柯西——古萨基本定理
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3-2柯西-古萨定理
在D 内解析, 在闭区域 D D C 上连续, 则
c
f ( z )dz 0.
Cauchy 积分定理的证明:
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
由 f ( z )解析，u, v 在D上可微，且
u v u v . ， y x x y
由牛顿-莱布尼兹公式知,
0 z cos zdz [ zsinz cosz]
i sin i cos i 1
i
i 0
e 1 e e 1 e 1 e 1. i 1 2i 2
另解
0 z cos zdz 0 zd(sin z )
[ z sin z ] sin zdz
由改进的Green公式
( v ) u [ ]dxdy 0 C udx vdy x y D u v v d x u d y [ ]dxdy 0 C x y D
1 e 1 （ ） dz 例求 z3 z2 | z | 1
f ( z )dz 0.
c
并注意定理成立的条件.
2.本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原 理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它 是本章的难点. 2i , n 0 1 常用结论: n1 dz (z a) n 0. 0, 3.本课介绍了原函数、不定积分的定义以及 牛顿—莱布尼兹公式. 在学习中应注意与《高等 数学》中相关内容相结合, 更好的理解本课内容.
§3.2 柯西-古萨基本定理
1、Cauchy-Goursat基本定理 2、 Cauchy-Goursat定理的推广 3、不定积分 4、小结与思考
首先回顾高等数学中的Green定理:
c
f ( z )dz 0.
Cauchy 积分定理的证明:
C f ( z )dz C udx vdy iC vdx udy
由 f ( z )解析，u, v 在D上可微，且
u v u v . ， y x x y
由牛顿-莱布尼兹公式知,
0 z cos zdz [ zsinz cosz]
i sin i cos i 1
i
i 0
e 1 e e 1 e 1 e 1. i 1 2i 2
另解
0 z cos zdz 0 zd(sin z )
[ z sin z ] sin zdz
由改进的Green公式
( v ) u [ ]dxdy 0 C udx vdy x y D u v v d x u d y [ ]dxdy 0 C x y D
1 e 1 （ ） dz 例求 z3 z2 | z | 1
f ( z )dz 0.
c
并注意定理成立的条件.
2.本课所讲述的复合闭路定理与闭路变形原 理是复积分中的重要定理, 掌握并能灵活应用它 是本章的难点. 2i , n 0 1 常用结论: n1 dz (z a) n 0. 0, 3.本课介绍了原函数、不定积分的定义以及 牛顿—莱布尼兹公式. 在学习中应注意与《高等 数学》中相关内容相结合, 更好的理解本课内容.
§3.2 柯西-古萨基本定理
1、Cauchy-Goursat基本定理 2、 Cauchy-Goursat定理的推广 3、不定积分 4、小结与思考
首先回顾高等数学中的Green定理:
复变函数3-2柯西-古萨定理
便可确定D内的一个单值函数 F(z)
z
f ( )d .
z0
定理二
如果函数 f (z) 在单连通域 D 内处处解析,
那末函数 F (z) z f ( )d 必为D 内的一个解 z0
析函数, 并且 F (z) f (z).
此定理与微积分学中的对变上限积分的求导 定理完全类似.
C D
注意2 若曲线 C 是区域 D 的边界, 函数 f (z) 在D内解析, 在闭区域 D D C 上连续, 则
c f (z)dz 0.
Cauchy 积分定理的证明:
C f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
由 f (z)解析，u, v 在D上可微，且
AEBBEAA
AAF BBFA
f (z)dz f (z)dz ︵ f (z)dz ︵ f (z)dz
C
C1
AA
AA
CF
︵ f (z)dz ︵ f (z)dz 0,
BB
BB
A A F B
即 f (z)dz f (z)dz 0,
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
其中，L是D的取正向的边界曲线。
3
1、Cauchy积分定理
定理 柯西－古萨基本定理
设D为单连通域 ,如果函数 f (z) A(D)
则对 D 内的任何一条封闭曲线 C,有 c f (z)dz 0.
此定理常称为柯西积分定理.
注意1 定理中的 C 可以不是简单曲线.
CF A A F
B
f (z)dz 0.
D1 E C1 B
AAF BBFA
柯西古萨定理
柯西古萨定理柯西古萨定理是复分析的一个基本定理，它描述了复变函数的积分与其在一个闭曲线上的积分的关系。
柯西古萨定理最初由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于19世纪初提出，之后被意大利数学家拉莫尼·索法拉托·古萨证明，因此也被称为柯西-古萨定理。
要理解柯西古萨定理，先要了解复数函数和复积分的概念。
复数函数是定义在复数集合上的函数，与实数函数类似，它也可以用一个公式来表示。
复积分是对一个复变函数在一条曲线上的积分，它可以看作一个实变函数在两个实数之间的积分的推广。
∮C f(z) dz = 0其中，∮C表示沿曲线C的积分，dz表示路径方向上的微元，f(z)表示z处的函数值。
也就是说，如果f(z)在一个区域内解析，则对于任意可求积的闭合曲线，它沿曲线的积分都等于0。
这个定理有很多重要的推论。
首先，柯西古萨定理保证了解析函数的定义不依赖于路径，即无论是沿着哪条路径求积分，结果都是相同的。
其次，它保证了解析函数无法在其区域内围绕任何一个点集存在无限阶的零点，这是由于沿着包含这个点的小曲线的积分总为0。
这个结论被称为解析函数的孤立奇点定理。
柯西古萨定理还有一些重要的推广和应用。
例如，当C是一个简单闭曲线时，柯西古萨定理推广为柯西定理，它保证了在D中解析的函数可以无穷次求导。
还有一个重要的应用是利用高斯定理（也称为斯托克斯定理）可以计算高维空间中的积分，这些定理也可以通过类似的方法证明。
需要注意的是，柯西古萨定理只对解析函数成立。
如果不是解析的，那么曲线积分不一定为0，从而无法应用这个定理。
例如，如果一个函数在某个点处不解析，那么它在该点附近的某个小圆曲线上的积分就不为0，无法满足柯西古萨定理。
此外，要注意闭合曲线的方向，如果方向相反，积分结果会有相反的符号，这也需要在应用定理时注意。
总之，柯西古萨定理是复分析中的基本定理之一，它描述了解析函数的积分和它在一个闭曲线上的积分的关系。
柯西古萨基本定理
柯西古萨基本定理
柯西古萨基定理是数学中最重要的定理之一，它是著名数学家威廉·柯西古萨基于1836年发现的。
这个定理是说，一个函数f（z）具有一定的属性：如果f（z）是可导的，其泰勒展开式的系数只由其局部累积分决定。
这个定理用来描述某函数被积分一次或多次后的结果，又叫做泰勒定理，它具有极大的数学意义和学术价值。
它为函数的数值激素，可积分函数等问题的推导提供了有力的理论和技术支持，它还可以被广泛用于数学分析，微分方程，积分学等诸多学科中。
柯西古萨基定理的数学推导使我们不仅能理解函数的数学特性，而且能够在两个函数之间建立联系。
这个定理也有助于构建某类函数的通用模型，方便人们对函数所做的任何变化进行计算和观察。
如果没有柯西古萨基定理，极大地限制了数学家预测函数行为的能力，也可能影响到其它学科的研究和应用。
因此，柯西古萨基定理可以说是数学研究的基石，发掘它的奥秘，发现它的深刻意义是数学发展历程中令人敬佩的突破。
它对数学对理论启示极其重要，并且丰富了函数分析在实际应用中的发展。
07柯西基本定理
C
C2
z1
z1
Cz0
C2
推论 设f (z)在单连通区域B内解析，则对任意
两点z0, z1∈B, 积分+c f (z)dz不依赖于连接起点
z0与终点z1的曲线，即积分与路径无关。
∫ ∫ ∫ 见上图
f (z)dz = f (z)dz = z1 f (z)dz
C1
C2
z0
10
三、典型例题
∫ 例1 计算积分
∫c f (z)dz = ∫C udx − vdy +i∫C vdx + udy
由Green公式
∫cudx − vdy = ∫∫ (−v x − uy )dxdy = 0 D
∫cvdx + udy = ∫∫ (ux − v y )dxdy = 0 D ∴ ∫c f (z)dz = 0
6
1825年Cauchy给出了" 单连通区域 D内 处处解析的f (z)在D内沿任一条闭曲线
=
1 z2
在z
=
1内.
15
第三节 基本定理的推广
复合闭路定理
一、复合闭路定理 二、典型例题 四、小结与思考
16
一、复合闭路定理
1. 闭路变形原理 设函数 f (z) 在多连通域内解析 ,
C 及 C1 为 D内的任意两条简
C
单闭曲线(正向为逆时针方向), A A′
C 及 C1 为边界的区域 D1
D1
得 c = −G(z0 ),
z
∫ 所以 z0 f (z)dz = G(z) − G(z0 ),
∫ 或
z1 z0
f
( z )dz
=
G(
z1
)
§32—§33 柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理
f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz 0 .
C C 1
f (z)dz 0.
此为柯西-古萨定理推广-闭路变形定理
本定理直观意义：函数沿闭曲线积分, 闭曲线在区域内作连续变形而不 经过奇点，则积分值不变。
11
§3.3 复合闭路定理
二、 复合闭路变形原理
设C为简单闭曲线, Ci(i=1,2…n )是在C内部的简单闭曲线,互不 相交互不包含,C的内部与 诸Ci的外部围成绿色复连通区域D 称C+C1- +C2- +· · · +Cn-为复围线,记为Γ ,包围着 绿色复连通区域D. 如果 f(z)在D内解析,那么
C
例2 解
函数z在C内处处解析，根据柯西-古萨定理,有
zdz 0
C
6
§3.2
例3
解
柯西-古萨基本定理
1 计算积分 dz . 2 z 1 z i 1
1 1 1 1 , 2 z 1 2i i z i z
1 因 在 z i 1 解析, z i
L L
由于f(z)在区域 B 上解析，
推广：
3
§3.2
柯西-古萨基本定理
二、复通区域情形：当所研究的函数在区域B上非处处解析时(也就是在某些点或
者区域上不可导，即存在奇点，为了排除这些点，就要在区域上挖去这些点，形成 带孔的区域—所谓的复通区域.
柯西积分定理：如果函数f(z)在复通区域 B 上单值解析，则沿着区域内部任
根据柯西－古萨定理得
1 1 1 1 dz dz dz 2 2i i z i z 1 z z i 1 z i 1 z i 1
柯西-古萨基本定理 复合闭路定理 原函数与不定积分
C
z
1 dz(
z0
2
i) 。
例
3：计算
C
1 z2
dz( z
0)
，其中
C
为包含圆周
|
z
|
1
在内
的任何正向简单闭曲线。
C f (z)dz 只与起点及终点有关，而与路径无关。
注 1.若起点 z0 E 固定，对 z E ，则上述积分就在 E 内
z
定义了一个 z 的单值函数，记为 F(z) z0 f ( )d 。
定 理 3 ： 设 f (z) 在 单 连 域 E 内 解 析 。 点 z0 E ， 则
F(z)
z
z0
f ( )d
在 E 内解析，且 F(z)
f
(z) 。
定义 1: 若 (z) f (z) ，则称 (z) 为 f (z) 的一个原函数。
定理 4：如果 f (z) 在单连域 E 内处处解析，G(z) 为 f (z) 的一 个原函数，那么
z2 z1
f
(z)dz
G(z2 ) G(z1)
C1 , C2 , C3 , , Cn 所组成，即
C C0 C1 C2 C3 Cn 。
定理 5：(复合闭路定理)如果 f (z) 在多连域 E 内解析，假 设复合闭路
C C0 C1 C2 C3 Cn
所围的区域全包含于Ｅ中，那么
n
这里 z1, z2 E 。
例 1 计算下列积分：
1)
2i (z 2)2 dz i
2
3
2i
z
2) 0
cos dz 2cos i 2
三、 柯西定理的推广—复合闭路定理
柯西古萨基本定理
§2 柯西—古萨基本定理（积分基本定理）
定理 设G为复平面上的单连通区域，c为G内 的任一条围线，若f ( z ) 在G内解析，则
c
f ( z ) dz 0
黎曼证法（假设 设
f ( z )在B内连续）
z x iy, f ( z) u( x, y) iv( x, y)
故有
C
C1
又
C0
f ( z ) dz f ( z ) dz 0
C1
亦即
C0 C1
f ( z ) dz 0
C0
f ( z )dz f ( z )dz
k 1 Ck
n
典型例题
例 试证
C
2 i 1 dz n 1 ( z a) 0
n0
C k 1 Ck
n
C
C2
C1
Cn
其中C及Ck取正向.
D
证：不失一般性，往证
c0 c1
f ( z ) dz 0
(c0 C )
用辅助线短
连接 C0 与 C1
将G“割破”而形成一单连通区域，
由定理有
C0
f ( z ) dz f ( z ) dz
f ( z ) dz f ( z ) dz 0
f ( z )dz udx vdy i vdx udy
C C
由 f (z) ux ivy vy iu y
在G内连续，所以 u x , u y , vx , v y在由围线c
及其内部构成的闭区域 D 上连续，又因c为逐段 光滑的闭曲线，且u与v在c上连续是显然的，于是 ，由高等数学中的格林公式得
定理 设G为复平面上的单连通区域，c为G内 的任一条围线，若f ( z ) 在G内解析，则
c
f ( z ) dz 0
黎曼证法（假设 设
f ( z )在B内连续）
z x iy, f ( z) u( x, y) iv( x, y)
故有
C
C1
又
C0
f ( z ) dz f ( z ) dz 0
C1
亦即
C0 C1
f ( z ) dz 0
C0
f ( z )dz f ( z )dz
k 1 Ck
n
典型例题
例 试证
C
2 i 1 dz n 1 ( z a) 0
n0
C k 1 Ck
n
C
C2
C1
Cn
其中C及Ck取正向.
D
证：不失一般性，往证
c0 c1
f ( z ) dz 0
(c0 C )
用辅助线短
连接 C0 与 C1
将G“割破”而形成一单连通区域，
由定理有
C0
f ( z ) dz f ( z ) dz
f ( z ) dz f ( z ) dz 0
f ( z )dz udx vdy i vdx udy
C C
由 f (z) ux ivy vy iu y
在G内连续，所以 u x , u y , vx , v y在由围线c
及其内部构成的闭区域 D 上连续，又因c为逐段 光滑的闭曲线，且u与v在c上连续是显然的，于是 ，由高等数学中的格林公式得
第三章4柯西古萨基本定理
复变函数与积分变换
第二节柯西古萨基本定理
一、柯西古萨基本定理
二、原函数与不定积分
三、复合闭路定理
一、柯西古萨基本定理
柯西古萨基本定理的内容是什么？柯西古萨基本定理在积分计算中有何应用？
()0.
C f z dz =⎰
()c
f z dz ⎰()G v u dxdy x y ∂∂−−∂∂⎰⎰()0.
C f z dz =⎰单连通区域区域(,)(,)(,)(.)c c
u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy −++⎰⎰()0.
C f z dz =⎰：()G u v dxdy x y ∂∂−∂∂⎰⎰i +其中G 为简单闭曲线C 所围区域
()0.C f z dz =⎰
12()()()0.
C C C f z dz f z dz f z dz =+=⎰⎰⎰积分曲线C 为不简单闭曲线仍有：闭曲线C =C 1+C f(z)在区域
D 内解析，则
()0.C f z dz =⎰()0.c
f z dz =⎰则是区域D 上的边界曲线，那么仍有：
单连通区域G
内和C 上解析
=+G G C 上连续，仍有：()0.C f z dz =⎰()0.c
f z dz =⎰则(1)闭曲线C
(2)单连通区域G
(3)f(z)在G 内解析，
谢谢观看！。
3-2--3.5柯西-古萨定理
f (z)dz 0
C
此定理常称为柯西积分定理.
（2） f (z)dz与路径无关。 （课本80页定理一）
C
注意： （1）若曲线 C 是区域单连通区域 D 的边界, 函数 f (z) 在D内解析,
在闭区域 D D C 上连续, 则 c f (z)dz 0.
（2）定理中“函数在D内解析”这个条件不能少 ；
1内解析，
C
z
1
dz 3
0
同理f (z) e z 1 也在D内解析， z2
ez 1
C
z
dz 2
0
原式
C
z
1
3
dz
C
ez 1 z2
dz
0
0
0.
8
ez , sin z, cos z, anzn an1zn1 a1z a0 在整个平面内解析。
anzn an1zn1 a1z a0 bm zm mm1zm1 b1z b0
在分母不为0处解析。
如 sinzdz 0， 如 ezdz 0
y
z1 1
zz0 r
如 zndz 0
zz0 r
如
z
1
2
z
1
5
dz
0
(n为正整数）
x 35
9
§4、原函数与不定积分
定理一 如果函数 f (z) 在单连通域 D 内处处解析,
那末积分 C f (z)dz 与连结起点及终点的路线
C 无关.
1
2i
C
z
z0
dz
0
当z0在C围成的区域内 当z0不在C围成的区域内及C上时
P99习题6：用观察法得出下列积分值, C : z 1取正向。
第二节 柯西-古萨(Cauchy—Goursat)基本定理
10
思考题答案
(1) 注意定理的条件“单连通域”.
反例: f (z) 1 在圆环域 1 z 3内;
z
2
2
(2) 注意定理的不能反过来用.
即不能由 f (z)dz 0, 而说 f (z) 在 C 内处处解析.
C
反例:
f
( z)
1 z2
在z
1内.
11
(uy vx )dxdy i (ux vy )dxdy 0 ．
D
D
注：1825 年 Cauchy 给出 Cauchy 积分定理的内容；1851
年 Riemann 在附加条件“ f (z) 在 D 内连续”利用 Green
公式给出证明；1900 年 E.Goursat 给出了完整的证明．
关于定理的说明:
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
2
1 1 1 zi 1 z 2 z i
2
1 2
z
1
i
dz
8
1dz 1
1 dz 1
1 dz
zi 1 z
2 zi 1 z i
2 zi 1 z i
2
2
2
0
1
1 dz 1 2i i.
2 zi 1 z i
2
2
9
思考题
应用柯西–古萨定理应注意什么?
3
二、柯西积分定理
柯西－古萨（Cauchy—Goursat）基本定理
如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解析, 那末函数 f (z) 沿 B内的任何一条封闭曲线C
的积分为零: c f (z)dz 0.
定理中的 C 可以不是简 单曲线.
思考题答案
(1) 注意定理的条件“单连通域”.
反例: f (z) 1 在圆环域 1 z 3内;
z
2
2
(2) 注意定理的不能反过来用.
即不能由 f (z)dz 0, 而说 f (z) 在 C 内处处解析.
C
反例:
f
( z)
1 z2
在z
1内.
11
(uy vx )dxdy i (ux vy )dxdy 0 ．
D
D
注：1825 年 Cauchy 给出 Cauchy 积分定理的内容；1851
年 Riemann 在附加条件“ f (z) 在 D 内连续”利用 Green
公式给出证明；1900 年 E.Goursat 给出了完整的证明．
关于定理的说明:
z
i
1
z(
z
1 2
1)
dz
2
1 1 1 zi 1 z 2 z i
2
1 2
z
1
i
dz
8
1dz 1
1 dz 1
1 dz
zi 1 z
2 zi 1 z i
2 zi 1 z i
2
2
2
0
1
1 dz 1 2i i.
2 zi 1 z i
2
2
9
思考题
应用柯西–古萨定理应注意什么?
3
二、柯西积分定理
柯西－古萨（Cauchy—Goursat）基本定理
如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解析, 那末函数 f (z) 沿 B内的任何一条封闭曲线C
的积分为零: c f (z)dz 0.
定理中的 C 可以不是简 单曲线.
复变函数第3节：柯西积分公式及高阶导数公式
复变函数的积分
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
z1 z1
sin z
dz
2i 4
2 i.
z1 2
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
z1 z1
sin z
dz
2i 4
2 i.
z1 2
第七讲 第三章 柯西-古萨基本定理、闭路变形原理、复合闭路定理
第三章 复变函数的积分
第二节 柯西-古萨基本定理
2019/12/15
1
一、柯西-古萨基本定理
引入： C zdz 的积分值与路径无关，此时被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析；
C zdz 积分值与路径有关，此时被积函数f z z在复平面内处处不解析；
1 dz 2 i 0，即积分与路径有关，此时被积函数 f z 1
C2 z 1
z C2
0 2 i 2 i 0 4 i.
15
五、例题（续）
例4: 计算
ez dz , 为正向圆周
z
z
2 和负向圆周
z
1 组成.
解： 圆周C1: z =2 和圆周C2：z =1 围成一个圆环域，
函数 ez 在此圆环域和其边界上处处解析,
z
y
圆环域的边界构成一条复合闭路, ez
三、闭路变形原理（续）
分析：设 f (z) 在多连通域 D 内解析，
1 C1 为 D内一条简单闭曲线，
D
C2
由图 C1 的内部完全包含于 D，
C1
即 f (z)在 C1 及 C1 的内部处处解析,
根据柯西古萨基本定理, 有 f (z)dz 0; C1
2 C2 为 D内另一条简单闭曲线，
(z
1 a)n1
dz
za
(z
1 a)n1
dz
根据重要公式 2 i,
0,
a
1
n0 n0
17
小结
1、柯西-古萨基本定理 2、闭路变形原理 3、复合闭路定理 重点：利用柯西-古萨定理、复合闭路定理计算积分。
2019/12/15
第二节 柯西-古萨基本定理
2019/12/15
1
一、柯西-古萨基本定理
引入： C zdz 的积分值与路径无关，此时被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析；
C zdz 积分值与路径有关，此时被积函数f z z在复平面内处处不解析；
1 dz 2 i 0，即积分与路径有关，此时被积函数 f z 1
C2 z 1
z C2
0 2 i 2 i 0 4 i.
15
五、例题（续）
例4: 计算
ez dz , 为正向圆周
z
z
2 和负向圆周
z
1 组成.
解： 圆周C1: z =2 和圆周C2：z =1 围成一个圆环域，
函数 ez 在此圆环域和其边界上处处解析,
z
y
圆环域的边界构成一条复合闭路, ez
三、闭路变形原理（续）
分析：设 f (z) 在多连通域 D 内解析，
1 C1 为 D内一条简单闭曲线，
D
C2
由图 C1 的内部完全包含于 D，
C1
即 f (z)在 C1 及 C1 的内部处处解析,
根据柯西古萨基本定理, 有 f (z)dz 0; C1
2 C2 为 D内另一条简单闭曲线，
(z
1 a)n1
dz
za
(z
1 a)n1
dz
根据重要公式 2 i,
0,
a
1
n0 n0
17
小结
1、柯西-古萨基本定理 2、闭路变形原理 3、复合闭路定理 重点：利用柯西-古萨定理、复合闭路定理计算积分。
2019/12/15
柯西古萨定理与复合闭路定理
0
G
D
C
C - R方程
盐城工学院基础部应用数学课程组
推论:
若函数f ( z ) 在单连通域B内及其边界C1上解析,
那末函数f ( z )沿B内的任一闭曲线C的积分为零:
Ñ f ( z )dz 0.
c
B C
C1
盐城工学院基础部应用数学课程组
1 解 函数 2 在C内有两个奇点 z 2z z 0和z 2.
现在构造复合闭路:
C1
C2
o
2
x
C
在C内作两个互不包含互不相交的正向小圆周C1 和C2， 则复合闭路为 C C1 C2 .
盐城工学院基础部应用数学课程组
1 此时函数 2 在构造的复合闭路内处处解析， z 2z
若 f ( z) 在 上及其内部解析, 那末
(1) f ( z)dz 0,
其中 C C1 Cn 取正向.
C
C1
C2
C3
(2)
f ( z)dz
C k 1
n
Ck
f ( z)dz,
其中 C 及 Ck 均取正方向;
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D
z0
C1 C2
z1
C1
C2
注：柯西-古萨定理揭示了复积分与路径无关的条件.
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例1 计算积分
z 1
1 dz. 2z 3
1 在积分闭曲线 z 1 上及其内部解析, 解 被积函数 2z 3
根据柯西－古萨定理,
有
o
y
z 1
1 dz 0. 2z 3
G
D
C
C - R方程
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推论:
若函数f ( z ) 在单连通域B内及其边界C1上解析,
那末函数f ( z )沿B内的任一闭曲线C的积分为零:
Ñ f ( z )dz 0.
c
B C
C1
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1 解 函数 2 在C内有两个奇点 z 2z z 0和z 2.
现在构造复合闭路:
C1
C2
o
2
x
C
在C内作两个互不包含互不相交的正向小圆周C1 和C2， 则复合闭路为 C C1 C2 .
盐城工学院基础部应用数学课程组
1 此时函数 2 在构造的复合闭路内处处解析， z 2z
若 f ( z) 在 上及其内部解析, 那末
(1) f ( z)dz 0,
其中 C C1 Cn 取正向.
C
C1
C2
C3
(2)
f ( z)dz
C k 1
n
Ck
f ( z)dz,
其中 C 及 Ck 均取正方向;
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D
z0
C1 C2
z1
C1
C2
注：柯西-古萨定理揭示了复积分与路径无关的条件.
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例1 计算积分
z 1
1 dz. 2z 3
1 在积分闭曲线 z 1 上及其内部解析, 解 被积函数 2z 3
根据柯西－古萨定理,
有
o
y
z 1
1 dz 0. 2z 3
复变函数第6讲柯西-古萨基本定理-不定积分
dz
∫ = 2π i,
C z − z0 所以, 根据闭路变形原理 , 对于包含 z0的 任何一条正向简单曲线 Γ都有 :
∫ d z = 2π i
Γ z − z0
10
∫ 例
计算
Γ
2z z2
− −
1 z
d
z
的值, Γ为包含圆周
|z|=1在内的任何正向简单闭曲线.
2z −1 解: 函数 z2 − z 在复平面内除z=0和z=1两
F' E'
E
∫ f (z)d z = 0
AEBB'E 'A' A
C
B'
B
C1
∫ f (z)d z = 0
AA'F 'B'BFA
4
将上面两等式相加, 得
∫ f (z)d z + ∫ f (z)d z + ∫ f (z)d z
C
C1−
AA'
+ ∫ f (z)d z + ∫ f (z)d z + ∫ f (z)d z = 0
它的一个原函数为1 ln2(z + 1),所以 2
26
∫ | i ln(z +1) d z = 1 ln2(z +1) i
1 z +1
2
1
= 1 [ln2(1+ i) − ln2(2)] 2
=
1 2
⎡⎛ ⎢⎜ ⎢⎣⎝
1 2
ln
2
+
π 4
i
2
⎞ ⎟ ⎠
−
ln2
⎤ 2⎥ ⎥⎦
= − π2 − 3 ln2 2+ πln2 i
∫ = 2π i,
C z − z0 所以, 根据闭路变形原理 , 对于包含 z0的 任何一条正向简单曲线 Γ都有 :
∫ d z = 2π i
Γ z − z0
10
∫ 例
计算
Γ
2z z2
− −
1 z
d
z
的值, Γ为包含圆周
|z|=1在内的任何正向简单闭曲线.
2z −1 解: 函数 z2 − z 在复平面内除z=0和z=1两
F' E'
E
∫ f (z)d z = 0
AEBB'E 'A' A
C
B'
B
C1
∫ f (z)d z = 0
AA'F 'B'BFA
4
将上面两等式相加, 得
∫ f (z)d z + ∫ f (z)d z + ∫ f (z)d z
C
C1−
AA'
+ ∫ f (z)d z + ∫ f (z)d z + ∫ f (z)d z = 0
它的一个原函数为1 ln2(z + 1),所以 2
26
∫ | i ln(z +1) d z = 1 ln2(z +1) i
1 z +1
2
1
= 1 [ln2(1+ i) − ln2(2)] 2
=
1 2
⎡⎛ ⎢⎜ ⎢⎣⎝
1 2
ln
2
+
π 4
i
2
⎞ ⎟ ⎠
−
ln2
⎤ 2⎥ ⎥⎦
= − π2 − 3 ln2 2+ πln2 i
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内部的闭曲线 C1 按顺时针进行,
CF
(即沿 的正向进行时, 的
A A F
内部总在 的左手边),
B D1 E C1 B
那末说明 f:(z在)d变z 形0.过程中曲线不D 经 E
过函数 f(z) 的不解析的点.
解析函数沿闭曲线的积分, 不因闭曲线在
区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理
18
2. 复合闭路定理
z
C2 o1
2x
上处处解析, 圆环域的边界构成一条复合闭路,
根据闭路复合定理,
ez dz 0. z
23
例3 求
(
z
1 a)n1
dz
,
为含
a
的任一简单闭路,
n 为整数.
a
解 因为a 在曲线内部,
1
故可取很小的正数 ,Fra bibliotek使 1 : z a 含在Γ内部,
(
z
1 a
)n1
在以
1
为边界的复连通域
d
f (z)z,
z
z
所以 F (z z) F (z) f (z) z
1 zz f ( )d f (z)
z z
1
z z
[ f ( ) f (z)]d
z z
B
z0 •
z z z
K
31
因为 f (z) 在 B内解析, 所以 f (z) 在 B内连续,
故 0, 0, 使得满足 z 的一切 都在 K 内, 即 z 时, 总有 f ( ) f (z) ,
n
d
故
(z
1 a)n1
dz
2i 0,
,
n0 n 0.
25
第四节 原函数与不定积分
一、主要定理和定义 二、典型例题
一、主要定理和定义
1. 两个主要定理: 定理一
如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解析,
那末积分 C f (z)dz 与连结起点及终点的路线
C 无关. 由定理一可知:
解析函数在单连通域内的积分只与起点 和终点有关, (如下页图)
由柯西－古萨定理, c (z )ndz 0.
(2)当 n 为负整数但不等于 1时,
(z )n 在除点 的整个 z 平面上解析, 情况一: 若 C 不包围 点,
10
(z )n 在 C 围成的区域内解析,
由柯西－古萨定理, c (z )ndz 0;
情况二 : 若 C 包围 点,
由上节例4可知, c (z )ndz 0.
C的积分 f (z)dz 0" —Cauchy 定理 c
当时解析的定义为f '(z)存在, 且在D内连续.
1851年Riemann 给出了Cauchy 定理的上述 简单证明. 1900年Goursat给出了Cauchy定理的新证明,且 将" f '(z)连续"这一条件去掉了. 这就产生了著名的Cauchy Goursat 定理, 从此解析函数的定义修改为 :" f '(z)在D内存在"
先将条件加强些，作初步的探讨
"设f (z) u iv在单连通D内处处解析,且 f '(z)在D内连续"
4
f '(z) ux ivx vy iuy u和v以 及 它 们 的 偏 导 数ux , uy , vx , v y在D内 都 是 连 续 的,并 满 足C R方 程ux v y vx uy 又,C D，
那末函数 F (z)
z
z0
f
(
)d
必为 B 内的一个解
析函数, 并且 F (z) f (z).
证 利用导数的定义来证.
设 z 为 B内任一点,
z
K
以 z 为中心作一含于B内的 B
小圆 K,
29
取 z 充分小使 z z 在 K 内, 由 F (z)的定义,
F (z z) F (z) zz f ( )d z f ( )d
C1
C2
z0
8
三、典型例题
例1 计算积分
1 dz.
z 1 2z 3
解 函数 1 在 z 1内解析, 2z 3
根据柯西－古萨定理, 有
1 dz 0.
z 1 2z 3
9
例2 证明 c (z )ndz 0 (n 1), 其中C 是
任意闭曲线.
证 (1)当 n 为正整数时, (z )n 在 z 平面上解析,
f
( z )dz
G ( z1
)
G ( z0
第二节 柯西－古萨基本定理
一、问题的提出 二、基本定理 三、典型例题
一、问题的提出
观察上节例1, 被积函数 f (z) z 在复平面内处处解析,
此时积分与路线无关. 观察上节例4, 被积函数当 n 0时为 1 ,
z z0 它在以 z0 为中心的圆周 C 的内部不是处处解析的,
此时 1 dz 2i 0.
c z z0
2
虽然在除去 z0 的 C 的内部函数处处解析, 但此区域已不是单连通域. 观察上节例3, 被积函数 f (z) z x iy, 由于不满足柯西－黎曼方程, 故而在复平面内 处处不解析.
此时积分值 c zdz 与路线有关.
3
由此猜想：复积分的值与路径无关或沿闭路的 积分值＝0的条件可能与被积函数的解析性及解 析区域的单连通有关。
35
3. 不定积分的定义:
称 f (z)的原函数的一般表达式F(z) c (c为任意常数)为 f (z)的不定积分, 记作
f (z)dz F (z) c.
定理三 (类似于牛顿-莱布尼兹公式)
如果函数 f (z) 在单连通域 B内处处解析,
G(z) 为 f (z)的一个原函数, 那末
z1 z0
由积分的估值性质, F (z z) F (z) f (z) z
B
z0 •
z z z
K
32
F (z z) F (z) z
f (z)
1 z
z z
z [
f (
)
f (z)]d
1 z
z z
z |
f (
)
f (z) | d
1 z
z
.
于是 lim F (z z) F (z) f (z) 0,
C
单闭曲线(正向为逆时针方向), A A
C 及 C1 为边界的区域D1
D1
全含于D.
D
︵︵
作两段不相交的弧段 AA 和 BB,
B
C1
B
15
为了讨论方便, 添加字符 E, E, F , F,
显然曲线 AEBBEAA,AAFBBFA均为封闭曲线.
因为它们的内部全含于D,
故 f (z)dz 0, AEBBEAA
z0
z0
由于积分与路线无关,
zz z0
f
(
)d
的积分路线可先取
z0
到
z,
(注意 : 这一段与 z z0
f
(
)d
的
路线相同)
然后从 z 沿直线到z z,
B
z0 •
z z z
K
30
于是 F (z z) F (z) zz f ( )d , z
因为
zz f (z)d
f (z)
z z
19
(2) f (z)dz 0.
这里 为由C, C1, C2 , , Cn 组成的复合闭路
(其方向是: C 按逆时针进行, C1, C2 , , Cn按
顺时针进行).
C
C2
C1
C3
D
20
典型例题
例1
计算积分
2z z2
1 z
dz,
为包含圆周
z
1
在内的任何正向简单闭曲线.
y
解 因为函数 2z 1 在复平面 z2 z
c f (z)dz C udx vdy iC vdx udy
由Green公 式
cudx vdy (v x uy )dxdy 0
D
cvdx udy (ux v y )dxdy 0
D
c f (z)dz 0
5
1825年Cauchy给 出 了"单 连 通 区 域D内 处处解析的f (z)在D内沿任一条闭曲线
6
Cauchy-Goursat基本定理： —也称Cauchy定理
设f (z)在z平面上单连通区域B内解析,
C为B内任一条闭曲线 C f (z)dz 0.
(1)若C为B的边界,
B
f (z)在B C B上
C
解 析, 定 理 仍 成 立.
(2)若C为B的边界, f (z)在B内解析,
f (z)在B C B上连续,定理仍成立.
z0
z
即 F(z) f (z).
[证毕]
此定理与微积分学中的对变上限积分的求导 定理完全类似.
33
2. 原函数的定义:
如果函数 (z) 在区域 B内的导数为f (z),
即(z) f (z), 那末称 (z) 为 f (z) 在区域 B内
的原函数.
显然 F(z)
z
z0
f
(
)d
是
f
(z) 的一个原函数.
1 dz 1
1 dz
zi 1 z
2 zi 1 z i
2 zi 1 z i
2
2
2
0
1
1 dz 1 2i i.
2 zi 1 z i
2
2
13
第三节 基本定理的推广
复合闭路定理
复合闭路定理 典型例题
复合闭路定理
1. 闭路变形原理 设函数 f (z) 在多连通域内解析,