一维谐振子的本征值问题

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一维线性谐振子

势能为

1)(x x U μω= 能量本征值 ω )2

(+=n E n

),2,1,0( =n 能量本征函数 221

( ) ,x n n n N e

H x αψα-=

()(1)e e ,n n n n

d H d ξ

ξξξ

-=- 2301231, H =2, H =4-2 , H =8-12 ,H ξξξξ=

, 2!n n

m N n ω

απ

（）

递推公式

1111()2()2()0()2()2()0

n n n n n n H H nH H x xH x nH x ξξξξαααα+-+--+=⇒-+=

求导公式1

1()()

2()2()n n n n dH dH x nH n H x d dx

ξαξααξ--=⇒=

**1111

022n

n n n n x x dx dx ψψψψψα∞

-+-∞

⎡⎤+==⋅+=⎢⎥⎣⎦

⎰⎰

，

22*2

2111(21)2221()

112().222n

n n n n V m x dx m n dx

n E n x m ψωψψωψα

ωω

∞

∞-∞-∞=⋅⋅=⋅⋅++=+==

⎰⎰或者 2.2 利用Hermite 多项式的求导公式，证明谐振子波函数满足下

列关系：111

()()()22n n n d n n x x x dx ψαψψ-+⎡⎤+=-

⎢⎥⎣⎦

22222()(1)()(21)()(1)(2)()2

n n n n d x n n x n x n n x dx αψψψψ-+⎡⎤=--++++⎣⎦证明：Hermite 多项式的求导公式

一维谐振子的哈密顿量

一维谐振子的哈密顿量是描述一维谐振子系统能量的量子力学算符。在经典力学中，一个质点在弹簧上来回振动，其势能可以描述为一个二次函数，即谐振子势能。而在量子力学中，我们需要用哈密顿量来描述系统的能量。

一维谐振子的哈密顿量可以写成：

H = (p² / 2m) + (1/2)kx²

其中，p是动量，m是质量，k是弹性系数，x是位置。这个哈密顿量包含了动能项和势能项。

动能项(p² / 2m)描述了系统的动量能量，它是动量的平方除以质量的两倍。动量是描述质点运动状态的物理量，它与质点的速度和质量有关。在一维谐振子中，质点的动能与其运动速度的平方成正比。势能项(1/2)kx²描述了系统的势能能量，它是弹簧的劲度系数与质点位置的平方的乘积的一半。势能是描述系统的位置状态的物理量，它与质点的位置和弹簧的劲度系数有关。在一维谐振子中，质点的势能与其位置的平方成正比。

通过求解哈密顿量的本征值问题，我们可以得到一维谐振子的能级。本征值问题可以写成：

Hψ = Eψ

其中，ψ是波函数，E是能量。本征值问题的解决可以得到一系列的能量本征值和相应的波函数。

一维谐振子的能级是量子化的，即只能取离散的能量值。能量本征值的大小取决于弹簧的劲度系数和质点的质量。当劲度系数较大或质量较小时，能量本征值会增大。

根据量子力学的原理，一维谐振子的波函数也具有特殊的形式。波函数的形式与能量本征值有关，不同的能量本征值对应着不同的波函数。波函数描述了质点在不同位置的概率分布，即在不同位置上找到质点的概率。

一维谐振子的哈密顿量还可以用产生算符和湮灭算符来表示。产生算符a+和湮灭算符a是一对共轭算符，它们可以使能量上升和下降一个量子。利用这两个算符，我们可以得到一维谐振子的能级和波函数。

力学量本征值问题的代数解法

2
Nˆ 的性质：在任何量子态下：
N Nˆ
aa
(a ) a
a
2
0
Nˆ 为正定（线性代数）的厄米算符，正定厄米算符的本
征值为非负实数。
一、谐振子的薛定谔因式分解法（3） 2、Nˆ 的本征值和本征态。
设 Nˆ 的本征值为 n ，本征态为 n ，即：Nˆ n n n
[Nˆ , a] aaa aaa [a , a]a a
量子力学
谐振子的薛定谔因式分解法角动量的本征值与本征态
第23讲目录
零、一维谐振子的分析解法（回顾）一、谐振子的薛定谔因式分解法二、角动量的本征值与本征态三、代数解法总结四、例题
零、一维谐振子的分析解法（回顾）
一维谐振子的能量本征方程:
[
2 2m
d2 dx2
1 2
m 2 x2 ]
(x)
E
由题可知：j a1a2
j n1n2 a1a2 n1n2 a1 n2 n1(n2 1) n2(n1 1) (n1 1)(n2 1)
已知：n1n2 jm ，令 (n1 1)(n2 1) jm
根据：n1n2 jm
j (n1 n2 ) m (n1 n2 )
2
2
(n1 1)(n2 1)
2
2
22
2
的本征值，加上能量单位：En
(n 1)

16-4一维谐振子问题

例1:一个电子被束缚在一维无限深势阱内，势阱宽度为1.011010 m。求当电子处于基态时对阱壁的平均冲力。解: 要求平均冲力，先要求平均冲力算符。设电子质量为me、速度为vx、动量为px 、势阱宽度为a。平均冲力等于单位时间内的冲量。动量定理：在运动过程中，作用于质点的合力在一段时间内的冲量等于质点动量的增量。
a
2π2 me a3
π
0
sin
2
udu
π 22 me a3
1.17 107 N
例2:如果粒子的波函数为 (r, ,) ，试求：
在r到r+dr的球壳内找到粒子的概率；解: 要求概率，只要确定概率密度和相应的体积。
球坐标系下的体积元的表达式：
d r 2 sin dddr
r到r+dr的球壳的体积：
电子与阱壁碰撞一次，电子所受到的冲量：
I px px 2 px
电子与阱壁碰撞一次，阱壁所受到的冲量：
I' I 2px
电子连续两次碰撞同一侧阱壁所需要的时间：
T 2a vx
单位时间内电子碰撞同一侧阱壁的次数：
f 1 vx T 2a
单位时间内电子对同一侧阱壁的冲量，即冲力为
F
I'f
0 x a;
x 0, x a.
n 1,2,3,...
粒子的位置的平均值：

§1.2 本征问题的矩阵力学方法

± x y
逆变换为：
1 ˆ ˆ ˆ J x = J+ + J − 2 1 ˆ ˆ ˆ Jy = J+ − J − 2i
(
) )
(
满足对易关系：
ˆ ,J ˆ ⎤=2 ⎡J + −⎦ ⎣ ˆ ,J ˆ ⎤=± ⎡J z ±⎦ ⎣ ˆ2, J ˆ ⎤=0 ⎡J ±⎦ ⎣
ˆ J z ˆ J ±
高等量子力学
高等量子力学
显然：λmin = λ0 = 0 ，显然 0 为一维线性谐振子的基态。
ˆ, b ˆ + 的性质，可得：由b ˆ+ )n 0 n = An (b
而其本征值为λ = 0,1, 2,3 ，所以，Hamiltonian的本征值为： 1 En = ω (n + ), n = 0,1, 2 2 现在我们来求解归一化常数 An 。
2
(
(λ − m
2 max
− mmax ) λ , mmax
)
高等量子力学
λ = mmax ( mmax + 1) 显然：
同理得：λ = mmin ( mmin − 1) 所以： ( mmax + mmin )( mmax − mmin + 1) = 0 存在两个解： mmax = − mmin
mmax − mmin = −1
(
)

一维谐振子的本征值问题

姜罗罗

赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班

摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrdinger 波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+aˆ、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。

关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrdinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。

在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrdinger 创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了

波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。

有限差分法求一维谐振子本征值_MATLAB

有限差分法求一维谐振子本征值clear allclc%令h/(2pi)=w=1L=100; %范围a=0.05;%精度调节Np=L/a;X=[0:a:L-a];t0=1/(2*a^2);Vn=zeros(Np);for i=1:NpVn(i,i)=0.5*(i*a-L/2)^2; %原点移到中心endT1=(2*t0*diag(ones(1,Np)))-(t0*diag(ones(1,Np-1),1))-(t0*diag(ones(1,Np-1),-1));T=T1+Vn;[V,D]=eig(T);%求特征值D=diag(D);[Enum,ind]=sort(D); %排序E1=D(ind(1));psi1=abs(V(:,ind(1)));P1=psi1.*conj(psi1); E2=D(ind(2));psi2=abs(V(:,ind(2)));P2=psi2.*conj(psi2); E3=D(ind(3));psi2=abs(V(:,ind(3)));P3=psi2.*conj(psi2); E4=D(ind(4));psi2=abs(V(:,ind(4)));P4=psi2.*conj(psi2); E5=D(ind(5));psi2=abs(V(:,ind(5)));P5=psi2.*conj(psi2); figureEan=[1:Np]+0.5; %本征值理论计算Ean=Ean';hold on plot(Ean,Enum);% 对比figurehold on h1=plot(X,P1);% h2=plot(X,P2);%h3=plot(X,P3);% h4=plot(X,P4);% h5=plot(X,P5);% grid on

一维谐振子的本征值问题

摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schrödinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出aˆ的本征态即谐振子的相干态，并由降算符aˆ与升算符+aˆ、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。

关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schrödinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。

在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schrödinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光5[-。

2.4一维谐振子

§ 2.4 一维谐振子

一、能量本征方程二、级数解法

三、本征值和本征波函数

平衡位置附近的微振动可近似认为是简谐振动。例如原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格离子的振动等。一、能量本征方程

取振子的平衡位置为坐标原点

2222

2212ˆx m x m H ω+-=d d

)()(212222

22x E x x m x m ψ=ψ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-ωd d

因为0min =V ，∞

→min out V ，所以∞<<E 0，谐振子只有束缚态，0

)(lim =ψ±∞→x x 。设

αm =引入无量纲量 ⎪

⎭⎫

⎝⎛==ωλαξ 21,

E x

能量本征值问题转化成如下定解问题

0)()()(222=ψ-+ψξξλξξd d

)(lim =ψ±∞

→ξξ

下面会看到，束缚态条件要求λ只能取特定值

,2,1,0,12=+=n n λ

这导致能量的量子化。

首先把上述方程转化成可以用级数求解的形式。考虑±∞→ξ的渐近解。这时系数为λ的项可以忽略，方程趋近于

=ψ-ψξξd d

渐近通解为

22e

ξξ-+≈ψB A ，（±∞→ξ）

但因2

2ξe

不满足束缚态的条件，所以渐近解取为

2~ξ-ψe

把波函数写成

)(2ξξu -=ψe

代入方程 0)(222=ψ-+ψξλξd d 后，求解ψ的问题则转化成求解u 的方程

)1(222=-+-u u

u λξξξd d d d

这个方程称为Hermite 方程，可以用级数求解。二、级数解法

在原点0=ξ附近，用幂级数

k k a u ξξ∑∞

==0

)(

代入Hermite 方程，得

§3-2薛定谔方程一维谐振子问题

由图可见，量子数n较小时，粒子位置的概率密度分布与经典结论明显不同。随着量子数n的增大，概率密度的平均分布将越来越接近于经典结论。
5
例1 一个电子被束缚在一维无限深势阱内，势阱宽度为1.011010m。求当电子处于基态时对阱壁的平均冲力。
解设电子的质量为me，速度为vx，动量为px，势阱宽
(
x)
n
( x)dx
1
，得
Nn
( 1
2 2n
)1 n!
2
时间因子的一维谐振子的定态波函数为
n (x,t) n (x)eiEnt/
Nn (x)e2x2 2Hn (x)eiEnt/
3
当时，应有0，所以
2E
2n
1,
n 0,1, 2,
上式的解为
E
En
(n
1)
2
,
n 0,1, 2,
这表示一维谐振子的能量只能取一系列分立值，并
式中Hn( )称为厄米多项式，具体形式为
Hn ( )
(1)n e 2
dn
d n
e 2
2
由此得出n = 0, 1, 2, 3, 4的厄米多项式分别为
H0 ( ) 1
H1( ) 2
H2 ( ) 4 2 2
H3 ( ) 8 3 12
H4 ( ) 16 4 48 2 12

在坐标表象中处理一维线性谐振子问题

在坐标表象中处理一维线性谐振子问题初中物理

题目：

在坐标表象中处理一维线性谐振子问题

作者单位：响水滩乡中心学校

作者姓名：宁国强

2019年9月28日

在坐标表象中处理一维线性谐振子问题

响水滩中心学校宁国强

摘要：本文阐述了在坐标表象中处理一维线性谐振子问题的方法和思路，阐述了一般

表象的概念。

关键词：一维线性谐振子；坐标表象；

一、能量本征值、本征函数的求解

取自然平衡位置为坐标原点, 并选原点为势能零点, 则一维线性谐振子的势能为

V (x ) =

μωx （1）

其中μ是谐振子的质量，ω是经典谐振子的自然频率。一维谐振子的哈密顿函数为

H =

2μ

μωx （2）

体系的能量本征方程（亦即不含时Schr ödinger 方程）为

⎛ 2d 2122

ˆ-+μωx 2

2⎛2μdx

⎛

⎛ψ⎛

(x )=E ψ(x ) （3）

严格的谐振子势是一个无限深势阱（如图1所示），粒子只存在束缚态，即起波函数应满足以下条件：

ψ(x )−−→0 （4）

x →∞

将方程（3）无量纲化，为此，令

ξ=

=αx ，

α=

λ=

2E ω

（5）

（3）式可改写为

d ψd ξ

+λ-ξ

(

)

ψ=0 （6）

这是一个变系数二阶常微分方程。为了求解它，我们先看ψ在ξ→±∞时的渐进行为。当⎛⎛ξ⎛⎛很大时, λ与ξ2相比可以略去，因而在ξ→±∞ 时，方程(6)可近似表示为

d ψd ξ

-ξψ=0

2 （7）

±ξ/2

它的渐近解为ψ~e ξ→±∞时，所以ψ e ξ

。因为波函数的标准条件要求当ξ→±∞时ψ应为有限，

不满足边界条件(4)式，应弃之。波函数指数上只能取负号，即ψ e -ξ

2.7 一维谐振子问题

d n1 d n1
e
]d
2
(1)
2 n 1 N n

[ H n ( )][
d d
d n1 d n1
]d (1)
2 nn Nn dn d n

[
H n ( )]e d
(1)
n ( x)
2 n n! e
2 x 2 / 2
k n En , n 1,2 ,3, 2 2 2 a 1 E E n ( n ) , n 0, 1, 2 , 2 能量的分立现象在微观领域是普遍存在的！
② 一维谐振子的能谱是等间距的，即相邻两能级的能量差是固定的；
2
2
2
2
2
=

1 U ( x ) 2 x 2 2
——谐振子的特征长度

1 1
按照经典理论，
x , 经典允许区； x , 经典禁区.

按照量子力学中波函数的统计诠释，基态粒子处于经典禁区中的概率为：
( x ) ( 2n 1) n ( x ) ( n 1)( n 2) n 2 ( x )

（5）求归一化系数
1

n ndx

N e
2 n
2

一维线性谐振子

(2 1 )(2)(27 ) (2 1)(222222224222224222 2 2222x E x x x x x x x x x x x x x x x x x x dx x d ψωψψµωψµωωψψµωψµωµψµµωψµωψαµψµαψµωψµ==+-= +-??=+-=+-=右边）（左边ηηηηηηηηη 只有当ωη2 7 =E 时，左边 = 右边，即 3n =。 )32(3)(3321 2 2x x e dx dxx ααπαψα -= -，是线性谐振子的波函数，其对应的能量为ωη27 。 2.7： 0t =时，处于谐振子势2 12 V kx = 中的一粒子波函数波函数
023(,0)()()()x x x cu x ψ=++，式中n u 是线性谐振子的第n 个本征函数。（1）试求c 的数值；（2）写出在t 时刻的波函数；（3）在0t =时谐振子能量的平均值是多少？1t =秒时是多少？解：（1
?? 22222()()(21)()()2
n n n n d x x n x x dx αψψ-+?=-++?证明：Hermite 多项式的求导公式 11()() 2()2()n n n n dH dH x nH n H x d dx ξαξααξ--=?=，所以 22 22 2 2 2 12111111()[()()2()] ()()

16-4 一维谐振子问题

h2 2 v v v ∇ + U (r )ψ (r ) = Eψ (r ) − 2µ
————定态薛定谔方程定态薛定谔方程
1 U ( x) = µω 2 x 2 2
h2 d2 1 2 2 + µω x ψ ( x) = Eψ ( x) − 2 2 2 µ dx
α=
来自百度文库µω
最简单的几个厄米多项式为：最简单的几个厄米多项式为： n=0,
H 0 (ξ ) = 1,
n=1,
H 1 (ξ ) = 2ξ ,
− iEnt / h
n=2,
H 2 (ξ ) = 4ξ 2 − 2 ,
一维谐振子的波函数的一般形式为
ψ n ( x, t ) = ψ n ( x)e
= N ne
−α 2 x 2 2
0,
ψ n (x) =
0 < x < a;
x ≤ 0, x ≥ a.
n = 1,2,3,...
粒子的位置的平均值：粒子的位置的平均值：
2 a 2 nπx x = ∫ ψ xψ dx = 0 ∫0 x sin ( a )dx a
a ∗
1 a 2nπx a = ∫ x(1 − cos )dx = ; a 0 a 2
d2 x +ω2x = 0 dt 2
并且ω是决定于系统自身的常量，则该物理量的变是决定于系统自身的常量，化过程就是简谐振动。化过程就是简谐振动。

2.7 一维谐振子

（2）求实际解
1 ξ2 2
利 ψ (ξ) = e 用
ξ 2 / 2
u(ξ) 有
du ξ 2 / 2 dψ ξ 2 / 2 ξ 2 / 2 du = ξu(ξ ) + e = ξe u(ξ ) + e dξ dξ dξ
d2ψ du d2u ξ 2 / 2 = u(ξ) 2ξ +ξ 2u(ξ ) + 2 e 2 dξ dξ dξ
n =11
x
虚线代表经典结果：经典谐振子在原点速度最大，停留时间短粒子出现的概率小；在两端速度为零，出现的概率最大。
2008.5
Quantum Mechanics
讨论： ①微观一维谐振子能量量子化
1 En = (n + )hω，n = 0,1,2,L 2
能量特点： (1)量子化，等间距 (2)有零点能
归一化波函数为 ψn (x) = Ae
是一个实函数！
2008.5
1 α 2x2 2
Hn (αx)
1/ 2
其中
α A= n 2 n! π
Quantum Mechanics
在求归一化系数A时，要用到厄米多项式的正交性关系
∞
∞
∫e
ξ 2
Hn (ξ )Hm (ξ )dξ = 2 n! πδmn
2008.5
Quantum Mechanics

量子力学33一维谐振子

d
d
H
(
)
dH
d
e
2
/2
d2 d 2
H
(
)
2
dH
d
2
H
(
)
d2H
d 2
e
2
/2
代入方程(4)得u( )所满足的方程
d2H
d 2
2
dH
d
(
1)H ( )
0-------- 3
这就是所谓的Hermite 方程。
0为方程的常点，可在 0邻域用幂级
数展开。
计算表明，一般情况下解为无穷级数。
（此时可略去）。
对方程
d2 ( ) 2 ( ) 0
d 2
其解显然可以写为
1 2
( ) ~ e 2
因为
'( ) ( ), ''( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )
根据束缚态边界条件，有
1 2
( ) ~ e 2
（2）求实际解
利用 ( ) e2 /2H ( ) 有
d e 2 /2H ( ) e 2 /2 dH
§3.3 一维谐振子
引言 1.经典谐振子
在经典力学中，当质量为的粒子，受弹性力 F k x 作
用，由牛顿第二定律可以写出运动方程为：
d2x dt 2
k

一维谐振子的本征值问题

一维线性谐振子

一维谐振子的哈密顿量

力学量本征值问题的代数解法

16-4一维谐振子问题

§1.2 本征问题的矩阵力学方法

一维谐振子的本征值问题

有限差分法求一维谐振子本征值_MATLAB

一维谐振子的本征值问题

2.4一维谐振子

§3-2薛定谔方程 一维谐振子问题

在坐标表象中处理一维线性谐振子问题

2.7 一维谐振子问题

一维线性谐振子

16-4 一维谐振子问题

2.7 一维谐振子

量子力学33一维谐振子

§3-2薛定谔方程一维谐振子问题