学而思初一数学秋季班第7讲.期中复习.尖子班.教师版

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初一秋季·第7讲·尖子班·教师版

一 有理数基本概念

1. 正数、负数及有理数概念

2. 用正、负数表示相反意义的量

3. 有理数: 整数与分数统称有理数.

4. 有理数的分类：

⑴ 按整数和分数分类； ⑵ 按正数、负数和零分类.

注：①正数和零统称为非负数；

②负数和零统称为非正数； ③正整数和零统称为非负整数； ④负整数和零统称为非正整数.

??

????

?

?有限小数可化成分数形式，

是有理数小数无限循环小数无限不循环小数——不可以化成分数形式，不是有理数

二 数轴、相反数、绝对值、倒数、负倒数

1. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；

2. 相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数．如果a 与b 互为相反数，则有0a b =+，反

之亦然．

3. 绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．正

数的绝对值是本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．

绝对值的性质：

⑴

绝对值的非负性，可以用下式表示：0a ≥，这是绝对值非常重要的性质；

⑵ (0)(0)(0)a a a a a a >??

==??-

0 ；

⑶ 若a a =，则0a ≥；若a a =-，则0a ≤； ⑷ 若a b =，则a b =或a b =-； ⑸ a a =-； 7

期中复习

2

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⑹ a b - 数轴上表示数a 的点与表示数b 的点之间的距离，且a b b a -=-.

教师备案：

1. 解决绝对值的相关问题大多数都是去绝对值符号问题．（看到绝对值就想到去绝对

值符号）

2. 让学生掌握绝对值的几何意义，利用数形结合及分类思想解题．

3. 让学生灵活运用绝对值的基本性质．

4. 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，特别地，0没有倒数；

倒数是它本身的数是1±，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数．

5. 负倒数：乘积为1-的两个数互为负倒数，特别地，0没有负倒数 ；a 、b 互为负倒数，则有

1ab =-，反之亦然．

三 有理数的加减法

1. 有理数加法法则：

①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.

③一个数同0相加，仍得这个数. 2. 有理数加法的运算律：

①两个加数相加，交换加数的位置，和不变. a b b a +=+(加法交换律) ②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变. ()()a b c a b c ++=++(加法结合律) 3. 有理数减法法则：

减去一个数，等于加上这个数的相反数.例：()a b a b -=+-

四 有理数乘除法

1. 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘都得0.

2. 有理数乘法运算律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律.

3. 有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数.

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何一个不等于0的数，都得0.

4. 有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的绝对值.

5. 有理数乘方：求n 个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 在n a 中，a 叫做底数，n

叫做指数. 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号． 6. 有理数混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减. 7. 科学记数法

科学记数法：把一个大于10的数表示成10n a ?的形式（其中110a <≤，n 是正整数），此种记法叫做科学记数法．

例如：5200000210=?就是科学记数法表示数的形式． 710200000 1.0210=?也是科学记数法表示数的形式．

【例1】 ⑴在有理数1-，0，3

5

-，(4)--，()1.2+-，4--，56%，()3---中，整数有________

有理数综合复习

3

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个，负数有_________个．

⑵下列代数式：2m 、22x +、x 、1a +、1

||2

a +、21x -、2()|1|a

b ---的值，一定

为正数的有 个.

⑶下列说法正确的有（ ）个

①正数和负数统称为有理数；②1是最小的自然数；③整数和分数统称为有理数；④非 负数是正数和0；⑤正整数和负整数统称为整数；⑥分数都可以化为小数，反过来小数 不一定能化为分数。

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

⑷一个数在数轴上所对应的点向右移到5个单位长度后，得到它的相反数的对应点， 则这个数是（ ）

A ．2-

B ．2

C ．

52 D ．52

- ⑸ 有理数m 、n 在数轴上的位置如图，则下列关系中正确的个数是（ ）.

① 0m n +<；② 11

m n

>-；③ 0n m -->；④ ||m n <-

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

⑹a 和b 是满足ab ≠0的有理数，以下说法中： ①224a b -+的相反数是224

a b -+； ②a b -的相反数是a 的相反数与b 的相反数的差； ③ab 的相反数是a 的相反数和b 的相反数的乘积；

④ab 的倒数是a 的倒数和b 的倒数的乘积．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ⑺据统计，截至2011年10月22日22点，为期178天的西安世界园艺博览会圆满闭幕，累计入园人数达到1544万余人次，创下历届世园会客流之最，1544万这个数据用科学

记数法表示为（ ）

A ．615.4410?人

B ．71.54410?人

C ．61.54410?人

D ．80.154410?人

【解析】 ⑴54，；⑵2；⑶B ；⑷D ；⑸D ；⑹C ；⑺B

【例2】 ⑴数轴是数与形和谐结合的桥梁，数轴在数学研究中有着非常重要的作用．华罗庚先生

指出“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．已知在纸面上有一数轴，数轴上有三个点，点A 在点B 的左边，点C 表示的数是1．

①如果点A 到原点的距离是3，点B 到原点的距离是5．则点A 和点B 两点的距离是多 少？

②如果点A 到原点的距离是3，点B 到点A 的距离是5．则点B 表示的数是多少？ ③如果点A 与点B 到原点的距离相等，点A 和点B 之间的距离是2012．则点A 、点B 表示的数各是多少？

④如果点A 与点B 到点C 的距离相等，点A 和点B 之间的距离是2012．则点A 、点B 表示的数各是多少？

⑵动点A 从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B 也从原点出发向数轴正方向运动， n 0 m

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3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A ，B 的速度比是1:4，（速度单位：单位长度/秒）

x 036912-3-6-9-12

① 求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A ，B 两点从原点出发运动3秒时的位 置．

② 若A ，B 两点从①中的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？

③ 若A ，B 两点从①中的位置同时向数轴负方向运动时，另一动点C 也同时从B 点位置出发向A 点运动，当遇到A 点后，立即返回向B 点运动，遇到B 点后又立即返回向A 点运动，如此往返，直到B 追上A 时，点C 立即停止运动．若点C 一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C 从开始运动到停止运动，行驶的路程是多少个单位长度？

【解析】 ⑴①2或8

②2或8

③:1006:1006A B -， ④:1005:1007A B -，

⑵①设A 的速度为x 单位长度/秒，B 的速度为4x 单位长度/秒

依题意，3(4)15x x += 1x =

即：A 的速度为1单位长度/秒，B 的速度为4单位长度/秒． 3秒时，A 的位置在3-，B 的位置在12． ② 设x 秒时，原点恰好处在两个动点的正中间？ 12431.8

x x

x -=+=

③ 设y 秒后B 追上A ，依题意， 415

5

y y y -==

205100?=

点C 从开始运动到停止运动，行驶的路程是100个单位长度．

【例3】 一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整

碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克．现在请你来计算： ⑴ 一粒大米重约多少克？

⑵ 按我国现有人口13亿，每年365天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示）

⑶ 假若我们把一年节约的大米卖成钱，按每千克2元计算，可卖得人民币多少元？（用科学记数法表示）

⑷ 对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年500元计算，卖得的钱可供多少名失学儿童上一年学？

【解析】 （1）10÷500≈0.02（克）．

答：一粒大米重约0.02克．

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（2）0.02×1×3×365×1300000000÷1000=2.847×107（千克）． 答：一年大约能节约大米2.847×107千克． （3）2×2.847×107=5.694×107（元）． 答：可卖得人民币5.694×107元． （4）5.694×107÷500=1.1388×105；

整式概念

1.单项式：单项式的次数、单项式的系数.

2.多项式：多项式的项、多项式的次数.

3.整式：单项式和多项式统称为整式.

4.同类项：几个单项式所含字母相同，并且相同字母的指数相同.

5.合并同类项：合并同类项时，只需把系数相加，所含字母和字母指数不变． 整式加减的实质就是去括号，合并同类项．

6.整体思想

【例4】 ⑴下列说法：①x 的系数是1；②式子

1

x

是单项式；③单项式227x y z -的次数是4；④

53a -π的系数是3-π；其中正确的有( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

⑵若单项式n m y x 23与8522y x n --的和仍是一个单项式，则m ，n 的值分别是（ ） A ．1，5 B ．5，1 C ．3，4 D ．4，3

⑶323

24155

a x a x x -+是 次三项式，各项的次数分别是 ， ， ．按

x 降幂排列是 ；按a 升幂排列是 ．

⑷已知多项式432434325132021213ax ax x x x bx bx x +--+++--是关于x 二次多项式， 则22a b += _________．

【解析】 ⑴B ；⑵C ；⑶五，4，5，2．23231455a x x a x -++；223314

55

x a x a x -+；⑷13．

【例5】 已知关于x 、y 的多项式()()

22262351x ax y bx x y +-+--+-（友情提示：关于x 、y

的多项式即式子中只含有字母x 、y ，其他字母为常数） ⑴当a =_____，b =_____时，此代数式的值与字母x 的取值无关；

⑵将多项式()()

2222

324a ab b a ab b -----化简，并在⑴的条件下求其值．

整式加减综合复习

6

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【解析】 ⑴3a =-，1b =

⑵222a b ab -+-，2-

【例6】 如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行

转换的转换器）

⑴当小明输入5342019

--，

，

，这四个数时，这四次输出的结果分别是？ ⑵你认为当输入什么数时，其输出结果是0？ ⑶你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？

⑷有一次，小明在操作的时候，输出的结果是2，你判断一下，小明可能输入的数是什么数？

【答案】⑴1151

249201，，，；

⑵0； ⑶负数；

⑷1

22

-，．

等式的概念及性质、方程的有关概念

一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的整式方程叫

做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．

注意：方程ax b =的解要分类讨论．

①当0a ≠时，方程的解是b

x a

=；

②当0a =且0b =时，方程的解是任意数； ③当0a =且0b ≠时，方程无解．

一元一次方程的基本解法

解一元一次方程的一般步骤：

⑴去分母；⑵去括号；⑶移项；⑷合并同类项；⑸系数化为1．

易错点1——去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号. 易错点2——去分母：不要漏乘不含分母的项 易错点3——移项：注意移项变符号．

绝对值方程

⑴ 形如ax b c +=的方程，可分如下三种情况讨论：

① 0c <，则方程无解；

② 0c =，则根据绝对值的定义可知，0ax b +=； ③ 0c >，则根据绝对值的定义可知，ax b c +=±．

7

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⑵ 形如ax b cx d +=+型的绝对值方程的解法：

首先根据绝对值的定义得出，()ax b cx d +=±+，且0cx d +≥； 分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+，然后将得出的解代入0cx d +≥检验即可．

⑶ 含多重绝对值符号的绝对值方程的解法，主要方法是根据定义，逐层去掉绝对值．

【例7】 ⑴ 若关于x 的方程1

40n nx n -+-=是一元一次方程，则这个方程的解为（ ）

A. 1x =-

B. 1x =

C. 4x =-

D. 4x =

⑵ 已知关于x 的方程22()mx m x +=-的解满足方程1

02

x -=，则m = ．

⑶ 若12x m =是方程21423x m x m ---=

的解，求代数式()211428142m m m ??

-+--- ???

的 值．

（人大附中期中）

【解析】 ⑴ B ； ⑵ 2；

⑶ 把12x m =代入方程21423

x m x m

---=

得：3m =， 化简代数式()222111142812114222m m m m m m m ??

-+---=-+--+=-- ???

，

当3m =时，原式2110m =--=-.

【例8】 ⑴ 根据输入的数字，按图中程序计算，并把输出的结果填入表内；

⑵ 若x 经过两次程序输出数值是0.3-，求出x 的值．

（北京三帆中学期中）

【解析】 ⑴ 12，14，0； ⑵ 由题意：(43)4320.32

x +-??

+-???

?=- ∴ 4.2x =-.

【例9】 ⑴ 对任意有理数a 、b 、c 、d ，规定一种新运算：a b ad bc c d

=-，已知2

434x x -=--， 则x = ．

一元一次方程综合复习

输入

输出 2 1.5 1

1 0

2-

3-

输入

输出

否

是

+(-2)2

>-0.45

- (+3)

÷(+2)

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（人大附中期中） ⑵ 已知右图是一个三阶幻方，它的每行，每列及两条对角线上的三个数字之和都相 等．填入数字11，1-，9如图，并且填入a 格的数是填入b 格的数的二倍．求填入a 格，b 格的数并将其填入格中，同时填出其它空格中的数．

【解析】 ⑴ 2；

⑵提示：由2a b =，每行每列及两条对角线上的三个数字之和都相等得：

11(1)129b b +-+=-++

所以24b a ==，所以依次推出其他各数.

训练1. 设实数a ，b ，c 满足0a b c ++=，及0abc >，若||||||

a b c

x a b c =

++

，11111

1y a b c b c a c a b ??????

=+++++ ? ? ???????

，那么代数式23x y xy ++的值为______．

【解析】 由0a b c ++=及0abc >，知实数a ，b ，c 中必有两个负数，一个正数，从而有1x =-． 又111111a a b b c c

y a b c b c a c a b b c a c a b ??????=+++++=+++++ ? ? ???????

3b c a c a b a b c a b c a b c

+++---=++=++=-，

则231692x y xy ++=--+=．

训练2. 已知关于x 的二次多项式3223(3)(2)5a x x x b x x x -++++-，当2x =时的值为17-，求

当2x =-时，该多项式的值．

【解析】 因为()()()322332(3)(2)5=1235a x x x b x x x a x b a x a b x -++++-++-++-是关于x 的

二次多项式，所以3x 的系数为0，因此10a +=，于是1a =-．

原多项式化简为 322322(3)(2)5(2)35x x x b x x x b x x x x --++++-=++--， 由2x =时多项式的值为17-，可得10717b -=-，解得1b =-． 因此当2x =-时，多项式的值为651b +=-．

11 1- a

9 b

11

5-

6 1-

4 9 2

13

-3

9

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训练3. 已知a a =-，0b <，化简

2

2442

(2)24323

a b a b a b b a +-

-+++--． （北京四中期中）

【解析】 ∵a a =-，∴0a ≤，又∵0b <，∴240a b +<，

∴24(24)2(2)a b a b a b +=-+=-+，∴

2

2

242(2)2

(2)(2)2a b

a b a b a b a b

+-+-=

=+++ 又∵20a b +<，∴444

2(2)2a b a b a b

-=-=

+-++ 又∵230a -<，∴22221

43(23)242424323

b a a b a b a b b a -=-=-==

++-++++-- ∴原式24132222a b a b a b a b

=-

++=

++++ 训练4. 我们规定，若x 的一元一次方程ax b =的解为b a -，则称该方程是定解方程，例如：

932x =的解为93322-=，

则该方程9

32

x =就是定解方程．请根据上边规定解答下列问题： ①若x 的一元一次方程2x m =是定解方程，则m = ．

②若x 的一元一次方程2x ab a =+是定解方程，它的解为a ，求a ，b 的值． ③若x 的一元一次方程2x mn m =+和2x mn n -=+都是定解方程，

求代数式221

2(11){43[()]}[()2]2

m n mn m m mn n n -+---+--+-的值．

（人大附中期中）

【解析】 ① 由题意可知2x m =-，由一元一次方程可知2

m

x =

∴22

m

m -=，∴4m =

② 由题意可知2x ab a =+-，有一元一次方程可知2

ab a

x +=

又因为方程的解为a ，2a ∴=，1b =

③ {}

22

12(11)43()()22m n mn m m mn n n ????-+---+--+-???? =221

5()223()()2

m n mn m mn n ---++-+

且由题可知：4mn m +=，43mn n +=-，所以16

3m n -=

所以2215()223()()2m n mn m mn n ---++-+=14

9

-

10 初一秋季·第7讲·尖子班·教师版

有理数综合

【练习1】 ⑴下列不正确．．．

的是（ ） A ．1是绝对值最小的数

B ．0既不是正数，也不是负数

C ．一个有理数不是整数就是分数

D ．0的绝对值是0

⑵如果0a b +=，那么a ，b 两个实数一定是（ ）

A ．都等于0

B ．一正一负

C ．互为相反数

D ．互为倒数 ⑶已知点A 和点B 都在同一条数轴上，点A 表示3，又知点B 和点A 相距5个单位长度，则点B 表示的数是_______.

⑷ 给出下列结论：

①若a a =，则0a >； ②a -一定是个负数；

③若

a a -=，则0a ≥； ④∵0a <，∴a a --=-．

其中正确的个数是（ ）．

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

⑸山西体育中心是建国以来山西省开工建设的最大体育场馆，占地1238亩，总投资为16亿元，用科学记数法表示16亿元为（ ）

A ．91610?元

B ．91.610?元

C ．90.1610?元

D ．81.610?元

【解析】 ⑴A ；⑵ C ；⑶ 2-或8；⑷ B ；⑸B

【练习2】 ⑴若m n n m -=-，且4m =，3n =，则2()m n += .

⑵ 若x <0，0xy <，则 15y x x y -+---的值是（ ） A ．4- B ．4 C ．226x y -++ D ．不能确定

⑶ 若a 、b 为负数，且||||a b >，化简||||||a a b b a -+--= .

【解析】 ⑴ 1或49； ⑵ A ； ⑶a .

整式加减综合复习

【练习3】 已知()2

1304x y -++=，求代数式()()

227527xy x y xy x -+--的值．

【解析】 3x =，14y =-；2

210x y -；1202

【练习4】 ⑴多项式23232421a x ax x x x +-+++是关于x 的二次三项式，求221

a a a

++的值．

⑵ 一位同学做一道题，已知两个多项式A ，B ，计算A B +，他误将A B +看作A B -，

求得2927x x -+，若2

32B x x =+-，你能否帮助他求得A B +的正确答案？

11

初一秋季·第7讲·尖子班·教师版

【解析】 ⑴由题意得2a =，得原式为25

4

； ⑵ 21143x x ++. 一元一次方程综合复习

【练习5】 a b c d ，，，为有理数，现规定一种运算：

a c

b d =ad b

c -，那么当2(1)x - 45

=18 时x 的值是 ．

（北京四中期中）

【解析】 当

2(1)x - 4

5

=18时，()254118x ?--=，3x =. 【练习6】 如果5(2)23x a +=+与

(31)(53)

35

a x a x +-=

是关于x 的同解方程，求a 的值． 【解析】 由5(2)23x a +=+得527x a =-，

由(31)(53)35a x a x +-=

得59x a =-，因此279a a -=-，得711a =．

12 初一秋季·第7讲·尖子班·教师版

不要羡慕别人的生活，别人不见得比你活得好，世间是公平的，每个人都有自己的欢乐和痛苦。你所拥有的，也许恰恰是别人所缺少的，与其为别人的拥有而不平，不如为自己的拥有而开怀。 【公平的三个层次】

一、为自己拥有的开怀；

二、坚持公平公正的理念，有付出定会有收获；

三、不要为暂时的不公平沉沦，要在逆境和坎坷中，追求奋斗、成就辉煌.

享受自己拥有的

彼德认识爱波特好多年了。有一次，爱波特告诉了彼德一个故事，令人永远不会忘记： 我曾经是一个对一切都不满足的人，所以整天都不快乐。但是在1934年春天，当我在威培城道菲街散步的时候，目睹了一件事，使我的一切烦恼从此消解。此事发生于10秒钟内，我在这10秒钟里所学得的东西，比从前10年还要多。

我在威培城开了一间杂货店，经营两年，不但把所有的积蓄都赔掉了，而且还负债累累。就在前一个星期六，我这间杂货店终于关门了。当时，我正在向银行贷款，准备回老家找工作。我走路的样子看起来像是一个毫无生气的人，因为我已经失去了信念和斗志。

我突然瞧见一个没有腿的人迎面而来，他坐在一个木制的有轮子的木板上。他每一只手撑着一根木棒，沿街推进。我恰好在他过街之后碰见他，他正朝人行道滑去，我们的视线刚好相碰了。他微笑着，向我打了个招呼：“早，先生！天气很好，不是吗？”他的声音是那样富有感染力，那样有精神，好像根本就不是一个有身体缺陷的人。

当我站着瞧他的时候，我感觉到上天赋予我的让我感动！我有两条腿，我可以走。可是面对他自信的目光，我觉得自己才是一个残障者！我对自己说：既然他没有腿也能快乐高兴，我当然也可以。因为我有腿！

我感到心胸顿时豁然开朗。我本来只想向银行借100 块钱，但是，我现在有勇气向它借200块了．我本来想到老家求人帮忙随便找一件事做，但是，现在我自信地宣布，我要到堪萨斯城获得一份好工作。最后我钱也借到了，工作也找到了。

我把这次经历中的感想组织成几句话写了下来，贴在我浴室的镜子上，每天早晨刮脸的时候，我都要大声地朗读一遍：

我忧郁，因为我没有鞋。直到在街上遇见一个人， ——他没有脚！

一位哲人用极其简洁的话道出了人类的大智慧。他说：“人生的目的只有两个：第一，得到你想要的;第二，享受你得到的。” 现实生活中，只有很少的人能够做好第二点。

今天我学到了

第十三种品格：公平