北师大版数学九年级下册：二次函数的图像与性质

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北师大版九年级数学下册.2二次函数的图象与性质课件

3
y 2x2
y 2x 2 1 向上
y轴
(0,1) 当x=0时， y随x的增 ymin 1 大而增大
y随x的增大而减小
-4 -2
o2 4
y 2x2 1
x y 2x 2 1 向上
y轴
(0,-1)
当x=0时， ymin 1
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
任务二：二次函数 y ax 2 c 的图象与性质（指向目标二）二次函数 y ax2与 y ax 2 c 的图象的关系：二次函数 y ax 2 c 的图象可以由 y ax2 的图象平移得到：
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一）
猜想：二次函数 y 1 x2 ，y 2x 2 ，y x 2 的图象是什么样的呢？ 2
其开口大小与a又有什么关系呢？
y
-4 -2 0 2 4 x
当a<0时，a越小，开口越小.
-3
y 1 x2 2
-6
y -92x 2 y x2
总结： a决定了抛物线的开口方向和开口大小，a>0，图象开口向上，a<0，图象开口向下，|a|越大，开口越小.
x<0递减 x>0递增
x<0递增 x>0递减
任务一：二次函数 y ax2的图象与性质（指向目标一）画二次函数 y 2x 2的图象. 1.列表：完成下表：
x ··· -2 -1 0 1 2 ··· y ··· 8 2 0 2 8 ···
坐标
(-2,8) (-1,2) (0,0) (1,2) (2,8)
答案：1m > 1 2m < 2 3m 1或m 3 4m 2
2
评价标准：答案正确加4分.

2.2 二次函数的图象与性质二次函数y=a(x-h)2的图象与性质课件初中数学北师大版九年级下册

(1,0).

2
(2)抛物线 y=- (x+3) 的开口向下,对称轴为直线 x=-3,顶点坐标为

(-3,0).
6.已知抛物线y=a(x-h)2向右平移4个单位长度后,所得的图象与抛物
线y=-2(x-5)2 重合,求a,h的值.
解:抛物线y=-2(x-5)2的顶点坐标为(5,0).把点(5,0)向左平移4个单
函数图象如图所示.
∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=3,顶点坐标为(3,0),函数有最
小值0,
当x>3时,y随x的增大而增大;当x<3时,y随x的增大而减小.
1.将二次函数y=-3x 2 的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1) 2 的图
象,平移方法正确的是(
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
而减小.
新知应用
2
1.已知抛物线 y=a(x+m) (m 为常数)的顶点在 y 轴的右侧,且 am<0,则
此图象的开口方向向上 .

2
2.画出函数 y= (x-3) 的图象,并说出此函数的性质(开口方向、对称

轴、顶点坐标、最值、增减性).
解:当x=0或x=6时,y=4.5;当y=0时,x=3;当x=1或x=5时,y=2.
新知应用
1.在平面直角坐标平面内,把二次函数y=(x+1)2的图象向左平移2个
单位长度,那么图象平移后的函数表达式是( D )
A.y=(x+1)2-2
B.y=(x-1)2
C.y=(x+1)2+2
D.y=(x+3)2
2.函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图象向左

北师大版数学九年级下册课件二次函数的图像与性质第二课时

2.如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直
角
坐
标
系
,
左
面
的
一
条
抛 y 物 9 线 x2 9可x 10以 400 10
用
表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
老师提示: 结合二次函数的图像和性质，灵活运用顶点坐标公式.
2.2 二次函数的图像和性质
第二课时
➢ 用心做一做下面接着讨论y=ax²，y=a（x-h）²的二次函数的图像和性质.
画出二次函数y=2（x-1）²的图像.
①完成下表:
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y=2（x-1）2 50 32 18 8 2 0 2 8 18
观察上表你能发现2（x-1）²与2x²的值有什么关系？
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
➢ 用心做一做
➢1.确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标：（1）y=3x2-6x+7；
（2）y=2x2-12x+8.
2.指出下列二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证：（1）y=2（x-3）²-5；（2）y=-0.5（x+1）² ;
（3）y=-3/4x²;
（4）y=2（x-2）²+5 ;
（5）y=-0.5（x+4）² +2;（6）y=--3/4（x-1）² .
➢ 我们已经认识了形如y=a（x-h）²+k的二次函数的图像和性质，你能研究二次函数y=2x²-4x+5的图像和性质吗？

2.4二次函数课件3(数学北师大版九年级下册)

作业：
《目标检测》 P39
二次函数的图像及性质
y=ax2 (a≠0) 图象
O
a>0 y
O
a<0 y x
x
开口方向向上向下顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴当x<0时, 增当x<0时， y随着x的增大而增大。 y 随着 x 的增大而减小。减当x>0时，当x>0时， y随着x的增大而减小。性 y随着x的增大而增大。 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.
y=-3(x-2) y=-3x2
y=-3(x-2)2-4
复习练习2：
1、二次函数y=2（x-3）2+1的图象，可以由ｙ＝２ｘ２的图象向右平移３个单位，再向上平移１个单位得到
２、二次函数y=－３（x+２）2-7的图象，可以由ｙ＝－３ｘ２的图象向左平移２个单位，再向下平移７个单位得到
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对函数图象的讨论,分析归纳出 y a (x h) 2 k 的性质: (1)a的符号决定抛物线的开口方向
(2)对称轴是直线x=h (3)顶点坐标是(h,k)
抛物线 2 y ax k(a 0) 开口方向对称轴
开口向上开口向上开口向上
开口向上直线X=1
2
y 2( x 1)
开口向上直线X=-1
(-1, 0)
1 2 y ( x 1) 1 图像的性质:开口向下,对称 2 轴是x=-1,顶点坐标是(-1,-1)
归纳总结: y a( x h) k

九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件

2
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2

新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的图像与性质》优质课件

4
y
2 y=-x2+3
-1 0
-5
函数y=-x2-2的图
象可由y=-x2的图
象沿y轴向下平移
2个单位长度得到.
O
5x
10
y=-x2
-2
-4
-6
y=-x2-2
-8
图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k 图象开口
a>0
a<0
y
y
(0,k)
o
增大而
减小，
当x= 0 时，取得最大值，这个
值等于
5。
（5）抛物线y=7x2-3的开口向上，
对称轴是 y轴，顶点坐标
是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随
x的增大而减小，在对称轴的右侧，
y随x的增大而
增大，
当x= 0 时，取得最小值，这个
值等于
-3 。
(6).二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过
x
开口向上
o (0,k) x
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
Hale Waihona Puke 对称性顶点增减性关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点 (最小值为k)
顶点是最高点（最大值为k）
在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0) 的图象形状相同，只是位置不同；当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向上平移 k 个单位得到，当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向下平移 |k| 个单位得到。

北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)

y随着x的增大而减小.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,
y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小.
最值
x=0时，y最小=0
x=0时，y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的，一般说
来，|a|越大，抛物线的开口就越小.
新知讲解
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
y

y=− +2

1
y x 2 -2
2
y=−
-2 O
-2
-4
-6
2
4 x
归纳总结
二次函数y = ax2 +c的图象和性质:
a的符号
图
象
a>0
a<0
c>0
c<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上
向下
y轴（直线x=0）
y轴（直线x=0）
（0，c）
（0，c）
当x<0时，y随x增大而当x<0时，y随x增大
(1)当c>0 时，向上平移c个单位;
(2)当c<0 时，向下平移︱c︱个单位.
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
练一练
二次函数y＝－3x2＋1的图象是将( D )
A．抛物线y＝－3x2向左平移3个单位得到
B．抛物线y＝－3x2向左平移1个单位得到
C．抛物线y＝3x2向上平移1个单位得到
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4

北师大版九年级下册二次函数的图象与性质课件

2
8
（2）画出 y =
2x2
0
0
的图象．
1
2
2
8
4
···
2
···
－4
－2
2
－2
4
活动探究
10
问题：二次函数 y = 2x2 的图象是什么形状？它与二次函数
y = 2x2
8
y = x2 的图象有什么相同和不同？它的开口方向、对称轴和
y = x2
6
顶点坐标分别是什么？
4
①二次函数 y = 2x2 的图象：抛物线
y = 2x2
y = x2

y = x2
4
4.抛物线的对称轴：y轴；
2
－4
－2
2
－2
4
10
例题讲授
y = 2x2
y = x2
8

活动三：在图中画出 y =- x2、y = -x2 、y =-2x2
图象有什么相同和不同？
y = x2
4
2
结论：
1.二次函数y =-

6
2
x 图象与

y=
－4 －2
什么
关系
活动探究
三二次函数y=ax2+c的图象及平移
活动四:(1)画二次函数 y = 2x2+1 、 y =2x2-1的图象，你是怎样画的？与同伴进行交流．
解：先列表：
10
y = 2x2＋1
8
x
··· －2 －1.5 －1
y =2x2＋1 ···
y = 2x 2 －
1
···
9
7
5.5

二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)

解：先列表：
x
··· －2 －1.5
－1
0
1
1.5
2
···
y =2 x2＋1 ··· 9
5.5
3
1
3
5.5
9
···
y = 2x2－1 ··· 7
3.5
1
－1
1
3.5
7
···
再描点，连线
10
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与
抛物线y=2x2
y = 2x2＋1
8
有什么关系？
y = 2x2－1

(2)将抛物线y= − + 先向左平移3个单位长度，

再向下平移2个单位长度，得到一个新抛物线．直
接写出新抛物线的解析式．

【详解】（1）解：∵- ＜0

∴抛物线开口方向向下
2
∵y=- x +8

∴顶点坐标为（0,8）

（2）∵将抛物线y=−

+ 先向左平移3个单位
长度，再向下平移2个单位长度，
北师大版九年级下册
第二章二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第2课时二次函数y=ax2和y=ax2+c的
图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质，学会画该函
数的抛物线；
2、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用.
3、学会区分y=ax2和y=ax2+c的联系与区别，并且掌握这两种
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，

【核心素养】北师大版九年级数学下册2.2 第1课时二次函数y=x2和y=-x2的图象与性质教案

2.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数y = x2和y =－x2的图象与性质教学内容第1课时二次函数y = x2和y =－x2的图象与性质课时1核心素养目标1.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.2.能作出二次函数y=x2的图象，并能够比较与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系.3.经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.4.培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.知识目标1．会用描点法画出形如y＝x2和y＝－x2的二次函数图象，理解抛物线的概念；2.通过观察图象能说出二次函数y＝x2和y＝－x2的图象特征和性质，并会应用．教学重点会用描点法画出形如y＝x2和y＝－x2的二次函数图象，理解抛物线的概念教学难点通过观察图象能说出二次函数y＝x2和y＝－x2的图象特征和性质，并会应用教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知三、当堂练习，巩固所学一、创设情境，导入新知1.你还记得一次函数与反比例函数的图象吗？①一次函数y = kx + b (k≠0)2. 通常怎样画一个函数的图象？列表、描点、连线.二、小组合作，探究概念和性质知识点一：二次函数y=x2和y= -x2的图象和性质合作探究你会用描点法画二次函数y = x2的图象吗?师生活动：师生一起完成画图，教师先出示表格，由学生说出x对应的y值，再描点、连线.教师强调在连线时，注意要用平滑的曲线连线，不能直接用线段把点与点之间连接.1.列表：在y = x2中自变量x可以是任意实数，设计意图：通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础.设计意图：通过让学生自主填表，启发学生观察表达式的特点，调动学生的思维. 体现启发式教学，让每位学生都参与到学习过程中，加深学生对知识的理解，充分调动学生学习的积极性.设计意图：让学生思考和交流对函数性质的认识,并积累从图象的角度研究函数性质的经验.设计意图：类比研究y=x2图形性质的方法研究y= －x2的图形性质，让学生初步体会二次函数系数与函数性质的关系，同时体会这两个图象是关于中列表表示几组对应值：2. 描点：根据表中x，y的数值在坐标平面中描点(x，y)3. 连线：如图，再用光滑的曲线顺次连接各点，就得到y = x2的图象．观察思考问题1 你能描述图象的形状吗？二次函数y = x2的图象是一条抛物线，并且抛物线开口向上.问题2 图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？有，(0，0).问题3 当x < 0 时，随着x值的增大，y值如何变化？当x > 0 时呢？当x < 0 时，y随x的增大而减小；当x > 0 时，y随x的增大而增大.问题4 当x取何值时，y的值最小？最小值是什么？x = 0 时，y min= 0.问题5 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案.合作探究做一做：画出函数y = －x2的图象，并仿照y = x2的性质说出y = －x2有哪些性质？师生活动：学生亲自动手操作，画出函数图象，然心对称.设计意图：培养学生归纳、整理知识的意识.注意将图象与表达式进行联系，让学生理解知识点.设计意图：巩固所学知识，加深对二次函数增减性的理解.设计意图：让学生自主探究，培养自主学习、独立思考的习惯，加深对二次函数的性质的理解，培养数形结合思想.设计意图：考查学生对二次函数图象的性质的掌握.设计意图：考查学生求解二次函数的表达式和画图的能力.后小组讨论、交流得出答案.1.图象是一条开口向下的抛物线.2. 当x < 0 时，y随x的增大而增大；当x > 0 时，y随x的增大而减小；当x = 0 时，ymax = 0.3.抛物线关于y轴对称.4. 顶点坐标是（0，0）；是抛物线上的最高点.要点归纳典例精析例1若点A(-3，y1)，B(-2，y2) 是二次函数y = -x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是___y2＞y1___.例1变式若点A(-1，y1)，B(2，y2) 是二次函数y = -x2图象上的两点，那么y1与y2的大小关系是___y1＞y2___.师生活动：学生独立思考并作答.例2已知：如图，直线y＝3x＋4 与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．师生活动：学生独立思考并作答，选一名学生板书.教师巡视.三、当堂练习，巩固所学1. 两条抛物线y = x2与y = -x2在同一坐标系内，下列说法中不正确的是（）A. 顶点坐标均为(0，0)B. 对称轴均为x = 0C. 开口都向上第1课时二次函数y = x2和y =－x2的图象与性质。

二次函数的图象与性质北师大版九年级数学下册

射时所经过的路线,我们把
它叫做抛物线.
2.图象和x轴有交点吗？
如果有，交点坐标是什么？
有交点，交点坐标是（0，0）.
3.当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x
＞0时呢？
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
x＜0
x＞0
4.当x取什么值时，y的值最小？
最小值是什么？
m2 2
的开口向上，则m的值为（
D．1
【答案】A
【分析】根据二次函数的定义和性质解答即可．
m2 2
【详解】解：∵抛物线 y (m 1) x
的开口向上，
∴m2-2=2，m+1＞0，
∴m=±2，m＞-1，
∴m=2．
故选：A．
）
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图
的性质．
教学难点：建立二次函数表达式与图象之间的联系．
新知讲解
合作学习
【复习引入】
你还记得学习过哪些函数吗？
一次函数、反比例函数
怎么研究这些函数？
1.解析式
2.图象
3.性质
4.应用
画一个函数图象的基本步骤是什么？
描点法：
1.列表
2.描点
3.连线
简述描点法作图的一般步骤？
1）列表—表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
③当-1＜x＜2时，x=0时取最大值0，x=2时取最小值-4，因此-4＜y≤0，
故该项错误；
④若(m,p)、(n,p)是该抛物线上两点，则两点关于直线x=0对称，因此
m+n=0，故该项正确．
故答案为：①②④．
6．根据下列条件分别求a的取值范围．

北师大版九年级数学下册二次函数的图象与性质同步精品课件

4
二二次函数y=ax2+c的图象与性质
合作探究做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
解：先列表：
x
··· －2 －1.5 －1 0
1 1.5 2 ···
y =2 x2＋
1
···
9
5.5 3
1
3Leabharlann 5.5 9···y = 2x2－
1
···
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
···
再描点，连线
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1 与抛物线y=2x2 有什么关系？
10
y = 2x2＋1
8
y = 2x2－1
6
4 2
－4 －2
24
－2
可以发现，把抛物线y=2x2 向上平移1个单位长
度，就得到抛物线 y=2x2+1 ；把抛物线 y=2x2 向下平
移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
描点，连线.
y x2 8 6
4 2
－4 －2
y 2x2 24
视察思考
问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状？
二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，
并且抛物线开口向上.
8
问题2 图象的对称轴是什么？
6
4
y轴就是它的对称轴.
2
y 2x2
－4 －2
24
问题3 图象的顶点坐标是什么？原点 (0,0).
要点归纳在二次函数y=ax2中，a的绝对值越大，开口越小.
针对训练
把图中图象的号码，填在它的函数式后面：（填序号）（1）y=3x2的图象是___③____；（2）y= 1x2的图象是___①____；（3）y=-3x2的图象是___④____；（4）y=- 3x2的图象是__②_____．

北师大版九年级数学下册2.2 二次函数的图像与性质课件

增大。
y ax2 当a<0时，在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a＞0
a＜0图象开口对性顶点增减性O O
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称
-5
-6
-7
-8 -9
y=－21 x2
-10 y=－2x2
函数y=－ 1 x2,y=－2x2的图像与y=-x2的
2
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴，顶点是抛物线的最高点
除顶点外,图像都在x轴下方
不同点: 开口大小不同
y 1
性质：当a＜0时，图象
开口向下，顶点是抛物
4.5 2 0.5
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
0 0.5
1 1.5
2 4.5
2…
8…
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
函数y=
1 2
x2,y=2x2的图像与函数y=x2的
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向上，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，对称轴是y轴，除顶点外,图像都在x轴上方 y= 2x2 y=x2
y
y=x2
o
x
y
o
x
y=－x2
从图象可以看出,二次函数 y=x2和y=－x2的图象都是轴对称图形,y轴是它们的对称轴.
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点；顶点是抛物线的最低点或最高点

九年级下册《二次函数的图像和性质》第三课时说课稿

九年级下册《二次函数的图像和性质》第三课时说课稿一、教材及学情分析《二次函数的图像与性质》是北师大版九年级下册第二章第二节的内容，在学生已经学习过一次函数（包括正比例函数）、反比例函数的图像与性质，以及会建立二次函数模型和理解二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，是对前面所学一次函数、反比例函数图像与性质的一次升华，又是今后学习《确定二次函数的表达式》《二次函数的应用》、《二次函数与一元二次方程》的预备知识，又是学生高中阶段数学学习的基础知识，它在教材中起着非常重要的作用。

另外，本节课最大特点，是结合图形来研究二次函数的性质，这充分体现了一个很重要的数学思想——数形结合数学思想。

因此，这一节课，无论是在知识上，还是对学生动手能力培养上都有着十分重要的作用。

二、教学目标及重、难点分析通过分析，我们知道，《二次函数的图像与性质》在整个教材体系中，起着承上启下的作用，有着广泛的应用。

我认为这节课的重点是：作出函数y=ax2+c的图象，比较函数y=ax2和函数y=ax2+c的异同，了解它们的性质；函数y=ax2+c的图象与性质的理解，掌握抛物线的上下平移规律是本节课的难点。

知识与技能目标（1）会做函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并能比较它们的异同；理解a,c对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）了解抛物线y=ax2上下平移规律。

过程与方法目标本节课，过程是由抽象到直观，再由直观到抽象（既二次函数y=ax2+c的关系式——作出图像——说出二次函数y=ax2+c的图像与性质），培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生观察、探讨、分析、分类讨论的能力。

情感、态度与价值观引导学生养成全面看问题、分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性。

三、教学结构设计建立以“实施主体性教学，培养学生自主探究的能力”为主的课堂教学结构模式——学教结合式。

北师大版九年级下册数学知识点

北师大版九年级下册数学知识点北师大版九年级下册数学知识点1 二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。

二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。

其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。

一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ;顶点式y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线] ;重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。

a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x 3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。

由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1x2) (y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

求根公式x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)(如右图)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。

不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。

第3课时二次函数y=a(xh)2的图象与性质课件北师大版数学九年级下册

1
20
1 2
−2
···
－4 －2 －2 －4
－6
24
抛物线开口方向对称轴
y 1 x 12
2
y 1 x2 2
y 1 x 12
2
向下向下向下
直线 x = -1
直线 x = 0 直线 x = 1
顶点坐标 (-1 , 0 ) (0,0) ( 1, 0 )
做一做根据图象回答下列问题:
典例精析例1 在函数 y＝(x－5)2 中，当 x＞5 时，y 随 x 的增大而__增__大____(填“增大”或“减小”)．
例1变式在二次函数 y＝－(x－m)2 (m 为常数)中，当 x＞3 时，y 随 x 的增大而减小；当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大，则 m＝ 3 .
2 二次函数y=ax2的图象与 y=a(x-h)2 的图象的关系
直线 x = 2 直线 x = 1
顶点坐标 ( 3, 0 ) (2, 0 ) ( 1, 0)
4.
若（-
13 4
，y1）（-
5 4
，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y = (x-2)2 图象上的三点，则 y1 ，y2 ，y3 的大小关系
为____y_1 _＞__y_2 _＞__y_3__.
5. 在同一坐标系中，画出函数 y＝2x2 与 y＝2(x-2)2
的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．
解：图象如图. 函数 y= 2(x-2)2的图象由
y
y = 2x2
函数 y= 2x2 的图象向右平
移 2 个单位得到.
O2 x
y轴（直线 x = 0）
顶点坐标
（0，c）

新北师大版九年级数学二次函数知识点归纳总结

九年级数学中的二次函数是一个非常重要的内容，主要包括函数定义、图像和性质、解析式、根与系数之间的关系、应用等方面的知识。

下面对这些知识点进行归纳总结。

1. 二次函数的定义：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。

2.二次函数的图像和性质：-当a>0时，二次函数的图像是一个开口向上的抛物线，顶点在最低点；当a<0时，二次函数的图像是一个开口向下的抛物线，顶点在最高点。

-顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中-b/2a为对称轴的横坐标，f(-b/2a)为对称轴上的纵坐标。

-当函数的a值较大时，抛物线开口越大，图像越扁平；当a值较小时，抛物线开口越小，图像越瘦高。

-当函数的c值为正时，图像在y轴上方；当c值为负时，图像在y轴下方。

-二次函数的对称轴与x轴交点为顶点坐标的x坐标。

-二次函数的图像关于对称轴对称。

3. 二次函数的解析式：二次函数的一般形式是f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，可以用来表示二次函数的解析式。

4.根与系数之间的关系：- 二次函数的根是函数f(x) = ax^2 + bx + c的解，即使得f(x) = 0的x值。

二次函数的根可能有两个、一个或没有。

-当二次函数有两个根时，即存在两个解x1和x2，那么二次函数可以表示为f(x)=a(x-x1)(x-x2)。

-二次函数的根与系数之间的关系可由韦达定理得到。

设二次函数的两个根为x1和x2，则有以下关系：-x1+x2=-b/a-x1*x2=c/a5.二次函数的应用：-二次函数可以应用于描述各类抛物线问题，如求抛物线的顶点、根、对称轴等。

-二次函数可以用来表示抛物线轨迹的运动问题，如抛物线运动的高度、时间等。

总结：二次函数是九年级数学中的重要内容，掌握二次函数的定义、图像和性质、解析式、根与系数之间的关系以及应用可以帮助我们更好地理解和解决与抛物线相关的问题。

北师大版九年级数学课件-二次函数的图象与性质

2
平移3個單位長度(或先向左平移3個單位長度,再向下平移
1
個單位長度),就得到二次函數y=2(x+
圖示
y 2(x 3)2
y 2(x 3)2 1 2
y 2x2 1 2
總結: 一般地,平移二次函數y=ax2的圖象便可以得到二次函數y=a(x-h)2+k 的圖象.因此,二次函數y=a(x-h)2+k的圖像是一條拋物線,它的開口方向、對稱軸和頂點座標與a,h,k的值有關.
最值
當x=h時,y最小=k
當x=h時,y最大=k
[知識拓展]
1.二次函數圖象之間的平移規律:“左右平移在括弧,上下平移在末梢, 左加右減須牢記,上加下減錯不了”.簡記為“上加下減,左加右減”.
2.二次函數的關係式:y=a(x-h)2+k被稱之為“頂點式”.
1.(2015·瀋陽中考)在平面直角坐標系中,二
二次函數y=a(x-h)2+k的圖象與性質:
拋物線 y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
頂點座標
(h,k)
(h,k)
對稱軸開口方向
直線x=h 向上
直線x=h 向下
在對稱軸的左側,y隨著x的增減性增大而減小;在對稱軸的右
側,y隨著x的增大而增大
在對稱軸的左側,y隨著x的增大而增大;在對稱軸的右側,y 隨著x的增大而減小
二次函數y=a(x-h)2的圖象與性質
畫二次函數y=2(x-1)2的圖象.
(1)完成下表: x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2x2
32 18 8 2 0 2 8 18 32
2(x-1)2 50 32 18 8 2 0 2 8 18

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2.2 二次函数的图象与性质（第1课时）
教学目标
知识与技能
1．能够利用描点法画函数2x y =的图象，能根据图象认识和理解二次函数2x y =的性质．
2．猜想并能作出2x y -=的图象，能比较它与2x y =的图象的异同．过程与方法
1．经历探索二次函数2x y =的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
2．由函数2x y =的图象及性质，对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
情感与态度
1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解．
2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质．
教学重点：作出函数2x ±的图象，并根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质.
教学难点：由2x y =的图象及性质对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点.
教学过程
（一）创设问题情境，引入新课
我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.一般地一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是双曲线.上节课我们学习了二次函数的一般形式为c bx ax y ++=2（其中c b a 、、均为常数且0≠a ）.那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题.
（二）新课讲解
1、作函数2x y =的图象
一次函数的图象是一条直线.二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数2x y =.大家还记得画函数图象的一般步骤吗？
（1）列表：
（2）在直角坐标系中描点.
（3）用光滑的曲线连结各点，便得到函数图象.
2、议一议
对于二次函数2x y =的图象，
（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流.
（2）图象与x 轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？
（3）当0<x 时，随着值的增大，的值如何变化？当0>x 时呢？（4）当x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？
（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请找出几对对称点，并与同伴进行交流.
3、2x y =的图象的性质
二次函数________2的图象是一条x y =，它的开口________,且关于______对称.对称轴与抛物线的交点是抛物线的________,它是图象的_________.在对称轴的左侧，y 随x 的增大而；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而 . 因为图象有最低点，所以函数有，当x ＝0时，y 最小值＝ .
4、做一做
2x y -=二次函数图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象.它与二次函数2x y =的图象有什么关系？与同伴进行交流.（PPT 显示）
结论：（1）抛物线的开口方向是向下.
（2）它的图象有最高点，最高点坐标是（0，0）.
（3）它是轴对称图形，对称轴是y 轴.在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小.
（4）图象与x 轴有交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最高点，坐标为（0，0）.
（5）因为图象有最高点，所以函数有最大值，当0=x 时，y 最大值＝0. 5、2x y =函数与的2x y -=图象的比较.
观察函数2x y =与2x y -=的图象，比较它们的图象的异同点.
不同点：（1）、开口方向不同，2x y =开口向上，2x y -=开口向下.
（2）、函数值随自变量增大的变化趋势不同，在2x y =图象上，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 着的增大而减小，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大.在2x y -=的图象上正好相反.
（3）、在2x y =中y 有最小值，即0=x 时，y 最小值＝0；在2x y -=中，y 有最大值.即当0=x 时，y 最大值＝0.
（4）、2x y =有最低点，2x y -=有最高点.
相同点：
（1）、图象都是抛物线.
（2）、图象都与x 轴交于点（0，0）.
（3）、图象都关于y 轴对称.
联系：它们的图象关于x 轴对称.
6、思考拓展.
从2x y =和2x y -=两个二次函数的解析式来比较，只是相差一个符号，而图象的开口方向却正好相反.你认为二次函数的图象的开口方向到底跟什么有关呢？
我们现在来看这几个二次函数的图象22x y =、23x y =（二次项系数均为正值），再来看另几个二次函数图象22x y -=、23x y -=（二次项系数均为负值），你们发现了什么规律？
结论：对于2ax y =这类二次函数来说，a 与其张口大小、张口方向都有关系.（并就本节整体内容进行总结，并给学生以感想的时间.）
（三）布置作业。