2018届九年级数学上册第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程一课件新版北师大版

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用公式法求解一元二次方程第1课时课件北师大版九年级上册数学

值；
(2)定根:求出 b2－4ac 的值，并与
方程是否有根；
0
比较大小，判断
预习导学
(3)代值:在 b2－4ac≥0 的前提下，把a、b、c的值代入
−± −
求根公式 x＝
，计算后得到方程的根.

预习导学
2.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根可以由
来判定，我们把
b2－4ac 叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝
公式法 .
，利用求根公式解一元
预习导学
·导学建议·
求根公式的推导是本节课的难点，要注意引导学生弄清楚
求根公式的推导过程，也就是Байду номын сангаас用“配方”法解字母系数的一
元二次方程的过程.
预习导学
公式法的应用与根的判别式
阅读教材本课时“例”及其后面的内容，完成下列问题.
1.公式法解一元二次方程的一般步骤:
(1)化简:把方程化为一般情势，从而确定a、b、c的
，x2＝
.

………………第四步
合作探究
(1)小明解答过程是从第
因是
.
步开始出错的，其错误原
(2)写出此题正确的解答过程.
解:(1)一；原方程没有化成一般情势.
(2)∵a＝1，b＝－5，c＝－1，
∴b2－4ac＝(－5)2－4×1×(－1)＝29，
±
∴x＝
，

+
−
∴x1＝
，x2＝
等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)若m为正整数，求此时方程的根(用公式法).
解:(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22－4×1×(2m－3)＝16－8m＞0，

北师大版九年级数学上册第二章2.3用公式法解一元二次方程(教案)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式及其应用和根的判别式这两个重点。对于难点部分，如判别式的计算和应用，我会通过具体的例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用物理抛物线运动的例子来演示一元二次方程的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的基本概念。一元二次方程是形如ax² + bx + c = 0的方程，其中a、b、c是常数，且a≠0。它是解决许多现实问题的有力工具，尤其在物理学、经济学等领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何使用公式法解决实际问题中的一元二次方程。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一元二次方程在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
2.教学难点
-求根公式中各个参数的代入和计算过程，尤其是根号内判别式的计算；
-理解并应用根的判别式Δ来判断根的性质，包括Δ>0、Δ=0、Δ<0三种情况；
-在实际问题中，如何将问题转化为标准的一元二次方程形式，以便应用求根公式；
-对于系数a、b、c为分数或小数时，如何进行精确计算。
举例：在解决一元二次方程2x² - 5x + 3 = 0时，学生可能会在计算判别式Δ时出错，或者在将分数系数化简为整数时遇到困难。教师需要针对性地解释和演示如何进行这些计算，以及如何避免常见的计算错误。

用公式法求解一元二次方程课件北师大版数学九年级上册

程ax2＋bx＋ Δ=b2－4ac=0 方程有两个相等的实数根
c=0
Δ=b2－4ac<0 方程没有实数根
知2－讲
特别说明：(1)由Δ=b2－4ac 的符号可判定ax2＋bx＋c=
0(a ≠ 0)的根的情况. 反之，由ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)的根的
情况也可得到Δ=b2－4ac 的符号.
(2)一元二次方程有实数根(或有两个实数根)包括有两
2k－1=0 的根的情况为(
A. 有两个相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个不等的实数根
D. 无法判断
)
知2－练
思路导引：
解：∵ a=1，b=－2(k＋1)，c=－k2＋2k－1，
∴ Δ =b2－4ac=［－2(k＋1)］2－4×1×(－k2＋2k－
1)=8＋8k2>0.
当方程中的a，b，c含有字母时，求出
第二章一元二次方程
3 用公式法求解一元二次方程
1 课时讲授用公式法解一元二次方程
一元二次方程根的判别式
2 课时流程
逐点
导讲练
课堂
小结
作业
提升
知识点 1 用公式法解一元二次方程
知1－讲
1. 求根公式：对于一元二次方程ax2＋bx＋c= 0(a ≠ 0)，当
b2－4ac
≥ 0 时，它的根是x =
知1－练
(3)x2－2x＋3=0.
解：这里a=1，b=－2，c=3 .
∵ b2 －4ac=(－2)2 －4×1×3=－8<0，
∴方程无实数根.
知1－练
知1－练
1-1. 用公式法解下列方程：
(1)y2－2y－2=0；
解：这里 a＝1，b＝－2，c＝－2.

北师版数学九年级上册《2.3 用公式法求解一元二次方程》第1课时用公式法求解一元二次方程教学课件

是否也能用配方法得出它的解呢？
用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
解：移项，得 ax2 bx c.
方程两边都除以 a，得 x2 b x c .
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.
即
x
b 2a
2
b2 4ac 4a 2
例5 已知一元二次方程 x2 + x = 1，下列判断正确的是( B ) A. 该方程有两个相等的实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程无实数根 D. 该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为 x2 + x - 1 = 0.∵b2 - 4ac = 14×1×(-1) = 5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选 B.
方法归纳判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式 ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).
•b2 - 4ac ＞ 0 时，方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根.
•b2 - 4ac ＜ 0 时，方程无实数根.
0)；
视频：求根公式的趣味记忆
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二公式法解方程
典例精析
x b b2 4ac 2a
例1 用公式法解方程 5x2 - 4x - 12 = 0. 解：∵a 5，b 4，c 12，
∴ b2 - 4ac = (-4)2 - 4×5×(-12) = 256 ＞ 0.
∴ x b b2 4ac (4) 256 4 16 = 2 8 .

九年级数学教案--2.3用公式法求解一元二次方程(2)

导学案年级：九年级上册第二章一元二次方程第3节用公式法求解一元二次方程（2）学习目标：1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b 2－4ac 对根的情况的判断作用2、能用b 2－4ac 的值判别一元二次方程根的情况预习案课前导学：1. 议一议：一元二次方程ax 2 + bx+c ＝０（ａ≠０）在什么情况下有实数根？在什么情况下没有实数根？尝试练习1.写出求根公式：2.用公式法解一元二次方程：（1） x 2-2x =1 （2）4y 2+12y+9=0学习案知识点拨一元二次方程ax 2 + bx+c ＝０（ａ≠０）在求解时，起着重要的作用，我们可以根据的值的符号来判断的根的情况，因此，我们把 24b ac -叫做___________________，通常用符号“ （读作delta ，它是希腊字母）”来表示，即 =24b ac -(1)()22004ax bx c a b ac ++=≠-在一元二次方程中，△＝若△＞0 则方程______________________若△ =0 则方程________________若△＜0则方程_______________________（2）()22004ax bx c a b ac ++=≠-在一元二次方程中，△＝若方程有两个不相等的实数根，则__________若方程有两个相等的实数根，则___________若方程没有实数根，则____________课内训练1、不解方程判别下列方程根的情况：（1） x2+3x-1 =0 （2）2y2-3y+4=02、k取什么值时，方程x2－kx +4=0有两个相等的实数根？反馈案基础训练1、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .2、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（）A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定3下列方程中，没有实数根的方程式（）A.x2=9B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=04、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5、若方程2610-+=有实数根，则k的范围是_____________________。

用公式法解一元二次方程说课稿

2.3用公式法解一元二次方程说课稿今天我说课的内容是北师大版九年级数学上册第二章《2.3用公式法解一元二次方程》。

我主要从教材分析、教法分析、过程分析、板书设计四个方面对本节课作如下说明.一、教材分析（一）教材的地位和作用“一元二次方程的解法”是初中代数的方程中的一个重要内容之一，是在学完一元一次方程、因式分解、数的开方、以及前三种因式分解法、直接开方法、配方法解一元二次方程的基础上，掌握用求根公式解一元二次方程，是配方法和开平方两个知识的综合运用和升华。

通过本节课的教学使学生明确配方法是解方程的通法，同时会根据题目选择合适的方法解一元二次方程。

一元二次方程的解法也是今后学习二次函数和一元二次不等式的基础。

（二）教学目标知识技能方面：理解一元二次方程求根公式的推导过程，会用公式法解一元二次方程。

数学思考方面：通过求根公式的推导过程进一步使学生熟练掌握配方法，培养学生数学推理的严密性和逻辑性以及由特殊到一般的数学思想。

解决问题方面：结合用公式法解一元二次方程的练习，培养学生快速准确的运算能力和运用公式解决实际问题的能力。

情感态度方面：让学生体验到所有的方程都可以用公式法解决，感受到公式的对称美、简洁美，渗透分类的思想；公式的引入培养学生寻求简便方法的探索精神和创新意识。

（三）教学重、难点重点：掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤；会熟练用公式法解一元二次方程。

难点：理解求根公式的推导过程和判别式二、教学法分析教法：本节课采用引导发现式的自主探究式与交流讨论结合的方法；在教学中由旧知识引导探究一般化问题的形式展开，利用学生已有的知识、多交流、主动参与到教学活动中来。

学法：让学生学会善于观察、分析讨论和分类归纳的方法，提出问题后，鼓励学生通过分析、探索、尝试解决问题的方法，铜锁亲自尝试，使学生的思维能力得到培养。

三、过程分析本节课的教学设计成以下六个环节：复习导入——呈现问题——例题讲解——巩固练习——课时小结——布置作业。

2.3用公式法求解一元二次方程(第一课时)学历案北师大版数学九年级上册

2023学年九年级数学自主学历案13班级：年级班姓名：学号：一、学习指南：【课程名称】用公式法求解一元二次方程（1）【知识技能目标】1、推导一元二次方程的求根公式；2、会用求根公式解一元二次方程．3、会用根的判别式判别方程根的情况.【思维发展目标】通过推导求根公式，让学生进一步理解配方法.二、学习任务：1.用配方法解下列方程:（1）01422=++x x（2）)0(02≠=++a c bx ax小结：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式是，用求根公式解一元二次方程的方法称为．【例题演练】用公式法解下列方程：(1)01872=--x x解：这里a= ，b= ，c= ∵=-ac b 42（2）01692=++x x（3）0322=+-x x小结：用公式法解一元二次方程的一般步骤是：【基础训练】1.一元二次方程2310x x +-=根的判别式的值为______．2.下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A ．230x =B ．(3)(2)0x x -+=C ．22550x x -+=D ．2440x x ++=3.关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【自我检测】4．用公式法解一元二次方程3x 2﹣4x ＝8时，化方程为一般式，当中的a ，b ，c 依次为（） A ．3，﹣4，8 B ．3，﹣4，﹣8 C ．3，4，﹣8 D ．3，4，85.关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜26.若一元二次方程2x 2﹣3x+c ＝0无实数根，则c 的取值范围为．7.若关于x 的一元二次方程ax 2+4x ﹣2＝0有实数根，则a 的取值范围为．8.用公式法解方程：（1）012=--x x（2）()()1532=--x x（3）03322=+-x x【拓展提升】已知关于x 的方程mx 2﹣（3m ﹣1）x +2m ﹣2＝0．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若m 是整数，且方程总有两个整数根，求m 的值．。

2.3 用公式法解一元二次方程 (第1课时)

课题：2.3《用公式法求解一元二次方程》(第1课时)学习目标：1、理解求根公式的推导过程，理解公式中的条件042≥-ac b 。

2、会用求根公式解简单的数字系数的一元二次方程。

3、理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况。

学习重点、难点：求根公式的推导及运用求根公式解一元二次方程。

学法指导：1、先利用10分钟阅读并思考P41-43页教材内容，通过复习配方法解一元二次方程，初步探究用配方法解方程)0(02≠=++a c bx ax ，得出求根公式，理解公式中的条件042≥-ac b ，并会用求根公式解一元二次方程；初步理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况。

2、将存在疑问的地方标出来，准备课堂上质疑。

一、合作探究探究点一：求根公式的推导1、用配方法解方程)0(02≠=++a c bx ax2、为什么要042≥-ac b ？3、一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：探究点二：利用求根公式解一元二次方程1、解下列方程：（1）x x 7322=+ （2）01232=++x x2、探讨使用求根公式解一元二次方程的一般步骤：探究点三：一元二次方程的根的判别式：1、不解方程，判断下列方程根的情况。

（1）022=++x x （2）01442=+-x x （3）042=+x2、已知关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x ，当k 取什么值时（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根。

三、课堂检测1、用公式法解下列方程：（1）08922=+-x x （2）01692=++x x（3）38162=+x x （4）2342-=x x2、已知一元二次方程022=+-m x x ，且042=-ac b ，求m= 。

3、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三边长。

课堂小结：你学到了什么？你还有什么疑惑？作业（★B 层同学选做题，☆C 为层同学选做题）教材P43页习题2.5的第1、2、3、4课后反思：。

北师大版九年级上册第二章2.3 .1用公式法求解一元二次方程(教案)

2.3 .1用公式法求解一元二次方程教学目的：1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，理解公式法的概念，会纯熟应用公式法解一元二次方程．2、复习详细数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0〔a≠0〕•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．教学重难点：重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入惯用配方法解一元二次方程的一般步骤.2＋bx＋c＝0(a≠0)?3.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法〞，比方，方程〔1〕x2=4 (2)(x-2) 2=7提问1 这种解法的〔理论〕根据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么？〔只对那种“平方式等于非负数〞的特殊二次方程有效，不能施行于一般形式的二次方程。

〕4．面对这种局限性，怎么办？〔使用配方法，把一般形式的二次方程配方成可以“直接开平方〞的形式。

〕〔学生活动〕用配方法解方程 2x2+3=7x总结用配方法解一元二次方程的步骤：(1)现将方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；〔4〕方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；〔5〕变形为(x+p)2=q的形式，假如q≥0，方程的根是x=-p±q；假如q＜0,方程无实根．二、探究新知用配方法解方程（1）a x2－7x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0(3)假如这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0〔a≠0〕，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：ax 2+bx+c=0〔a ≠0〕，试推导它的两个根x 1，x 2(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？) 分析：因为前面详细数字已做得很多，我们如今不妨把a 、b 、c 也当成一个详细数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+x=-配方，得：x 2+x+〔〕2=-+〔〕2即〔x+〕2=∵4a 2>0，4a2＞0, 当b 2-4ac ≥0时≥0 ∴〔x+〕2)2 直接开平方，得：x+=即 ∴x 1，x 2由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0〔a ≠0〕的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：2ba 2ba 2b a 2244b ac a -2244b a c a -2b a 2ba〔1〕解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这表达了公式的统一性与和谐性。

北师大版数学九年级上册用公式法求解一元二次方程课件(共25张)

解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2m+1）x+m （m+1）=0． ∴△=（2m+1）2-4m（m+1）=1＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x=0是此方程的一个根， ∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0， ∴m=0或m=-1， ∵（2m-1）2+（3+m）（3-m）+7m-5=4m2-4m+1+9m2+7m-5=3m2+3m+5，把m=0代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=5；把m=-1代入3m2+3m+5得：3m2+3m+5=3×1-3+5=5．
0(a≠0)没有实数根．
练习
参考答案:
1.用公式法解下列方程.
1). 2x2-4x－1＝0； 2). 5+2＝3x2 ； 3). (x-2)(3x-5) =1;
2.一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角形的三边长.
B
A
C
课堂练习
1．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( A )
x2＝
1－ 2
5
x2＝1－
6 2
.
探究新知
知识模块一探索一元二次方程的求根公式 (一)自主探究
1.你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解: 移项，得 ax2 bx c，
方程两边都除以a x2 b x c ，
a
a
配方，得
x2
b a
x
b 2a
2
c a
b 2a
2
.

九年级数学上册第二章一元二次方程 3用公式法求解一元二次方程(第1课时)习题课件北师大版

【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.方程2x2-3x=1中,b2-4ac=17. ( √ ) 2.方程x2-4x+4=0只有一个实数根. ( × ) 3.一元二次方程有实数根的条件是b2-4ac>0. ( × ) 4.方程x2+bx+c=0的两个实数根是-b± b2 4c .( × ) 5.方程3x2+2x=1中,a,b,c的值分别是a=3,b=2,c=1. ( × ) 6.方程2x2=3x-1的根为 3 1 7 . ( × )
谢谢观赏
You made my day!
【想一想】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当a,c异号时,方程根的情况如何?为什么. 提示:方程总有两个不相等的实数根. 若a,c异号,则4ac<0,所以-4ac>0, 即b2-4ac>0,所以方程总有两个不相等的实数根.
【备选例题】当t取什么值时,关于x的一元二次方程2x2+tx+2 =0. (1)有两个不相等的实数根? (2)没有实数根?
3 用公式法求解一元二次方程第1课时
1.一元二次பைடு நூலகம்程的求根公式:
b b2 4ac
当b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根是x=______2a______.
2.公式法的定义:
用_求__根__公__式__解一元二次方程的方法.
3.一元二次方程根的判别式的定义: 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式是b2-4ac,通常用“_Δ__”表示. 4.一元二次方程的根与根的判别式b2-4ac的关系: (1)当b2-4ac>0时,方程有_两__个__不__相__等__的实数根. (2)当b2-4ac=0时,方程有_两__个__相__等__的实数根. (3)当b2-4ac<0时,方程_没__有__实数根.

2.3.1 用公式法求解一元二次方程(第一课时)

(3)原方程可化为 4y2 – 2.4y+0.36=0 ，这里 a=4,b=-2.4,c=0.36, ∵b2-4ac=(-2.4)2-4×4×0.36=0， ∴原方程有两个相等的实数根.
2.用公式法解下列方程：（1）2x2 –9x+8=0；（3）16x2+8x=3；
解:(1)这里 a=2,b=-9,c=8, ∵b2-4ac=(-9)2-4×2×8=17＞0，
x 9 17 9 17
22
4
x1 9 4 17
,
x2
9
4
17
（2）9x2+6x +1=0；（4）x (x –3)+5=0
(2)这里 a=9,b=6,c=1, ∵b2-4ac=62-4×9×1=0，
x 6 0 1 29 3
即
x1
x2
1 3
2.用公式法解下列方程：（1）2x2 –9x+8=0；（3）16x2+8x=3；
（2）3x2 + 2x + 1 = 0
解：移项，得 2x2 -7x=-3，方程两边同除以2，得
解：方程化为 x2 + 2 x 1 0，
33
x2 7 x 3， 22
x2
+
2 3
x
1 3
2
1 3
2
1 3
0，
配方，得
x2
7 2
x+
7 4
2
3 2
7 4
2
，
x
1 3
2
2 9
x+ b = 2a
b2 4ac 4a2
,
即
x= b 2a

2.3用公式法求解一元二次方程

b b 2 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a

独立作业
知识的升华
P43习题2.5 1,2,3题;
祝你成功！
独立作业
知识的升华
根据题意，列出方程： 1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸,两相去适一丈.问户高,广各几何.” 大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈,那么门的高和宽各是多少? 解：设门的高为 x 尺，根据题意得
我最棒
,会用公式法解应用题!
一个直角三角形三边的长为三个连续偶数,求这个三角形的三边长.
解 : 设这三个连续偶数中间的一个为x, 根据题意得
x x 2 x 2 .
2 2 2
B
即x 8 x 0.
2
解这个方程, 得
x1 8, x2 0(不合题意, 舍去).
1.会用求根公式解一元二次方程； 2.通过公式的推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。 (solving by completing the square) 用配方法解一元二次方程的方法的
3 3.x1 1; x2 . 2
(3). (2x-1)(x-2) =-1;
4 .3 y
2
1 2 3 y.
3 4. y1 y2 . 3
小结
拓展
回味无穷
列方程解应用题的一般步骤: 一审;二设;三列;四解;五验;六答. 用配方法解一元二次方程的一般步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:

北师大版九年级数学2.3用公式法求解一元二次方程(1)教案

2.3 用公式法求解一元二次方程（1）教学内容1．一元二次方程求根公式的推导过程；2．公式法的概念；3．利用公式法解一元二次方程．4. 根据根的判别式值的情况，体会数学分类思想。

教学目标理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重难点关键1．重点：求根公式的推导和公式法的应用．2．难点与关键：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入总结用配方法解一元二次方程的步骤（学生总结，老师点评）．(1)化—化二次项系数为1；(2)移—移项，使得方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配—配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)开—如果方程的右边是非负数，就可左右两边开平方 ;(5)解—解一元二次方程。

二、探索新知如果这个一元二次方程是一般形式ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．用配方法解方程：已知ax 2+bx+c=0（a ≠0）解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+b a x=-c a配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0∴2244b ac a-≥0直接开平方，得：x+2b a=即∴x 1x 2 由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：（1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b-4ac ≥0时，将a 、b 、c 代入式子（2）式子b ²－4ac 叫做一元二次方程ax ²＋bx ＋c ＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b 2－4ac ．（3）上面这个式子称为一元二次方程的求根公式。

2.3用公式法求解一元二次方程(3)

第二章一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程课题§ 2.3 用公式法求解一元二次方程教学目标（一）教学知识点1 •一元二次方程的求根公式的推导.2 •会用求根公式解一元二次方程.（二）能力训练要求1 •通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力.2 •会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程.（三）情感与价值观要求通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯. 教学重点一元二次方程的求根公式教学难点求根公式的条件：b2-4ac > 0教学方法讲练相结合教具准备投影片五张第一张：复习练习（记作投影片§ 2 • 3A第二张：试一试（记作投影片§ 2. 3B）第三张：小亮的推导过程（记作投影片§ 2・3 C）第四张：求根公式（记作投影片§ 2 • 3 D）第五张：例题（记作投影片§ 2・3 E）教学过程1・巧设现实情景，引入课题［师］我们前面学习了一元二次方程的解法•下面来做一练习以巩固其解法. （出示投影片§ 2. 3 A）1 .用配方法解方程2X2-7X+3 = 0.［生甲］解：2x-7x+3 = 0,7 3两边都除以2,得X 2 -X+ 2 = 0・7 3移项，得；X2- 2 X=- 2 •7 7 3 7配方，得X- 2 x+(- 4 ) = - 2 +(- 4 )•两边分别开平方，得7 5X- 4 =± 47 5 7 5 即 x- 4 = 4 或 x- 4 =- 4 -1二 x i =3, X 2= 2 •［师］同学们做得很好，接下来大家来试着做一做下面的练习. (出示投影片§ 2. 3 B)、_fx 、_fx .r 1 Z~1试一试，冃疋仃：1 .用配方法解下列关于 x 的方程：2 2(1) x +ax = 1; (2)x +2bx+4ac = 0. ［生乙］(1)解 x +ax = 1,a a配方得 x?+ax+( 2 )2= 1+( 2)2,, 2a c 4 a (x+2 )2= 4 •两边都开平方，得-a - /4 a 22=22［生丙］(2)解 x -2bx+4ac = 0, 移项，得 x 2+2bx = -4ac . 配方，得 x -2bx+b = -4ac+b , 2 2(x+b) =b -4ac . 两边同时开平方，得 x+b =± . b 2 - 4ac ,即 x+b = .b 2 -4ac , x+b = - b 2 -4ac ••• x 1=-b+、b 2 —4ac , x 2= -b- ，b 2 —4ac ［生丁］老师，我觉得丁同学做错了，他通过配方得到 (x+b) 2= b 2-4ac .根据平方根的性质知道：只有正数和零才有平方根，即只有在 b 2-4ac > 0时，才可以用开平方法解出来.所以，在这里应该加一个条件：b 2-4ac > 0.［师］噢，同学们来想一想，讨论讨论，戊同学说得有道理吗？［生齐声］戊同学说得正确.因为负数没有平方根，所以，解方程x 2+2bx+4ac = 0时，必须有条件：b 2-4ac >0,才有丁同学求出的解.否则，这个方程就没有实数解. ［师］同学们理解得很正确，那解方程x 2+ax = 1时用不用加条件呢？4 a 22a即 x+ 2 =.4 a22旦...4 a 2 x+ 2 =--22…X 1 =-a 4 a 22x+［生齐声］不用. ［师］那为什么呢？数，所以就不必加条件了.［师］好，从以上解题过程中，我们发现：利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的•因此，如果能用配方法解一般的一元二次方程 ax 2+bx+c = 0（a 工0），得到根的一般表达式，那么再解一元二次方程时，就会方便简捷得多.这节课我们就来探讨一元二次方程的求根公式.n.讲授新课［师］刚才我们已经利用配方法求解了四个一元二次方程，那你能否利用配方法的基本步骤解方程ax 2+bx+c = 0（a 丰0）呢？大家可参照解方程 2X 2-7X +3 = 0的步骤进行. ［生甲］因为方程的二次项系数不为 1，所以首先应把方程的二次项系数变为1,即方程两边都除以二次项系数 a ,得2b c x + x =0.a a［生乙］因为这里的二次项系数不为 0，所以，方程 ax 2+bx+c = 0（a 工0）的两边都除以a时，需要说明a 工0.［师］对，以前我们解的方程都是数字系数，显然就可以看到：二次项系数不为 0,所以无需特殊说明，而方程 ax 2+bx+c = 0（a 工0）的两边都除以a 时，必须说明a ^0.好，接下来该如何呢？［生丙］移项，得x 2+b x 二--a a2 b / b 、2 c / b 、2配万，得x + x （）（）,a 2a a 2a［师］这时，可以直接开平方求解吗？［生丁］不，还需要讨论.因为0,所以4a 2>0.当b 2-4ac >0时，就可以开平方. 2恒成立，所以只需 b-4ac 是非负数即可.大家来想一想，讨论讨论:2［师］当 b-4ac > 0 时,生齐声］因为把方程 a2 2x +ax = 1配方变形为(x+ ~2 )=，右边就是个正（x+却b 2-4ac 4a 2［师］对，在进行开方运算时，被开方数必须是非负数,即要求b 2「4ac4a22>0.因为 4a >0因此, 方程(x+ —)2=2ab 2-4ac4a 2的两边同时开方，得2ab 2-4ac 4a 2b 2-4ac 4a 22、b -4ac2ab 2-4ac 2a所以 x+A=± b _4ac2a2a- b 二.b 2- 4ac2ax+A = ±22a ", 4a 2b 2-4ac 丄 b 2-4ac _______ = ± __________2|a|因为式子前面有双重符号“土”，所以无论 a>0还是a<0,都不影响最终的结果：土x 2+b xai2a 丿b 9 b 2-4ac—（x 丁 —） 2 2a 2a 4a如果- 、b 2 - 4ac - 0这样，我们就得到一元 2次方程 ax +bx+c = 0（a 丰0）的求根公式:x 「b b 2-4ac （b 2-4ac , 0）,2a即（出示投影片§ 2. 3 D ）一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c = 0（a 丰0），当b 2-4ac > 0时，它的根是一 b ± lb 2 - 4ac x=—2a[ 师]用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.（Solving by formular ）由此我们可以看到：一元二次方程 ax 2+bx+c = 0（a 丰0）的根是由方程的系数 a 、b 、c 确定的.因此，在解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，然后在 b 2-4ac >0的前提条件下，把各项系数 a 、b 、c 的值代入，就可以求得方程的根. 2 2 注：（1）在运用求根公式求解时，应先计算 b -4ac 的值；当b-4ac > 0时，可以用公式求出两个不相等的实数解；当b 2-4ac v 0时，方程没有实数解•就不必再代入公式计算了.a 、 x=-A ±*2-4眩2a2a好，我们来看小亮的推导过程.（出示投影片§ 2. 3 C ）两边都除以a >配方-- T(2) 把方程化为一般形式后，在确定 a 、b 、c 时，需注意符号.［来源:学科网］接下来，我们来看一例题.(出示投影片§ 2. 3 E) ［例题］解方程X 2-7X -18 = 0.分析：要求方程 X 2-7X -18 = 0的解，需先确定a 、b 、c 的值.注意a 、b 、c 带有符号解：这里 a = 1, b = -7 , c = -18 .••• b 2-4ac=(-7) 2-4 x 1 x (-18)=121> 0,7 - . 121 7 _11 • X= 2 1— 52却 X 1 = 9, X 2 = -2 .［师］好，我们来共同总结一下用公式法解一元二次方程的一般步骤. ［师生共析］其一般步骤是： (1) 把方程化为一般形式，进而确定a 、b ,c 的值.(注意符号)(2) 求出b 2-4ac 的值.(先判别方程是否有根)(3)在b 2-4ac > 0的前提下，把a 、b 、c 的直代入求根公式，求出 ——b 一 4ac 的值,2a最后写出方程的根.［师］接下来我们通过练习来巩固用公式法求解一元二次方程的方法. 川.课堂练习 (一) 课本P 43随堂练习1、2、3 (二)看课本P41〜P43，然后小结.W.课时小结这节课我们探讨了一元二次方程的另一种解法一一公式法. (1) 求根公式的推导，实际上是“配方”与“开平方”的综合应用.对于 a 工0, b 2-4ac> 0以及由a 丰0,知4a 2>0等条件在推导过程中的应用，也要弄清其中的道理.(2)应用求根公式解一元二次方程，通常应把方程写成一般形式，并写出a 、b 、c 的数值以及计算b 2-4ac 的值，当熟练掌握求根公式后，可以简化求解过程.V. 课后作业(一)课本P43习题2. 5 1、2 ( 二)预习内容：P44W. 活动与探究1 .阅读材料，解答问题：阅读材料：为解方程(X 2-1) 2-5(X 2-1)+4 = 0，我们可以将(X 2-1)视为一个整体，然后设 X 2-1 = y ,则 (X 2-1) 2 = y 2，原方程化为 y 2-5y+4=0 .①解得 y 1=4, y 2= 1.2当 y 1 = 4 时，X -1 = 4, ••• X 2 = 5,二 X =± 一 5 .2当 y = 1 时，X -1 = 1, • X 2 = 2,「. X = ± 2 .x 3= 5 , X 4=- 5.解答问题： (1)填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用 _________ 法达到了降次的目的，体现了 _________ 的数学思想. (2)解方程 x 4-x 2-6 = 0.［过程］通过对本题的阅读，让学生在获取知识的同时，来提高学生的阅读理解和解决问题的能力. ［结果］解：(1)换元转化 (2) 设 x 2 = y ,则 x 4=y 2, 原方程可以化为y2-y-6 = 0. 解得 y i =3, y 2= -2 .当 y i =3 时，x 2 = 3,. x =± . 3 . 当y 2= -2时，x 2=-2，此方程无实根. 原方程的解为x i = •、3 , X 2= - . 3 .板书设计§ 2 . 3公式法2、解：2x-7x+3 = 0, 两边都除以2，得27 3 x - x =0.2 2移项，得27 3 x - x .22配方，得.x i =3, X 2= 1 .X 2-］（三）22472（X-”25416两边分别开平方,2二、求根公式的推导三、课堂练习四、课时小结五、课后作业。

北师大版九年级数学上册用公式法求解一元二次方程第2课时课件

(1)若此时花圃的面积刚好为45 m2，求此时花圃的长 BC 和宽 AB ；解：(1)设花圃的宽 AB 为 x 米，则长 BC 为(22－3 x ＋2)米. 根据题意，可得(22－3 x ＋2) x ＝45，解得 x1＝3， x2＝5，当 AB ＝3时， BC ＝15＞14，不符合题意，舍去；当 AB ＝5时， BC ＝9，满足题意. 答：花圃的长 BC 为9米，宽 AB 为5米.
123
第2课时公式法的实际应用
知识梳理课时学业质量评价
3. 如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为14米)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃 ABCD ，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在 BC 上用其他材料做了宽为1米的两扇小门.
123
第2课时公式法的实际应用
知识梳理课时学业质量评价
⁠
第2课时公式法的实际应用
知识梳理课时学业质量评价
1. 用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的矩形.设矩形的长为
x cm，则可列方程为( B )
A. x (20＋ x )＝64
B. x (20－ x )＝64
C. x (40＋ x )＝64
D. x (40－ x )＝64
123
第2课时公式法的实际应用
图3
当堂训练
解：根据题意，得 (16-x)(12-x)=12 ×16×12 ，
或
16
x＋（12－
x
）
x=
1 2
×16×12
，
或12
x＋（16－
x
）
x=
1 2
×16×12
，
或
16
x＋12
x-x2=

2.3《用公式法求解一元二次方程第1课时》北师大版九年级上册教学课件

配方，得 x2 b x + ( b )2 ( b )2 + c 0， a 2a 2a a
(x
+
b )2 2a
b2 4ac 4a 2
0
.
移项，得
( x + b )2 b2 4ac . 能直接开方吗？
2a
4a 2
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
探究任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，请用配方法解此方程.
分析：
(1) ①找对应系数：
(2) ①化一般形式：4x2-4x+1=0；
a=1，b= -7，c= -18； ②找对应系数：a=4，b= -4，c=1；
②判断 b2 - 4ac≥0；
③判断 b2 - 4ac≥0；
③代入求根公式即可. ④代入求根公式即可.
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
次方
进一步发展演绎推理能力.
程
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
复习回顾谁来试一试？
用配方法解方程：2x2 - 4x - 6 = 0.
我是这样解的
解：方程两边都除以 2，得 x2 - 2x - 3 = 0. 移项，得 x2 -2x = 3. 配方，得 x2 - 2x + 1 = 3 + 1，
=
1. 2
创设情境探究新知应用新知巩固新知课堂小结布置作业
议一议
(1) 你能解一元二次方程 x2 -2x + 3 = 0 吗？
分析：∵a = 1，b = -2，c = 3， ∴ b2 - 4ac = (-2)2 - 4×1×3= -8 < 0.

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2.3 用公式法解一元二次方程 (第1课时)

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2.3.1 用公式法求解一元二次方程(第一课时)

2.3用公式法求解一元二次方程

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2.3用公式法求解一元二次方程(3)

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2.3.1 用公式法求解一元二次方程(第一课时)

2.3用公式法求解一元二次方程

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2.3用公式法求解一元二次方程(3)

北师大版九年级数学上册用公式法求解一元二次方程第2课时课件

2.3《用公式法求解一元二次方程第1课时》北师大版九年级上册教学课件

北师版数学九年级上册《2.3 用公式法求解一元二次方程》第1课时用公式法求解一元二次方程教学课件

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九年级数学上册第二章一元二次方程 3用公式法求解一元二次方程(第1课时)习题课件北师大版