泛函分析学习心得

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学习泛函分析心得

学院：数计院班别：10数本1班学号：2010224315（25）姓名：侯月容转眼间，就进入到大四的生活了，时间为什么就过得这么快呢。四年的大学

生活即将要结束了。进入到大四，总感觉自己的心不是很定，想的事情也特别多了，即将要面临找工作的事，现在就开始有些担心了。但这学期还有课要上的，其中重要的一门课是泛函分析，下面说说我学习泛函分析的一些感受。

邓老师，上个学期就开始听你上课了，之前就听师兄说实变函数挺难的。刚开始的时候我觉得还好，还能大概听懂。可是慢慢地，发现越来越难，很多都听不懂，有的时候自己不小心走神一下，等我清醒过来再继续听，就完全听不懂了。总感觉自己真差劲，脑子也没有其它同学好，不够别的同学勤奋。有的同学平时不怎么听课，考试却考的很好。有的时候我努力了，却学习效果不好。还记得上个学期的期中考试，我也很认真努力地复习，看书，也许是重点没抓住，期中却考了个刚好及格，60分而已。当时传阅成绩的时候，一看到自己这个分数，突然就心里特别伤心，不想说话。然后就暗下决心，期末我一定要努力复习考好，不能补考。而这学期还要上和实变函数差不多的泛函分析，一开始拿到课本，心里就很担心，这门课我真的觉得好难，比数学分析还要难，以前学习数学分析还挺好的，大部分都能听懂。但是数学分析学了好久了，感觉学厌了。对于泛函分析，还是挺新奇的，课本不算厚。刚开始上课的时候，也还能听懂很多，比如老师说的一些概念，定理，自己都能理解的。感觉并没有想象中难。可是上了两节课之后，自己感觉越来越吃力了，听不懂，看不明白。特别是一些例子，根本不知道为什么是这样解，为什么要这样做，心中有很多很多的疑问。上课时，很认真地听老师上课，看着黑板。可是看着看着就走神了，不知道听到哪里去了。有的时候，有些地方是听懂了，可是到自己要做题的时候，完全不知道怎么下手，不知道怎么去想，好像和老师上课讲的，和课本的又联系不上。所以每次课后老师都会布置作业，让我们巩固知识。可是作业都不会做。有的题目看到和老师讲得类似，就模仿老师的解法写了，也不知道对还是错。

泛函分析课程论文

数学与计算科学学院 09数本2班黄丽萍 2009224725

大四新学年开始了，我们也开始学习了一门综合性及专业性强的课程——泛函分析。首先，理解下“泛函分析”这个概念。

泛函分析是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。所以在接下来的两章内容的学习中，我们将先学习“两大空间”——度量空间和赋范线性空间及其相关知识（第七章和第八章）。在学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。

第七章的标题已经明确给出了学习任务——度量空间和赋范线性空间。 §1 度量空间

§1.1 定义：若X 是一个非空集合，:d X X

R ⨯→是满足下面条件的实值函数，对于,x y X ∀∈，有

（1）(,)0d x y =当且仅当x

y =；

（2）(,)(,)d x y d y x =；

（3）(,)(,)(,)d x y d x z d y z ≤+，

则称d 为X 上的度量，称(,)X d 为度量空间。

【理解】度量空间就是：集合+距离；（满足非负性、对称性及三点不等式）其实度量空间是在实变函数中接触的知识，但其在泛函分析学科中的重要性，我们可以通过度量空间的进一步例子来感受。

§1.2 度量空间的进一步例子

例：1、离散的度量空间(,)X d ，设X 是一个非空集合，,x y X ∀∈，当1,(,)0,=x y d x y x y

≠⎧=⎨⎩当当。

2、序列空间S ，i =1i |-|1(,)21+|-|i i i i d x y ξηξη∞

泛函分析漫谈

=
a11 a12 . . . a1m a21 a22 . . . a2m . . . . . . . . . . . . an1 an2 . . . anm
4
1. 从数分、高代谈起
I. 数学分析
研究区间⟨a, b⟩上函数的连续性、可微性以及Riemann积分理论。我们见到的函数多半是初等函数和它们的复合，如 y = sin x, y = e x, y = ln x, · · · 等。这形成了数学分析中一元函数理论。
5
研究一个平面区域Ω上的两元函数的连续性、可微性以及重积分理论，就形成了数学分析中二元函数理论。一般地，研究实n-维空间Rn中区域Ω上的n元函数的连续性、可微性以及积分理论就形成了多元函数理论。
11
2. 度量空间
实直线上分析的许多思想可以推广到度量空间(也称距离空间)。度量空间: 设X 是一个非空集，X 上的一个度量d : X × X → R+ 是指它满足以下三条公理：
(i) d( x, y) ≥ 0, 且d( x, y) = 0 iff x = y; (ii) d( x, y) = d(y, x); (对称性) (iii) d( x, z) ≤ d( x, y) + d( x, y). (三角不等式)

《泛函分析讲义》（上）读书报告

《泛函分析讲义》(上)读书报告

泛函分析是一门较新的数学分支，是数学专业研究生两门专业基础课之一，是偏微分方程方向研究生为研究偏微必备的数学知识。它把具体分析的问题抽象到一种更加纯粹的代数、拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了种种综合运用代数、几何的手段处理分析问题的新方法。本门课以张恭庆、林源渠编著的《泛函分析讲义》(上)为教材蓝本，由安徽大学数学科学学院教授王良龙主讲，就简避烦，深入浅出，针对数学专业研究生的现实需要所开的一门课。

本册书共四章，分别为度量空间、线性算子与线性泛函、广义函数与索伯耶夫空间、紧算子与Fredholm算子，其中度量空间、线性算子与线性泛函以及线性算子的谱理论是我们掌握的重点。

度量空间又称距离空间，它是一种拓扑空间，其上的拓扑由指定的一个距离决定，这个距离必须满足正定性，对称性和三角不等式性。引进距离空间的目的是刻画收敛，在收敛的基础上来叙述闭集、基本列和距离空间的完备性。在这里我要强调度量空间的完备性与紧性，应该说这两种性质是我们解决空间问题绕不开的话题。完备性是度量空间中重要的性质，并不是每个度量空间都具有完备性。为了使某些度量空间完备，我们引入完备化这个概念，在不完备的度量空间中添加“理想元素”使之“扩充”为一个完备空间。度量空间的完备性也是我们经常论证的问题，针对这一点，我们还是要理解完备空间的定义，适当构造基本列，使其成为收敛列。压缩映像原理为解决常微分方程的初值问题的局部存在性的唯一性提供一种新的方法，在解决此问题的过程中，我们从中完全可以体会到泛函分析的巨大作用，也是我们偏微分方程方向的学生第一次感受到泛函在方程中的应用。紧性也是度量空间中另一重要性质。为什么要提出紧性?是因为并不是每个度量空间的任意点列都有收敛子列。有限维的欧式空间可以做到这一点，但是其他空间却不能推广。在紧性这一部分我们必须要明白几点：1.列紧、准紧、相对紧的概念等价;2.什么时候子集是准紧，是紧集;3.距离空间中紧的与自

微积分中的泛函分析与变分法

微积分是数学中的一门重要学科，研究连续变化的对象和变化率。在微积分的研究中，泛函分析和变分法被广泛应用于求解特殊函数的极值问题。

泛函分析是函数解析的延伸，它的基本思想是将函数看作一个整体，而不是一点一点地看待。在泛函分析中，一个函数被看作是一个映射，它将定义域上的元素映射到值域上的元素。泛函的定义域是一个函数空间，而值域是一个数域。泛函分析研究了函数空间中的性质和结构，以及函数的连续性、可微性、积分性等。

变分法是泛函分析的重要应用之一，它是求解变分问题的一种方法。变分问题是在给定边界条件下，求解泛函的极值问题。它的基本思想是假设一个函数类，使得在这个函数类中，求解泛函的极值问题等价于解欧拉-拉格朗日方程。变分法在物理学、工程学和经济学等领域有着广泛的应用。

在微积分中，泛函分析和变分法常常被用来研究特殊函数的极值问题。对于一般的实函数，我们可以将其看作是一个实数的函数，通过微积分的方法求解其极值问题。但对于泛函，由于其定义域是一个函数空间，常规的微积分方法无法直接应用。在这种情况下，泛函分析和变分法的引入就非常有必要了。

以最简单的例子来说明，假设我们有一个泛函J，它的定义域是所有满足一定边界

条件的函数空间。我们的目标是寻找一个函数f(x)使得J取得最小值。通过变分法，我们可以假设一个函数类，比如所有满足一定条件的连续可微函数集合。然后，我们可以通过变分法的求极值定理，求解这个最小值问题。

在泛函分析和变分法的应用中，有两个重要的概念需要引入，分别是变分和泛函导数。变分是对于一个函数的微小改变，而泛函导数是对于泛函在某个函数处的斜率。通过变分和泛函导数的概念，我们可以将极值问题转化为求解一类泛函方程。

泛函分析张远航笔记

所谓的泛函呢，就是一般函数，泛函分析当然就是一般函数的分析研究。在学习泛函之前，需要有扎实的《实变函数》知识。大学期间，曾用半年时间学过由南开大学刘炳初教授编著，科学出版社出版的《泛函分析》，讲课的是哈尔滨工业大学的包革军教授，他讲泛函的最大特点是把泛函与几何图形有机结合，把艰深的纯理论讲的惟妙惟肖。在进入研究生学习阶段，《泛函分析》作为计算学研究生的基础理论课程，是必选的。我们选用的教材是由武汉大学刘培德教授主编，武汉大学出版社出版的《泛函分析（第二版）》，该教材是面向本科生的，系里之所以考虑选择此教材，是由于考虑到有些学生在本科阶段没有或者很粗浅的认识了《泛函分析》这门课程，主讲该课程的是高云兰博士，她的方向就是算子方面的研究，所以讲解该课程那是轻车熟路了。课时大约是48学时（粗略估计）。由于以下两方面的原因：1）对于《泛函分析》认识很粗浅；2）第一次写读书笔记（尤其是专业课类），不知道如何从略。所以读书笔记可能从在诸多问题，希望老师见谅！下面我从几个方面写本学期学习《泛函分析》的感受和认识。我本着这样态度写该笔记：1）了解泛函是什么，泛函的发展（很多教材把这个从略）2）把空间的理论知识系统学习，对于其他理论的学习作抛砖引玉之用。3）学习泛函的实际作用（也就是附录里的滤波器理论的应用）。

泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓

扑和代数条件的映射的分支学科。它是20世纪30年代形成的。从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。

泛函分析学习心得

在我学习泛函分析的过程中，我认为泛函分析是数学中非常重要的一

个分支，它不仅有着广泛的应用，还对于理解数学的基本概念和思想有着

重要的贡献。下面是我在学习泛函分析的心得体会。

首先，泛函分析是研究无穷维空间中的向量和函数的性质和行为的数

学学科。相比于有限维空间，无穷维空间更为复杂和抽象，因此泛函分析

需要引入一些新的概念和工具来描述和研究无穷维空间中的对象。其中最

基本的概念就是线性空间和赋范空间。线性空间是指满足一定线性运算规

则的集合，赋范空间是指在线性空间的基础上引入了范数的空间。了解这

些基本概念是理解泛函分析的核心，可以帮助我们更好地把握和理解泛函

分析的核心思想。

其次，泛函分析的主要研究对象是泛函。泛函是将一个向量或者函数

映射到一个实数的映射。通过研究泛函，我们可以了解和描述向量或者函

数的性质和行为。在泛函分析中，我们主要关注线性泛函和连续线性泛函。线性泛函是指满足一定线性性质的泛函，连续线性泛函是指在赋范空间上

满足一定连续性质的线性泛函。学习泛函分析的关键就是理解和研究泛函

的性质和行为，利用泛函来描述和分析无穷维空间中对象的特点。

此外，在泛函分析中还有一些重要的概念和工具，例如：内积、正交、完备性、紧算子、谱理论等。这些概念和工具在泛函分析中起着关键作用，可以帮助我们深入理解和分析无穷维空间中的对象。例如，内积可以用来

定义向量的长度和角度，正交关系可以用来描述向量的互相垂直的关系，

完备性可以用来刻画向量空间的完整性等等。学习和掌握这些概念和工具

对于理解泛函分析的基本原理和思想非常重要。

(完整)泛函分析知识总结,推荐文档

泛函分析知识总结与举例、应用

学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、度量空间和赋范线性空间

（一）度量空间

度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)

与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：

1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）

2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）

3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）

则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)

度量空间或距离空间(metric space )。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）

注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称

为度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

泛函分析知识总结

泛函分析是数学中一个重要的分支领域，它研究的是无穷维空间和函

数的性质。在泛函分析中，我们考虑的对象是函数空间，而不是具体的函数。泛函分析广泛应用于数学、物理学、工程学等领域。

1.线性空间与拓扑空间：

泛函分析的基础是线性空间的理论。线性空间是指具有加法和数乘运算，同时满足线性结构条件的集合。泛函分析还引入了拓扑空间的概念，

拓扑空间是指在线性空间的基础上引入了距离、收敛等概念，并给出了一

些性质。

2.范数与内积：

范数和内积是泛函分析中常用的两个概念。范数是定义在线性空间上

的一种非负实值函数，它满足正定性、齐次性和三角不等式。范数可以用

来度量向量的大小。内积是将两个向量映射到实数的一个运算，它满足对

称性、线性性和正定性。

3.完备性和紧性：

完备性是指一个空间中的柯西序列收敛于空间内的一个点。完备性是

一个重要的性质，它可以用来判断一个空间是否是可度量空间，即能够定

义距离的空间。紧性是指一个空间内的每个序列都存在收敛的子序列。紧

性常用于分析序列在空间内的收敛性。

4.泛函空间和对偶空间：

泛函分析中经常考虑的是函数空间，函数空间是指由一类满足特定条

件的函数构成的空间。常用的函数空间有连续函数空间、可积函数空间等。

函数空间还可以定义内积、范数等结构。对偶空间是一个线性空间的对偶空间，它由该线性空间上的线性函数构成。

5.泛函的连续性和收敛性：

泛函分析研究的是空间到实数域的映射，所以泛函的连续性和收敛性是一个重要的问题。在泛函分析中，我们定义了一个泛函的连续性，当且仅当对于任意给定的序列，如果其收敛于一个点，那么其映射的泛函值也会收敛于该泛函值。类似地，我们还可以定义泛函的收敛性。

泛函分析课程总结

数学与计算科学学院 09数本5班符翠艳 2009224524 序号：26 一．知识总结第七章度量空间和赋范线性空间 1. 度量空间的定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素,x y ，都有唯

一确定的实数(),d x y 与之相对应，而且满足

()()()()()()()1,0,,0=;2,,;3,,,,d x y d x y x y d x y d y x d x y d x z d z y z ≥=⎧⎫

⎪⎪=⎨⎬⎪⎪≤+⎩⎭

、的充要条件是、、对任意都成立。则称d 为X 上的一个度量函数，（d X ,）为度量空间，),(y x d 为y x ,两点间的度量。

2. 度量空间的例子

①离散的度量空间(),X d

设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点,x y X ∈,令

()1,,0,x y d x y x y ≠⎧⎫

=⎨⎬=⎩⎭

当当

②序列空间S

令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中任意两点

()()12n 12,,...,,...,,...,,...n x y ξξξηηη==及，令

()1

1,21i i

i i i i d x y ξηξη∞

=-=+-∑

③有界函数空间B （A ）

设A 是一给定的集合，令B （A ）表示A 上有界实值（或复值）函数全体，对B （A ）中任意两点,x y ，定义

(),()()sup t A

d x y x t y t ∈=-

④可测函数空间m(X)

设m(X)为X 上实值（或复值）的L 可测函数全体，m 为L 测度，若()m X ≤∞，对任意两个可测函数()()f t g t 及，令

学习泛函分析心得

我在学习泛函分析时，深刻理解到对于数学中的函数空间，通常要考虑的是函数与函

数之间的关系，而泛函分析正是研究这种关系的一门学科。

在泛函分析中，将函数看作向量，函数空间称为向量空间。然而，这个向量空间与我

们平常接触的欧几里得空间有所不同。在欧几里得空间中，我们通常使用内积来定义空间

中向量的长度、角度等性质，而泛函分析中，我们在向量空间上定义了一种新的线性映射：泛函。泛函将函数映射到实数或复数，从而使得函数也可以看作向量空间中的元素。同时，泛函也可以看作将向量空间中的向量映射到一个标量。

泛函分析中一个核心的概念是范数。范数是一种将向量空间中的向量映射到非负实数

的函数，可以看作在数学上定义了向量的长度。泛函分析中的范数并不局限于欧几里得空

间中常用的2-范数，我们可以定义各种各样的范数，根据不同的需求来选择合适的范数。

另一个很重要的概念是完备性。一个向量空间是完备的，意味着空间中的任何柯西序

列都可以收敛到该空间中的一个元素。在欧几里得空间中我们已经很熟悉了柯西序列与收

敛的概念，但在一般的向量空间中，柯西序列可能并不收敛，这就需要考虑向量空间的完

备性。

泛函分析有很多应用，其中比较重要的一类是微积分方程。通过泛函分析的分析工具，可以求解各种各样的微积分方程，比如把微分方程转化为积分方程。同时，泛函分析也被

应用于量子力学、图像处理、信号处理等很多学科中。

总之，学习泛函分析可以让我们从一个完全不同的角度来看待函数空间、向量空间等

数学概念，提供了一个更加广阔的数学视角。同时，泛函分析也是一个重要的研究领域，

泛函分析学习心得

学习《实变函数论与泛函分析》这门课程已有将近一年的时间，在接触这门课程之前就已经听闻这门课程是所有数学专业课中最难学的一门，所以一开始是带着一种“害怕学不好”的心理来学.刚开始接触的时候是觉得很难学，知识点很难懂，刚开始上课时也听不懂，只顾着做笔记了.后来慢慢学下来，在课前预习、课后复习研究、上课认真听课后发现没有想象中的那么难，上课也能听懂了.因此得出了一个结论：只要用心努力去学，所有课程都不会很难，关键是自己学习的态度和努力的程度.

在学习《泛函分析》的前一个学期先学习了《实变函数论》，《实变函数论》这部分主要学习了集合及其运算、集合的势、n 维空间中的点集、外测度与可测集、Lebesgue 可测集的结构、可测函数、P L 空间等内容，这为这学期学习《泛函分析》打下了扎实的基础.我们在这个学期的期中之前学习的《泛函分析》的主要内容包括线性距离空间、距离空间的完备性、内积空间、距离空间中的点集、不动点定理、有界线性算子及其范数等.下面我谈谈对第一章的距离空间中部分内容的理解与学习：

第一章第一节学习了线性距离空间，课本首先给出了线性空间的定义及其相关内容，这与高等代数中线性空间是基本一样的，所以学起来比较容易.接着是距离空间的学习，如果将n 维欧氏空间n R 中的距离“抽象”出来，仅采用性质，就可得到一般空间中的距离概念：

1.距离空间（或度量空间）的定义：

设X 为一集合，ρ是X X ⨯到n R 的映射，使得使得X z y x ∈∀,,，均满足以下三个条件：

（1）)(0,≥y x ρ，且)(0,=y x ρ当且仅当y x =（非负性）

[论文]泛函分析论文

泛函分析是现代数学的一个分支，其研究的主要对象是函数构成的空间。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的函数，算子和极限理论。主要内容有拓扑线性空间等。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科，是由对变换（如傅立叶变换等）的性质的研究和对微分方程以及积分方程的研究发展而来的。使用泛函作为表述源自变分法，代表作用于函数的函数。巴拿赫是泛函分析理论的主要奠基人之一，而数学家兼物理学家伏尔泰拉对泛函分析的广泛应用有重要贡献。

泛函分析是二十世纪三十年代从变分法、微分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法研究分析学的课题，可看作无限维的分析学。下面结合这学期的学习和内容从以下几个方面来浅谈泛函分析：

一、度量空间和赋范线性空间

1、度量空间现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽象空间。19世纪末叶，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础。20世纪初期,法国数学家M.-R.

弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念。度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧氏空间。这个空间中的欧几里德度量定义两点之间距离为连接这两点的直线的长度。定义：设X为一个集合，一个映射d：X×X→R。若对于任何x,y,z属于X，有（I）（正定性）d(x,y)≥0,且d(x,y)=0当且仅当x = y；（II）（对称性）d(x,y)=d(y,x)；（III）（三角不等式）d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z）则称d为集合X的一个度量（或距离）。称偶对（X，d）为一个度量空间，或者称X为一个对于度量d而言的度量空间。2、赋范线性空间泛函分析研究的主要是实数域或复数域上的完备赋范线性空间。这类空间被称为巴拿赫空间，巴拿赫空间中最重要的特例被称为希尔伯特空间。（一）、希尔伯特空间希尔伯特空间可以利用以下结论完全分类，即对于任意两个希尔伯特空间，若其基的基数相等，则它们必彼此同构。对于有限维希尔伯特空间而言，其上的连续线性算子即是线性代数中所研究的线性变换。对于无穷维希尔伯特空间而言，其上的任何态射均可以分解为可数维度（基的基数为50）上的态射，所以泛函分析主要研究可数维度上的希尔伯特空间及其态射。希尔伯特空间中的一个尚未完全解决的问题是，是否对于每个希尔伯特空间上的算子，都存在一个真不

泛函分析小论文[1]

泛函分析论文

泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学等分科中都有应用，是20世纪发展起来的一门新学科，其中泛函是函数概念的推广，对比函数是数与数之间的对应关系，我们发现泛函是函数和数之间的对应关系。在学习泛函分析前，我们先确定学习目标：理解和掌握“三大空间和三大定理”。学习中慢慢体味泛函分析的综合性及专业性。。

§1 度量空间

§1.1 定义：若是一个非空集合，是满足下面条件的实值函数，对于，有

（1）当且仅当；

（2）；

（3），

则称为上的度量，称为度量空间。

§1.2 度量空间的进一步例子

例：1、离散的度量空间，设是一个非空集合，，当

。

2、序列空间，是度量空间

3、有界函数全体，是度量空间

4、连续函数，是度量空间

5、空间，是度量空间

§1.3度量空间中的极限，稠密集，可分空间

§1.3.1极限：类似数学分析定义极限，如果是中点列，如果

，使，则称点列是中的收敛点列，x是点列的极限。

同样的类似于，度量空间中收敛点列的极限是唯一的。

§1.3.2稠密子集与可分空间:设X是度量空间，E和M是X中两个子集，令

,那么称集M在集E中稠密，当E=X时，称M为X的一个稠密子集，如果X有一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。

即：

§1.3.3 例子

1、 n维欧氏空间是可分空间；

2、坐标为有理数的全体是的可数稠密子集；

3、是不可分空间。

§1.4 连续映射

小波,泛函分析学习感悟,超详细汇总

小波，泛函分析学习感悟，超详细汇总

泛函分析知识总结与举例、应用学习感悟

一、度量空间和赋范线性空间〔一〕度量空间

度量空间在泛函分析中是最根本的概念，它是n维欧氏空间R〔有限维空间〕的推

广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X是一个集合，假设对于X中任意两个元素x，y,都有唯一确定的实数d(x,y)

与之对应，而且这一对应关系满足以下条件： 1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ? x=y 〔非负性〕 2°d(x,y)= d(y,x) 〔对称性〕

3°对?z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) 〔三点不等式〕

那么称d(x,y)是x、y之间的度量或距离〔matric或distance〕，称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space)。〔这个定义是证明度量空间常用的方法〕注意:⑴定义在X中任意两个元素x，y确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称

为度量。这里“度量〞这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵度量空间中由集合X和度量函数d所组成，在同一个集合X上假设有两个不同的度量函数d1和d2，那么我们认为(X, d1)和(X, d2)是两个不同的度量空间。

⑶集合X不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点〞，例如假设x?X，那么称为“X中的点〞。

⑷在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d，而称“度量空间X〞。

泛函分析总结范文

泛函分析是数学中的一个重要分支领域，主要研究无穷维空间上的函

数和算子的性质及其应用。泛函分析是分析学、线性代数和拓扑学的交叉

学科，涉及了大量的数学工具和理论。本文将对泛函分析的基本概念、主

要内容和一些典型应用进行总结。

泛函分析的基本概念主要包括：线性空间、范数、完备性等。线性空

间是泛函分析的基础，它是一个向量空间，具有加法和标量乘法运算，并

且满足数乘和向量加法的线性性质。范数是用来度量线性空间中向量的大

小的一种方法，它满足非负性、齐次性和三角不等式等性质。完备性是指

拓扑空间中的序列具有极限，即序列的极限点也在该空间中。

泛函分析的主要内容包括：线性算子、连续算子、紧算子、Hilbert

空间、巴拿赫空间等。线性算子是将一个线性空间映射到另一个线性空间

的映射，它保持向量的线性性质。连续算子是一种满足一些特定性质的线

性算子，它能够保持拓扑性质不变。紧算子是一种特殊的连续算子，它将

有界集映射为列紧集。Hilbert空间是一种完备的内积空间，具有内积和

范数的结构，它在量子力学和信号处理等领域有广泛应用。巴拿赫空间是

一种完备的范数空间，它在泛函分析和函数论中起着重要作用。

泛函分析的典型应用主要包括：函数逼近、偏微分方程、优化问题等。函数逼近是利用泛函分析的方法来研究函数序列的极限性质，它在信号处

理和图像处理等领域有广泛应用。偏微分方程是描述自然界中各种现象的

重要数学模型，通过泛函分析的方法可以研究其解的存在性和唯一性等性质。优化问题是在给定一定条件下寻求最优解的问题，泛函分析可以提供