材料力学梁弯曲时内力和应力第6节 弯曲切应力

(
h 2

t
)2

计算表明，腹板上最大切应力 max 与最小切应力 min 相差不大，当 d b 时，腹板上的切应力可认为均匀
分布。由于工字钢腹板上切应力的合力与截面剪力十
分接近，故工程中常将剪
力除以腹板面积来计算工
字形截面梁的 max。即
max

FS d (h 2t)
翼缘 腹板
以正应力强度条件为主
（3）外径为 D、内径为 0.95D 的薄壁环形
max
M
max
Wz

[

ql2 8
D4 (0.95D)4 ]
D

27.47
ql 2 D3
64 64
2
max
2 FS max A
2
ql 2
D2 (0.95D)2

13.07
l h
2h2
以正应力强度条件为主
（2）直径为 d 的圆
max

M max Wz
4ql 2
d 3

1 ql2 8

32
d
3
max

4 FS max 3A
8ql
3d 2

4
1 2
ql
3 d2
4
结论
FA
FB
4ql 2
max max

d 3
8ql

3l 2d
3d 2
的面积矩。
工字形截面梁：


FS
S
* z
Izd

FS IZ
bdt
(
h 2

t 2
)

1 2
[(
h 2
t)2

y2 ]
上式表明腹板上的切应力按抛物线规律变化。
最大弯曲切应力 max 发生在中性轴 y 0 处，故
max

FS Iz
bt d
(h 2
t ) 2
1 2
最大剪力和最大弯矩
FS
max

1 2
ql
M
max

1 8
ql 2
（1）高为宽 2 倍的矩形
max
M max WZ

1 8
ql
2
Fra Baidu bibliotek
1 h h2
max

3
3ql 2 2h3
FS max 2A

62
3
1 2
ql
2 h h

3ql 2h2
2
FA
FB
3ql 2
max max

2h3 3ql
A
在下列情况下需要进行切应力强度校核：
短粗梁，及支座附近有较大集中力作用的细长梁，
此时，梁的最大弯矩
| FS |max 可能会较大；
|
M
|max
可能较小，而最大剪力
焊接或铆接的工字形等薄壁截面梁，当截面的腹板
厚度与梁高之比小于型钢截面的相应比值时，横截
面上可能产生较大的 max ；
对于各向异性材料制成的梁，例如木梁，它在顺纹 方向的抗剪能力差，可能沿中性层发生剪切破坏。
t
min max
min
薄壁圆环形截面梁：
最大弯曲切应力在截面中性
轴上，其值约为
max
max

2
FS A
式中梁横截面面积 A 2Rt
四、切应力强度条件
FS R
max
z
t
y
各种截面形状梁 最大切应力一般公式
max
K
FS max A
式中 A为横截面面积。系数取值如表 5-2

h 2
2
y )

b 2
(h2 4

y2)
Iz

bh2 12


FS
S
* Z
Izb

6FS bh3
(h2 4
y2)


6FS bh3
(h2 4

y2)
在横截面的上、下边缘处
yh 2
0
在中性轴上， y 0 ，出现最大切应力
max

3 2
FS bh
对矩形截面梁 切应力强度条件
四、切应力强度条件
各种截面形状梁 最大切应力一般公式
max
K
FS max A
式中 A为横截面面积。系数取值如表 5-2
表 5-2
梁截面形状 矩 形
圆 形 工字型 薄壁环形
K
3 2
4 3
1
2
• 对等直梁而言，最大工作应力 max 发生在最大剪
力| FS |max 的截面内。
• 切应力强度条件为梁的最大工作应力 max 不超过 构件的许用切应力 [ ] ，即
例5-12 图示简支梁受均布载荷作用，梁长度 l ，
截面形状为
（1）高为宽 2 倍的矩形；（2）直径为 d 的圆； （3） 外径为 D、内径为 0.95D 的薄壁环形。
试求各种截面梁的最大正应力和最大切应力，并比
较其大小。
FFAA
FFBB
解：求支座反力
FA

FB

1 2
ql
绘制梁的剪力图 2 8
绘制梁的弯矩图
一、矩形截面梁 的切应力
假设
C
• 截面上任一点
切应力 的方
向均平行于剪
力 FS ；
• 切应力沿矩形 截面的宽度 b 均匀分布，即 切应力的大小
只与 y 有关
在横截面上距中性轴为 y 处的切应力


FS
S
* z
Izb
距中性轴为 y 处横线以下面积对中性轴的面积矩为
S
* z

b( h 2

y) （y
工程中遇到的大多数梁，不是纯弯曲，即梁的内力
既有弯矩又有剪力，截面上存在正压力和切应力。在 弯曲问题中，一般对细长梁来说，正应力是强度计算 主要因素。但对于如跨度短而截面大的梁，腹板较薄 的工字梁，载荷距支座较近的梁等，可能发生由弯曲 切应力引起的破坏，因此需计算弯曲时梁的切应力。
弯曲切应力的分布规律要比正应力复杂。横截面 形状不同，切应力分布情况也就不同。对于简单形状 的截面，可以直接就弯曲切应力分布规律作出合理的 假设，利用静力学关系建立起相应的计算公式。但对 于形状复杂的截面，要对弯曲切应力的分布规律作出 合理的假设是困难的，需利用弹性力学理论或实验比 拟方法进行研究。
max

3 2
FS max bh

[
]
二、圆形截面梁的切应力
AB 弦上的最大切应力在端点 A 或 B ，切应力为
FSR R2 y2
3Iz
其中 Iz d 4 R4
64 4
max
FSR R2 y2
3Iz
在中性轴上，y 0
得到切应力最大值
其中 Iz d 4 R4
对各种截面梁 切应力强度条件
max K
FS max [ ]
A
注意
• 在进行强度计算时，必须同时满足正应力和切应 力强度条件。通常是先按正应力强度条件选择截 面的尺寸、形状或确定许可载荷，必要时再用切 应力强度条件校核。
对各种截面梁 切应力强度条件
max K
FS max [ ]
64 4
max

4FS
3R2
三、薄壁截面梁的切应力
假 • 弯曲切应力平行于截面侧边； 设 • 弯曲切应力沿壁厚方向均匀分布。
薄壁截面切 应力公式为


FSS
* z
Izd
的 性式惯轴中性 为矩FyS，的为d横横为线截欲以面求外上切部的应分剪力的力处横，的截I截z面为面面横厚积截度对面，中对S z*性为中轴距性轴中z