第3章_曲线拟合的最小二乘法

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计算方法第三章曲线拟合的最小二乘法20191103

§2 多项式拟合函数
例3.1 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差
x 1 23 4 6 7 8 y 2 36 7 5 3 2
解: step1: 描点
7
*
step2: 从图形可以看出拟
6 5
*
合曲线为一条抛物线：
4
y c0 c1 x c2 x2
3 2 1
* *
* * *
step3: 根据基函数给出法
法
18
定理法方程的解是存在且唯一的。
证：法方程组的系数矩阵为
(0 ,0 ) (1 ,0 )
G
(0
,1
)
(1 ,1 )
(0 ,n ) (1 ,n )
(n ,0 )
(
n
,
1
)
(n ,n )
因为0( x),1( x), ...,n( x)在[a, b]上线性无关，
所以 G 0,故法方程 GC F 的解存在且唯一。
第三章曲线拟合的最小二乘法
2
最小二乘拟合曲线
第三章曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
3
三次样条函数插值曲线
第三章曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
4
Lagrange插值曲线
第三章曲线拟合的最小二乘
2021/6/21
法
5
一、数据拟合的最小二乘法的思想
已知离散数据： ( xi , yi ), i=0,1,2,…,m ,假设我们用函
便得到最小二乘拟合曲线
n
* ( x) a*j j ( x) j0
为了便于求解，我们再对法方程组的导出作进一步分析。
第三章曲线拟合的最小二乘

曲线拟合的最小二乘法实验

Lab04．曲线拟合的最小二乘法实验【实验目的和要求】1．让学生体验曲线拟合的最小二乘法，加深对曲线拟合的最小二乘法的理解；2．掌握函数ployfit和函数lsqcurvefit功能和使用方法，分别用这两个函数进行多项式拟合和非多项式拟合。

【实验内容】1．在Matlab命令窗口，用help命令查询函数polyfit和函数lsqcurvefit 功能和使用方法。

2．用多项式y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)，再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0，1)均匀分布随机数，或用randn产生N(0，1)均匀分布随机数)，然后对xi和添加了随机干扰的yi用Matlab提供的函数ployfit用3次多项式拟合，将结果与原系数比较。

再作2或4次多项式拟合，分析所得结果。

3．用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为，其中V0是电容器的初始电压，τ是充电常数。

对于下面的一组t，v数据，用Matlab提供的函数lsqcurvefit确定V0和τ。

t(秒) 0.5 1 2 3 4 5 7 9v(伏) 6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63 【实验仪器与软件】1．CPU主频在1GHz以上，内存在128Mb以上的PC；2．Matlab 6.0及以上版本。

实验讲评：实验成绩：评阅教师：200 年月日问题及算法分析：1、利用help命令，在MATLAB中查找polyfit和lsqcurvefit函数的用法。

2、在一组数据(xi，yi)(i=1，2，…，n)上，对yi上添加随机干扰，运用多项式拟合函数，对数据进行拟合（分别用2次，3次，4次拟合），分析拟合的效果。

3、根据t和V的关系画散点图，再根据给定的函数运用最小二乘拟合函数，确定其相应参数。

第一题：（1）>> help polyfitPOLYFIT Fit polynomial to data.P = POLYFIT(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial P(X) ofdegree N that fits the data Y best in a least-squares sense. P is arow vector of length N+1 containing the polynomial coefficients indescending powers, P(1)*X^N + P(2)*X^(N-1) +...+ P(N)*X + P(N+1).[P,S] = POLYFIT(X,Y,N) returns the polynomial coefficients P and astructure S for use with POLYVAL to obtain error estimates forpredictions. S contains fields for the triangular factor (R) from a QRdecomposition of the Vandermonde matrix of X, the degrees of freedom(df), and the norm of the residuals (normr). If the data Y are random,an estimate of the covariance matrix of P is(Rinv*Rinv')*normr^2/df,where Rinv is the inverse of R.[P,S,MU] = POLYFIT(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial inXHAT = (X-MU(1))/MU(2) where MU(1) = MEAN(X) and MU(2) = STD(X). Thiscentering and scaling transformation improves the numerical propertiesof both the polynomial and the fitting algorithm.Warning messages result if N is >= length(X), if X has repeated, ornearly repeated, points, or if X might need centering and scaling.Class support for inputs X,Y:float: double, singleSee also poly, polyval, roots.Reference page in Help browserdoc polyfit>>（2）>> help lsqcurvefitLSQCURVEFIT solves non-linear least squares problems.LSQCURVEFIT attempts to solve problems of the form:min sum {(FUN(X,XDATA)-YDATA).^2} where X, XDATA, YDATA and the valuesX returned by FUN can be vectors ormatrices.X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA) starts at X0 and finds coefficients Xto best fit the nonlinear functions in FUN to the data YDATA (in theleast-squares sense). FUN accepts inputs X and XDATA and returns avector (or matrix) of function values F, where F is the same size asYDATA, evaluated at X and XDATA. NOTE: FUN should returnFUN(X,XDATA)and not the sum-of-squares sum((FUN(X,XDATA)-YDATA).^2).((FUN(X,XDATA)-YDATA) is squared and summed implicitly in thealgorithm.)X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB) defines a set of lower andupper bounds on the design variables, X, so that the solution is in therange LB <= X <= UB. Use empty matrices for LB and UB if no boundsexist. Set LB(i) = -Inf if X(i) is unbounded below; set UB(i) = Inf ifX(i) is unbounded above.X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB,OPTIONS) minimizes with thedefault parameters replaced by values in the structure OPTIONS, anargument created with the OPTIMSET function. See OPTIMSET for details.Used options are Display, TolX, TolFun, DerivativeCheck, Diagnostics,FunValCheck, Jacobian, JacobMult, JacobPattern, LineSearchType,LevenbergMarquardt, MaxFunEvals, MaxIter, DiffMinChange andDiffMaxChange, LargeScale, MaxPCGIter, PrecondBandWidth, TolPCG,OutputFcn, and TypicalX. Use the Jacobian option to specify that FUNalso returns a second output argument J that is the Jacobian matrix atthe point X. If FUN returns a vector F of m components when X has length n, then J is an m-by-n matrix where J(i,j) is the partialderivative of F(i) with respect to x(j). (Note that the Jacobian J isthe transpose of the gradient of F.)[X,RESNORM]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,...) returns the valueof thesquared 2-norm of the residual at X: sum {(FUN(X,XDATA)-YDATA).^2}.[X,RESNORM,RESIDUAL]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,...) returns the value of residual,FUN(X,XDATA)-YDATA, at the solution X.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,...) returnsan EXITFLAG that describes the exit condition of LSQCURVEFIT. Possiblevalues of EXITFLAG and the corresponding exit conditions are1 LSQCURVEFIT converged to a solution X.2 Change in X smaller than the specified tolerance.3 Change in the residual smaller than the specified tolerance.4 Magnitude of search direction smaller than the specified tolerance.0 Maximum number of function evaluations or of iterations reached.-1 Algorithm terminated by the output function.-2 Bounds are inconsistent.-4 Line search cannot sufficiently decrease the residual alongthecurrent search direction.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA ,...)returns a structure OUTPUT with the number of iterations taken inOUTPUT.iterations, the number of function evaluations inOUTPUT.funcCount,the algorithm used in OUTPUT.algorithm, the number of CG iterations (ifused) in OUTPUT.cgiterations, the first-order optimality (if used)inOUTPUT.firstorderopt, and the exit message in OUTPUT.message.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDAT A,YDATA,...)returns the set of Lagrangian multipliers, LAMBDA, at the solution:LAMBDA.lower for LB and LAMBDA.upper for UB.[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA,JACOBIAN]=LSQCURVEFIT(FU N,X0,XDATA,YDATA,...)returns the Jacobian of FUN at X.ExamplesFUN can be specified using @:xdata = [5;4;6]; % example xdataydata = 3*sin([5;4;6])+6; % example ydatax = lsqcurvefit(@myfun, [2 7], xdata, ydata)where myfun is a MATLAB function such as:function F = myfun(x,xdata)F = x(1)*sin(xdata)+x(2);FUN can also be an anonymous function:x = lsqcurvefit(@(x,xdata) x(1)*sin(xdata)+x(2),[2 7],xdata,ydata)If FUN is parameterized, you can use anonymous functions to capture theproblem-dependent parameters. Suppose you want to solve the curve-fittingproblem given in the function myfun, which is parameterized by its secondargument c. Here myfun is an M-file function such asfunction F = myfun(x,xdata,c)F = x(1)*exp(c*xdata)+x(2);To solve the curve-fitting problem for a specific value of c, first assignthe value to c. Then create a two-argument anonymous function that capturesthat value of c and calls myfun with three arguments. Finally, pass thisanonymous function to LSQCURVEFIT:xdata = [3; 1; 4]; % example xdataydata = 6*exp(-1.5*xdata)+3; % example ydatac = -1.5; % define parameterx = lsqcurvefit(@(x,xdata) myfun(x,xdata,c),[5;1],xdata,ydata) See also optimset, lsqnonlin, fsolve, @, inline.Reference page in Help browserdoc lsqcurvefit>>第二题：1 三次线性拟合clear allx=0:0.5:5;y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;y1=y;for i=1:length(y)y1(i)=y1(i)+rand;enda=polyfit(x,y1,3);b=polyval(a,x);plot(x,y,'*',x,b),aa =1.0121 -6.1033 5.1933 -2.4782② 二次线性拟合clear allx=0:0.5:20;y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;y1=y;for i=1:length(y)y1(i)=y1(i)+rand;enda=polyfit(x,y1,2);b=polyval(a,x);plot(x,y,'*',x,b),aa =23.9982 -232.0179 367.9756③ 四次线性拟合clear allx=0:0.5:20;y=x.^3-6*x.^2+5*x-3;y1=y;for j=1:length(y)y1(j)=y1(j)+rand;enda=polyfit(x,y1,4);b=polyval(a,x);plot(x,y,'*',x,b),aa =-0.0001 1.0038 -6.0561 5.2890 -2.8249 >>第三题：1 拟合曲线为：f(x)=定义函数：function f=fun(a,x)f=a(1)-(a(1)-a(2))*exp(-a(3)*x);主程序：clear allclcx=[0.5 1 2 3 4 5 7 9];y=[6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63];a0=[1 1 1];a=lsqcurvefit('fun',a0,x,y);y1=a(1)-(a(1)-a(2))*exp(-a(3)*x);plot(x,y,'r*',x,y1,'b')V1=a(2)tei=1/a(3)Optimization terminated: relative function value changing by less than OPTIONS.TolFun.。

曲线拟合——最小二乘法算法

曲线拟合——最小二乘法算法一、目的和要求1）了解最小二乘法的基本原理，熟悉最小二乘算法；2）掌握最小二乘进行曲线拟合的编程，通过程序解决实际问题。

二、实习内容1）最小二乘进行多项式拟合的编程实现。

2）用完成的程序解决实际问题。

三、算法1）输入数据节点数n ，拟合的多项式次数m ，循环输入各节点的数据x j , y j (j=0,1,…,n-1)2）由x j 求S ；由x j ,y j 求T ：S k =∑-=10n j k j x ( k=0,1,2, … 2*m ) T k = ∑-=10n j k j j x y ( k=0,1,2,… m )3）由S 形成系数矩阵数组c i,j ：c[i][j]=S[i+j] (i=0,1,2,…m, j=0,1,2,…,m)；由T 形成系数矩阵增广部分c i,m+1：c[i][m+1]=T[i] (i=0,1,2,…m)4）对线性方程组CA=T[或A C ]，用列主元高斯消去法求解系数矩阵A=(a 0,a 1,…,a m )T四、实验步骤1）完成最小二乘法进行曲线拟合的程序设计及录入、编辑；2）完成程序的编译和链接，并进行修改；3）用书上P105例2的例子对程序进行验证，并进行修改；4）用完成的程序求解下面的实际问题。

5）完成实验报告。

五、实验结果1. 经编译、链接及例子验证结果正确的源程序：#include<stdio.h>#include<math.h>#define Q 100float CF(int,float);main(){int i,j,n1,n,p,k,q;float x[Q],y[Q],s[Q]={0},t[Q]={0},a[Q][Q]={0},l,sum=0;/*以下是最小二乘的程序*/printf("input 数据组数n");scanf("%d",&n);printf("input 拟合次数n1");scanf("%d",&n1);for(i=0;i<n;i++){printf("x[%d]=",i);scanf("%f",&x[i]);printf("y[%d]=",i);scanf("%f",&y[i]);}for(i=0;i<=2*n1;i++)for(j=0;j<n;j++){s[i]=s[i]+CF(i,x[j]);if(i<=n1)t[i]=t[i]+y[j]*CF(i,x[j]);}for(i=0;i<n1+1;i++)for(j=0;j<n1+2;j++){a[i][j]=s[i+j];if(j==n1+1)a[i][j]=t[i];}for(i=0;i<n1+1;i++)for(j=0;j<n1+2;j++)printf("a[%d][%d]=%f",i,j,a[i][j]); /*以下的是削去法的程序*/for(j=0;j<=n1-1;j++){p=j;for(i=j+1;i<=n1;i++){if(fabs(a[j][j])<fabs(a[i][j]))p=i;}if(p!=j)for(i=j;i<=n1+1;i++){l=a[p][i];a[p][i]=a[j][i];a[j][i]=l;}for(k=j+1;k<=n1;k++){l=a[k][j]/a[j][j];for(q=j;q<=n1+1;q++)a[k][q]=a[k][q]-l*a[j][q];}}for(i=0;i<n1+1;i++){for(j=0;j<n1+2;j++)printf("a[%d][%d]=%f\n",i,j,a[i][j]);printf("\n");}x[n1]=a[n1][n1+1]/a[n1][n1];for(i=n1-1;i>=0;i--){for(j=i+1;j<=n1;j++)sum=a[i][j]*x[j]+sum;x[i]=(a[i][n1+1]-sum)/a[i][i];sum=0;}for(i=0;i<=n1;i++)printf("x[%d]=%f\n",i,x[i]);}float CF(int i,float v){float a=1.0;while(i--)a*=v;return a;}2. 实例验证结果：1）输入初始参数：n=9，m=2X：1 3 4 5 6 7 8 9 10Y：10 5 4 2 1 1 2 3 42）结果输出：1.实际应用问题：作物体运动的观测实验，得出以下实验测量数据，用最小二乘拟合求物体的运动方程。

最小二乘拟合法公式

最小二乘拟合法公式最小二乘拟合法是一种常用的数据分析方法，用于找到一条最佳的拟合曲线或函数，使其在给定的数据集上的误差平方和最小。

这种方法可以用于解决各种问题，例如线性回归、曲线拟合等。

在最小二乘拟合法中，我们希望找到一个函数或曲线，使其能够最好地拟合给定的数据点。

假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，我们希望找到一个函数y = f(x)，使得对于每个数据点(xi, yi)，f(xi)的值与yi的值之间的差异最小。

为了实现这个目标，我们可以使用最小二乘法来确定最佳的拟合函数。

最小二乘法通过最小化误差平方和来找到最佳拟合函数的系数。

误差平方和定义为每个数据点的预测值与实际值之差的平方之和。

最小二乘拟合法的公式如下所示：β = (X^T * X)^(-1) * X^T * Y其中，β是一个包含拟合函数的系数的向量，X是一个包含数据点的矩阵，Y是一个包含对应的实际值的向量，^T表示矩阵的转置，^(-1)表示矩阵的逆运算。

通过求解上述公式，我们可以得到最佳的拟合函数的系数。

然后，我们可以使用这些系数来计算拟合函数在其他输入值上的预测值。

最小二乘拟合法在实际应用中具有广泛的用途。

例如，在线性回归中，我们可以使用最小二乘法来拟合一条最佳的直线，以描述自变量和因变量之间的关系。

在曲线拟合中，我们可以使用最小二乘法来拟合一条最佳的曲线，以逼近给定的数据点。

需要注意的是，最小二乘拟合法在某些情况下可能会出现问题。

例如，当数据点存在较大的误差或离群值时，最小二乘法可能会受到影响。

此外，最小二乘法只能用于找到最佳的拟合函数，而不能确定拟合函数的可靠性或显著性。

总结起来，最小二乘拟合法是一种常用的数据分析方法，用于找到一条最佳的拟合曲线或函数。

通过最小化误差平方和，最小二乘法可以确定拟合函数的系数，从而实现对给定数据的最佳拟合。

然而，最小二乘法也有一些限制，需要在实际应用中进行注意。

最小二乘法曲线拟合推导过程

假设现在有n对坐标系中的点
现在要做k阶多项式拟合，多项式函数如下
将已知的观测点数据代入上述公式得到如下n组等式：
......
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小，如下所示：
代入公式可以得到
可以通过上述公式对求偏导后，令其为0来求解所有a的值，得到下面的式子
......
将上述方程整理归纳得
......
将上述方程用矩阵表述
将上述方程分解，令
，
那么上面的矩阵计算可以简化为，所以得到
网上的一些证明到这里基本就结束了，但我觉得根据逆矩阵的特性还可以优化的，在矩阵中AB的逆等于B的逆乘A的逆，如下
化简可以得到a为X的逆乘Y
计算出X的逆矩阵乘Y得到的就是多项式的系数，就能得到一个多项式了，曲线拟合就算完成了。

但是有没有发现，X的逆矩阵计算量很大，还要明白如何求解逆矩阵的，用程序去实现也有一定难度。

后面会介绍一种法则，求解多项式的系数，套公式即可。

以及用C语言实现最小二乘法的2次曲线拟合算法。

曲线拟合的最小二乘法

一、曲线拟合是什么？曲线拟合也就是求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处, 它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动, 能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小。

设函数y=f(x)在m个互异点的观测数据为求一个简单的近似函数φ(x)，使之“最好”地逼近f(x),而不必满足插值原则。

这时没必要取φ(xi) = yi, 而要使i=φ(xi)yi 总体上尽可能地小。

这种构造近似函数的方法称为曲线拟合,称函数y=φ(x)为经验公式或拟合曲线。

如下为一个曲线拟合示意图。

清楚什么是曲线拟合之后，我们还需要了解一个概念——残差。

曲线拟合不要求近似曲线严格过所有的数据点，但使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到总体上尽可能地小。

若令（1-1）则为残向量（残差）。

“使（1-1）尽可能地小”有不同的准则（1）残差最大值最小（2）残差绝对值和最小（绝对值的计算比较麻烦）（3）残差平方和最小（即最小二乘原则。

计算比较方便，对异常值非常敏感，并且得到的估计量具有优良特性。

）二、最小二乘法是什么？个人粗俗理解：按照最小二乘原则选取拟合曲线的方法,称为最小二乘法。

百度百科：最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。

它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

最小二乘法还可用于曲线拟合。

其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

三、求解最小二乘法（包含数学推导过程）我们以最简单的线性模型来解释最小二乘法。

什么是线性模型呢？监督学习中，如果预测的变量是离散的，我们称其为分类（如决策树，支持向量机等），如果预测的变量是连续的，我们称其为回归。

回归分析中，n个自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为一/多元线性回归分析。

数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法

曲线拟合的最小二乘法姓名：学号：专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。

根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。

这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量x 与y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是x 与y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。

后一种情况常假设x 与y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。

在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作 x，而把所有的误差只认为是y的误差。

设 x 和 y 的函数关系由理论公式y＝f（x；c1，c2，……cm）（0-0-1）给出，其中 c1，c2，……cm 是 m 个要通过实验确定的参数。

对于每组观测数据（xi，yi）i＝1，2，……，N。

都对应于xy 平面上一个点。

若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。

只要选取 m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi ＝ f （x ；c1 ，c2 ，……cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，……，m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。

显然N<m 时，参数不能确定。

y 2 y 在 N>m 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。

设测量中不存在着系统误差，或者说已经修正，则 y 的观测值 yi 围绕着期望值 <f （x ；c1，c2，……cm）> 摆动，其分布为正态分布，则 yi 的概率密度为p y i1 exp,式中i是分布的标准误差。

为简便起见，下面用 C 代表（c1，c2，……cm ）。

第3章_曲线拟合的最小二乘法计算方法

7
用高斯-若当无回代消去法解此方程组,得a0=13.454, a1=-3.657,a2=0.272。最小二乘拟合多项式为：
计算方法课件
y p2 ( x) 13.454 3.657x 0.272x 2
3 非线性曲线转化为线性拟合:
y a e ln y ln a bx
14
xi i 1 n 2 xi i 1
n
即法方程。
计算方法课件
n n xi i 1
n xi yi a0 i 1 i 1 n n a 2 1 xi xi yi i 1 i 1
x ax b
11
§3.3 解矛盾方程组
1. 矛盾方程组已知数据点为
计算方法课件
( xi , yi ), i 1,2,...,n
通过点(xi,yi),则
作拟合直线若直线
p( x) a0 a1 x
p( x) a0 a1 x
p( xi ) a0 a1 xi yi
简化为
x1 x2 xn

a0 a1 m xn am x x
m 1 m 2
y1 y2 y n
Ax b
16
其法方程为：
计算方法课件
n xi xm i
n

3
由此可出求系数拟合直线为
ˆ ˆ, b a
ˆx ˆ b p( x) a
( xi , yi ), i 1,2,...,n
计算方法课件

python曲线拟合的最小二乘法

Python曲线拟合的最小二乘法引言在实际应用中，我们经常需要通过已知数据去拟合一条曲线，以便更好地理解数据的趋势和规律。

曲线拟合是一种常用的数据分析方法，而最小二乘法则是其中最常见和重要的一种技术手段。

本文将介绍如何使用Python进行曲线拟合，并着重讨论最小二乘法的应用和原理。

1. 什么是最小二乘法？最小二乘法是一种数学优化方法，用于确定一组数据和一个数学关系式之间的最优拟合曲线。

具体来说，对于给定的一组数据点，最小二乘法的目标是找到一个数学模型，使得该模型计算出的值与实际观测值之间的残差平方和最小。

2. 最小二乘法的原理考虑一个简单的情况，假设我们有一组数据点(x1, y1), (x2, y2), … , (xn, yn)，我们想要用一条直线y = ax + b来拟合这些数据。

最小二乘法的目标是找到最优的参数a和b，使得拟合后的直线与数据点之间的残差平方和最小。

为了求解最优参数，可以通过最小化残差平方和的方式来进行。

具体来说，可以定义一个损失函数，即残差平方和的平均值，如下所示：J(a, b) = (1/n) * Σ(yi - (axi + b))^2其中，n表示数据点的个数，xi和yi分别表示第i个数据点的横坐标和纵坐标。

通过最小化这个损失函数，可以得到最优的参数a和b。

对于更复杂的情况，比如需要拟合高阶曲线，最小二乘法的原理类似，只是拟合模型不同。

还可以通过增加更多的参数来适应更复杂的曲线形状。

3. 使用Python进行最小二乘法曲线拟合在Python中，使用最小二乘法进行曲线拟合非常方便，可以使用scipy库的optimize模块中的curve_fit函数来实现。

我们需要导入必要的库：import numpy as npfrom scipy.optimize import curve_fitimport matplotlib.pyplot as plt我们可以定义拟合的数学模型。

以拟合一条指数函数为例，定义一个指数函数的模型：def func(x, a, b, c):return a * np.exp(-b * x) + c接下来，我们可以生成一组测试数据：x = np.linspace(0, 4, 50)y = func(x, 2.5, 1.3, 0.5)使用curve_fit函数进行曲线拟合：params, params_covariance = curve_fit(func, x, y)我们可以绘制原始数据和拟合曲线的图像：plt.plot(x, y, 'bo', label='Original Data')plt.plot(x, func(x, params[0], params[1], params[2]), 'r-', label='Fitted Curv e')plt.legend()plt.show()4. 个人观点和总结最小二乘法在数据分析和曲线拟合中被广泛应用，其原理简单而有效。

2013218 第3章曲线拟合的最小二乘法

换句话说 :求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方为此 ,我们希望从给定的数据 (xi,yi)出发,构造一个或下方不远处 , 所求的曲线称为拟合曲线 , 它既能反映近似函数 , 不要求函数完全通过所有的数 ( x) ( x) 数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动,更能据点，只要求所得的近似曲线能反映数据的基本趋反映被逼近函数的特性势，如图 3.1所示。 ,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小,这就是最小二乘法。
线。作拟合直线 y ( x ) a a x ,该直线不是通过所有的 0 1 数据点 x i, y i ,而是使偏差平方和
2 F ( a , a ) ( a a x y ) 0 1 0 1i i m
为最小，其中每组数据与拟合曲线的偏差为
i 1
y ( x ) y a a x y i 1 , 2 , , m i i 0 1 i i 根据最小二乘原理，应取 a 0 和 a 1 使 F(a0 , a1) 有极小值，故 a 0 和 a 1应满足下列条件：
m F ( a 0,a 1) 2 ( a 0 a 1x i y i ) 0 a i 1 0 m F ( a 0,a 1) 2 ( a x 0 a 1x i y i) i 0 a i 1 1
即得如下正规方程组
m m a0 m a1 xi yi i 1 i 1 m m m 2 a x 1 i a0 xi xi yi i 1 i 1 i 1
两种逼近概念:
插值: 在节点处函数值相同.
拟合:
在数据点处误差平方和最小
函数插值是插值函数P(x)与被插函数f(x)在节点处函数值相同,即 P 而曲线 i 0 , 1 , , n ) ( x f( x i) i) ( 拟合函数 ( x) 不要求严格地通过所有数据点 ( xi , y i ) ,也就是说拟合函数 ( x) 在xi处的偏差(亦称残差）

最小二乘法曲线拟合算法

最小二乘法曲线拟合算法
最小二乘法是一种常见的曲线拟合算法，其原理是通过计算样本点与拟合曲线的误差平方和最小化，得到最佳的曲线拟合结果。

以下是最小二乘法曲线拟合算法的步骤：
步骤一：选择合适的拟合函数。

通常情况下，拟合函数的选择取决于数据集的特性和需要得到的拟合效果。

例如，对于线性拟合，拟合函数可采用一次多项式函数y=kx+b；对于非线性拟合，拟合函数可能需要采用高次多项式函数或指数函数等。

步骤二：确定误差函数。

误差函数的目的是衡量样本点与拟合曲线的偏差程度。

最常用的误差函数是均方误差，即将每个样本点的实际值与相应拟合函数的输出值之间的平方误差求和，得到样本点的一般均方误差。

公式为：E = Σ(yi-f(xi))^2。

步骤三：最小化误差函数。

最小二乘法的核心就是通过求解误差函数的最小值来得到最佳的拟合曲线。

最小化误差函数可以采用梯度下降法或牛顿法等优化算法进行求解。

步骤四：得到最佳的拟合曲线。

在得到最小化误差函数的解后，即可获得最佳的拟合曲线，该曲线可用于对数据集进行预测、分类或回归等任务。

步骤五：评估拟合效果。

为了验证最佳拟合曲线的精度和泛化能力，需要将新的数据样本输入到该曲线中进行预测，并通过各种评估指标（例如均方根误差、相关系数等）来评估拟合效果。

最小二乘法曲线拟合算法是数据分析领域中的重要算法之一，可用于各种领域中的数据拟合和模型预测任务，例如气象科学、金融投资、信号处理等。

在应用过程中，需要根据实际情况灵活选择拟合函数和误差函数，同时对拟合结果进行合理的评估和优化，以获得更好的预测效果。

曲线拟合的最小二乘法原理及实现

曲线拟合的最小二乘法原理及实现任务名称简介在数据处理和统计分析中，曲线拟合是一种常见的技术，旨在通过数学函数找到最佳拟合曲线，以尽可能准确地描述给定数据集的变化趋势。

在曲线拟合的过程中，最小二乘法是一种常用的数学方法，用于选择最佳拟合曲线。

本文将详细介绍最小二乘法的原理和实现方法。

最小二乘法原理最小二乘法是一种通过最小化误差平方和来拟合数据的方法。

其基本原理是将数据集中的每个数据点与拟合曲线上对应点的差值进行平方，然后将所有差值的平方相加，得到误差平方和。

最小二乘法的目标是通过调整拟合曲线的参数，使得误差平方和达到最小值。

假设我们有一个包含n个数据点的数据集，每个数据点的横坐标为x，纵坐标为y。

我们希望找到一个拟合曲线，可以通过曲线上的点与数据点的差值来评估拟合效果。

拟合曲线的一般形式可以表示为：y = f(x, β)其中，β为拟合曲线的参数，f为拟合曲线的函数。

最小二乘法的基本思想是选择适当的参数β，使得误差平方和最小化。

误差平方和可以表示为：S(β) = Σ(y - f(x, β))^2其中，Σ表示求和操作，拟合曲线上的点的横坐标为x，纵坐标为f(x, β)。

为了找到误差平方和的最小值，我们需要对参数β进行求解。

最常用的方法是对参数β求导数，令导数为0，从而得到参数的估计值。

求解得到的参数估计值就是使得误差平方和最小化的参数。

最小二乘法实现步骤最小二乘法的实现可以分为以下几个步骤：1.确定拟合曲线的函数形式。

根据数据的特点和拟合的需求，选择合适的拟合曲线函数，例如线性函数、多项式函数等。

2.建立误差函数。

根据选择的拟合曲线函数，建立误差函数，即每个数据点与拟合曲线上对应点的差值的平方。

3.求解参数估计值。

对误差函数求导数，并令导数为0，求解得到参数的估计值。

4.进行拟合曲线的评估。

通过计算误差平方和等指标来评估拟合曲线的质量，可以使用残差平方和、R方值等指标。

5.优化拟合结果（可选）。

根据评估的结果，如有必要可以调整拟合曲线的参数或选择其他拟合曲线函数，以得到更好的拟合效果。

最小二乘法拟合曲线

使用最小二乘法拟合直线数据
最小二乘法是一种拟合曲线或直线的常用方法。

它通过最小化误差的平方和来找到最佳拟合参数。

假设我们有一组点(x, y)，我们希望找到一条曲线y = f(x) 来拟合这些点。

最小二乘法的基本思想是：找到一条曲线，使得所有点到这条曲线的垂直距离的平方和最小。

最小二乘法通常用于线性回归和非线性回归。

在非线性回归中，我们通常需要使用一些优化算法来找到最佳参数。

下面是一个简单的Python 代码示例，演示如何使用最小二乘法拟合一条直线：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 生成一组随机数据
x = np.random.rand(50)
y = 2 * x + 1 + np.random.randn(50) * 0.1
# 使用最小二乘法拟合直线
p, _, _, _ = np.polyfit(x, y, 1, method='leastsq')
# 绘制原始数据和拟合直线
plt.scatter(x, y, color='blue')
plt.plot(x, p[0] * x + p[1], color='red')
plt.show()
在这个例子中，我们首先生成了一组随机数据(x, y)。

然后，我们使用np.polyfit函数来拟合一条直线。

最后，我们将原始数据和拟合直线绘制在同一张图上。