《切线长定理》参考课件_最新修正版
合集下载
沪科版九年级数学下册24.4.4《切线长定理修正版》ppt课件
∴∠OBA+∠3=90° ∵OB=OA ∴∠OBA=∠A ∴∠3+∠A=90° 又∵OD⊥OA ∴∠1+∠A=90° ∴∠1=∠3 又∵∠1=∠2 ∴∠2=∠3 ∴BD=CD
O
1
2
A
C
B
3DBiblioteka 五,理解应用 1,⊙O的半径为4,点P到圆心的距离为8,过P作⊙O的两 条切线,则这两条切线的夹角为__________． 2,在梯形 ABCD中,AD∥BC,∠ABC＝90°,以 AB为直 径的半圆切 CD于点 M,若这个梯形的面积是10 cm2,周 长是14 cm,则半圆O的半径为_________ 3,圆外切等腰梯形上、下底分别是9cm和25cm,则其内 切圆面积为_________． 4,已知圆外切等腰梯形的中位线长为3cm,则腰长为__ A 4 8 O P
B
5、四边形ABCD外切于⊙O （1）若AB：BC：CD：DA=2：3：n：4 则n=____ （2）若AB：BC：CD=5：4：7，周长为48 则最长的边为_____ 6、 A B C C B · O D B · O C 圆内接平行四边形是矩形 D 圆外切平行四边形是_______ A
A
· O
D
y
8,如图:AE、BF分别切⊙O于A、B, 且AE∥BF,EF切⊙O于C。 试证： ⑴ AB是⊙O的直径 ⑵ OE⊥OF ⑶ OC是AE、BF的比例中项 ⑷ 若⊙O 的半径为6，点C分半圆为1：2两部分， 求AE、BF的长。
B F x
若以BF、BA所在的直线分别为x轴、y轴，B为原点， 请求出EF所在直线的函数解析式。
⑷ 若⊙O 的半径为6，点C分半 圆为1：2两部分，求AE、BF的 长。 若以BF、BA所在的直线分别为x 轴、y轴，B为原点，请求出EF 所在直线的函数解析式。
切线长定理优秀课件
A
B
A
C
O·
B
D
C
O· D
圆内接平行四边形是矩形 圆外切平行四边形是_______
3、
圆内接梯形为等腰梯形
4、（1）已知圆外切等腰梯形的中位线长 为3cm，则腰长为____
反思：圆外切等腰梯形的腰长 等于中位线长
A E B
（2）若圆外切等腰梯形，两腰之比为9：11 差为6cm，则中位线为____ 若S梯=150cm，则内切圆的直径为____
A
。
P
O
B
用尺规作图：过⊙O外一点做⊙O的切线
A
OO ·
P
B
在经过圆外一点的切线上，这一点和切点之间的 线段的长叫做这点到圆的切线长
A
O·
P
B
已知：⊙O外一点P，PA切⊙O于A PB切⊙O于B
求证：PA=PB
A O ·))
( (P
证明：连结OA，OB，OP
PA切⊙O于A OA为⊙O半径
同理
OA⊥PA OB⊥PB
A
E B
D F C
D F C
如图：用两根带有刻度的木条做一个夹角为60°的 工具尺，你能用它量出一个圆的半径吗？
若量出角的顶点到切点的距离为10cm，试求这个圆 半径的近似值。
13.读书总比搬砖来的轻松。 81.十年寒窗无人闻，一朝成名天下知。 64.最简单的事是坚持，最难的事还是坚持。 72.水滴集多成大海，读书集多成学问。 14.成功就是两股力量：一种支持我们的力量；一种反对我们的力量。 65.善于利用时间的人，永远找得到充裕的时间。 20.不要满足于眼前的小成就。问问自己：我这辈子就这样了吗？ 33.今朝勤学苦，明朝跃龙门。 43.勤学的人，总是感到时间过得太快；懒惰的人，却总是埋怨时间跑得太慢！ 63.忍一时风平浪静，退一步海阔天空。 99.拥有资源不能成功，善用资源才能成功。 15.马车越空，噪音越大。 52.你的人生永远不会辜负你的。那些转错的弯，那些走错的路，那些流下的泪水，那些滴下的汗水，那些留下的伤痕，全都让你成为独一无二的自己。 96.只要功夫深，铁杆磨成针。 13.读书总比搬砖来的轻松。 27.一个真正想成功的人是勤奋与努力的，而不是躺在床上说大话。 115.志不立，天下无可成之事。 18.人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 108.专注自我提升，不要左顾右盼，紧紧抓住每一个分钟。 72.不比智力，比努力；不比起步，比进步。 25.智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印。
切线长定理(共33张PPT)
试用文字语言叙述你所发现的结论
切线长定理
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
几何语言:
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
O
P
A
B
试一试
A
P
O
B
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
a＋b－c
2
ab
a＋b＋c
· O
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
思考：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。 求证：AC∥OP
P
A
C
B
D
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有相等的线段
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
切线长定理
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
几何语言:
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等提供新的方法
O
P
A
B
试一试
A
P
O
B
若连结两切点A、B，AB交OP于点M.你又能得出什么新的结论?并给出证明.
a＋b－c
2
ab
a＋b＋c
· O
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
思考：如图，AB是⊙O的直径， AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。 求证：AC∥OP
P
A
C
B
D
B
A
P
O
C
E
D
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（3）写出图中所有相等的线段
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
OA=OB=OD=OE, PA-=PB, AC=BC, AE=BE
已知：如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B，Q为AB上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA、PB于E、F点，已知PA=12CM，求△PEF的周长。
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
∵ ⊙O与Rt△ABC的三边都相切
∴AD＝AF,BE＝BF,CE＝CD
切线长定理PPT课件
求AF、BD、CE的长.
解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE＝z(cm)
x＋y＝9
x＝4
则有 y＋z＝14 解得 y＝5
x＋z＝13
z＝9
∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).
第十七页，共26页。
F
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
D O·
则有
x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c
解得
r＝
a＋b－c
2
C
E
B
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的
内切圆的半径 r＝ a＋b－c或r＝
2 第十八页，共26页。
ab
a＋b＋c
思考：如图，AB是⊙O的直径，
AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
AL
B
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
第十五页，共26页。
想一想
A
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，往往需
。
要我们构建基本图形。 O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
第十六页，共26页。
例题3
例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，
C E
C E
D
D
F
A
·O
B
A
O
B
第十九页，共26页。
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。
解: ∵ ⊙O与△ABC的三边都相切
∴AF＝AE,BD＝BF,CE＝CD
设AF=x(cm), BD=y(cm),CE＝z(cm)
x＋y＝9
x＝4
则有 y＋z＝14 解得 y＝5
x＋z＝13
z＝9
∴ AF=4(cm), BD=5(cm), CE=9(cm).
第十七页，共26页。
F
设AD= x , BE= y ,CE＝ r
D O·
则有
x＋r＝b y＋r＝a x＋y＝c
解得
r＝
a＋b－c
2
C
E
B
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的
内切圆的半径 r＝ a＋b－c或r＝
2 第十八页，共26页。
ab
a＋b＋c
思考：如图，AB是⊙O的直径，
AD、DC、BC是切线，点A、E、B 为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长.
AL
B
补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等．
第十五页，共26页。
想一想
A
反思：在解决有关圆的
切线长问题时，往往需
。
要我们构建基本图形。 O
P
B
（1）分别连结圆心和切点 （2）连结两切点
（3）连结圆心和圆外一点
第十六页，共26页。
例题3
例3 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，
C E
C E
D
D
F
A
·O
B
A
O
B
第十九页，共26页。
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的 切线，A、B为切点，BC是直径。
切线长定理ppt课件
于点C，连结CA、
。
CB，你又能得出什C
O
P
么新的结论?并给出
证明. CA=CB
A
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点 ∴PA = PB ∠OPA=∠OPB ∴PC=PC ∴ △PCA ≌ △PCB ∴AC=BC
精选ppt课件
9
例.PA、PB是⊙O的两条切 线，A、B为切点，直线OP
A
交于⊙O于点D、E，交AB 于C。
A
D
F O
EC
精选ppt课件
20
1.一个三角形有且只有一个内切圆；
2.一个圆有无数个外切三角形；
3.三角形的内心就是三角形三条内角平 分线的交点；
4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等。
精选ppt课件
21
分析． 试说明圆的 外切四边形的两组 对边的和相等．
精选ppt课件
22
选做题：如图，AB是⊙O的直径，
三角形内切圆
C
．o
A
B
外切圆圆心：三角形三边 垂直平分线的交点。
内切圆圆心：三角形三个 内角平分线的交点。
外切圆的半径：交点到三
内切圆的半径：交点到三
角形任意一个定点的距离。精选ppt课角件形任意一边的垂直距离。15
分析题目已知：如
图, △ABC的内切
圆⊙O与BC 、CA、
AB 分别相交于点
A
D 、 E 、 F ，且
C B
17
过⊙O外一点作⊙O的切线
A
OO ·
P
B
精选ppt课件
18
例1 △ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于
点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm， 求AF、BD、CE的长.
切线长定理课件
切线长定理的再一个推论
总结词
切线长定理的再一个推论是，若两圆在 同一直线上相切，则它们的切线互相平 行。
VS
详细描述
这个推论是切线长定理的进一步应用。当 两圆在同一直线上相切时，它们的切线不 仅长度相等，而且平行。这个推论在解决 涉及直线和圆的问题时非常有用，特别是 在几何证明和解析几何中。通过掌握这个 推论，学生可以更好地理解几何图形的性 质和关系，提高解决几何问题的能力。
切线长定理的另一个推论
总结词
切线长定理的另一个推论是，若两圆相切于同一点，则该点的切线与两圆心的连线垂直 。
详细描述
这个推论说明了当两圆在同一点相切时，该点的切线与两圆心的连线之间此，该点的切
线与两圆心的连线互相垂直。这个推论在证明几何定理和解决几何问题时非常有用。
切线长定理在数学、物理、工程等领 域有着广泛的应用，通过学习和掌握 这个定理，我们可以更好地理解和应 用相关领域的知识。
通过本次课件的学习，我们深入了解 了切线长定理的证明过程和实际应用 ，掌握了利用切线长定理解决实际问 题的技巧和方法。
展望
随着数学和其他学科的发展，切线长定理的应用范围将会更加广泛，我 们可以通过不断学习和探索，深入了解这个定理的更多应用和推广。
切线长定理的证明方法二
利用三角形的全等定理进行证明。首先，作辅助线连接圆心和切点，将切线分为两段。然后，根据三角形的全等定理，证明三 角形全等，从而得到切线长的平方等于半径的平方和。
切线长定理的证明方法三
利用向量进行证明。首先，根据向量的数量积公式，向量的数 量积等于两向量的模长乘以其夹角的余弦值。然后，利用切线 的性质，切线和半径垂直，从而夹角为90度。结合数量积公式 ，可以证明切线长的平方等于半径的平方和。
人教版数学九年级上册24.2.3切线长定理课件(共26张PPT)
三角形外心、内心的区别：
名称
外心
内心
图形
性质
三角形的外心到三角形三个 三角形的内心到三角形
顶点的距离相等
三条边的距离相等
位置 外心不一定在三角形内部 内心一定OC=90°+
1 2
∠A
例2 如图， △ABC的内切圆⊙O与BC，CA， AB
分别相交于点D ， E ， F ，且AB＝9，BC ＝14，
CA ＝13，求AF，BD，CE的长.
解：设AF=x,则AE=x,
A
CD=CE=AC-AE=13-x,
E
BD=BF=AB-AF=9-x.
F
由BD+CD=BC,可得
(13-x)+(9-x)=14.解得，x=4. B
D
C
因此，AF=4，BD=5，CE=9.
随堂练习 1.如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分 别相切于点D，E，F，且AB=11cm，BC=14cm， CA=13cm，则AF的长为( C ) A.3cm B.4cm C.5cm D.9cm
解：∵ 点O是△ABC的内心，
∴∠OBC= 1 ∠ABC= 1 ×50°=25°，
2
2
∴∠OCB= 1 ∠ACB = 1×75°=37.5° ，
2
2
∴∠BOC=180°-25°-37.5°=117.5° B
A O
C
【选自教材P100 练习 第2题】
5. △ABC的内切圆半径为r， △ABC的周长为l，求△ABC的
2.如图，点O是△ABC的内心，若∠BAC=86°， 则∠BOC=( C ) A.172° B.130° C.133° D.100°
3.如图，已知VP、VQ为⊙T的切线，P，Q为
圆的切线长定理 ppt课件
切线，A、B为切点，BC是直径。
求证：AC∥OP
CA
OD
P
B
13
探究：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP
交于⊙O于点D、E，交AB于C。
（1）写出图中所有的垂直关系 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角？图中有几组相等的线段?
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC，
A
OA=OB=OD=OE,PA=PB,AC=BC.
（3）写出图中所有的全等三角形
E O CD
P
△AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC，
△ACP≌ △BCP
B
（4）写出图中所有的等腰三角形
△ABP △AOB
14
思考:
如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面
截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽
可能大呢？
D 8cm
11
牛刀小试
（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA OA=3
（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则∠APB= 60°
A
（3）若∠APB=70°，则∠AOB= 110° ⌒⌒
（4）OP交⊙O于M，则 ＡＭ＝ＢＭ，
O P
M
ＡＢ ⊥ ＯＰ
CB
12
例题讲解
例1、已知：P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的
么?
6
证一证
请证明你所发现的结论。
B
PA = PB
∠OPA=∠OPB
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
P
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°
切线长定理_课件
练习 如图,已知⊙O的半径为3厘米，PO＝6厘米，PA，PB分别切 ⊙O于A，B，则PA＝_______，∠APB＝_____．
（1）3 厘米
练习 答案：25°
练习
补充题
如图：从⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于点A和 B，在弧AB上任取一点C，过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB 于点D、E． 试证： ⑴ △PDE 的周长是定值； ⑵ ∠DOE 的大小是定值． 答案： （1）PA+PB；
根据这个性质，你能确定圆心吗？
思考
如图，是一块三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用 料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？ 我们以前学过，三角形的三条角平分线交于一点， 并且这个点到三条边的距离相等． 所以圆心I是角平分线的交点．
I
三角形的内切圆
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆． 内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点， 叫做三角形的内心．
练习 如图，AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F，若AD=20cm，则 △ABC的周长为_4__0_c_m___．
提示：BD=BF，CE=CF
练习 如图，四边形ABCD四条边都与圆O相切，切点分别为E、F、 G、H，且AD=8，BC=18，求四边形ABCD的周长_5__2_____．
提示：切线长相等
经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长， 叫做这点到圆的切线长．
思考
如图，已知直线PA，PB分别与⊙O相切，切点分别是A，B．在 半透明的纸上画出这个图形，沿着直线OP将图形对折． 猜想：线段 PA 与 PB 有什么关系？ ∠APO和∠BPO有什么关系？
思考
如图，已知直线PA，PB分别与⊙O相切，切点分别是A，B．在 半透明的纸上画出这个图形，沿着直线OP将图形对折．
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
C
O
A 证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA = PB ，∠OPA=∠OPB.
又∵ PC=PC.
∴△PCA≌△PCB ，∴最B新C修=正A版C.
13
想一想
A
反思：在解决有关圆的
.
切线长问题时，往往需
O
P
要我们构建基本图形. B
（1）分别连接圆心和切点
（2）连接两切点
（3）连接圆心和圆外一点
5.7 切线长定理
最新修正版
1
1.理解切线长的概念，掌握切线长定理． 2.学会运用切线长定理解有关问题． 3．通过对例题的分析，培养学生分析总结问题 的习惯，提高学生综合运用知识解题的能力，培 养数形结合的思想．
最新修正版
2
1.如何过⊙O外一点P画出⊙O的切线？ 如下左图，借助三角板，我们可以画出PA是⊙O的切线. 2.这样的切线能画出几条？ 3.如果∠P=50°,求∠AOB的度数.
A
CD
EO
P
B
最新修正版
16
【例题】
【例1】△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于
点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF，
BD，CE的长.
【解析】设AF=x,则AE=x ∴CD=CE=AC-AE=13-x， BD=BF=AB-AF=9-x.
由BD+CD=BC可得 13-x+9-x=14，
即AD+BC=AB+CD，
AL
B
补充：圆的外切四边形的两组对边
的和相等．
最新修正版
18
【跟踪训练】
【解析】设OA=xcm；
1.如果PA=4cm,PD=2cm, 求半径OA的长.
在Rt△OAP中，OA=xcm， OP=OD+PD=（x+2）cm， PA=4cm,
4 x
x
2
由勾股定理，得 PA2+OA2=OP2， 即42+x2=(x+2)2,
F
【解析】易证EQ=EA, FQ=FB,PA=PB.
∴ PE+EQ=PA=12cm,
PF+FQ=PB=PA=12cm.
∴周长为24cm.最新修正版
24
通过本课时的学习，需要我们掌握：
切线的6个性质：
A．2
B．3
C． 3
D．2 3
最新修正版
22
【解析】选D.如图所示，连接OA,OB，则三角形AOB是 直角三角形，且∠OBA=90°,∠OAB=30°,又因为内切 圆半径为1，利用勾股定理求得AB= 3 ,那么这个正三角 形的边长为 2 3 .
A B
最新修正版
23
3.已知：如图,PA,PB是⊙O的切线，切点分别是A,B， Q为⊙O上一点，过Q点作⊙O的切线，交PA,PB于E,F 点，已知PA=12cm，求△PEF的周长.
A
O 130°
B
最新修正版
P
50°
3
如何用圆规和直尺
作出这两条
A
切线呢？
O.
P
B 思考：已画出切线PA,PB，A,B为切点，则∠OAP=90°,
连接OP，可知A,B 除了在⊙O上，还在怎样的圆上?
最新修正版
4
A OO ·
B
最新修正版
P
5
切线长概念
过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫 做这点到圆的切线长.
解得x=4.
∴ AF=4 cm, BD=5 cm,最新C修E正=版9 cm.
17
【例题】
【例2】如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和
⊙O分别相切于点L，M，N，P，
C
求证：AD+BC=AB+CD.
N
证明：由切线长定理得
D
AL=AP，LB=MB，NC=MC，DN=DP,
M O
∴AP+MB+MC+DP=AL+LB+NC+DN, P
A
O
·
P
B
切线与切线长是一回事吗？它们有什么区别与联系呢？
最新修正版
6
A
比一比：
切线与切线长
O
P
B
切线和切线长是两个不同的概念： 1.切线是一条与圆相切的直线，不能度量；
2.切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别
是圆外一点和切点，可以度量.
最新修正版
7
折一折
A
O
1
P
2
B
思考：已知⊙O切线PA，PB，A，B为切点，把圆 沿着直线OP对折,你能发现什么?
Dz C
x+z=11,
z=2,
答：AE ,CD ,BF的长分别是9,2,6.
最新修正版
20
1．（珠海·中考）如图，PA,PB是⊙ O的切线， 切点分别是A,B，如果∠P＝60°,那么∠AOB等 于（ C ）
A.60° C.120°
B.90° D.150°
最新修正版
21
2.（杭州·中考）如图，正三角形的内切圆半径为1， 那么这个正三角形的边长为（ ）
9
切线长定理
过圆外一点，所画的
圆的两条切线的长相
A
等.
O
P
几何语言:
B
∵PA，PB分别切⊙O于A，B，∴PA=PB,OP平分∠APB.
最新修正版
10
反思：切线长定理为证明线段 相等、角相等提供新的方法
PA =PB ∠OPA=∠OPB
最新修正版
11
试一试
若连接两切点A，B，AB交
B
OP于点M.你又能得出什么
最新修正版
14
探究：PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线
OP交⊙O于点D，E，交AB于点C. A
C
EO
D
P
B
（1）写出图中所有的垂直关系
OA⊥PA，OB ⊥PB AB⊥OP
（2）写出图中与∠OAC相等的角
∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC
最新修正版
15
（3）写出图中所有的全等三角形 △AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC， △ACP≌△BCP （4）写出图中所有的等腰三角形 △ABP，△AOB
最新修正版
8
证一证
B
请证明你所发现的结论.
PA=PB ∠OPA=∠OPB
P O
A 证明：∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB.即∠OAP=∠OBP=90°，
∵ OA=OB，OP=OP，
∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)
∴ PA = PB， ∠OPA=∠OPB.
最新修正版
整理，得x=3.
所以，半径OA的长为3cm.
最新修正版
19
2.设△ABC的边BC=8，AC=11，AB=15，内切圆⊙I和
BC,AC,AB分别相切于点D,E,F.
A
求AE,CD,BF的长.
xx
【解析】设AE=x，BF=y，CD=z,
x+y=15,
x=9,
F
E
y
I.
z
则
y+z=8, 解得 y=6,
By
新的结论?并给出证明.
OM
P
OP垂直平分AB
A
证明：∵PA，PB是⊙O的切线,点A，B是切点，
∴PA=PB，∠OPA=∠OPB.
∴△PAB是等腰三角形，PM为顶角的平分线.
∴OP垂直平分AB.
最新修正版
12
若延长PO交⊙O于点C，连接CA，CB，你又能得出什
么新的结论?并给出证明.
B
CA=CB
.
P