探究与发现 祖暅原理与柱体椎体球体体积共28页文档
人教版数学高一必修二第一章探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
人教版数学高一必修二第一章探究与 发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
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1.边塞诗的作者大多一些有切身边塞 生活经 历和军 旅生活 体验的 作家， 以亲历 的见闻 来写作 ；另一 些诗人 用乐府 旧题来 进行翻 新创作 。于是 ，乡村 便改变 成了另 一种模 样。正 是由于 村民们 的到来 ，那些 山山岭 岭、沟 沟坪坪 便也同 时有了 名字， 成为村 Байду номын сангаас们最 朴素的 方位标 识.
简要介绍祖暅(gèng)原理，(教材P30） 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。
利用上述原理推导柱体和锥体的体积公式：
探究柱体的体积公式 如图，下面是底面积都等于S，，高都等于 h的任意棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅 原理推导柱体的体积公式吗？
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6.抓住课文中的主要内容和重点句子 ，引导 学生从 “摇花 乐”中 体会到 作者对 童年生 活的和 对家乡 的怀念 之情。
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7.桂花是没有区别的，问题是母亲不 是在用 嗅觉区 分桂花 ，而是 用情感 在体味 它们。 一亲一 疏，感 觉自然 就泾渭 分明了 。从中 ，我们 不难看 出，家 乡在母 亲心中 的分量 。
高中数学 第一章 空间几何体 探究与发现 祖暅原理与柱
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
一、 祖暅原理
为了求一般柱体、锥体的体积，我们简要介绍一下祖暅（gèng）原理.
祖暅，字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县（今河北省涞源县）人，南北朝时代的伟大科学家.祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个屏幕的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
如图1，夹在平行平面间的两个几何体（它们的形状可以不同），被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面（阴影部分）的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.
这个原理是非常浅显易懂的.例如，取一摞纸堆放在桌面上组成一个几何体（图2），将她改变一下形状，这个几何体形状发生了改变，得到了另一个几何体，但两个几何体的高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而两个几何体的体积相等.利用这个原理和长方体体积公式，我们能够求出柱体、锥体、台体和球体的体积.
祖暅提出上面的原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B ，1598-1647）提出上述结论.
二、柱体与锥体的体积
下面我们用祖暅原理推导柱体和锥体的体积公式.
设有底面积都等于S ，高都等于h 的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使他们的下底面在同一平面内（图3）.根
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积 (2)
甘肃省张掖市实验中学 唐超
明目标、知重点重点
1.了解祖暅原理； 2.能利用祖暅原理求柱体、锥体的体积； 3.能利用祖暅原理求球体的体积
祖暅介绍
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的影响，尤其 是父亲的影响，他从小热爱科学特别是对数学具有浓厚的兴趣。祖 冲之除了在圆周率方面的成就，还与他的儿子祖暅在一起，用巧妙 的方法解决了柱体、锥体、球体的体积计算。他们当时采取的原理， 在西方被称为“卡瓦列利”原理，但这是在租氏父子以后一千多年以 后，被意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念租氏父子的这一伟 大发现，数学上也将这个原理称作“祖暅原理”
探究柱体的体积
探究锥体的体积
问：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C' B'
A'
C' B'
A'
C
B
C
B
Hale Waihona Puke Baidu
A
A
分割成的每个锥体的体积有什么关系？说明理由
锥体的体积：
1 V锥体 3 V柱体
探究球体的体积
课堂小结
知识方面：本节课探究了利用祖暅原理获得柱体、 锥体、球体的体积公式
思维能力方面：体会到联想、类比、猜想、证明 等合情推理及逻辑推理的方法在探索新知识方面 的重要作用
祖暅原理与柱体、锥体的体积+课件-专题课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
1
2
3
底面积为S，高为h的锥体体积公式：
1 V锥体 3 Sh
课堂小结
总结：你今天有什么收获呢？
知识方面：学习了祖暅原理、利用祖暅原理推导出了 柱体的体积公式，进而推导了锥体的体积公式
思想方法：学习了转化的思想，体验了“由特殊到一 般”、“类比推理”的数学研究方法
课后探究
探究：你能推导台体的公式吗？
1.等高处水平截面面积相等
2.等底等高的锥体体积相等
x
S截面
h
x
2
S h
二、锥体的体积
尝试与发现：能由三棱柱体积公式得到三棱锥的体积计算 公式吗？
二、锥体的体积
尝试与发现：能由三棱柱体积公式得到三棱锥的体积计算 公式吗？
二、锥体的体积
尝试与发现：能由三棱柱体积公式得到三棱锥的体积计算 公式吗？
1.等高处水平截面面积相等 2.等底等高的柱体体积相等
V柱体 Sh
二、锥体的体积
探究：如图，底面积都等于S，高都等于h的任意锥体体积 之间具有怎样的关系？
S截面
h
x
2
S h
x
二、锥体的体积
探究：如图，底面积都等于S，高都等于h的任意锥体体积 之间具有怎样的关系？
二、锥体的体积
探究：如图，底面积都等于S，高都等于h的任意锥体体wk.baidu.com 之间具有怎样的关系？
探究与发现祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积
［教学内容、地位］
在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容为用祖暅原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；通过模型演示，利用祖暅原理，推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解解决空间几何体问题的思想方法,逐步提高解决空间几何体问题的能力。
［教学编排依据］
主要是从学生获取知识遵循“从特殊到一般，由浅入深，由易到难，循序渐进”的原则出发，符合学生的认知水平和接受能力.
教学目标的确定
（1）理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法；
（2）在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；
（3）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握棱柱、棱锥、球体的体积公式；
（4）通过介绍我国古代数学家对几何体体积研究的成果，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣.拓展爱国主义情感教育，
3、教学的重点、难点
（1）柱体、锥体、球体的体积公式的探究
（2）学生探究能力的培养
二、说教法和几何画板和PPT课件导入与学法，探索实际案例。
教法：
1、为了培养学生自主学习的能力以及使得不同层次的学生都能获得相应的满足.因此本节课采用探究性教学.
2、根据本节课的特点也为了给学生的数学探究与数学思维提供支持.
学法：为了发挥学生的主观能动性，提高学生的综合能力，确定了探究性学习
祖暅原理与柱体锥体球体的体积
探究与发现:
祖眶原理与柱体、锥体、球体的体积
一、教材分析
本节是必修2第一章的“探究与发现”内容，是在学生已经初步学习了柱体、锥体、球体的体积公式的基础之上对体积公式的由来的进一步探究，主要内容是用祖唯原理推导柱体、锥体、球体的体积公式；通过模型演示，利用祖瞄原理，推广到柱、锥、球体的体积计算.通过学习，使学生感受几何体体积的求解过程，初步了解空间几何体问题的思想方法，逐步提高解决空间几何体问题的能力.在推理的过程中，感受我国文化的魅力，通过数形结合导出柱、锥、球体的体积公式.这些过程正是培养和发展学生逻辑推理、数学直观、数学抽象、和数学建模等数学学科核心素养的重要过程.
二、学情分析
学生己经掌握了第一章的基础之上，对空间几何体具有一定的直观感知、操作确认、度量计算等方法.他们的思维正从经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依赖一定的具体形象的实物来理解抽象的逻辑关系.同事思维的严密性需要进一步加强.
三、设计思路
1、由祖随原理推导柱、锥、球的体积.其知识设计结构图如下:
2、结合唐特工作室的雾误悟教学思想：博学・审问•明辨•笃行的教学设计路线.在本节课的教学中我努力实践以下两点：
(1)在课堂活动中通过师生合作、自主探究培养学生积极主动、勇于探索的学习方式.
(2)在教学过程中努力做到生生对话、师生对话，并且在对话之后重视体会、总结、反思，充分利用错误资源，力争在培养学生数学知识的同时让学生感受数学文化.
（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要；同时通过本节课的学习，培养学生主动学习、善于观察、灵活应用的能力.
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
柱的体积
1. 这三个柱体等高，所以可夹在两个平行平面之间； 2. 三个柱体被平行于两平面的任意平面所截； 3. 三个截面的面积总相等．
柱的体积
定理 柱体的体积等于它的底面积S和高h的积 V=Sh
锥的体积
如何把一个三棱柱分割成三个等体积的棱锥？
如图，我们可以把三棱柱分割成三个等体积的三棱 锥。三棱锥如果以三角形ABC为底面。这说明三棱锥 的体积等于它的底面积乘以高的积的三分之一。
锥的体积
事实上，对于一个任意的锥体，设它的底面积为 S，高为h，那么锥体的体积等于三分之一的底乘高， 即
V 1 Sh 3
球的体积
我们不妨研究半球（半径为R）的体积，用平行于底面且与底面
的距离为l 的平面截半球，所得的圆面半径为r， r R2 l 2.
球的体积
我们取一个底面半径和高都为R的圆柱，从圆柱中间挖去 一个圆锥（圆锥的顶点为圆柱下底面的圆心，底面为圆柱 的上底面）.
2. 计算如图半球在高度h处的截面面积 R h R
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祖暅原理运用
球的体积的推导在中学教材中是构造性证 明的典范，也是我国古代数学的杰出成就之一。 在中学教材中对其有详细的推导过程，但如果 我们只停留在球的体积推导上面，那么这种构 造性证明对思维的锻炼价值就不能得到充分发 挥。所以请思考如下问题：
祖暅原理运用
高中数学新人教版A版精品教案《探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》
《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》教学设计
抚远一中：张坤
一、教学目标：
知识与技能：理解祖暅原理的含义，理解运用祖暅原理推导柱体、锥体、球体体积的思路与方法。掌握柱体、锥体、球体的体积公式并能运用这些公式解决相关问题。
过程与方法：通过实物展示、动画展示和学生动手操作实验，引导学生分组合作、探究学习。学生经历观察、猜想、证明的过程，充分体会到祖暅原理的含义及应用。提高学生归纳推理能力和形成用割补法解题的数学思想方法。
情感、态度、价值观：学生通过了解祖暅和他父亲祖冲之在数学方面的伟大贡献，激发了他们学习数学的兴趣与热情，弘扬了民族自尊心与自豪感。
二、教学重、难点：
教学重点：利用祖暅原理探究柱体、锥体、球体的体积及运用体积公共解决问题。
教学难点：利用祖暅原理探究球体积公式的猜想及证明。
三、教学方法及教具准备：
教学方法：探究讨论法、启发引导式、数学实验法
教具准备：电子白版、PPT、圆柱、半球、圆锥模型，水、豆粒等。
四、教材分析：
《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》是新课标2021人教A版高中数学必修二第一章《空间几何体》第三节后面的探究与发现内容。是在学生们已经认识了简单几何体、组合体、三视图及知道了柱体、锥体、球体体积公式的基础上来学习研究的。本节内容主要是通过数学实验法，利用祖暅原理来研究柱体、锥体、球体的体积。本节内容的设计，一方面让学生通过了解祖暅这位伟大的数学家，对祖暅原理产生浓厚的探究兴趣；另一方面通过本节内容的学习，学生们不仅可以掌握棱柱、棱锥、球的体积公式，还可以利用祖暅原理求一些不规则几何体的体积，可以进一步提高学生们的空间想象能力，也激发了学生强烈的探索欲望，油然而生了民族自豪感。
必修2 探究与发现 祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积(共30张PPT)
第一章 空间几何体
河北定州中学 刘金凤
问题1长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的 体积是什么？ 能否用另外一种形式来表示长方体的体积呢？
V
长方体
abc
V
长方体
sh
问题2改变一下形状，底面积和高有没有改变？
如果用一个平行于水平面的平面去截这堆书，这些 水平截面的面积有什么关系？ 体积有没有改变？ 从这个事实中你得到什么启发？
3.计算组合体的体积时，通常将其转化为计算柱、锥、 台、球等常见的几何体的体积和. 4. 化归思想、极限思想.
反思提升：
多面体和圆柱，圆锥，圆台的表面积我们 可以用展开几何体的方式得到，球能展开 吗？你能否用我们今天学到的球的体积公 式得到球的表面积公式呢？
R
R
步骤
１．拿出圆锥 和圆柱
２．将圆锥倒立放 入圆柱
３．取出半球和新的几何体做它们的截面
R
结论:截面面积相等
则两个几何体的体积相等
V球
4 R 3 3
学以致用
例、下图是一个奖杯的三视图(单位:cm),试讲出它由那些 几何体构成,并计算这个奖杯的体积(精确到0.01cm)。
学以致用
画出奖杯的水平直观图 并计算体积
V柱体= sh
推论 底面半径为r，高为h圆柱的体积是
V圆柱= r2h
高中数学人教A版必修2第一章《探...
高中数学人教A版必修2第一章《探...
高中数学人教A版必修2第一章《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课公开课教案教师资格证面
试试讲教案
1教学目标
(1)理解祖暅原理以及棱柱、棱锥、和棱台的体积公式的推导方法
(2)掌握棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式
(3)能够运用棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式解决相关问题
2学情分析
教学对象是高一基础较好的学生,学生运算能力强;具备一定的逻辑推理能力与类比、知识迁移的能力;具有一定的观察、分析、解决、归纳问题的能力;学生在初中已经学习了位似图形面积比与相似比的关系,学习了长方体、正方体的体积公式,在此基础上教师能够先采用实物演示的方式,引导学生发现归纳出祖暅原理,学生能够以祖暅原理与初中知识为工具进一步的推导出柱体、椎体、台体、球体的体积公式。
3重点难点
重点:祖暅原理以及棱柱、棱锥、棱台和球体的体积公式的推导方法
难点:对祖暅原理的理解及对棱柱、棱锥、棱台和球的体积公式的推导方法的理解
4教学过程
4.1第一学时
4.1.1教学活动
活动1【导入】引入新课
高中数学第一章空间几何体探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积课件3新人教A版必修2
学习目标:
（1）能够利用祖暅原理求柱体和锥体的体积。 （2）能够利用祖暅原理求球体的体积。
祖暅的介绍：
祖暅是南北朝时代著名数学家祖冲之的儿子。受家庭的 影响，尤其是父亲的影响，他从小热爱科对数学具有浓 厚的兴趣。祖冲之除了在计算圆周率方面的成就，还与 他的儿子祖暅一起，用巧妙的方法解决了柱体，锥体， 球体的体积计算。他们当时采用的原理，在西方被称为 “卡瓦列利”原理，但这是在祖氏父子以后一千多年才由 意大利数学家卡瓦列利发现的。为了纪念祖氏父子的 这一伟大发现，数学上也称这个原理为“祖暅原理”。
布置作业： 画出教学楼的三视图和直观图， 估计教学楼的高度、长度、宽度及墙 壁的厚度、窗户的大小等数据。体会 几何学在现实生活中的应用。
分成的每个锥体的体积有什么关系？说明理由。
锥体的体积
V锥体
1 S底h 3
探究球体的体积
如图，设平行于大圆且与大圆的距离为l的平面 截半球所得圆面的半径为r，r= R 2 l 2 于是截面面积 S
r ( R 2 l 2 ) R 2 l 2
2
则红色部分也可以看成是什么图形的面积？
小实验：将一叠作业本放在桌面上组成一个几何体，将它改变一 下形状，几何体的形状发生了改变，几何体的高发生改变了吗？ 几何体的体积发生改变了吗？说明理由！
祖暅原理
祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积优秀课件
作业布置
画出教学楼的三视图和直观图，估计教学楼的 高度、长度、宽度及墙壁的厚度、窗户的大小 等数据。体会几何学在现实生活中的应用。
谢谢！
祖暅(gèng)原理
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面 (阴影部分)的面积都相等,那么这两个几何体的 体积一定相等。
探究一:柱体的体积
如图，下面是底面积都等于S,高都等于h的任意 棱柱，圆柱和长方体，你能用祖暅原理推导柱体 的体积公式吗？
探究锥体的体积公式
思考1：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
C1
B1 C1
B1
A1
A1
C
BC
B
A
A
思考2:每个锥体的体积有什么关系？说明理由。
锥体的体积
V锥体
1 3
S底h
课堂小结：
知识方面： 本节探究了利用祖暅原理获得了柱体、锥体、球 体的体积公式。
谈谈你对数学的历史了解吗?你对数学文化有哪 些感悟?
汉克尔曾说数学科学的特点是:高度的抽象性,体 系的严谨性,应用的广泛性,发展的延续性.
• 课题名称： 《祖暅原理与柱体、锥体、球体的体积》 • 年 级： 高 Biblioteka Baidu • 版 本 ： 人教A版 • 教 材 ： 必修二
祖暅原理与柱、锥、台、球体的体积 PPT
用平行于底的的平面截柱体，截面面积相等 吗？为什么？
棱柱、圆柱的截面性质:平行于底面的截面与底面全等.
问题4长方体的体积计算公式
能否推广到一般的棱柱（圆柱） 体积的计算呢？
由祖暅原理可知：等底面积等高的任意两个柱体的
体积 相等，而长方体的体积为V长方体= sh，所以与
长方体等底面积等高的棱柱、圆柱有如下定理：
解： 六角螺帽的体积V是一个正六棱柱的体积V1与一个圆柱的 体积V2的差
V1 V2
3 122 6 10
4 3.14
来自百度文库
10 2
2
10
3.74 103 0.785 103
mm3 mm3
所以一个毛坯的体积为
V 3.74103 0.785103 2.96103 mm3 2.96cm3
S为底面面积，
h为锥体高
底面面积，h 为台体 h为柱体高
高
学以致用
例1：如图，在长方体 ABCD ABCD 中，
截下一个棱锥 C ADD ,求棱锥的体积与剩
余部分的体积之比。
D'
解： 长方体可以看成直四棱柱 ADD'A' BCC'B'
A'
设它的底面 ADD'A' 面积为S，高为h，
C' B'
锥体的体积公式Ｖ锥体＝?