wilson法和newmark法的理论过程

合集下载

威尔逊得分排序算法

威尔逊得分排序算法（Wilson Score Ranking Algorithm）是一种用于对数据进行排序和排名的统计算法。它基于威尔逊置信区间的概念，可以对含有不同样本数量和成功次数的数据进行公平的比较和排序。该算法常被应用于在线社区、电商网站等需要对用户评价、产品评分等进行排序的场景中。

1. 算法原理

威尔逊得分排序算法基于二项分布和正态分布的性质，通过计算威尔逊置信区间来确定每个数据点的得分，进而进行排序。

1.1 二项分布

二项分布是一种离散型概率分布，描述了在n次独立重复试验中成功事件发生k次的概率。其中，n表示试验次数，k表示成功次数，p表示单次试验中成功事件发生的概率。

1.2 正态分布

正态分布是一种连续型概率分布，以钟形曲线形式描述了大量独立随机变量之间累积效应的结果。在统计学中广泛应用，并且具有许多重要性质。

1.3 威尔逊置信区间

威尔逊置信区间是一种用于估计二项分布参数的置信区间。它通过将二项分布的成功次数进行修正，从而得到一个更准确的估计值。威尔逊置信区间可以用于计算一个样本的成功概率的上下界。

2. 算法步骤

威尔逊得分排序算法主要包含以下几个步骤：

2.1 数据准备

首先，需要收集和整理要排序的数据，每个数据点应包含两个关键信息：样本数量（n）和成功次数（k）。这些数据可以是用户评价、产品评分等。

2.2 计算成功概率

根据每个数据点的样本数量和成功次数，可以计算出其成功概率（p）。成功概率可以通过简单地将成功次数除以样本数量得到。

2.3 计算威尔逊得分

使用威尔逊置信区间公式，根据样本数量和成功概率计算出每个数据点的威尔逊得分。公式如下：

哈工大研究生课程-高等结构动力学-第五章解析

0
m n1 n1
n 2 mn 2
nn mnn
1
2 j
假设质量矩阵为对角阵，展开得：
1
2n j
(11m11
22m22
nn
mnn
)
1
2(n j
1)
0
根据多项式的根与系数之间的关系
1
2 j
的n个根
1
12
，122
1 之和为
n2
1
12
1
22
1
n2
11m11 22m22
nnmnn
由于二阶频率往往比基频高得多
2.雅可比（Jacobi）法求特征方程设[A]为对称阵， [A]{x} {x}
[S ]T [ A][S ] [D] diag(d1, d2, dn )
即可断定[D]的n个对角元素就是[A]的n个特征值，而[S]
的第i列就是[D]中第i个对角元素所对应的特征向量，
[S]为坐标变换矩阵。在[A]中非对角线元素中选取一个绝对值最大的元素，设
行列式搜索法是求解大型特征值问题的另一种方法。它的特点是综合运用多项式加速割线迭代，移轴向量逆迭代，Sturm序列的性质以及Gram－Schmidt正交化过程，直接计算所需要的任意特征对，通常是计算最小的部分特征值及相应的特征向量。
因此，它是一种计算部分特征对的特殊求解方法。此方法具有

建筑结构抗震的几种计算方法

行分析时，采用平方和的平方根法（ＳＲＳＳ方法）；当采
用空间协同分析或空间分析方法时，考虑空间各振型的
相互影响，采用完全二次方程法（ＣＱＣ方法）。
ｍ
&% ２
ＳＲＳＳ方法：Ｓ＝
Ｓｊ
ｊ＝１
⑹
ｍｍ
&%% ＣＱＣ方法：
ＳｊρｊｒＳｒ
ｊ＝１ｒ＝１
⑺
其中：
ｍ—需参加组合的振型数
Ｓｊ—由ｊ振型等效地震荷载求出的弯矩、剪力、轴力或位移
关键词：地震作用；反应谱百度文库；弹性时程分析方法；弹塑性时程分析方法
１前言
地震作用计算是高层建筑结构分析的核心内容。我国国标《建筑抗震设计规范》ＧＢ５００１１－２００１及行标《高层建筑混凝土结构技术规程》ＪＧＪ３－２００２都要求在高层建筑中用反应谱方法计算等效地震力，也对需要采用动力时程分析法计算的高层建筑作了具体规定。结构抗震设计也是结构设计人员的工作重点和难点。以下是我们在研制结构抗震计算软件过程中总结得到的各种结构抗震计算方法的特点。
２．２时程分析方法
的能力和模拟的精度各不相同，其中有限元分析
是一种直接动力法，是在地基土上作用地震波后，ＡＢＡＱＵＳ的非线性分析能力较强。
通过动力计算方法直接求得上部结构反映的一种方法。工程中常用比较简单的弹性动力时程分析方法作地震分析。Ｎｅｗｍａｒｋ—（法和Ｗｉｌｓｏｎ—（是弹性动力时程分析方法常用的计算方法，能真实地描述地震作用的全过程，得到每个构件在每一时刻的内力和位移。计算速度与地震反应谱方法差不多，但不能反应结构材料非线性。ＳＡＴＷＥ、ＴＢＳＡ、ＧＳＣＡＤ等软件的弹性动力时程分析软件都十分成熟。

隐式求解与显式求解.

大多数非线性动力学问题一般多是采用显式求解方法，特别是在求解大型结构的瞬时高度非线性问题时，显示求解方法有明显的优越性。下面先简要对比一下隐式求解法和显示求解法。动态问题涉及到时间域的数值积分方法问题。在80年代中期以前，人们基本上采用纽曼法进行时间域的积分。根据纽曼法，位移、速度和加速度有着如下关系：

u(i+1)=u(i)+△t*v(i)[(1—2p)a(i)+2p*a(i+1)] (1)

v(i+1)=V(i)+△t[(1-2q)a(i)+2qa(i+1)] (2)

上面式子中 u(i+1),u(i)分别为当前时刻和前一时刻的位移，v(i+1)和V(i)为当前时刻和前一时刻的速度，a(i+1)和a(i)为当前时刻和前一时刻的加速度，p和q为两个待定参数，△t为当前时刻与前一时刻的时问差，符号 * 为乘号。由式(1)和式(2)可知，在纽曼法中任一时刻的位移、速度、加速度都相互关联，这就使得运动方程的求解变成一系列相互关联的非线性方程的求解，这个求解过程必须通过迭代和求解联立方程组才能实现。这就是通常所说的隐式求解法。隐式求解法可能遇到两个问题。一是迭代过程不一定收敛，二是联立方程组可能出现病态而无确定的解。隐式求解法最大的优点是它具有无条件稳定性，即时间步长可以任意大。

如果采用中心差分法来进行动态问题的时域积分，则有如下位移、速度和加速度关系式：

u(i+1)=2u(i)-u(i-1)+a(i)(△t)^2 (3)

v (i+1)=[u (i+1)-u (i-1)]／2(△t) (4)

式中u(i-1)，为i -1时刻的位移。由式(3)可以看出，当前时刻的位移只与前一时刻的加速度和位移有关，这就意味着当前时刻的位移求解无需迭代过程。另外，只要将运动过程中的质量矩阵和阻尼矩阵对角化，前一时刻的加速度求解无需解联立方程组，从而使问题大大简化，这就是所谓的显式求解法。显式求解法的优点是它既没有收敛性问题，也不需要求解联立方程组，其缺点是时间步长受到数值积分稳定性的限制，不能超过系统的临界时间步长。由于冲压成型过程具有很强的非线性，从解的精度考虑，时间步长也不能太大，这就在很大程度上弥补了显式求解法的缺陷。

wilson法和newmark法的理论过程

第三章离散化结构动力方程的解法(2013.4.24）

§3.1 绪言

对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，应用瞬时最小势能原理可导出动力方程

[]{}[]{}[]{}{}

++=（3.1）

M u C u K u F(t)

这里，{}u、{}u、{}u及{}

F t分别表示加速度、速度、位移及所

()

作用的外力矢量，他们都是与时间有关的。

从数学的角度来看，式（3.1）是一个常系数的二阶线性常微分方程组，对于它的求解原则上并无困难。但是，由于[]M、[]C 和[]K的阶数非常高，使得式（3.1）的求解必须花费很大的代价，便促使人们去寻求一些效率高的近似计算方法。目前，用于求解式（3.1）的方法，大致可分为两大类。

一是坐标变换法，它是对结构动力方程式（3.1），在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种Ritz变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法，即用结构的前q阶实际主模态集（主振型阵）构成坐标变换阵进行变换。通过这一变换，实现降阶，求较好的近似解，而且，还用解除耦合的办法，简化方程的计算。还有一种所谓假设模态法，即是用一组假设模态，构成模态坐标变换阵进行变换，获得一组降阶的而不解耦的模态基坐标方程。显然，这种方法的计算精度，取决于所假设的模态。用Ritz矢量法求解的近似模态作为假设模态，可得到满足要求的精度。

二是直接积分法，它是对式（3.1）在求解之前，不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。这种方法的特点是对时域进行

离散，将式（3.1）分为各离散时刻的方程，然后，将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成，于是，式（3.1）就化为一个由位移组成的该离散时刻上的响应值，通常又称为逐步积分法。线性代数方程组的解法与静力时刻的位移来线性组合，就导致了各种不同的方法。主要有中央差分法，Houbolt 方法，Wilson -θ法和Newmark 方法等。

newmark法计算多自由度结构响应

newmark法计算多自由度结构响应多自由度结构是指具有多个独立振动模式的结构，在地震、风荷载等外部力作用下，结构会产生复杂的振动响应。为了分析这种结构的振动响应，工程师通常使用有限元法中的newmark法。本文将介绍newmark法的基本原理，以及如何使用该方法计算多自由度结构的振动响应。

一、newmark法的基本原理

newmark法是一种常用的求解结构动力学问题的数值方法，它通过离散化结构的振动方程，将结构的振动响应分解为一系列的时间步长来进行计算。newmark法的基本原理是基于结构的动力学方程和位移速度加速度之间的关系，通过数值积分的方法求解结构的位移、速度和加速度随时间的变化。

newmark法的基本框架可以表示为：

\[ M\Delta \ddot{u}^{n+1} + C\Delta\dot{u}^{n+1} +

Ku^{n+1} = P^n \]

其中\(M\)是结构的质量矩阵，\(C\)是结构的阻尼矩阵，\(K\)是

结构的刚度矩阵，\(\Delta \ddot{u}^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时

刻的加速度增量，\(\Delta\dot{u}^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻

的速度增量，\(u^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的位移，\(P^n\)是

时间步长\(n\)时刻的外部荷载。

通过对上述结构动力学方程进行离散化，并选取合适的数值积分

格式，可以得到newmark法的具体计算公式，其中包括了位移、速度

和加速度的更新公式。因此，newmark法可以方便地用于求解多自由度结构的振动响应。

Wilson-θ法计算步骤

Wilson θ法计算步骤：＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ｉ 0时，第0段：确定y0，y0 , p0 , c0 , k0 ,以此计算出y0 ; 等效刚度K *0 k0 3c 6m 0; 2 (θ t ) θ t 6 yLeabharlann Baidu 6y 3y θ t 0 2 y0 ] c0 ( 0 2 y0 y0 ); 2 (θ t ) θ t θ t 2
荷载增量 p0 p1 p0 ; 等效荷载P*0 p0 θ p0 m[ δy0 P *0 ; K *0
至此，第0段的反应已经计算完毕，已经有了初始量，可以进入迭代计算＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝第i 1段（i 1, 2,3）先利用第i段的量做好准备工作： 3c 6m 等效刚度K *i ki i ; 2 (θ t ) θ t 荷载增量 pi pi 1 pi ; 等效荷载P*i pi θ pi m[ δyi P*i ; K *i 6 yi 6y 3y θ t i 2 yi ] ci ( i 2 yi yi ); 2 (θ t ) θ t θ t 2
然后开始求第i 1段的量： 6 6 3 yi 1 3 2 (δyi yi ) 2 yi (1 ) yi ; θ t θ t θ t yi 1 yi ( yi 1 yi ); 2 t 2 yi 1 yi tyi ( yi 1 2 yi ). 6 第i 1段计算结束。＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

中心差分法、纽马克法和威尔逊—θ法与精确解的误差分析

作者：于津津贾慧敏宋敏

来源：《教育周报·教育论坛》2018年第24期

摘要：在动荷载作用下的物体位移、速度和加速度的计算中，中心差分法、纽马克法和威尔逊-θ法三类方法都是可取的，为结构动力学的理论研究提供了参考。但三类方法与精确值之间均存在一定的误差，本文基于这一问题进行研究和计算，通过图表展示这三类方法与精确值之间的关系。

关键词：结构动力学；中心差分法；纽马克法；威尔逊-θ法

一、引言：

结构动响应的数值计算问题，主要针对多自由或者连续体经过空间散离后建立的二阶常微分方程组形式的运动控制方程：

[M] {¨x}+[ C] {﹒x}+[ K ]{x}=Q （1）

为了探究三种方法相较于精确解的误差，用如下具体问题进行具体分析。如图1所示，该体系在冲击荷载 p（t）=[0 10]T 作用下，求该体系的位移反应表达式，质量单位Kg，弹簧k 单位N/cm。

P1 P2

图1

另：自由振动的周期T1=4.45，T2=2.8，使用中心差分法计算，取时间步长Δt=0.1，

T2=0.28，并假定X0=0；V0=0试计算这个系统在前12个时间步长的反应。取δ=0.25，

γ=0.5，用纽马克法计算该系统的动力反应。取θ=1.4，用威尔逊-θ法计算该系统的反应。

二、计算方法简介

1、精确解计算

根据精确解的计算公式可得：

X1（t） =1-5/3×cos（2^0.5×t）+2/3×cos（5^0.5×t）

X2（t） =3-5/3×cos（2^0.5×t）-4/3×cos（5^0.5×t）

时程分析阻尼模型及数值计算方法

1、阻尼模型

阻尼是用以描述结构在振动过程中能量的耗散方式，是结构的动力特性，是影响结构动力反应的重要因素之一。结构振动时，由于结构材料的内摩擦、材料的滞回效应等机制导致能量消耗，使结构振动幅值逐渐减少，最后直至完全静止。结构的耗能机制非常复杂，它与介质的特征、结构粘性等诸多因素有关。常用的是粘滞阻尼理论，它认为，阻尼力与速度成正比。试验也证明，对于许多材料，这种阻尼理论是可行的，并且物理关系简单，便于应用和计算。

根据实测去确定阻尼大小是相当困难的，但由于阻尼的影响通常比惯性力和刚度的影响小，所以一般都采用简化的方法考虑阻尼。本文采用最为广泛应用的瑞雷阻尼。

瑞雷阻尼假设阻尼矩阵是质量矩阵和刚度矩阵的线性组合，即

[][][]C M K αβ=+ (4.15)

式中，α、β为常数，可以直接给定，或由给定的任意二阶振型的阻尼比i ξ、j ξ反算求得。

根据振型正交条件，待定常数α和β与振型阻尼比之间的关系应满足：

k k k βωα

ξω=

(k =1,2,3,…,n ) (4.16a) 任意给定两个振型阻尼比i ξ和j ξ后，可按下式确定比例常数

2j i i j

i j

ξωξωαωωωω-=- 222j i i j

i j

ξωξωβωω-=- (4.16b)

i ω、j ω分别为第i 、j 振型的原频率。本文取前两阶振型频率求得α、β值。

2、数值积分方法

多自由度结构体系动力微分方程为：

[]{}[]{}[]{}[]{}()g

M x C x K x M x t I ++=-

newmarkbeta法 -回复

newmarkbeta法-回复

什么是newmarkbeta法？

Newmarkbeta法，也被称为Wilson-Newmark法，是一种数值积分方法，用于求解结构动力学问题。它是基于普通微分方程的数值求解方法之一，适用于求解线性和非线性、自由和强迫响应的结构动力学问题。该方法基于Newmark积分方法，考虑了质量矩阵和刚度矩阵对结构响应的影响，通过引入一个积分参数beta，使得在不同的参数设定下可以得到不同阶数的数值积分方法。

注意事项：

在使用Newmarkbeta法时，需要明确一些注意事项：

1. 时间步长的选择：时间步长需要根据所研究的问题和模型的特性来进行选择。通常情况下，较小的时间步长可以提高精度，但也增加了计算量。如果时间步长选择过大，可能会导致数值解的不稳定性。

2. 弛豫因子的选择：在Newmarkbeta法中，引入了一个松弛因子gamma来平衡速度和加速度的权重。gamma为0.5时，等效于中点积分法。gamma为0时，等效于显式向前差分法。根据所研究问题的稳定性和精度要求，可以选择不同的gamma值。

3. 初始条件的设定：在数值解求解之前，需要设定初始条件，即结构的初始位移和速度。这些初始条件将影响数值解的准确性和稳定性。通常情况下，可以根据结构的静态平衡状态设定初始条件。

数值解求解步骤：

下面将一步一步介绍使用Newmarkbeta法求解结构动力学问题的步骤：

步骤1：建立结构模型

首先，需要根据所研究的结构问题建立相应的有限元模型。这包括定义结构的几何形状、材料性质和边界条件等。

三种Newmark法计算

1.考虑一个单自由度体系，质量m=1,刚度k=π2/4，阻尼c=0.2π。外荷载为p(t)=1,0<t<1; p(t)=0,t>1. 初始条件为：位移u(0)=4/π2 ，速度为v(0)=0。分析的时间段为0<t<12。

(1) 给出如上问题的速度和位移的准确解。

(2) 采用三种Newmark- β法(γ=1/2，而β分别取0,1/6,1/4)分别在时间步长为

2,1,0.5,0.25的条件下求解如上单自由度体系，并绘出速度、位移随时间变化的结果图。

(3) 第(2)问中，采用数值计算的位移和速度结果是有误差的。结合已经给出的准确解，绘出不同时间步长下，绘出三种Newmark法计算得到的速度和位移的误差在不同时间点处的图。并分析误差变化的规律。

%（1）

function dq=qq(t,q)

dq=zeros(2,1);

dq(1)=q(2);

if t<=1

dq(2)=1-(0.2*pi*q(2)+pi^2/4*q(1));

else

dq(2)=-(0.2*pi*q(2)+pi^2/4*q(1));

end

[t,u]=ode45(@qq,[0,12],[4/pi^2,0]);

plot(t,u)

v=[0 12 -0.5 0.5];

axis(v);

xlabel('t');

ylabel('Displacement or Velocity');

legend('D','V');

title('准确解')

%（2）

function [D,V,A]=NM_beta(n,dt,beta,gama,d,v,K,M,C,P)

知乎的威尔逊算法

1 威尔逊算法是什么

威尔逊算法（Wilson's algorithm）是一种随机生成迷宫的算法，由美国数学家大卫·威尔逊于1978年提出。威尔逊算法是一种回溯算

法的变形，通过不断从迷宫中选择一个未访问的随机点，向其它未访

问的点连接，直到连接的部分围成一个区域，就可以生成迷宫。

2 算法流程

（1）初始化迷宫，每个位置都是墙。

（2）从任意一个起点（假设为左上角）开始，先把从该点垂直向

下的一条线标记为路径，然后进入下一步。

（3）选择迷宫中任意一个未被访问的点，从该点开始向上下左右

四个方向延伸，寻找未被访问的点，并走向该点。

（4）重复步骤（3），直到当前路径连接到已访问的路径（或者

到达边缘），此时将当前路径标记为路径。

（5）重复步骤（3）和（4），直到迷宫所有的位置都被访问，并

都生成了路径。

（6）将随意选择的起点和终点设为入口和出口。

威尔逊算法是一种直接生成迷宫的算法，与递归分割算法（Recursive Division Algorithm）和Eller算法不同，它没有在迷

宫中添加障碍物。威尔逊算法在生成迷宫时具有以下的特点：（1）随机性强：由于算法每次随机选择未访问的点，因此生成的

迷宫具有很高的随机性，每次生成的迷宫都不同。

（2）局部完美性：生成的迷宫在局部区域内具有唯一性，不会出

现死路。

（3）动态性：算法生成迷宫的过程可以看做是从空白状态开始，

不断增加障碍，直到迷宫形成的过程，因此具有动态性。

4 算法的缺点

（1）迷宫的生成速度较慢：由于算法的随机性和回溯过程，迷宫

的生成时间相对较长。

newmark-β法

随着现代社会的发展和人民生活水平的提高，人们对于干净、安全、健康的水环境的要求也越来越高。因此，水污染治理成为了各国

领导和社会关注的焦点。为了解决水污染问题，探索高效、经济、环

保的水处理技术也成为了各界追求的目标。

其中，新mark-β法（Newmark-β Method）作为一种理论分析

方法，自2009年开始引起了各界的热切关注。它是一种针对地下水中

挥发性有机物（VOCs）的土壤气迁移问题的方法，也可以被用来模拟

化学污染物的扩散过程。

新mark-β法正是以美国地质调查局的科学家Jeffrey Newmark

和James W. Mercer的名字命名的。这个方法的基本思路是将被处理

的区域划分为若干个小网格，然后通过数学模拟的方法来研究VOCs在

不同土层中的运动情况，预测它们的迁移和扩散趋势。用这种方案可

以有效地模拟VOCs的迁移、捕获效果，及释放时间等因素的影响。

新mark-β法的主要优点是可以考虑到土壤的物理特性和化学特性，也可以考虑微生物和土壤水文地质因素等。同时，该方法具有高

精度、高效率、低成本等显著特点。这意味着，这个方法可以纠正不

同土层之间的不均匀性、土壤沉降的影响、便于对土壤污染治理效果

的评估等。

除此之外，新mark-β法也可以通过标定质量传递速率和扩散系

数来定量计算污染物的浓度变化，从而预测未来污染扩散的趋势。这

对于对污染物处理方案的制定和环境保护措施的实施都具有十分重要

的意义。

总之，新mark-β法不仅精准、可靠，而且计算效率高、适用范

围广。这种方法在水污染治理、土壤修复等方面的应用前景十分广泛。相信在不断的改进和完善下，它将为保护我们的环境和人民的健康作

4.2 时域分析法--直接积分法

• 一种算法很难同时兼顾稳定性和精度，稳定与精度往往具
有相反的倾向，稳定性好的计算方法精度相对比较差一些。一般而言，显式积分的稳定性差一些，而且时间间隔的取值对计算稳定性的影响很大。
•
稳定性好的计算方法并不意味可以用任意大的时间步长进行积分计算，无条件稳定的计算方法（比如Wilsonθ 法）虽然不会发生数学上的发散现象，但是容易出现早期结果偏大、后期出现异常振动的计算结果，而且也有可能导致高频振动的计算结果失真的现象，因此，这种算法一般不太合适于带有冲击响应的结构计算。对于高次振动成分比较重要的计算，用非常小的时间步长按显式积分较多。
f s (t ) f s (t t ) f s (t ) [ K (t )]x(t )
df k t s dx t
(t ) x (t t ) x
df s x dx
f s 斜率k (t )
f s (t t ) f s (t )
4 3.5 2.5 1.5 1 0.5
3kN
fs
0.1
0.8
t(s)
0.05
x(t )m
fD
tan c 1kN s/m
5.计算 x
速度和加速度响应
3

0.05
(t ) x
3
6.根据公式(11)计算结构的位移，

非线性动力学方程的求解方法

1、概述

在工程实际问题中，我们常常面临这样的选择：我们所遇的问题究竟是静力的还是动力的。静力问题与动力问题，从力学的角度看就是是否考虑与加速度有关的力，而从数学求解方法看则是一个三维边值问题还是一个四维边值-初值问题。在这个问题的选择上没有固定的原则，一般取决于我们研究者、分析者对工程问题的判断。一般认为，实际工程大都是处于动力环境之中，因而属于动力问题。但是，由于时间、经费等方面的原因的限制，我们不可能把所有的问题都按照动力问题的方法来分析。对于许多具体的问题，与速度和加速度有关的力足够小，但是又影响结构分析结果的，将采用静力假定来模拟这些力。

线性的动力有限元控制方程如式(1-1)所示。

[]}{}]{[}]{[}{R q K q D q

M =++ (1-1) 式中[M ][D ][K ]分别为结构的质量、阻尼和刚度矩阵，{R }为荷载列矢量，}{q

、}{q 和}{q 分别是加速度、速度和位移列矢量。

式(1-1)的解法大体上可以分为两类：直接积分法和模态叠加法。直接积分法在对控制方程进行数值积分之前不对方程做任何形式的变换，直接用数值积分的方法在时域上一步一步地对方程进行积分。模态叠加法是在求解之前对方程进行某种数学变换，使基底降低，或使矩阵的带宽减小，再进行求解。这两种方法在形式上不同，但是密切相关。

上述每一类求解方法中又有许多具体的解法，每一种解法又有各自的特点。因此我们在选择一种方法求解一个问题时，要对该方法的收敛性、稳定性、效率、精度和费用等进行一些分析，讨论它对所求问题的有效性，从而使我们能够针对某一特定的问题，选择合适的方法。

wilson法和newmark法的理论过程

第三章离散化结构动力方程的解法(2013.4.24）

§3.1 绪言

对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，应用瞬时最小势能原理可导出动力方程

[]{}[]{}[]{}{}

++=（3.1）

M u C u K u F(t)

这里，{}u、{}u、{}u及{}

F t分别表示加速度、速度、位移及所

()

作用的外力矢量，他们都是与时间有关的。

二是直接积分法，它是对式（3.1）在求解之前，不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。这种方法的特点是对时域进行