第三章布朗运动2.
胶体化学第3章
Fick第一扩散定律只适用于浓度梯度恒定的情况。实际上在 扩散时，浓度梯度是不断变化的。所以浓度随时间的变化为：
dc d c D 2 dt dx
2
Fick第二扩散定律
通过扩散试验，并运用Fick扩散定律，可求粒子的扩散系数 D；从D可求得粒子的大小和形状。
例题：
1、在下述条件下计算和比较质点在重力场中和离心力场中的 沉降速度：质点半径 r = 1x10-7m；分散相密度ρ=2x103Kg/m3； 分散介质密度ρ0=1x103 Kg/m3；黏度η=1x10-3Pa· s；离心加速 度ω2x=200g. 2、计算和比较上题中的质点在重力场和离心力场中沉降高度 H=0.1m时的沉降时间。 3、在300K为使半径为5x10-8m的质点发生沉降需用多大离心 加速度的离心机？已知质点密度ρ=3x103Kg/m3；分散介质密 度ρ0=1x103 Kg/m3；黏度η=1x10-3 Pa· s。
I
24 cv
3
2
4
n2 n1 2 （ 2 ) I0 2 n2 2n1
2
2
上式称为Rayleigh散射定律。由此定律可知：
——散射光的强度与入射光波长的4次方成反比，即波长越 短的光越易被散射。
——散射光的强度与单位体积中的质点数成正比。
——散射光的强度与粒子体积的平方成正比。 (利用丁达尔现象可以鉴别溶胶和真溶液) ——散射光的强度与入射光的强度I0成正比。 ——粒子的折射率与周围介质的折射率相差越大，粒子的散 射光越强。
二、Rayleigh散射 产生光散射的因素很多，这里只介绍Rayleigh散射。 （1）光散射的基本原理 ——在极高频率的电场中，粒子本身也将以极高频率 振荡。 一个带有电荷q的粒子放在电场E中，它就会受到电场 力F，如果粒子的质量为m，力F将使它产生一个加速 q 度 a， a E F qE F ma m ——由电磁理论可知，任何带电粒子发生振荡时都可 以成为电磁辐射源。因此，一个振动的偶极子就成为 一个辐射源，向空间发射电磁波。散射波强度 I∝a2∝(q/m)2E2
标准布朗运动
标准布朗运动布朗运动是19世纪末由英国植物学家罗伯特·布朗首次观察到的一种微观粒子的不规则运动现象。
这种运动是由于流体分子不断与微粒碰撞而引起的，因此也被称为扩散运动。
标准布朗运动是指在特定条件下，微粒在液体中表现出来的布朗运动现象，其运动规律已经被广泛研究和应用。
首先，标准布朗运动的特点是微粒在液体中呈现出无规则的、随机的运动轨迹。
这种运动是由于液体分子与微粒不断碰撞，使得微粒在液体中做出不规则的运动。
这种运动的轨迹是不可预测的，因此也被称为随机运动。
在实际观察中，我们可以通过显微镜观察到微粒在液体中的运动轨迹，可以看到微粒的运动路径是曲曲折折的，且没有规律可循。
其次，标准布朗运动的速度和位移是随机的。
由于微粒受到液体分子的不断碰撞，其速度和位移是随机变化的。
在研究中，我们可以通过对微粒的运动轨迹进行分析，得出微粒的速度和位移的分布规律。
实验结果表明，微粒的速度和位移呈现出正态分布的特点，这也说明了标准布朗运动的随机性和不可预测性。
此外，标准布朗运动的理论模型已经得到了广泛的应用。
在科学研究和工程技术领域，标准布朗运动的理论模型被用来研究微粒在流体中的扩散过程，以及纳米颗粒在生物体内的运输和扩散等问题。
同时，标准布朗运动的理论模型也被应用于金融领域，用来描述股票价格的随机波动和变化规律。
可以说，标准布朗运动的理论模型已经成为了描述随机运动和随机过程的重要工具。
总的来说，标准布朗运动是一种重要的随机运动现象，其特点是微粒在液体中呈现出随机的运动轨迹，速度和位移是随机变化的。
标准布朗运动的理论模型已经被广泛应用于科学研究、工程技术和金融领域，成为了描述随机运动和随机过程的重要工具。
通过对标准布朗运动的研究和应用，我们可以更好地理解微观粒子的运动规律，为相关领域的研究和应用提供理论支持和技术手段。
人教版八年级物理上下册知识点归纳全
人教版八年级物理上下册知识点归纳全八年级物理上册知识点归纳第一章认识电第一节电的基本概念1. 电：物理学中的一种基本运动形式。
2. 电流：电荷在导体中移动的现象。
3. 电荷：负电荷和正电荷是两种性质不同的基本电荷。
4. 电压：电荷在电场中移动的势力差。
5. 电阻：导体对电流流动的阻碍力量。
6. 电线：将电流从发电站输送到用户的电力设备。
7. 静电：电荷相互作用形成的现象。
8. 电池：将化学能转化为电能的装置。
9. 电路：导体形成的接通电流的路径。
10. 安全电线颜色：零线为蓝色，火线为棕色，保护线为黄绿色。
第二节电路中的电阻和电流1. 电阻的大小：电导率和导体的长度、横截面积有关。
2. 电阻率：单位长度、截面积内导体电阻的大小。
3. 欧姆定律：电阻为定值，电流与电压成正比。
第三节静电场1. 静电场：电荷会在周围的空间产生电场，受力与电场强度成正比。
2. 万有静电力：相同电荷之间作用力为斥力，不同电荷之间作用力为吸引力。
第四节电能和电功率1. 电能：电荷在电场中移动的过程中，随着电势差的降低而变成其他形式的能量。
2. 电功率：单位时间内消耗的电能。
第五节制作电池1. 电化浸渍法制作锰碱性电池。
2. 制作银离子电池。
3. 实验室制作干电池。
第二章感受电第一节用电器的基本性质1. 用电器的功率与电流的大小成正比。
2. 用电器的使用寿命与工作温度、湿度等因素有关。
3. 用电器的损坏与过流、过压等因素有关。
第二节电阻在使用中的表现1. 电线在长距离传输时会产生电阻，需要加电缆槽等装置加强传输效果。
2. 电器每次通电会产生热量，这种现象称作焦耳效应。
3. 电线抗拒变化，电路中会出现电感和电容，进而影响电路的正常工作。
第三节半导体的应用1. 半导体材料的应用：二极管、三极管、整流管等。
2. 过量熔化：当半导体材料通过电流时，会因为过量熔化，在导体结合点会形成芯片。
第四节发电机的运行实践1. 发电机的组成：发电机本体、原动机组和控制装置等。
名词解释布朗运动
名词解释布朗运动布朗运动是一种生物运动学上的基本概念，它可以描述一个物体如何移动到一个新的位置或者如何随着时间的推移发生变化。
它最初是由英国物理学家威廉布朗提出的，他在1893年描述了简单的物理运动模型。
在定义布朗运动时，需要考虑到一个物体在时间内是如何变化的。
从最简单的运动角度来讲，布朗运动可以被定义为就是一个物体在时间内的位置变化。
可以以三维空间中的向量来描述这个变化，即一个物体在时间内移动的速度和加速度。
加速度则可以由物体移动的受力，以及这些受力对物体位置的影响来衡量。
在描述布朗运动的情况时，需要考虑加速度的变化，而不是简单地考虑物体的位置。
这是因为在物体运动的过程中，物体的加速度也会随着时间的推移而发生变化，这就是布朗运动的关键性特征。
在布朗运动中，加速度的变化也可以由物体受到的受力，以及这些受力对物体加速度的影响来衡量。
布朗运动可以用于研究生物，物理，化学和地质学中各种运动方面的物理量，其中包括物体的速度、加速度和受力，以及它们之间的相互关系。
例如，在以某种物质为中心的反应中，可以研究物质受到的受力，以及这些受力如何影响物质的加速度和速度。
此外，布朗运动也可以用来揭示生物如何受到不同的环境因素的影响，或者如何在时间内改变其加速度，以及一些物理学上的事实，如动量守恒定律等。
通过研究不同物体运动方面的物理量，可以得出布朗运动的结论，即一个物体如何随着时间的推移发生变化，以及这些变化是如何被受力所影响的。
这对理解物体的运动，以及这些运动是如何受到环境因素的影响，有着重要的意义。
此外，布朗运动也可以被用来揭示物理学中的一些重要的规律，如动量守恒定律等。
通过研究布朗运动，可以获得有关物体运动方面更为全面的知识。
对布朗运动的微分
对布朗运动的微分1. 什么是布朗运动？布朗运动是指微小颗粒在液体或气体中随机运动的现象，这种运动是由于液体或气体中的分子不断碰撞而产生的。
布朗运动最初由英国植物学家罗伯特·布朗发现，后来被爱因斯坦用统计物理学的方法进行了解释。
2. 布朗运动的微分方程布朗运动的微分方程可以用随机过程和随机微积分来描述。
假设一个粒子在时间t时刻位于位置x处，其速度为v，则其位置和速度变化可以表示为：dx = v dtdv = F(x) dt + σ dW其中F(x)是作用在粒子上的力，σ是噪声强度，dW是Wiener过程（一种连续时间、连续状态的随机过程），满足以下性质：dW(0) = 0E[dW(t)] = 0E[dW(t)dW(s)] = δ(t-s)dt其中δ(t-s)表示Kronecker delta函数。
3. 布朗运动方程的解析解由于布朗运动包含了噪声项，因此其解析解通常很难求得。
但是对于某些简单情况，可以得到布朗运动的解析解。
例如，在一维情况下，如果粒子受到的力是恒定的，则其位置可以表示为：x(t) = x(0) + vt + ξ(t)其中ξ(t)是一个随机变量，满足以下性质：E[ξ(t)] = 0E[ξ(t)ξ(s)] = 2Dδ(t-s)其中D是扩散系数。
4. 布朗运动的统计性质由于布朗运动是一种随机过程，因此其具有一些统计性质。
例如，对于一维情况下的布朗运动，其平均位移和方均根位移分别为：<x> = 0<x^2> = 2Dt其中<t>表示时间平均。
此外，布朗运动还具有自相关函数和功率谱密度等统计量。
5. 应用领域布朗运动在物理学、化学、生物学、金融学等领域都有广泛应用。
例如，在物理学中，布朗运动被用来研究分子扩散、热力学等问题；在生物学中，布朗运动被用来模拟细胞内分子的扩散行为；在金融学中，布朗运动被用来建立股票价格模型等。
6. 总结布朗运动是一种随机过程，其微分方程可以用随机微积分来描述。
胶粒的布朗运动2
高分子溶液的形成与性质
• 高分子化合物是指相对分子质量在1万以上，甚至达几百万的物质， 又称大分子化合物。如蛋白质、核酸、糖原等。
• 一、高分子化合物的结构特点及其柔顺性
• 高分子化合物是由一种或几种简单化合物（单体）聚合而成，这些结 构单元重复地结合而成为长链的高分子化合物。 • 简介高分子化合物的链节和聚合度（即链节数n），解释其柔顺性。
• • • • • • •
粗分散系统
• • • 3、乳化剂及其稳定作用 乳状液必须有乳化剂的存在才能稳定. （1）乳化剂的作用 使由机械分散所得的液滴不相互聚结。之所以能使乳状液稳定，主 要是由于：①在分散相（内相）周围形成坚固的保护膜；②降低界面张力；③形成双 电层。 （2）常用乳化剂 ①表面活化剂；②一些天然物质；③粉末状固体。 4、乳状液的变型与破坏 两种类型的乳状液在一定外界条件下可以相互转化变型。 破乳：乳状液的内外相分离（分层）。有两种方法：物理法（如离心分离）和化学法。 另外，乳状液的絮凝作用、聚结作用都可使乳状液破坏。 二、泡沫 1、泡沫的生成 物理法（如加热沸腾）、化学法（如小苏打加热分解）和加入起泡剂法。 2、泡沫的稳定与破坏 泡沫稳定存在的时间称为泡沫的寿命，其长短与所加入的稳定剂性质、温度、压力、 介质的黏度等有关。 泡沫的破坏即为消泡。其原则是消除泡沫的稳定因素，如加入消泡剂等。
标准布朗运动
标准布朗运动
布朗运动是19世纪末由英国植物学家罗伯特·布朗首次观察到的一种微观粒子的无规则运动现象。
在物理学中，布朗运动是指在液体或气体中悬浮的微小颗粒因受到分子碰撞的不规则推动而产生的无规则运动。
这种运动的特点是速度快慢不一，方向变化无常，呈现出一种无规律的、随机的状态。
标准布朗运动是指在一定条件下，颗粒在液体或气体中受到的推动力是由于周围分子的碰撞而产生的，且这些分子的碰撞是符合玻尔兹曼分布的。
这种运动的特点是速度服从高斯分布，即大部分颗粒的速度接近平均速度，而极少部分颗粒的速度远离平均速度。
同时，颗粒的位移随时间的平方根增加，这也是标准布朗运动的一个重要特征。
标准布朗运动是研究物质微观性质的重要手段之一。
通过观察和研究颗粒在液体或气体中的运动状态，可以了解物质微观粒子的运动规律，揭示物质的微观结构和性质。
同时，标准布朗运动也在纳米技术、生物医学等领域有着重要的应用价值。
在实际应用中，科学家们利用标准布朗运动的特性，开发出了
一系列的技术手段和设备。
例如，通过跟踪颗粒在液体中的运动轨迹，可以测定液体的粘度；利用颗粒在气体中的扩散速率，可以测定气体的扩散系数。
此外，标准布朗运动还可以用于纳米颗粒的定位和操控，为纳米技术的发展提供了重要支持。
总之，标准布朗运动是一种重要的物理现象，它不仅有助于我们深入了解物质微观世界的运动规律，还为科学研究和技术应用提供了重要的理论基础和实验手段。
相信随着科学技术的不断发展，标准布朗运动将在更多领域展现出其重要的作用，为人类社会的发展做出新的贡献。
第三章 布朗运动
性质，从0到0的布朗桥是高斯过程 (留证)
定义从a到b的布朗桥：
Bta →b =a +(b-a )t +Btbr t ∈ [0,1]
a →b 1
a,b ∈ R,
性质： (1)
B
a →b
a →b 0
=a, B
=b
(2) 从a到b的布朗桥是高斯过程, 且
m
C
a →b
(t )=a +(b-a )t
a →b s
k =1
差（或称全变差）。
二 、Brown运动样本轨道的不可微性 定理3.2.1 设
∆t >0, 对于固定的时刻t>0,定义增量
∆W (t )=W (t +∆t )-W (t ), 那么对于任意固定的 x >0,
和时刻 t >0, 有
∆W (t ) P ( lim+ >x)=1 ∆t → 0 ∆t
第三章 布朗运动
主讲人：李伟 西安电子科技大学数学与统计学院 2013年秋季
本章主要内容 •Brown运动的性质 •Brown运动轨道的不可微性 •Brown有关的随机过程 •Brown的仿真
Brown 运动的背景介绍 1827年英国植物学家发现花粉颗粒在静止液面中 做无规则运动 1905年由爱因斯坦基于物理定律导出这个 现象的数学描述. 1900年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布 朗运动的一些结果 1918年Wiener在的博士论文以及后来的文章中给出 该理论简明的数学公式
2 { W ( t ), t ≥ 0} 是参数为 σ 的Wiener过程. 定义 设
如果存在实随机过程以 σ 2δ ( s − t ) 为其相关函数， 则称该过程为Wiener 过程 {W (t ), t ≥ 0} 的导数过 程．记为 {W ′(t ), t ≥ 0}. 从而
第三章 布朗运动
n n →∞ k =1
lim π n = 0
n →∞
则
2
lim E[ ∑ (∆Wk ) 2 − t ] = 0
2 { ( ∆ W ) : n ∈ N } 均方收 k 定理说明：随机变量序列 ∑ k =1 敛到常数t n
证明 随机变量∆W1 , ∆W2 ,L , ∆Wn 是相互独立的，且
t ∈ [0,1]
a →b t
(s,t )=E[(B
-m
a →b
(s ))(B
-m
a →b
(t))
= min{s,t}-st
t ∈ [0,1]
过程:4：几何布朗运动
B =exp(Bt
均值函数
ge t
µ ,σ 2
)
t ≥ 0, µ ∈ R, σ >0
2
mB ge (t )=E[exp(Bt
相关函数
µ ,σ
=p(| Wt |≤ x ) = p ( − x ≤ W ≤ x ) = ∫ ϕ t ( y )dy
−x x
1 其中ϕ t ( y ) = e 2π t
y2 − 2t
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程 （Ornstein-Uhlenbeck）
B =e
其中
t 0
ou t
-α t
W (γ (t )） t ≥ 0， α >0
µ ,σ 2
,L ,Btn
µ ,σ 2
)=(ξ1 ,L ,ξ n ) × M n×n
过程3：布朗桥
Btbr =W (t )-tW (1) t ∈ [0,1]
B br ={Btbr , t ∈ [0,1]} 为从0到0的布朗桥
布朗运动和随机过程
布朗运动和随机过程一、布朗运动的定义和特点布朗运动是一种随机过程，也称为“维纳过程”，由英国数学家罗伯特·布朗于1827年首次描述。
它是指在空气或液体中悬浮的微小颗粒因分子的碰撞而呈现出的无规则运动。
布朗运动具有以下几个特点：1. 离散性：布朗运动是由许多离散时间间隔组成的。
2. 连续性：在任意时间段内，布朗运动都是连续的。
3. 随机性：布朗运动具有随机性，其路径不可预测。
4. 平稳性：布朗运动满足平稳性条件，即均值和方差不随时间变化而改变。
二、布朗运动的数学模型1. 布朗粒子模型假设一个微小颗粒在空气或液体中悬浮，并受到分子的碰撞。
设该颗粒在$t$时刻位置为$X_t$，则其位置变化量$dX_t$可以表示为：$$dX_t=\mu dt+\sigma dW_t$$其中，$\mu$为平均漂移速度，$\sigma$为扩散系数，$dW_t$为布朗运动的微小变化量。
2. 布朗运动的随机微分方程布朗运动可以用随机微分方程表示：$$dX_t=\mu dt+\sigma dW_t$$其中，$dW_t$为布朗运动的微小变化量，$\mu$和$\sigma$为常数。
三、随机过程的定义和分类1. 随机过程的定义随机过程是指一组随机变量序列$\{X_t\}$，其中$t$是一个时间参数。
每个随机变量$X_t$代表在时刻$t$下某个物理或经济系统的状态。
因此，随机过程可以看作是一个时间上的概率分布。
2. 随机过程的分类根据时间参数$t$是否连续、是否离散以及状态空间是否连续、是否离散等因素，可以将随机过程分为以下几类：（1）离散时间离散状态空间（DTMC）在离散时间离散状态空间中，时间参数$t\in T=\{0,1,2,\cdots\}$，状态空间为有限或可数集合。
例如，在赌场掷骰子游戏中，每次掷骰子的结果只能是1、2、3、4、5或6中之一。
（2）连续时间连续状态空间（CTMC）在连续时间连续状态空间中，时间参数$t\in T=[0,\infty)$，状态空间为连续的实数集合。
第三章布朗运动(维纳过程)-Xidian
¾ 布朗运动{Wt,t≥0} 的轨道是连续的 事实上，利用布朗运动定义中 的（2）（3）两条 件，可以验证布朗运动满足随机过程的柯尔莫哥洛 夫（轨道）连续性判断准则。
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
布朗运动的仿真样本轨道
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
布朗运动定义 称实随机过程{Wt,t≥0}是参数为σ2的布朗运动,如果
(1) W0 = 0
(2) {Wt ,t ≥ 0} 是平稳的独立增量过程．
(3) ∀0 ≤ s < t,Wt −Ws ~ N (0,σ 2 (t − s))
σ2 =1时，称为标准布朗运动
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
2. ( µ,σ 2 ) −布朗运动
设µ ∈ R, σ > 0, 定义
Bµ ,σ 2 t
=
µt
+ σWt ,
t ≥0
则称随机过程Bµ,σ 2 ={Btµ,σ 2 ,t ≥ 0}为(µ,σ 2 )-布朗运动
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
例1 计算(µ,σ 2 )-布朗运动的均值函数和相关函数
¾ 布朗运动{W(t),t≥0} 的轨道是不可微的
事实上，有
P ( lim ∆t →0
∆Wt ∆t
> x) = 1
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
与布朗运动的相关的随机过程 设W= {Wt,t≥0}是标准布朗运动， 1. d-维标准布朗运动
如果W1,…,Wd,是d个相互独立的标准布朗运动， 则称(W1,…,Wd)是d-维标准布朗运动.
布朗运动原理：微小颗粒在液体中无规则运动的原理
布朗运动原理：微小颗粒在液体中无规则运动的原理第一章：引言布朗运动是19世纪末由英国物理学家罗伯特·布朗发现的一种现象，它描述的是微小颗粒在液体中的无规则运动。
布朗运动的研究对于理解分子动力学和扩散过程有着重要意义。
本文将介绍布朗运动的基本原理以及相关的研究成果。
第二章：布朗运动的基本原理布朗运动的基本原理可以用分子动力学理论来解释。
根据动力学理论，微小颗粒在液体中的运动是由于液体分子对颗粒的碰撞而产生的。
当颗粒受到分子碰撞时，它会随机地改变速度和方向，从而导致其在液体中呈现出无规则运动的特点。
第三章：分子碰撞的影响因素布朗运动的特点受到多种因素的影响。
首先，液体的温度对布朗运动的强度有着重要影响。
在较高的温度下，液体的分子运动速度更快，颗粒受到的碰撞频率也更高，因此布朗运动更为剧烈。
其次，颗粒的大小和形状也会影响布朗运动的特性。
较小的颗粒受到分子碰撞的影响更明显，其运动更加剧烈。
此外，颗粒与液体分子之间的相互作用力也会影响布朗运动的特性。
第四章：布朗运动的观测方法布朗运动的观测方法主要包括光学显微镜和粒子追踪技术。
在光学显微镜下观察布朗运动时，颗粒会在显微镜视野中随机地移动。
通过记录颗粒的运动轨迹，可以获得布朗运动的相关参数，如平均速度、扩散系数等。
粒子追踪技术则是利用计算机算法对颗粒的运动进行跟踪和分析，以获得更精确的数据。
第五章：布朗运动的应用布朗运动在多个领域有着广泛的应用。
首先，在生物学和医学领域中，布朗运动被用于研究细胞和分子的扩散过程。
通过观察颗粒在细胞内的运动，可以了解细胞内分子的输运机制。
其次，在物理学领域中，布朗运动被用于研究粒子在凝聚态物质中的行为，如液滴的形成和蒸发过程。
此外，布朗运动还被应用于材料科学和环境科学中，用于研究颗粒在复杂介质中的运动行为。
第六章：布朗运动的研究进展布朗运动的研究一直在不断发展。
近年来，随着纳米技术的发展，人们对布朗运动的研究越来越关注纳米颗粒的运动特性。
布朗运动数学
布朗运动数学
布朗运动数学是19世纪末和20世纪初期理论物理学家和数学家研究
和发明的一个与物体运动有关的独立学科。
在布朗运动（或布朗移动）的过程中，物体在运动的直线上如椭圆的弯曲轨迹上按照确定的规律
移动，其轨迹的一个特点是，物体在其行进路线上的最大和最小到达点，也就是所谓的极点，距离初始点的距离是相等的，可以运用计算
机进行研究。
布朗运动数学被用来描述物体在外力驱使下绕着固定轴线旋转运
动的情况，如行星在引力场中运动，可以用布朗运动模型来近似描述
它们的运动。
在计算机模拟中，布朗运动常被应用来表示像游玩的棋
子运动，旋转的车轮，心脏的搏动等等。
布朗运动的数学公式是由英国数学家兼物理学家霍布森和他的学
生理查德来美发明的。
他们发现，如果一个物体以一定的角速度在外
力驱使下绕某一轴旋转，将会在重力场中守恒它的能量。
在布朗运动
的公式中，用到的数学方法包括诸如微积分、级数理论、动力学以及
随机运动等等。
布朗运动数学对物体运动的研究有着重要的意义，其实质和应用
大大提高了物理特性的理解，为解决许多实际问题提供了理论和计算
的方法。
它的研究应用还在学术或工程等方面得到了广泛的应用，包
括空间技术、航天工程、太空航行等等。
布朗运动
数字特征 设 {Wt,t≥0}是标准布朗运动.则
mW (t ) = 0, DW (t ) = t , t ≥ 0, RW ( s, t ) = CW ( s, t ) = min( s, t ), s, t , ≥ 0
证明
由定义易知有
mW (t ) = 0, DW (t ) = t , t ≥ 0
令ξ = Wt1 , η = Wt 2 − Wt1 ,则ξ 服从N(0, t 1 )分布，η 服从N(0, t 2 − t 1 )分布 所以 F(t 1 ,t 2 ; x 1 , x 2 ) = P( ξ ≤ x 1 , ξ + η ≤ x 2 )
= ∫ P(η ≤x 2 -y )P(ξ ∈ dy )
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
¾ 自相似性 即对任意常数a>0固定的t>0， 有 a1/2Wt Wat
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
¾ 时间逆转性 即对固定的T>0，定义: Bt =WT –WT-t 0≤t ≤ T 则B ={Bt 0≤t ≤ T}也是标准布朗运动. (称为W的时间逆转过程).
¾ 布朗运动{W(t),t≥0} 的轨道是不可微的
事实上，有
∆W t P ( lim > x) = 1 ∆t → 0 ∆ t
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
与布朗运动的相关的随机过程 设W= {Wt,t≥0}是标准布朗运动， 1. d-维标准布朗运动 如果W1,…,Wd,是d个相互独立的标准布朗运动， 则称(W1,…,Wd)是d-维标准布朗运动.
例1 验证布朗运动是正态过程 证明 设 W={Wt,t≥0}是参数为σ2的布朗运动，则由 0 ≤ t1 < t 2 < L < t n 定义，对任意的n≥1,及任意的
布朗运动的二次变差等于t证明
布朗运动是一种随机运动过程，它描述了微小颗粒在流体中因受到流体分子的不断撞击而发生的运动。
这种运动的性质是非常复杂的，而布朗运动的二次变差等于时间的证明是布朗运动理论中的一个重要内容。
本文将详细探讨布朗运动的二次变差等于时间的证明。
一、布朗运动的定义布朗运动是由英国植物学家罗伯特·布朗首次发现并描述的一种微观颗粒在液体（或气体）中的无规则运动。
这种运动的特点是不断的、随机的，受到周围分子的不断撞击而产生的。
在数学上，布朗运动可以用随机过程来描述，通常表示为B(t)，表示在时间t时的位置。
二、二次变差的定义在数学上，二次变差是用来衡量随机过程变量变化的大小的一个重要指标。
对于布朗运动B(t)，它的二次变差可以表示为：\[ V_2(t) = \lim_{|\pi|\to0} \sum_{k=0}^{n-1}(B(t_{k+1})-B(t_k))^2 \]其中，|π|表示对时间间隔取极限，n为分割的区间数，ππ为分割点。
三、二次变差等于时间的证明对于布朗运动的二次变差等于时间的证明，需要进行如下步骤推导：3.1 第一步：观察时间间隔的大小我们可以观察时间间隔的大小。
假设在时间段[0, π]内，我们划分了n 个相等的子区间，每个子区间的长度为Δπ。
当n趋于无穷大时，时间间隔趋近于0。
3.2 第二步：计算二次变差的平均值我们可以计算布朗运动在每个子区间上的二次变差的平均值。
即计算ππ到ππ+1之间的二次变差的平均值：\[ E(\frac{{(B(t_{k+1})-B(t_k))^2}}{Δπ}) \]3.3 第三步：计算二次变差的总和接下来，我们将所有子区间上的二次变差的平均值相加，即对π=0,1,…,π−1求和：\[ \sum_{k=0}^{n-1}E(\frac{{(B(t_{k+1})-B(t_k))^2}}{Δπ}) \]3.4 第四步：取极限得到布朗运动的二次变差等于时间当n趋于无穷大时，我们可以取极限，得到：\[ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}E(\frac{{(B(t_{k+1})-B(t_k))^2}}{Δπ}) = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{n-1}E(\frac{{(B(t_{k+1})-B(t_k))^2}}{Δπ}) = t \]通过以上推导，可以得出布朗运动的二次变差等于时间的结论。
基于布朗运动的课程设计
基于布朗运动的课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解布朗运动的定义，掌握其物理原理及影响因素；2. 学生能够运用数学语言描述布朗运动的轨迹，并解释其统计特性；3. 学生了解布朗运动在科学研究和实际应用中的价值。
技能目标：1. 学生能够设计简单的实验观察布朗运动，并准确记录实验数据；2. 学生能够运用所学的理论知识，分析并解决与布朗运动相关的实际问题；3. 学生能够运用数学工具对布朗运动数据进行处理和分析。
情感态度价值观目标：1. 学生对自然界中的随机现象产生兴趣，培养探究精神；2. 学生通过实验和理论相结合的方式，培养科学思维和解决问题的能力；3. 学生认识到科学研究的价值，增强对科学事业的尊重和热爱。
课程性质：本课程为高中物理选修课程，以实验和理论相结合的方式进行教学。
学生特点：高中学生具备一定的物理知识和实验技能，具有较强的逻辑思维能力和探究欲望。
教学要求：结合学生的特点，注重理论与实践相结合，提高学生的动手能力和解决问题的能力。
通过本课程的学习，使学生在掌握布朗运动相关知识的基础上，培养科学思维和科学精神。
教学过程中，将目标分解为具体的学习成果，便于后续的教学设计和评估。
二、教学内容1. 布朗运动的定义与历史背景：介绍布朗运动的发现及其在物理学史上的地位，使学生了解其研究意义。
- 教材章节：第三章第二节2. 布朗运动的物理原理：讲解布朗运动的微观机制，分析影响布朗运动的主要因素。
- 教材章节：第三章第三节3. 布朗运动的数学描述：教授如何运用数学工具描述布朗运动的轨迹，引入随机过程的概念。
- 教材章节：第三章第四节4. 布朗运动实验：指导学生进行布朗运动实验，观察并记录实验数据。
- 教材章节：第三章实验部分5. 布朗运动的应用：介绍布朗运动在科学研究和实际应用中的例子，如颗粒物质的研究、纳米技术等。
- 教材章节：第三章第五节6. 布朗运动与统计物理：结合统计物理知识，解释布朗运动的统计特性，培养学生运用理论知识解决实际问题的能力。
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则
E n s n EFn s s 0 D n s
n
2
Nn s D( ) s (1 s ) n
x, lim P n s x
的极限分
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
B =exp(Bt
ge t
, 2
)
t 0, R, >0
2
均值函数
mB ge (t )=E[exp(Bt , )]=exp{( +
2
2
2
)t}, t 0
相关函数
RB ge (s,t )=e
(t +s ) 2 2 s 2
mab (t )=a+(b-a)t t [0,1]
C ab (s,t )=E[(Bsab -mab (s))(Btab -mab (t)) = min{s,t}-st t [0,1]
补充 ：布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布，Xn~U(0,1) ， 对0<s<1,记
Nn s I Xi s
i 1 n
Nn(s)表示前n个X1,X2, …Xn 中取值不超过s的个数，
Fn s 1 Nn s n
称Fn(s)为经验分布函数。 显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
P lim Fn s s 1
n
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果， 1 P lim sup F s s 0 n n 0 s 1 即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
均值函数
R, >0
m
B
, 2
(t )=t
相关函数 RB
2 2 ( s , t )= st + min (s,t ) , 2
性质 ( , 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可 靠性预测，航空动力学报 2009，Vol.1,No.12.任淑红
(x -t )2 2t
dx
=exp{( +
2
2
)t}, t 0
RBge (s,t )=Ee
=e
=e =e
s +W (s ) t +W (t)
e
=Ee
(s +t )+ (W (s )+W (t ))
(s +t )
Ee
(W (s )+W (t ))
(s +t )
Ee
, 2
(Bt1
,
,Btn
, 2
)=(1 ,
, n ) M nn
过程3：布朗桥
Btbr =W (t )-tW (1) t [0,1]
则称 Bbr ={Btbr , t [0,1]}
br
为从0到0的布朗桥
均值函数 mB (t )=E[W (t )-tW (1)]=0, t [0,1]
n
2 s 1 s
1
x
e
u2 2 s (1 s )
du
所以 n s ,0 s 1
的极限过程是一正态过程。
可以证明 n s ,n t 的联合分布趋于二维正
态分布。
0 s t 1 cov n s , n t E n s n t nE Fn s s Fn t t 1 E N n s N n t ntE Fn s nsE Fn t nst n 1 1 E[ E N n s N n t N n t ] nst E[ N n t E N n s N n t ] nst n n 1 s 1s 2 E[ N n t N n t ] nst nt n ( n 1) t nst n t nt s 1 t
相关函数 RB (s,t )=min{s,t}-st, s,t [0,1]
br
性质，从0到0的布朗桥是高斯过程
例 设常数 a,b R, 定义从a到b的布朗桥：
Btab =a+(b-a)t +Btbr t [0,1]
证明 ： (1) B0ab =a, B1ab =b (2) 从a到b的布朗桥是高斯过程,且
e
e
2
(t -s )
, s,t 0
谢惠扬
股票价格服从几何布朗运动的证明
mB ge (t )=E[exp(Bt
, 2
)]
x2 2t
= e
-
+
t + x
1 e dx 2 t
x2 -2t x 2t
=e
t
+
-
1 e 2 t
dx e
(t )2 2t
=e
t
+
-
1 e 2 t
§2. 与布朗运动有关的随机过程
过程1：d维布朗运动
若 SBM，则称
W 1 (t ),W 2 (t ),
,W n (t )
是 d 个相互独立的
W=(W 1 (t ),
,W d (t ))
是 d 维标准布朗运动.
2 ( , ) 布朗运动 过程2：
Bt
, 2
=t + W (t ), t 0
[W (s )+(W (t )-W (s ))+W (s )]
证明
( , 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
对任意自然数 n 2, 不是一般性，取n个不同 的时间指标 0=t0 <t1 < <tn <, 定义增量
k =Bt
, 2
k
-Btk -1 ,
, 2
k =1,
,n
则
k ~N ((tk -tk -1 ), 2 (tk -tk -1 ))
所以当n→∞时，
n (s),0 s 1
的பைடு நூலகம்限过程即为布朗桥过程。
一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x) 为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记
N n s I F X s
i 1
i
n
类似可讨论 n sup Fn X F X x 布。