北师大版数学九年级下册：二次函数的图像与性质

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数学北师大版九年级下册2.2 二次函数的图像及性质课标分析

北师大版九年级数学下册 2.2 二次函数的图像与性质

课标分析

根据《新课程标准》的要求，义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，既能培养学生的抽象思维和推理能力又能培养学生的创新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。

二次函数这章的课程内容反映社会的需要、数学的特点，符合学生的认知规律；有利于激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质；在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验。

由于二次函数是一个重要的初等函数，对它的讨论是从最简单的 y=ax2开始的，研究它的图像与性质利用图形结合的思想加深理解，为进一步体会函数的思想奠定基础

二次函数的图象与性质 ( y=x2与y=-x2) 北师大版九年级下册数学教案

2.2二次函数的图象与性质

第1课时二次函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质

一、教学目标

1．能够利用描点法作出二次函数y＝x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y ＝x2的性质．

2．猜想并能作出二次函数y＝－x2的图象，并能比较它与y＝x2的图象的异同．

3．经历探索二次函数y＝x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．

二、教学重难点

重点：理解和掌握函数y＝x2和y＝－x2的图象与性质．

难点：比较y＝x2和y＝－x2的图象与性质的异同．

三、教学过程

（一）复习导入

1．二次函数的定义是什么？

2．一次函数的图象是什么？性质是什么？

3．反比例函数的图象是什么？性质是什么？

4．画函数的图象有哪些步骤？

教师提出上述问题，学生讨论后回答问题．

（二）探究新知

1．画二次函数y＝x2的图象

引导学生利用画函数的图象的步骤画出y＝x2的图象：

(1)观察y＝x2的表达式，任意选择x值，并计算相应的y的值，完成下表：

(2)在直角坐标系中描点．

(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y＝x2的图象．

2．二次函数y＝x2的图象的性质

问题1：图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？

问题2：当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞0时呢？

问题3：当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？

问题4：图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点．问题5：你能描述图象的形状吗？

处理方式：第一步出示问题1、2、3，留给学生足够的时间思考并交流后，让学生自主回答．在学生回答完毕后教师点拨：这三个问题都与一个神秘的点有关，就是点(0，0)，它叫做顶点．

北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)

D．图象的对称轴是y轴
2.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与x轴的交点的个数是（ B ）
A．3
B．2
C．1
D．0
课堂练习
y=x2－1
3.将抛物线y=x2 +1向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_____________．
在
4.已知（m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上，(-m,n) ___（填“在”或“不
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
新知讲解

在同一坐标系中，画出二次函数 = − ,y=− + ，

y=−

− 的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶

点坐标，指明抛物线y=− + 通过怎样的平移可得到抛物线
=

−

-4
− .
如图所示
解：（1）把x=5代入，得
y=52=25.
（2）把y=4代入，得
x2=4，
解得x=±2.
（3）当x＞0时，y随x的增大而增大.
练一练
已知函数y=ax2的图象过点（3，9）和（2，t）.
（1）求a和t的值；
（2）试判断这个函数的图象是否过点（-3，9）
解：（1）把x=3，y=9代入，得9=a×32.

北师大版九年级下册 2.2 二次函数的图像及性质复习资料：知识点+例题

二次函数的图像及性质

一、知识要点

1.二次函数的概念：形如________________________________的函数，叫做x

的二次函数．．．．。称：a 为二次项系数，ax 2

叫做二次项；b 为一次项系数， bx 叫做一次项； c 为常数项。

)0(2≠=a ax y 是二次函数的特例，此时常数b=c=________.

注意：在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围．．．．．．．．。 2.二次函数y ＝ax 2的图象是一条顶点在____________,关于__________对称的曲线，这条曲线叫做抛物线．．．

。描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随x 的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x 轴的交点等方面来描述。

①函数的定义域是_____________；

②抛物线的顶点________，对称轴是_________(或称直线___________)。 ③当a ＞0时，抛物线开口_______，并且向上方无限伸展。当a ＜0时，抛物线开口_________，并且向下方无限伸展。 ④函数的增减性：

当a ＞0时⎩

⎨⎧≥≤._____________,0__;

__________,0增大而随时增大而随时x y x x y x

当a ＜0时⎩⎨⎧≥≤.

____________,0__;

__________,0增大而随时增大而随时x y x x y x

⑤当｜a ｜越大，抛物线开口_________；当｜a ｜越小，抛物线的开口_________。

数学北师大版九年级下册二次函数图像和性质

第1课时函数y=ax2的图象与性质

【知识与技能】

1.能够利用描点法作出y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.

2.能作出二次函数y=x2的图象，并能够比较与y=x2的图象的异同，初步建立二次函数

表达式与图象之间的联系.

【过程与方法】

经历画二次函数y=x2的图象和探索性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验.

【情感态度】

培养学生数形结合的思想，积累数学经验，为后续学习服务.

【教学重点】

会画y=ax2的图象，理解其性质.

【教学难点】

结合图象理解拋物线开口方向、对称轴、顶点坐标及基本性质，并归纳总结出来.

【教学过程】

一、情景导入，初步认知

一次函数y=kx+b和反比例函数(k≠0)图象是什么形状？有哪些性质呢？那么二次函数

y=ax2+bx+c(a≠0)的图象会是什么样？通常怎样画一个函数的图象呢？——引入课题

【教学说明】通过创设问题情景，引导学生复习描点法，复习借助图象分析性质的过程中注意分类讨论、由特殊到一般的解决问题的方法，为学习二次函数的图象奠定基础.

二、思考探究，获取新知

(1)试着画出y=x2的图象

【教学说明】让学生自己经历画y=x2的图象的过程，进一步了解用描点法的方法画图象的基本步骤，为将来画其他函数的图象奠定基础，同时也培养了学生动手操作能力，经历了知识的形成过程.

(2)探究y=x2的性质

【教学说明】让学生自己去观察去分析，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的.

【归纳结论】它有一条对称轴，且对称轴和图象有一个交点.

北师大版九年级下册数学第8讲《二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质》知识点梳理

2a 北师大版九年级下册数学第 8 讲《二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质》知

识点梳理

【学习目标】

1. 会用描点法画二次函数 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象；会用配方法将二次函数 y = ax 2 + bx + c 的解析式写成y

= a (x - h )2 + k 的形式；

2. 通过图象能熟练地掌握二次函数 y = ax 2 + bx + c 的性质；

3. 经历探索 y = ax 2 + bx + c 与 y = a (x - h )2 + k 的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决

简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想．

【要点梳理】

要点一、二次函数 y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) 与 y = a ( x - h )2 + k (a ≠ 0) 之间的相互关系

1. 顶点式化成一般式

从函数解析式 y = a (x - h )2 + k 我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称 y = a (x - h )2 + k 为顶点式，将顶点式 y = a (x - h )2 + k 去括号，合并同类项就可化成一般式 y = ax 2 + bx + c ．

2. 一般式化成顶点式

⎫2

⎛ b ⎫2 ⎤ y = ax 2 + bx + c = a x 2 + x ⎪ + c x + ⎪ - ⎪ ⎥ + c

⎛

b ⎫2

4ac - b 2 ⎭ ⎝ 2a ⎭ ⎥⎦ = a x + ⎪ + ． ⎝ ⎭ 4a 2

九年级数学下册第2章二次函数2.2二次函数的图象与性质2.2.2二次函数的图象与性质ppt课件

式是〔〕.
2.A. y ( x 2)2
3.C.y x2 2
y xB2 . 2
y (xD. 2)2
4.【解析】选A.抛物线可以经过适当的平移得到，其平移规律是：“h左加右
减〞即自变量加减左右移.
随堂检测
2．〔济南·中考〕在平面直角坐标系中，抛物线
y x2 1 与 x 轴的交点的个数是〔〕
预习反响
1.物体从某一高度落下，知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系为h=4.9t2, h是t的_二__次_____函数，它的图象是_抛__物__线在第一象__限__的__部__分，顶点坐标为〔__0_，__0__〕. 2.上题中假设物体从100米高的地方落下，它离地面的高度h(m)与下落时间t(s)的关系为h=100-4.9t2,那么h是t的 _二__次__函数，图象是_抛__物__线__在__第__一__象__限__的__部__分__，顶点坐标是_〔__0__，__1_0_0_〕_.
北师大版九年级下册数学
2.2.2二次函数图像与性质
情境导入
y
y=x2
4
2
-2 o -2 -4
y=-x2
函数y=x²和y=-x²的图象
函数
2
x y=x²
y=-x²
图象外形
开口方向对称轴
顶点坐标
抛物线向上 y轴 (O,0)

北师大版数学九年级下册《二次函数的图象及性质》课件

易错点：当点所在象限不明确时，要分类讨论
小结（2分钟） 1、二次函数 y ax2的图象及性质
2、二比次较函y数值大小y的方ax法2 a 0
y ax2 a 0
图象①形代状入法
抛物线
图②象利及用增减性y
开口③方图向象法
向上
y o
x
向下
3、数学思想 o数形结x合、分类讨论
4开、口易大错小点当点所在象限a 越不大明，确开时口，越要小分类讨论
讨论并归纳比较函数值的大小有哪几种方法？
方法1、代入法当x=-3，y1=-18 当x=-2，y2=-8
∴ y1＜y2
方法2、利用增减性 ∵k=-2＜0 ∴二次函数y=-2x²
开口向下关于y轴左增右减 ∵-3＜-2 ∴ y1＜y2
注意是否在同侧
方法3、图象法 y
-3 -2 0 y2 x y1
数形结合
当堂训练（15分钟）
1.已知函数y＝mx m2-m，当m＝_-_1____时，它的图象是开口向下的抛物线，且当x_＜___0__时，y随x的增大而增大．
2.下列关于抛物线 y 1 x2，y 3x2，y 3x2的说法：
2 ①都是开口向上； ②都以点（0，0）为顶点；
③都以y轴为对称轴；④开口最大的是 y 1 x．2
对称轴
y轴（或直线x=0）
顶点坐标
（0，0）

新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的图像与性质》优质课件

在x轴的上方(除顶点外).
试一试：
2、函数y=8x2的图象的开口
轴是
，顶点是
对称轴的左侧，y随x的增大而
对称轴的右侧，y随x的增大而
，对称；在
，在；
3、函数y=-3x2的图象的开口
是
，顶点是
称轴的左侧，y随x的增大而
轴的右侧，y随x的增大而
，对称轴；在对，在对称；
例2. 在同一直角坐标系中,画出二次函数y=x2+1 和y=x2 的图像
x
开口向上
o (0,k) x
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
对称性顶点增减性
关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点 (最小值为k)
顶点是最高点（最大值为k）
在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0) 的图象形状相同，只是位置不同；当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向上平移 k 个单位得到，当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向下平移 |k| 个单位得到。
点A（1，-1），B（2，5），则函数
y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3
。

北师大版数学九年级下册二次函数知识点总结

二次函数知识点总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2

y a x h =-的性质：

左加右减。

4. ()2

y a x h k =-+的性质：

三、二次函数图象的平移

1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处，具体平移方法如下：

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：

⑴c bx ax y ++=2

沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

变成

m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）

⑵c bx ax y ++=2

沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2

二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)

图象之间的平移关系；
导入新课
观察与思考
羽毛球的运动轨迹可以用y=ax2的图象刻画,大家能回
忆出二次函数y=x2的性质吗？
讲Hale Waihona Puke Baidu新课
知识点一二次函数y=ax2的图象与性质
合作探究
2
y

2
x
画出函数
的图象.
列表.
x
··· －1.5 －1 －0.5 0
0.5
1
1.5
···
···
0.5
2
4.5
···
4.5
当堂练习
1．抛物线y=2x2+4的顶点坐标是（
）
A．(4,0) B．(0,4) C．(2,4) D．(4,2)
【答案】B
【分析】形如y=ax2+k的顶点坐标为(0,k)，据此可
以直接求顶点坐标．
【详解】解：抛物线y=2x2+4的顶点坐标为(0,4)．
故选：B．
2．关于二次函数y=2x2+1，下列说法正确的是（
即A点的坐标为(－2，0)，B点的坐标为(2，0)，
∴AB＝4.
∵S△PAB＝4，设P点纵坐标为b，
1
∴ ×4|b|＝4，∴|b|＝2，即b＝2或－2.
2
当b＝2时，x2－4＝2，解得x＝± 6 ，
此时P点坐标为( 6 ，2)，(－ 6 ，2)；

二次函数的图象与性质北师大版九年级数学下册

射时所经过的路线,我们把
它叫做抛物线.
2.图象和x轴有交点吗？
如果有，交点坐标是什么？
有交点，交点坐标是（0，0）.
3.当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x
＞0时呢？
当x＜0时，y随x的增大而减小；当x＞0时，y随x的增大而增大.
x＜0
x＞0
4.当x取什么值时，y的值最小？
最小值是什么？
2）描点—在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应
的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
3）连线—按照横坐标由小到大顺序，把所描出的各点用平
滑的曲线连接起来。
你能通过这种方法画出二次函数的图象吗？
数形结合,直观感受
在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
越小，比较各点到对称轴的距离即可确定函数值大小．
3．已知四个二次函数的图象如图所示，那么
a1,a2,a3,a4的大小关系是（
）
A．a1＞a2＞a3＞a4
B．a2＞a1＞a4＞a3
C．a2＞a1＞a3＞a4
D．a1＞a2＞a4＞a3
【答案】A
【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与
a的关系进而得出答案．
的性质．
教学难点：建立二次函数表达式与图象之间的联系．
新知讲解

数学北师大版九年级下册二次函数的图像和性质

二次函数的图像和性质

学习目标：

1、能解释．．二次函数的图像的位置关系；

2、体会本节中图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系（转化），感受形数结合的数学思想等。学习重点与难点：

对二次函数的图像的位置关系解释和研究问题的数学方法的感受是学习重点；难点是对数学问题研究问题方法的感受和领悟。学习过程：一、知识准备

本节课的学习的内容是课本P 12-P 14的内容,内容较长，课本上问题较多，需要你操作、观察、思考和概括，请你注意：学习时要圈、点、勾、画．．．．．．．，随时记录甚至批注课本，想想“那个人”是如何研究出来的。你有何新的发现呢？

二、学习内容

1.思考：二次函数的图象是个什么图形？是抛物线吗？为什么？（请你仔细看

2)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数

、2

)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、12

+=x y

2.想一想：二次函数的图象是抛物线吗？如果结合下表和看课本P13-P14你的

解释是什么？

类似的：二次函数的图象与二次函数的图象有什么关系？它的对称轴、顶点呢？它的对称轴、顶点、最值、增减性如何呢三、知识梳理

1、二次函数图像的形状，位置的关系是：

2、它们的性质是：

四、达标测试

⒈将抛物线y=4x 2

向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是。将抛物线y=-5x 2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是。将函数y=-3x 2

+4的图象向平移个单位可得y=-3x 2

的图象；将y=2x 2

-7的图象向平移个单位得到可由 y=2x 2

北师大版九年级下册数学第5讲《二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质》知识点梳理(1)

北师大版九年级下册数学第 5 讲《二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质》知识

点梳理

【学习目标】

1.经历探索二次函数y=ax2 和y=ax2＋c 的图象的作法和性质的过程，进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验．

2.会作出y=ax2 和y=ax2＋c 的图象，并能比较它们与y=x2 的异同，理解a 与c 对二次函数图象的影响．

3.能说出y=ax2＋c 与y=ax2 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．

4.体会二次函数是某些实际问题的数学模型．

【要点梳理】

要点一、二次函数y=ax2（a≠0）的图象与性质

1.二次函数y=a x2(a≠0)的图象

二次函数y=ax2的图象（如图），是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.

抛物线y=ax2（a≠0）的对称轴是y 轴，它的顶点是坐标原点.当a＞0 时，抛物线的开口向上，顶点是它的最低点；当a＜0 时，抛物线的开口向下，顶点是它的最高点.

2.二次函数y=a x2(a≠0)的图象的画法——描点法

描点法画图的基本步骤：列表、描点、连线.

（1）列表：选择自变量取值范围内的一些适当的x 的值，求出相应的y 值，填入表中.（自变量x 的值写在第一行，其值从左到右，从小到大.）

（2）描点：以表中每对x 和y 的值为坐标，在坐标平面内准确描出相应的点.一般地，点取的越多，图象就越准确.

（3）连线：按照自变量的值由小到大的顺序，把所描的点用平滑的曲线连结起来.

要点诠释：

（1）用描点法画二次函数y=ax2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值.

北师大版九年级数学2. 2 二次函数的图象与性质(1)课件

2.2 二次函数的图象与性质（第一课时）
【学习目标】
1.会用描点法画二次函数y=x²与y=-x²的图象． 2.通过对二次函数y=x²与y=-x²图象的探究，
理解并掌握y=x²与y=-x²的性质． 3.积累利用图象研究函数性质的经验，体会
函数图象在研究函数性质中的作用，感受数形结合的思想.
【复习引入】你还记得学习过哪些函数吗？一次函数、反比例函数怎么研究这些函数？ 1.解析式 2.图象 3.性质 4.应用
y=x²
(3,9)
(2,4) (1,1)
1234 x
观察图象，尝试回答以下问题：
1.你能描绘图象的形状吗？
二次函数的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线.
y=x²
y=x²
2.图象和x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？有交点，交点坐标是（0，0）.
y=x² 3.当x＜0时，随着x值的增大，y的值如何变化？当x＞ 0时呢？
画一个函数图象的基本步骤是什么？
描点法： 1.列表 2.描点 3.连线
2.图象一次函数的图象是一条直线，反比例函数的图象是双曲线.
y
y
0
x
0
x
一次函数图象
反比例函数图象
二次函数的解析式： y=ax²+bx+c （a,b,c为常数，a ≠0）