高一下学期数学调研测试试题

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江苏省苏州市常熟市2023-2024学年高一下学期期中调研数学试题(含答案)

常熟市2023-2024学年高一下学期期中调研数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若复数满足(是虚数单位），则的虚部是（）A.B. C.D. 2. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（）A.B. C. D.3. 已知，都是锐角，，，则（）A.B. C. D.4. 沪苏通长江公铁大桥（如图1）是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶的仰角分别为，（如图2），设乘客眼睛离地面的距离为，．若，，在同一水平高度，且，，在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔高为（）．A.B.C.D.5. 将曲线上所有点向左平移个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线，则的方程为（）A. B. z 1z =-i z 1e 2e ()12R m e ke k =-+∈ 1225n e e =+k =5252-25-25αβ35=cos α()5sin 13αβ-=cos β=1665336556656365AB A 30ADE ∠=︒45ACE ∠=︒DM CN h ==()0,0CD a h a =>>D C E AD AC AB AB h +h +)1a h+)1a h-+1π:2sin 6C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π62C 2C π2sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π2sin 26y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭C. D. 6. 已知复数满足，则（是虚数单位）的最小值为（）A.B. 4C.D. 67. 在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则（）A. B. C. D. 8. 已知锐角中，，则边上的高的取值范围为（）A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 函数的图象的一条对称轴可以是（）A. B. C. D. 10. 已知复数，是方程两根，则（）A.B. C. D. 11. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形，是正八边形边上任意一点，则下列结论正确的是（）的12sin2y x =1π2sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭z 11z -=24i z ++i 1-1+ABCD E F AD CD 3AE ED =DF FC =AF BE G BC a = BA b = =AG 361111a b - 361111a b-+631111a b -631111a b-+ABC V π6AB C ==AB (0,3+(3,3+(3,3+(6,3+()()πsin 23f x x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 5π12x =-π12x =-π12x =5π12x =1z 2z 210x x ++=121z z +=121z z ==212z z =33121z z ==ABCDEFGH P ABCDEFGHA. 在上投影向量为B.C. 的最大值为2D. 若在线段上（含端点），且，则的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知角满足，则______．13. 《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边，，，求面积的公式．这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即：．现有的三边，，满足，且的面积，若点是边的中点，则______．14. 已知函数，若为奇函数，为偶函数，且上至少有2个实根，至多有3个实根，则函数的对称轴为______（写出一个即可），正整数的所有可能取值之和为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15 已知向量，，．的.AD AB1)AB+ AF AE HG HFAF AE HG HF⋅⋅=⋅⋅ ()()PA PB PE PF +⋅+P BC AP x AB y AH =+x y +[1,2+αsin cos αα-=sin2α=a b c S S =ABC V a b c ::1:2:a b c =ABC V =S D AB =CD ()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()f x =π0,6⎛⎫⎪⎝⎭()f x ω()1,1OA =-()2,3OB =- ()1,2OC m m =--（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值．16. 复数平面内表示复数的点分别满足下列条件：（1）位于第四象限；（2）位于第一象限或第三象限；（3）位于直线上．求实数的取值范围．17. 已知函数的最大值为3．（1）若的定义域为，求的单调递增区间；（2）若，，求的值．18. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周脾算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图1所示）．类比“赵爽弦图”，可构造如图2所示的图形，它是由3个全等的，，与中间一个小等边拼成的一个较大的等边．记的面积为，的面积为，的面积为．（1）若，求；（2）设，当时，求以及值．19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则的的AB OC ⊥m OA BCP m ()()22815514i z m m m m =-++--y x =m ()22sin cos cos f x x x x x m =+-+()f x []0,π()f x 01125x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦0cos2x ACF △BAD V CBE △DEF V ABC V DEF V 1S ABD △2S ABC V 3S 13AF AD = 13S S π06BAD θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭23S S =θAF AD Ox Oy π0π,2θθθ⎛⎫<<≠ ⎪⎝⎭1e 2e x y xOy θθ12OM xe ye =+把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，．（1）求向量，的仿射坐标；（2）当时，求；（3）设，若对恒成立，求的最大值．(),x y OM(),OM x y = θ()3,1OA = ()1,1OB =2OA OB + -OA OB π3θ=cos AOB ∠AOB α∠=OA tOB -≥R t ∀∈cos α常熟市2023-2024学年高一下学期期中调研数学简要答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】AC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】①. （答案不唯一）②. 51四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【15题答案】【答案】（1）（2）【16题答案】【答案】（1）或（2）或或（3）【17题答案】【答案】（1）单调递增区间为和（2【18题答案】【答案】（1）（2）【19题答案】【答案】（1）（2（379π4x=5m=2m=23m-<<57m<<2m<-35m<<7m>293m=π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦5π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦413π12θ=()()7,3,2,0。

高一下学期数学调研测试试题

高一下学期数学调研测试试题一、选择题1.已知等差数列的公差为3，前5项和为35，则这个等差数列的首项为多少？ A. 5 B. 8 C. 10 D. 122.函数y = 2x + 1的图像方程是： A. y = 2x + 1 B. y = 1/(2x) C. x = 2y + 1D. x = 1/(2y)3.如果两个事件是互斥事件，那么它们的概率之和为： A. 0 B. 1 C. 2 D. 34.若连接由数学图形断开成两个以上部分的线段，则它被称为： A. 分段线段 B. 分离线段 C. 拆分线段 D. 断口线段5.下列选项中，哪个表示了完全多个关系？ A. {1, 3, 5} B. {2, 4, 6} C. {1, 2, 3, 4} D. {2, 5, 8, 11}二、填空题1.已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与x轴有两个交点，且这两个交点的横坐标之和为5，则二次函数的系数a和b的和为\\\\。

2.凑集分解法可以用来化简逻辑表达式，当逻辑表达式很复杂时，凑集分解法可以大大减少逻辑运算的复杂度。

请利用凑集分解法化简逻辑表达式A∧(B∨C)∧(A∨D)∧(B∨D)的结果是\\\\。

3.解方程3x + 5 = 2 - 4x，得到x的值为\\\\。

三、解答题1.有一个三角形ABC，已知∠A = 40°，∠B = 60°，请计算∠C的大小。

解答：因为三角形的内角和为180°，所以∠A + ∠B + ∠C = 180°。

代入已知条件，得到40° + 60° + ∠C = 180°。

化简得到∠C = 180° - 40° - 60°。

∠C = 80°。

2.已知函数f(x) = 2x - 3，求函数f(x + 1)的表达式。

解答：将x + 1代入函数f(x)中，得到 f(x + 1) = 2(x + 1) - 3。

高一数学下学期调研考试试题

第十三中学2021-2021学年高一数学下学期调研考试试题分值：150分考试时间是是：120分钟一、选择题〔本大题一一共12小题，一共60.0分〕1.全集，集合和关系的韦恩图如下图，那么阴影局部所表示集合中的元素一共有A. 3个B. 4个C. 5个D. 无数个2.在中，，，，那么A. B. C. D.3.用半径为R的半圆卷成一个无底圆锥，那么这个无底圆锥的体积为A. B. C. D.4.在等比数列中，，前3项之和，那么公比q的值等于A. 1B.C. 1或者D. 或者5.设中BC边上的中线为AD，点O满足，那么A. B. C. D.6.设a、b是正实数，以下不等式：；；；恒成立的序号为A. B. C. D.7.假设，那么8.三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且，那么此棱锥的体积为A. B. C. D.9.以下命题中正确的个数是假设a，b，c成等差数列，那么，，一定成等差数列；假设a，b，c成等差数列，那么，，可能成等差数列；假设a，b，c成等差数列，那么，，一定成等差数列；假设a，b，c成等差数列，那么，，可能成等差数列．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.函数，假设，那么x的取值范围是A. B.C. D.11.不等式的解集为，那么不等式的解集为A. B.C. D.12.假设，是一组基底，假设向量，那么称为向量在基底，下的坐标，向量在基底，下的坐标为，那么在另一组基底，下的坐标为二、填空题〔本大题一一共4小题，一共20.0分〕13.，那么的最小值是______．14.假设一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，那么这个圆锥的侧面积是______．15.某决定对教室用药熏消毒法进展消毒，根据药学原理，从药物释放开场，每立方米空气中的含药量毫克与时间是小时之间的函数关系式为据测定，当空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，学生方可进教室学习．那么从药物释放开场，至少需要经过____________小时后，学生才能回到教室．16.假设数列满足d为常数，那么称数列为“调和数列〞正项数列为“调和数列〞，且，那么．三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70.0分，其中17题10分，18-22题每一小题各12分〕17.如下图，在边长为8的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，，，，D，H，G为垂足，假设将绕AD旋转，求阴影局部形成的几何体的外表积与体积．18.19.20.21.22.23.24.25.各项均为正数的数列的前n项和为满足26.求数列的通项公式；27.设为数列的前n项和，假设对恒成立，务实数的最小值．28.29.30.31.32.33.34.35.小王大学毕业后，决定利用所学专业进展自主创业．经过场调查，消费某小型电子产品需投入年固定本钱3万元，每消费x万件，该产品需另投入流动本钱万元．在年产量缺乏8万件时，，在年产量不小于8万件时，每件产品的售价为5元．通过场分析，小王消费的商品能当年全部售完．写出年利润单位：万元关于年产量单位：万件的函数解析式．年产量为多少万件时，小王在这一商品的消费中所获利润最大？最大利润是多少？注：年利润年销售收入固定本钱流动本钱36.如图，在平面四边形ABCD中，，，．37.38.求的值假设，，求BC的长．39.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．求角A的大小假设，求的取值范围．各项均为正数数列满足．求数列的通项公式；假设等比数列满足，，求的值用含n的式子表示；假设，，求证：数列是等差数列．2021-2021学年第二学期19级调研考试数学答案和解析1.【答案】A解：0，1，2，3，，2，3，，故阴影局部所表示集合为，其中的元素一共有三个．应选A2.【答案】A【解析】解：，，利用余弦定理，，，利用正弦定理，，根据合分比性质，应选：A．3.【答案】A【解析】解：根据题意，设无底圆锥的底面圆半径为r，那么底面圆的周长等于侧面展开图的半圆弧长，可得圆锥的高根据圆锥的体积公式，可得应选A4.【答案】C【解析】解：在等比数列中，，，，化简得，解得或者，应选：C．5.【答案】A【解析】解：中BC边上的中线为AD，，中BC边上的中线为AD，，，应选：A．6.【答案】D【解析】解：、b是正实数，当且仅当时取等号，不恒成立；恒成立；，当时，取等号，例如：，时，左边，右边不恒成立；恒成立．答案：D7.【答案】B【解答】解：，，．应选B．8.【答案】A解：由于三棱锥与三棱锥底面都是，O是SC的中点，因此三棱锥的高是三棱锥高的2倍，所以三棱锥的体积也是三棱锥体积的2倍．在三棱锥中，其棱长都是1，如下图，，高，．选A．9.【答案】C【解答】解：对于，取，，，，，错；对于，，正确；对于，，b，c成等差数列，，，正确；对于，，正确．综上选C．10.【答案】A解：由题意可知，，即，所以或者解得或者．故x的取值范围是．11.【答案】C【解答】解：由不等式的解集为，可得所以，所以不等式等价于，因为，所以可得，所以，解得或者，所以不等式的解集为12.【答案】D【解答】解：因为在基底下的坐标为，即，令，那么，解得，故在基底，下的坐标为．应选D．13.【答案】5【解析】解：，，当且仅当，即时取等号，的最小值是5．故答案为：5．14.【答案】【解析】解：由题意：圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，对于轴截面有：，，，所以圆锥的侧面积为：．故答案为：．15.【答案】解：依题意：，，，，至少需小时后，学生才能回到教室．故答案为．16.【答案】20解：根据“调和数列〞的定义及题设，可得d为常数，所以为等差数列，所以由，得，所以，所以．17.【答案】解：由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从上面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为4，高为，圆柱的底面半径为2，高为．所求旋转体的外表积由三局部组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面．，，故所求几何体的外表积为：阴影局部形成的几何体的体积：18.【答案】当时，，解得，当时，，整理得，，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，，；由题意得对恒成立，令，那么，即对恒成立，即数列为单调递减数列，最大值为，，即的最小值为．19.【答案】解：因为每件商品售价为5元，那么x万件商品销售收入为5x万元．依题意得，当时，，当时，．所以当时，，此时，当时，获得最大值万元．当时，，此时，当且仅当，即时，获得最大值15万元．因为，所以，当年产量为10万件时，小王在这一商品的消费中所获利润最大，最大利润为15万元．20.【答案】解：由题意，在平面四边形ABCD中，，，，在中，由余弦定理得，；设，那么．因为，，且和均为三角形内角，所以，，于是，在中，由正弦定理，得，故BC．21.【答案】解：由正弦定理得，整理得，即，故．又，故A．因为，，所以，故因为，所以，故，故．22.【答案】解：解：各项均为正数数列满足．，解得．时，可得：，化为：，．时，，相减可得：．数列为等差数列．．等比数列满足，可得公比，．，，；证明：，可得：，，又．解得，，，时，．相减可得：．，相减可得：设，化为：．又，可得，以此类推可得：，即，数列是等差数列．40.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

重庆市主城四区2023-2024学年高一下学期期末高中学生学业质量调研测试数学试题

重庆市主城四区2023-2024学年高一下学期期末高中学生学业质量调研测试数学试题一、单选题1．样本数据34，24，17，21，32，100，41，30，28，33的第50百分位数为（） A ．30B ．31C ．32D ．362．若复数z 满足263i z z +=-，则1iz=+（） A ．75i 22-+ B ．57i 22- C ．51i 22+ D ．15i 22-+3．已知向量()1,1a =-r ，()1,3b =r ，则a r 与b r夹角的余弦值为（）A ．BC ．D 4．某小区花园内现有一个圆台形的石碑底座，经测量发现该石碑底座上底面圆的半径为3，且上底面圆直径的一端点的投影为下底面圆半径的中点，高为2，则这个圆台的表面积为（）A ．B ．42πC ．(45π+D ．126π5．掷两颗骰子，观察掷得的点数.设事件A 为：至少一个点数是奇数；事件B 为：点数之和是偶数；事件A 的概率为()P A ，事件B 的概率为()P B ，则()1P A B -=I （）A ．18B ．14C ．12D ．346．某校高一组建了演讲，舞蹈，合唱，绘画，英语协会五个社团，高一1000名学生每人都参加且只参加其中一个社团，学校从这1000名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如图不完整的两个统计图：则选取的学生中，参加绘画社团的学生数为（） A ．20B ．30C ．40D ．457．在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB =，AD 1CD =，45BAD ∠=o ，P ，Q 分别为线段AD 和线段AC 上（包括线段端点）的动点，则AP AQ ⋅u u u r u u u r的最大值为（）A ．B ．CD ．38．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，点E 是棱CD 的中点，P 为四边形11CDD C 内（包括边界）的一动点，且满足1//B P 平面1BA E ，1B P 的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为（）A ．B ．24πC ．18πD ．二、多选题9．已知i 是虚数单位，复数()()111i z m m =--+，R m ∈，2cos isin z θθ=+，R θ∈，则下列说法正确的是（） A ．1z 的虚部为1m + B ．2z 的实部为cos θC ．当1m =时，1z 是纯虚数D ．对任意R m ∈，均有12z z >10．对于两个平面α，β和两条直线m ，n ，则下列说法正确的是（）A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂αB ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥C ．若m α⊥，n β⊥，αβ⊥，则m n ⊥D ．若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ 11．已知函数()sin cos sin cos f x x x x x =+-，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是以π为周期的周期函数B ．()f x 在5π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．()f x 的值域为[]0,1D ．存在两个不同的实数()0,3a ∈，使得()f x a +为偶函数三、填空题12．已知向量()13a =r ，，()21b x x =-r ，，若//a b r r ，则x 的值为.13．已知πsin 4x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π02x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，则cos2x =.14．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在该正方体的表面上运动，且(0PB x x =≤≤，记点P 的轨迹长为()f x ，则(2)f =，f =.四、解答题15．从学校高一的1000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生的成绩全部介于65分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[)65,75，第二组[)75,85，…，第八组[]135,145，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分.(1)用样本数据估计该校的1000名学生这次考试成绩的平均分；(2)若从样本成绩属于第一组和第七组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值不低于50分的概率.16．甲、乙、丙三人组成一组，参加篮球3分投篮团体赛.三人各自独立投篮，其中甲每次投篮成功的概率为13，甲、乙各投一次都投篮成功的概率为112，乙、丙各投一次都投篮成功的概率为110.每人各投一次投篮成功得3分，三人得分之和记为小组团体总分. (1)求乙、丙每次投篮成功的概率分别是多少；(2)求团体总分不低于3分的概率；(3)若团体总分不低于6分，则小组晋级，求该小组晋级的概率.17．如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，E 为PC 的中点，平面PAD ⊥平面ABCD ，4AB =，PA PD AD ===(1)证明：//PA 平面BDE ； (2)证明：AP CD ⊥； (3)求三棱锥C BDE -的体积.18．在锐角ABC V 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知22cos a c b C -=， (1)求B 的大小； (2)求a bc+的取值范围. 19．对于数集{}121,,,,n X x x x L =-，其中120n x x x <<<<L ，2n ≥，定义向量集(){},,,Y a a s t s X t X ==∈∈r r.(1)设{}1,2,3X =-，请写出向量集Y ；(2)对任意1a Y ∈u u r，存在()212a Y a a ∈≠u u r u r u u r ，使得12a a λ=u r u u r ，R λ∈，则称X 具有性质P .若12x <<，集合{}1,1,,2x -是否具有性质P ，若具有，求x 的值，若不具有，请说明理由；(3)对任意1a Y ∈u u r，存在()212a Y a a ∈≠u u r u r u u r ，使得120a a ⋅=u r u u r ，则称X 具有性质T .若X 具有性质T ，且2x q =，q 为常数且1q >，当X 为整数集时，求证：34231n n x xx q x x x -====L .。

江西省部分学校2023-2024学年高一下学期统一调研测试(5月)数学试卷

江西省部分学校2023-2024学年高一下学期统一调研测试（5月）数学试卷一、单选题1．已知一组数据：61，61，62，62，62，64，65，70，74，78，则这组数据的中位数与众数之和为（） A ．122B ．123C ．124D ．1252．已知复数z 满足39i 12i z =+，则||z =（）A ．1BC D 3．若集合{2,4,8}A =，,x B x A y A y ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭，则B 中所有元素的和为（）A ．274B ．314C ．394D ．4944．下列说法中正确的是（） A ．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥B ．有两个面平行且相似，其他各面都是梯形的多面体是棱台C ．棱柱中至少有两个面完全相同D ．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台5．函数()sin()f x A x B ωϕ=++（0A >，0ω>，π||2ϕ<）的部分图象如下图，则下列选项中为()f x 的图象的对称中心的有（）A ．π,13⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭6．已知向量(1,2)a =-r ，(,1)b λ=r ，若cos ,a b 〈〉r r 则2a b -r r 在a r 上的投影向量为（）A ．9,92⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．9,92⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．918,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．918,55⎛⎫- ⎪⎝⎭7．如图，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，4AB =，2CD =，AD =测画法画出的水平放置的梯形ABCD 的直观图为四边形A B C D ''''，则四边形A B C D ''''的面积为（）A ．1B ．2C ．3D ．48．设0a >，函数sin cos ,0,()22,,x a x x x a f x x a -+<<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()()g x f x =在区间(0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（） A ．47π55π,1212⎛⎤⎥⎝⎦ B ．47π55π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．47π17π,124⎛⎤⎥⎝⎦ D ．47π17π,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题9．已知复数2log (24)(1)i z x x =-+-（其中x 是实数），则（） A ．z 可能为实数 B ．当52x =时，z 为纯虚数 C ．若3i()z a a =+∈R ，则2a =D ．若z 在复平面内对应的点位于第一象限，则52x > 10．下列各式一定正确的是（）A ．sin3sin52sin 4cos αααα-=B ．sin 2tan41cos2ααα=+C ．1cos 2cos 4(cos6cos 2)2αααα=+D ．22tan 2tan 41tan 2ααα=-11．如图，在ABC V 中，边AB 上的点D 满足23AD AB =，边AC 上的点E 满足31AE AC =，线段DE 上的点G 满足32DG GE =，点M 为线段AE 上任意一点（不包括端点），连接MG 并延长交直线AB 于点N ，若AN AB λ=u u u r u u u r，则实数λ的取值可以为（）A ．1-B ．23C ．35D ．1三、填空题12．已知()1,25m a =--r ，(2,6)b =r ，若//a b r r ，则m =.13．已知定义域为R 的函数()f x 具有下列性质：①最大值为2；②()f x y +=1ππ()()222f x f y f y fx ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()f x =.（答案不唯一）14．在中国文化中，八边形常常被看作是四平八稳、镇宅保平安的象征.比如，八角楼、八角塔、八边花窗、八角门环和八边园林门径等，都有着这样的寓意.如图，在边长为的正八边形ABCDEFGH 中，BH =，若BEH △内的一点P 满足2π3EPH BPH BPE ∠=∠=∠=，则PE PH PB PH PB PE ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .四、解答题15．已知112i z =-，22i z =-，在复平面内，复数12z z +，12z z -，12z z ⋅对应的点分别为A ，B ，C .(1)求||BC u u u r ；(2)若()AB AB k AC ⊥+u u u r u u u r u u u r，求实数k 的值.16．春节过后，某大学四年级的5名大学生相约去人才市场应聘，其中小红、小东学的是建筑专业，小军、小英学的是通讯专业，小青学的是电气工程专业. (1)若从这5人中随机采访3人，求3人中至少有1人是通讯专业的概率；(2)若小红应聘成功的概率是12，小军应聘成功的概率是34，小青应聘成功的概率是23，这3名大学生的应聘结果相互独立，求这3人中至少有2人应聘成功的概率.17．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足π3A =，且22122b c AC AB +-=⋅u u u r u u u r .(1)求ABC V 外接圆的周长；(2)若点D 是边BC 上靠近点B 的三等分点，且AD =ABD △的面积. 18．已知向量(cos sin ,2sin )m x x x ωωω=+r ，(cos sin ,cos )(0)n x x x ωωωω=->r，函数()f x m n =⋅r r的最小正周期为π. (1)求π8f ⎛⎫⎪⎝⎭；(2)将函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为()h x .（i ）求函数()h x 图象的对称轴方程；（ii ）若1π0,12x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使()()12f x h x a ≥+，求实数a 的取值范围.19．已知向量()11,a x y =r ，()22,b x y =r ，定义运算()1212,a b x x y y ⊗=rr ，同时定义[(,)]|2|x y x y =-.(1)若3(sin ,cos )(3,4),2x x ⎛⊗=- ⎝，求实数x 的取值集合；(2)已知4tan 3x =，求[(sin ,cos )x x ⊗；(3)已知定义域为R 的函数()h x 满足52h x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数，(5)h x +为偶函数，且50,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，5()2h x x =-，是否存在实数x ，使[(2sin π1,7cos2π1)((),())]30x x h x h x ++⊗=？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由.。

高一下学期数学调研测试试题(doc 10页)

高一下学期数学调研测试试题(doc 10页)湖北省武昌区2010-2011学年度高一下学期调研测试试题（数学）本试卷共150分，考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1．本卷1-10题为选择题，共50分；11-21题为非选择题，共100分，全卷共4页，考试结束，监考人员将试题卷和答题卷一并收回.2．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指定位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置.3．选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干A ．a b c>> B ．b a c>> C ．c a b>>D ．b c a >> 5．函数ln |sin |,[,0)(0,]22yxx ππ=∈-⋃的图象是（）6．若直线l 将圆22240x yx y +--=平分，但不经过第四象限，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．1[0,]2B ．[0,1]C ．[0,2]D ．1[,1]27．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB +=，则OC =（）A ．2OA OB - B ．2OA OB -+C ．2133OA OB -D ．1233OA OB -+ 8．设532πθπ<<，且1cos 5θ=，那么sin 2θ的值为（） A ．105B ．105-C ．155-D ．1559．已知函数21,0,()1,0,x f x xx <⎧=⎨+≥⎩则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．[0,1]C ．(21)-AB CDD．(1,21]--10．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积为（）A．2B．22C．32 D．42二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，书写不清，模凌两可均不得分.11．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C 所对的边．若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则sin A＝________.12．若向量a、b满足1b=，且a与b的夹角为3π，则a=，2a b+=___________．13．一个组合体的三视图如图，则其表面积为．14.根据表格中的数据，可以判定方程02=--x ex的一个解所在的区间为)1,(+k k （∈k N ），则k 的值为．x 1- 0 1 23 xe 37.01 72.239.709.202+x1234515．设等差数列{}na 的前n 项和为nS ，410S ≥，515S ≤，则4a 的最大值是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()()sin()3066f x x x ππωωω⎛⎫=+++> ⎪⎝⎭，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π．（Ⅰ）求()f x 的表达式；（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4 倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．17．（本小题满分12分）圆228+=内有一点P(1,2)，AB为过点P且倾斜角α为x y的弦．（Ⅰ）当135α=时，求AB的长；（Ⅱ）当弦AB被点P平分时，写出直线AB的方程．18．（本小题满分12分）如图，设矩形()>的周长为4，把它关于AC折ABCD AB AD起来，AB折过去后，交DC与点P．设AB x=，求ADP∆的最大面积及相应的x的值．19．（本小题满分12分）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，（Ⅰ）求证：11//B D 平面1C BD ；（Ⅱ）求证：1A C ⊥平面1C BD ；（Ⅲ）求二面角1B C D C --的余弦值．20．（本小题满分13分）记数列{}na 的前n 项和为11,1,21nn n S aa S +==+且.已知数列{}nb 满足323log nnba -=．（Ⅰ）求{}na 和{}nb 的通项公式；（Ⅱ）设nn nc a b =⋅，求数列}{nc 的前n 项和nT ．21．（本小题满分14分）已知函数)(1)(log12---=x x a ax f a，其中01a a >≠且．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）判断并证明()f x 的单调性；（Ⅲ）当)2,(x -∞∈时，()40f x -<恒成立，求实数a 的取值范围．湖北省武昌区2010-2011学年度高一下学期调研测试试题（数学）参考答案及评分细则一、选择题：1．C 2．B 3．D 4．A 5．B 6．C ． 7．A 8．C 9．C 10．B ．二、填空题：11．12 127 13．(20213π+ 14.115．4三、解答题：16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）()2sin()2sin 2cos .632f x x x x πππωωω⎛⎫=++=+= ⎪⎝⎭…………………………………3分由题意得222ππω=⋅，所以2ω＝. 故()2cos 2f x x=．…………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）将f (x )的图象向右平移6π个单位后，得到)6(π-x f 的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到()46x f π-的图象. ()()2cos 2()2cos().464623x x x g x f πππ⎡⎤=-=-=-⎢⎥⎣⎦所以………………………（9分）当2k π≤23x π-≤2k ππ+(k ∈Z), 即4k π＋32π≤x ≤4k π+38π(k ∈Z)时，g (x )单调递减.因此g (x )的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++384,324ππππk k (k ∈Z) ．………………………………（12分）17．解：（Ⅰ）直线AB 的方程为：30x y +-=. ………………………………………………（2分）圆心O 到直线AB 的距离2232211d ==+..…………………………………………………（4分）所以弦AB 的长为23228()142⨯-=.…………………………………………（6分）（Ⅱ）当弦AB 被点P 平分时，OP AB ⊥. 由于直线OP 的斜率20210OP K -==-.……………………………………………（8分）所以直线AB 的斜率12AB K =-.…………………………………………………（10分）所以直线AB 的方程为1(1)22y x =--+，即250x y +-=.………………（12分）18．（本小题满分12分）解：如图，因为AB x=，所以2AD x=-.………………（2分）设PC a =，则DP x a =-．由勾股定理，得222(2)()x x a a -+-=．……………………（4分）可得222x x a x-+=.22x DP x a x-=-=.……………………………………（6分）所以ADP ∆的面积212232(2)2x x x S x x x --+-=-=2()3x x=-++.………（8分）0,x >222.x x x x+≥⋅=…………………（10分）2()3S x x∴=-++322≤-当且仅当2x x=时，即当2x =“=”号. 答：当2x =ADP ∆的最大面积为322-……………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵11//,B D BD又1111,BD C BD B D C BD ⊂⊄平面平面，∴11//B D 平面1C BD .……………………………………（2分）（Ⅱ）连结AC ，交BD 于O ，则BD AC ⊥. 又1A A ⊥BD ，1BD A AC ∴⊥平面.11A A AC⊂C 平面，1BD A C ⊥.连结1C O ，在矩形11A C CA 中，设1A C 交1C O于M.A C D BAB CD EO M由11A A OCAC CC=，知11ACA CC O ∠=∠. 11112C OC ACO C OC CC O π∴∠+=∠+∠=，111,.2C MO AC C O π∴∠=∴⊥又110,,,COBD CO C BD BD C BD =⊂⊂平面平面11AC C BD ∴⊥平面. ………………………………………………………………（7分）（Ⅲ）取1DC 的中点E ，连结BE ，CD.1BD BC =，1BE DC ∴⊥.1CD CC =，1CE DC ∴⊥.BEC∠为二面角1B C D C --的平面角.设正方体的棱长为a ，则2CE =.又由112BD BC DC a===，得6BE =.在BEC ∆中，由余弦定理，得2223cos 2BE CE BC BEC BE CE +-∠==⋅.所以所求二面角的余弦值为3.………………………………………………（12分）20．（本小题满分13分）解:（Ⅰ）由121n n aS +=+，得()1212nn aS n -=+≥.两式相减，得()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥.又21213a S =+=， ∴213aa =.所以{}na 是首项为1，公比为3的等比数列.∴13n na-=. ………………………………………………………………（4分）又()13143log 23log 323123n nn ba n -=+=+=-+=n-1（应改为：()1333log 23log 323123n nn ba n -=+=+=-+=n-1）31n b n ∴=-..………………………(7分)（Ⅱ）由（Ⅰ），得()1313n nc n -=-⨯..…………………………………………(8分) ∴1221215383(34)3(31)3n n nTn n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，……………(9分)2313235383(34)3(31)3n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，两式相减，得：2122333333(31)3n n n T n --=+⨯+⨯++⨯--⨯165322nn -=--⨯，∴165344nnn T-=+⋅……………………………………………………………(13分) 应改为：2122333333(31)3n n n T n --=+⨯+⨯++⨯--⨯565322nn -=--⨯，∴565344nnn T-=+⋅……………………………………………………………(13分)21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）令log xtat x a =∴=，.代入，得2()()1tta f t a a a -=--.即2()()(01),1x x af x a a a a x R a -=->≠∈-，且………………………………..（2分）（Ⅱ）当210()1aa f x R a >>-时，，在上是增函数。

开封市2022-2023 学年度第二学期期末调研考试高一数学试题【含答案】

开封市2022-2023学年度第二学期期末调研考试高一数学试题注意事项:1.本试卷共4页,满分150分,考试时间120分钟㊂答题前,考生务必将自己的姓名㊁考生号等填写在试卷和答题卡上,并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置㊂2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号㊂回答非选择题时,将答案写在答题卡上对应的答题区域内,写在本试卷上无效㊂3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回㊂一㊁选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分㊂在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的㊂1.若复数z=1+i2+i,则z的虚部为A.-15B.15C.-15iD.15i2.在әA B C中,B Dң=13B Cң,设A Bң=a,A Cң=b,则A Dң=A.23a+13bB.-23a+13bC.43a-13bD.43a+13b3.分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A= 2枚硬币都是正面朝上 ,事件B= 2枚硬币朝上的面相同 ,则下列A与B的关系中正确的个数为①A⊆B②互斥③互为对立④相互独立A.1个B.2个C.3个D.4个4.已知m,n为空间中两条直线,α,β为空间中两个平面,则下列说法正确的是A.若mʅα,mʅn,则nʊαB.若m⊂α,n⊂β,mʊn,则αʊβC.若mʅα,αʅβ,nʊβ,则mʅnD.若mʅα,nʅβ,mʅn,则αʅβ5.从长度为2,3,5,7,11的5条线段中任取3条,这三条线段不能构成一个三角形的概率为A.15B.25C.35D.456.已知O',O分别是圆柱O'O上㊁下底面圆的圆心,A,B分别是上㊁下底面圆周上一点,若O'O=2O'A,且直线O'A与O B垂直,则直线A B与O'O所成的角的正切值为A.12B.22C.2D.27.如图所示,为测量河对岸的塔高A B,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得t a nøA C B=34,C D=50m,c o søB C D=55,c o søB D C=35,则塔高A B为A.153mB.203mC.155mD.205m8.如图,在平面四边形A B C D中,øA=90ʎ,A B=A D=2,әB C Dң㊃MDң的最小为等边三角形,当点M在对角线A C上运动时,M C值为A.-2B.-32C.-1D.-12二㊁选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分㊂在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求㊂全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分㊂9.已知复数z满足z i=1+i,则A.z=1+iB.z在复平面内对应的点位于第四象限C.|z|=2D.z2-2z+2=010.某学校为普及安全知识,对本校1000名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动(满分为100分).现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析,整理得到如图所示的频率分布直方图,根据该直方图,下列结论正确的是A.图中x的值为0.020B.该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为130人C.该校高一学生竞赛得分的上四分位数估计大于80D.该校高一学生竞赛得分的平均数估计为74.611.若平面上的三个力F1,F2,F3作用于一点,且处于平衡状态.已知|F1|=4N,|F2|=2N, F1与F2的夹角为120ʎ,则下列说法正确的是A.|F3|=23NB.F1与F3的夹角为90ʎC.F2与F3的夹角为90ʎD.(F1+F3)㊃F2=412.如图,在棱长为1的正方体A B C D-A1B1C1D1中,G为面对角线A1D上的一个动点(包含端点),则下列选项中正确的有A.三棱锥B1-G B C1的体积为定值B.线段A1D上存在点G,使A1Cʅ平面G B C1C.当点G与点A1重合时,二面角G-B C1-B1的余弦值为63D.设直线B G与平面B C C1B1所成角为θ,则t a nθ的最大值为2三㊁填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分㊂13.已知a=(1,2),b=(-1,x),若aʅb,则x=.14.中岳嵩山是著名的旅游胜地,天气预报6月30日后连续四天,每天下雨的概率为0.6,利用计算机进行模拟试验,产生0~9之间的整数随机数,假定0,1,2,3,4,5表示当天下雨, 6,7,8,9表示当天不下雨,每4个随机数为一组,产生如下20组随机数: 9533952200187472001838795869318178902692 8280842539908460798024365987388207538935据此用频率估计四天中恰有三天下雨的概率的近似值为.15.已知三角形әA B C中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A Cң㊃A Bң=b2-12a b,c=2,则a+b的取值范围是.16.勒洛四面体是一个非常神奇的四面体 ,它能在两个平行平面间自由转动,并且始终保持与两平面都接触,因此它能像球一样来回滚动(如图甲),利用这一原理,科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心,以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体(如图乙),若勒洛四面体A B C D能够容纳的最大球的面积为25π,则正四面体A B C D的棱长为.四㊁解答题:本题共6小题,共70分㊂解答应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤㊂17.(10分)某校高一年级有学生1000人,其中男生600人,女生400人.为了获得该校全体高一学生的身高信息,采用样本量比例分配的分层随机抽样,抽取一个容量为50的样本.(1)求抽取男生㊁女生的人数;(2)观测样本的指标值(单位:c m),计算得到男生样本的均值为170,方差为14,女生样本的均值为160,方差为34,求总样本的方差,并估计高一年级全体学生的身高方差.18.(12分)如图,在直四棱柱A B C D-A1B1C1D1中,A BʊC D,A DʅC D,C D=A D=A A1=2A B=2,点E为A A1的中点.(1)求证:C D1ʊ平面B D E;(2)设F是直线C D1上的动点,求三棱锥F-B D E的体积.19.(12分)如图,设O x ,O y 是平面内相交成45ʎ角的两条数轴,e 1,e 2分别是与x 轴,y 轴正方向同向的单位向量.若向量O P ң=p =x e1+y e 2,则把有序数对(x ,y )叫做向量p 在斜坐标系x O y 中的坐标.设向量a ,b 在斜坐标系x O y 中的坐标分别为(3,-2),(1,2).(1)求a ㊃b ;(2)求向量a 在向量b 上的投影向量在斜坐标系x O y 中的坐标.20.(12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10ʒ10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲㊁乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为p ,乙发球时甲得分的概率为25,各球的结果相互独立.已知在某局双方10ʒ10平后,甲先发球.(1)若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为715,求p 的值;(2)在(1)的条件下,求两人又打了4个球且甲获胜的概率.21.(12分)在әA B C 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知b ㊃s i n A ㊃s i n B a ㊃s i n 2C=34,c o s A =5312.(1)求c o s B ;(2)若әA B C 的面积为23,且D 为A C 的中点,求线段B D 的长.22.(12分)三棱锥D -A B C 中,底面A B C 为正三角形,C D ʅ平面A B C ,E 为棱B C 的中点,且C DA C=λ(λ为正常数).(1)若λ=32,求二面角C -A E -D 的大小;(2)记直线A C 和平面A D E 所成角为α,试用常数λ表示s i n α的值,并求α的取值范围.开封市2022--2023学年度第二学期期末调研考试高一数学参考答案注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分。

江苏省南通市如皋市2022-2023学年高一下学期教学质量调研(二)数学试题

2022—2023学年度高一年级第二学期教学质量调研（二）数学试题一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1i)1i z −=+，则z 的实部是（）A ．1−B ．1C ．D 2．函数()ln 25f x x x =+−的零点为0x ，且0(,1)x k k ∈+，k ∈Z ，则k =（） A ．0B ．1C ．2D ．33．在梯形ABCD 中，//AB DC ，45DAB ∠=°，AB BC ⊥且22AB DC ==，将梯形绕着边BC 所在的直线旋转一周，形成空间几何体的体积为（）A ．73πBC ．D ．7π4．已知a 、b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（）． A ．若//a α，//a β，b αβ= ，则//a b B ．若//a α，a b ⊥，则b α⊥ C ．若αβ⊥，a α⊥，//b β，则a b ⊥D ．若//αβ，//a α，则//a β5．已知平面向量a ，b 满足1a = ，(2cos ,2sin )b ββ=，2a b += ，则a ，b 的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．23π D ．56π6．已知P 为平行四边形ABCD 内一点，且20PA PB PC PD +++= ，若AP x AB y AD =+，,x y ∈R ，则23x y +=（） A ．25B ．1C ．75D ．27．已知正四面体S ABC −的棱长为，点M 为平面ABC 内的动点，设直线SM 与平面ABC 所成的角为θ，若sin θ∈，则点M 的轨迹所形成平面图形的面积为（） A ．4πB ．πC ．2πD ．4π8．已知角α，β满足tan 2tan αβ=，0,2πβ∈，则sin()αβ−的最大值为（）A ．16B ．13C ．12D ．1二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的有（） A ．若tan tan A B <，则A B <B ．若A B >，则cos 2cos 2A B <C ．若2C π>，则222sin sin sin C A B >+D ．若ABC △为锐角三角形，则tan tan 1A B <10．已知复数11i z =−，复数2i z x y =+，x ，y ∈R ，1z ，2z 所对应的向量分别为1OZ ，2OZ，其中O为坐标原点，则（）A ．若12//OZ OZ，则0x y +=B ．若12//OZ OZ ，则21zz ∈RC ．若12OZ OZ ⊥，则120z z =D ．若12OZ OZ ⊥，则1212z z z z +=−11．2023年3月是全国“两会”举办之月，首都北京到处悬挂着五角红旗，五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的五角星中，以A 、B 、C 、D 、E 为顶点的多边形为正五边形，设O 是正五边形ABCDE 的中心，则下列说法正确的是（）A ．AE ED DB OE OD ++=−B ．()0AO AD AC ⋅−=C ．212CD CE CE ⋅=D ．3AC AD AO +=12．在直三棱柱111ABC A B C −中，90CAB ∠=°，12AC AB AA ===，点M ，N 分别是11B C ，1A A 的中点，则下列说法正确的是（） A ．1B C ⊥平面1A MBB ．异面直线1AC 与1A M 所成的角为45°c ．若点P 是11A C 的中点，则平面BNPD ．点Q 是底面三角形ABC 内一动点（含边界），若二面角1B A M Q −−Q的轨迹三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知复数51i z =+，则2z =________． 14．求值：tan 62tan 88tan 210tan 62tan 88°+°+°=°°________．15．已知函数()y f x =的表达式为()25x f x x =+−，用二分法计算此函数在区间[]1,2上零点的近似值，第一次计算(1)f ，(2)f 的值，第二次计算1()f x 的值，第三次计算2()f x 的值，则2x =________． 16．如图，平面四边形ABCD 中，ABD △是边长为3的等边三角形，BC BD ⊥，2BC =，将ABD △沿BD 进行翻折，折成三棱锥A BCD −，且二面角A BD C −−的大小为6π．则点A 到平面BCD 的距离为________；三棱锥A BCD −的外接球的表面积为________．四、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）已知向量(2sin sin cos )a x x x =+,，(cos cos ))b x x x =− ，()f x a b =⋅ ，若角α满足02πα<<，且()12f α=−．（1）求α的值；（2）若02πβ<<，且1cos()3αβ+=−，求sin β．18．（本小题满分12分）在下面二个条件中任意选一个填在下面的横线上，并完成试题（如果多选，以选①评分）．①1cos 2b a Cc =+；②22sin (sin sin )2sin sin()cos 3A B C B C B C π−−=+．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若________．（1）求A ；（2）若cos cos b C c B +，2b =，求c ．19．（本小题满分12分）已知销售甲、乙两种商品所得利润分别是1y （单位：万元）和）2y （单位：万元），它们与投入资金t （单位：万元）的关系有经验公式分别为1y =215y at =，其中0a >为常数．今将5万元资金经营甲、乙两种商品，设对甲种商品投入奖金x 万元，其中14x ≤≤．（1）当13a =时，如何进行投资甲、乙两种商品才能使得总利润y 最大；（2）存在[]1,4x ∈，使得甲、乙两种商品投资总利润等于435a −+，求a 的取值范围． 20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥S ABC −中，SA ⊥底面ABC ，2SA AC AB ==，60BAC ∠=°，点D 棱SC 上一点，点E 、G 分别为棱SA 、BC 的中点，点F 是线段AE 的中点，//FG 平面BDE ．（1）求SDDC的值；（2）求直线AD 与平面SBC 所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c =，BAC ∠的角平分线AD 交BC 于点D ．（1）若1b =，60BAC ∠=°，求AD 的长度；（2）若ABC △为锐角三角形，且2tan 1tan a CbB =+，求ABC △周长的取值范围． 22．（本小题满分12分）在三棱台111ABC A B C −中，AB AC ⊥，11AC A C ⊥，平面11AA C C ⊥平面ABC ．（1）求证：平面1A BC ⊥平面1ABC ；（2）若1CC AC ⊥，且1122AB A B ==，AC =1A A C B −−的正弦值．2022－2023学年度高一年级第二学期教学质量调研（二）数学答案一、单项选择题：1.D2.C3.A4.A5.C6.D7.B8.B二、多项选择题：9.BC 10.ABD 11.BC 12.ACD三、填空题：13.2 14.3315.47 16.433；π13四、解答题17．解：（1）由题得，)32sin(22cos 32sin )cos (sin 3cos sin 2)(22π−=−=−+=⋅=x x x x x x x b a x f ， 2分所以1)3sin(2)2(−=−=πααf ，从而π1sin 32α−=−. 因为π0,2α∈ ，所以ππ336πα −∈ -，,所以π36πα−=−，即6πα=. 4分（2）由（1）可知6πα=，所以()1cos cos 63παββ+=+=−因为22cos sin 166ππββ +++=，所以28sin 69πβ+=，6分因为20πβ<<，所以3266ππβπ<+<，从而sin 6πβ+8分所以sin sin sin cos cos sin 666666ππππππββββ=+−=+−+1132=×=10分18.解：（1）选，在ABC ∆中，由正弦定理得，R C c B b A a2sin sin sin ===，因为1cos 2b a Cc =+，所以C C A B sin 21cos sin sin +=（✱）2分又因为π=++C B A ，所以)sin(sin C A B +=，从而（✱）式变为C A C A C C A B sin cos cos sin sin 21cos sin sin +=+=，即C A C sin cos sin 21=，4分因为),0(π∈C ，所以0sin ≠C ，从而21cos =A ，5分因为),0(π∈A ，所以3π=A .6分选，因为22πsin (sin sin )2sin sin()cos 3A B C B C B C −−=+所以221sin (sin sin )2sin (sin )cos 2A B C B C C B C −−=即22sin (sin sin )sin sin A B C B C −−=2分在ABC ∆中，由正弦定理得，R C c B b A a 2sin sin sin ===所以bc c b a =−−22)(，即bc a c b =−+2224分由余弦定理得，212cos 222=−+=bc a c b A5分因为),0(π∈A ，所以3π=A .6分（2）在ABC ∆中，由余弦定理得，222222cos cos 22a b c a c b b C c B b c a ab ac +−+−+=+8分由（1）可知3π=A 因为2=b所以由余弦定理得，3cos 27222πbc c b a −+==, 化简得0322=−−c c ,10分解得3=c 或1−=c （舍）.12分19.解：（1）由题可知对甲种商品投入奖金x 万元，则对乙种商品投入奖金(5)x −万元，其中14x ≤≤，所以总利润1(5)15y x =+−. 2分令x t =，则21≤≤t ，2t x =，所以22111(5)(35)51515y t t t t +−−++， 4分当23=t 时，y 取最大值，此时49=x ，所以对甲种商品投入奖金94万元，对乙种商品投入奖金114万元时，总利润y 最大. 6分（2）由题可知总利润(5)5ay x =+−，令x t =，则21≤≤t ，2t x =，所以问题转化为存在[]1,4x ∈，使得221143(5)[(5)]5555a a y t t t a t −+=+−=+−=有解，8分化简得)9()3(2−=−t a t 因为21≤≤t ，所以03≠−t ，从而31+=t a ，所以4151≤≤a .10分又由题知0a >，4305a −+>，所以304a << 所以4151≤≤a .2分20.解：（1）连接SG ，交BD 于点O ，连接OE ，因为FG //平面BDE ，⊂FG 平面SFG ，平面SFG 平面BDE OE = 所以FG //OE .2分在SFG ∆中，由FG //OE 得，12==SF SE SG SO ,所以O 为SBC ∆的重心，从而得1=DC SD.4分（2）在平面SAB 内，过点A 作SB AH ⊥于点H ，连接DH ，在ABC ∆中，设1=AB ，则2==AC SA ，又 60=∠BAC ，所以由余弦定理得，3=BC ，从而222AC AB BC =+，即AB BC ⊥6分因为SA ⊥平面ABC ，⊂BC 平面ABC ，所以SA ⊥BC , 因为A SA AB = ，⊂SA AB ，平面SAB ，所以⊥BC 平面SAB .8分又⊂AH 平面SAB ，所以AH BC ⊥，因为SB AH ⊥，⊂BC SB ,平面SBC ，B BC SB = ，所以⊥AH 平面SBC ,所以直线AD 与平面SBC 所成角为ADH ∠. 10分易得2=AD ，52=AH ，所以510sin =∠ADH ， 11分所以直线AD 与平面SBC 所成角的正弦值为510.12分21.解：（1）法一：因为AD 为BAC ∠的角平分线，60BAC ∠=，所以 30=∠=∠CAD BAD ，因为11121sin602sin301sin30222ABC S AD AD =×××=××⋅+××⋅ ， 2分所以AD =.4分法二：因为AD 为BAC ∠的角平分线所以122121sin 21sin 21==⋅⋅=∠⋅∠⋅=∆∆CD BDh CDhBD CAD AD AC BAD AD AB S S ACDABD ,所以DC BD 2=，从而AD=2分因为1=b ，2=c ，所以 60cos 989822+==AD ，所以AD =.4分（2）在ABC ∆中，由正弦定理得，BCB A b a tan tan 1sin sin 22+== 所以sin 2sin sin cos sin cos sin cos sin()cos 11sin sin sin cos sin cos sin cos cos CA CB BC C B C B C B B B C B C B C B++=+=+==， 6分又sin()sin()sin ,sin 0,sin 0C B A A BA π+=−=>>，则2sin sin sin sin cos A AB B C=，即1cos 2C =，又0,2C π ∈，则3C π=.8分在ABC ∆中，由正弦定理得，34232sin )32sin(sin ===−=C c A b A a π，所以)6sin(4)]32sin([sin 34ππ+=−+=+A A A b a 10分因为ABC ∆是锐角三角形，所以2320,20πππ<−<<<A A ，于是26ππ<<A ，所以2,633A πππ+∈，所以sin()6A π+∈，从而432≤+<b a ，11分所以三角形AOB ∆周长的取值范围为]6,322(+.12分22.（1）证明：因为平面11AA C C ⊥平面ABC ，平面11AA C C 平面ABC AC =，AB AC ⊥，AB ⊂平面ABC ，所以AB ⊥平面11AA C C . 因为⊂C A 1平面11AA C C ，所以AB ⊥C A 1.2分又因为11AC C A ⊥，A AC AB =1 ，AB ，⊂C A 1平面1ABC ，所以⊥C A 1平面1ABC ，3分又⊂C A 1平面BC A 1，所以平面⊥BC A 1平面1ABC .4分（2）设O AC C A =11 ，连接BO ，由（1）可知⊥C A 1平面1ABC ，所以1A C OB ⊥，又因为11AC C A ⊥，所以二面角1A A C B −−的平面角为AOB ∠.6分又在三棱台111ABC A B C −中，1122AB A B ==,AC =, 所以AC C A //11，且211=C A .因为AC CC ⊥1，所以2111π=∠+∠CA A CA C ，又因为11AC C A ⊥，所以211π=∠+∠CA A AC C ，从而=∠11CA C AC C 1∠. 又在1RT ACC ∆中22tan 11CC AC C =∠，在C C A 11RT ∆中1112tan CC CA C =∠，所以=221CC 12CC ，解得21=CC ,8分所以321=AC . 因为AC C A //11，2111=AC C A ，所以334321==AC AO 由（1）可知AB ⊥平面11AA C C ，⊂AO 平面11AA C C ，所以AO AB ⊥ 所以在OAB ∆RT 中，328222=+=AB OA OB ，即372=OB ， 10分从而7213722sin ===∠OB ABAOB ，所以二面角1A A C B −−的正弦值为721．12分。

安徽省宣城市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试题

安徽省宣城市2023-2024学年高一下学期期末调研测试数学试题一、单选题1．已知某位自行车赛车手在相同条件下进行了8次测速，测得其最大速度（单位：m /s ）的数据分别为42，38，45，43，41，47，44，46，则这组数据中的75%分位数是（） A ．44.5 B ．45 C ．45.5 D ．462．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若si n 2s i n A C =，23b c =，则a b =（） A ．2 B ．3 C ．23 D ．433．若向量a r ，b r ，满足(1,1)a =r ，1=r b ，且()0-⋅=r r r a b b ，则a r 与b r 的夹角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°二、4．一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（）A ．事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”为互斥事件B ．事件“至少一次击中”与事件“至多一次击中”为互斥事件C ．事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件D ．事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件三、单选题5．在ABC V 中，已知D 是BC 边上靠近点B 的三等分点，E 是AC 的中点，且DE AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（）A ．12-B ．1-C ．12 D ．16．如图，在正四面体ABCD 中，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，则EF 与平面BCD 所成角的正弦值为（）A ．13BCD 7．某同学用边长为4dm 的正方形木板制作了一套七巧板，如图所示，包括5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形．若该同学从5个三角形中取出2个，则这2个三角形的面积之和小于另外3个三角形面积之和的概率是（）A ．110B ．710C ．35D ．568．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，12B P PC =，113D Q QC =，过B ，P ，Q 三点的平面截该正方体，则所截得的截面面积为（）A ．B ．C ．D ．四、多选题9．已知复数2i 12iz -=+（其中i 为虚数单位），则下列说法正确的是（） A ．z 的虚部为i - B ．0z z +=C ．1z z ⋅=D ．z 在复平面内对应的点在第四象限10．在ABC V 中，若()sin sin sin 2C B A A +-=，则ABC V 的形状为（）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形11．如图，在正三棱锥-P ABC 中，PB =,D E 分别是棱,AC PB 的中点，M 是棱PC 上的任意一点，则下列结论中正确的是（）A ．PB AC ⊥B ．异面直线DE 与AB 所成角的余弦值为13C ．AM MB +D ．三棱锥-P ABC 内切球的半径是)110五、填空题12．某中学高一年级共有学生900人，其中女生有405人，为了解他们的身高状况，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本，若男生样本量为33，则n =.13．如图，在三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，2SA AC ==，4BC =，60ACB ∠=︒，则点A 到平面SBC 的距离为．14．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若60ACB ∠=o ，ACB ∠的角平分线交AB 于点D ，且2CD =，则ABC V 面积的最小值为．六、解答题15．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b B =，23C π=． (1)求角B ；(2)若ABC V BC 边上中线的长． 16．已知2a =r ，3b =r ，()8a b b +⋅=r r r . (1)求a b +r r ：(2)当实数k 为何值时，2ka b -r r 与2a b +r r 垂直？(3)若,a b r r 不共线，ka b -r r 与4a kb -r r 反向，求实数k 的值.17．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 为边CD 的中点，沿AE 把ADE V 折起，使点D 到达点P 的位置，且π3PAB ∠=．(1)求证：平面PBE ⊥平面P AB ；(2)求三棱锥P ABE -的体积和表面积．18．某校对2023年高一上学期期末数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100名学生，将分数按照[)30,50,[)50,70,[)70,90,[)90,110,[)110,130,[]130,150分成6组，绘制成如下图所示的频率分布直方图：(1)求频率分布直方图中a 的值；(2)估计该校高一上学期期末数学考试成绩的中位数和平均数；(3)为了进一步了解学生数学学科学习的情况，在成绩位于[)50,70和[)70,90的两组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生中至少有1人成绩在[)50,70内的概率．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA AC ==，1BC =，AB(1)若AD PB ⊥，求：向量CP u u u r 在向量DA u u u r 上的投影向量的模；(2)当AD PB ⊥，且1AD =时，四棱锥P ABCD -是否有外接球?若有，请求出四棱锥P ABCD -的外接球的表面积．(3)若AD DC ⊥，且AD =A CP D --的正切值．。

江苏省苏州市2023-2024学年高一下学期期中调研数学试题

不过虽然有这些困难限制，贝氏依
然很成功地创造了一座优雅的楼梯，达到贝氏一贯的空间焦点效果，在螺旋梯的中央有一个圆座，许多人不明究里，甚至误认为是一个没有人的询问服务台，事实上那是服务残障人士的动力电梯，当使用时，电梯厢才会浮现，上下变动的电梯厢就像一件“现代化的雕塑”，时隐时现，上上下下，更增添了大厅的空间的趣味。
美丽的夜景
呈正方形，面积达268，920平方英尺的拿破仑厅，四个直角正对着各方位的通道口，地面上的三个小金字塔为通往三个不同美术馆的“光明的指引”。在大厅的周边，有一个可容百人的餐厅，二个简易自助餐厅，宽敞的书店与商店是另外一个特色，从国家艺廊东厢所获得的经验，使得贝氏格外地注重 “粮食空间”——肉体的与心灵的，总是以较大的面积来容纳此机能需求，波士顿美术馆西厢扩建是另一明证，
队。
< 贝聿铭谈贝聿铭>，分析建筑杰作之外，不忘畅叙音乐与艺术修养、园林与中国情怀，更重要的是无时无刻不在的人文关怀：“建筑的目的是提升生活，而不仅仅是空间中被欣赏的物体而已，如果将建筑简化到如此就太肤浅了。建筑必须融入人类活动，并提升这种活动的品质，这是我对建筑的看法。我期望人们能从这个角度来认识我的作品。”
调查显示，在卢浮宫最受欢迎的作品中，玻璃金字塔名列第三，排在油画《蒙娜丽莎》和雕像《米诺的维纳斯》之后，超过馆中跨越9000 年文明、包括鲁本斯的 52 幅作品和伦布兰特的12幅作品在内的30万件艺术杰作。三分之一的游客坚持从金字塔进入卢浮宫，冷落另外两个不及金字塔拥挤的入口。为了进入玻璃金字塔，游客在卢浮宫院子里排起长长的
拿破仑厅有两层，人们通常都是先抵达大厅，其中不锈钢的螺旋形楼梯，令人不禁想到贝氏所有美术馆中具雕塑性格的楼梯，不过这次他没有再用混凝土，而是选用更“科技性”的建材。看似十分单纯的不锈钢楼梯，其实大不简单，没有支柱，全以楼梯本身的螺旋形特性来支撑，而且楼梯高度达29英尺，高度的考验相当惊人。同时为了美观，不锈钢板的厚度即不能过厚，

高一数学第二学期调研考试试题

2
11n
20, (n
3).
19．解：1）当 n≥2 时， a n
Sn
S n 1
a 1 a
(1
a an ) 1 a
(1
a n 1 )
整理得 a n a , a n 1
所以{an}是公比为 a 的等比数列. ------------------------------------------------------ 8
1 2 (n 1)
9．已知数列{an } 中， an a n 2 n ，且{an } 是递增数列，求实数 a 的取值范围
10．数列 1 2
，3 4
，5 8
，7 16
，9 32
，……的前 n 项和 S n
=
。
11．已知数列{a n } 满足 a1
1, a n
a1
1 2 a2
1 3 a3
。
6． A B C 的内角 A, B , C 的对边分别为 a , b , c ，若 a , b , c 成等比数列，且 c 2 a ，
则cos B
7．数列{an } 中， a1
， 1
2 an1
2an
3 ，则通项 an
。
8．求数列 1 , 1 , ,
1
, 前 n 项和
。
1 2 1 23
（2） bn 2 an 2 2n 4 n -------------------------------------------------------------12
所以 Tn b1 b2
bn 4 42
4 n 4 (4 n 1) --------------------------14 3

下学期高一数学调研试卷试题

2021-2021学年度下学期高一数学调研试卷制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日本套试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部.一共150分，考试时间是是120分钟.第I 卷〔选择题，一共60分〕一、选择题：〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1．假设sin 20cos 0αα><且，那么α是〔〕A ．第二象限角B ．第三象限角C ．第一或者第三象限角D ．第二或者第三象限角2. 设a<0,角α的终边经过点P(-3a,4a),那么sin 2cos αα+的值等于: 〔〕A. 51B. -51C. 52D.-523.假设cos(π+α)= -23,21π<α<2π,那么sin(2π-α)等于: 〔〕A.23 B. -23 C.21 D.±234. 函数y = －cos x x 的局部图象是 ( )5. 函数)232(22cos 1tan 11)(2ππ<<+++=x x xx f 的值域是〔〕A ．[－2，2]B ．〔0，2〕C ．]2,0(D ．]1,0( 6. 函数)252sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是〔〕BCDA ．4π-=xB ．2π-=xC ．8π=xD ．45π=x 7. 设tan15tan30tan15tan30a =++⋅，22cos 10sin 70b =-，16cos 20cos 40cos60cos80c =⋅⋅⋅，那么a 、b 、c 的大小关系是 ( )A a b c ==B ,a b b c ≠=C ,a b b c =≠D a b c << 8. 8sin α＋5cos β=6, 8cos α＋5sin β=10，那么sin(α＋β)的值是〔〕 A8011 B 8047 C －8011 D ±8047 9．假设22sin cos x x >, 那么x 的取值范围是 ( )A ｛x |k π－4π< x < k π＋4π, k ∈Z ｝B ｛x |2k π－4π< x < 2k π＋4π, k ∈Z ｝ C ｛x |2k π－4π< x < 2k π＋43π, k ∈Z ｝D ｛x |k π＋4π< x < k π＋43π, k ∈Z ｝10. 对于函数,cos sin ,cos cos sin ,sin )(⎩⎨⎧<≥=xx x xx x x f 那么以下正确的选项是〔〕 A ．该函数的值域是[－1，1] B ．当且仅当)(22Z k k x ∈+=ππ时，该函数获得最大值1C ．当且仅当0)()(2322<∈+<<+x f Z k k x k 时ππππ D ．该函数是以π为最小正周期的周期函数11．在锐角三角形ABC 中，以下各式恒成立的是 ( )A. cos cos log 0sin CA B > B.sin cos log 0cos C A B > C. sin sin log 0sin C A B > D. cos sin log 0cos C AB> 12．要使函数45))(6312cos(5的值N k x k y ∈-+=ππ在区间[3,+a a ])(R a ∈上出现的次数不少于4次，不多于8次，那么k 的值是〔〕 A ．2B ．3C ．2或者3D ． 4或者5第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分.请将答案填在题中的横线上〕13．计算：〔1＋tan200〕(1+tan250)＝__________________.14．扇形AOB 的周长为8㎝，面积为32cm ，那么它的圆心角的大小为 .15．计算：2cos 40(cos103sin10)2cos 51+-＝__________________。

江苏省高一下学期第一次学情调研数学试题(解析版)

一、单选题1．已知向量，，则向量的坐标为（） ()1,2OA =-u u r ()1,1OB =- ABA ．B ．C ．D ．()2,3-()0,1()1,2-()2,3-【答案】D【分析】由向量减法的坐标表示计算．【详解】依题意得.(1,1)(1,2)(2,3)AB OB OA =-=---=-故选：D ．2．已知平面向量，若，则（）(1,1),(sin ,cos )a b θθ=-= a b ⊥tan θ=A ．BC ．1D ． 1-【答案】C【分析】由已知条件，有数量积的坐标公式可得，进而求得a b ⊥sin cos θθ=tan θ【详解】 (1,1),(sin ,cos )a b θθ=-=．1sin 1cos sin cos a b θθθθ∴⋅=⨯-⨯=-又a b ⊥，即 sin cos 0θθ∴-=sin cos θθ=tan 1θ∴=故选：C【点睛】本题考查了向量的数量积坐标公式，利用向量的垂直关系，并应用同角三角函数关系，求正切值3．设的内角所对的边分别为，若，则的形状为ABC A ,,A B C ,,a b c cos cos sin b C c B a A +=ABC A （） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形【答案】B【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得的值进sin A 而求得，判断出三角形的形状. A 【详解】∵，cos cos sin b C c B a A +=由正弦定理得：，()2sin cos sin cos sin sin sin B C C B B C A A +=+==∵，∴，，故三角形为直角三角形，sin 0A ≠sin 1A =2A π=故选：B.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，解题的关键时利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基本知识的考查.4．已知非零向量满足，且，则与的夹角为 a b ，2a b =b a b ⊥ （–）a b A ．B ．C ．D ．π6π32π35π6【答案】B【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即()a b b -⊥ ,a b可计算出向量夹角．【详解】因为，所以=0，所以，所以=()a b b -⊥ 2()a b b a b b -⋅=⋅- 2a b b ⋅= cos θ22||122||a b b b a b ⋅==⋅ ，所以与的夹角为，故选B ．a b 3π【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为．[0,]π5．向量，，，若，，三点共线，则的值为（） (),12PA k = ()4,5PB = ()10,PC k =A B C k A ．或 B ．或C ．或-11D ．或2-112112-211-【答案】A【分析】根据共线定理列方程，解方程即可.【详解】由，，，(),12PA k = ()4,5PB = ()10,PC k =得，， ()4,7AB PB PA k =-=--()10,12AC PC PA k k =-=-- 又，，三点共线， A B C 则，AB AC λ= 即，解得或， ()()410712k k k λλ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩212k λ=-⎧⎪⎨=⎪⎩117k λ=⎧⎨=⎩故选：A.6．在平行四边形中，．若点满足，则ABCD ||6,||4AB AD == ,M N 3,2BM MC DN NC ==的值为（）AM NM ⋅A ．6B ．9C ．20D ．36【答案】B【分析】先利用平面向量的线性运算求出，再利用平面向量的数量积公式求解.,AM NM【详解】由题得， 34AM AB BM AB AD =+=+ ，1134NM NC CM AB AD =+=- ． 22311131336169434316316AM NM AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫∴=+-=-=⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ A A 故选：B7．已知锐角中，，，则的范围为（） ABC A 2A B =2AC =BC A ．B ．C ．D ．(【答案】D【分析】利用正弦定理结合二倍角公式可转化为三角函数值域问题，即可得解. 【详解】由正弦定理得即， sin sin BC ACA B =2sin sin BC A B=所以，即，22sin cos sin BC B B B=4cos BC B =又是锐角三角形，ABC A 所以，即02022032B BB ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩64B ππ<<cos B <<所以， BC <<故选：D.8．在非直角中，设角，，的对边分别为，，，若ABC A A B C a b c ，是角的内角平分线，且，则等于（） sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=CD C CD b =cos C A ．B ．C ．D ．34131618【答案】D【分析】先由正弦定理进行边角互化，利用余弦定理可得，再由三角形面积2a b =，可得，再利用二倍角公式可得解. ABC ACD BCD S S S =+△△△3cos24C =【详解】由已知， sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=根据正弦定理得， 22224cos a b c b C +-=则，22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===为非直角三角形，，，ABC A cos 0C ∴≠2a b ∴=又，△△△=+ ABC ACD BCD S S S ， 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即， 2sin 4sincos 3sin 222C C CC ==，，0,,22C πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 240,,24C πππ⎛⎫⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，sin02C ∴≠3cos 24C ∴=， 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-=故选：D.二、多选题9．下列说法中错误的是（）A ．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底()12,3e =-213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ B ．非零向量和满足，则与的夹角为 a b a b a b ==- a a b + 60︒C ．若，则在方向上的投影向量的模为//a ba b a D ．若，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是()1,2a = ()1,1b = a a b λ+ λ5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】BD【分析】根据向量基底的概念直接可判断A 选项；利用向量模长公式可得向量数量积，在利用夹角公式可判断B 选项；根据投影的概念直接可判断C 选项；根据向量夹角的坐标表示可判断D 选项.【详解】A 选项：由，，，则与共线，不能作为平面向量的基()12,3e =- 213,24e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 124e e =1e 2e 底，A 选项正确；B 选项：由，得，即，所以a b a b ==- 22222a b a a b b ==-⋅+ 212a b a ⋅=与的夹a + ()cos ,a a b a a b a a b⋅++==⋅+ a a b + 角为，B 选项错误；30︒C 选项：，则或，则在方向上的投影向量的模为，C //a b ,0a b = ,a b π= a b cos ,a a b a ⋅=r r r r 选项正确；D 选项：由，，则，若与的夹角为锐角，则()1,2a = ()1,1b = ()1,2a b λλλ+=++ a a b λ+且与不能同向，则且，D 选项错误；()142530a a b λλλλ⋅+=+++=+> a a b λ+53λ>-0λ≠故选：BD.10．对于，有如下判断，其中正确的判断是（） ABC A A ．若，则A B >sin sin A B >B ．若，则为等腰三角形sin2sin2A B =ABC A C ．若，，，则符合条件的有两个 10a =9b =60B =︒ABC A D ．若，则是锐角三角形 222sin sin sin A B C +>ABC A 【答案】AC【分析】根据三角函数的单调性可判断A 选项，根据正弦函数单调性和对称性可判断B 选项，利用正弦定理可判断C 选项，利用正弦定理及余弦定理可判断D 选项.【详解】对于A ：由，则当时，，当时，由可知A B >0,2A π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦sin sin A B >,2A ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭A B π+<，所以，故A 选项正确；2B A ππ<-<()sin sin sin B A A π<-=对于B ：由，，，得：或，即sin2sin2A B =()0,A π∈()0,B π∈()0,AB π+∈22A B =22A B π+=或，所以为等腰三角形或直角三角形，B 选项错误；A B =2A B π+=ABC A 对于C ：由，，，根据正弦定理得：，10a =9b =60B =︒sin sin a b A B =sin sin a B A b ==>，且，所以满足条件的三角形有两个，C 选项正确；233A B πππ∴<<=-2A π≠对于D ：由正弦定理可将转化为，则，所以222sin sin sin A B C +>222a b c +>222cos 02a b c C ab+-=>，但无法判断的范围，D 选项错误.2C π<,A B 故选：AC.11．在中，记角所对的边分别为，若，则（） ABC A ,,A B C ,,a b c 2,2AB AC a ⋅==A ． cos 1bc A =B ． 228b c +=C ．内角的最大值为A 3πD ．ABC A【答案】BC【分析】先由向量的数量积公式计算判断A 选项，再结合余弦定理公式计算判断B 选项，再结合基本不等式和余弦函数的单调性判断C 选项，最后利用面积公式结合bc 的范围判断D 选项.【详解】，故A 选项错误；cos 2AB AC bc A ⋅==因为，所以，故B 选项正确； 2222cos 2b c a A bc bc+-==22248b c a +=+=因为，所以，所以，故C 选项正确； 2242b c bc +≤=221cos 42A bc =≥=π3A ≤因为，所以D 选项错误. 4bc ≤11sin 22ABC S bc A ===≤A 故选：BC.12．在中，分别是边中点，下列说法正确的是（）ABC A ,,D E F ,,BC AC AB A ．0DA EB FC ++= B ．点是边上的点，且，则的面积是面积的 M BC 2133AM AB AC =+ AMC A ABC A 13C 是在的投影向量 BD BA BCD ．若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为P AD BP BA BC λμ=+ λμ18【答案】ACD【分析】对选项逐一判断，对选项A ，利用平面向量的加减法即可判断，对选项B ，利用向量运算确定M 点的位置即可判断，对选项C ，首先根据已知得到为的平分线，即AD BAC ∠AD BC ⊥，再利用平面向量的投影概念即可判断，对选项D ，首先根据三点共线，结合条件可得,,A P D ，再由基本不等式即可判断．21λμ+=【详解】对选项A ，如图所示：()()()111222DA EB FC AB AC BA BC CA CB ++=-+-+-+111111222222AB AC BA BC CA CB =------，故选项A 正确；1111110222222AB AC AB BC AC BC =--+-++=对选项B ，因为点是边上的点，且，M BC 2133AM AB AC =+所以为边上靠近点的三等分点，M BC B ，故B 不正确； 23AMC ABC S CM S CB ∴==A A 对选项C ，分别表示平行于的单位向量， ,,AB AC AD AB AC AD ,,AB AC AD由平面向量加法可知：为的平分线表示的向量， AB ACAB AC+BAC ∠为的平分线，AD BAC ∠又因为为的中线，所以，如图所示：AD BC AD BC ⊥在的投影为， BA BCcos BD BA B BA BD BA =⨯=所以是在的投影向量，故选项C 正确；BD BA BC对选项D ，如图所示：2BP BA BC BA BD λμλμ=+=+因为在上，即三点共线，P AD ,,A P D ，21λμ∴+=≥，当且仅当时等号成立， 18λμ∴≤122λμ==取得最大值为，故选项D 正确．λμ∴18故选：ACD ．三、填空题13．已知，是两个不共线的向量，若与共线，则的值为a b()m a kb k R =-+∈ 32n a b =- k _________．【答案】23【分析】根据题意得到，列出方程组，即可求解.λ=m n 【详解】由题意，向量与共线，m a kb =-+ 32n a b =-可得，即，可得，解得.λ= m n (32)a kb a b λ-+=- 312k λλ=-⎧⎨=-⎩23k =故答案为：.2314．内角的对边分别为，若的面积为，则_________ABC A ,,A B C ,,a b c ABC A 2224a b c +-C =【答案】4π【分析】由余弦定理可得，根据条件结合三角形的面积公式可得2222cos a b c ab C +-=从而可得答案.sin cos ,C C =【详解】由余弦定理可得，所以222cos 2a b c C ab+-=2222cos a b c ab C +-=的面积为 ABC A 2221si 2s n co 424a b c ab S ab C C+-===所以即，由 sin cos ,C C =tan 1C =0C π<<所以4C π=故答案为：4π15．如图，半径为2的扇形的圆心角为，点在上，且，若AOB 120 C A AB 30COB ∠=，则等于__________．OC OA OB λμ=+λμ+【分析】建立直角坐标系，求出点的坐标，结合平面向量的基本定理建立方程求解即可.【详解】如图所示，以O 为原点，OB 为x 轴，OB 的垂线为y 轴，建立直角坐标系，()2,0B ，，即，30,2BOC OC ∠== ()2cos30,2sin 30C ∴)C，，即，120,2BOA OA ∠== ()2cos120,2sin120A∴(A -又，， OC OA OB λμ=+)(()2,0λμ∴=-+，解得，，21λμ=-+∴=⎪⎩λμ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩λμ∴+=16．在中，若对任意的实数ABC A ()()(),4,cos ,sin ,,AB m m AC m ααα=+=∈∈R R恒成立，则面积的最小值是__________．,t AB t AC AB AC -≥-ABCA【分析】根据恒成立，可得，即可求得,ABt AC AB AC -≥- AC BC ⊥CB =从而求解面积的最小值.【详解】解：如图，设，则AD t AC = AB t AC AB AD DB -=-=若对任意的实数恒成立， ,t AB t AC AB AC -≥-即恒成立，则，DB CB ≥AC BC ⊥CB ===12ABC S AC CB ∴===A当时，. 2m =-ABC A.四、解答题17．已知，，是同一平面内的三个向量，其中．a b c(a = (1)若，且，求的坐标；9c = //c ac (2)若，且，求与的夹角．1= b ()52a b a b ⎛⎫+⊥- ⎪⎝⎭ a bθ【答案】(1)或92c ⎛= ⎝ 9,2c ⎛=- ⎝ (2)3πθ=【分析】（1）根据向量共线，可设出的坐标，再利用向量模长可得解； c（2）根据向量垂直的关系，结合向量数量积公式可得解.【详解】（1）由已知，则存在实数，使，//c aλ()c a λλ==又，9c =9=解得，92λ=±所以或；92c ⎛= ⎝ 9,2c ⎛=- ⎝（2）由，(a = 2=又，()52a b a b ⎛⎫+⊥- ⎪⎝⎭ 所以，()225350222a b a b a a b b ⎛⎫+⋅-=-⋅-= ⎪⎝⎭ 即，35421cos 022θ-⨯⨯⨯-=解得，， 1cos 2θ=[]0,θπ∈所以.3πθ=18．已知的内角所对应的边分别为，且.ABC ∆,,A B C ,,a b c 22cos a c b A +=（1）求角的大小；B（2）若，求的面积.b =4ac +=ABC ∆【答案】（1）;（2）. 23B π=ABC S =A 【详解】试题分析：（1）由正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简得，解得角的大小；（2）由余弦定理得，再根据1cos 2B =-B 22+12a c ac +=，解得，最后根据三角形面积公式得结果4a c +=4ac =试题解析：（1）因为，由正弦定理，得．22cos a c b A +=sin +2sin 2sin cos A C B A =因为，所以．()C A B π=-+()sin +2sin 2sin cos A A B B A +=即，sin +2sin cos 2cos sin 2sin cos A A B A B B A +=所以．()sin 1+2cos 0A B ⋅=因为，所以 sin 0A ≠1cos 2B =-又因为，所以． 0B π<<23B π=（2）由余弦定理及，2222cos a c ac B b +-=b =22+12a c ac +=即．()212a c ac +-=又因为，所以，=4a c +4ac =所以 11=sin 422ABC S ac B =⨯=A 19．如图，已知向量，点A ，B 分别是的中点． ,OA a OB b == ,SM SN（1）试用向量，表示向量；a b MN（2）设，，试求与的夹角的取值范围．1,2a b == MN ⎡∈⎣ a b θ【答案】（1）；（2） . ()2MN b a =- 2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由是的中位线得出，进而得出结果； AB SNM A 2MN AB = （2）先求出，进而求得，由此确定出的取值范围. []1,1a b ⋅∈- 11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦θ【详解】（1）依题意知是的中位线，所以，； AB SNM A ()()222MN AB OB OA b a ==-=- （2）由（1）得，平方得： ()2MN b a =- ()()()()222222224424|2|4221208MN b a b a b ab a b a a b a b =-=-⋅+=-⋅+=-⋅+=-⋅ 所以，由可得，2820||a bMN ⋅=- MN ⎡∈⎣ []1,1a b ⋅∈- 所以，又，所以. 111cos ,222a b a b a b θ⋅⎡⎤==⋅∈-⎢⎥⎣⎦⋅ [0,]θπ∈233ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故与夹角的取值范围是. a b θ233ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，20．在△ABC中，角A ，B ，C 的对边分别为，已知．,, a b c 3,45a c B ==︒（1）求的值；sin C （2）在边BC 上取一点D ，使得，求．4cos 5ADC ∠=-CD 【答案】（1）；（2）. sinC 23CD =【分析】（1）先由余弦定理求出；b sin C （2）先由和差角公式求出，再由正弦定理求出. sin CAD∠23CD =【详解】（1）在△ABC 中,因为，由余弦定理得3,45a c B ==︒2222cos ,b a c ac B =+-所以292235,b =+-⨯︒=b =在△ABC 中,由正弦定理. sin sin b c B C==sin C（2）在△ADC 中,因为，所以∠ADC 为钝角,又∠ADC +C +∠CAD=180°,所以C 为锐4cos 5ADC ∠=-角，故cos C ===因为，所以. 4cos 5ADC ∠=-3sin 5ADC ∠==所以()34sin sin 55CAD ADC C ⎛⎫∠=∠+=-= ⎪⎝⎭由正弦定理得：,，解得：. sin sin CD AC CAD ADC ∠∠==23CD =21．设是边长为1的正三角形，点四等分线段（如图所示）． ABC A 123,,P P P BC（1）求的值；112AB AP AP AP ⋅+⋅ （2）为线段上一点，若，求实数的值； Q 1AP 112AQ mAB AC =+ m （3）为边上一动点，当取最小值时，求的值．P BC PAPC ⋅ cos PAB ∠【答案】（1）；（2）；（3 13814【分析】（1）利用线段的中点向量公式将所求化为，再结合余弦定理求解； 212AP （2）利用平面向量的线性运算进行化简求解；（3）先讨论的位置，研究的符号，再设，将表示为关于的函数，利用P PA PC ⋅ PC x = PA PC ⋅ x 二次函数的最值判定的位置，再利用余弦定理进行求解．P 【详解】（1）原式， 2121()2AP AB AP AP =⋅+= 在中，由余弦定理，得1△ABP ， 211113121cos 6016416AP ︒=+-⨯⨯⨯=所以 112138AB AP AP AP ⋅+⋅= （2）易知，即， 114BP BC = 11()4AP AB AC AB -=- 即， 13144AP AB AC =+ 因为为线段上一点，Q 1AP 设， 13114412AQ AP AB AC mAB AC λλλ==+=+ 所以，解得 3411412m λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1314m λ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以； 14m =（3）①当在线段上时，；P 2BP 0PA PC ⋅≥ ②当在线段上时，；要使最小，则必在线段上，P 2P C 0PA PC ⋅≤ PA PC ⋅ P 2P C 设，则PC x = cos PA PC PA PC APC ⋅=⋅∠ ， 222111cos 2416PA PC APB PC PP x x x ⎛⎫=-∠=-=-=-- ⎪⎝⎭ 当时，即当为时，最小， 14x =P 3P PA PC ⋅ 则由（1则由余弦定理得 222cos 2AB AP BPBAP AB AP +-∠===⋅22．在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与道AB 90BAD ∠=︒BC AB 路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知120ABC ∠=︒C ，路宽．设灯柱高，．60ACD ∠=︒12m AD=()m AB h =()3045ACB θθ∠=︒≤≤︒(1)当时，求四边形的面积；30θ=︒ABCD(2)求灯柱的高（用表示）；h θ(3)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出BC AB S S θS 的最小值．【答案】(1)2(2)()8sin23045h θθ=︒≤≤︒(3)，最小值为 ())8sin 2603045S θθ=++≤≤︒︒︒S 24+【分析】（1）由三角形角的关系结合正弦定理可得各边长，再由可得解； ABC ACD ABCD S S S =+四边形△△（2）分别在与中由正弦定理化简即可得解；ACD A ABC A （3）根据正弦定理分别表示各边长及，再根据三角函数求值域的方法可得最值.S 【详解】（1）当时，， 30θ=︒1801203030BAC ︒︒︒︒∠=--=所以，AB BC =又9060CAD BAC ∠︒∠=︒=-所以是等边三角形，所以，ACD A 12AC AD ==所以在中，，即， ABC A sin sin sin AB BC AC ACB BAC ABC==∠∠∠AB BC ==所以 11sin1201212sin6022ABC ACD ABCD S S S =+=⨯︒+⨯⨯︒⨯=A A 四边形（2），，18012060BAC θθ∠=︒--=︒︒-9030CAD BAC θ∠︒-=+︒=∠，()180630900ADC θθ︒︒∠=-=︒-︒+-在中，由正弦定理得， ACD A sin sin AD AC ACD ADC ∠∠=所以 ()12sin60sin 90AC θ=︒︒-所以AC θ=在中，由正弦定理得， ABC A sin sin AC AB ABC ACB =∠∠所以， sin120sin AC h θ=︒所以，所以； AC θ==()8sin23045h θθ=︒≤≤︒（3）在中，由正弦定理得， ABC A sin sin AC BC ABC BAC =∠∠， ()sin 60BC θ=︒-所以()[]216cos sin 6016cos sin60cos cos60sin 8sin cos BC θθθθθθθθ=-=︒︒-︒=-1cos24sin24sin22θθθθ+=-=-所以 ()8sin24sin24sin2S AB BC θθθθθ=+=+-=+， ()18sin28sin 2602θθθ⎛⎫==++ ⎭︒⎪⎪⎝因为，所以，3045θ︒≤≤︒120260150θ︒≤+︒≤︒所以当，即时，取最小值 260150θ+︒=︒45θ=︒S 4+故关于的函数表达式为，最小值为.S θ())8sin 2603045S θθ=++≤≤︒︒︒S 24+。

高中_高一数学下学期调研考试试题

高一数学下学期调研考试试题命题人：王建群2009-3-4一、填空题〔本大题共12题每题7分共84分〕1、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n 152-=，那么使n S 取最小值的n=______。

2、等差数列}{n a 中，1144=+a a ，那么此数列的前17项的和=___________。

3、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n 352+=，那么通项=n a ______________。

4、△ABC 中060=A ，3=a ，那么sin sin sin a b cA B C++++=______________。

5、△ABC 中，13,34,7===c b a ，那么最小内角的大小是____________。

6、△ABC 中，A sin ∶B sin ∶C sin ＝2∶3∶4，那么C cos =____________。

7、△ABC 中;;;AB a BC b CA c ===假设a b b c c a ⋅=⋅=⋅那么△ABC 为_______三角形。

8、一等差数列}{n a 的前12项的和为354，前12项中，奇数项和与偶数项和之比为 32∶27，那么公差d=__________。

9、等差数列}{n a 中，1008=S ，39216=S ，那么=4S ____________。

10、一个物体从490m 的高空落下，如果该物体第1秒降落，以后每秒比前1秒多降落，经过_____________秒物体才能落到地面。

11、△ABC 中，B b A a cos cos =那么△ABC 是________________________。

〔判断形状〕12、△ABC 中，以下判断不正确的选项是．．．．．．．________________。

〔1〕,30,14,70=∠==A b a 有1解；〔2〕,150,25,300=∠==A b a 有1解；〔3〕,45,9,60=∠==A b a 有2解；〔4〕,60,10,90=∠==B c b 无解。

广东省深圳市2023-2024学年高一下学期期末调研考试数学试题(解析版)

2024 年深圳市普通高中高一年级调研考试数学2024. 7本试卷共 4 页， 19 小题，淌分 150 分.考试用时 120 分钟.注意事项:1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角 “条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案值息点涂黑: 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上: 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题: 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}11,3,0,1,3A B =−=,，则 A B ∪=（）A.{}1,3B.{}1,1,3− C.{}0,1,3 D.{}1,0,1,3−【答案】D 【解析】【分析】根据并集含义即可得到答案. 【详解】根据并集含义知{}1,0,1,3A B =− ，故选：D.2.函数 ()ln 2f x x x =+− 的零点所在的区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3 D.()3,4【答案】B 【解析】的【分析】根据零点的存在性定理进行判断区间端点处的符合即可．【详解】函数()ln 2f x x x =+−的定义域为()0,+∞，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，又()1ln11210f =+−=−< ，()2ln 222ln 20f =+−=>，根据零点的存在性定理可知函数零点所在区间为()1,2．故选：B .3. 已知幂函数()f x x α=，则“0α>”是“()f x 在()0,∞+上单调递增”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据幂函数单调性和充要条件的判定即可得到答案.【详解】当“ 0α> ”时，根据幂函数性质知()f x x α=在()0,∞+上单调递增，则充分性成立；反之，若“()f x x α=在()0,∞+上单调递增”则“0α>”，必要性也成立，故“0α>”是“()f x 在()0,∞+上单调递增”的充分必要条件，故选：C .4. 已知向量 ()()20,12ab =，，，若 ()a b a λ+⊥，则 λ=（） A. 1− B. 12−C. 1D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据向量坐标化运算和向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】()()()201221,2a bλλλ+=+=+，，,因为()a b a λ+⊥ ，则()0a b a λ+⋅=，即()2210λ+=，于是 12λ=−. 故选：B.5. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（） A. 若//,m n αα⊂，则//m nB. 若//,//m ααβ ，则//m βC. 若,m m n α⊥⊥，则//?n αD. 若,//m m αβ⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】在正方体中，通过取平面和直线，即可判断出选项A ，B ，C 的正误；对于选项D ，根据条件，利用线面平行的性质及面面垂直的判定定理，即可判断出选项D 的正误.【详解】对于选项A ，如图，在正方体中，取面ABCD 为平面α，直线11A B 为直线m ，直线BC 为直线n ，显然有//,m n αα⊂，但m 不平行n ，所以选项A 错误，对于选项B ，如图，在正方体中，取面ABCD 为平面α，直线11A B 为直线m ，面1111D C B A 为平面β，有//,//m ααβ，但m β⊂，所以选项B 错误，对于选项C ，取面ABCD 为平面α，直线1A A 为直线m ，直线BC 为直线n ，因为n ⊂α，显然有,m m n α⊥⊥，但n ⊂α，所以选项C 错误，对于选项D ，因为//m β，在β内任取一点P ，过直线m 与点P 确定平面γ，则l βγ= ，由线面平行的性质知//m l ，又m α⊥，所以l α⊥，又l β⊂，所以αβ⊥，所以选项D 正确，故选：D.6. 已知 ABC 中， 22AE AB BM MC == ，，若 AF xAC =，且 E M F ，，三点共线，则 x =（） A.23B.34C.45D.56【答案】C 【解析】【分析】先应用平面向量基本定理，再根据三点共线的性质列式求参即可.【详解】因为2,BM MC =所以1233AM AB AC =+ ， 2,AE AB AF x AC == ,因为,,E M F 三点共线，所以,1AM AE AF λµλµ=++=,12233AB AC AB x AC λµ+=+, 所以112,,36λλ== 524,,635x µµµ===. 故选：C.7. 已知正实数 ,a b 满足 4a b ab +=，则 a b + 的最小值为（） A. 4 B. 9C. 10D. 20【答案】B 【解析】【分析】方程4a b ab +=两边同时除以ab 得141b a+=，利用“1代换”即可求解. 【详解】,a b 为正实数，方程4a b ab +=两边同时除以ab 得141b a+=， ()1444159a b b a bb a a b a ∴++++++ ≥ + =，当且仅当14b a =即82a b == 时等号成立，故a b + 的最小值为9. 故选：B .8. 已知函数()()()(sin ,π,2,f x x x a f b f c f =−===−，则,,a b c 的大小关系为（） A. a b c >> B. a c b >>C. b c a >>D. b a c >>【答案】 A的【解析】【分析】得出函数奇偶性后，利用正弦函数的单调性可得()f x 的单调性，即可得解.【详解】由R x ∈，()()()sin sin f x x x x x f x −=−−−=−+=−，故()f x 为奇函数，则(c f f =−=，π2π2<<<，函数sin y x =在π,π2 上单调递减，故()sin f x x x =−在π,π2上单调递增，则()()2πff f <<，即a b c >>.故选：A.二、选择题: 本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9. 若复数z 满足i 1i z =−，下列说法正确的是（） A. z 的虚部为i − B. 1i z =−+C.z =D. 2z z z ⋅=【答案】BC 【解析】. 【详解】()2i 1i 1i 1i i iz −−−===−−−，则其虚部为1−，故A 错误；||z =1i z =−+，故BC 正确；()()1i 1i 2z z ⋅=−−−+=，而()221i 2i z =−−=，则两者不等，故D 错误.故选：BC.10. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记下每次朝上的点数，设事件 A = “第一次的点数不大于3 ”， B =“第二次的点数不小于4 ”， C = “两次的点数之和为3的倍数”，则下列结论正确的是（）A. 事件A 发生的概率 ()12P A = B. 事件A 与事件B 相互独立 C. 事件 C 发生的概率 ()13P C =D. 事件AB 与事件C 对立【答案】ABC 【解析】【分析】列举所有的基本事件，由古典概型公式即可求解选项A ，C ，由相互独立事件的定义即可求解选项B ，由对立事件的定义分析选项D.【详解】根据题意，连续抛掷一枚质地均匀的骰子2次，记录每次朝上的点数，则有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)， (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)， (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)， (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)， (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)，(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共36不同结果，即()36n Ω=，对于A ，事件A 包含的样本点有18种，故()181()()362n A P An ===Ω，故A 正确；对于B ，事件B 包含的样本点有18种，故()181()()362n B P Bn ===Ω，事件AB 包含的样本点有9种，故()91()()364n AB P ABn ===Ω，因为()()()P A P B P AB =，所以事件,A B 相互独立，故B 正确；对于C ，事件C 包含的样本点有12种，故()121()()363n C P Cn ===Ω，故C 正确；对于D ，事件C 与事件AB 有重复的样本点(1,5),(2,4),(3,6)，故事件AB 与事件C 不对立，故D 错误. 故选：ABC.11. 已知正方体 1111ABCD A B C D − 的棱长为2E ，是正方形11ABB A 的中心， F 是棱 CD (包含顶点) 上的动点，则以下结论正确的是（）A. EFB. 不存在点F ，使EF 与 11A D 所成角等于30C. 二面角E AF B −−正切值的取值范围为1D. 当F 为CD 中点时，三棱锥F ABE −的外接球表面积为25π4【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，直接找出最近距离为F 为CD 中点，计算即可；对于B ，找出最大，最小的临界状态值即可解决；对于C ，找出二面角的平面角，再用锐角三角函数即可；对于D ，设出球心和半径，结合图形，构造方程，求出半径即可．【详解】对于A ， EF 最小值时，F 为CD 中点.作个草图，取AB 中点M ，连接FM ．此时EF A 正确．设EF 与11A D 所成的角为θ，当F 与C 重合时，()maxtan BE BC θ==，当F CD 中点时，()min1tan 2EM FM θ==．则存在点 F，使tan θ=. 即存在点F ，使EF 与 11A D 所成角等于 30 .故B 错误．如图，过AB 中点M 作MH AF ⊥于H ，则EHM ∠为二面角E AF B −−的平面角，因此1tan EM EHM HM HM∠==∈ ，故C 正确．在设三棱锥F ABE −的外接球的球心为O ，显然FM ⊥平面ABE ，ABE 为等腰直角三角形，外心为M ，则O 可以由M 沿着MF 方向移动即可,O 一定在MF 上．F 为CD 中点时，半径OFOA R ==，于是2OM R =−．在OMA 中有()22221R R −+=，解得54R =，于是球O 表面积为2254ππ4S R =.故D 正确．故选：ACD.【点睛】知识点点睛：本题考查了正方体性质，点线面的位置关系辨别，空间两点间的距离最值，异面直线夹角，二面角的问题，三棱锥的外接球问题．同时考查空间想象、逻辑推理、数形结合、转化计算能力.综合性较强，属于难题.三、填空题: 本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12. 已知 1sin ,3α=则cos 2πα+=___________【答案】13−【解析】【分析】由诱导公式求解即可. 【详解】由诱导公式可得：1cos sin 23παα+=−=−，故答案为：13−.13. 若 1,22x ∀∈，不等式 210x ax −+≤恒成立，则a 的取值范围为______________.【答案】5[,)2+∞ 【解析】【分析】分离参数得1a x x ≥+，令1()f x x x =+，求出函数在1,22上的最大值即可求解. 【详解】1,22x ∀∈，不等式 210x ax −+≤恒成立，则21x ax +≤，即1,22x∀∈，1a x x ≥+恒成立，令1()f x x x =+，由图知()f x 在1,12上单调递减，在[]1,2上单调递增，又115()(2)2222f f ==+=，故max 5()2f x =，则52a ≥. 故答案为： 5[,)2+∞.14. 已知圆O 为ABC的外接圆，π,3A BC==，则()AO AB AC ⋅+的最大值为______________.【答案】3 【解析】【分析】先利用正弦定理求出外接圆半径，取BC 的中点D ，连接OD ，则12OD =，变形得到()22AO AB AC AO OD ⋅+=⋅+ ，当,,A O D 三点共线时，AO OD ⋅取得最大值，求出答案.【详解】设圆O 的半径为R，则22sin BC RA ==，解得1R =，因为π,3A BC ==2π3BOC ∠=，取BC 的中点D ，连接OD ，则3BOD COD π∠=∠=，故12OD =， ()()()2AO AB AC AO OB OA OC OA AO OB OC OA ⋅+=⋅−+−=⋅+−()2222AO OB OC OA AO OD =⋅++=⋅+，当,,A O D 三点共线时，AO OD ⋅ 取得最大值，最大值为11122×=，故()22AO AB AC AO OD ⋅+=⋅+的最大值为123+=.故答案为：3四、解答题: 本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，sin cos 0c A C =. （1）求C ;（2）若4a ABC = ，，求b 和c . 【答案】（1）2π3（2）1b =，c =【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边换角得到tan C =，则2π3C =；（2）根据三角形面积公式即可得b 值，再利用余弦定理即可得到c 值.【小问1详解】由正弦定理：sin sin sin a b cA B C==，那么sin sin cos 0C A A C =，由于sin 0A >，则sin 0C C +=，则tan C =(0,π)C ∈，故2π3C =. 【小问2详解】由于11sin 422ABC S ab C b ==×= ，则1b =，根据余弦定理：2222212cos 41241212c a b ab C=+−=+−×××−=，那么c =.16. 已知函数()()πsin 02f x x ωϕωϕ=+><，，函数()f x 的最小正周期为π，且π06f=（1）求函数()f x 的解析式:（2）求使()210f x −≥成立的x 的取值范围.【答案】（1）()πsin 23f x x=−（2）π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈【解析】【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性与零点计算即可得；（2）借助正弦函数图象性质计算即可得.【小问1详解】由2ππT ω==，0ω>，则2=ω，又π06f= ，即π2π,Z 6k k ϕ×+=∈，即ππ,Z 3k k ϕ=−+∈，又π2ϕ<，则π3ϕ=−，即()πsin 23f x x=− ；【小问2详解】若()210f x −≥，即π1sin 232x −≥ ，即有ππ5π2π22π,Z 366k x k k +≤−≤+∈，即π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈，故x 的取值范围为π7πZ 412ππ,k x k k +≤≤+∈.17. 如图， AB 是 O 直径， 2AB =，点 C 是 O 上的动点，PA ⊥ 平面 ABC ，过点 A 作AE PC ⊥，过点 E 作 EF PB ⊥，连接 AF .的（1）求证：BC AE ⊥ ；（2）求证：平面 AEF ⊥ 平面 PAB ；（3）当 C 为弧 AB 的中点时，直线 PA 与平面 PBC 所成角为 45 ，求四棱锥 A EFBC − 的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3【解析】【分析】（1）由线线垂直证明线面垂直，再证线线垂直即可；（2）由线线垂直到线面垂直，再证明面面垂直；（3）图中有线面垂直，可以利用两个三棱锥的差，来计算所求的四棱锥的体积即可.【小问1详解】由于AB 为圆O 的直径，所以BC AC ⊥，因PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，又因为,PA AC A ∩=PA AC ⊂，平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC ，又因为AE ⊂平面PAC ，所以BC AE ⊥;【小问2详解】由（1）得，BC AE ⊥，PC AE ⊥，且,PC BC C ∩=PC BC ⊂，平面PBC ，所以⊥AE 平面PBC ，又由于PB ⊂平面PBC ，那么AE PB ⊥，又因为EF PB ⊥，AE EF E ∩=，AE EF ⊂，平面AEF ，所以PB ⊥平面AEF ，又由于PB ⊂平面PAB ，那么平面PAB ⊥平面AEF ；【小问3详解】由（2）可知：⊥AE 平面PBC ，而直线PA 与平面PBC 所成角为45°，那么45APE °∠=，且90CAP AEP °∠=∠=，所以45PCA PAE CAE °∠=∠=∠=且AC BC ==那么1,PA AC AE PE EC PB ======在PAB 中，1122AF PB PA AB ⋅⋅=⋅⋅，得AF = 为所以PF EF ====那么1111332P AEF A PEF PEF V V AE S −−==⋅⋅=××= ，1132P ABC V −=，则A EFBC V −==18. 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.（1）由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第60百分位数:（2）为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在[)70,90内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[)70,80和[)80,90的概率:（3）现已知直方图中考核得分在[)70,80内的平均数为75，方差为6.25，在[)80,90内的平均数为85，方差为0.5，求得分在[)70,90内的平均数和方差.【答案】（1）0.030t =，85（2）35（3）得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8.【解析】【分析】（1）首先根据频率和为1求出0.03t =，再根据百分数公式即可得到答案；（2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可；（3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可.【小问1详解】由题意得:10(0.010.0150.0200.025)1t ×++++=，解得0.03t =，设第60百分位数为x ，则0.01100.015100.02100.03(80)0.6x ×+×+×+×−=，解得85x =，第60百分位数为85.【小问2详解】由题意知，抽出的5位同学中，得分在[70,80)的有85220×=人，设为A 、B ，在[80,90)的有125320×=人，设为a 、b 、c . 则样本空间为{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)},()10A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c n ΩΩ=. 设事件M =“两人分别来自[70,80)和[80,90)，则{(,),(,),(,),(,),(,),(,)},()6M A a A b A c B a B b B c n M =，因此()63()()105n M P M n ===Ω，所以两人得分分别来自[70,80)和[80,90)的概率为35. 【小问3详解】由题意知，落在区间[70,80)内的数据有40100.028××=个，落在区间[80,90)内的数据有40100.0312××=个.记在区间[70,80)的数据分别为128,,,x x x ，平均分为x ，方差为2x s ；在区间[80,90)的数据分别为为1212,,,y y y ，平均分为y ，方差为2y s ；这20个数据的平均数为z ，方差为2s . 由题意，2275,85, 6.25,0.5x yx y s s ====，且8121111,812i j i j x x y y ===∑∑，则8128751285812020x y z +×+×==. 根据方差的定义，()()()()812812222221111112020i j i j i j i j s x z y z x x x z y y y z ==== =−+−=−+−+−+− ∑∑∑∑ ()()()()88812121222221111111()2()()2()20i i j j i i i j j j x x x z x z x x y y y z x z y x ====== −+−+−−+−+−+−−∑∑∑∑∑∑由()()881212111180,120i i j j i i j y x x x x y y y y ===−=−=−=−=∑∑∑∑，可得()()8812122222211111()()20i j i i j j s x x x z y y y z ==== =−+−+−+−∑∑∑∑ 2222188()1212()20x y s x z s y z +−++−222223()()55x y s x z s y z =+−++− 22236.25(7581)0.5(8581)26.855+−++−= 故得分在[70,90)内的平均数为81，方差为26.8.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分利用方差定义，推导出分层抽样的方差计算公式即可. 19. 已知函数()y f x =为R 上的奇函数.当01x ≤≤时，()23f x ax x c =++(a c ，为常数)，()11f =. （1）当1122x −≤≤时，求函数()2f x y =的值域: （2）若函数()y f x =的图像关于点()1,1中心对称.①设函数()()g x f x x x =−∈R ，，求证:函数()g x 为周期函数; ②若()94188f x −≤≤对任意[],x m n ∈恒成立，求n m −的最大值. 【答案】（1）1,22（2【解析】【分析】（1）代入(0)0f =，(1)1f =，得到2()23,01f x x x x =−+≤≤，再二次性质求出当1122x −≤≤时，()[1,1]f x ∈−，最后根据复合函数单调性得1,22；（2）①运算得(2)()2f x f x +−=，则可证明(2)()g x g x +=；②求出11(),,[21,21],22f x x x k k k −∈−∈−+∈Z ，然后转化为求n 最大，m 最小即可. 【小问1详解】由于函数()f x 为R 上奇函数，那么(0)0f =，且(1)1f =，则(0)0(1)31f c f a c == =++= ，则02c a = =− ，则2()23,01f x x x x =−+≤≤；那么239()248f x x =−−+，由10,2x ∈ ，则()[0,1]f x ∈，而函数()f x 为奇函数，那么1,02x ∈−时，()[1,0)f x ∈−，综上所述:当1122x −≤≤时，()[1,1]f x ∈−，由复合函数单调性可知:则()12,22f x y =∈. 【小问2详解】 ①由于()()f x f x −=−，且()(2)2f x f x −=−++，由于()(2)2f x f x −=−++，则(2)()2f x f x +−=，那么(2)(2)(2)()2(2)()()g x f x x f x x f x x g x +=+−+=+−+=−=，则()g x 为R 上周期为2的函数.②由（1）可知，当[0,1]x ∈时，22111()2220,222g x x x x =−+=−−+∈ ，[1,0)x ∈−时，1(),02g x ∈−，那么[21,2),x k k k ∈−∈Z 时，1(),02f x x −∈−； [2,21],x k k k ∈+∈Z 时，1()0,2f x x −∈；那么11(),,[21,21],22f x x x k k k −∈−∈−+∈Z ；若n m −要最大，仅需n 最大，m 最小，从而考虑如下临界：由于941()88f x −≤≤，令1928x +=−，则138x =−，此时(2,1)x ∈−−； 14145,,(5,6)288x x x −==∈；当(2,1)x ∈−−时，2(0,1)x +∈，2(2)(2)(2)2(2)3(2)(2)()()g x f x x x x x g x f x x +=+−+=−+++−+==−，那么2()254,(2,1)f x x x x =−−−∈−−，令29254,8x x x −−−=−x =；同理，(5,6)x ∈时，6(1,0)x −∈−，2(6)(6)(6)2(6)3(6)(6)()()g x f x x x x x g x f x x −−−−−+−−−−，那么2()22160,(5,6)f x x x x =−+∈，令24122160,8x x x −+==x =舍去）；从而n m ≤≥那么n m −=. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问的关键是求出11(),,[21,21],22f x x x k k k −∈−∈−+∈Z ，再求出,m n 的临界值即可.。

浙江省湖州市2023-2024学年高一下学期6月期末调研测试数学试题含答案

湖州市2023学年第二学期期末调研测试卷高一数学（答案在最后）注意事项：1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答．2．本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知a ，b是两个单位向量，则下列结论正确的是（）A.a b=± B.//a b C.0a b ⋅= D.22a b =【答案】D 【解析】【分析】利用单位向量的定义求解即可.【详解】单位向量的模长相等，则22a b =，故D 正确；且两者并不一定是相同或相反向量，故A 错误；两者不一定共线，故B 错误；两者不一定垂直，故C 错误.故选：D.2.已知复数z 满足(1i)3i z -=+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由共轭复数的定义求出z ，即可得对应点的坐标得答案．【详解】∵(1i)3i z -=+，∴()()()()3+i 1i 3i 24i12i 1i 1+i 1i 2z +++====+--，则12i z =-∴复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，位于第四象限．故选：D ．3.已知圆锥的母线长为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（）A.B.2C.D.2【答案】A 【解析】【分析】利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．【详解】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则π2πl r =，所以2l r =，所以2lr ==.故选：A.4.设α，β是两个平面，,m n 是两条直线，则下列命题为真命题的是（）A.若αβ⊥，//m α，//n β，则m n ⊥B.若m α⊂，n β⊂，//m n ，则//αβC.若m αβ= ，//n α，//n β，则//m nD.若m α⊥，n β⊥，//m n ，则αβ⊥【答案】C 【解析】【分析】根据题意，对ABD 找到反例即可，对C 由线面平行的性质分析即可判断正确.【详解】根据题意，依次分析选项：对A ，若αβ⊥，//m α，//n β，直线,m n 可能平行、相交或异面，故A 错误；对B ，若m α⊂，n β⊂，//m n ，平面,αβ可能相交或平行，故B 错误；对C ：如图，若m αβ= ，//n α，//n β，过直线n 作两个平面,γδ，,t l δαγβ== ，根据线面平行的性质可得可得//,//n t n l ，则//t l ，因为l β⊂，t β⊄，则//t β，又因为t α⊂，m αβ= ，则//t m ，则//m n ，故C 正确；对D ，若m α⊥，n β⊥，//m n ，则//αβ，故D 错误.故选：C .5.如图所示的频率分布直方图呈现右拖尾形态，则根据此图作出以下判断，正确的是（）A.众数<中位数<平均数B.众数<平均数<中位数C.中位数<平均数<众数D.中位数<众数<平均数【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，利用众数、中位数的意义，结合频率分布直方图呈现右拖尾形态时，中位数与平均数的关系判断即可.【详解】由频率分布直方图知，数据组的众数为左起第2个小矩形下底边中点值，显然在过该中点垂直于横轴的直线及左侧的矩形面积和小于0.5，则众数<中位数，由频率分布直方图呈现右拖尾形态，得中位数<平均数，所以众数<中位数<平均数.故选：A6.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11C D 的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值是（）A.0B.12C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据题意分析可得异面直线DE 与AC 所成角为DEF ∠（或DEF ∠的补角），在DEF 中利用余弦定理运算求解.【详解】取11A B 的中点F ，连接11,,A C EF DF ，因为1AA //1CC ，且11AA CC =，则11AA C C 为平行四边形，可得AC //11A C ，又因为,E F 分别为1111,C D A D 的中点，则EF //11A C ，所以EF //AC ，故异面直线DE 与AC 所成角为DEF ∠（或DEF ∠的补角），设正方体的棱长为2，则DE DF EF ===，在DEF中，由余弦定理222cos 210DE EF DF DEF DE DF +-∠===⋅，所以异面直线DE 与AC所成角的余弦值是10.故选：D.7.湖州东吴国际双子大厦是湖州目前已建成的第一高楼，也被称为浙北第一高楼，是湖州的一个壮观地标．如图，为测量双子大厦的高度CD ，某人在大厦的正东方向找到了另一建筑物，其高AB 约192m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 共线）处测得建筑物顶A 、大厦顶C 的仰角分别为45°和60°，在建筑物顶A 处测得大厦顶C 的仰角为15°，则可估算出双子大厦的高度CD 约为（）A.284mB.286mC.288mD.290m【答案】C 【解析】【分析】先求出AM ，然后在AMC 中用正弦定理求出MC ，最后求出CD .【详解】因为AMB是等腰直角三角形，所以)m AM ==，在AMC 中，180456075AMC ∠=︒-︒-︒=︒，154560MAC ∠=︒+︒=︒，所以180756045MCA ∠=︒-︒-︒=︒，由正弦定理可知：)sin m sin sin sin 22CM AM AM MACCM MAC MCA MCA⋅∠=⇒==∠∠∠，在CDM V中，()sin 60288m 2CD CM =︒==.故选：C8.已知ABC 是锐角三角形，若22sin sin sin sin A B B C -=，则ab的取值范围是（）A.(0,2)B.C.2)D.2)【答案】B 【解析】【分析】先利用正弦定理与余弦定理的边角变换，结合三角函数的恒等变换求得2A B =，再求得角B 的范围，结合正弦定理边角变换与倍角公式即可得解.【详解】已知22sin sin sin sin A B B C -=，由正弦定理得22a b bc -=，得22a b bc =+，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，则2222cos b bc b c bc A +=+-，即2cos b c b A =-，由正弦定理得sin sin 2sin cos B C B A =-，因为()πC A B =-+，则sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+所以sin sin cos cos sin B A B A B =-，即sin sin()B A B =-.因为ABC 为锐角三角形，ππ0,022A B <<<<，则ππ22A B -<-<，又sin y x =在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，所以B A B =-，则2A B =，因为ABC 为锐角三角形，π02π022π0π32B A B C B ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，解得π6π4B <<，所以sin sin 22sin cos 2cos sin sin sin a A B B BB b B B B====∈.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.某学校为了丰富同学们的课外活动，为同学们举办了四种科普活动：科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画．记事件A ：只参加科技游艺活动；事件B ：至少参加两种科普活动；事件C ：只参加一种科普活动；事件D ：一种科普活动都不参加；事件E ：至多参加一种科普活动，则下列说法正确的是（）A.A 与D 是互斥事件B.B 与E 是对立事件C.E C D =⋃D.A C E=⋂【答案】ABC 【解析】【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断AB 的真假，根据事件的交、并的概念判断CD 的真假.【详解】对A ：互斥事件表示两事件的交集为空集.事件A ：只参加科技游艺活动，与事件D ：一种科普活动都不参加，二者不可能同时发生，交集为空集，故A 正确；对B ：对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生.事件B 和事件E 满足两个特点，故B 正确；对C ：C D ⋃表示：至多参加一种科普活动，即为事件E ，故C 正确；对D ：C E 表示：只参加一种科普活动，但不一定是科技游艺活动，故D 错误.故选：ABC10.若复数z ，w 均不为0，则下列结论正确的是（）A.||||||z w z w +=+B.||||z w z w -=-C.||||||z w z w ⋅=⋅D.z z w w=【答案】BCD 【解析】【分析】根据复数的四则运算，结合模长公式即可根据选项逐一求解.【详解】不妨设()()i ,,i ,,z a b a b w c d c d =+∈=+∈R R 且22220,0a b c d +≠+≠．对于A ，()i z w a c b d +=+++，故z w +=，而||||z w +=，故A 错误，对于B ，()i z w a c b d -=---，()i z w a c b d -=---,则z w -=,z w -=故||||z w z w -=-，B 正确，对于C,()()()i i izw a b c d ac bd ad bc =++=-++==，()()i i z w a b c d =++＝，故||||||z w z w ⋅=⋅，因此C 正确．对于D，i ii ia b z a b w c d c d ++===++，i iz a b wc d -==-z zw w =，D 正确．故选：BCD11.如图，一张矩形白纸ABCD ，4AB =，AD =，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，BE 交AC 于点M ，DF 交AC 于点N ．现分别将ABE ，CDF 沿BE ，DF 折起，且点A ，C 在平面BFDE 的同侧，则下列命题正确的是（）A.当平面//ABE 平面CDF 时，//AC 平面BFDEB.当A ，C 重合于点P 时，PD⊥平面PFMC.当A ，C 重合于点P 时，三棱锥P DEF -的外接球的表面积为24πD.当A ，C 重合于点P 时，四棱锥P BFDE -的体积为3【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，利用面面平行的判定和性质定理可以判断；对于B ，利用反证法可以说明B 错误；对于C ，根据题意判断出外接球的球心为DF 的中点，可求出外接球半径，进而求出外接球的表面积；对于D ，利用平面PMN ⊥平面BEDF ，可求得四棱锥P BFDE -的高，进而计算出体积.【详解】由题意，将,ABE CDF △△沿,BE DF 折起，且点,A C 在平面BFDE ，此时A 、M 、N 、C 四点共面，平面ABE ⋂平面AMNC AM =，平面CDF ⋂平面AMNC CN =，当平面//ABE 平面CDF ，//AM CN ，由题意得：AM CN =，所以四边形AMNC 是平行四边形，所以//AC MN ，又因为AC ⊄平面BEDF ，MN ⊂平面BEDF ，所以//AC 平面BFDE ，故A正确；因为tan tan 2CAD ABE ∠=∠=，所以CAD ABE ∠=∠，则可得90AME ∠=︒，即BE AC ⊥，同理可得DF AC ⊥，当,A C 重合于点P 时，如上图，在PME △中，cos cosPM PB MPE PBE PE BE ∠==∠==，又因为PE =，所以433PM =，因为2MN AC AM CN =--=-=MN CN =，所以MDC △为等腰三角形，即4MD CD ==，4PD =，222PD PM MD +≠，故PD 和PM 不垂直，则PD 不垂直于平面PFM ，故B 错误；在三棱锥P DEF -中，DEF ，DPF 均为直角三角形，所以DF 为外接球直径，则外接球半径2DFR ==，则三棱锥P DEF -外接球表面积为24π24πR =，故C 正确.,,DF PN DF MN PN MN N ⊥⊥= ，,PN MN ⊂平面PMN ，所以DF ⊥平面PMN ，又因为DF ⊂平面BEDF ，所以平面BEDF ⊥平面PMN ，平面BEDF 平面PMN MN =，过点P 作PG MN ⊥，因为PMN 的等边三角形，所以可得2PG =，由面面垂直性质定理可知PG ⊥平面BEDF ，即PG 为四棱锥P BEDF -的高，所以1116222333P BEDF BEDF V S -=⨯⨯=⨯⨯=，故D 错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题考查了面面平行的判定和性质定理，线面垂直的判定理，几何体的外接球及四棱锥的体积，解题的关键是弄清几何题的结构，利用相关定理去证明判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知事件A 和事件B 相互独立，且1()2P A =，3()4P B =，则()P AB =__________．【答案】18##0.125【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式即可求解.【详解】∵事件A 与事件B 相互独立，则A 与事件B 也相互独立，且1()2P A =，3()4P B =，∴131()()()1248P AB P A P B ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭故答案为：18．13.已知向量(4,3)a = ，(2,4)b = ，则b 在a上的投影向量的坐标是__________．【答案】1612,55⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】直接根据投影向量的坐标公式计算即可.【详解】b 在a 方向上的投影向量为()()4,320416124,3,55555a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⋅== ⎪⎝⎭.故答案为：1612,55⎛⎫⎪⎝⎭14.已知四面体A BCD -中，棱BC ，AD 所在直线所成的角为60︒，且4BC =，3AD =，120ACD ∠=︒，则四面体A BCD -体积的最大值是__________．【答案】32【解析】【分析】作出辅助线，找到60EDA ∠=︒，求出EDA S = ，由正弦定理得到点CACD 的外接圆的劣弧AD 上，当平面ACD ⊥平面AED 时，点C 到平面AED的距离最大，且最大距离为2，从而求出三棱锥C AED -的体积最大值为32，由C AED A ECD A BCD V V V ---==得到答案.【详解】在平面BCD 内，分别过,B D 作,CD BC 的平行线交于点E ，连接AE ，则四边形BCDE 为平行四边形，则4ED BC ==，60EDA ∠=︒，则11sin 34sin 6022EDA S AD ED EDA =⋅∠=⨯⨯︒= 在ACD 中，3AD =，120ACD ∠=︒，由正弦定理得2sin 32AD RACD ===∠，其中R 为ACD的外接圆半径，解得R =则点CACD 的外接圆的劣弧AD 上，作CF ⊥AD ，垂足为F ，如图1，则当F 为AD 的中点，即AC CD =时，CF 最大，此时1322AF DF AD ===，如图2所示，此时333tan 30232CF AF =︒=⨯=，当平面ACD ⊥平面AED 时，点C 到平面AED 的距离最大，且最大距离为2，连接CE ，此时三棱锥C AED -的体积最大，最大为13322⨯⨯=，而C AED A ECD A BCD V V V ---==，故四面体A BCD -的最大值为32故答案为：32【点睛】关键点点睛，将四面体A BCD -补形为四棱锥，从而结合异面直线夹角求出三角形面积，再结合点到平面的距离最大值求出体积最大值四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.若某袋中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球、3个黄球从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件A =“第一次摸到红球”，事件B =“第二次摸到红球”．（1）求()P A 和()P B 的值；（2）求两次摸到的不都是红球的概率．【答案】（1）2()5P A =，2()5P B =（2）910【解析】【分析】（1）利用首先计算样本容量，再计算事件A 和B 包含的样本点，即可求解；（2）利用对立事件概率公式，即可求解.【小问1详解】将两个红球编号为1，2，三个黄球编号为3，4，5．第一次摸球时有5种等可能的结果，对应第一次摸球的每个可能结果，第二次摸球时都有4种等可能的结果．将两次摸球的结果配对，组成20种等可能的结果，第一次摸到红球的可能结果有8种，即()()()()()()()(){}1,2,1,3,1,4,1,5,2,1,2,3,2,4,2,5A =，所以82()205P A ==．第二次摸到红球的可能结果也有8种，即()()()()()()()(){}2,1,3,1,4,1,5,1,1,2,3,2,4,2,5,2B =，所以82()205P B ==．【小问2详解】事件AB =“两次摸到都是红球”包含2个可能结果，即()(){}1,2,2,1AB =，则两次摸到都是红球的概率21()2010P AB ==，故两次摸到的不都是红球的概率()()19111010P A B P AB +=-=-=．16.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为(),,,2cos cos a b c b c A a C -=．（1）求A ；（2）若ABC BC 边上的高为1，求ABC 的周长．【答案】（1）π3（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理和三角恒等变换得1cos 2A =，则得到A 的大小；（2）利用三角形面积公式得4bc =，再结合余弦定理得b c +的值，则得到其周长.【小问1详解】因为(2)cos cos b c A a C -=，由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=，即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+，即2sin cos sin B A B =.因为在ABC 中，sin 0B ≠，所以1cos 2A =.又因为0πA <<，所以π3A =.【小问2详解】因为ABC 的面积为所以112a ⨯=，得a =.由1sin 2bc A =122bc ⨯=所以4bc =.由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，即2212b c bc =+-，化简得2()312b c bc +=+，所以2()24b c +=，即b c +=，所以ABC 的周长为a b c ++=.17.某学校组织“防电信诈骗知识”测试，随机调查400名学生，将他们的测试成绩（满分100分）的统计结果按[)50,60，[)60,70，…，[]90,100依次分成第一组至第五组，得到如图所示的频率分布直方图．（1）求图中x 的值；（2）估计参与这次测试学生的成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第60百分位数；（3）现从以上第三组、第四组和第五组中参与测试的学生用分层随机抽样的方法选取15人，担任学校“防电信诈骗知识”的宣传员．若这15名学校宣传员中来自第三组学生的测试成绩的平均数和方差分别为75和5，来自第四组学生的测试成绩的平均数和方差分别为85和10，来自第五组学生的测试成绩的平均数和方差分别为93和5．2，据此估计这次第三组、第四组和第五组所有参与测试学生的成绩的方差．【答案】（1）0.01x =（2）平均值为：79.5，第60百分位数为85（3）82615【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图性质求值；（2）根据频率分布直方图平均数公式和百分位数公式计算；（3）应用分层方差公式计算求解.【小问1详解】由题意得(0.0150.020.030.025)101x ++++⨯=，所以0.01x =；【小问2详解】参与测试学生的成绩平均值：10(550.01650.015750.02850.03950.025)79.5u =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．第60百分位数为0.60.458010850.750.45-+⨯=-；【小问3详解】设第三组，第四组，第五组测试学生成绩的平均数和方差分别为3x ，4x ，5x ，23s ，24s ，25s ，且三组的频率之比为4：6：5，则这三组的平均数7548569358515x ⨯+⨯+⨯==，所以第三组、第四组和第五组所有参与测试的学生的测试成绩的方差()()()2222222334455465151515s s x x s x x s x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2224655(7585)10(8585) 5.2(9385)151515⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-++-++-⎣⎦⎣⎦⎣⎦82615=18.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，且60ABC ∠=︒，1111AA BB CC ===，侧棱1BB 与底面ABC 所成角的正弦值为3．若球O 与三棱台111ABC A B C -内切（即球与棱台各面均相切）．（1）求证：AC ⊥平面11B D DB ；（2）求二面角1B BC A --的正切值；（3）求四棱台1111ABCD A B C D -的体积和球O 的表面积．【答案】（1）证明见解析（2）（3）四棱台1111ABCD A B C D -的体积为6，球O 的表面积为2π3．【解析】【分析】（1）只需证明AC BD ⊥和AC EF ⊥即可；（2）做出二面角的平面角再做计算.（3）将四棱台1111ABCD A B C D -还原为四棱锥P ABCD -，把三棱台111ABC A B C -的内切球转化为三棱锥-P ABC 的内切球问题.【小问1详解】设11A C 与11B D 、AC 与BD 分别交点E ，F ，连接EF ，因为底面ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥．在等腰梯形11A C CA 中，因为E ，F 为底边中点，所以AC EF ⊥，又EF 与BD 相交，,BD EF ⊂平面11B D DB ，所以AC ⊥平面11B D DB ．【小问2详解】由（1）可知平面ABCD ⊥平面11B D DB ，又平面ABCD ⋂平面11B D DB BD =，过点1B 作1B H BD ⊥于H ，则1B H ⊥平面ABCD ，因为BC ⊂平面ABCD ，所以1B H BC ⊥，再作HG BC ⊥于G ，又因为1B H HG H = ，1,B H HG ⊂平面1B HG ，所以BC ⊥平面1B HG ，因为1B G ⊂平面1B HG ，所以1B G BC ⊥，则1B GH ∠是二面角1B BC A --的平面角．因为1B H ⊥平面ABCD ，故1B BH ∠是侧棱1BB 与底面ABC所成角，所以1sin 3B BH ∠=．在1Rt B BH △，111sin 3B H BB B BH =∠=，11cos 3BH BB B BH =∠=，在Rt BGH △，sin 306GH BH =︒=，在1Rt B GH，11tan 6B H B GH GH ∠==．因此二面角1B BC A --的正切值为【小问3详解】将四棱台1111ABCD A B C D -还原为四棱锥P ABCD -，由题意可知三棱台111ABC A B C -为正三棱台，所以三棱锥-P ABC 为正三棱锥，因此三棱台111ABC A B C -和三棱锥-P ABC 的内切球为同一个球，设1O ，2O 是111A B C △和ABC 的中心，由（2）易知在160B BG ︒∠=，所以三棱锥-P ABC 为正四面体，所以2122r PO =，因此平面1111D C B A 是四棱锥P ABCD -的中截面，则2AB =，111A B =，故四棱台1111ABCD A B C D -的体积121133326V h S S ⎡⎡⎤⎢=⨯⨯=⨯⨯+=⎣⎦⎢⎥⎣⎦．球O的表面积为2224π4ππ63S r ⎛=== ⎝⎭．19.已知函数1()()f x x x a x=---，R a ∈．（1）写出函数()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 有两个不同零点，求实数a 的取值范围；（3）已知点()1,2A x ，()2,2B x 是函数()f x 图象上的两个动点，且满足210x x >>，求123x x a -+的取值范围．【答案】（1）()f x 的单调递增区间是(1,0),(1,)-+∞，单调递减区间是(1)-∞-，(0,1)（2）1a =-或01a <<（3）(,5)-∞【解析】【分析】（1）去掉绝对值化简后结合函数单调性分析即可.（2）由小问（1）的单调性，画出函数的草图，结合图象分析即可.（3）由题意得2(1)12a f a >⎧⎨=-<⎩，得出a 的范围，把,A B 两点坐标代入函数得12,x x 与a 的关系式，借助关系式用1x 来表示123x x a -+，即121111111323212x x a x x x x x ⎛⎫-+=--++ ⎪⎝⎭-，构造函数11111111()23212h x x x x x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭-，分析函数单调性可得值域，即123x x a -+的取值范围.【小问1详解】()()[)[)()()1,1,01,112,,10,1a x x f x x x a x x a x x ⎧-+∈-⋃+∞⎪⎪=---=⎨⎪-++∈-∞-⋃⎪⎩，则()f x 的单调递增区间是(1,0),(1,)-+∞，单调递减区间是(,1)-∞-，(0,1)．【小问2详解】函数()f x 在(,1)-∞-单调递减，在(1,0)-单调递增，故()f x 在(,0)-∞的最小值为(1)1f a -=+，同理，()f x 在(0,)+∞的最小值为(1)1f a =-，故结合图象可得，函数()f x 有两个零点时需满足(1)120f a a -=+=⎧⎨<⎩解得：1a =-．或(1)10(1)100f a f a a -=+>⎧⎪=-<⎨⎪>⎩解得：01a <<．综上所述：1a =-或01a <<．【小问3详解】由题意得：2(1)12a f a >⎧⎨=-<⎩，则23a <<．且()()1112212212f x x a x f x a x ⎧=-++=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩，则11212212a x x x a ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，因为2a >，101x <<，所以21111121220x a x x x --=-=>，故21112x <<．所以1121111121111111111132235223212212x x x a x x x x x x a x x x x x ⎛⎫-+=-++=-+-=--++ ⎪--⎝⎭-．又11122(0,1)x a x -=-∈，故()1111111212g x x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭-单调递增，所以()1121111111323212h x a x x x x x x x ⎛⎫=+-=--++ ⎪⎝⎭-单调递增，故()1(1)5h x h <=．因此123x x a -+的取值范围为(,5)-∞．【点睛】方法点睛：要求123x x a -+的范围，未知数较多，遇到未知数多时需要通过减少未知数的个数来降低解决问题的难度；判断函数单调性的常用方法：①结合基本初等函数的图象或结合图象变换分析单调性；②复合函数的单调性；③多个函数加减的单调性：+增增=增，+减减=减，增-减=增，减-增=减；。

吉林省吉林市普通高中2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题

吉林省吉林市普通高中2023-2024学年高一下学期期末调研数学试题一、单选题1．已知样本数据：6，5，7，8，9，6，则这组样本数据的中位数为（） A ．6B ．6.5C ．7D ．7.5 2．设复数11i z i -=+，则||z =（）A ．0B ．1CD ．23．若m ，n 是两条直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（）A ．若m n ⊥，m α⊂，则n α⊥B ．若//m α，n ⊂α，则//m nC ．若m α⊥，//m n ，则n α⊥D ．若//m α，//n α，则//m n4．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =，2b =，120A =︒，则c =（）A ．2B ．3C ．4D ．2或4 5．已知圆锥的侧面展开图是半径为6，圆心角为2π3的扇形，则该圆锥的表面积为（）A ．12πB ．16πC ．D ．28π 6．在ABC V 中，2BC CD =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （）A ．1122AB AC +u u u r u u u r B ．1322AB AC -u u u r u u u r C ．1322AB AC -+u u u r u u u r D ．1322AB AC +uu u r uuu r 7．中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台1111ABCD A B C D -，2AB =，114A B =，侧面面积为）A B ．C D ．8．已知锐角ABC V 是单位圆的内接三角形，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222sin sin sin 4sin cos 2sin sin cos A C B A B A B C +-=-，则bc a的取值范围是（）A ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．⎝⎭C ．D ．⎝二、多选题9．已知(3,1)a =-r ，(1,2)b =-r ，(1,)c λ=r ，则（）A ．10a =rB ．若//a c r r ，则13λ=-C ．若b c ⊥r r ，则2λ=-D ．b r 在a r 上的投影向量的坐标为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭10．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚正面朝上”，事件B =“第二枚正面朝上”，事件C =“两枚硬币朝上的面相同”，事件D =“两枚硬币朝上的面不同”，则（）A ．1()2P A =B ．B 与C 互斥C ．C 与D 互为对立D ．A 与C 相互独立 11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱BC ，CD 的中点，则（）A ．三棱锥1A ACD -的外接球的表面积为12πB ．三棱锥1A ACD -的外接球的体积为C ．点C 到平面1C EF 的距离为13D ．已知点P 是底面ABCD （不含边界）内一动点，且1//D P 平面11A EC ，则线段1D P 的长度的取值范围是⎣三、填空题12．已知2i +是关于x 的方程250x ax ++=的根，则实数=a ．13．在ABC V 中，6AB =，2AC CB ⋅=u u u r u u u r ，D 为AB 中点，则CD =.14．我国古代数学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AB AA ==，E 是1A D 上一点，EF AD ⊥于点F ，设EF d =，02d <<，则点E 绕1CC 旋转一周所得的圆的面积为（用d表示）；将空间四边形11DAC C 绕1CC 旋转一周所得几何体的体积为.四、解答题15．某高校强基计划考试分“笔试”和“面试”两部分，每部分考试成绩记“合格”或“不合格”两部分考试成绩均“合格”者则考试“通过”，并给予录取.现甲、乙两人都参加此高校的强基计划考试，甲、乙在笔试中成绩“合格”的概率分别为12，13，在面试中成绩“合格”的概率分别为23，34，且每人在笔试和面试成绩是否“合格”是相互独立的. (1)甲、乙两人谁被录取的可能性大，并说明理由；(2)求甲、乙两人中至少有一人被录取的概率.16．如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选取与塔底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ．现测得60BCD ∠=︒，75BDC ∠=︒，60m CD =，并在点C 处测得塔顶A 的仰角30ACB ∠=︒.(1)求B 与D 两点间的距离；(2)求塔高AB .17．随着全民健身意识增强，马拉松运动逐渐成为深受群众喜爱的体育健身项目之一.吉林市自2016年以来，现已成功举办五届马拉松比赛，“吉马”也因此成为了东北地区乃至全国颇具影响力的品牌赛事.2023年“吉马”被中国田径协会评为“城市形象媒体传播赛事典型案例”.时隔一年，吉林市委、市政府再次启动这一国际化赛事，将挑战自我、超越极限、坚韧不拔、永不放弃的马拉松精神与我市激流勇进的城市精神相结合，并将其发扬光大.为此，某校举办了“吉马”知识竞赛，从所有竞赛成绩中抽取一个容量为100的样本，并按竞赛成绩（单位：分）分成六组：[)40,50，[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如下图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值，并求样本中竞赛成绩的第80百分位数；(2)现从样本中竞赛成绩在[)60,80内用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人，再从这6人中抽取2人座谈，求至少有一人竞赛成绩在[)70,80内的概率；(3)已知样本中竞赛成绩在[)80,90内的平均数182x =，方差212s =，样本中竞赛成绩在[]90,100内的平均数294x =，方差225s =，并据此估计所有答卷中竞赛成绩在[]80,100内的总体方差.参考公式：总体分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：1n ，1x ，21s ；2n ，2x ，22s .记总的样本平均数为ω，样本方差为2s ，{}22222111222121()()s n s x n s x n n ωω⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦+. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥BC ，//BC AD ，2BC AD =，且M 是PB 的中点.(1)求证：//AM 平面PCD ；(2)若平面PBC ⊥平面ABCD ，且4PC BC ==，2PB AB ==.（ⅰ）求证：CM ⊥平面PAB ；（ⅱ）求直线CD 与平面PAB 所成的角的正弦值.19．法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，sin cos A a B c +=，以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D ，E ，F .(1)求角A ；(2)若3a =，且DEF V 的周长为9，求AD AB AF AC ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ；(3)若DEF VABC V 的角平分线AM 的取值范围.。

2020年高一数学下学期调研考试试题

高一数学下学期调研考试试题一、填空题（本大题共12题每小题7分共84分）1、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n 152-=，则使n S 取最小值的n=______。

2、等差数列}{n a 中，1144=+a a ，则此数列的前17项的和=___________。

3、等差数列}{n a 的前n 项和n n S n 352+=，则通项=n a ______________。

4、△ABC 中060=A ，3=a ，则sin sin sin a b cA B C++++=______________。

5、△ABC 中，13,34,7===c b a ，则最小内角的大小是____________。

6、△ABC 中，A sin ∶B sin ∶C sin ＝2∶3∶4，则C cos =____________。

7、△ABC 中;;;AB a BC b CA c ===u u u r r u u u r r u u u r r 若a b b c c a ⋅=⋅=⋅r r r r r r 则△ABC 为_______三角形。

8、一等差数列}{n a 的前12项的和为354，前12项中，奇数项和与偶数项和之比为 32∶27，则公差d=__________。

9、等差数列}{n a 中，已知1008=S ，39216=S ，则=4S ____________。

10、一个物体从490m 的高空落下，如果该物体第1秒降落4.90m ，以后每秒比前1秒多降落9.80m ，经过_____________秒物体才能落到地面。

11、△ABC 中，B b A a cos cos =则△ABC 是________________________。

（判断形状）12、△ABC 中，下列判断不正确．．．的是________________。

（1）,30,14,70=∠==A b a 有1解；（2）,150,25,300=∠==A b a 有1解；（3）,45,9,60=∠==A b a 有2解；（4）,60,10,90=∠==B c b 无解。