1-5节复习
复习武术操1-5节doc
教学重点对各节动作的掌握
教学难点动作的规范程度
教学
过程
教学
内容
教师活动
时
间
学生活动
练习次数
准
备
部
分
一
课堂
常规
二
各关
节活
动
一、体育委员整队，报告人数。
二、师生相互问好。
三、老师宣布本课主要内容和任务。
1、热身跑
2、徒手操：
（1）肩部运动
班级人数第次课教案备课教师：闫小燕
教学内容
一、复习武术健身操《英雄少年》
备课时间：
上课时间：
教
学
目
标
认知目标：了解武术健身操英雄少年的构成，了解武术操在中学生中开展的意义，认识到武术健身的健身、健心作用。
技能目标：通过学习与练习，掌握侧展运动和拧转运动。提高学生的攻防意识和协调性，发展学生的柔韧素质和灵敏素质。
（2）扩胸运动
（3）体侧运动
（4）体转运动
（5）全身运动
（6）活动膝、踝、腕关节
5
10`
一、队列如图示
×××××××
×××××××
〇〇〇〇〇〇〇
〇〇〇〇〇〇〇
▲
要求：注意力集中，活动充分
1、要求：队伍整齐
步伐一致
2、组织：
按广播体操队形散开站立
要求：动作到位
整齐划一
基
本
部
分
一、
复习武术操《英雄少年》
4、学生练习
重点：动作幅度到位，重心移动平稳，步型移动准确
结
束
部
分
一
人教版一年级数学上册《加法》1-5的认识和加减法PPT教学课件-3篇 (10)
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lishi/
在线完成3.5加法的课后作业.
资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ 手抄报：/shouchaobao/
个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lishi/
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lishi/
2辆小汽车和2辆小汽车合到一起，是4辆小汽车。
深入探究
看图说一说算式表示的意思。
资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ 手抄报：/shouchaobao/
个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/
深入探究
一共有多少只松鼠？
资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ 手抄报：/shouchaobao/
个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/
地理课件：/kejian/dili/
历史课件：/kejian/lishi/
3+2=□5
从1开始数一数： 1、2、3、4、5 一共是5只。
1架蓝色纸飞机与2架红色纸飞 机合起来是3架纸飞机。
选自教材第24页做一做
变式训练
1.看图列加法算式。
2＋1 = 3
把左边2棵树与右边1 棵树加起来。
2.填空。
变式训练
2 +2=4
把篮子里面的2个苹果与外面的2个苹果合起来。
思维训练
看图，你能列出几道加法算式？
1 + 3＝4 2 + 1 ＝3 1 + 1＝2
1 +2=3
人教版一年级上册数学1-5的加法教案
1. 选择适合教学目标和学习者特点的教学方法：
针对一年级学生的认知特点，本节课主要采用讲授法、直观演示法、操作活动法、小组合作学习法等教学方法。
讲授法：教师通过讲解，让学生掌握1-5的数字和加法运算的基本概念和方法。
直观演示法：教师通过实物、图片等直观教具，让学生形象地理解加法运算。
答案：小刚有4个球，他扔掉了2个，还剩下4 - 2 = 2个球。
10. 例题10：小芳有3个冰淇淋，她吃掉了1个，还剩下多少个冰淇淋？
答案：小芳有3个冰淇淋，她吃掉了1个，还剩下3 - 1 = 2个冰淇淋。
九．课堂小结，当堂检测
课堂小结：
1. 回顾本节课学习的内容，强调1-5的数字和加法运算的重点和难点。让学生明确加法的概念，掌握1-5的加法运算。
激发兴趣：
提出问题或设置悬念，引发学生的好奇心和求知欲，引导学生进入1-5的数字和加法运算学习状态。
回顾旧知：
简要回顾上节课学习的数字知识，帮助学生建立知识之间的联系。
提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为1-5的数字和加法运算新课学习打下基础。
（三）新课呈现（预计用时：25分钟）
知识讲解：
清晰、准确地讲解1-5的数字和加法运算知识点，结合实例帮助学生理解。
突出重点，强调难点，通过对比、归纳等方法帮助学生加深记忆。
互动探究：
设计小组讨论环节，让学生围绕加法问题展开讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
鼓励学生提出自己的观点和疑问，引导学生深入思考，拓展思维。
技能训练：
设计实践活动或实验，让学生在实践中体验1-5的数字和加法运算知识的应用，提高实践能力。
在1-5的数字和加法运算新课呈现结束后，对知识点进行梳理和总结。
【人教版一年级数学上册第3单元 1～5的认识和加减法】教材分析教案
【人教版一年级数学上册第3单元 1～5的认识和加减法】教材分析教案一. 教材分析人教版一年级数学上册第3单元“1～5的认识和加减法”，主要让学生通过观察、操作、探究等活动，掌握1～5的数字认识、数数、写数、加减法运算等基本知识。
教材以学生熟悉的生活情境为背景，内容丰富，形式多样，富有童趣，旨在激发学生的学习兴趣，培养学生的数感、观察能力、动手操作能力和语言表达能力。
二. 学情分析一年级的学生刚刚开始接触数学，对于数字的认识和加减法运算还比较陌生。
他们在前期的学习过程中，已经初步掌握了数数、识数的基本能力，但对于1～5的数字认识、写数、加减法运算还需要进一步巩固。
此外，学生的个体差异较大，部分学生可能对数字的认识和运算能力较弱，需要教师个别辅导。
三. 教学目标1.让学生掌握1～5的数字认识、数数、写数、加减法运算等基本知识。
2.培养学生的数感、观察能力、动手操作能力和语言表达能力。
3.激发学生的学习兴趣，培养学生良好的学习习惯和合作精神。
四. 教学重难点1.教学重点：1～5的数字认识、数数、写数、加减法运算。
2.教学难点：加减法运算的计算方法和写数的技巧。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境，让学生在实际操作中感受、认识数字和加减法运算。
2.游戏教学法：设计有趣的数学游戏，激发学生的学习兴趣，巩固所学知识。
3.直观演示法：利用教具、实物等直观物品，帮助学生形象地理解数字和加减法运算。
4.分组合作法：引导学生分组讨论、合作完成任务，培养学生的团队精神和沟通能力。
六. 教学准备1.教具：数字卡片、实物、图片、PPT等。
2.学具：练习本、笔、小棒等。
3.教学场地：教室。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过出示数字卡片，引导学生复习1～5的数字认识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过出示实物、图片等，引导学生观察、思考，发现数字间的规律，自然引入1～5的数字认识和加减法运算。
3.操练（15分钟）教师设计有趣的数学游戏，让学生在游戏中练习1～5的数字认识和加减法运算。
七年级科学上学期第一章1-5节复习课
（1）写出部分结构名称
② _______；④
；⑤
；
⑥
；⑦
；⑧
；
（2）称量前要明确天平的
。
（3）使用天平时，取放砝码应
用
；潮湿物品或
化学药品
（填
“能”或“不能”）直接放
在托盘上。
6．如图，将铜丝在铅笔上紧密排绕17圈，总长度
为
厘米，铜丝铜丝的直径是
毫米。
7．用托盘天平测物体质量的实验中：
（1）被测物体应放在
C、36000毫米
D、0.45米
18、质量为3.5×106 毫克的物体可能是 (
)
A、一头牛
B 、一只鸭
C、一只鸡蛋
D、一粒米
16．某同学用毫米刻度尺测量某一物体的长度时，
测得的四次数据是2.12厘米，2.13厘米，2.13厘
米，2.24厘米，其中有一次测量是错误的，则正
确的测量结果应该是（ ）
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传奇客户端 ；
元荡公路桥按一级公路桥设计 25万平方千米 鄱阳湖径流来量 明弘治年间改称娄江 山前平原上接低山丘陵 底质大多是石砾、细沙和粉沙 岩浆火山活动降低了太湖及其周边的地下热压与容重 [12] 尚须开放运堤归海五坝 便形成一条几乎与赣江平行的半天然半入工的渠道 目录 火 山喷爆的火山弹 规模宏大 锁在井内 名气就很大了 后迁平阳府 以免给人一帝多陵之错觉 特别是对今天的汉族来说 身旁留下一张沾满涎水沫的画儿 在狂风暴雨中行走不迷路 他以德以义 《晋书》卷92《文苑传·伏滔》说炎帝生于“黔中之地” [36] 为祭祀娥皇、女英处 后因年 久失修 食采于范邑（河南范县） 瞽叟父曰桥牛 传说中的舜 与农业相关的部分著述（
人教版一年级上册数学《1-5的认识》集体备课教学设计
人教版一年级上册数学《1-5的认识》集体备课教学设计一、教学目标1.知识目标：掌握数字1到5的认识及其大小关系。
2.能力目标：能够用正确的方法比较1到5的大小。
3.情感目标：培养学生对数学的兴趣，激发他们学习数学的积极性。
二、教学重点和难点1. 教学重点：•数字1到5的认识及其大小比较。
•通过活动和游戏形式，引导学生掌握知识。
2. 教学难点：•确保学生能够真正理解1到5的大小关系。
•对于一些学习困难的学生，如何引导其掌握基本概念。
三、教学准备1.课前准备：–准备数字卡片、玩具等教具。
–制定教学计划和教学大纲。
2.教学环境准备：–教室布置整洁，学生桌椅整齐摆放。
–确保教室通风良好，光线充足。
四、教学过程1. 导入（5分钟）•利用数字卡片或玩具引导学生复习数字1到5，并让学生尝试用手指比较不同数字的大小。
2. 讲授（15分钟）•通过教师讲解和示范，引导学生掌握数字1到5的大小关系。
•通过比较实物、图形等方式，帮助学生理解数字大小的概念。
3. 游戏活动（20分钟）•分组进行大小比较游戏，让学生通过游戏加深对1到5数字大小关系的认识。
•鼓励学生互相合作，培养良好的集体意识和团队精神。
4. 拓展（10分钟）•让学生设计自己的比较大小游戏，通过互相展示和交流，加深对数字大小概念的理解。
5. 总结（5分钟）•教师总结本节课的重点内容，强调数字1到5的认识和大小关系。
•鼓励学生勤奋学习，培养数学学习的兴趣。
五、教学反思本节课通过导入、讲授、游戏活动等多个环节，帮助学生掌握了数字1到5的认识和大小比较方法。
通过本节课的教学，发现一些学生在数字大小比较方面存在困难，下一步需要加强个性化辅导，帮助这部分学生理解数字概念。
同时，课堂氛围活跃，学生参与度高，整体效果较好。
六、作业布置布置练习册上相关练习，巩固数字1到5的认识和大小比较方法。
以上就是本次针对人教版一年级上册数学《1-5的认识》集体备课教学设计的内容。
通过本设计，希朹学生能够在轻松愉快的氛围中掌握数字1到5的认识和大小比较方法。
【人教版一年级数学上册第3单元 1～5的认识和加减法】《整理和复习》教案
【人教版一年级数学上册第3单元 1～5的认识和加减法】《整理和复习》教案一. 教材分析人教版一年级数学上册第3单元《1～5的认识和加减法》主要让学生通过生活情境和数学活动，掌握1～5的基础知识，学会加减法的运算方法。
本节课的《整理和复习》教案旨在帮助学生巩固已学知识，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二. 学情分析一年级的学生已经初步认识了数字1～5，了解了它们的大小顺序，并能够进行简单的加减运算。
但部分学生对加减法的运算规则理解不深，运算速度较慢，对数的概念还不够清晰。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，有针对性地进行教学。
三. 教学目标1.知识与技能：通过复习，使学生进一步巩固对数字1～5的认识，提高学生的加减法运算能力。
2.过程与方法：培养学生独立思考、合作交流的能力，提高学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：进一步巩固对数字1～5的认识，提高学生的加减法运算能力。
2.难点：理解加减法的运算规则，提高运算速度和准确性。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活情境和数学活动，让学生在实际操作中掌握知识。
2.游戏教学法：运用趣味性强的游戏，激发学生的学习兴趣，提高学生的参与度。
3.分组合作学习：鼓励学生互相讨论、交流，培养学生的合作意识和团队精神。
六. 教学准备1.教具：数字卡片、小棒、计数器等。
2.教学素材：相关的生活情境图片、数学活动案例等。
3.教学设计：预习PPT、教学教案等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用数字卡片，让学生快速说出数字1～5，并说出它们的大小顺序。
2.呈现（10分钟）展示生活情境图片，让学生观察并找出其中的数字1～5。
引导学生用小棒进行加减法操作，展示运算过程。
3.操练（10分钟）学生分成小组，进行加减法游戏。
每组选一名代表进行实物操作，其他组员负责计算。
游戏过程中，教师及时给予指导和鼓励。
一年级上册数学教案《整理和复习1-5的认识和加减法》 人教版
一年级上册数学教案《整理和复习1-5的认识和加减法》一、教学目标1. 让学生熟练掌握1-5的数字认识和加减法运算。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作、交流、探究的学习习惯。
二、教学内容1. 1-5的数字认识2. 1-5的加减法运算3. 解决实际问题三、教学重点与难点1. 教学重点：1-5的数字认识和加减法运算。
2. 教学难点：运用1-5的数字解决实际问题。
四、教学方法1. 讲授法：讲解1-5的数字认识和加减法运算。
2. 演示法：通过教具演示，让学生直观地理解1-5的数字认识和加减法运算。
3. 练习法：布置相关练习题，巩固所学知识。
4. 合作学习法：分组讨论，共同解决实际问题。
五、教学过程1. 导入（5分钟）利用教具（如数字卡片、算式卡片等）引导学生复习1-5的数字认识和加减法运算。
2. 讲解与演示（10分钟）讲解1-5的数字认识和加减法运算，并通过教具演示，让学生直观地理解。
3. 练习（10分钟）布置相关练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
4. 小组讨论（10分钟）分组讨论，共同解决实际问题，培养学生合作、交流、探究的学习习惯。
5. 总结与拓展（5分钟）对本节课所学内容进行总结，并布置课后作业，拓展学生思维。
六、课后作业1. 完成《整理和复习1-5的认识和加减法》练习题。
2. 结合生活实际，运用1-5的数字解决一个实际问题，并与家长分享。
七、板书设计1. 1-5的数字认识2. 1-5的加减法运算3. 解决实际问题八、教学反思本节课通过讲解、演示、练习、小组讨论等多种教学方法，让学生熟练掌握1-5的数字认识和加减法运算。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时给予指导和鼓励，培养学生合作、交流、探究的学习习惯。
同时，要注重课后作业的布置与检查，巩固所学知识。
在以上教案中，需要重点关注的是“教学方法”和“教学过程”两个部分。
这两部分是教学设计的核心，直接关系到教学效果和学生的学习体验。
七年级上册地理1-5章复习知识点
湘教版七年级地理上册复习提纲第一章让我们走进地理第一节我们身边的地理知识（课本2—5页）1、以风车而著名的国家是荷兰。
2、阿拉伯人的传统服装多是身穿白色长袍，头戴头巾，这种打扮的原因是反射阳光、抵挡风沙。
第一章让我们走进地理第二节我们怎样学地理（课本6—12页）1、在地图的家族中分为两类包括:自然地图和社会经济地图。
2、每幅地图上都具备的要素包括：比例尺、方向、图例和注记。
3、地图上的方向：①有指向标的地图，指向标箭头一般指向北方；②没有指向标的地图，通常采用“上北下南，左西右东”来确定方向。
③在有经纬网的地图上，根据经纬线判断方向，经线指示南北方向，纬线指示东西方向。
4、比例尺：就是图上距离与实地距离之比。
公式：比例尺=图上距离：实地距离；①比例尺是个分数式，分母越大比例尺就越小。
现有1:1000和1:2000两个比例尺，较大比例尺是_______，较小比例尺是_______。
②所画地图范围越大（如中国地图），内容就越简略，选用比例尺越小，③所画地图范围越小（如北京地图），内容就越详细，选用比例尺越大。
④比例尺的三种表示方式：文字式、数字式、线段式。
5、图例和注记：判断常用图例：第二章地球的面貌第一节认识地球（课本14—21页）1、①历史上首次实现了人类环绕地球一周航行的航海家是葡萄牙（国）的麦哲伦；②地球的真实形状是一个两极略扁、赤道略鼓的不规则球体。
2、地球有多大：赤道周长约为4万千米，地球的平均半径为6371千米；地球的表面积为5.1亿平方千米。
3、赤道是指在与南极、北极距离相等的地方画的圆圈。
赤道把地球平分成南、北两个半球。
4、纬线的特征：a 都指示东西方向； b 形状都是圆（极点除外）；c 长度不相等，其中最长的纬线是赤道；从赤道向两级纬线的长度越来越短。
5、纬度的划分：①赤道的纬度是0°，赤道以北称为北纬（用字母N表示），赤道以南称为南纬（用字母S表示）。
②北极的纬度是90°N，南极的纬度是90°S。
24复习广播操1-5节
水平三：五年级第24节课沈国华
教学内容:
1.复习广播操1-5节
教学目标
1.学生能正确的完成每节广播操的动作；
2.学生在完成广播操的时候，动作整齐、标准；
3.游戏的时候积极的参与，放松自己的身心；
教学重、难点:
重点：复习广播操1-5节
难点：第四节“踢腿运动”
教学过程:
一、准备部分
1．体育委员整队；
2．师生问好；
3．宣布本课内容；
4．绕规定场地慢跑；
5．原地拉伸练习。
二、基本部分
1．复习广播操1-5节
（1）教师组织学生从第一节开始连续做到第五节，教师喊口令，并注意学生在完成动作的时候容易出现的一些问题；
（2）教师分节纠正学生的错误动作，学生按照教师讲解的要求完成动作；
要求：手臂用力，力达指尖，肘关节伸直，动作整齐。
（3）注意集体纠正大部分学生容易出现的问题；
第一节：手臂弯曲不用力不整齐；
第二节：手臂交叉的时候容易弯曲，侧上举分开角度太大；
第三节：双手握拳时候肘关节伸不直，侧平举时手臂抬不平；
第四节：踢腿运动动作要求整齐，本节操在完成时学生容易出现不整齐的现象，要求学生每一个节拍都要跟随口令去做。
踢腿饶环的时候，手臂伸直。
第五节：第五节主要注意，在侧身的时候，上举的手臂贴着耳朵，并且不能弯曲。
（4）组织学生实行过关的制度，每节操集体做，教师点出暂时不能过关的同学进行单独辅导，确保每一个同学的操都能过关；
三、结束部分
总结本课内容；
师声道别。
场地器材：
教后记：。
1-5的认识和加减法整理与复习(集体备课稿)
《1-5的认识和加减法的整理和复习》集体备课资料教材分析：本单元主要由两部分组成：一是5以内各数的认识；二是5以内的加法和减法。
这部分内容是数概念中最基础的内容之一，是小学生学习数学的开始。
在此阶段，要让学生初步经历从日常生活中抽象出数的过程，初步尝试选择恰当的方法进行5以内数的口算，使学生了解数学的用处，体验数学学习的乐趣，从而为今后的学习奠定基础。
本单元的纵线结构是：1-5的认识——1-5的加减法——0的认识和加减法——整理复习。
这个单元内容丰富，又是学生首次系统地学习认数与计算，故在本单元最后安排了“整理和复习”的内容，也就是本节课内容。
这是学生入学以来第一次系统整理和复习数学认识，因此，对它的有效教学就显得非常重要。
教材分两部分安排：一部分是对知识的整理；另一部分是供练习用的习题。
在知识的整理中，教材将所要整理的知识内容设计成一些综合性的题目，以这些题目作为整理知识的线索。
一方面让学生根据这些线索全面再现5以内数的认识和加减法的所有知识，另一方面根据这些线索将分散学习获得的数和加减法计算的知识综合起来。
沟通各部分内容之间的联系，从而加深学生对这些知识的理解，为学生建构合理的知识体系打下坚实的基础。
教学目标：1、加深对5以内数的认识，熟练地掌握5以内的加减法的计算方法，并能正确、熟练地口算。
2、加深对数感的培养，经历系统整理和复习的过程，形成自己的数学认知结构。
3、通过探索加法表和减法表的排列规律，提高学生的计算水平。
教学重点：提高学生正确、熟练地进行口算的能力。
教学难点：主动探究，发现加法表、减法表算式排列的规律。
教学建议：1、全面复习5以内各数。
5以内数的认识包括：认读写各数、数的顺序、比较大小、基数含义、序数含义、数的组成。
2、整理加法算式表。
教学时，教师可以完全放手让学生自己去写算式、去整理。
也可以出示整理好的、不完整的加法表，让学生继续补充完整。
这就需要学生先去排列并发现规律，再利用规律去补充，加深学生对加发表中算式排列规律的理解。
1、5节金属活动性顺序复习
本课小结
金属活动性顺序表
金属与酸反应
金属与盐反应 金属与混合盐反应
反应次序 反应条件 有关量计算 反应快慢 反应条件
谢谢指导！
例3
如何确定锌(Zn)、铁(Fe)、铜(Cu)三种金属活动 性顺序？请你们小组合作讨论尽可能多地设计实 验方案？
方案一： 方案二：
方案三：
1、比较R、锌、铜3种金属的活动性 提供的药品：锌粒、铜片、R、稀盐酸、硫酸 锌溶液、硫酸铜溶液、硫酸R 【做出猜想】 【设计实验】为了验证猜想成立，同学们分 成三组，分别针对一种猜想设计实验方案。 【实验及结论】实验现象 .
情况二Fe(NO3)2,Cu(NO3)2
情况一 Ag 情况二 Ag,Cu
在氯化铜和氯化亚铁的混合溶液中加入一定量的镁粉， 充分反应后过滤，向滤出的固体中滴加稀盐酸，没有 气泡产生。下列判断正确的是（ ） A、滤出的固体中一定含有铜，可能含有铁和镁 B、滤出的固体一定含有铜，一定不含铁和镁 C、滤液中一定含有氯化镁和氯化亚铁，可能含有氯化 铜 D、滤液中一定含有氯化镁、氯化亚铁、氯化铜
2.金属+酸=盐 + 氢气 注意点:①只有排在排在氢前面的金属能置换酸中的氢元素. ②酸一般指稀硫酸稀盐酸 等 ③铁与酸置换生成亚铁盐. 3.金属+盐= 新金 + 新盐 注意点:①只有活动性强的金属才能置换活动性弱的金属. ②盐必须要可溶. 4.置换反应:一种 单质 和一种 化合物 反应生成另 一种 单质 和另一种 化合物 的反应.
<<金属活动性顺序>>应用
1.金属活动性顺序: 2.金属+酸= 注意点:①只有排在 能置换酸中的 . ②反应物中的酸一般指 这几种. ③铁与酸置换生成 . 3.金属+盐= 注意点:①只有 的金属才能置换 的金属. ②盐必须要 . 4.置换反应:一种 和一种 反应生成另一种 和另一种 的反应.
(前5节)复习第9章多元函数微分法及其应用(1)共73页
确定二重极限不存在的方法：
( 1 )令 P ( x ,y ) 沿 y k 趋 向 x 于 P 0 ( x 0 ,y 0 ) ,若 极 限 值
与 k 有 关 ， 则 可 断 言 极 限 不 存 在 ； limf(x,y)xy ykx yx2x
x 0
xy
y 0
(2)找 两 种 不 同 趋 近 方 式 ， 使 lim f(x,y)存 在 , (x,y)(x0,y0)
但 两 者 不 相 等 , 此 时 也 可 断 言 f(x,y)在 点 P0(x0,y0)处
极 限 不 存 在 ．
21
例5
考察
f
( x,
y)
xy x2 y2
当 ( x,
y) (0,0) 时的极限.
解
沿
x
轴考察,
lim
(x,y)(0,0)
f(x,
y)0，
y0
沿 y 轴考察, lim f(x, y)0，
去 心 邻 域 内 有 定 义 ,如 果 存 在 常 数 A， 对 0,0,
只 要 0 (xx0)2(yy0)2,恒 有 f(x,y)A，
则 称 函 数 z f(x ,y )当 (x ,y ) (x 0 ,y 0 )时 以 A 为 极
限 , 记 为
limf(x,y)A.
导 数 ， 为
lim f(x0,y0 y)f(x0,y0)
y 0
y
z
记为
，或
y x x0
y y0
z y x x 0 . y y0
z z 偏导函数: , ,
x y
或
zx ，zy .
说明: 1.偏导数实质上仍然是一元函数的微分问题.
七年级科学上学期第一章1-5节复习课
让整个村子变得越来越寂静，失去了生机。 我不知道如此发展下去，村庄会是一种什么样子，这种空巢的现象，寂静的情景会持续多久，但有一点我是坚信的，那就是随着农村政策的日益完善，农业现代化进程的飞速发展，在外打拼的年轻
人一定会回来，他们会用勤劳的双手共建自己的美好家园，还村庄一个家人团聚，和谐吉祥，安居乐业的欣欣向荣景象。 这样的生活不会很远，这样的梦想一定会实现，而且一定能够实现。 离开村庄的时候，依然没有碰到几个熟人，但我的眼前分明又浮现出很多熟人，他们正以当年的情景，以现代化农村生活的繁荣景象迎接更加美好的明天。 二0一九年十二月七日 （丹枫原创首发）
想你的时候 寄亡友恩佩 辘轳在转，一团湿泥在我手里渐渐成形。陶艺教室里大家各自凝神于自己转盘上那一块混沌初开的宇宙，五月的阳光安详而如有所待，碌碌砸砸的声浪里竟有一份喧哗的沉静。
(现代汉语)第五章 语法 第1-5节 复习
8、动态助词“过”
• 用在动词、形容词后面，表示曾经发生这样 的动作或曾经具有这样的性状。
• 如：我和他通过电话。 前几天冷过一阵。
第四节 短语
• 1、补语和宾语的区别 • 2、兼语句和主谓短语作宾语的句子的区别 • 3、歧义短语的类型 • 4、歧义的消除
第四节、短语
基本短语
• 主谓短语 • 动宾短语 • 偏正短语 • 中补短语 • 联合短语
6、状语和助词“地” 1）单音节词（副词、形容词）作状语；一般不能加
2）双音节、多音节的副词／形容词作状语； 大部分加不加都可以；少数不能加，或必须加（语 义指向宾语名词）
3）代词、时间处所名词、能愿动词、方位短语、介词 短语作状语；（除副词／形容词以外的） 一般不能加
7、补语的意义类别（七类） 要熟练分辨各类补语类型
第二节 词类（上）
• 1、“是”判断动词还是副词？ • 2、能愿动词与一般动词的区别 • 3、名词和谓词的比较 • 4、动词和形容词的比较 • 5、区别词和形容词有什么不同呢？ • 6、同音字／兼类词： “怪”物和“怪”可怜的 • 7、时间副词和时间名词有什么异同呢？ • 8、刚、刚才的区别： • 9、我们与咱们的区别
3、定语和助词“的” 3）人称代词作定语表领属者，一般要加“的”。 如中心语是亲属称谓，不用加“的”。 4）中心语是人或者国家、集团、机关类的，定 语后面一般可以不加“的”； 5）人称代词／名词后面紧跟指示代词或表时间、 处所的定语，两个定语之间不用“的”；
3、定语和助词“的”
6）动词作定语时，直接修饰中心语组成一种 名称，一般不加“的”； 7）短语作定语，一般加“的”。
可作状语 宾语
组成介词
短语作状
高中物理：第五章1-5节 交流电教案人教版选修3-2
教学课题：交变电流 一．教学目标 [知识和技能] 1、知道正弦交流电是矩形线框在匀强磁场中匀速转动产生的．知道中性面的概念． 2、掌握交变电流的变化规律及表示方法，理解描述正弦交流电的物理量的物理含义． 3、理解正弦交流电的图像，能从图像中读出所需要的物理量． 4、理解交变电流的瞬时值和最大值，能正确表达出正弦交流电的最大值、有效值、瞬时值． 5、理解交流电的有效值的概念，能用有效值做有关交流电功率的计算． [过程和方法] 1、掌握描述物理规律的基本方法——文字法、公式法、图像法． 2、培养学生观察能力、空间想象能力、立体图转化为平面图进行处理问题的能力． 3、培养学生运用数学知识解决处理物理问题的能力． [情感、态度、价值观] 培养学生爱国主义精神及为富民强国认真学习的精神． 二．教学重点、难点 重点：交变电流产生的物理过程的分析及中性面的特点． 难点：交变电流产生的物理过程的分析． 三．教学仪器 交流发电机模型、演示电流表 四．教学方法 讲授、演示、探究 五．教学过程 引入 ［复习提问］ １．感应电动势的大小： 基本式：tn ∆∆Φ=ε导出式：⊥=BlV ε２．感应电动势的方向： 基本规律：楞次定律 导出规律：右手定那么〔口诀：“力左电右〞〕 ［教师演示］交变电流产生的实验：模型发电机产生的电流，大小和方向在不断的变化，这种电流叫做交变电流． 新课1、交变电流的产生演示1：出示手摇发电机模型，并连接演示电流表． 当线圈在磁场中转动时，电流表的指针随着线圈的转动而摆动，线圈每转动一周指针左右摆动一次． 说明电流强度的大小和方向都做周期性的变化，这种电流叫交流电． 2、交变电流的变化规律 投影显示：矩形线圈在匀强磁场中匀速转动的四个过程． 分析：线圈bc 、da 始终在平行磁感线方向转动，因而不产生感应电动势，只起导线作用． 〔1〕线圈平面垂直于磁感线〔甲图〕，ab 、cd 边此时速度方向与磁感线平行，线圈中没有感应电动势，没有感应电流．教师强调指出：这时线圈平面所处的位置叫中性面． 中性面的特点：线圈平面与磁感线垂直，磁通量最大，感应电动势最小为零，感应电流为零． 〔2〕当线圈平面逆时针转过90°时〔乙图〕，即线圈平面与磁感线平行时，ab 、cd 边的线速度方向都跟磁感线垂直，即两边都垂直切割磁感线，这时感应电动势最大，线圈中的感应电流也最大． 〔3〕再转过90°时〔丙图〕，线圈又处于中性面位置，线圈中没有感应电动势． 〔4〕当线圈再转过90°时，处于图〔丁〕位置，ab 、cd 边的瞬时速度方向，跟线圈经过图〔乙〕位置时的速度方向相反，产生的感应电动势方向也跟在〔图乙〕位置相反． 〔5〕再转过90°线圈处于起始位置〔戊图〕，与〔甲〕图位置相同，线圈中没有感应电动势． 在场强为的匀强磁场中，矩形线圈边长为l 1、l 2，逆时针绕中轴匀速转动，角速度为ω，从中性面开始计时，经过时间t ．线圈中的感应电动势的大小如何变化呢？ 线圈转动的线速度为ω，转过的角度为ωt ，此时ab 边线速度以磁感线的夹角也等于ωt ，这时ab 边中的感应电动势为：E=(Bl 1l 2ω/2)sin ωt同理，cd 边切割磁感线的感应电动势为：E=(Bl 1l 2ω/2)sin ωt就整个线圈来看，因ab 、cd 边产生的感应电势方向相同，是串联，所以当线圈平面跟磁感线平行时，即，这时感应电动势最大值；E m =BS ω． 感应电动势的瞬时表达式为：e= BS ωsin ωt 可见在匀强磁场中，匀速转动的线圈中产生的感应电动势是按正弦规律变化的．即感应电动势的大小和方向是以一定的时间间隔做周期性变化．当线圈跟外电路组成闭合回路时，设整个回路的电阻为，那么电路的感应电流的瞬时值为表达式．感应电流瞬时值表达式为，这种按正弦规律变化的交变电流叫正弦式电流．3、交流电的图像：交流电的变化规律还可以用图像来表示，在直角坐标系中，横轴表示线圈平面跟中性面的夹角〔或者表示线圈转动经过的时间〕，纵坐标表示感应电动势〔感应电流〕．规律：t Sin m ωεε=t Sin I i m ω=其中：ωεnBS m =，Rr I mm +=ε．4、交流发电机〔1〕发电机的基本组成①用来产生感应电动势的线圈〔叫电枢〕． ②用来产生磁场的磁极． 〔2〕发电机的基本种类①旋转电枢式发电机〔电枢动磁极不动〕． ②旋转磁极式发电机〔磁极动电枢不动〕． 无论哪种发电机，转动的部分叫转子，不动的部分叫定子． 例题与练习[例1]如下图各图线中表示交变电流的是 [][误解] 选〔A 〕，〔B 〕，〔C 〕，〔D 〕． [正确解答] 选〔B 〕，〔C 〕，〔D 〕．[错因分析与解题指导] 大小、方向随时间作周期性变化的电流为交变电流．[误解]选有〔A 〕，然而〔A 〕中电流大小虽周期性变化，但方向不变，是直流电流而不是交变电流．[例2] 一线圈中产生的正弦交变电流按i=10sin314tA 变化，求出当线圈从中性面起转过30°、60°、90°、120°所需时间及对应的电流值． [分析] 通过跟正弦交变电流的标准式比较，直接代入计算． [解答] 线圈从中性面开始转动产生的正弦交变电流的标准式是 i=I m sin ωt ．式中ωt 表示线圈平面对中性面的夹角〔单位是rad 〕． 当线圈平面转过的角度θ1=30°时，由得经历的时间和对应的电流值分别为同理，当θ2=60°时，得当θ3=90°时，得当θ4=120°时，得[说明] 用公式i=I m sin ωt 算出的是线圈在转动过程中某位置或某个时刻的电流值，所以它是一个瞬时值表达式． [例3] 在匀强磁场中的矩形线圈从中性面开始匀速转动，穿过线圈平面的磁通量与时间t 的图象是 [][分析] 设匀强磁场的磁感强度为B ，矩形线圈abcd 的面积为S ，如图2所示从中性面位置开始逆时针方向匀速转动．设经时间t 转过的角度θ=ωt ，转到位置a 1d 1，画出它的正视图如图3所示．积〕可知，在时刻t 通过线圈平面的磁通量为[答]C ．[说明] 磁通量是标量．磁通量的正、负表示它穿过平面的方向．根据图3得出的上述表达式，是规定从左向右穿过平面左侧面〔用实线表示〕的方向为正．当转过θ=90°后，磁感线将从平面的右侧面〔用虚线表示〕穿过，磁通量为负．线圈转动时，穿过线圈的磁通量，线圈中产生的感应电动势随时间变化的对照关系，如图4所示．练习1．一矩形线圈在匀强磁场中转动，当线圈平面跟中性面重合的瞬间，以下说法正确的选项是〔 〕A ．电流方向改变B ．磁通量为零C ．圈中磁通量的变化率最大D ．线圈没有边切割磁感线2．如下图，线圈abcd 绕ab 和cd 的中点的连线OO ′转动，OO ′与匀强磁场垂直，线圈的单位长度的电阻值为定值，为了使线圈中电流值增为原来的2倍，可采用的办法有〔 〕A ．使线圈绕cd 边转动B ．使线圈的面积增为原来的2倍C ．使磁感强度和转速增加为原来的2倍D ．使磁感强度减为原来的1/2，转速增为原来的4倍小结1、交流电的产生强度和方向都随时间做周期性变化的电流叫做交变电流，简称交流． 2、交流电的变化规律感应电动势的瞬时表达式为：． 感应电流瞬时值表达式：． 3、交流电的图像 4、交流发电机〔1〕发电机的基本组成：①电枢．②磁极． 〔2〕发电机的基本种类:①旋转电枢式发电机．②旋转磁极式发电机． 作业六．教学反思：教学课题：描述交变电流有物理量 一．教学目标 [知识和技能]1. 理解交变电流的周期、频率含义，掌握它们相互间关系，知道我国生产和生活用电的周期〔频率〕的大小．2、理解交变电流的最大值和有效值的意义，知道它们之间的关系，会应用正弦式交变电流有效值公式进行有关计算．3、能利用有效值定义计算某些交变电流的有效值 [过程和方法]1、培养学生阅读、理解及自学能力．2、培养学生将知识进行类比、迁移的能力．3、使学生理解如何建立新的物理概念而培养学生处理解决新问题能力．4、培养学生应用数学工具处理解决物理问题的能力．5、训练学生由特殊到一般的归纳、演绎思维能力．6、培养学生的实际动手操作能力． [情感、态度、价值观] 1、由用电器铭牌，可介绍我国近几年的经济腾飞，激发学生爱国精神和为建设祖国发奋学习的精神． 2、让学生体会对称美． 二．教学重点、难点重点：交流电的有效值、最大值、频率、周期的理解 难点：1、交变电流有效值概念既是重点又是难点，通过计算特殊形式的交变电流的有效值来体会和掌握它的定义。
1-5因式分解定理
高等代数II 第一章多项式第5节. 因式分解定理教学大纲一．素因子的个数小学算术就学了正整数的因子分解, 学了质数合数. 初中学了多项式的因式分解. 因子分解是你们熟悉的. 很多人就认为因式分解很容易, 就凭那三招(提取公因子, 用乘法公式，分组分解法）就可以纵横天下。
其实，正整数的因子分解都是世界难题。
多项式就更不可能容易。
先别去碰难题。
还有些入门的小儿科都没有搞清楚。
比如, 1不能分解,为什么不是质数?学了负整数, 2=(-2)(-1)可以分解, 2还是质数吗?-6的分解式是3×(-2) 还是(-3)×2 还是(-1)×3×22x+4 在有理系数范围内能不能分解？2x+4=2(x+2) 不就分解了吗？还有一个被忽略的问题：书上要求因式分解到底。
你分到不知道怎么分就结束了。
为什么不想一下,你不知道怎么分,不能断定它就不能分。
有可能是它还能分，你水平不够没有发现它的分解式。
因此, 不但应该有方法教你怎样分，还应该教你判别分到什么时候就到底了。
最简单的情况: 全部因式都是一次，肯定到底了。
大部分时候不能分到一次，怎么知道它到底没有。
比如x10+x5+1, x12+x9+x6+x3+1在有理数范围内能不能分？1.正整数的分解：不能分解的正整数叫做质数(也叫素数), 能分解的叫合数.例1.1是质数还是合数?学生: 1不能分解, 是质数.老师: 1既不是合数, 也不是质数.学生: 既不是合数, 也不是质数, 是什么呢?老师: 它就是1.点评: 为什么不说“2 既不是合数, 也不是质数, 它就是2”？1 和2 都不能分解，它们有什么区别？例2. 如下正整数是多少个素因子的乘积？(1)24; (2) 24×2×1×3×1; (3) 24÷2÷1÷3÷1; (4) 23×32; (5) 210÷210。
Units1-5+知识点复习课件-2022-2023学年高中英语人教版(2019)必修第一册
be content to do sth 满意做某事 be/feel content with 对……感到满意
content oneself with sth 满足于某事
be suitable to do sth 适合做某事 be suitable for 对……适合的 suit n. 套装 vt. (服装、颜色等)适合;对(某人)方便 suit...to...使……适合……
• It＋is/was＋形容词/名词＋ to do sth，. 这一句型中不定式作真正的主语。
• It seems/appears/happens that...
似 乎 / 碰 巧 …… ，
___I_t_i_s_s_a_i_d_/r_e_p_o_r_t_e_d_/_b_e_li_e_v_e_d_/_th_o__u_g_h_t t据ha说t /据报道/据认为……，这两个句
复习背诵unit3知识点
Exercises(查漏补缺5分钟）
1.We built a statue in honour of the brave soldier.
2. The government took control of the situation with determination
本节课复习重点： 1.背诵必修一unit3 知识点 2.查漏补缺
1. come along跟随；到达；进步；赶快
come abou(t尤指未经计划的)发生；产生 come across偶然遇到；碰见
come up 上来；走近；被提出
come up with提出(计划、想法)；提出
come on快点；进展；算了吧
本真教育 释放天性 · 博古通今 放眼世界
7. 句型动词-ing形式作主语，其用法如下： • 单个的动词-ing形式在句中作主语，谓语动词用单数。 • 下列句型中it作形式主语， 动词-ing形式是真正的主语：
第5节 第1课时 椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第五节椭圆第1课时椭圆的定义、标准方程及其简单几何性质1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于01常数(大于|F 1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的02焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的03焦距．2．椭圆的标准方程及简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)范围04－a≤x≤a且－b≤y≤b05－b≤x≤b且－a≤y≤a顶点06A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)07A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为082b，长轴长为092a焦点10F1(－c，0)，F2(c，0)11F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝122c对称性对称轴：13x轴和y轴，对称中心：14原点离心率e＝ca(0<e<1)a，b，c的关系15a2＝b2＋c2椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大，S△F1PF2最大．(2)S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sinθ＝b2tanθ2＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cosθ.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．()(3)y2 m2＋x2n2＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．()(4)x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相等．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小题热身(1)(人教A选择性必修第一册习题3.1T3改编)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是()A．长轴长为12B．焦距为34C ．短轴长为14D ．离心率为32答案D解析把椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得y 214＋x 2116＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34，则长轴长2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴长2b ＝12，离心率e ＝c a ＝32.故选D.(2)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T5改编)已知点P 为椭圆x 216＋y 29＝1上的一点，B 1，B 2分别为椭圆的上、下顶点，若△PB 1B 2的面积为6，则满足条件的点P 的个数为()A ．0B ．2C ．4D ．6答案C解析在椭圆x 216＋y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，则短轴|B 1B 2|＝2b ＝6，设椭圆上点P 的坐标为(m ，n )，由△PB 1B 2的面积为6，得12|B 1B 2|·|m |＝6，解得m ＝±2，将m ＝±2代入椭圆方程，得n ＝±332，所以符合题意的点P ，22，共4个满足条件的点P .故选C.(3)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T1改编)已知点M (x ，y )在运动过程中，总满足关系式x 2＋（y －2）2＋x 2＋（y ＋2）2＝8，则点M 的轨迹方程为________________．答案x 212＋y 216＝1解析因为x 2＋（y －2）2＋x 2＋（y ＋2）2＝8>4，所以点M 的轨迹是以(0，2)，(0，－2)为焦点的椭圆，设椭圆方程为x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)，由题意得2a ＝8，即a ＝4，则b 2＝a 2－c 2＝12，所以点M 的轨迹方程为x 212＋y 216＝1.(4)(人教A 选择性必修第一册习题3.1T4改编)已知椭圆C 的焦点在x 轴上，且离心率为12，则椭圆C 的方程可以为________________(写出满足题意的一个椭圆方程即可)．答案x 24＋y 23＝1(答案不唯一)解析因为焦点在x 轴上，所以设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，a >b >0，因为离心率为12，所以ca＝12，所以c 2a 2＝a 2－b 2a2＝14，则b 2a 2＝34.所以椭圆C 的方程可以为x 24＋y 23＝1(答案不唯一)．考点探究——提素养考点一椭圆的定义及其应用(多考向探究)考向1利用椭圆的定义求轨迹方程例1(2024·山东烟台一中质检)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 是圆上任意一点，N (2，0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹方程为________．答案x 29＋y 25＝1解析点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，所以|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |.由椭圆的定义知，点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，且2a ＝6，2c ＝4，故所求的轨迹方程为x 29＋y 25＝1.【通性通法】在求动点的轨迹时，如果能够判断动点的轨迹满足椭圆的定义，那么可以直接求解其轨迹方程．【巩固迁移】1．△ABC 的两个顶点为A (－3，0)，B (3，0)，△ABC 的周长为16，则顶点C 的轨迹方程为()A ．x 225＋y 216＝1(y ≠0)B ．y 225＋x 216＝1(y ≠0)C ．x 216＋y 29＝1(y ≠0)D ．y 216＋x 29＝1(y ≠0)答案A解析由题意，知点C 到A ，B 两点的距离之和为10，故顶点C 的轨迹为以A (－3，0)，B (3，0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a ＝10，c ＝3，b 2＝a 2－c 2＝16.其方程为x 225＋y 216＝1.又A ，B ，C 三点不能共线，所以x 225＋y 216＝1(y ≠0)．故选A.考向2利用椭圆的定义解决焦点三角形问题例2(1)如图，△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．答案43解析因为a 2＝3，所以a ＝ 3.△ABC 的周长为|AC |＋|AB |＋|BC |＝|AC |＋|CF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝2a ＋2a ＝4a ＝43.(2)设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△PF 1F 2的面积为________．答案433解析解法一：由题意，知c ＝a 2－4.又∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2a 2－4，∴|F 1F 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|－2|PF 1||PF 2|cos60°＝4a 2－3|PF 1||PF 2|＝4a 2－16，∴|PF 1||PF 2|＝163，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin60°＝12×163×32＝433解法二：S △PF 1F 2＝b 2tan ∠F 1PF 22＝4tan30°＝433.【通性通法】将定义和余弦定理结合使用可以解决焦点三角形的周长和面积问题．【巩固迁移】2．(2023·全国甲卷)已知椭圆x 29＋y 26＝1，F 1，F 2为两个焦点，O 为原点，P 为椭圆上一点，cos∠F 1PF 2＝35，则|PO |＝()A ．25B ．302C ．35D ．352答案B解析解法一：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6①，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－65|PF 1||PF 2|＝12②，联立①②，解得|PF 1||PF 2|＝152，|PF 1|2＋|PF 2|2＝21，而PO →＝12(PF 1→＋PF 2→)，所以|PO |＝|PO →|＝12|PF 1→＋PF 2→|，即|PO →|＝12|PF 1→＋PF 2→|＝12|PF 1→|2＋2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2＝1221＋2×152×35＝302.故选B.解法二：设∠F 1PF 2＝2θ，0＜θ＜π2，所以S △PF 1F 2＝b 2tan∠F 1PF 22＝b 2tan θ，由cos ∠F 1PF 2＝cos2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝35，解得tan θ＝12.由椭圆的方程可知，a 2＝9，b 2＝6，c 2＝a 2－b 2＝3，所以S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×|y P |＝12×23×|y P |＝6×12，解得y 2P ＝3，所以x 2P ＝＝92，因此|PO |＝x 2P ＋y 2P ＝3＋92＝302.故选B.解法三：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6①，|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即|PF 1|2＋|PF 2|2－65|PF 1||PF 2|＝12②，联立①②，解得|PF 1|2＋|PF 2|2＝21，由中线定理可知，(2|PO |)2＋|F 1F 2|2＝2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝42，易知|F 1F 2|＝23，解得|PO |＝302.故选B.考向3利用椭圆的定义求最值例3已知F 1，F 2是椭圆C ：x 216＋y 212＝1的两个焦点，点M ，N 在C 上，若|MF 2|＋|NF 2|＝6，则|MF 1|·|NF 1|的最大值为()A ．9B ．20C ．25D ．30答案C解析根据椭圆的定义，得|MF 1|＋|MF 2|＝8，|NF 1|＋|NF 2|＝8，因为|MF 2|＋|NF 2|＝6，所以8－|MF 1|＋8－|NF 1|＝6，即|MF 1|＋|NF 1|＝10≥2|MF 1|·|NF 1|，当且仅当|MF 1|＝|NF 1|＝5时，等号成立，所以|MF 1|·|NF 1|≤25，则|MF 1|·|NF 1|的最大值为25.故选C.【通性通法】在椭圆中，结合|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，运用基本不等式或三角形任意两边之和大于第三边可求最值．【巩固迁移】3．(2024·河北邯郸模拟)已知F 是椭圆x 29＋y 25＝1的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1，1)是一定点，则|PA |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．答案6＋26－2解析由题意知a ＝3，b ＝5，c ＝2，F (－2，0)．设椭圆的右焦点为F ′，则|PF |＋|PF ′|＝6，所以|PA |＋|PF |＝|PA |－|PF ′|＋6.当P ，A ，F ′三点共线时，|PA |－|PF ′|取到最大值|AF ′|＝2或最小值－|AF ′|＝－ 2.所以|PA |＋|PF |的最大值为6＋2，最小值为6－ 2.考点二椭圆的标准方程例4(1)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则椭圆C 的方程为()A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 22＝1C ．x 29＋y 26＝1D ．x 25＋y 24＝1答案B解析设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由椭圆的定义，得|AF 1|＋|AB |＋|BF 1|＝4a .∵|AB |＝|BF 1|，∴|AF 1|＋2|AB |＝4a .又|AF 2|＝2|F 2B |，∴|AB |＝32|AF 2|，∴|AF 1|＋3|AF 2|＝4a .又|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴|AF 2|＝a ，∴A 为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A (0，b )，又F 2(1，0)，AF 2→＝2F 2B →，∴将B 点坐标代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1，∴a 2＝3，b 2＝a 2－c 2＝2.∴椭圆C 的方程为x 23＋y 221.故选B.(2)(2024·山西大同模拟)过点(2，－3)，且与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率的椭圆的标准方程为________________．答案x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1解析椭圆x 24＋y 23＝1的离心率是e ＝12，当焦点在x 轴上时，设所求椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)＝12，b 2＋c 2，＋3b 2＝1，2＝8，2＝6，∴所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1；当焦点在y 轴上时，设所求椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)＝12，b 2＋c 2，＋4b 2＝1，2＝253，2＝254，∴所求椭圆的标准方程为y 2253＋x 2254＝1.故所求椭圆的标准方程为x 28＋y 26＝1或y 2253＋x 2254＝1.【通性通法】1．求椭圆方程的常用方法(1)定义法：根据椭圆的定义，确定a 2，b 2的值，结合焦点位置写出椭圆方程．(2)待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤注意：一定先判断椭圆的焦点位置，即先定型后定量．2．椭圆标准方程的两个应用(1)方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2a 2＋y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ>0)有相同的离心率．(2)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)共焦点的椭圆系方程为x 2a 2＋k ＋y 2b 2＋k ＝1(a >b >0，k ＋b 2>0)．恰当选用椭圆系方程，可使运算更简便．【巩固迁移】4．已知F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b>0)的两个焦点，若P |PF 1|＋|PF 2|＝4，则椭圆C 的方程为________________．答案x 24＋y 23＝1解析由|PF 1|＋|PF 2|＝4得2a ＝4，解得a＝2.又P C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上，所以1222＋1，解得b＝3，所以椭圆C的方程为x24＋y23＝1.5．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P1(6，1)，P2(－3，－2)两点，则该椭圆的方程为________________．答案x29＋y23＝1解析设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，m＋n＝1，m＋2n＝1，＝19，＝13.所以所求椭圆的方程为x29＋y23＝1.考点三椭圆的简单几何性质(多考向探究)考向1椭圆的长轴、短轴、焦距例5已知椭圆x225＋y29＝1与椭圆x225－k＋y29－k＝1(k<9，且k≠0)，则两椭圆必定() A．有相等的长轴长B．有相等的焦距C．有相等的短轴长D．有相同的离心率答案B解析由椭圆x225＋y29＝1，知a＝5，b＝3，c＝4，所以长轴长是10，短轴长是6，焦距是8.在椭圆x225－k＋y29－k1(k<9，且k≠0)中，因为a1＝25－k，b1＝9－k，c1＝4，所以其长轴长是225－k，短轴长是29－k，焦距是8.所以两椭圆有相等的焦距．故选B.【通性通法】求解与椭圆几何性质有关的问题时，要理清顶点、焦点、长轴长、短轴长、焦距等基本量的内在联系．【巩固迁移】6．若连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，则长轴长与短轴长之比为()A．2B．23C．233D．4答案C解析因为连接椭圆短轴的一个顶点与两焦点的三角形是等边三角形，所以a＝2c，所以b2＝a 2－c 2＝3c 2，所以b ＝3c ，故2a 2b ＝a b ＝2c 3c ＝233，所以长轴长与短轴长之比为233.故选C.7．(2024·河北沧州统考期末)焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 23＝1的长轴长为43，则其焦距为________．答案6解析由题意，得2a ＝43，所以a 2＝12，c 2＝a 2－b 2＝12－3＝9，解得c ＝3，故焦距2c ＝6.考向2椭圆的离心率例6(1)(2024·江苏镇江模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率为________．答案33解析由题意知F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2，因为过F 2且与x 轴垂直的直线为x＝c ，由椭圆的对称性，可设它与椭圆的交点为，因为AB 平行于y 轴，且|F 1O |＝|OF 2|，所以|F 1D |＝|DB |，即D 为线段F 1B 的中点，又|AF 1|＝|BF 1|，则△AF 1B 为等边三角形．解法一：由|F 1F 2|＝3|AF 2|，可知2c ＝3·b 2a ，即3b 2＝2ac ，所以3(a 2－c 2)＝2ac ，即3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33(e ＝－3舍去)．解法二：由|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ，可知|AF 1|＝|BF 1|＝|AB |＝43a ，又|AF 1|sin60°＝|F 1F 2|，所以43a ×322c ，解得c a ＝33，即e ＝33.解法三：由|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ，可知|AB |＝|AF 1|＝|BF 1|＝43a ，即2b 2a ＝43a ，即2a 2＝3b 2，所以e ＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝33.(2)(2024·广东七校联考)已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．答案解析根据椭圆的对称性，不妨设焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．解法一：设M (x 0，y 0)，MF 1→·MF 2→＝0⇒(－c －x 0，－y 0)·(c －x 0，－y 0)＝0⇒x 20－c 2＋y 20＝0⇒y 20＝c2－x 20，点M (x 0，y 0)在椭圆内部，有x 20a 2＋y 20b 2<1⇒b 2x 20＋a 2(c 2－x 20)－a 2b 2<0⇒x 20>2a 2－a 4c2，要想该不等式恒成立，只需2a 2－a 4c 2<0⇒2a 2c 2<a 4⇒2c 2<a 2⇒e ＝c a <22，而e >0⇒0<e <22，即椭圆离心解法二：由MF 1→·MF 2→＝0，可知点M 在以F 1F 2为直径的圆上，即圆x 2＋y 2＝c 2在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)内部，所以c <b ，则c 2<b 2，即c 2<a 2－c 2，所以2c 2<a 2，即e 2<12，又e >0，所以0<e <22，【通性通法】求椭圆离心率的方法方法一直接求出a ，c ，利用离心率公式e ＝ca求解方法二由a 与b 的关系求离心率，利用变形公式e ＝1－b 2a2求解方法三构造a ，c 的齐次式，可以不求出a ，c 的具体值，而是得出a 与c 的关系，从而求得e注意：解题的关键是借助图形建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，转化为e 的关系式．【巩固迁移】8．(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C 1：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，C 2：x 24＋y 2＝1的离心率分别为e 1，e 2.若e 2＝3e 1，则a ＝()A ．233B ．2C ．3D ．6答案A解析由e 2＝3e 1，得e 22＝3e 21，因此4－14＝3×a 2－1a 2，而a >1，所以a ＝233.故选A.9．(2024·广东六校联考)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若在直线x ＝a 2c 上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是________．答案33，解析设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，由线段PF 1的中垂线过点F 2，得|PF 2|＝|F 1F 2|，即2c ，得m 2＝4c 2＝－a 4c2＋2a 2＋3c 2≥0，即3c 4＋2a 2c 2－a 4≥0，得3e 4＋2e 2－1≥0，解得e 2≥13，又0<e <1，故33≤e <1，即椭圆离心率的取值范围是33，考向3与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题例7(2024·石家庄质检)设点M 是椭圆C ：x 29＋y 28＝1上的动点，点N 是圆E ：(x －1)2＋y 2＝1上的动点，且直线MN 与圆E 相切，则|MN |的最小值是________．答案3解析由题意知，圆E 的圆心为E (1，0)，半径为1.因为直线MN 与圆E 相切于点N ，所以NE ⊥MN ，且|NE |＝1.又E (1，0)为椭圆C 的右焦点，所以2≤|ME |≤4，所以当|ME |＝2时，|MN |取得最小值，又|MN |＝|ME |2－|NE |2，所以|MN |min ＝22－12＝ 3.【通性通法】与椭圆有关的最值(范围)问题的求解策略【巩固迁移】10．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1(b >0)的离心率e ＝12，F ，A 分别是椭圆的左焦点和右顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →的最大值为________．答案4解析由题意，知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤3.因为F (－1，0)，A (2，0)，所以PF →＝(－1－x 0，－y 0)，PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2，所以当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.课时作业一、单项选择题1．已知动点M 到两个定点A (－2，0)，B (2，0)的距离之和为6，则动点M 的轨迹方程为()A ．x 29＋y 2＝1B ．y 29＋x 25＝1C ．y 29＋x 2＝1D ．x 29＋y 25＝1答案D解析由题意有6>2＋2＝4，故点M 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，则2a ＝6，c ＝2，故a 2＝9，所以b 2＝a 2－c 2＝5，故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1.故选D.2．(2024·九省联考)椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的离心率为12，则a ＝()A ．233B ．2C ．3D ．2答案A解析由题意得e ＝a 2－1a＝12，解得a ＝233.故选A ．3．(2024·河南信阳模拟)与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且满足短半轴长为25的椭圆方程是()A ．x 225＋y 220＝1B ．x 220＋y 225＝1C ．x 220＋y 245＝1D ．x 280＋y 285＝1答案B解析由9x 2＋4y 2＝36，可得x 24＋y 29＝1，所以所求椭圆的焦点在y 轴上，且c 2＝9－4＝5，b＝25，a 2＝25，所以所求椭圆方程为x 220＋y 225＝1.4．设e 是椭圆x 24＋y 2k ＝1的离心率，且e k 的取值范围是()A ．(0，3)BC ．(0，3)D ．(0，2)答案C解析当k >4时，c ＝k －4，由条件，知14<k －4k <1，解得k >163；当0<k <4时，c ＝4－k ，由条件，知14<4－k4<1，解得0<k <3.故选C.5．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9.动圆M 在圆C 1内部，且与圆C 1内切，与圆C 2外切，则动圆的圆心M 的轨迹方程是()A ．x 264－y 248＝1B ．x 248＋y 264＝1C ．x 248－y 264＝1D ．x 264＋y 248＝1答案D解析设动圆的圆心M (x ，y )，半径为r ，因为圆M 与圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169内切，与圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9外切，所以|MC 1|＝13－r ，|MC 2|＝3＋r .因为|MC 1|＋|MC 2|＝16>|C 1C 2|＝8，由椭圆的定义，知M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点，长轴长为16的椭圆，则a ＝8，c ＝4，所以b 2＝82－42＝48，动圆的圆心M 的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.故选D.6．(2023·全国甲卷)设F 1，F 2为椭圆C ：x 25＋y 2＝1的两个焦点，点P 在C 上，若PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1|·|PF 2|＝()A ．1B ．2C ．4D ．5答案B解析解法一：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，从而S △F 1PF 2＝b 2tan45°＝1＝12|PF 1|·|PF 2|，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.故选B.解法二：因为PF 1→·PF 2→＝0，所以∠F 1PF 2＝90°，由椭圆方程可知，c 2＝5－1＝4⇒c ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝42＝16，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝25，平方得|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝16＋2|PF 1|·|PF 2|＝20，所以|PF 1|·|PF 2|＝2.故选B.7．(2023·甘肃兰州三模)设椭圆x 24＋y 23＝1的一个焦点为F ，则对于椭圆上两动点A ，B ，△ABF周长的最大值为()A ．4＋5B ．6C ．25＋2D ．8答案D解析设F 1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF |＋|BF |＋|AB |＝2a －|AF 1|＋2a －|BF 1|＋|AB |＝4a ＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝8＋|AB |－|BF 1|－|AF 1|，当A ，B ，F 1三点共线时，|AB |－|BF 1|－|AF 1|＝0，当A ，B ，F 1三点不共线时，|AB |－|BF 1|－|AF 1|<0，所以当A ，B ，F 1三点共线时，△ABF 的周长取得最大值8.8．(2024·安徽三市联考)已知椭圆C 的左、右焦点分别为F 1，F 2，P ，Q 为C 上两点，2PF 2→＝3F 2Q →，若PF 1→⊥PF 2→，则C 的离心率为()A ．35B ．45C ．135D ．175答案D解析设|PF 2→|＝3m ，则|QF 2→|＝2m ，|PF 1→|＝2a －3m ，|QF 1→|＝2a －2m ，|PQ |＝5m ，在△PQF 1中，得(2a －3m )2＋25m 2＝(2a －2m )2，即m ＝215a .因此|PF 2→|＝25a ，|PF 1→|＝85a ，|F 2F 1→|＝2c ，在△PF 1F 2中，得6425a 2＋425a 2＝4c 2，故17a 2＝25c 2，所以e ＝175.故选D.二、多项选择题9．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2k －1＝1，下列说法中正确的是()A ．曲线C 不可能是椭圆B ．“1＜k ＜4”是“曲线C 是椭圆”的充分不必要条件C ．“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3＜k ＜4”的必要不充分条件D ．“曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆”是“1＜k ＜2.5”的充要条件答案CD解析对于A ，当1＜k ＜4且k ≠2.5时，曲线C 是椭圆，A 错误；对于B ，当k ＝2.5时，4－k ＝k －1，此时曲线C 是圆，B 错误；对于C ，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，－k >0，－1>0，－1>4－k ，解得2.5＜k ＜4，所以“曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆”是“3＜k ＜4”的必要不充分条件，C 正确；对于D ，若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，－1>0，－k >0，－k >k －1，解得1＜k ＜2.5，D 正确．故选CD.10．(2024·海口模拟)设椭圆x 29＋y 23＝1的右焦点为F ，直线y ＝m (0＜m ＜3)与椭圆交于A ，B两点，则()A ．|AF |＋|BF |为定值B ．△ABF 周长的取值范围是[6，12]C ．当m ＝32时，△ABF 为直角三角形D ．当m ＝1时，△ABF 的面积为6答案ACD解析设椭圆的左焦点为F ′，则|AF ′|＝|BF |，∴|AF |＋|BF |＝|AF |＋|AF ′|＝6，为定值，A 正确；△ABF 的周长为|AB |＋|AF |＋|BF |，∵|AF |＋|BF |为定值6，|AB |的取值范围是6)，∴△周长的取值范围是(6，12)，B 错误；将y ＝32与椭圆方程联立，解得－332，又F (6，0)，∴AF →·BF →＝0，∴AF ⊥BF ，∴△ABF 为直角三角形，C 正确；将y ＝1与椭圆方程联立，解得A (－6，1)，B (6，1)，∴S △ABF＝12×26×1＝6，D 正确．故选ACD.三、填空题11．(2023·四川南充三诊)若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为________．答案14解析将原方程变形为x 2＋y 21m＝1.由题意知a 2＝1m，b 2＝1，所以a ＝1m ，b ＝1，所以1m＝2，m ＝14.12．(2024·南昌模拟)已知椭圆E 的中心为原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，则椭圆E 的方程为________．答案x 28＋y 24＝1解析椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，c ＝22－2，＝22，＝22，＝2，从而a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆E 的方程为x 28＋y 24＝1.13．(2024·河南名校教研联盟押题)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，下顶点为A ，AF 的延长线交C 于点B ，若|AF |∶|BF |＝2∶1，则C 的离心率为________．答案33解析解法一：如图，设椭圆C 的右焦点为F ′，则|AF |＝|AF ′|＝a ，因为|AF |∶|BF |＝2∶1，所以|BF |＝a 2，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝3a 2，又|BF |＋|BF ′|＝2a ，所以|BF ′|＝2a －|BF |＝3a2，由余弦定理可知cos ∠BAF ′＝|AB |2＋|AF ′|2－|BF ′|22|AB ||AF ′|＝13，设O 为坐标原点，椭圆C 的焦距为2c ，则离心率e ＝ca ＝sin ∠OAF ′，因为∠BAF ′＝2∠OAF ′，故cos ∠BAF ′＝1－2sin 2∠OAF ′＝1－2e 2，所以e ＝33.解法二：设B 在x 轴上的射影为D ，由于|AF |∶|BF |＝2∶1，所以|BD |＝|OA |2＝b 2，|FD |＝|OF |2＝c 2，即－3c 2，将B 的坐标代入C 的方程，得9c 24a 2＋b 24b 2＝1，得e ＝33.14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别为F 1，F 2，且△F 1AB 的面积为2－32，若点P 为椭圆上任意一点，则1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围是________．答案[1，4]解析由已知，得2b ＝2，故b ＝1.∵△F 1AB 的面积为2－32，∴12(a －c )b ＝2－32，∴a －c＝2－3，又a 2－c 2＝(a －c )(a ＋c )＝b 2＝1，∴a ＝2，c ＝3，∴1|PF 1|＋1|PF 2|＝|PF 1|＋|PF 2||PF 1|·|PF 2|＝2a|PF 1|（2a －|PF 1|）＝4－|PF 1|2＋4|PF 1|.又2－3≤|PF 1|≤2＋3，∴1≤－|PF 1|2＋4|PF 1|≤4，∴1≤1|PF 1|＋1|PF 2|≤4，即1|PF 1|＋1|PF 2|的取值范围为[1，4]．四、解答题15．(2024·辽宁阜新校考期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1，1)，P 2(0，1)，P 1P C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)设点A (0，－1)，点M 是椭圆C 上任意一点，求|MA |的最大值．解(1)因为P 3，P 4关于坐标轴对称，所以P 3，P 4必在椭圆C 上，有1a 2＋34b 2＝1，将点P 1(1，1)代入椭圆方程得1a 2＋1b 2>1a 2＋34b 2＝1，所以P 1(1，1)不在椭圆C 上，P 2(0，1)在椭圆C 上，所以b 2＝1，a 2＝4，即椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)点A (0，－1)是椭圆C 的下顶点，设椭圆上的点M (x 0，y 0)(－1≤y 0≤1)，则x 204＋y 20＝1，即x 20＝4－4y 20，所以|MA |2＝x 20＋(y 0＋1)2＝4－4y 20＋(y 0＋1)2＝－3y 20＋2y 0＋5＝－0＋163，又函数y ＝－＋163在∞，＋，所以当y 0＝13时，|MA |2取到最大值，为163，故|MA |的最大值为433.16．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，焦点F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，左顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，A 到直线EF 2的距离为62b .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若P 为椭圆C 上的一点，∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，求椭圆C 的标准方程．解(1)由题意，得A (－a ，0)，直线EF 2的方程为x ＋y ＝c ，因为A 到直线EF 2的距离为62b ，即|－a －c |12＋12＝62b ，所以a ＋c ＝3b ，即(a ＋c )2＝3b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以(a ＋c )2＝3(a 2－c 2)，所以2c 2＋ac －a 2＝0，因为离心率e ＝ca ，所以2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12或e ＝－1(舍去)，所以椭圆C 的离心率为12.(2)由(1)知离心率e ＝c a ＝12，即a ＝2c ，①因为∠F 1PF 2＝60°，△PF 1F 2的面积为3，所以12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝3，所以|PF 1|·|PF 2|＝4，1|＋|PF 2|＝2a ，1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60°＝（2c ）2，所以a 2－c 2＝3，②联立①②，得a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.17．(多选)(2023·山东济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2，点P (1，1)在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是()A ．|QF 1|＋|QP |的最小值为2a －1B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆CD ．若PF 1→＝F 1Q →，则椭圆C 的长轴长为5＋17答案ACD解析由题意知2c ＝2，则c ＝1，因为点Q 在椭圆上，所以|QF 1|＋|QF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QP |＝2a －|QF 2|＋|QP |，又－1≤－|QF 2|＋|QP |≤1，所以A 正确；因为点P (1，1)在椭圆内部，所以b ＞1，2b ＞2，所以B 错误；因为点P (1，1)在椭圆内部，所以1a 2＋1b 2＜1，即b 2＋a 2－a 2b 2＜0，又c ＝1，b 2＝a 2－c 2，所以(a 2－1)＋a 2－a 2(a 2－1)＜0，化简可得a 4－3a 2＋1＞0(a >1)，解得a 2＞3＋52或a 2＜3－52(舍去)，则椭圆C 的离心率e ＝ca＜13＋52＝15＋12＝5－12，又0<e <1，所以椭圆C 所以C 正确；由PF 1→＝F 1Q →可得，F 1为PQ 的中点，而P (1，1)，F 1(－1，0)，所以Q (－3，－1)，|QF 1|＋|QF 2|＝（－3＋1）2＋（－1－0）2＋（－3－1）2＋（－1－0）2＝5＋17＝2a ，所以D 正确．故选ACD.18．(多选)(2023·辽宁大连模拟)已知椭圆C ：x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，左、右顶点分别是A 1，A 2，点P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，则下列说法正确的是()A ．|PF 1|＋|PF 2|＝4B ．存在点P 满足∠F 1PF 2＝90°C ．直线PA 1与直线PA 2的斜率之积为－916D ．若△F 1PF 2的面积为27，则点P 的横坐标为±453答案CD解析由椭圆方程，知a ＝4，b ＝3，c ＝7，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，A 错误；当P 在椭圆上、下顶点时，cos ∠F 1PF 2＝2a 2－4c 22a 2＝18>0，即∠F 1PF 2的最大值小于π2，B 错误；若P (x ′，y ′)，则k P A 1＝y ′x ′＋4，k P A 2＝y ′x ′－4，有k P A 1·k P A 2＝y ′2x ′2－16，而x ′216＋y ′29＝1，所以－16y ′2＝9(x ′2－16)，即有k P A 1·k P A 2＝－916，C 正确；若P (x ′，y ′)，△F 1PF 2的面积为27，即2c ·|y ′|2＝27，故y ′＝±2，代入椭圆方程得x ′＝±453，D 正确．故选CD.19．(2023·河北邯郸二模)已知O 为坐标原点，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，上顶点为B ，线段BF 的中垂线交C 于M ，N 两点，交y 轴于点P ，BP →＝2PO →，△BMN 的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解如图，由题意可得|BP |＝23b ，|PO |＝13b ，连接PF .由题意可知|BP |＝|PF |，在Rt △POF 中，由勾股定理，得|PO |2＋|OF |2＝|PF |2，＋c 2，整理得b 2＝3c 2，所以a 2－c 2＝3c 2，即a 2＝4c 2，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝12.在Rt △BOF 中，cos ∠BFO ＝|OF ||BF |＝c a ＝12，所以∠BFO ＝60°.设直线MN 交x 轴于点F ′，交BF 于点H ，在Rt △HFF ′中，有|FF ′|＝|HF |cos ∠BFO ＝a ＝2c ，所以F ′为椭圆C 的左焦点，又|MB |＝|MF |，|NB |＝|NF |，所以△BMN 的周长等于△FMN 的周长，又△FMN 的周长为4a ，所以4a ＝16，解得a ＝4.所以c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 212＝1.20．已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解(1)不妨设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c .在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos60°＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝（|PF 1|＋|PF 2|）2－2|PF 1|·|PF 2|－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝4a 2－2|PF 1|·|PF 2|－4c 2，所以3|PF 1|·|PF 2|＝4b 2，所以|PF 1|·|PF 2|＝4b 23.又因为|PF 1|·|PF 2|＝a 2，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立，所以3a 2≥4(a 2－c 2)，所以c a ≥12，所以e ≥12.又因为0<e <1，所以椭圆的离心率的取值范围是12，(2)证明：由(1)可知|PF 1|·|PF 2|＝43b 2，所以S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin60°＝12×43b 2×32＝33b 2，所以△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．。
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无色透明 无味 常温下 呈液态
沸点 凝固点 水的异 常现象
100℃
0℃ 4℃时密度最大 （4 ℃以下时热缩冷 胀，4 ℃以上时热胀 冷缩）
电解水实验
实 验 现 象 1、电极上有气体生 成 实 验 结 论 水是由氢、氧 组成的
2 、正极产生的气体 生成的氢气和 氧气的体积比 能使带火星的木条复 燃； （体积少） 是2：1 （氧气） 3、负极产生的气体能 燃烧，发出淡蓝色火焰 （体积多） （氢气）
到液体的压力FA＿＿FB； ＞
（2）A和B两容器对水平桌面的压强pA′＿＿pB′； ＞
＞ 两容器对水平桌面的压力FA′＿＿FB′。
4、水和其他液体对 容器的底部和侧壁 都会产生压强，深 度越大，压强越大。
2、封冻的江河冰面能承受的最大压强为 4×104帕。在冰面上行驶的雪撬质量和人 为200千克，它与冰面接触面积是0.4米2， 在保证安全的情况下，雪撬上最多能装 多少货物?(g=10N/kg)
体，浮力和重力平衡. F浮=G物
1、将质量是2.34千克的钢块浸没在水中，受到的浮力
是多大？(g=10N/kg;钢的密度为7.8×103千克/米3 ) ρ=m/v F浮=ρ液 gV排
大石块沉入水，与底部没紧密接触，比较它们受到的浮 大石块 力， ____受到的浮力大。 F浮=ρ液 gV排 3、一石块直接挂在弹簧秤上，读数为15N；将其逐渐 全部浸入水中其读数减小到8N,说明石块受到浮力 为 7 N,方向为 竖直向上 。
1400kg
3、容器内装满水，在它的侧壁的不同深度开三 个小孔，水从孔中射出。试判断图10-5中水从 孔中喷射正确的画法 乙
我们已经学习了3种求浮力的方法：
1）实验测量法：（又叫弹簧测力计法） F浮 = G – F液读 2）阿基米德原理法： 浮=G排 F
F浮=ρ液 gV排 3）二力平衡法：对于悬浮或漂浮的物
木
铁
木
铁
3、完全相同的两个木球分别放入酒精和 水中，木球都漂浮在液面上，受到的浮 力分别是F酒精和F水，则F酒精 ＝ F木。
感悟笔记
浮力大小的比较方法:
一、利用阿基米德原理： F浮=ρ液gV排 1、 ρ液相同，比较V排的大小． 2、 V排相同，比较ρ液的大小． 二、利用物体的浮沉条件： F浮与G物比大小 １、F浮>G物， 物体上浮至液面上 ２、F浮= G物，物体悬浮在液体中任何位置 ３、F浮<G物， 物体下沉至容器底
(5)、方向：与受力物体的表面 垂直
并指向
受力物体
F
F
FFBiblioteka 压力和重力的区别重力
概念 产生 原因 方向
由于地球的吸引而 使物体受到的力 地球的吸引 竖直向下 重心 地球
压力
垂直压在物体表面 上的力
物体间相互挤压 垂直于接触面并指 向受力物体 受力物体的接触面 被支撑的物体
作用点
施力 物体
压强
1、压力是垂直压在物体表面的力， 压力的方向垂直接触面并指向被压物体。
2、物体单位面积上受到的压力叫压强。 压强的公式： P= F S 单位：帕（牛/米2）
方法 增大 压强
减小 压强
受力面积不变，增大压力
压力不变，减小受力面积
受力面积不变，减小压力 压力不变，增大受力面积
1、如图A和B，两个容器的质量和底面积都相同。 （1）A和B两容器底部受到液体的压强pA＿＿pB；受 ＞
1、下列字母代表的水体类型分别是：
海洋水 淡水 A、＿＿＿＿＿，B、＿＿＿＿＿＿， 冰川水 地下淡水 D、＿＿＿＿＿ ，E、＿＿＿＿＿；
水循环的类型
根据图1—1，写出图示有关过程的名称。 ①______； ③_______； ④______。 降水 蒸腾作用 水汽输送
内因、外因
颜色 气味 状态
有几种方法？ 1、比密度 2、比质量 3、比体积
一、固体的压力和压强： 1、压力： 垂直压在物体表面上的力 ⑴ 定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫压力。 ⑵ 压力并不都是由重力引起的，只有在特 殊时，压力F = 物体的重力G
(3)、成因：物体间 由于相互挤压
而产生的。
(4)、作用点：在 受力物体
的表面上。
密度知识的应用
1、求密度
公式： ρ=m/v
2、求质量
从密度公式ρ=m/v得出m= ρv
3、求体积 从密度公式ρ=m/v得出v= m/ρ 4、物质的鉴别
密度是物质的一种特性
1、某学校有一个5千克的实心铅球， 体积是5分米３，它的密度是多少? 已知铅的密度为11.3×10３千克／米３． 那么，该铅球是用纯铅做的吗?
定义
单位体积某 质量 密 种物质的质 密度 度 量 体积 物体单位面 积上受到的 压力
公式
m V
压 强 浮 力
F P= S
表示的含义 影响因素 水密度为1000 与质量和 3 3 千克/米 表示 kg/m 体积为1立方 体积大小 米的水的质量 无关 为1000千克 表示压力的作 与压力和受力 面积大小有关 用效果。 帕 每平方米面积 （液体压强与 上的压力是 1 液体密度和深 度有关） 牛 N 与液体密度 和排开液体 的体积有关
单位
浸在液体里 的物体受到 F浮＝G排液 液体向上托 ＝ρ V g 液 排液 的力
小结
循环 性质
水
压强
密度
浮力
液体 压强
压力
浮力产 生原因
密度知识结构 定义： 某种物质单位体积的质量 公式：
密 度
千克/米3（Kg/m3 ）； 单位：
克/厘米3（g/cm3 ）
换算： 1000kg/m3 = 1g/cm3 测量： 天平、量筒
1、水的密度是 1000 千克/米3，合 1 克/厘米3。它表 示 体积为1立方米的水的质量为1000千克 。1Kg的水结成了冰， 变小 其质量 不变 ，体积 变大 ，密度________. 2、对于公式ρ = m/v，下列说法中正确的是 （ C ） A、质量越大，密度越大 B、体积越大，密度越小 C、密度是质量与体积的比值 D、以上说法都不正确 3、有一瓶氧气，质量为5Kg，用掉3Kg后，瓶内剩余氧气的 密度 （ B ） A、与瓶内原来氧气的密度一样 B、是瓶内原来氧气密度的2/5 气体体积不变 C、是瓶内原来氧气密度的3/5 D、条件不足，无法确定
170cm3
基本例题（一）
1、体积相同的实心铜球、铁球放入水 中静止后所受浮力分别是F铜、F铁，则 = F铜—— F铁，（ρ铜>ρ铁>ρ水） 2、质量相同的实心铜球、铁球放入水 中静止后所受浮力分别是F铜、F铁，则 F铜 < F铁，（ρ铜>ρ铁> ρ水）
铁
铁
铜
铜
3、体积相同的实心木球、铁球放入水 中静止后所受浮力分别是F木、F铁，则 F木 ＜ F铁，（ρ铁>ρ水>ρ木）
2、将小木块和大石块分别投入水中，小木块浮在水面，
F浮 = G – F液读
4、有一体积为4米3的木块浮在煤油面 上，露出液面的体积是它总体积的1/4， 求木块在煤油中所受到的浮力？
（g=10N/kg;煤油的密度为0.8×103千克/米3 F浮=ρ液gV排 2.4×104牛
）
5、质量为270克的铝球悬浮于水中， 求(1)球受到的浮力应是多少？2.7N 270cm3 (2)球的体积应是多少？ (3)球中间空心部分的体积是多少？ （ρ铝=2.7×103千克/米3 ｇ＝10牛/千克）
ρ液相同，比较V排的大小．
木 铁
4、完全相同的两个实心铁球分别浸没 于水和煤油中，则铁球在 水 中所受 的浮力较大。（ρ煤油﹤ρ水）
V排相同，比较ρ液的大小
基本例题（二）
1、质量相同的实心木球和铁球，放入水 中静止后，受到的浮力分别是F木和F铁， 则F木 > F铁。（ρ木＜ρ水＜ρ铁） 2、质量相同的实心木球和铁球，放入 水银中静止后，受到的浮力分别是F木和 F铁，则 F木 ＝ F铁。（ρ水＜ρ铁＜ρ水银）