稳恒磁场

磁感应强度9-1 如图9-1所示，一条无穷长载流20 A 的直导线在P 点被折成1200的钝角，设d ＝2cm ，求P 点的磁感应强度。

解：P 点在OA 延长线上，所以OA 上的电流在P 的磁感应强度为零。

作OB 的垂线PQ ，︒=∠30OPQ ，OB 上电流在P 点的磁感应强度大小0021(sin sin )(sin sin 30)4cos3024I I B d PQμμπββππ=-=+︒︒247m Wb/1073.1)211(2302.0420104--⨯=+⨯⨯⨯⨯=ππ，方向垂直于纸面向外。

9-2半径为R 的圆弧形导线与一直导线组成回路，回路中通有电流I ，如图9-2所示，求弧心O 点的磁感应强度（图中 ϕ 为已知量）。

解：Θ圆环电流在圆心处的磁场 RIB 20μ=∴圆弧ABC 在O 处的磁场 )22(201πϕπμ-=R I B 方向垂直纸面向里又直线电流的磁场 021(sin sin )4IB aμθθπ=-，∴直线AB 在O 处的磁场 0002[sin sin()]2sin 4222224cos2I I I tg B a R R μμμϕϕϕϕϕπππ=--=⋅= 方向垂直纸面向里弧心O 处的磁场 012(22)42I B tg B B R μϕπϕπ=+=-+ 9-3 两根长直导线沿半径方向引到铁环上A 、B 两点，并与很远的电源相连。

如图9-3所示，求环中心的磁感应强度。

解：设铁环被A 、B 两点分成两圆弧的弧长分别为l 1、l 2，电阻分别为R 1、R 2，电流分别为I 1、I 2。

由图知 R 1与R 2并联，∴l l R R I I 121221== 即 l I l I 2211=∴I 1在O 点的磁感应强度Rl I R lR I B 21101101422πμπμ=⋅=方向垂直于纸面向外 ∴I 2在O 点的磁感应强度Rl I R l RI B 22202202422πμπμ=⋅=方向垂直于纸面向内图9-1即 B ϖ1、B ϖ2大小相等，方向相反。

∴0201=+=B B B ϖϖϖ9-4一半径为R 的薄圆盘，其中半径为r 的阴影部分均匀带正电，面电荷密度为+σ，其余部分均匀带负电，面电荷密度为-σ（见图9-4）。

设此盘以角速度为ω绕其轴线匀速转动时，圆盘中心O 处的磁感应强度为零，问R 和r 有什么关系？并求该系统的磁矩。

解：（1）取半径为r '、宽为r 'd 的圆环面元，所带电量 r r s q ''⋅==d 2d d πσσ产生的电流 q I d 2d πω=∴2d 2d 222d d 000r r r r r I B '='''⋅⋅='=ωσμπσπωμμr r <'的部分产生的磁场00022rrdB dr B ωσωσμμ+'===⎰⎰方向水平向右R r r <'<的部分产生的磁场)(2d 2d 00r R r B B Rr-='==⎰⎰-ωσμωσμ 方向水平向左由题意 00=-=-+B B B 即0)2(20=-R r ωσμ， ∴r R 2=（2）I d 的磁距大小 r d r dI r dP m ''='=32ωσππr r <'部分 34014rm dr P r r ωσπωσπ+'=='⎰ 方向水平向右R r r <'<部分 )(41443r R r d r P Rrm -=⎰''=-ωσπωσπ 方向水平向左∴R R R R r P P P m m m 44444327)81(41)2(41ωσπωσπωσπ-=-=-=-=-+ 方向水平向左 9-5氢原子处在正常态（基态）时，它的电子可看作是在半径为a ＝0.53×10-8cm 的轨道（称为玻尔轨道）上作匀速圆周运动，若电子在轨道中心处产生的磁感应强度大小为12.5T ，求（1）电子运动的速度大小？（2）该系统的磁矩。

（电子的电荷电量e ＝1.6×10-19C ）。

解：（1）作匀速圆周运动的电子，形成电流的电流强度为 ave t e I π2⋅=∆=I 在轨道中心处产生的磁感应强度 a ev aIB 20042πμμ==∴s m 102.2106.11014.345.12)1053.0(14.3441619710202----⋅⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==eB a v μπ图9-4（2）m A 1033.921053.0102.2106.122224106192⋅⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==⋅==---eva a a ev IS P m ππ磁通量9-6已知一均匀磁场的磁感应强度B ＝2T ，方向沿x 轴正方向，如图9-6所示，已知ab ＝cd ＝40cm ，bc ＝ad ＝ef ＝30cm ，be ＝cf ＝30cm 。

求：（1）通过图中abcd 面的磁通量；（2）通过图中befc 面的磁通量；(3)通过图中aefd 面的磁通量。

解：（1）B ϖ垂直穿过平面abcd∴Wb 24.03.04.021-=⨯⨯-=-=⋅=abcd abcd m BS S B Φϖϖ负号表示B ϖ线穿入该面（2）B ϖ平行于平面befc ，090cos 2=︒=⋅=Φ∴BS S B m befc ϖϖ（3）穿入平面abcd 的磁力线数与穿出aefd 平面的磁力线数相同∴Wb 24.012=-=m m ΦΦ9-7两平行长直导线相距d ＝40cm ，每根导线载有等量同向电流I ，如图9-7所示。

求：（1）两导线所在平面内，与左导线相距x （x 在两导线之间）的一点P 处的磁感应强度。

(2)若I ＝20A ，通过图中斜线所示面积的磁通量（r 1＝r 3＝10cm ，l ＝25cm)。

解：建立如图所示的坐标系（1）左导线在P 点的磁感应强度 xIB πμ201=，方向垂直纸面向下 右导线在P 点的磁感应强度 )(202x d IB -=πμ，方向垂直纸面向下∴)11(2021xd x I B B B -+=+=πμ，方向垂直纸面向下（2）在x 处取宽为d x 的面元 d S=l d x 设方向垂直纸面向下，其上磁通量x l xd x I S B md )11(2d d 0⋅-+=⋅=Φπμϖϖ ∴Wb 102.2d )11(2d 60211-+⨯=⋅-+=⋅=⎰⎰r r r x l xd x I S B Φm πμϖϖ安培环路定律9-8如图9-8所示的导体圆管，内、外半径分别为a 和b ，导体内载有电流I ，设电流I 均匀分布在导体圆管的横截面上，求：（1）磁感应强度的分布；（2）通过每米导体圆管S 平面内（阴影部分）的磁感应通量。

解：（1）作半径为r 、圆心在轴线上的圆为积分回路，由安培环路定律 a r <： 0211=⋅=⋅⎰r B l d B L πϖϖ， ∴01=B ϖ图9-6图9-7图9-8b r a <<：)()(22222002a r a b I I r B -⋅-='=⋅ππμμπ∴)(2)(222202a b r a r I B --=πμ，方向与I 满足右手螺旋法则b r >： I r B μπ032=⋅，∴rIB πμ203=，方向与I 满足右手螺旋法则（2）取面元 r r l S d d d ==∴aba b a I I dr r a r a b Ibam ln )(24)(22220022220--=--=Φ⎰πμπμπμ9-9在半径为R 的无限长圆柱形导体内部挖去一半径为r 的无限长圆柱体，两柱体的轴线平行，相距为d ，如图9-9所示。

该导体中通有电流I ，且I 均匀分布在横截面上。

求：（1）圆柱导体轴线上的磁感应强度；（2）空心部分轴线上的磁感应强度。

解：填补法。

设在半径为r 的空间中通有等量而反向的电流，其电流密度与导体中相同（1）圆柱导体轴线的磁场由半径为r 的无限长圆柱体中电流产生∴r r R II d B l B L22201011)(2d ππμμπ⋅-⋅==⋅=⋅⎰ϖϖ，)(222201r R d r I B -=πμ（2）空心部分轴线上的磁场由半径为R 的无限长圆柱体中电流产生∴d r R II d B l B L22202022)(2d ππμμπ⋅-⋅==⋅=⋅⎰ϖϖ，)(22202r R IdB -=πμ9-10如图9-10所示，两无穷大平行平面上都有均匀分布的面电流，面电流密度分别为1i ϖ和2i ϖ，两电流密度方向平行。

求：（1）两面之间的磁感应强度；（2）两面之外空间的磁感应强度。

解：无穷大板的磁感应强度大小 20iB μ=，建立如图所示坐标系（1）两板之间，e i B x ϖϖ2101μ=， e i B x ϖϖ2202μ-=∴e i i B B B xϖϖϖϖ)(221021-=+=μ（2）在右板之外时，e i B x ϖϖ2101μ=， e i B x ϖϖ2202μ=， ∴e i i B B B xϖϖϖϖ)(221021+=+=μ在左板之外时，e i B x ϖϖ2101μ-=， e i B x ϖϖ2202μ-=，∴e i i B B B x ϖϖϖϖ)(221021+-=+=μ2i ϖ图9-109-11如图9-11所示，一均匀密绕的环形螺线管，匝数N ，通有电流I ，横截面为矩形，圆环内、外半径分别为R 1和R 2。

求：（1）环形螺线管内外的磁场分布；（2）环形螺线管横截面的磁通量。

解：（1）磁场分布为以环轴为圆心的一圈圈圆。

取一B ϖ线为积分回路，方向与B ϖ相同。

由安培环路定律，环管内磁场满足NI r B l B Lμπ02d =⋅=⋅⎰ϖϖ，得 r NIB πμ20= 环管外有 02=⋅r B π 即 0=B（2）在横截面上取一宽度为d r 的长条面元，磁通量为r b rNIS B S B m d 2d d d 0⋅==⋅=Φπμϖϖ，∴1200ln 2d 2Φ21R R NIb r r NIb R R m πμπμ==⎰磁场对电流的作用（安培力）9-12半径为R 的平面圆形线圈中载有自流I ， 若线圈置于一个均匀磁场B ϖ中，均匀磁场方向与线圈平面垂直，如图9-12，则（1）线圈上单位长度的电流元所受磁场力为多少？（2）左半圆受力如何？（3）整个圆形线圈又如何？ 解：（1）任取一电流元Idl v，所受磁场力dF Idl B =⨯v vv大小 dF IBdl = 方向指向圆心（2）由对称性可知，左半圆受力方向水平向右22cos cos dF IB Rd IBR F ππαααα-==⋅⋅=⎰⎰左（3）右半圆受力水平向左，大小与左半圆相同，所以整个圆形线圈受力为零。