第三章一元函数的积分学及其应用(1)共54页文档
高等数学 第三章 一元函数微积分学及其应用
y
y | x |
由此可知,函数 y | x | 在 x=0 处不可导.
O
x
图 2-8
13
二、 导数的定义
练习
1.求函数 y 2x 在 (1, 2) 的导数.
第三章 一元函数微分学及其应用
2.求函数 y x2 在点 x 1处的导数.
3. 已知函数 y | sin x |, 讨论函数在点 x 0 处的导数.
15
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
如果 y f x 在 a,b 内的每一点处均可导,则称 y f x 在 a,b
内可导. 这时 a,b 内的每一点都对应一个导数值,由函数的定义就可以得到一
个新函数,则称这个函数为原来函数的导函数,简称为导数,记作 f x, y,
dy 或 df (x) ,即有 dx dx
则割线 MN 的斜率为
tan y y0 f (x) f (x0 )
x x0
x x0
导数的几何意义
y
C
O
y f x
N Δy
M
Δx
x0
xx
图 3-6
6
一、 割线与切线
第三章 一元函数微分学及其应用
当 N M, 即 x→x0 时, 如果割线趋于一极限位置,我们就把此极限
位置上的直线MT 称为曲线在M点处的切线.
高等数学 第三章 一元函数微积分学及其应用
23
三、简单函数的求导
第三章 一元函数微分学及其应用
例9 求 f x loga xa 0,a 1 的导数.
解
loga
x
lim loga x x loga
x0
x
x
lim loga 1
x0
x
x x
x lim x
x0 x ln a
1 x ln a
特别地, ln x 1
x
24
四、左、右导数
函数 f x 在 x x0处可导的充要条件是 f x 在 x x0 处左、右导数
存在且相等.
现在,我们可回答函数 y | x | 在 x 0 处不可导的原因: f0 f0
27
四、左、右导数
第三章 一元函数微分学及其应用
例10
已知
f
x
sin
x
x
x0
x 0 ,求 f0, f0 及 f 0 .
15
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
如果 y f x 在 a,b 内的每一点处均可导,则称 y f x 在 a,b
内可导. 这时 a,b 内的每一点都对应一个导数值,由函数的定义就可以得到一
个新函数,则称这个函数为原来函数的导函数,简称为导数,记作 f x, y,
dy 或 df (x) ,即有 dx dx
D第三章一元函数积分学
(4) axdx ax C; l na
当 ae时 , exd xexC ;
(5) coxd sxsix nC; (6) six ndxcoxsC ; (7) se2x cdxtaxnC ; (8) cs2x cdxcoxtC ; (9) sextcaxd n xsexc C ; ( 1)0cs xcco x d x tcs x cC ;
2x
2c oxs4x5 2C.
ln2
5
其中 C = C1- 2C2 + 2C3,即各积分常数可以合并.
因此,求代数和的不定积分时,只需在最后写出一
个积分常数 C 即可.
例 6 求
(1 x)3 dx. x2
解
(1 x)3 dx x2
13x3x2x3dx x2
二、不定积分的基本性质
(1) f ( x ) d x f ( x ) 或 d f ( x ) d x f ( x ) d x .
(2) f(x)dxf(x)C
或
d f(x ) f(x )d (x ) f(x ) C .
基本积分表
(1) kdxkx C (k为常 ); 数 ( 2 )x d x1 1x 1 C , ( 1 ); (3) 1dxln| x|C;
令 3x + 2 = u 则
(整理)第三章一元函数的积分学
第三章 一元函数的积分学
§1 不定积分
【考试要求】
1.理解原函数与不定积分的概念,掌握不定
积分的基本性质和基本积分公式.
2.掌握不定积分的换元积分法和分部积分
法.
3.会求有理函数、三角函数有理式的积分和
简单无理函数的积分.
一、基本概念
1.原函数与不定积分定义
若()()F x f x '=,(,)x a b ∈,则称()F x 是()
f x 在(,)a b 内的一个原函数.(一般地,“在区间(,)a b 内”几个字常省略).
若()F x 是()f x 的一个原函数,则()F x C +也
是()f x 的原函数(其中C 为任意常数),()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分,记作()d f x x ⎰.
若()F x 是()f x 的一个原函数,则
()d ()f x x F x C =+⎰.
2.不定积分与原函数的关系
(1)不定积分与原函数是两个不同的概念,
前者是个集合,后者是该集合中的一个元素,因此
()d ()f x x F x ≠⎰.
(2)设()F x ,()G x 是()f x 的任意两个原函
数,则()()F x G x C =+((,)x a b ∈).
(3)原函数的几何意义:称()y F x C =+为
()f x 的积分曲线,其上横坐标为x 处的切线互相
平行.
3.原函数存在定理
设()f x 在(,)a b 内连续,则在(,)a b 内必有原函
数.
4.不定积分的基本性质
(1)()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰ (k 为常数);
(2)[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰;
一元函数积分学的应用
一元函数积分学的应用
一元函数积分学研究的是研究函数的整体性态,一元函数积分的本质是计算函数中分划的参数趋于零时的极限。 一元积分主要分为不定积分
⎰dx x f )(和定积分⎰
b
a
dx x f )(。化为函数
图像具体来说,不定积分是已知导数求原函数,也就是说,把f(x)积分,不一定能得到F(x),因为F(x)+C 的导数也是f(x)(C 是任意常数)。所以f(x)积分的结果有无数个,是不确定的。而定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积,可以说是不定积分在给定区间的具体数值化。因为积分在其它方面应用时一般都有明确的区间,所以本文主要研究定积分的各种应用。
积分的应用十分巧妙便捷,能解决许多不直观、不规则的或是变化类型的问题。故其主要应用在数学上的几何问题和物理上的各种变量问题和公式的证明以及解决一些实际生活问题。
微元法建立积分表达式
在应用微积分于实际问题时,首先要建立积分表达式,一般情况下,只要具备都是给定区间上的非均匀连续分布的量和都具有对区间的可加性这两个条件就都可以用定积分来描述(以下的讨论都是建立在这两个条件下,因此不再提示此条件)。
而建立积分表达式的方法我们一般用微元法。其分为两个步骤:(1)任意分割区间[]b a ,为若干子区间,任取一个子区间[]dx x x +,,求Q 在该区间上局部量的Q ∆的近似值dx x f dQ )(=
;(2)以dx
x f )(为被积式,在],[b a 上作积分即得总量Q 的精确值
⎰⎰==b a
b
a
dx x f dQ Q )(。(分割,近似,求和,取极限)
第三章 一元函数积分学
第三章一元函数积分学
内容提要:积分学是高等数学的主要内容之一,在考试中占有很大的比重,而一元函数积分又是其它积分的基础,后续的所有积分(重积分、曲线积分、曲面积分),其计算方法从本质上讲都是将积分化为定积分来计算的。同时,积分学复习的效果还将直接影响到后面级数和微分方程的复习。
一元函数积分学可分为不定积分和定积分两部分,其中不定积分是基础。从方法上讲,不定积分的计算方法有凑微分法、换元法和分部积分法,考生需要通过大量练习来熟练掌握这些积分法。从函数类型上讲,最基本的类型是有理函数积分法,其它特殊类型的积分(三角有理式、简单的无理函数)都是化为有理函数积分来计算的。在进行练习时,需要有意识地进行归纳总结以掌握各种常见类型函数的积分法。
一元函数积分学的主体应该是定积分,它在几何、物理及经济等领域有重要的用途,也是考查的重点。联系不定积分和定积分的纽带是牛顿—莱布尼兹公式,它是整个微积分中最重要的公式之一,被称之为微积分基本定理。基于该定理,我们可以用不定积分的计算方法来计算定积分。但要注意该定理成立的条件:被积函数在积分区间上必须是连续的。
广义积分是定积分的极限,它的计算过程也就是积分过程与取极限过程的统一,大多数广义积分的积分思路与定积分类似。
第一节不定积分
Ⅰ考点精讲
一.基本概念
1.原函数:如果在区间上,可导函数的导函数为,即对任意都有
或,则称为在区间上的原函数。
原函数存在定理:连续函数必存在原函数。
注:由于只相差一个函数的两个函数导函数相等,因此如果为的原函数,则对
任意的实数,仍为的原函数。
专升本高等数学课件 第三章
因此,利用逆向思维,可得基本积分公式表
二、 基本积分表
利用逆向思维
(1) kdx kx C
( k 为常数)
(2)
x dx
1 1
x 1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
x 0时
( ln
x
)
[ ln(x) ]
1 x
(4)
1
dx x
2
arctan
1
d
u u
2
arctan u C
Biblioteka Baidu
公式
[例7]求
[解]
dx
dx
a2 x2
a
1
(
x a
)2
d
(
x a
)
1
(
x a
)2
dx arcsin x C
a2 x2
a
公式
想到
du 1u2
arcsinu
C
[例8]
求
x
2
dx a
2
.
化乘除为加减—化为最简分式之和
[解]
x2
1 a2
1
(x
a)
根据积分公式(2) xdx x1 C
1
51
一元函数积分学
.
.
.
.
.
.
()
一元函数积分学
November 14, 2019 13 / 36
旋转体的体积
.
旋. 转体的体积
设立体 Ω 是由图形:
{(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}
绕 x− 轴旋转一周得到,称为旋转体。它的体积:
∫b
V = π f2(x)dx
.
a
.
.
.
.
.
.
()
一元函数积分学
November 14, 2019 14 / 36
旋转体的体积
.
例.
求椭圆
x2 y2 a2 + b2 = 1
绕. 着 x− 轴旋转一周所围的立体体积。
.
.
.
.
.
.
()
一元函数积分学
November 14, 2019 15 / 36
目录
1. 定积分的应用 面积问题 面积问题(极坐标下的区域) 已知平行截面面积求体积 旋转体的体积 曲线的弧长 旋转曲面的面积 由分布密度求质量 动态过程的积累效应
面积问题
.
例.
.计算心脏线 r = a(1 + cos θ)(|θ| ≤ π) 围城的图形的面积。
.
.
.
第3章 一元函数积分学
2020/10/29
22
解8
dx
4x x2
d(x2)
4(x2)2
arcsixn2C 2
2020/10/29
23
解9 se xc dx cs xc dx
1 cosx
dx
cosx cos2 x
dx
1d(ssii2xnn )x 令 sin xu
ud 2u11 2lnu u 1 1C
1lnsinx1 2 sinx1
却可以设法作一个代换x (t),而积分
f(x)dx f[(t)] (t)dt
可用基本积分公式求解
2020/10/29
32
定理2
设f(x)连续, x (t)是单调可导的连续函数, 且其导数(t)0,x(t)的反函数t–1(x)存 在且可导, 并且 f[(t)](t)dtF(t)C, 则 f(x)dxF[–1(x)]C
令: x2a2ux
dx x2 a2
x 2 a 2 u 2 2 u x 2 x a 2 u 2 2 ux
0 2 u 2 d u u 2 d x x d u u ( d u x ) d x u
dxdu dx du ux u x2a2 u
dxd u lu n C lx n x 2 a 2 C
*思考题:
1. cotxdx
2. (xad)(xxb)
3 .cx s d clx |n cx s c cx o | c t 4.sexcd x ln |ta2 xn 4 ()| c
第3章一元函数积分学8-11(反常积分)
无界函数的积分
定义 1.
设函数 f ( x ) 在区间(a , b]上连续,而在点 a 的
bBaidu Nhomakorabea
右邻域内无界.取 0 ,如果极限 lim a f ( x )dx 存
0
在,则称此极限为函数 f ( x ) 在区间(a , b]上的瑕积分, 记作 a f ( x )dx .
2 3 2 3
( x 1)
2 3
0 ( x 1) 1
3
lim 0
1 0
1 1
dx ( x 1) dx
3
3 3 2,
dx ( x 1) 3 dx
2 3
lim 1
2 0
2 3
3
2
( x 1)
2 3
0
( x 1)
3(1 3 2 ).
b
a f ( x )dx
b
lim a f ( x )dx
0
b
当极限存在时,称瑕积分收敛;当极限不存在 时,称瑕积分发散.
无界函数的积分
定义 2. 设函数 f ( x ) 在区间[a , b)上连续, 而在点 b 的 左邻域内无界 . 取 0 ,如果极限 lim a
解
第三章一元函数积分学及其应用教材
第三章 一元函数积分学及其应用 (1)
3.1 定积分的概念、性质、可积准则 (1)
3.1.1 定积分问题举例 ..................................................................................................... 1 3.1.2 定积分的概念 ......................................................................................................... 3 3.1.3 定积分的几何意义 ................................................................................................. 4 3.1.4 可积准则 ................................................................................................................. 5 3.1.5 定积分的性质 ......................................................................................................... 7 3.2 微积分基本定理 .. (10)
数学强化班(武忠祥)-高数第三章 一元函数积分学
第三章 一元函数积分学
第一节 不定积分
1.两个概念: 1)原函数: )()(x f x F =' 2)不定积分:⎰+=C x F x x f )(d )( 2.基本积分公式: 1) .arcsin d 22C a x x a x +=-⎰
2)⎰+±+=±C a x x a
x x ||ln d 2
222
3)
.arctan 1d 22C a
x a x a x +=+⎰ 4) ⎰+-+=-.||ln 21d 22C x a x
a a x a x 5) .|tan sec |ln d sec ⎰++=C x x x x 6) ⎰++-=.|cot csc |ln d csc C x x x x 3.三种主要积分法
1)第一类换元法(凑微分法)
若C x F x x x f C u F u u f +='+=⎰⎰))((d )())((则,)(d )(ϕϕϕ 2)第二类换元法:
C x F C t F dt t t f t x x x f +=+='=-⎰⎰))(()()())(()(d )(1
ϕ
ϕϕϕ
t a x a x t a x x a t a t a x x a sec ,iii)tan ,ii))cos (sin ,i)
222222=-=+=-
3)分部积分法 ⎰⎰-=vdu uv udv “适用两类不同函数相乘”
⎰⎰⎰⎰x x e x x x x x x e x x
n n x
n d sin ,cos )(p ,
d sin )(p ,d )(p βαααα, ⎰⎰⎰⎰x x x x x x x x x x x
高等数学一元函数积分学
(2) F (x)dx F(x) c 或 dF(x) F(x) c
定理2 kf ( x)dx k f ( x)dx (k 是常数,k 0)
定理3 [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
推论
n
n
fi (x)dx fi (x)dx
i 1
i 1
(二) 不定积分的基本积分公式
x
上任
取一点
,
i
以 [ xi1, xi ]为底,f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
3. 求和
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
4. 取极限
当分割无限加细, 即小区间的最大长度
max{x1, x2 ,Lxn } 趋近于零( 0) 时,
n
曲边梯形面积为
(7) sin xdx cos x C;
(二) 不定积分的基本积分公式
(8) sec2 xdx tan x C;
(9) csc2 xdx cot x C;
基 本
(10)
sec x tan xdx sec x C;
积 (11) csc x cot xdx csc x C;
A lim 0 i1
f (i )xi
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界,在[a, b]中任意插入
高等数学第三章 一元函数积分学
第三章 一元函数积分学
§3.1 不定积分
甲 内容要点
一.基本概念与性质
1.原函数与不定积分的概念
设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义,若()()x f x F ='在区间I 上成立,则称()x F 为()x f 在区间I 上的原函数,()x f 在区间I 中的全体原函数称为()x f 在区间I 的不定积分,记以()⎰dx x f 。其中⎰
称为积分号,x 称为积分
变量,()x f 称为被积函数,()dx x f 称为被积表达式。 2.不定积分的性质 设
()()C x F dx x f +=⎰,其中()x F 为()x f 的一个原函数,C 为任意常数。
则(1)()()C x F dx x F +='⎰
或 ()()⎰+=C x F x dF
(2)
()[]()x f dx x f ='
⎰ 或 ()[]()dx x f dx x f d =⎰
(3)()()⎰
⎰=dx x f k dx x kf (4)
()()[]()()⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f
3.原函数的存在性
设()x f 在区间I 上连续,则()x f 在区间I 上原函数一定存在,但初等函数的原函数不一定是初等函数。例如
()⎰dx x 2sin ,()
⎰dx x 2
cos ,⎰
dx x x sin ,⎰dx x x cos ,⎰x
dx ln ,dx e x ⎰-2
等。被积函数有原函数,但不能用初等函数表示,故这些不定积分均称为积不出来。
二.基本积分公式
1.C x dx x ++=⎰+1
1
第三章 一元函数积分学及其应用
就规定为曲边梯形面积的精确值,即 A= lim f ( k )x k ;
d 0 k 1 n
2. 物质非均匀分布的细棒质量问题 以上问题的思路也可以分解为下列四个具体求解步骤: 分:在区间 [0, l ] 内任意插入 n 1 个分点:
0 x0 x1 x 2 x n 1 x n l ,
证
b
a
=
b
a
.
)
设
f ( x)dx = I ,
a
b
则有
lim
T 0
f ( x )x
i
i
=I . 即 对
0 , 0 , 使当 T 时有
|
f ( x )x
i
i
I | <
2
对 i xi 使 0 M i f ( i )
(k 1,2, , n) ;
合:将所有小曲边梯形的面积的近似值加起来得到曲边梯形面积 A 的近似 值: A
k 1 n
f ( k ) x k
精 : 当 n 越大并且每个子区间的长度越小时,上面的表达式越精确,因此, 当所有子区间长度的最大值(记作 d max {x k } )趋于 0 时,上面和式的极限
[ x , xi ]
M i sup f ( x) .
第三章 一元函数积分学
( x) F ( x) C, ( x) F ( x) C.
2
2 2 cot xdx (csc x 1)dx 解
cot x x C .
dx (7) csc xdx 2 cot x C sin x
2
dx tan x C (8) sec xdx 2 cos x
2
sec x tan xdx sec x C (10) csc x cot xdx csc x C
(9)
把它们化为
的形式,再用基本积分公式求之. x x 3 例6求 e dx . x x x ( 3 e ) 3 e x x x C C 解 3 e dx (3e) dx ln(3e) 1 ln 3 提示 若基本积分表中没有这种类型的积分,可先
将被积函数变形化为表中类型的积分后再求之.
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数. ) (2) F ( x) C包括了 f ( x的所有原函数 .
证 (1) 对于任意常数C,
( F ( x) C ) F ( x) f ( x) x I ,
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2)
x dx x 1 C
1
( 1是常数);
3)
1dx x
ln
|
x
|
C
;
4)
a x dx
ax ln a
C
(a
0,
a
1) ;
5) e x dx e x C ;
6) sin xdx cos x C ;
7) cos xdx sin x C ;
8)
sec2 xdx
1 c os2
(1)
dx
a 2 x2 (a 0) ;
dx
(2) x2 a2 .
解
dx
11
1
x
x
(1)
dx
d ( ) arcsin C
a2 x2
1 ( x)2 a
1 ( x)2 a
a
a
a
(2)
dx x2 a2
1 a
1
1 x a
2
d
(
x a
)
1 arctan a
x a
C
.
例 2 求下列积分
k(fx)dx kf(x)dx
性质3 [ f ( x ) d x ] f ( x ) 或 d f ( x ) d x f ( x ) d x .
性质4 F(x)dx F(x) C 或 dF(x) F(x) C .
2. 不定积分直接积分法
不定积分的基本公式
1) kdx kx C ( k 是常数);
1 x
f
(ln
x)dx
f
(ln
x)d
ln
xຫໍສະໝຸດ Baidu
1
f
(tan x)
c os2
dx x
f
(tan x)d
13) csc x cot xdx csc x C .
直接积分法 利用不定积分的运算性质和积分基本公式,
直接求出不定积分的方法。关键在于对被积函数 进行恒等变形
例
求不定积分
1 x
x2 x
dx
.
解
1 x2
dx
(1
x2
)x
3 2
dx
3
x 2 dx
1
x 2 dx
xx
1
1 3
x 2
3
分公式求得不定积分,所以这种方法又称“凑微分法”. 凑微分法的解题过程,用式子可以表示为:
g(x)dx通过变形 f [(x)](x)dx f [(x)]d(x)(凑微分)
令u (x) f (u)du (换元)
F(u) C
(积分)
(x) u F[(x)] C . (还原)
例 1 求下列积分
说明 使用此公式的关键在于将
g(x)dx 化为 f[(x) ](x)d.x
观察重点不同,所得结论不同.
如果要求的不定积分是 g(x)dx ,先要把被积表达
式 g(x)dx “ 凑 成 ” 某 一 已 知 函 数 的 微 分 形 式 f [(x)]d(x) ,以便引进新变量 u (x) 使用基本积
f(x)的不定积分的几何意义就表示相互平行的积分 曲线族.这些积分曲线在横坐标相同的点x处的切线相互 平行
3)不定积分的性质
性质1 设函数 f ( x)及 g( x)的原函数存在,则
[ f( x ) g ( x ) ] d x f( x ) d x g ( x ) d x
性质2 设函数 f ( x) 的原函数存在, k为非零常数,则
1 1
1 1
x2
C
.
1
1
2
2
1
2x 2
2
3
x2
C
3
3. 不定积分的换元积分法
1)第一类换元积分法(凑微分法) 定理 设函数 f (u) 存在原函数 F(u) ,u (x) 可
导,则有公式
f [(x)](x)dx f (u)du F[(x)] C
上述公式称为不定积分的第一类换元积分公式.
(3)
cscxdx
1 sin
x
dx
sin 2 x 2
2 s in
cos2 x 2 dx
xx cos
22
tan
x 2
cot
x d x 2 2
ln
cos
x 2
ln sin
x 2
C
ln
t
a
nx 2
C
.
(4)
sec xdx
1 cos
x
dx
d
2
x
sin
2
x
c
sc(
2
x)d(
2
x)
ln csc( x) cot( x) C ln sec x tan x C
2
2
.
常见的凑微分形式有:
f
(ax
b)dx
1 a
f
(ax b)d (ax
b)
x n f (x n1 )dx 1 n 1
f ( x n1 )dx n1 ;
f (sin x) cos xdx f (sin x)d sin x
e x f (e x )dx f (e x )dex ;
第一节 一元函数的积分
一、不定积分 二、定积分 三、广义积分
一、不定积分
1. 不定积分的概念和性质
1)原函数与不定积分的概念
定义1 设函数f 与F 在区间I上有定义,若
F '(x ) f(x )或 d F (x ) f(x )d x x I,
则称F为f 在区间I上的一个原函数
问题: (1)什么条件下,一个函数的原函数存在? ( 2 )如果f (x)有原函数,一共有多少个? ( 3 )任意两个原函数之间有什么关系?
定理2 如果函数F(x)是函数f(x)的一个 原函数,则F(x)+C(C为任意数)是f(x)的全 部原函数.
2)不定积分的几何意义
如果F(x)是f(x)的一个原函数,则F(x)所对应 的曲线称为函数f(x)的一条积分曲线,将这条积分曲线 沿轴方向上下任意平行移动,就得到F(x)+C,即为积分 曲线族.在每一条积分曲线上作横坐标相同的点处的切线, 这些切线都是相互平行的.
① lnx1 (x0)
x ln x是 1在 区 间 (0,) 内 的 原 函 数 .
x
② f(x)d xF (x)C
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
定理1(原函数存在定理) 如果函数f(x) 在某个区间上连续,那么f(x)在该区间上一定 存在原函数.
简单理解:连续函数一定有原函数
x
dx
tan
x
C
;
9)
csc2
xdx
1 sin 2
dx x
cot
x
C
;
10)
1 dx arcsin x C arccos x C
1 x2
;
1
11) 1 x 2 dx arctanx C arc cot x C ;
12) sec x tan xdx sec x C ;
(1) tan xdx ;(2) cot xdx ;(3) csc xdx ;(4) sec xdx .
解
(1)
tan
xdx
sin cos
x x
dx
1 cos
x
d
cos
x
1 u
du
ln
|
u
|
C
ln
|
cos
x
|
C
.
即
tan x d xln|c o xs|C .
(2)类似地可得 cot xdx ln |sin x|C .