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物理化学第8章表面物理化学

凸液面
p0
↓
↓
⊿p
对于凸液面，作用在任一周界上的表面张力的合力不为零。该合力而是指向液体内部（曲面球心），力图使表面缩小。平衡时，液面内部的压力大于外部压力。p总 = p0 +⊿p
凹液面
↓p0 ps ↑
对于凹液面，作用在任一周界上的表面张力的合力也不为零。但该合力指向液体外部（曲面球心）。平衡时，液面内部的压力小于外部压力。 p总 = p0 - ⊿p
另一部分离子按一定的浓度梯度扩散到本体溶液中，称为扩散层。
双电层由紧密层和扩散层构成。移动的切动面为AB面
2、电势
（1）定义：带电的固体或胶粒在移动时，移动
的切动面与液体本体之间的电位差称为电势。
在扩散双电层模型中，切动面AB与溶液本体之间
的电位差为电势；
只有在带电质点移动时才显示出电势，所以它
§8.8 溶胶的电性质一、电动现象
胶体体系是一个高度分散的非均相体系，胶体粒子与周围介质之间有明显的界面层，胶体粒子又带有一定的电荷，其周围的介质必然带有相反的电荷。
在电场作用下，而发生相互运动，这种现象称为电动现象。
1、电泳（electrophoresis）
定义：带电胶粒在外加电场的作用下向带相反电荷的电极作定向移动的现象称为电泳。
(a)
由于以线圈为边界的两边表面张力大小相等方向相反，所以线圈成任意形状可在液膜上移动，见(a)图

天大考研资料物理化学-第十章表面现象

pg
pl Δp
图中为球形液滴的某一球缺，凸液面
上方为气相，压力pg ；下方为液相，压力 pl ,底面与球形液滴相交处为一圆周。圆周
外液体对球缺表面张力作用在圆周线上，
垂直于圆周线，而且与液滴表面相切。所
以圆周线上表面张力合力对凸液面下液体
造成额外压力。若凹液面一侧压力以p内表示，凸液面一侧压力用p外表示，附加压力
GγAs 全微分： dGT,pγdAsAsdγ
可知自发降低表面自由焓有两种途径——降低表面积降低表面张力
dT ,pG < 0
10
的由来：
表面分子受力不对称
所以液体表面有自动收缩的倾向，扩展表面要作功。
5. 表面张力及其影响因素：
①与物质的本性有关——分子间相互作用力越大，越大。
例：气－液界面： (金属键) > (离子键) > (极性键) > (非极性键)
液
ΔG i lssgwi
ΔGi wi 0 自动进行
浸湿功
固
固
当小液滴的表面积与铺展后的表面积相比可忽略不计时，
ΔGsl sl gsg
铺展系数： S Δ G ssg lslg S ≥ 0 自动铺展
38
(4）三种润湿的比较：对单位面积的润湿过程有：
18
例: ① 当玻璃管插入汞中或水中：
汞

物理化学第十章表面现象

ｐａｇｅ１
ຫໍສະໝຸດ Baidu
及运动情况对也有一定的影响。 §１０－２润湿现象与接触角一、润湿的分类润湿是固体表面上的气体被液体取代的过程。润湿现象就是指液体与固体接触时发生的一种界面现象，当液体和固体接触时，由于液体表面性质和固体自身表面性质以及液— 固界面性质的不同，液体对固体的润湿情况也不同。按照润湿程度的深浅或润湿性能的优劣来把润湿分为三大类。（１）沾湿（ａｈｈｅｎｓｉｏｎａｌｗｅｔｔｉｎｇ）所谓沾湿是指当固体表面与液体相接触气—固界面和气—液界面在恒温恒压可逆条件下，将液体沾附在固体的接触面上。如图１０－４所示。在沾湿过程中，假定其各个界面都为单位面积。该过程的吉布斯函数的变化值。假定其值为Ｗａ＇。
Ｇａ＝ γ ｓｌ（γ ｓｇ＋ γ ｌｇ）＝Ｗａ＇图１０－４沾湿过程 §１０－２润湿现象与接触角则此过程中，Ｗａ＇即称为沾湿功。对于一个自发过程来讲，Ｗａ＇＞０。Ｗａ＇外Ｗａ＇所做的最大功。是液固沾湿时，系统对值愈大，液体愈容易润湿固体。（２）浸湿（ｉｍｍｅｒｓｉｏｎａｌｗｅｔｔｉｎｇ）所谓浸湿是指当固体浸入液体中，气—固界面完全被固—液界面所取代的过程。如图１０－５所示：在恒温恒压可逆情况下，将具有单位表面积的固体浸入液体中，气—固界面转变为液固界面，在该过程中吉布斯函数的变化值为Ｇｉ＝ γ ｓｌ γ ｓｇ＝ＷｉＷｉ图１０－５浸湿即为浸润功在自发过程中，则有Ｗｉ＞０同样Ｗｉ值愈大，表示浸湿的效果愈好。 §１０－２润湿现象与接触角（３）铺展（ｓｐｒｅａｄｉｎｇｗｅｔｔｉｎｇ）少量液体在光滑的固体表面（或液体表面）上自动展开，形成一层薄膜的过程称为辅展，如图１０－６所示。在恒温恒压可逆辅展单位面积ａｂ段，对ａｂ段来讲，辅展前存在着γ ｓｇ，而在辅展以后 γ ｓｇ消失，取代之的为 γ ｓｌ和 γ ｌｇ。因而在辅展过程中，系统的吉布斯函数，不用辅展功，图１０－６铺展而是用辅展系数来衡量，用 ψ 表示。当 ψ ≥０时，液体才可以在固体表面上辅展总结出：沾湿属于最低层次的润湿辅展过程属于最高层次的润湿在某一指定系统，恒温恒压下，能发生辅展则必定能发生浸湿，更易沾湿，这是热力学的必然结果。 §１０－２润湿现象与接触角二、接触角与杨氏方程所谓接触角（又称为润湿角）是指液体与固体间的界面ＡＣ与液体表面在三相点处的切线（包含液体）间的夹角。如图１０－７所示。（ａ）图所示的是发生润湿的情况；（ｂ）图所示的是不润湿的情况。

物理化学界面第9章表面现象总结

第9章表面现象和胶体化学

1 基本概念

1.1界面和表面

不同物质或同种物质的密切接触的两个相之间的过渡区叫界面，如液态水和冰的接触面，水蒸气和玻璃的接触面等等。

表面是指固体对真空或固体和液体物质与其自身的蒸气相接触的面。显然，表面包括在界面的概念之内，但通常并没严格区别两者，“表面”和“界面”互相通用。

1.2 表面能、表面函数和表面功

表面上的物质微粒比他们处于体相内部时多出的能量叫表面能或总表面能。

由于表面的变化通常在等温等压条件下进行，因此这时的表面能实际上就是表面吉布斯函数。

在等温等压下且组成不变的条件下以可逆方式增加体系的表面积时所做的非体积功叫表面功，它在量值上等于表面吉布斯函数。

1.03 表面张力（比表面能）

简单的说，表面张力就是单位面积上的表面能量，即比表面能，因为它与力有相同的量纲，故叫表面张力。实际上，表面张力是表面层的分子垂直作用在单位长度的线段或边界上且与表面平行或相切的收缩力。

1.04 附加压力

弯曲液面下的附加压力是指液面内部承受的压力与外界压力之差，其方向指向曲面球心。

1.5 铺展和铺展系数

某一种液滴在另一种不相溶的液体表面上自行展开形成一层液膜的现象叫铺展，也叫展开。

铺展系数就是某液滴B在液体A的表面上铺展时比表面吉布斯函数的变化值，常用符号为S B/A

1.6 湿润

凡是液体沾湿在固体表面上的现象都叫润湿，其中又分为铺展润湿（液体在固体表面上完全展开），沾湿湿润（液体在固体表面形成平凹透镜）和浸没湿润（固体完全浸渍在液体中），三种湿润程度的差别是：浸没湿润〉铺展湿润〉沾湿湿润

第7章表面现象物理化学课件

a：零附加压力
b：正附加压力
c：负附加压力
图6-5 附加压力产生示意图
图6-6 曲率半径对附加压力的影响在玻璃管的两端，吹两个半径不同的气泡A和B。打开活塞，使气泡相通，则小气泡B收缩，而大气泡B变得更大。因为小气泡内气体的压力较大，即附加压力较大。
推动活塞使气泡半径由r增加dr，则体积和表面积增加dV和dA。根据热力学原理，气泡表面自由能的增量等于反抗附加压力所消耗的功。
2. 过饱和蒸气和过热液体
过饱和蒸气是温度降低到露点以下还不结晶为液体的蒸气。过饱和蒸气能够存在的原因是蒸气最初冷凝成液滴，是从原有的气相产生一个新相，新相的自发形成是一个从无到有、从小到大的过程，新形成的液滴极其微小，相对而言，微小液滴的蒸气压大于片面液体的蒸气压，对液体饱和的蒸气压对液滴并不饱和，如图6-11。若存在凝结中心，则可以大大降低其过饱和程度。人工降雨、还原炼锌过热液体是超过正常沸点还不沸腾的液体。过热水
图6-2 分割边长1cm的立方体为1mm的立方体
f∝l f=2σl σ=f/(2l) σ:表面张力
图6-3 表面张力示意图
表面自由能表面自由能：当分子从内部移到表面时，必须反抗向内的吸引力，从周围吸收能量，使表面层分子比内部分子具有的较多能量。
表面自由能
体系的表面自由能等于表面张力与表面积的乘积图6-4 表面能与表面张力关系的示意图表面张力是体系恒温、恒压下增加单位表面所引起的吉布斯自由能增量，比表面自由能。单位J/m2，N/m 即表面张力等于比表面自由能，反之亦然。根据热力学的最小自由能原理，表面自由能的减小有两种可能：或减小表面积A，或减小表面张力σ；或两者同时减小。1.减小表面积A： △G= σ△A 球状露珠 2.减小表面张力σ： △G= A△σ 吸附作用

物理化学第八章表面现象

所以 dG=d(σA)=σdA+Adσ 1、当σ一定时，dG=σdA，dA<0是自发过程如液体缩小表面，粉尘爆炸等 2、当A一定时，dG=Adσ，dσ<0是自发过程
如液体和固体表面的吸附
3、当σ、A都变时，σ、A都减小是自发过程如润湿现象
1、与物质本性有关
四、影响表面张力的因素
一般分子间作用力越强，表面张力越大。
二、表面吉布斯函数与表面张力
此时，液膜增加的表面积为：
A=2lx
x是液膜高度，l是液膜宽度，因膜有两个面，所以液膜总宽度为2l。
2lσ
由于
W’ =G=σA=σ2lx = Fx
所以
F = σ2l 或 σ= F /2l
据此可测定表面张力，并可清楚看出表面张力的方向。
三、表面热力学
考虑到表面现象，热力学基本公式为：
若在空中撒入凝结中心(AgI,), 使凝结成水滴的曲率半径加大，其相应的蒸气压可小于高空中的蒸气压 (如 r=1.2×10-9m蒸气压为5.0kPa<5.6kPa) ，蒸气就在这些微粒表面凝结成水滴。
二、纯液体的凝固点和过冷现象
C
过冷水的蒸气压曲线小晶体的蒸气压曲线
A 水
p
冰
O 水蒸气
B
三、弯曲表面上的饱和蒸汽压
对于弯曲液面上的蒸汽压，由于特殊的表面现象，只能用下式进行计算：

物理化学课件第8章表面物理化学

Γm—饱和吸附量

=m
实验测得不同碳数直链脂肪酸表面活性剂的Γm
实验结果表明：C2~C8的图8-8 Γm相同。
吸附分子的截面积A：
A
1 ΓmL
（8-9）
图8-9
c
吸附量与浓度的关系
表面吸附层分子状态
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8.4 表面膜
1.不溶性单分子膜 2.生物膜
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1.不溶性单分子膜
许多不溶性物质如一些长链的醇、酸等有机化合物（表面活性剂）溶于挥发性溶剂中，滴在水面，可铺展成单分子膜。分子的极性基伸入水中，非极性基指向空气，这种膜称不溶性单分子膜。
在纯水表面放一很薄的浮片，在浮片的一边滴油，由于油滴在水面上铺展，会推动浮片移向纯水一边。铺展的膜在表面上对单位长度浮片的推动力称为表面压（surface pressure)π。
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第八章表面物理化学
8.6 胶束 8.7 气-固界面吸附 8.8 液-固界面吸附 8.9 润湿作用
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物理化学-表面现象

球形液滴表面受到指向球心的大小相等的力，合力为０。
这些力的作用最终会使液滴成球形。
能量学角度：球形曲面面积最小，具有最低表面吉布斯能。
附加压力的大小与哪些因素有关呢？
杨-拉普拉斯公式
实验:
在毛细管内充满液体，管端有半径为R’ 的球状液滴与之平衡。
外压为 pg ，附加压力为 Δp，液滴所受总压为：
pg pl p
p pl+p曲= pg
回顾小结：
附加压力（Δp）定义：弯曲界面两侧的压力差。 Δp产生的原因：作用在弯曲液面上的表面张力无法抵消。 Δp的方向：Δp加压在曲率半径中心的一侧（都指向曲面的圆心）。
问题：为什么自由液滴和气泡都呈球形？
若液滴为不规则形状，液体表面均受到附加压力的作用，所受到的附加压力大小和方向都不同。
表面的热力学关系式
根据多组分热力学的基本公式
dU TdS pdV m BdnB B
U U S,V ,nB
对需要考虑表面层的系统，由于多了一个表面相，在体积功之外，还要增加表面功，则基本公式为
dU TdS pdV dA mBdnB
B
U U (S,V , A, nB )
考虑了表面功的热力学基本关系式为：
第一节表面积与表面Gibbs能
比表面（specific surface area）
比表面：指单位质量(或单位体积)的物质所具有的表面积有两种常用的表示方法：

物理化学ppt 表面现象

B B
B
B B
+γdA +γdA
B
B
+γdA +γdA
∂F ∂U ) ∂H ) = ( )T ,V ,n = ( ∂G)T ,P,nB γ =( =( S ,P,nB ∂A S,V ,nB ∂A ∂A ∂A
下式应用较多，把γ称为比表面吉布斯函数
∂G γ = ( ) p ,T ,nB ∂A
它表示了在温度、压力和组成不变的条件下，每增加单位表面积时，Gibbs函数的增加值，通常用符号 σ 或示，单位为J·m-2(N·m-1)，为强度性质量。
表面功
由于表面存在自动收缩的趋势，因此如果要把分子从内部移到界面，增加表面积，就必须克服体系内部分子的作用力，对体系做功。在温度、压力和组成恒定时，可逆地使表面积增加dA 所需要对体系作的功，称为表面功。用公式表示为：
δWf = γdA
式中 γ为比例系数，它在数值上等于当T，P及组成恒定的条件下，增加单位表面积时所必须对体系做的可逆非膨胀功。
常见界面
1.气-液界面
2.气-固界面
3.液-液界面
4.液-固界面
5.固-固界面
分散度与比表面
物质分散成细小微粒的程度称为分散度分散度。物质分割得分散度越小，则分散度越高，比表面也越大。下表为边长1cm的立方体(1cm3)逐渐分割成小立方体时的比表面增长情况边长l/m 立方体数比表面Av /(m2/m3) 1 10 1×10-2 1 6 ×102 10 1×10-3 103 6 ×103 1×10-5 109 6 ×105 1×10-7 1015 6 ×107 1×10-9 1021 6 ×109 可以看出，从边长为10-2m到10-9m，比表面增长了一千万倍。达到nm级的超微粒具有巨大的比表面积，因而具有许多独特的表面效应，成为新材料和多相催化的研究热点。

物理化学第九章--表面现象

(ii)
2γ 2 × 71 . 44 × 10 − 3 Ps = = = 1 . 43 × 10 7 Pa R′ 10 − 8
p r 2γ M 2 × 71.44 × 10−3 18 × 10−3 = = = 0.1026 (iii) ln −8 p 0 R′ RTρ 10 8.314 × 303 × 995 pr = 1.108 pr=1.108 ×4242.9=4701 Pa p0
As ↓ γ ↓
均导致∆ 均导致∆GT,p < 0
过程自发
9.1.3 表面张力一. 表面张力 δWf, R= γdAS Wf, R= F∆x = γ·2l·∆x ∆ ∆
↑
∆x
↓
γ
F
F γ= 2l T,P .nB
N.m−1
表面张力：垂直作用在表面上单位长度上的收缩力。表面张力：垂直作用在表面上单位长度上的收缩力。二. 表面张力的作用方向与效果作用的结果: 作用的结果:使液体表面缩小作用方向平液面, 方向: 作用方向:平液面, 沿着液面并与液面平行弯曲液面,与液面相切。弯曲液面,与液面相切。
3 小液滴 {Pr} 2 1
298.15 K
平面液体凹液面
101
100
101
102 103 r / nm
-1 水的表面张力γ -3 ℃ 现在例: 水的表面张力γ/10 N.m = 75.64-0.14t/℃，现在303K 常压下将10kg纯水可逆分散成 r=10–8m 液滴，液滴，常压下将纯水可逆分散成 (i)求Wf,R；(ii) 所受附加压力。(iii)液滴的饱和蒸汽压；所受附加压力Ps。液滴的饱和蒸汽压；求液滴的饱和蒸汽压

物理化学界面现象

同种晶体由于制备、加工不同，会具有不同的表面性质，而且实际晶体的晶面是不完整的，会有晶格缺陷、空位和位错等。
正由于固体表面原子受力不对称和表面结构不均匀性，它可以吸附气体或液体分子，使表面自由能下降。而且不同的部位吸附和催化的活性不同。
物理吸附与化学吸附
物理吸附与化学吸附的区别
物理吸附
吸附力
§10.2弯曲液面下的附加压力与蒸气压
弯曲液面下的附加压力
1.在平面上 2.在凸面上
3.在凹面上
Laplace公式
Klvin公式
弯曲液面下的附加压力
1.在平面上
研究以AB为直径的一个环作为边界，由于环上每点的两边都存在表面张力，大小相等，方向相反，所以没有附加压力。
设向下的大气压力为Po，向上的反作用力也为Po ，附加压力△P等于零。
界面张力与温度的关系
温度升高，界面张力下降，当达到临界温度Tc时，界面张力趋向于零。这可用热力学公式说明：
因为
运用全微分的性质，可得：
(
S A
)T
,
P,nB
(
T
)
A,P,nB
等式左方为正值，因为表面积增加，熵总是增加的。
所以随T的增加而下降。
界面张力与温度的关系
经验公式
γ =γ0（1-T/Tc)n Tc为液体的临界温度， γ0、n为经验常

第七章-表面现象

第七章表面现象

一、表面现象

表面现象是研究具有巨大表面系统的物理化学。由于系统的表面层分子和相内部分子的处境不同，引起了表面的特殊物理化学性质，表现出各种表面现象。 1. 比表面吉布斯函数和表面张力（1）比表面吉布斯函数

n

P T A G ,,s ⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂=γ 物理意义：定温定压及组成一定的条件下，每增加单位表面积使系统增加的吉布斯函数；它的含义是，系统单位面积表面层分子比同量的相内分子超出的吉布斯函数。

（2）沿着与表面相切的方向垂直作用于表面上任意单位长度线段上的表面紧缩张力，

称为表面张力。

l

F 2=

γ 它平行于水平液面，在边界上指向液体内部。

（3）比表面吉布斯函数和表面张力的数值相等，量纲相同，物理意义不同。（4）表面张力与温度的关系

B B

,,,,s n p A n p T T A S ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂γ 2.润湿

（1）根据接触角来判断液体对固体的润湿能力： θ<90º，润湿；θ=0º，完全润湿；θ>90º，不润湿；θ=180º完全不润湿。（2）根据杨氏方程

l

g s

l s g ----=

γγγθcos 3.弯曲液面现象

（1）附加压力——拉普拉斯方程

r

p γ2=

∆ 其方向总是指向曲率中心

（2）微小液滴的蒸气压——开尔文公式

r

RT M p p r ργ2ln

= （3）毛细现象

gr

h ρθ

γcos 2=

4.气——固吸附，朗缪尔吸附等温方程式

bp

ΓΓm

+=1 5.溶液的表面吸附和表面活性剂（1）吉布斯吸附等温方程式

c

RT c Γd d γ

-

=

（2）表面活性剂

物理化学表面性质

小视频4
18
•注意: 表面张力, 单位面积的表面功, 单位面积的表面Gibbs函数, 不同物理量有相同的数值和量纲。∵1 J =1 N·m1 J·m-2 =1 N·m-1 其它界面有界面张力。
19
• 恒温恒压、各相中物质的量不变时，可有 dGT,p,nB= σ dAS
该条件下，由于相界面面积的变化，而引起系统的Gibbs函数变。也称界面吉布斯函数变， dGS。 • 积分上式， AS：0→AS， σ不变 GS= σAS • 根据吉布斯函数判据：dGT,p,nB<0 自发过程，即恒温恒压下，系统总界面G 减小的过程为自发过程。如多个小液滴聚集→大液滴。 • 总界面吉布斯函数减少是很多界面现象产生的热力学原因。
(3) 毛细管现象
• 毛细管垂直插入液体，管内外液面高度不同；插入水中液面，
管内呈凹液面, 接触角 < 90, 附加压力指向大气, 管内凹液面下
的液体承受的压力< 管外水平液面下的液体承受的压力→液体
被压入管内，上升→升高h的液柱的静压力 gh=p , 平衡时 p=2 σ /r1=gh
由图 cos = R/r1，→上升高度h h 2 cos gR
在自然界中，表面现象保罗万象：
曙光晚霞
碧海蓝天
雨滴
露珠
小视频3
2
表面现象
物理化学意义上的相界面是一个有几个分子直径厚度的薄层，是两相之间的过渡区。

物理化学-表面现象讲义

Ⅰ: c↗ ,σ ↗无机盐，分子间作用力强
Ⅰ
σ
Ⅱ: c↗ σ ↘大多数有机物
Ⅱ
Ⅲ: c↗ σ↓表面活性剂，分子间作用力弱。 Ⅲ
c
2020/4/19
溶液的表面张力和浓度之间的关系
表面惰性物质：通常称为表面非活性物质。凡加入后能增加溶液表面张力的物质， c表面 < c体相，负吸附
表面活性剂：通常称为表面活性物质。加入少量便能显著降低溶液表面张力的物质， c表面 > c体相，正吸附
溶液表面吉布斯能变化趋势, dG表面<0, 由dG表面=dA+Ad得变化内容为： 1. 缩小表面积 2. 改变表面浓度以降低表面张力
问题是气泡或液滴总是从小长大的。？？？幸好空气不是太干净，材料不是太光滑
比较两个半径分别为r1，r2的液滴或气泡可知
RT ln p2 2M ( 1 1 )
p1
r2 r1
2020/4/19
曲面的蒸气压
2M RT ln pr
r
pg
对于稀溶液，p=kc，则
RT ln cr 2M
c0
r
RT ln c2 2M ( 1 1 )
表面吉布斯能和表面张力
表面层分子与内部分子相比：
体相内部分子所受四周邻近相同分子的作用力是对称的，各个方向的力彼此抵销；
界面层的分子，一方面受到体相内相同物质分子的作用，另一方面受到性质不同的另一相中物质分子的作用，其作用力未必能相互抵销

物理化学09章表面现象

1 Am LΓ 2
式中L为阿伏加德罗常数，G2原来是表面超额，当达到饱和吸附时,G2可以作为单位表面上溶质的物质的量。
2. Kelvin 公式的应用
(1) 过饱和蒸气如果将半径不等的液滴置于同一真空的玻璃钟罩内，若干时间后，就会发现小液滴不见了。当云层中有充沛的水蒸气，水的饱和蒸气压已是平面液体蒸气压的4倍以上，可是不一定有雨滴凝聚落下。如果在水蒸气过饱和的云层中，用飞机或火箭把干冰、AgI（s）或硅藻土等物质撒进去，提供凝聚中心，这时水蒸气很快会凝聚在固体粒子周围形成雨滴落下，这就是人工降雨（或称为人工增雨）。
9.3、弯曲液面的蒸气压
1. 弯曲液面的蒸气压
2. Kelvin 公式的应用
1.弯曲表面上的蒸汽压——开尔文公式
p 2 Vm (l) 2 M RT ln( )g p0 R' R '
这就是Kelvin公式，式中ρ为密度，M 为摩尔质量。
1.弯曲表面上的蒸汽压——开尔文公式
Kelvin公式也可以表示为两种不同曲率半径的液滴或蒸汽泡的蒸汽压之比，或两种不同大小颗粒的饱和溶液浓度之比。
2. Kelvin 公式的应用
(2) 过饱和溶液对小颗粒，使用Henry定律
p kc
将Kelvin 公式作适当的转换，得
c2 2 l-s M (B,s) 1 1 RT ln ' ' c1 (s) R2 R1