辽宁省第八初级中学九年级下数学28.2解直角三角形-课件
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新人教版九年级数学下册：28.2解直角三角形及其应用ppt课件
∠A＋∠B＝________ 90° ；
③边角之间的关系：
a b a sinA＝________ ，cosA＝________ ，tanA＝________. c c b
2．仰角和俯角的定义
视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做 俯角 ，如图 28-2-2. 仰角 ；视线在水平线下方的角叫做________ ________
【跟踪训练】 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，a＝6
2，b＝6
6，解直
角三角形．
解：∵a＝6 ∴c＝ 6
2，b＝6 22＋6
6， 2.
62＝12
6 2 1 ∴sinA＝ ＝ .∴∠A＝30° . 12 2 2 ∴∠B＝90° －∠A＝60° .
2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝60°，c＝6，解直角
28.2 解直角三角形及其应用
1．解直角三角形 (1)由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫做 解直角三角形 ． ________________ (2)在解直角三角形中，一般用到下面的关系：如图 28-2-1.
图 28-2-1
①三边之间的关系：
a2＋b2＝________ c2 ；
②两锐角之间的关系．
5.
a 2 15 由 tanA＝b＝ ＝ 3，得∠A＝60° . 2 5 ∴∠B＝90° －∠A＝30° .
图 D69
图 D70
(2)如图 D70，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，b＝12，∠A＝30°.
12 b b 由 cosA＝c ，得 c＝cosA＝cos30° ＝8 3.
已知条件 两直角边(a，b)
图 D71
＝80×cos25° ≈80×0.91＝72.8(海里) 在 Rt△BPC 中，∠B＝34° ， PC ∵sinB＝PB， 72.8 72.8 PC ∴PB＝sinB＝sin34° ＝0.559≈130.23(海里)．
③边角之间的关系：
a b a sinA＝________ ，cosA＝________ ，tanA＝________. c c b
2．仰角和俯角的定义
视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做 俯角 ，如图 28-2-2. 仰角 ；视线在水平线下方的角叫做________ ________
【跟踪训练】 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，a＝6
2，b＝6
6，解直
角三角形．
解：∵a＝6 ∴c＝ 6
2，b＝6 22＋6
6， 2.
62＝12
6 2 1 ∴sinA＝ ＝ .∴∠A＝30° . 12 2 2 ∴∠B＝90° －∠A＝60° .
2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝60°，c＝6，解直角
28.2 解直角三角形及其应用
1．解直角三角形 (1)由直角三角形中已知元素求出未知元素的过程叫做 解直角三角形 ． ________________ (2)在解直角三角形中，一般用到下面的关系：如图 28-2-1.
图 28-2-1
①三边之间的关系：
a2＋b2＝________ c2 ；
②两锐角之间的关系．
5.
a 2 15 由 tanA＝b＝ ＝ 3，得∠A＝60° . 2 5 ∴∠B＝90° －∠A＝30° .
图 D69
图 D70
(2)如图 D70，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，b＝12，∠A＝30°.
12 b b 由 cosA＝c ，得 c＝cosA＝cos30° ＝8 3.
已知条件 两直角边(a，b)
图 D71
＝80×cos25° ≈80×0.91＝72.8(海里) 在 Rt△BPC 中，∠B＝34° ， PC ∵sinB＝PB， 72.8 72.8 PC ∴PB＝sinB＝sin34° ＝0.559≈130.23(海里)．
九年级下册数学教学课件28.2.1解直角三角形
= 6 ，解这个直角三角形.
解：∵tanA= BAC =
6=
2
3，
A
C
2
∴∠A=60°，
C
∴∠B=90°-∠A=90°-60°=30°.
2 ，BC
6
B
AC =2 AC = 2 2 .
课程讲授
1 已知两边解直角三角形
练一练：在△ACB中，∠C=90°，AB=4,AC=3,欲求
∠A的值，最适宜的做法是( C )
∴∠A=45°，
a b 14 7 2 2
（2）b=15，∠B=60°.
解：（2）∵∠C=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°.
∵b=15，
∴c= b sinB
= si1n560°= 10
3，
a=
b tanB
=
ta1n560=° 5
3，
课堂小结
概念
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元 素的过程，叫做解直角三角形.
如何求出塔的倾斜角度？
sinA=
BC AB
将实际问题抽象成熟悉的数学问题
课程讲授
1 已知两边解直角三角形
B
对边 a
c 斜边
CБайду номын сангаас
b 邻边 A
定义：一般地，直角三角形中，除直角外，还有五
个元素，即三条边和两个锐角.由直角三角形中的 已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角 三角形.
课程讲授
1 已知两边解直角三角形
解：（2）∵a= 8 15 ，c=16 15 ，
∴ b c2 a2 24 5 .
∵sinA=
a c
=
1 2
，
∴∠A=30°，
人教版九年级下册数学课件：28.2解直角三角形(共17张PPT)
由于
AC 2.4 cos a 0 .4 AB 6
A α
B
利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面 所成的角大约是66°
C
由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的．
探究
在图中的Rt△ABC中， （1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的 其他元素吗？
（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
三、精讲点拨
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶 端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度． 问题（1）可以归结为：在Rt △ABC 中，已知∠A=75°，斜边AB＝6，求 ∠A的对边BC的长．
BC 由 sin A 得 AB
α
b sin B c
b 20 20 c 35.1 sin B sin 35 0.57
你还有其他 方法求出c吗？
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形。
AC 6 3 解：cos CAD AD 4 3 2
A C B
BC AB sin A 6 sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97
所以 BC≈6×0.97≈5.8 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与 地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已 知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
B的对边 b tan B B的邻边 a
人教版九年级下册
28.2 的对边
sinA
斜边
斜边
AC 2.4 cos a 0 .4 AB 6
A α
B
利用计算器求得 a≈66° 因此当梯子底墙距离墙面2.4m时，梯子与地面 所成的角大约是66°
C
由50°＜66°＜75°可知，这时使用这个梯子是安全的．
探究
在图中的Rt△ABC中， （1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的 其他元素吗？
（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
三、精讲点拨
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶 端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度． 问题（1）可以归结为：在Rt △ABC 中，已知∠A=75°，斜边AB＝6，求 ∠A的对边BC的长．
BC 由 sin A 得 AB
α
b sin B c
b 20 20 c 35.1 sin B sin 35 0.57
你还有其他 方法求出c吗？
例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC 的平分线 AD 4 3 ，解这个直角三角形。
AC 6 3 解：cos CAD AD 4 3 2
A C B
BC AB sin A 6 sin 75
由计算器求得 sin75°≈0.97
所以 BC≈6×0.97≈5.8 因此使用这个梯子能够安全攀到墙面的最大高度约是5.8m
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与 地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已 知AC＝2.4，斜边AB＝6，求锐角a的度数
B的对边 b tan B B的邻边 a
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28.2 的对边
sinA
斜边
斜边
28.2.1解直角三角形课件(共16张PPT)
c b 20 34.9. sin B sin 35
A
c
b = 20
35°
B
aC
你还有其他方 法求出c吗？
【针对练】
如图，从点C测得树的顶角为33º，BC＝20米，则树高AB＝ ________米（用计算器计算，结果精确到0.1米）
【解析】由tanC AB，得
BC
AB=BC·tanC=20×tan33°=13.0 【答案】13.0
C
6
B
AB 2AC 2 2.
合作探究 达成目标
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
个直角三角形（精确到0.1）
【解析】A 90-B 90-35 55.
tan B b a
a b 20 28.6 tan B tan 35
sin B b c
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
合作探究 达成目标
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6
解这个直角三角形.
【解析】
tan A BC AC
6 2
3,
A
2
A 60.
B 90 A 30.
总结梳理 内化目标
1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关 联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时， 要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高 是常用的辅助线）．
2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系 ，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三 角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合 理运用.
A
c
b = 20
35°
B
aC
你还有其他方 法求出c吗？
【针对练】
如图，从点C测得树的顶角为33º，BC＝20米，则树高AB＝ ________米（用计算器计算，结果精确到0.1米）
【解析】由tanC AB，得
BC
AB=BC·tanC=20×tan33°=13.0 【答案】13.0
C
6
B
AB 2AC 2 2.
合作探究 达成目标
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝35°，b=20，解这
个直角三角形（精确到0.1）
【解析】A 90-B 90-35 55.
tan B b a
a b 20 28.6 tan B tan 35
sin B b c
B的邻边 斜边
a c
tan
A
A的对边 A的邻边
a b
tan
B
B的对边 B的邻边
b a
合作探究 达成目标
【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC 2, BC 6
解这个直角三角形.
【解析】
tan A BC AC
6 2
3,
A
2
A 60.
B 90 A 30.
总结梳理 内化目标
1.解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关 联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时， 要通过作辅助线构造直角三角形（作某边上的高 是常用的辅助线）．
2.一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系 ，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三 角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合 理运用.
人教版九年级数学下册：28.2 解直角三角形的应用教学课件 共13张PPT
A 仰角 水平线
B
α β D
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角 C
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．BD CD ta a ,tan AD AD
BD AD tan a 120 tan 30
B
A
┌ C
测量中的最远点问题
例3： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变 轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果取整数）
仰角和俯角
读一读
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角 视线
仰角与俯角
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，a=30°,β=60°
看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
分析：从飞船上能最远直接
F P
Q
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
OQ 6400 cos a 0 . 95 OF 6400 350
F P α O· Q
a 18 . 36
B
α β D
Rt△ABC中，a =30°，AD＝120，
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角 C
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．BD CD ta a ,tan AD AD
BD AD tan a 120 tan 30
B
A
┌ C
测量中的最远点问题
例3： 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变 轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果取整数）
仰角和俯角
读一读
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角 视线
仰角与俯角
例4: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距 离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m） 分析：我们知道，在视线与水平线所 成的角中视线在水平线上方的是仰角， 视线在水平线下方的是俯角，因此， 在图中，a=30°,β=60°
看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
分析：从飞船上能最远直接
F P
Q
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
OQ 6400 cos a 0 . 95 OF 6400 350
F P α O· Q
a 18 . 36
人教版数学九年级下册28.2解直角三角形课件
BC DC BC • sin B 10 sin5306 10 0.7997 8(cm) 在 直 角 三 角 形ABC中 tan B AC
BC AC BC • tan B 10 tan5306 101.3319 13(cm)
解直角三角形的方法可以概括为”有弦(斜边)用 弦(正弦\余弦),无弦用切(正切),宁乘勿除,取原辟 中”.这句话的意思是:当已知或求解中,有斜边时 就用正弦或余弦,没有斜边就用正切;当所求元素 可用乘法也可用除法,则用乘不用除;既可用已知 数据又可用中间数据求得时,则取原数据,避免用 中间数据.
布置作业，巩固提高
考虑到学生的个体差异，为促使每 一个学生得到不同的发展，同时促进学 生对自己的学习进行反思，在这个环节 里作必做题与选做题安排。习题28.2的1、 2（必做），7（选做）
五、讲评价
1、以发展学生的思维能力为中心。数学思想方法是数 学素质的重要体现，本节课让学生讨论计算方法，提 高学生思考问题、处理问题的能力，力图将其中的数 学思维方法扎根在学生的脑海里，在今后的学习中发 挥作用。
B
α
A
C
说“解直角三角形”
说教材 谈目标 讲教法
说学法 谈过程 讲评价
板书设计
一、说教材
本节教学内容是人教版九年级数学第二学期第 28.2“解直角三角形”。
• 教材地位作用 • 教学目标
本节是在归纳了直角三角是前面所学知识
– – –
知 过 情识程感与与态能方度力法与目目价标标值： ： 观：使能通角归学运的数本想通以过形的生用运和节方过及学所方理这对对用解的法生需法解些问解的的将直关，斜学（题直探最未角系也三习转情角索简知解三境三是角还化、条问直角中角讨件题角高形蕴化形设形论，转三的中的含归计所，使化角边方需继重着）发学为形角案的现生已。续要深，关的最解体知系学预刻教讨简直会问，论条习备的学角用题并，件三化去三知数中角识学有函，思针
BC AC BC • tan B 10 tan5306 101.3319 13(cm)
解直角三角形的方法可以概括为”有弦(斜边)用 弦(正弦\余弦),无弦用切(正切),宁乘勿除,取原辟 中”.这句话的意思是:当已知或求解中,有斜边时 就用正弦或余弦,没有斜边就用正切;当所求元素 可用乘法也可用除法,则用乘不用除;既可用已知 数据又可用中间数据求得时,则取原数据,避免用 中间数据.
布置作业，巩固提高
考虑到学生的个体差异，为促使每 一个学生得到不同的发展，同时促进学 生对自己的学习进行反思，在这个环节 里作必做题与选做题安排。习题28.2的1、 2（必做），7（选做）
五、讲评价
1、以发展学生的思维能力为中心。数学思想方法是数 学素质的重要体现，本节课让学生讨论计算方法，提 高学生思考问题、处理问题的能力，力图将其中的数 学思维方法扎根在学生的脑海里，在今后的学习中发 挥作用。
B
α
A
C
说“解直角三角形”
说教材 谈目标 讲教法
说学法 谈过程 讲评价
板书设计
一、说教材
本节教学内容是人教版九年级数学第二学期第 28.2“解直角三角形”。
• 教材地位作用 • 教学目标
本节是在归纳了直角三角是前面所学知识
– – –
知 过 情识程感与与态能方度力法与目目价标标值： ： 观：使能通角归学运的数本想通以过形的生用运和节方过及学所方理这对对用解的法生需法解些问解的的将直关，斜学（题直探最未角系也三习转情角索简知解三境三是角还化、条问直角中角讨件题角高形蕴化形设形论，转三的中的含归计所，使化角边方需继重着）发学为形角案的现生已。续要深，关的最解体知系学预刻教讨简直会问，论条习备的学角用题并，件三化去三知数中角识学有函，思针
人教版九年级数学下册第二十八章《28-2 解直角三角形》优课件(共30张PPT)
A
BD
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活运用 相关知识，例如，当我们要测量如图所示大坝的高度h时，只要测出仰 角a和大坝的坡面长度l，就能算出h=lsina，但是，当我们要测量如图所 示的山高h时，问题就不那么简单了，这是由于不能很方便地得到仰角a 和山坡长度l
i=1:3
β
C
在Rt△CDE中，∠CED=90°
tanDEi1:3
CE
18.4
3、学校操场上有一根旗杆，上面有一根开
旗用的绳子（绳子足够长），王同学拿了
A
一把卷尺，并且向数学老师借了一把含300
A
的三角板去度量旗杆的高度。
（（12））若若王王同同学学将分旗别杆在上点绳C、子点拉D成处仰将角
为旗6杆00上，绳如子图分用别卷拉尺成量仰得角B为C=640米0、，则
A
B
D 40 C
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月13日星期日2022/2/132022/2/132022/2/13 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/132022/2/132022/2/132/13/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/132022/2/13February 13, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/132022/2/132022/2/132022/2/13
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角 形；
新人教版九年级数学下册 28.2.解直角三角形 课件 (20张PPT)
a ∵ s in A c c s i n A 4 0 0 . 6 4 3 2 5 . 7 ∴a b ∵ s in B c s i n 5 0 4 0 0 . 7 6 6 3 0 . 6 ∴b c
1.在下列直角三形中,不能求解的是 （ D） A.已知一直角边一锐角 B.已知一斜边一锐角 C.已知两边 D.已知两角 2.在Rt△ABC中∠C=90°，已知a边及∠A，则斜边应为（ A ） a a A.a sin A C. acos A B. D. s in A cos A 3.有一个角是30°的直角三角形，斜边为1cm，则斜边上的高 为 （C ） 1 1 3 3 A . cm B . cm C. cm D. cm 4 2 4 2 4.等腰三角形底边与底边上的高的比是2:3，则底角的余弦值 为 （D）
b a b 2 0 2 8 . 6 ∴ a t a n B t a n 3 5
∵ ta n B
一直角边和一锐角，合理选
b ∵ s in B c
b 2 0 3 4 . 9 ∴ c s i n B s i n 3 5
类型四.已知直角三角形的斜边长和一锐角，解直角三角形.
c 40 ; 解这个直角 例. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=40°， 三角形.(结果保留小数点后一位). 分析： 本题已知的是斜边长和锐角，可以先利用互余关系求出另一个锐 角，求余下的两个未知元素的路径比较多，合理的选择一种“锐角 函数”进行解答即可. 还有其 略解：在Rt△ACB中, ∠C=90° 它方法求 B 9 0A 9 0 4 0 5 0 a,b边吗？
B C 3 3 ∵ sinA A B 23 2
∴ A60
B 9 0 6 0 3 0 ∴ 1 1 C A B 23 3 ∴A 2 2
1.在下列直角三形中,不能求解的是 （ D） A.已知一直角边一锐角 B.已知一斜边一锐角 C.已知两边 D.已知两角 2.在Rt△ABC中∠C=90°，已知a边及∠A，则斜边应为（ A ） a a A.a sin A C. acos A B. D. s in A cos A 3.有一个角是30°的直角三角形，斜边为1cm，则斜边上的高 为 （C ） 1 1 3 3 A . cm B . cm C. cm D. cm 4 2 4 2 4.等腰三角形底边与底边上的高的比是2:3，则底角的余弦值 为 （D）
b a b 2 0 2 8 . 6 ∴ a t a n B t a n 3 5
∵ ta n B
一直角边和一锐角，合理选
b ∵ s in B c
b 2 0 3 4 . 9 ∴ c s i n B s i n 3 5
类型四.已知直角三角形的斜边长和一锐角，解直角三角形.
c 40 ; 解这个直角 例. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=40°， 三角形.(结果保留小数点后一位). 分析： 本题已知的是斜边长和锐角，可以先利用互余关系求出另一个锐 角，求余下的两个未知元素的路径比较多，合理的选择一种“锐角 函数”进行解答即可. 还有其 略解：在Rt△ACB中, ∠C=90° 它方法求 B 9 0A 9 0 4 0 5 0 a,b边吗？
B C 3 3 ∵ sinA A B 23 2
∴ A60
B 9 0 6 0 3 0 ∴ 1 1 C A B 23 3 ∴A 2 2
(人教版)数学九年级下册课件：28-2解直角三角形1
练习
在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形； （1）a=30,b=20;
B
(2)∠B＝72°，c=14.
c a=30
A b=20 C
名言： 聪明在于学习，天才在于积 累。……所谓天才，实际上是 依靠学习。
_____华罗庚
B
α
A
C
探究
在图中的Rt△ABC中， （1）根据∠A＝75°，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
B 6
α =75°
A
C
探究
在图中的Rt△ABC中， （2）根据AC＝2.4，斜边AB＝6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
B
6 α A 2.4 C
解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程． A
问题（1）当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距 离是使用△ABC中，已知∠A＝75°，斜
边AB＝6，求∠A的对边BC的长．
B
α
A
C
对于问题（2），当梯子底端距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的 角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC＝2.4，斜边AB＝6， 求锐角a的度数
（精确到0.1）
A
c
b
35°
20
B
a
C
你还有其他 方法求出c吗？
如图设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A， 过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如图），在Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m
根据以上条件可以求出塔身中心线与垂直中 心线的夹角．你愿意试着计算一下吗？
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回顾与思考
人教版九年级下册数学 28. 2 解直角三角形及应用 (共15张PPT)
作业：
如右下图，海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在A 处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时后船行驶到C 处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方向，求此时灯塔B 到C处的距离. 解：如图，过B点作BD⊥AC于D ∴∠ABD=60°，∠DCB=90°-45°=45° 设BD=x，则CD=BD=x 在Rt△ABD中，AD=x·tan60°= x 在Rt△BDC中， BC= BD= X 又AC=5×2=10，AD+CD=AC ∴ x +x=10 ，得x=5（ -1） ∴BC= •5（ -1)=5( - ) （海里）， 答：灯塔B距C处5( - ) 海里。
28.2.2 解直角三角形的应用
一、创设情景，导入新课
画出方位角（表示东南西北四个方向的）并依次画出表示东南 方向、西北方向、北偏东60度、南偏东30度方向的射线.
西
北
北
东 西
东
南
南
合作探究 达成目标
例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏 东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它
65°
A
沿正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P的南偏东34 方向上的B处.这时， P
练习： 1、如图:一艘轮船由海平面上A地出发 向南偏西400的方向行驶40海里到达B地, 再由B地向北偏西200的方向行驶40海里 到达C地,则A,C两地的距离为 ___ _ 。
北
C A
北
D
B
2、如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向， 距离灯塔40 2 海里的 A处，它沿正南方向航行 一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东3 0 ° 方 向上的 B处，则海轮行驶的路程 AB 为多少海 里（结果保留根号）．
解：在Rt△APC中， ∵AP=40 ，∠APC=45° ∴AC=PC=40 在Rt△BPC中， ∵∠PBC=30°，∴∠BPC=60° ∴BC=PC•tan60°=40× =40 ∴AB=AC+BC=40+40 （海里） 答：海轮行驶的路程AB为 (40+40
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解直角三角形． B
a
c
┓ Cb
A
a 10 7 ∠A＝41.4° ∠B＝48.6°
（2） △ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为
∠A、∠B、∠C的对边，
Ⅰ．a＝6，sinA＝
2 5
，求b，c，tanA；
Ⅱ．a＋c＝12，b＝8，求a，c，sinB．
B
a
c
┓ Cb
Ⅰ． b＝ 3 2 1 c＝15
tan A 2 21 21
∴ x＝
18 9(33)
cot45cot60
直
线
俯角
水平线
视线
在进行测量时： 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
方向角
如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
北A
30°
西
O
东
45°
B
南
【例3 】 如图， 在上海黄埔江东岸，矗立 着亚洲第一的电视塔“东方明珠”，某校学生 在黄埔江西岸B处，测得塔尖D的仰角为45°， 后退400m到A点测得塔尖D的仰角为30°，设塔 底C与A、B在同一直线上，试求该塔的高度．
b c 2 a 28 2 4 .8 2 6 .4
【例2 】在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，
b 11 ，求∠A、∠B、c边．
B
a
c
┓ Cb
A
解：ca 2 b 25 2 ( 1 1)26
sinAa50.8 c6
∴∠A≈56.1°， ∴∠B＝90°－56.1°＝32.9°．
小练习
（1）在△ABC中，∠C＝90°，b＝30，c＝40，
解： cotAAC, BC
BC AC 452 43 307.14(m) cotA cot82 0.14
所以观察所A到船只B的水平距离BC为307.14m．
【例4】如图，海岛A四周45海里周围内 为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处 见岛A在北偏西60˚，航行18海里到C，见岛A 在北偏西45˚，货轮继续向西航行，有无触礁 的危险？
在直角三角形中，由已知元素求未知 元素的过程，叫解直角三角形．
【例1】在△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠B ＝40°，解这个直角三角形(精确到0.1) ．
B
a
c
┓ Cb
A
解：∠A＝90°－ 40°＝50°．
sin A sin40 0.6,
sin A a a 0.6, c8
a 4.8.
教学重难点
重点：
直角三角形的解法．
难点：
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
直角三角形ABC中，∠C=90°，a、 b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量 关系呢？
B
c
a
┓
A
C
b
B
c
a
┓
A
C
b
6 个 元
三边
5
两个锐角 个
素
一个直角（已知）
△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，且b＝3，∠A＝30°， 求∠B，a，c．
B
c?
? a?
30° 3
┓
A
C
b
解直角三角形的依据
（1）三边之间的关系
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
B
（2）锐角之间的关系
c
a
∠ A＋ ∠ B＝ 90º
┓
（3）边角之间的关系
A
b
C
sin A a c
cos A b c
tan A a b
cot a b a
探究
在下图的Rt△ABC中， （1）根据∠A=60°，斜边AB=6，试求出这个 直角三角形的其他元素．
一锐角，一直角边 一锐角，一斜边
优选关系式
已知斜边求直边，正弦余弦很方便； 已知直边求直边，正切余切理当然； 已知两边求一角，函数关系要选好； 已知两边求一边，勾股定理最方便； 已知锐角求锐角，互余关系要记好； 已知直边求斜边，用除还需正余弦； 计算方法要选择，能用乘法不用除．
仰角和俯角
视线
铅
仰角
P1
P
A
45˚ 60˚
D
C
B
解：过点A作AD⊥BC于D，设AD=x
∵ ∠PBA= 60˚， ∠P1CA= 30˚， ∴ ∠ABC=30˚， ∠ACD= 30˚， 在Rt△ADC中， CD=AD•cot∠ACD= x•cot60˚，
在Rt△ADB中， BD=AD•cot45˚= x•cot45˚， ∵ BD－CD＝BC，BC＝18 ∴ x•cot45˚- x•cot60˚=18
∠B＝30°；
A
AC＝3，
BC＝ 3 3
┓ C
B
（2）根据AC=3，斜边AB=6，试求 出这个直角三角形的其他元素？
∠B＝30°；
A
∠A＝60，
BC＝ 3 3
┓ C
B
结论
在直角三角形的六个元素中，除直角外， 如果再知道其中的两个元素（至少有一个是 边），就可求出其余的元素．
知识要点
解直角三角形
A α
┓
B
C
A α
┓
解：在Rt△ABC中
B
sin B AC
C
AB
∴ A B A C A C 1 2 0 0 3 0 0 0 .0 (米 ) s in Bs in 2 5 0 .4
答：飞机A到控制点B距离为3000.0米．
小练习
（2）如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只 B并测得其俯角α=82°．已知观察所A的标高（当水位 为0m时的高度）为45m，当时水位为+2m，求观察所 A到船只B的水平距离BC（精确到0.01m）．
教学目标
【知识与能力】
1．掌握直角三角形的边角关系； 2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐 角互余及锐角三角函数解直角三角形．
【过程与方法】
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两 个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐 步分析问题、解决问题的能力．
【情感态度与价值观】
通过本节的学习，渗透数形结合的数学思 想，培养良好的学习习惯．
Ⅱ．a 2 6 ,c 1 0 ,
A
3
3
sin B 12 26 13
（3） 在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、 ∠C所对的边分别为a、b、c，且c=287.4， ∠B=42°6′，解这个三角形．
∠A＝47°54′．
a≈213．3． b≈192．7．
归纳
已知
两边
两直角边 一斜边，一直角边
一边一角
D
A
30°
45° C
B
解: 设塔高CD=x m 在Rt△BCD中，∵∠DNC=45° ∴BC=x ∴CA=400+x 在Rt△ACD中，
∵∠DAC=30° ∴AC=xtan60°=400+x
x 340 200( 31) 31
∴塔高CD 为 200( 31) m．
小练习
（1）如图，某飞机于空中A处探测到目 标C，此时飞行高度AC=1500米，从飞机上 看地平面控制点B的俯角a=25°，求飞机A到 控制点B距离（精确到1米）．
a
c
┓ Cb
A
a 10 7 ∠A＝41.4° ∠B＝48.6°
（2） △ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别为
∠A、∠B、∠C的对边，
Ⅰ．a＝6，sinA＝
2 5
，求b，c，tanA；
Ⅱ．a＋c＝12，b＝8，求a，c，sinB．
B
a
c
┓ Cb
Ⅰ． b＝ 3 2 1 c＝15
tan A 2 21 21
∴ x＝
18 9(33)
cot45cot60
直
线
俯角
水平线
视线
在进行测量时： 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角．
方向角
如图：点A在O的北偏东30° 点B在点O的南偏西45°（西南方向）
北A
30°
西
O
东
45°
B
南
【例3 】 如图， 在上海黄埔江东岸，矗立 着亚洲第一的电视塔“东方明珠”，某校学生 在黄埔江西岸B处，测得塔尖D的仰角为45°， 后退400m到A点测得塔尖D的仰角为30°，设塔 底C与A、B在同一直线上，试求该塔的高度．
b c 2 a 28 2 4 .8 2 6 .4
【例2 】在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，
b 11 ，求∠A、∠B、c边．
B
a
c
┓ Cb
A
解：ca 2 b 25 2 ( 1 1)26
sinAa50.8 c6
∴∠A≈56.1°， ∴∠B＝90°－56.1°＝32.9°．
小练习
（1）在△ABC中，∠C＝90°，b＝30，c＝40，
解： cotAAC, BC
BC AC 452 43 307.14(m) cotA cot82 0.14
所以观察所A到船只B的水平距离BC为307.14m．
【例4】如图，海岛A四周45海里周围内 为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处 见岛A在北偏西60˚，航行18海里到C，见岛A 在北偏西45˚，货轮继续向西航行，有无触礁 的危险？
在直角三角形中，由已知元素求未知 元素的过程，叫解直角三角形．
【例1】在△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠B ＝40°，解这个直角三角形(精确到0.1) ．
B
a
c
┓ Cb
A
解：∠A＝90°－ 40°＝50°．
sin A sin40 0.6,
sin A a a 0.6, c8
a 4.8.
教学重难点
重点：
直角三角形的解法．
难点：
三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
直角三角形ABC中，∠C=90°，a、 b、c、∠A、∠B这五个元素间有哪些等量 关系呢？
B
c
a
┓
A
C
b
B
c
a
┓
A
C
b
6 个 元
三边
5
两个锐角 个
素
一个直角（已知）
△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为a，b，c，且b＝3，∠A＝30°， 求∠B，a，c．
B
c?
? a?
30° 3
┓
A
C
b
解直角三角形的依据
（1）三边之间的关系
a2＋b2＝c2（勾股定理）；
B
（2）锐角之间的关系
c
a
∠ A＋ ∠ B＝ 90º
┓
（3）边角之间的关系
A
b
C
sin A a c
cos A b c
tan A a b
cot a b a
探究
在下图的Rt△ABC中， （1）根据∠A=60°，斜边AB=6，试求出这个 直角三角形的其他元素．
一锐角，一直角边 一锐角，一斜边
优选关系式
已知斜边求直边，正弦余弦很方便； 已知直边求直边，正切余切理当然； 已知两边求一角，函数关系要选好； 已知两边求一边，勾股定理最方便； 已知锐角求锐角，互余关系要记好； 已知直边求斜边，用除还需正余弦； 计算方法要选择，能用乘法不用除．
仰角和俯角
视线
铅
仰角
P1
P
A
45˚ 60˚
D
C
B
解：过点A作AD⊥BC于D，设AD=x
∵ ∠PBA= 60˚， ∠P1CA= 30˚， ∴ ∠ABC=30˚， ∠ACD= 30˚， 在Rt△ADC中， CD=AD•cot∠ACD= x•cot60˚，
在Rt△ADB中， BD=AD•cot45˚= x•cot45˚， ∵ BD－CD＝BC，BC＝18 ∴ x•cot45˚- x•cot60˚=18
∠B＝30°；
A
AC＝3，
BC＝ 3 3
┓ C
B
（2）根据AC=3，斜边AB=6，试求 出这个直角三角形的其他元素？
∠B＝30°；
A
∠A＝60，
BC＝ 3 3
┓ C
B
结论
在直角三角形的六个元素中，除直角外， 如果再知道其中的两个元素（至少有一个是 边），就可求出其余的元素．
知识要点
解直角三角形
A α
┓
B
C
A α
┓
解：在Rt△ABC中
B
sin B AC
C
AB
∴ A B A C A C 1 2 0 0 3 0 0 0 .0 (米 ) s in Bs in 2 5 0 .4
答：飞机A到控制点B距离为3000.0米．
小练习
（2）如图，某海岛上的观察所A发现海上某船只 B并测得其俯角α=82°．已知观察所A的标高（当水位 为0m时的高度）为45m，当时水位为+2m，求观察所 A到船只B的水平距离BC（精确到0.01m）．
教学目标
【知识与能力】
1．掌握直角三角形的边角关系； 2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐 角互余及锐角三角函数解直角三角形．
【过程与方法】
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两 个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐 步分析问题、解决问题的能力．
【情感态度与价值观】
通过本节的学习，渗透数形结合的数学思 想，培养良好的学习习惯．
Ⅱ．a 2 6 ,c 1 0 ,
A
3
3
sin B 12 26 13
（3） 在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、 ∠C所对的边分别为a、b、c，且c=287.4， ∠B=42°6′，解这个三角形．
∠A＝47°54′．
a≈213．3． b≈192．7．
归纳
已知
两边
两直角边 一斜边，一直角边
一边一角
D
A
30°
45° C
B
解: 设塔高CD=x m 在Rt△BCD中，∵∠DNC=45° ∴BC=x ∴CA=400+x 在Rt△ACD中，
∵∠DAC=30° ∴AC=xtan60°=400+x
x 340 200( 31) 31
∴塔高CD 为 200( 31) m．
小练习
（1）如图，某飞机于空中A处探测到目 标C，此时飞行高度AC=1500米，从飞机上 看地平面控制点B的俯角a=25°，求飞机A到 控制点B距离（精确到1米）．