力学

2
6、 由楼窗口以水平初速度v 0射出一发子弹，求： （1）子弹在任意时刻的位置及轨迹方程；（2） 子弹在任意时刻的速度、切向加速度和法向加速 度；（3）任意时刻质点所在轨迹的曲率半径。（4）
1 2 解：（ ）x v 0t , y gt 1 2 轨迹方程为： 1 2 2 y x g / v0 2
1 v d v a d x g (1 x / l ) d x 2
两边积分
v
x 2v d v l g (1 l ) d x 0 2
0
1 gl 2 / l (3 / 4) gl v gl2 2 2 2
2
1 v 3gl2 1.21 m/s 2
5、一光滑半球面固定于水平地面上，今使一小物块从 球面顶点几乎无初速地滑下，如图所示．求：物块脱离 球面处的半径与竖直方向的夹角． （7）
v dv a an a n dt
角量与线量的关系：
2
d d 2 dt dt dr R d
2
v R a R an R
2
题型：1 已知运动方程求速度，加速度，求导
r v a
2 已知加速度，求速度，位置，积分
dv dv mg kv m v dt dy
v H dy v0 mg kv dv
0 0
1 mg mg H v0 ln k 2k mg k v0
5、一质点从静止出发沿半径R=1 m的圆周运动，其角加 速度随时间t的变化规律是=12t2-6t (SI)， 则质点的角速 切向加速度．（3） 4t3-3t2(rad/s), 12t2-6t (m/s2)
a g sin
由牛顿第二定律： 水平方向 竖直方向
f ma x ma cos
N mg ma y ma sin
a g sin 代入得： f mg sin cos
所以f和N的合力R的大小为
N mg cos2
R
f N mg cos
2 2
解：分别取m1和链条m为研究对象，坐标如图． 设链条在桌边悬挂部分为x
m1 g T m1a
T xgm/ l ma
1 g (1 x / l ) 解出 a 2
当链条刚刚全部滑到桌面时
1 2 x 0, a g 4.9 m/s 2
dv dv dx dv a v dt d x dt dx
x2 h2 vx v v0 2 2 0 x r h r x2 h2 故v v0 i x 负号表示v的方向与x方向相反。 根据加速度定义 dvx d x2 h2 ax v0 ( ) dt dt x 2 2 2 h dx v0 h v0 2 2 2 dt x3 x x h a y 0负号表示a的方向与x方向相反，但由于v与a同向 所以船是加速靠岸的。
解：因绳子质量不计，所以环受到的摩擦力在数 值上等于绳子张力T ．设m2相对地面的加速度为 a 2 ，取向上为正；m1相对地面的加速度为a1(即绳子的 加速度)，取向下为正．
m1 g T m1a1
T m2 g m2 a2
a2 a1 a2
解得
(m1 m2 ) g m2 a 2 a1 m1 m2

0
x
d x v 0e
0

t
Kt / m
x (m / K )v 0 (1 e
)
xmax mv 0 / K
解法二：
dv dv d x dv Kv m m( )( ) mv dt d x dt dx
m dx dv K
xmax
m d x v K d v 0 0
解法一：船的位矢为r xi hj 而x r h
2 2
由速度定义有： dr d x dh dx v i j i 0 vx i d t dt dt dt dx d r dr 2 2 vx r h 2 2 dt dt dt r h dr 因绳子变短，故 v0带入上式有 dt
0
xmax mv 0 / K
（2）力的时间累积 动 冲 量：
量： I F t F dt
P mv
动量定理： 守恒定律：当

F外 0
I P P0
时，则有 P P C 0
（2）v x = v 0，v y = g t，
2 速度大小为： v v 2 v 2 v 0 g 2t 2 x y
方向为：与x轴夹角 tg
2 2 0
1
at d v /d t g t / v g t 与v同向
2 2
gt v0
an g a
2

2 1/ 2 t
解：根据牛顿第二定律，小物体尚在球面上时，
mg cos N mv 2 / R
小物体脱离球面时刻，N = 0，因而有
mg cos mv / R
2
由机械能守恒定律，得
1 mv 2 mgR(1 cos ) 2
联立解得
cos 2 / 3
1
cos (2 / 3)
6、质量为m的子弹以速度v0竖直射入沙土中，设 子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比， 比例系数为k，忽略子弹的重力，求（1）子弹射 入沙土后，速度随时间变化的函数式；（2）子弹 射入沙土的最t dv adt dv dt dv dv dx dv （2）a v dt dx dt dx adx vdv，再积分
3 求轨迹方程
典型例题
1、某物体的运动规律为 则v与t的函数关系为
dv k v2t dt
r r 解法二： cos x x cos dr dx dt 即 v v0 x dt cos cos x 因： cos 考虑到v x 方向，所以 2 2 x h v0 x h vx 而v y 0 x a的解法同上。
2 2
dr d 2 2 解法三：v0 x h dt dt x dx x vx 2 2 dt 2 2 x h x h x h vx v0 x
式中k为大于0的常数，当t=0时，初速度为
v0
答案：C
(B)
(A)
1 2 v k t v0 2
v
1 2 k t v0 2
2、一质点从静止出发沿半径R=1m的圆周运动，其角加速度随时间的变化为 12t 2 6t （SI）,则质点的角速度为
1 k t2 1 (C) v 2 v0
1 k t2 1 (D) v 2 v0
，切向加速度为
1 2 1 3 (SI)。当t = 2 s时，加速度 3 已知质点的运动学方程为 r (5 2t t )i (4t t ) j 2 3
104o 的大小为a = 2.24 m/s2, ;加速度与x轴正方向间夹角 = a
2
2
题型：1、求解加速度 2、求解在任意时刻的速度或位置
1、一条质量分布均匀的绳子，质量为M、长度为L， 一端拴在竖直转轴OO′上，并以恒定角速度 在水平 面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽 略重力，求：距转轴为r处绳中的张力T( r)．（8）
解：取距转轴为r处，长为d r的小段绳子，其质量为 (M/L) dr. 由于绳子作圆周运动，所以小段绳子有径向加速度， 由牛顿定律得： T ( r )-T ( r + dr ) = ( M / L) dr ω 2 r 令 T ( r )－T (r + dr ) = dT ( r) 得 dT =－( Mω2 / L) r dr 由于绳子的末端是自由端 T (L) = 0
解：(1) 子弹进入沙土后受力为－Ｋv，由牛顿定律
dv Kv m dt t v K dv K dv dt , dt m v m v 0 v0
v v 0e
Kt / m
(2) 求最大深度 d x v 解法一： dt
d x v0e
Kt / m
dt
dt
Kt / m
4t 3t
3
2 rad/s
12t 2 6t
m/s2
4、以初速度v0上抛一小球，小球在运动过程中上受到 阻力，其大小为f=kv，k为常数，求：小球任意时刻的 速度及达到的最大高度。（2）
dv mg k v m dt v t mdv v 0 mg k v 0 dt kt (mg k v0)e mg m v k
2 2
（1）牛顿运动定律（力对时间的瞬时效应） F ma
二、动力学 自然坐标系 直角坐标系
dv F ma m dt Fn ma n m v
2
Fx ma x Fy ma y Fz ma z
a ax a y az
2 2 2

a a n at
大学物理
－－－力学习题
主讲教师：姜海丽
E-mail：jianghaili@
力学专题
一 运动学（三个物理量的计算） 基本概念
dr v dt
r xi yj zk r r2 r1
d r a 2 dt
2
轨迹方程为f(x,y,z)
(2 g a2 )m1m2 T m1 m2
(m1 m2 ) g m1a2 a2 m1 m2
3、小车B上放一质量为m的物块A，小车沿着与水平 面夹角为α的光滑斜面下滑。由于摩擦，A和B之间没 有相对滑动。如图所示，求：物体A和B之间的相互作 用力。（5）
物体A受力如图所示，若车与A无相对滑动，则它们的 加速度应为