微分几何陈维桓新编习题答案
微分几何-陈维桓-习题答案2
习题答案2
p.58 习题3.1
2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上,命(0,0,1)N =,(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =,可以作为一的一条直线经过,N p 两点,它与球面有唯一的交点,记为p '.
<1> 证明：点p '的坐标是
2221u x u v =++,2221
v y u v =++,222211u v z u v +-=++, 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示；
<2> 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示；
<3> 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；
<4> 证明球面是可定向曲面.
证明. <1> 设(,)r u v Op '=. 如图,,,N p p '三点共线,故有t ∈使得
(1)Op tOp t ON '=+-. <1> 由于21Op ON ==',222u v Op =+,0Op ON '⋅=,0t ≠,取上式两边的模长平方,得222/(1)t u v =++. 从而
22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭,2(,)u v ∈. <2>
由<1>可知
(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-,
又2()dt t udu vdv =-+,所以
微分几何陈维桓习题答案3
习题答案3
p. 148 习题4.1
1. 求下列曲面的第二基本形式：
(1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕθϕθϕ=；
(2) 旋转椭圆抛物面：()22
12
,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+-；
(4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =.
解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θϕθθ=-，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ϕϕθϕθϕ=--，
()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θϕϕϕθϕθϕ⨯=，22
(,)ππϕ⇒∈- )2
1
cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ϕθϕθϕ=
.
又
()cos cos ,sin ,0r a θθϕθθ=-，()sin sin ,cos ,0r a θϕϕθθ=-，
()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕϕϕθϕθϕ=-.
所以
2cos ab L ϕ
=
，0M =
，N =
，
)222
II cos d d ϕθϕ=+.
(2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ⨯=--
，),,1n u v =--.
()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =
微分几何陈维桓精品
习题答案1
p.41 习题2.3
1. 求下列曲线的曲率：
(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =-+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.
解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=-+，)2|()|321r t t '=+,
()()6,1,r t t t ''=-, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=--+,
)
2|()()|1r t r t t '''⨯=+, 2213(1)t κ=
+. (4) ()1()s i n 23c o s ,3s i n ,42r t t t t '=--，5|()||sin2|2r t t '=, ()()1()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02
r t t t t t t t ''=--+, ()()21()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04
r t r t t t t t t '''⨯=--⨯ ()23s i n 24c o s ,4s i n ,34t t t =--， 25|()()|sin 24
r t r t t '''⨯=，225|sin 2|t κ=，(2(21)t k π≠+). 4. 求曲线222229,3
x y z x z ⎧++=⎪⎨-=⎪⎩在()2,2,1处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为()()(),(),()r s x s y s z s =, ()(0)2,2,1r =，0(0)r α=，00(0)r κβ=. 则(),(),()x s y s z s 满足题给的方程组，所以有
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习
题答案 2
p. 58 习题3.1
2. 在球面2222
{(,,)|1}S x y z x y z 上，命(0,0,1)N ，(0,0,1)S . 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v ，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p . (1) 证明：点p 的坐标是
2
2
21
u x
u
v
，2
2
21
v y
u
v
，222
2
11
u v z
u
v
，
并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示；
(2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示；(3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；(4) 证明球面是可定向曲面.
证明. (1) 设(,)r u v Op . 如图，,,N p p 三点共线，故有t
R 使得
(1)Op
tOp
t ON .
(1)
由于2
1
Op ON ，2
2
2
u
v Op
，0Op ON
，0t
，取上式两边的模长平
方，得2
2
2/(1)t
u
v
. 从而
222
2
2
2
2
2
221,
,
111
u
v
u v u
v
u
v
u
v
，2
(,)
u v R .
(2)
由(1)可知
(,,1)(0,0,1)
(,,1)r
Op
tNp ON t u v tu tv t ，
又2
()dt
t udu
vdv ，所以
2
(,,1)
(1,0,0)u
r t u u v t ，2
(,,1)(0,1,0)v
r t v u v t ，22
2
2
2
(,,()
1)(,,1)
0t tu tv t u v t tu tv t t r
. (3)
因此(,)r r u v 给出了2
{}S
N 的正则参数表示.
(2)令(,,0)q u v 是,S p 两点连线与赤道平面的交点. 同理，有(1)(,,1)Op
微分几何陈维桓习题答案3
习题答案3
p. 148 习题4.1
1. 求下列曲面的第二基本形式：
(1)√旋转椭球面：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕθϕθϕ=；
(2) 旋转椭圆抛物面：()2212
,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物面：()(),(),2r a u v a u v uv =+-；
(4)√一般柱面：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲面：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θϕθθ=-，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ϕϕθϕθϕ=--，
()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θϕϕϕθϕθϕ⨯=，22(,)ππϕ⇒∈-
)21cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ϕθϕθϕ=
.
又 ()cos cos ,sin ,0r a θθϕθθ=-，()sin sin ,cos ,0r a θϕϕθθ=-，
()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ϕϕϕθϕθϕ=-.
所以
222cos ab L b ϕ-=+，0M =
，N =， )222II cos d d ϕθϕ=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ⨯=--，)2,,11n u v u =--+. ()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，)22II 1du dv u v =++.
微分几何陈维桓习题答案3
微分⼏何陈维桓习题答案3
习题答案3
p. 148 习题4.1
1. 求下列曲⾯的第⼆基本形式：
(1)√旋转椭球⾯：()cos cos ,cos sin ,sin r a a b ?θ?θ?=；
(2) 旋转椭圆抛物⾯：()2212
,,()r u v u v =+； (3) 双曲抛物⾯：()(),(),2r a u v a u v uv =+-；
(4)√⼀般柱⾯：()(),(),r f u g u v =；(5)√劈锥曲⾯：()cos ,sin ,()r u v u v f v =. 解. (1) ()cos sin ,cos ,0r a θ?θθ=-，()sin cos ,sin sin ,cos r a a b ??θ?θ?=--，
()cos cos cos ,cos sin ,sin r r a b b a θθ?θ??=，22(,)ππ??∈-
)21cos cos ,cos sin ,sin sin n b b a a ?θ?θ?=
.
⼜ ()cos cos ,sin ,0r a θθ?θθ=-，()sin sin ,cos ,0r a θ??θθ=-，
()cos cos ,cos sin ,sin r a a b θ?θ?=-.
所以
222cos ab L b ?-=+，0M =
，N =， )222II cos d d ?θ?=+. (2) ()1,0,u r u =，()0,1,v r v =，(),,1u v r r u v ?=--，)2,,11n u v u =--+. ()0,0,1uu r =，0uv r =，()0,0,1vv r =，)22II 1du dv u v =++.
最新微分几何陈维桓习题答案3
最新微分几何陈维桓习题答案3
微分几何陈维桓习题
答案3
习题答案3
p. 148 习题4.1
1.求下列曲面的第二基本形式：
(1)√旋转椭球面：?Skip Record If...?；
(2) 旋转椭圆抛物面：?Skip Record If...?；
(3) 双曲抛物面：?Skip Record If...?；
(4)√一般柱面：?Skip Record If...?；(5)√劈锥曲面：?Skip Record If...?.
解. (1) ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，
Skip Record If...?，?Skip Record If...?
Skip Record If...?.
又
Skip Record If...?，?Skip Record If...?，
Skip Record If...?.
所以
Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，
Skip Record If...?.
(2) ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?.
Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?.
(3) ?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?.
最新微分几何陈维桓习题答案4
微分几何陈维桓习题
答案4
习题答案4
p. 202 习题5.1
1.设可允许的参数变换«Skip Record If...»是保持定向的，即«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...».用«Skip Record If...»表示曲面«Skip Record If...»在参数系«Skip Record If...»下的第一、第二类基本量，用«Skip Record If...»，«Skip Record If...»表示曲面«Skip Record If...»在参数系«Skip Record If...»下的第一、第二类基本量.证明：
«Skip Record If...»， «Skip Record If...».
证明. (1) 因为«Skip Record If...»，所以在可允许参数变换下，
«Skip Record If...».
上式两边作为«Skip Record If...»的二次型相等，所以«Skip Record If...».
(2) 设«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...».令
«Skip Record If...».
则有«Skip Record If...». 于是
«Skip Record If...».
因为«Skip Record If...»，这说明在两个参数系下，有
«Skip Record If...».
于是
«Skip Record If...»
和(1)中一样，可得«Skip Record If...».□
微分几何陈维桓习题答案
习题答案2
p. 58 习题3.1
2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '.
(1) 证明：点p '的坐标是
2221u x u v =++，2221
v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示；
(2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示；
(3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；
(4) 证明球面是可定向曲面.
证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈使得
(1)Op tOp t ON '=+-. (1)
由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '⋅=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而
22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11
u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈. (2)
由(1)可知
(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-，
又2()dt t udu vdv =-+，所以
微分几何_陈维桓_习题答案
习题答案1
p.41 习题2.3 1. 求下列曲线的曲率：
(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.
解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,
()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=
−−+,
)2|()()|181r t r t t '''⨯=+, 22
1
3(1)t κ=
+.
(4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42
r t t t t '=−−，5
|()||sin 2|2r t t '=,
()()1
()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02
r t t t t t t t ''=−−+,
()()21
()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯
()23
sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，
25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，2
25|sin 2|
t κ=
，(2(21)t k π≠+). 4. 求曲线222
22
9,
3
x y z x z ⎧++=⎪⎨−=⎪⎩在()2,2,1处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为()()(),(),()r s x s y s z s =, ()(0)2,2,1r =，
微分几何_陈维桓_习题答案2
习题答案2
p. 58 习题3.1
2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是
2
221u x u v =++，2221v
y u v =++，2222
11
u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示；
(2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面.
证明. (1) 设(,)r u v Op '=
. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得
(1)Op tOp t ON '=+-
. (1)
由于21Op ON ==' ，222
u v Op =+ ，0Op ON '⋅= ，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而
222222
21
(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++ 22222222
221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭
，2
(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-
《微分几何》陈维桓习题及答案
§ 6.1 测地曲率
1. 证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数。
证明： 设旋转面方程为{()cos ,()sin ,()}
r f v u f v u g v =，
22222()()(()())()f v du f v g v dv ''I =++，
222(),()()
E f v G f v g v ''==+
纬线即u
—曲线：0
v v =（常数），
其测地曲率为2
'2'21ln 1ln 22u g E f k v v G f g
∂∂=-=-
∂∂+ 0'2
'2
000'()
()()()
f v f v f v
g v =-
+为常数。
2、
证明：在球面S
(cos cos ,cos sin ,sin )r a u v a u v a u =，
,0222
u v ππ
π-
<<<< 上，曲线
C
的测地曲率可表示成
()()sin(())g d s dv s k u s ds ds
θ=- ， 其中((),())u s v s 是球面S 上曲线C 的参数方程，
s
是曲线C 的弧长参数，
()s θ是曲线C 与球面上经线（即u -曲
线）之间的夹角。
证明 易求出2
E a =, 0
F =,2
2
cos G a u =,
因此
1ln 1ln cos sin 22g d E G k ds v u G E
θθθ∂∂=
-+∂∂
221ln(cos )sin 2d a u ds a u
θθ∂=+∂
sin sin cos d u ds a u
θθ=
-，
而11sin sin cos dv ds
a u G
θθ
==，
故 sin g
微分几何_陈维桓_习题答案
习题答案1
p.41 习题2.3 1. 求下列曲线的曲率：
(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.
解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,
()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=
−−+,
)2|()()|181r t r t t '''⨯=+, 22
1
3(1)t κ=
+.
(4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42
r t t t t '=−−，5
|()||sin 2|2r t t '=,
()()1
()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02
r t t t t t t t ''=−−+,
()()21
()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯
()23
sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，
25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，2
25|sin 2|
t κ=
，(2(21)t k π≠+). 4. 求曲线222
22
9,
3
x y z x z ⎧++=⎪⎨−=⎪⎩在()2,2,1处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为()()(),(),()r s x s y s z s =, ()(0)2,2,1r =，
最新微分几何陈维桓习题答案2
微分几何陈维桓习题
答案2
习题答案2
p. 58 习题3.1
2. 在球面«Skip Record If...»上，命«Skip Record If...»，«Skip Record If...». 对于赤道
平面上的任意一点«Skip Record If...»，可以作为一的一条直线经过«Skip Record If...»两点，它与球面有唯一的交点，记为«Skip Record If...».
(1) 证明：点«Skip Record If...»的坐标是
«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，
并且它给出了球面上去掉北极«Skip Record If...»的剩余部分的正则参数表示；
(2) 求球面上去掉南极«Skip Record If...»的剩余部分的类似的正则参数表示；
(3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；
证明. (1) 设«Skip Record If...». 如图，«Skip Record If...»三点共线，故有«Skip Record If...»使得
«Skip Record If...». (1) 由于«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，取上式两边的模长平方，得«Skip Record If...». 从而
«Skip Record If...»
«Skip Record If...»，«Skip Record If...». (2) 由(1)可知
微分几何 陈维桓 习题答案
习题答案1
p.41 习题2.3 1. 求下列曲线的曲率：
(2) ()323()3,3,3r t t t t t t =−+；(4) ()33()cos ,sin ,cos2r t t t t =.
解. (2) ()22()31,2,1r t t t t '=−+，)2|()|321r t t '=+,
()()6,1,r t t t ''=−, ()22()()181,2,1r t r t t t t '''⨯=
−−+,
)2|()()|181r t r t t '''⨯=+, 22
1
3(1)t κ=
+.
(4) ()1()sin 23cos ,3sin ,42
r t t t t '=−−，5
|()||sin 2|2r t t '=,
()()1
()cos23cos ,3sin ,4sin 23sin ,3cos ,02
r t t t t t t t ''=−−+,
()()21
()()sin 23cos ,3sin ,43sin ,3cos ,04r t r t t t t t t '''⨯=−−⨯
()23
sin 24cos ,4sin ,34t t t =−−，
25|()()|sin 24r t r t t '''⨯=，2
25|sin 2|
t κ=
，(2(21)t k π≠+). 4. 求曲线222
22
9,
3
x y z x z ⎧++=⎪⎨−=⎪⎩在()2,2,1处的曲率和密切平面方程. 解. 设曲线的弧长参数方程为()()(),(),()r s x s y s z s =, ()(0)2,2,1r =，
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习
题答案2
p. 58 习题 2. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '.
(1) 证明：点p '的坐标是
2221u x u v =++，2221
v y u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示；
(2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示；
(3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换；
(4) 证明球面是可定向曲面.
证明. (1) 设(,)r u v Op '=u u u v v . 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得 (1)Op tOp t ON '=+-u u u v u u v u u u v . (1) 由于21Op ON =='u u u v u u u v ，222u v Op =+u u v ，0Op ON '⋅=u u u v u u u v ，0t ≠，取上式两边的模长平方，
得222/(1)t u v =++. 从而
22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭
，2(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知 (,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-u u u v u u u v u u u v v ， 又2()dt t udu vdv =-+，所以 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+v ， 22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠v v . (3) 因此(,)r r u v =v v 给出了2\{}S N 的正则参数表示.
(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有 (1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-u u u v u u v u u u v ，222/(1)t u v =++，
22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ⎛⎫--'=== ⎪++++++⎝⎭u u u v ，2(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+v ，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+v ， 22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠v v . (5)
因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示.
(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为
22u u u v =+，22
v v u v =+. (6) 由(3)和(5)可知
22222222222(,)(1)10(,)(1)()
u v t u v u v t u v u v ∂++=-=-=-<∂+++. 所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.
注. 如果采用复坐标，令,z u i v w u i v =+=-，则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.
(4) 在2\{}S N 上采用(1)式给出的正则参数表示，在2\{}S S 上采用正则参数表示
则在公共部分的参数变换公式为
22u u u v =
+%，22v v u v
-=+%. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且 22222222222222222()()2222()()(,)10(,)
()
v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v -++--++∂==>∂+%%， 所以2S 是可定向的. □ 5 写出单叶双曲面2222221x y z a b c +-=和双曲抛物面22
222x y z a b
=-作为直纹面的参数方程.
解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆 ()(cos ,sin ,0)a u a u b u =v ，(0,2)u π∈ 为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =v . 则直纹面的参数方程为 ()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++v v v . 由于(,)r u v v 的分量满足单叶双曲面的方程，可得
222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++-=，v ∀∈R .
由v 得任意性得到
cos ()sin ()0uX u uY u +=，222()()()X u Y u Z u +=. 因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =-±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =-v 得 ()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =-+v ，(,)(0,2)u v π∈⨯R .
(2) 对双曲抛物面，令()x a u v =+，()y b u v =-，则2z uv =. 曲面的参数方程为
(,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+-=-+，2(,)u v ∈R .
p. 94 习题
1. 证明：一个正则参数曲面S 是球面⇔它的所有法线都经过一个固定点.
证明. “⇒”设S 是球面，参数方程为(,)r u v v ，球心为a v ，半径为R . 则有 22((,))r u v a R -=v v ，,u v D ∀∈. (1)
微分可得 ()0u r r a -=v v v ，()0v r r a -=v v v . (2) 所以()//u v r a r r -⨯v v v v ，从而u v r a r r λ-=⨯v v v v ，即有函数(,)u v λλ=使得 (,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=-⨯v v v v . (3) 这说明球心a v 在它的所有法线上.