高中数学方法转化与化归思想

易错． 因此， 把抽象数列转化为具体的简单的数列进行分析， 可以很快得到答案．
变式训练 3 已知定义在实数集 R 上的函数 y＝f(x)恒不为 零，同时满足 f(x＋y)＝f(x)· f(y)，且当 x＞0 时，f(x)＞1，
④ 那么当 x＜0 时，一定有________( 填序号)．
①f(x)＜－1；②－1＜f(x)＜0；③f(x)＜1；④0＜f(x)＜1.
e4 e5 e6 变式训练 1 ， ， (其中 e 为自然常数)的大小关系是 16 25 36
e4 e5 e6 ＜25＜36 16 ____________．
e4 e4 e5 e5 e6 e6 解析 由于 16＝42，25＝ 52， 36＝ 62，故可构造函数 f(x) ex e4 e5 e6 ＝ 2，于是 f(4)＝ ，f(5)＝ ，f(6)＝ . 16 25 36 x ex ex· x2－ex· 2x ex(x2－2x) 而 f′(x)＝ 2′＝ ＝ ，令 f′(x)＞0 4 4 x x x 得 x＜0 或 x＞2，即函数 f(x)在(2，＋∞)上单调递增，因 e4 e5 e6 此有 f(4)＜f(5)＜f(6)，即16＜25＜ 36.
归纳拓展
本题若从正面讨论则需分类讨论求解，繁不堪
言，但从其反面“三条抛物线都不与 x 轴相交”着手，求出 a 的取值范围，再求其补集，则使问题简单得多了．一个题 目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，易从 反面考虑，在概率计算中有较多这样的问题．
变式训练 2 已知集合 A＝{y|y2－(a2＋a＋1)y＋a(a2＋1)>0}， B＝{y|y2－6y＋8≤0}， 若 A∩B≠∅，则实数 a 的取值范围 a|a>2 或－ 3<a< 3} ． 为{ ____________________
解析 由题意得 A＝{y|y>a2＋1 或 y<a}，B＝{y|2 ≤y≤4}，
我们不妨先考虑当 A∩B＝∅时 a 的取值范围．如图：
a≤2 由 2 a ＋1≥4
a≤2 得 a≥ 3或a≤－
3
，
∴a≤－ 3或 3≤a≤2. 即 A∩B＝∅时，a 的取值范围为 a≤－ 3或 3≤a≤2. 而 A∩B≠∅时，a 的取值范围显然是其补集，从而所求范围 为{a |a>2 或－ 3<a< 3}．
归纳拓展
本题求 an 时采用了特殊化的方法， 这是归纳 ——
猜想 ——证明的归纳推理，当问题难以入手时，应先对特殊 情况或简单情形进行观察、分析，发现问题中特殊的数量或 关系结构或部分元素，然后推广到一般情形，以完成从特殊 情形的研究到一般问题的解答的过渡， 这就是特殊化的化归 策略． 数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，解题时，有时 需要把一般问题化归为特殊问题， 有时需要把特殊问题化归 为一般问题．
§4 转化与化归思想 方法解读
1．转化与化归思想 所谓转化与化归思想，就是将待解决的问题和未解决的 问题，采取某种策略，转化归结为一个已经能解决的问 题；或者归结为一个熟知的具有确定解决方法和程序的 问题；归结为一个比较容易解决的问题，最终求得原问 题的解． 2．转化与化归思想的原则 (1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题， 将未知的问题转化为已知问题，以便于我们运用熟知的 知识、经验和问题来解决．
②假设当 n＝k(k≥2 且 k∈N*)时等式成立， 即 ak＝(k－1)λk＋2k， 那么 ak＋ 1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k＝λ(k－1)λk＋λ· 2k＋λk＋1＋2k＋1 －λ· 2k＝[(k－1)＋1]λk＋1＋2k＋ 1. 这就是说，当 n＝k＋1 时等式也成立． 由①②可知，an＝(n－1)λn＋2n 对任意 n∈N*都成立．
2．已知数列{an}对任意的 p，q∈N*满足 ap＋q＝ap＋aq 且 a2
－30 ＝－6，那么 a10＝________.
解析 由 ap＋q＝ap＋aq，a2＝－6， 得 a4＝a2＋a2＝－12，同理，a8＝a4＋a4＝－24， 所以 a10＝a8＋a2＝－24－6＝－30.
2 归纳拓展 本题如果从已知条件 a2 ＝ a · a ⇒ ( a ＋ 2 d ) ＝ a1(a1 3 1 9 1 a1＋a3＋a9 ＋8d)，解得 a1 与 d 的关系后，代入所求的式子： a2＋a4＋a10 a1＋(a1＋ 2d)＋(a1＋8d) ＝ ，也能求解，但计算较繁锁， (a1＋d)＋(a1＋ 3d)＋ (a1＋9d)
三、抽象问题与具体问题的转化 例 3 已知等差数列 {an}的公差 d≠0，且 a1、a3、a9 成等比
13 a1＋a3Biblioteka Baidua9 数列，则 的值是________ 16 ． a2＋a4＋a10
解析 由题意知， 只要满足 a1、 a3、 a9 成等比数列的条件， {an}取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的． 因 此，可把抽象数列化归为具体数列．比如，可选取数列 a1＋a3＋a9 1＋3＋9 13 * an＝n(n∈N )，则 ＝ ＝ . a2＋a4＋a10 2＋4＋10 16
解析 设 f(x)＝2x， ，则符合题意，结合图象知④正确．
四、函数、不等式、方程之间的转化 x－1 m 例 4 设函数 f(x)＝e ＋ (m∈R)， x (1)若 f(x)在(1,2)上为单调减函数，求实数 m 的取值范围； (2)若 f(x)在 x＝1 处有极值，且函数 g(x)＝f(x)－n 在(0， ＋∞)上有零点，求 n 的最小值．
规范演练
一、填空题 1．若方程 sin2x＋cos x＋k＝0 有解，则 k 的取值范围为
5 －4≤k≤1 ． ______________ 解析 求 k＝－sin2x－cos x 的值域．
k＝cos2x－cos x－1 12 5 ＝(cos x－2) －4. 1 5 当 cos x＝ 时，kmin＝－ ， 2 4 当 cos x＝－1 时，kmax＝1， 5 ∴－4≤k≤1.
3．转化与化归思想常用到的方法 (1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式 或基本图形问题． (2)换元法： 运用“换元”把超越式转化为有理式或使整式 降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于 解决的基本问题． (3)数形结合法：研究原问题中数量关系 (解析式 )与空间形 式 (图形 )关系，通过互相变换获得转化途径． (4)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易 于解决的问题． (5)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题， 是转化方法的一个重要途径．
m 解 (1)对 f(x)求导，得 f′(x)＝e － 2. x m x－1 当 f(x)在(1,2)上单调递减时， e － 2 ≤0 在[1,2]上恒成立， x
x－1
∴m≥x2ex－1 在[1,2]上恒成立． 令 h(x)＝x2ex－1，则 h′(x)＝ex－1(x2＋2x)＞0 在[1,2]上恒成 立，即 h(x)中[1,2]上单调递增， ∴h(x)＝x2ex－1 在[1,2]上的最大值为 h(2)＝4e，即 m≥4e. 故实数 m 的取值范围是[4e，＋∞)．
(6)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定转 化途径． (7)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证 明特殊化后的结论适合原问题． (8)等价问题法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题， 达到转化的目的． (9)加强命题法：在证明不等式时，原命题难以得证，往往 把命题的结论加强，即命题的结论加强为原命题的充分条 件，反而能将原命题转化为一个较易证明的命题，比如在证 明不等式时，原命题往往难以得证，这时常把结论加强，使 之成为原命题充分条件，从而易证． (10)补集法：如果正面解决问题有困难，可把原问题结果看 作集合 A，而包含问题的整体问题的结果类比为全集 U，通 过解决全集 U 及补集∁ UA 使原问题得以解决．
(2)∵ f′ (x)＝ e
x－ 1
m － 2，又 f(x)在 x＝ 1 处有极值， x
∴ f′ (1)＝ 0，得 m＝ 1，经检验符合题意． 1 1 x－1 x－1 ∴ f(x)＝ e ＋ ， g(x)＝ f(x)－ n＝ e ＋ － n. x x 1 x－ 1 对 g(x)求导，得 g′ (x)＝ e － 2， x 当 x∈(0,1)时， g′ (x)＜ 0， g(x)为减函数；当 x∈ (1，＋∞ ) 时， g′ (x)＞ 0， g(x)为增函数． ∴ g(x)在 x＝ 1 处取得极小值 g(1)＝ 2－ n. 依题意， g(x)在 (0，＋∞ )上有零点， ∴ g(1)≤ 0, 即 2－ n≤ 0， ∴ n≥ 2. 故 n 的最小值为 2.
(2)简单化原则：将复杂问题转化为简单问题，如三维空间问题 转化为二维平面问题，通过简单问题的解决思路和方法，获得 对复杂问题的解答启示和思路以达到解决复杂问题的目的． (3)具体原则：化归方向应由抽象到具体． (4)和谐统一性原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更 符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使 其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律． (5)正难则反的原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题 的反面；或问题的正面较复杂时，其反面一般是简单的；设法 从问题的反面去探求，使问题获得解决．
分类突破
一、特殊与一般的转化 例 1 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n (n∈N*)，其中 λ＞0.求数列{an}的通项公式．
解
a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)×2＝λ2＋22，
a3＝λ(λ2＋22)＋λ3＋(2－λ)×22＝2λ3＋23， a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)×23＝3λ4＋24. 由此猜想数列{an}的通项公式为 an＝(n－1)λn＋2n，n∈N*. 下面用数学归纳法证明． ①当 n＝1 时，a1＝2，等式成立．
q 变式训练 4 设 g(x)＝ px－ － 2f(x)， 其中 f(x)＝ln x， 且 g(e) x p ＝ qe－ － 2(e 为自然对数的底数)． e (1)求 p 与 q 的关系； (2)若 g(x)在其定义域内为增函数，求 p 的取值范围． q 解 (1)由题意 g(x)＝px－ －2ln x， x q ∴g(e)＝pe－ －2， e q p ∴pe－e－2＝qe－ e －2， 1 ∴(p－q)e＋(p－q)e＝0， 1 ∴(p－q)e＋ ＝0， e 1 而 e＋e≠0，∴p＝q.
q (2)由 (1)知： g(x)＝ px－ － 2ln x， x 2 p 2 px － 2x＋ p g′ (x)＝ p＋ 2－ ＝ ， x x x2 令 h(x)＝ px2－ 2x＋ p. 要使 g(x)在 (0，＋∞ )上为增函数，只需 h(x)在 (0，＋∞ )上 满足 h(x)≥ 0 恒成立即可， 2x 2 即 px － 2x＋ p≥ 0， p≥ 2 在 (0，＋ ∞)上恒成立， x ＋1 2x 2 2 又∵ 0＜ 2 ＝ ≤ ＝ 1(x＞ 0)． 1 x ＋1 1 x＋ x 2 x· x ∴ p≥ 1.
归纳拓展
本题的求解涉及两类题型和求解的方法：(1)求参
数的范围问题， 方法是通过对函数单调性的研究， 转化为不等 式的恒成立问题，进而转化为求函数的最值问题求解． (2)研 究函数的零点问题，方法是通过研究函数在某区间有最大 (或 最小)值 f(t)，而函数又在此区间有零点，则结合图形分析，可 得 f(t)≥0(或 f(t)≤0)．
二、正难则反的转化与化归 例 2 已知三条抛物线： y＝x2＋4ax－4a＋3， y＝x2＋(a－1)x ＋a2，y＝x2＋2ax－2a 中至少有一条与 x 轴相交，求实数 a 的取值范围．
Δ1＝(4a)2－4(3－4a)<0 2 2 解 令 y＝0，由Δ2＝(a－1) －4a <0 ， Δ ＝(2a)2＋8a<0 3 3 解得－ <a<－1， 2 3 ∴满足题意的 a 的取值范围是 a≤－ 或 a≥－1. 2