较佳境地的第一步。失败是坚忍的最后考验。对于不屈不 失败这回事。一次失败，只是证明我们成功的决心还够坚强。失败也是我需要的，它和成功对我一样有价值。我们关心的，不是你是否失败了，而是你对失败 失败？失败是到达较佳境地的第一步。没有人事先了解自己到底有多大的力量，直到他试过以后才知道。对于不屈不挠的人来说，没有失败这回事。要成功不 能，只要把你能做的小事做得好就行了。成功的唯一秘诀——坚持最后一分钟。只有胜利才能生存，只有成功才有代价，只有耕耘才有收获。只有把抱怨环境 的力量，才是成功的保证。不要为已消尽之年华叹息，必须正视匆匆溜走的时光。 当许多人在一条路上徘徊不前时，他们不得不让开一条大路，让那珍惜时间 面去。 敢于浪费哪怕一个钟头时间的人，说明他还不懂得珍惜生命的全部价值。成功＝艰苦劳动＋正确的方法＋少说空话。合理安排时间，就等于节约时间。 为我敲已过去了的钟点。人的全部本领无非是耐心和时间的混合物。任何节约归根到底是时间的节约。时间就是能力等等发展的地盘。时间是世界上一切成就 想者痛苦，给创造者幸福。时间是伟大的导师。时间是一个伟大的作者，它会给每个人写出完美的结局来。时间最不偏私，给任何人都是二十四小时；时间也 都不是二十四小时。忘掉今天的人将被明天忘掉。辛勤的蜜蜂永没有时间的悲哀。在所有的批评中，最伟大、最正确、最天才的是时间。从不浪费时间的人， 不够。时间是我的财产，我的田亩是时间。集腋成裘，聚沙成塔。几秒钟虽然不长，却构成永恒长河中的伟大时代。春光不自留，莫怪东风恶。抛弃今天的人 昨天，不过是行去流水越努力，越幸运。人之所以能，是相信能。任何的限制，都是从自己的内心开始的不为失败找理由，只为成功找方法。一个人几乎可以 忱的事情上成功。一切失败都源于执行力太差！从你每天一睁眼开始起，你就要对自己说今天是美好的一天每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到 人想要改造这个世界，但却罕有人想改造自己。积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。世上没有绝望的处境， 人。性格决定命运，气度决定格局，细节决定成败，态度决定一切，思路决定出路，高度决定深度。未曾见过一个早起勤奋谨慎诚实的人抱怨命运不好。伟人 为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标。一个有信念者所开发出的力量，大于99个只有兴趣者。只要有信心，人永远不会挫败 毅力以磨平高山。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达。行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧。一个人最大的破 资产是希望。喜欢追梦的人，切记不要被梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为 再升起；月亮不会因为你的抱怨，今晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！路再长也会有终点， 不管雨下得有多大，总会有停止的时候。乌云永远遮不住微笑的太阳！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿的脖子再长，总 人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认为太阳不可能从西边 到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放弃速度快。得到一件东西 样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环无穷。机遇孕育着挑战，挑战 是千古验证了的定律！种子放在水泥地板上会被晒死，种子放在水里会被淹死，种子放到肥沃的土壤里就生根发芽结果。选择决定命运，环境造就人生！懂得 胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！得之物而失之本，此乃大 要的，他和成功对我一样有价值。我的那些最重要的发现是受到失败的启发而获得的。不会从失败中找寻教训的人，他们的成功之路是遥远的。没有多次失败 5、这世界除了心理上的失败，实际上并不存在什么失败，只要不是一败涂地，你一定会取得胜利的。明智的人决不坐下来为失败而哀号，他们一定乐观地寻找 谬误有多种多样，而正确却只有一种，这就是为什么失败容易成功难脱靶容易中靶难缘故。什么叫做失败，失败是到达较佳境地的第一步。一个人失败的最大 己的能力永远不敢充分的信任；甚至自己认为必将失败无疑败莫败于不自知失败是成功之母，高不过脚底板。凡百事之成也在敬之，其败也必在慢之。成功者 口。因为害怕失败而不敢放手一搏，永远不会成功。为伟大的事业捐躯，从来就不能算做失败。错误经不起失败，但是真理却不怕失败。一个志在有大成就的 所说，知道限制自己。之，什么事都想做的人，其实什么事都不能做，而终归于失败。许多赛跑的人失败，都是失败在最后几步无数人的失败，都是失败于做 做到离成功只差一步就停下来。一经打击就灰心泄气的人，永远是个失败者。人的聪明和自己的明智及道路的选择，往往在失败以后一个人的希望越大，他的 许就越多，就跟一个人走的路越长，踢着的石子会越多一样。失败是坚忍的最后考验。十九次失败，到第二十次获得成功，这叫坚持。在意志力个和斗争性方 往是导致他们成功或失败的重要原因之一。不论成功或失败，都系于自己。
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积祖暅原理是物理学中的一个基本原理，用于描述柱体、锥体和球体的体积关系。
根据祖暅原理，柱体和圆锥的底面积相等时，它们的体积与高度的比相等。
类似地，球体与柱体的底面积相等时，它们的体积与高度的比也相等。
首先，让我们研究一下柱体和锥体的体积关系。
考虑一个高度为h的柱体，底面积为A。
根据祖暅原理，柱体的体积可以用公式V1=A*h表示。
现在考虑一个相似的高度为h的圆锥，底面积为A。
根据祖暅原理，圆锥的体积可以用公式V2=(1/3)*A*h表示。
通过比较V1和V2，可以发现V2=(1/3)*V1、也就是说，圆锥的体积是柱体体积的三分之一、这个结论可以很容易地通过几何推导得出。
因此，我们可以得出结论：柱体和圆锥的体积比为3:1现在让我们来探究柱体和球体的体积关系。
考虑一个高度为h的柱体，底面积为A。
根据祖暅原理，柱体的体积可以用公式V1=A*h表示。
现在考虑一个半径为r的球体，底面积为A。
根据祖暅原理，球体的体积可以用公式V3=(4/3)*π*r^3表示。
通过比较V1和V3，可以发现V3=(4/3)*π*(r^3)=(π/3)*A*h。
也就是说，球体的体积是柱体体积的π/3倍。
这个结论可以通过解析几何方法或积分计算得出。
因此，我们可以得出结论：柱体和球体的体积比为π/3:1最后-柱体和圆锥的体积比为3:1；-柱体和球体的体积比为π/3:1在实际应用中，这些体积关系可以帮助我们计算各种形状的物体的体积。
例如，如果我们知道柱体的底面积和高度，我们可以用公式V=A*h计算其体积。
同样地，如果我们知道球体的半径，我们可以用公式V=(4/3)*π*r^3计算其体积。
这些公式都是根据祖暅原理得出的。
探究和发现祖暅原理与柱体、锥体和球体的体积关系是一个有趣的数学和几何问题。
通过对这些几何形状的体积进行研究，我们可以更好地理解它们之间的关系，并应用于实际问题中。
必修2 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积(共30张PPT)
1 Ｖ圆台＝ 3 πh
(r r 1r 2 r 2 )
2 1
2
反思感悟
问题8：柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么关系？
上底扩大 上底缩小
S 0 1 1 V Sh S S V ( S S S S )h V Sh 3 3 S为底面面积， S为底面面积， S，S’分别为上、下 h为柱体高 h为锥体高 底面面积，h 为台体 高
知道它们前后的体积相等的条件为:
1 .高度相同 2.同一层上每页纸大小(面积)一样 3.每层与放作业本的桌面平行
祖暅的介绍：
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的 影响，尤其是父亲的影响，他从小对数学具有浓 厚的兴趣。祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与 他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体， 球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为 “卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由 意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖氏父子的 这一伟大发现，数学上也称这个原理为“祖暅原理”。
例1：如图，在长方体 ABCD ABC D 中， 截下一个棱锥 C ADD ,求棱锥的体积与剩 余部分的体积之比。 D'
解： 长方体可以看成直四棱柱 ADD' A' BCC ' B '
设它的底面 ADD A 面积为S，高为h， 则它的体积为V Sh 因为棱锥 C A' DD'
探究点二 锥体的体积计算公式
锥体体积公式及其探索思路？
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?
锥体的代表 ? 等底面积等高的 任意两个锥体的 体积相等
+
A’ B’
C’
问题6：三棱柱分割
成三个三棱锥,他们三个 的体积相等吗？为什么？
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
研究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积［教课内容、地位］在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步研究，主要内容为用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；经过模型演示，利用祖暅原理，推行到柱、锥、球体的体积计算 . 经过学习，使学生感觉几何体体积的求解过程，初步认识解决空间几何体问题的思想方法 , 逐渐提升解决空间几何体问题的能力。
［教课编排依照］主假如从学生获取知识按照“从特别到一般，由浅入深，由易到难，顺序渐进”的原则出发，切合学生的认知水平易接受能力 . 教课目的确实定（1）理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；（2）在发现祖暅原理的过程中，领会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；领会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；（3）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特别到一般，从一般到特别的概括演绎的数学思想方法是学习数学观点的基本方法；掌握棱柱、棱锥、球体的体积公式；（4）经过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成就，激发学生的民族骄傲感，提升学生学习数学的兴趣 . 拓展爱国主义感情教育，3、教课的要点、难点（1）柱体、锥体、球体的体积公式的研究（2）学生研究能力的培育二、说教法和几何画板和PPT课件导入与学法，研究实质事例。
教法：1、为了培育学生自主学习的能力以及使得不一样层次的学生都能获取相应的知足 . 所以本节课采纳研究性教课 .2、依据本节课的特色也为了给学生的数学研究与数学思想供给支持.学法：为了发挥学生的主观能动性，提升学生的综合能力，确立了研究性学习法：经过剖析、研究得出柱体、锥体、球体的体积公式；四、教课过程1、教课思路由祖暅原理推导柱、锥以及球的体积．其构造图以下：体积观点祖暅原理长方体的体积转化根据柱的体积三棱柱锥为分解为化为柱代表锥锥之差球的体积锥的体积2、事例设计Ⅰ导入课题回首已经学习的柱体、锥体、球体的体积公式，并提问：这些公式怎么来的?（设计企图：让学生产生疑问，带着疑问主动的研究柱体、锥体、球体的体积公式的由来）Ⅱ研究新知1、祖暅原理的引入经过小实验引入祖暅原理，让学生直观感知祖暅原理的正确性，为接下来的应用祖暅原理推导公式供给理论基础课件名称：祖暅原理．课件运转环境：几何画板 4.0 以上版本．课件主要功能：配合教科书“研究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积”的教课，说明几何体等体积变换的依照．课件制作过程：（ 1）新建画板窗口．如图1，按住 Shift 键，用【画直线】画 4 条直线 AB， CD ，EF ，GH（分别是直线j， k， l ， m）．图 1（2）在直线 j 上画两点 I， J．（3）在直线上画一点 K，在直线 l 上画两点 L ， M，在直线 m 上画两点 N，O．（4）画线段 KL， LN， NO，OM ， MK ．（ 5）在直线 k，l 之间画一条直线PQ（直线 r）．在直线 l ，m 之间画直线RS（直线 s）．（ 6）作出线段 KL 与直线 r 的交点 T．相同作出线段 KM 与直线 r 的交点 U，线段 LN 与直线s 的交点 V，线段 OM 与直线 s 的交点 W．（7）在直线 k， r ，l ， s， m 上分别画一点 X，Y， Z，A1， B1．（8）标志向量TU．依向量TU平移点Y获取Y．相同，标志向量LM，依向量LM平移点 Z 获取 Z ；标志向量VW，依向量VW平移点A1获取 A1；标志向量NO ，依向量VW 平移点 B1获取B1．（ 9）挨次选择点K，L，N，O，M，按Ctrl+P ，填补五边形KLNOM ，实时单击【 Measure】（胸怀）菜单中的【Area】，胸怀出它的面积，如“面积p1 3.93cm2”．（ 10）近似于上一步，用【选择】工具按序选择点X，Y，Z，A1，B1，B1， A1， Z，Y，按 Ctrl+L ，获取一个凹九边形．（11）用【选择】工具按序选择点 X，Y， Z，A1，B1，B1，A1，Z，Y，并单击【Construct 】（作图）菜单中的【 Polygon Interior 】（多边形内部）给这个凹九边形内部填补，实时单击【 Measure】菜单中的【 Area 】，胸怀出凹九边形的面积，如“面积p2 3.93cm2”．（ 12）如图 2，用【画点】工具在直线j 上画一点C1（位于点J 的左侧）．过点C1作出直线 j 的垂线（直线a）．用【选择】工具作出直线 a 与直线 k 的交点D1．图 2（ 13）双击点I，把点I 标志为缩放中心．选中五边形KLNOM （边与极点）及其内部，并单击【Transform 】（变换）菜单中的【Dilate 】（缩放），弹出对话框，把缩放改为1： 3，单击【Dilate 】，获取一个小的五边形KLNOM．选择它的内部，并单击【Measure】菜单中的【Area】，胸怀出它的面积，“面积p10.44cm2”．（14）用【选择】工具双击点 J，把点 J 标志为缩放中心．选中凹九边形（边与极点）及其内部，并单击【 Transform 】菜单中的【 Dilate 】．相同，以 1：3 缩放获取一个小的凹九边形，胸怀出它的面积“面积 p20.44 cm2”．（ 15）画直线K X，获取直线b，作出直线 b 与直线 a 的交点E1．（16）用【画线段】工具把点E1和D1用线段连接起来．（17）在线段E1D1上画点F1，用【画线段】工具作出线段F1C1（线段 c），C1E1（线段 d）．（18）先后选择线段 c，d，并单击【 Transform 】菜单中的【 Mark Segment Ratio 】（标志线段比）标志为 c/d．（ 19）用【选择】工具双击点I ，把点 I 标志为缩放中心．选择五边形KLNOM （边与极点）及其内部，并单击【Transform 】菜单中的【Dilate 】，弹出对话框，单击【Dilate 】，如图3，获取一个小的五边形K LNOM．选择它的内部，并单击【Measure】菜单中的【Area 】，胸怀出它的面积，“面积p1 1.70cm2”．图 3（ 20）近似地，也把凹九边形及其内部按相同的缩放比对于中心点J 缩放，胸怀缩放后的对象的面积“面积p2 1.70cm2”．（ 21）画线段KK , LL , NN , OO , MM，作出一个五棱台．（ 22）画线段XX , YY ,...，作出右侧的凹九棱台．2．研究柱体的体积公式III. 拓展爱国主义感情教育祖暅，祖冲之之子，同其父祖冲之一同圆满解决了球面积的计算问题，获取正确的体积公式。