八年级数学下平行四边形性质(1)

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初中八年级下册数学1811 平行四边形的性质(第1课时)课件q

18.1 平行四边形/
如图, 在 ABCD中，∠A+∠C=200°
A
则：∠A= 100 °，∠B= 80 °.
B
D C
解: ∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A+∠C=200°，
∴∠A=∠C=100 ° （平行四边形的对角相等）. 又∵AD∥BC(平行四边形的对边平行),
∴∠B= 180 °－∠A= 180º－ 100°=80°.
14 2
3
C
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4.
又AC＝CA,
∴△ABC≌△CDA （ASA）.
∴AB＝CD，CB＝AD.
方法点拨：作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．
18.1 平行四边形/
平行四边形的性质
平行四边形的两组对边分别相等. A
D
几何语言：
A
B
C
点拨:先根据题目画图，再写“已 D 知”与 “求证”，最后证明.
已知:四边形ABCD是平行四边形
B
求证:AD=BC, AB=CD. C
18.1 平行四边形/
已知：如图，在平行四边形 ABCD中，
求证: AB=CD, AD=BC.
证明：连接AC， ABCD中 ∵ AB∥CD，AD∥BC,
A
D
B
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD, AD=BC. ∵AB=8m, ∴CD=8m. 又AB+BC+CD+AD=36m, ∴ AD=BC=10m.
18.1 平行四边形/
知识点 3 平行四边形角的特征
请用量角器等工具度量你手中平行四边形的四个角，并记
录下数据，你能发现∠A与∠C，∠B与∠D之间的数量关系吗?

初中数学：18.1.1 平行四边形的性质(人教版八年级数学下册第十八章平行四边形)

18．1平行四边形18．1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角的特征1.理解平行四边形的定义及有关概念。

2.能根据定义探索并掌握平行四边形的对边相等、对角相等的性质。

3.了解平行四边形在实际生活中的应用，能根据平行四边形的性质进行简单的计算和证明。

重点：平行四边形的概念和性质。

难点：如何添加辅助线将平行四边形问题转化为三角形问题解决的思想方法.1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.3.推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．探究点一：平行四边形的定义如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D，∠1＝∠2.求证：四边形ABCD是平行四边形．解析：根据三角形内角和定理求出∠DAC＝∠ACB，根据平行线的判定推出AD∥BC，AB∥CD，根据平行四边形的定义推出即可．证明：∵∠1＋∠B＋∠ACB＝180°，∠2＋∠D＋∠CAD＝180°，∠B＝∠D，∠1＝∠2，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC.∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．方法总结：平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．探究点二：平行四边形的边、角特征【类型一】利用平行四边形的性质求边长如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点D，E，F分别是AC，BC，BA延长线上的点，四边形ADEF为平行四边形，DE＝2，则AD＝________．解析：∵四边形ADEF为平行四边形，∴DE＝AF＝2，AD＝EF，AD∥EF，∴∠ACB ＝∠FEB.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠FEB＝∠B，∴EF＝BF.∴AD＝BF，∵AB＝5，∴BF＝5＋2＝7，∴AD＝7.方法总结：本题考查了平行四边形对边平行且相等的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．【类型二】利用平行四边形的性质求角如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB于E，若∠A＝125°，则∠BCE的度数为A．35°B．55°C．25°D．30°解析：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝125°，∴∠B＝55°.∵CE⊥AB于E，∴∠BEC＝90°，∴∠BCE＝90°－55°＝35°.故选A.方法总结：平行四边形对角相等，邻角互补，并且已知一个角或已知两个邻角的关系，可求出其他角，所以利用该性质可以解决和角度有关的问题．【类型三】利用平行四边形的性质证明有关结论如图，点G 、E 、F 分别在平行四边形ABCD 的边AD 、DC 和BC 上，DG ＝DC ，CE ＝CF ，点P 是射线GC 上一点，连接FP ，EP .求证：FP ＝EP .解析：根据平行四边形的性质推出∠DGC ＝∠GCB ，根据等腰三角形性质求出∠DGC ＝∠DCG ，推出∠DCG ＝∠GCB ，根据“等角的补角相等”求出∠DCP ＝∠FCP ，根据“SAS”证出△PCF ≌△PCE 即可得出结论．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠DGC ＝∠GCB .∵DG ＝DC ，∴∠DGC ＝∠DCG ，∴∠DCG ＝∠GCB .∵∠DCG ＋∠ECP ＝180°，∠GCB ＋∠FCP ＝180°，∴∠ECP ＝∠FCP .在△PCF 和△PCE ＝CE ，FCP ＝∠ECP ，＝CP ，∴△PCF ≌△PCE (SAS)，∴PF ＝PE .方法总结：平行四边形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等常综合应用，利用平行四边形的性质可以解决一些相等的问题，在证明时应用较多．【类型四】判断直线的位置关系如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2AD ，M 为AB 的中点，连接DM 、MC ，试问直线DM 和MC 有何位置关系？请证明．解析：由AB ＝2AD ，M 是AB 的中点的位置关系，可得出DM 、CM 分别是∠ADC 与∠BCD 的平分线．又由平行线的性质可得∠ADC ＋∠BCD ＝180°，进而可得出DM 与MC 的位置关系．解：DM 与MC 互相垂直．证明如下：∵M 是AB 的中点，∴AB ＝2AM .又∵AB ＝2AD ，∴AM ＝AD ，∴∠ADM ＝∠AMD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠AMD ＝∠MDC ，∴∠ADM ＝∠MDC ，则∠MDC ＝12∠ADC ，同理∠MCD ＝12∠BCD .∵AD ∥BC ，∴∠ADC ＋∠DCB ＝180°，∴∠MDC ＋∠MCD ＝12∠BCD ＋12∠ADC ＝90°.∵∠MDC ＋∠MCD ＋∠DMC ＝180°，∴∠DMC ＝90°，∴DM 与MC 互相垂直．方法总结：根据平行四边形的性质，将已知条件转化到同一个三角形中，即可判断两条直线的关系．探究点三：两平行线间的距离如图，已知l1∥l 2，点E ，F 在l 1上，点G ，H 在l 2上，试说明△EGO 与△FHO 面积相等．解析：结合平行线间的距离相等和三角形的面积公式即可证明．证明：∵l 1∥l 2，∴点E ，F 到l 2之间的距离都相等，设为h .∴S △EGH ＝12GH ·h ，S △FGH ＝12GH ·h ，∴S △EGH ＝S △FGH ，∴S △EGH －S △GOH ＝S △FGH －S △GOH ，∴△EGO 的面积等于△FHO 的面积．方法总结：根据两平行线间的距离可知，夹在两条平行线间的任何平行线段都相等，而后可推出两三角形同底等高，面积相等．第2课时平行四边形的对角线的特征1.探索并掌握平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分.2.会运用平行四边形的性质进行推理和计算.重点：平行四边形的对角线互相平分.难点：平行四边形性质的灵活运用及几何计算题的解题表达.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.探究点一：平行四边形的对角线互相平分【类型一】利用平行四边形对角线互相平分求线段已知▱ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOB 的周长比△DOA的周长长5cm ，求这个平行四边形各边的长．解析：平行四边形周长为60cm ，即相邻两边之和为30cm.△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，而AO 为共用，OB ＝OD ，因而由题可知AB 比AD 长5cm ，进一步解答即可．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，AB ＝CD ，AD ＝BC .∵△AOB 的周长比△DOA 的周长长5cm ，∴AB －AD ＝5cm ，又∵▱ABCD 的周长为60cm ，∴AB ＋AD ＝30cm ，则AB ＝CD ＝352cm ，AD ＝BC ＝252cm.方法总结：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差．【类型二】利用平行四边形对角线互相平分证明线段或角相等如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F .求证：OE ＝OF .解析：根据平行四边形的性质得出OD ＝OB ，DC ∥AB ，推出∠FDO ＝∠EBO ，证出△DFO ≌△BEO 即可．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OD ＝OB ，DC ∥AB ，∴∠FDO ＝∠EBO .在△DFO 和△BEO ∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∠FOD ＝∠EOB ，∴△DFO ≌△BEO (ASA)，∴OE ＝OF .方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线互相平分的性质．【类型三】判断直线的位置关系如图，平行四边形ABCD 中，AC 、BD 交于O 点，点E 、F 分别是AO 、CO 的中点，试判断线段BE 、DF 的关系并证明你的结论．解析：根据平行四边形的性质“对角线互相平分”得出OA ＝OC ，OB ＝OD .利用中点的意义得出OE ＝OF ，从而利用△FOD ≌△EOB 可得出BE ＝DF ，BE ∥DF .解：BE ＝DF ，BE ∥DF .理由如下：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD .∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点，∴OE ＝OF ，又∵∠FOD ＝∠EOB ，∴△FOD ≌△EOB (SAS)，∴BE ＝DF ，∠ODF ＝∠OBE ，∴BE ∥DF .方法总结：在解决平行四边形的问题时，如果有对角线的条件时，则首选对角线互相平分的方法解决问题．探究点二：平行四边形的面积在▱ABCD 中，(1)如图①，O 为对角线BD 、AC 的交点．求证：S △ABO ＝S △CBO ；(2)如图②，设P 为对角线BD 上任一点(点P 与点B 、D 不重合)，S △ABP 与S △CBP 仍然相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．解析：(1)根据“平行四边形的对角线互相平分”可得AO ＝CO ，再根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2)根据平行四边形的性质可得点A 、C 到BD 的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等解答．(1)证明：在▱ABCD 中，AO ＝CO .设点B 到AC 的距离为h ，则S △ABO ＝12AO ·h ，S △CBO ＝12CO ·h ，∴S △ABO ＝S △CBO ；(2)解：S △ABP ＝S △CBP .理由如下：在▱ABCD 中，点A 、C 到BD 的距离相等，设为h ，则S △ABP ＝12BP ·h ，S △CBP ＝12BP ·h ，∴S △ABP ＝S △CBP .方法总结：平行四边形的对角线将平行四边形分成四个面积相等的三角形．另外，等底等高的三角形的面积相等．本节学习总结：1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形的定义既是平行四边形的性质，也是判断一个四边形是平行四边形的重要方法．2.平行四边形的性质：（1）平行四边形的对角相等，邻角互补；（2）平行四边形的对边平行且相等；（3）平行四边形的对角线互相平分.平行四边形的性质为以后证明线段平行或相等以及角相等提供了新的理论依据.3.推论：夹在两条平行线间的平行线段相等．更多内容请见：资料下载汇总表（提示：按住ctrl+鼠标左键打开链接）。

平行四边形的性质(第1课时)PPT课件

中,∵BC=AD=8,BC∥AD,CD=AB,CD∥AB, D∥AB,∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠
∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC.∵AE平 DFC,∵AE平分∠BAD,DF平分
分∠BAD,DF平分
∠ADC,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=
∠ADC,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF, ∠CDF,∴∠BAE=∠AEB,∠CFD=
8.如图所示,在▱ABCD中,E是CD的中点,AE的延长线与BC的延长线相交于点F. 求证BC=CF.
解析:先证明△ADE≌△FCE,得出AD=CF,再根据平行四边形的性质可知AD=BC,继而得出结论.
证明:∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC,AD=BC. ∴∠ADE=∠FCE.
∵E是CD的中点,∴DE=CE.
八年级数学·下新课标[冀教]
第二十二章四边形
学习新知
检测反馈
问题思考
学习新知
问题1:同学们,你们观察过阳光透过长方形窗口投在地面上的影子是什么形状吗?
问题2:爱动脑筋的小刚观察到平行四边形的影子有一种对称的美,他说只要量出一个内角的度数, 就能知道其余三个内角的度数;只需测出一组邻边的长,便能计算出它的周长,这是为什么呢?
由已知条件,得 2(AB+AD)=22, ∴AB+AD=11.
又∵AB+AD+BD=18, ∴BD=18-11=7.
(教材第128页例1)已知:如图所示,在▱ABCD中,∠B+∠D=260°, 求∠A,∠C的度数.
解:在▱ABCD中, ∵∠B=∠D,∠B+∠D=260°,
. ∴∠B=∠D=260 =130° 2
解析:设该平行四边形的两边长分别为x cm,y cm,且x>y,根据题

(完整版)18.平行四边形的性质及判定(1)(2)

平行四边形的性质（1）课型学习新知课主备人金晓铃鉴定人江远明学生姓名【课程目标】研究并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线相互均分【学习目标】1、理解并掌握平行四边形的看法和平行四边形对边、对角相等的性质．2、会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．【学法指导】研究、合作、交流【自主学习】1. 由 __ _ 条线段首尾按序连接构成的多边形叫四边形；四边形有_条边， ___个角 , 四边形的内角和等于 _____度；2. 如图 AB与 BC叫 _ __边， AB 与 CD叫__ _边；∠ A 与∠ B 叫 _ __角，∠ D与∠ B 叫_ __角 ;3 多边形中不相邻极点的连线叫对角线，如图四边形ABCD中对角线有 __ _ 条，它们是___自学课本1.有两组对边 __________________ 的四边形叫平形四边形，平行四边形用“ ______表”示，平行四边形 ABCD 记作 __________。

（可以写成□BACD 吗？）2.如图□ABCD 中，对边有 ______组，分别是 ___________________ ，对角有 _____组，分别是 _________________，对角线有 ______条，它们是 ___________________ 。

试一试：1、如图，小明用一根36 m长的绳索围成了一个平行四边形的场所，此中一条边AB 长为 8 m，其余三条边各长多少？2、一个个平行四边形的一个外角是38°，这个平行四边形的各个内角的度数分别是：组长检查等级：组长署名：【合作研究】你能猜想ABCD的边、角各有什么关系吗？并证明你的结论。

边的关系：角的关系：证明：证明：从而获取平行四边形的性质：（ 1）平行四边形的对边且。

几何语言：（ 2）平行四边形的对角，邻角。

几何语言：【当堂检测】（A 层）1、ABCD有一个内角等于40°，则别的三个内角分别为：2、平行四边形的周长为50cm，两邻边之比为2： 3，则两邻边分别为：3、ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D的值可以是（）A.1 ︰2︰3︰4︰4︰4︰3︰3︰4︰4︰4︰3︰44. 、ABCD 的周长为 40cm，△ ABC的周长为 27cm,AC 的长为（）（ B、 C层）1、如图，在平行四边形 ABCD 中，∠B=110 °，延长 AD 至 F ，延长 CD至 E ，连接 EF ，则∠ E+ ∠F 等于 (）A.30 °B.110 °° D.70 °2、如图，在平行四边形 ABCD中，已知 AE⊥BC 于 E，AF⊥CD 于 F，若 AE=4， AF=6，平行四边形 ABCD的周长为 40，则平行四边形 ABCD的面积为多少？3、在ABCD，若一个角的均分线把另一条边分成长是2cm和 3cm 的两条线段，则该平行四边形的周长是4.如图，AD∥ BC，AE∥ CD，BD均分∠ ABC，求证AB=CE.【学后反思】本节课你学会了什么？你还有哪些诱惑？学习等级小组议论教师议论平行四边形的性质（2）课型学习新知课主备人金晓铃鉴定人江远明学生姓名【课程目标】研究并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线相互均分【学习目标】1、理解平行四边形中心对称的特色，掌握平行四边形对角线相互均分的性质．2、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题【学法指导】研究、合作、交流。

八年级数学下册第六章平行四边形1平行四边形的性质平行四边形及其性质知

平行四边形及其性质【学习目的】1．理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质定理和断定定理.2．能初步运用平行四边形的性质进展推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题．3. 理解平行四边形的不稳定性及其实际应用．4. 掌握两个推论：“夹在两条平行线间的平行线段相等〞。

“夹在两条平行线间的垂线段相等〞．【要点梳理】知识点一、平行四边形的定义平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD〞，读作“平行四边形ABCD〞.要点诠释：平行四边形的根本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 知识点二、平行四边形的性质定理平行四边形的对角相等；平行四边形的对边相等；平行四边形的对角线互相平分；要点诠释：〔1〕平行四边形的性质定理中边的性质可以证明两边平行或者两边相等；角的性质可以证明两角相等或者两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或者倍半关系.〔2〕由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进展选择.〔3〕利用对角线互相平分可解决对角线或者边的取值范围的问题，在解答时应联络三角形三边的不等关系来解决.知识点三、平行线的性质定理1.两条平行线间的间隔：〔1〕定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的间隔，叫做这两条平行线间的间隔 .注：间隔是指垂线段的长度，是正值.2．平行线性质定理及其推论夹在两条平行线间的平行线段相等.平行线性质定理的推论：夹在两条平行线间的垂线段相等.【典型例题】类型一、平行四边形的性质1.如图，平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC•的周长大8cm，求AB，BC的长．【答案与解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形．∴ AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO，∵□ABCD的周长是60．∴2AB＋2BC＝60，即AB＋BC＝30，①又∵△ AOB的周长比△BOC的周长大8．即〔AO＋OB＋AB〕－〔BO＋OC＋BC〕＝AB－BC＝8，②由①②有解得∴AB，BC的长分别是19cm和11cm．【总结升华】根据平行四边形对角线互相平分，利用方程的思想解题.举一反三：【变式】如图：在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC ＝4.求AE：EF：FB的值.【答案】解：∵ ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，∠ECD＝∠CEB∵CE为∠DCB的角平分线，∴∠ECD＝∠ECB，∴∠ECB＝∠CEB，∴BC＝BE∵BC＝4，所以BE＝4∵AB＝6，F为AB的中点，所以BF＝3∴EF＝BE－BF＝1，AE＝AB－BE＝2∴AE：EF：FB＝2：1：3.2.平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，假如△CDM的周长是40cm，求平行四边形ABCD的周长．【思路点拨】由四边形ABCD是平行四边形，即可得AB=CD，AD=BC，OA=OC，又由OM⊥AC，根据垂直平分线的性质，即可得AM=CM，又由△CDM的周长是40cm，即可求得平行四边形ABCD 的周长．【答案与解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，∵OM⊥AC，∴AM=CM，∵△CDM的周长是40，即：DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=40，∴平行四边形ABCD的周长为：2〔AD+CD〕=2×40=80〔cm〕．∴平行四边形ABCD的周长为80cm．【总结升华】此题考察了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．解题的关键是注意数形结合思想的应用．举一反三：【变式】如图，平行四边形ABCD的对角线AC.BD相交于点O，EF过点O且与AB.CD分别相交于点E.F，连接EC．〔1〕求证：OE=OF；〔2〕假设EF⊥AC，△BEC的周长是10，求平行四边形ABCD的周长．【答案】〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，DC∥AB，∴∠FDO=∠EBO，在△FDO和△EBO中∵OD OBFOD EOFDO EBBO ⎧⎪=⎨⎪∠=∠∠∠⎩＝∴△FDO≌△EBO〔AAS〕，∴OE=OF；〔2〕解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，∵EF⊥AC，∴AE=CE，∵△BEC的周长是10∴BC+BE+CE=BC+AB=10，∴平行四边形ABCD的周长=2〔BC+AB〕=20．3.如图，口ABCD的周长为52cm，AB边的垂直平分线经过点D，垂足为E，口ABCD的周长比△ABD的周长多10cm．∠BDE=35°．〔1〕求∠C的度数；〔2〕求AB和AD的长．〔1〕由于DE是AB边的垂直平分线，得到∠ADE=∠BDE=35°，于是推出∠A═55°，【思路点拨】根据平行四边形的性质得到∠C=55°；〔2〕由DE是AB边的垂直平分线，得到DA=DB，根据平行四边形的性质得到AD=BC，AB=DC，由于口ABCD的周长为52，于是得到AB+AD=26，根据口ABCD的周长比△ABD的周长多10，得到BD=16，AD=16〔cm〕，于是求出结论．【答案与解析】解：〔1〕∵DE是AB边的垂直平分线，∴∠ADE=∠BDE=35°，∴∠A=90°﹣∠ADE=55°，∵口ABCD，∴∠C=∠A=55°；〔2〕∵DE是AB边的垂直平分线，∴DA=DB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AB=DC，∵口ABCD的周长为52，∴AB+AD=26，∵口ABCD的周长比△ABD的周长多10，∴52﹣〔AB+AD+BD〕=10，∴BD=16，∴AD=16〔cm〕，∴AB=26﹣16=10〔cm〕．【总结升华】此题主要考察了线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质，能综合应用这两个性质是解题的关键．4.如图1，P为Rt△ABC所在平面内任一点〔不在直线AC上〕，∠ACB=90°，M为AB 的中点．操作：以PA.PC为邻边作平行四边形PADC，连接PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE．〔1〕请你猜测与线段DE有关的三个结论，并证明你的猜测；〔2〕假设将“Rt△ABC〞改为“任意△ABC〞，其他条件不变，利用图2操作，并写出与线段DE有关的结论〔直接写答案〕．【思路点拨】〔1〕连接BE，证△PMA≌△EMB，推出PA=BE，∠MPA=∠MEB，推出PA∥BE．根据平行四边形的性质得出PA∥DC，PA=DC，推出BE∥DC，BE=DC，得出平行四边形CDEB即可；〔2〕连接BE，证△PMA≌△EMB，推出PA=BE，∠MPA=∠MEB，推出PA∥BE．根据平行四边形的性质得出PA∥DC，PA=DC，推出BE∥DC，BE=DC，得出平行四边形CDEB即可．【答案与解析】DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC，证明：连接BE，∵M为AB中点，∴AM=MB，在△PMA和△EMB中∵＝＝＝PM MEPMA EMB AM BM∠∠⎧⎪⎨⎪⎩，∴△PMA≌△EMB〔SAS〕，∴PA=BE，∠MPA=∠MEB，∴PA∥BE．∵四边形PADC是平行四边形，∴PA∥DC，PA=DC，∴BE∥DC，BE=DC，∴四边形DEBC是平行四边形，∴DE∥BC，DE=BC．∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC．〔2〕解：DE∥BC，DE=BC．【总结升华】此题考察了平行四边形性质和断定，全等三角形的性质和断定，平行线的性质和断定的综合运用．举一反三：【变式】：如图，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∠DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC于点P．〔1〕求证：∠ADE=∠CDF；〔2〕假如∠B=120°，求证：△DMN是等边三角形．【答案】证明：〔1〕∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠C，DC∥AB，∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∴∠ADE=90°-∠DAB，∠CDF=90°-∠C，∴∠ADE=∠CDF．〔2〕证明：∵∠DAB的平分线交DE于点M，交DF于点N，交DC于点P，∴∠DAP=∠BAP，∵DC∥AB，∴∠DPA=∠BAP，∴∠DAP=∠DPA，∴DA=DP，∵∠ADE=∠CDF，∠DAP=∠DPA，DA=DP，∴△DAM≌△DPN，∴DM=DN，∵∠B=120°，∴∠MDN=360°-∠DEB-∠EFB-∠B=360°-90°-90°-120°=60°，∴△DMN是等边三角形．类型二、平行线性质定理及其推论5.如图1，直线m∥n，点A.B在直线n上，点C.P在直线m上；〔1〕写出图1中面积相等的各对三角形：△CAB与△PAB.△BCP与△APC.△ACO与△BOP__________________；〔2〕如图①，A.B.C为三个顶点，点P在直线m上挪动到任一位置时，总有__________△PAB 与△ABC的面积相等；〔3〕如图②，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC〔或者延长线〕于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积．【思路点拨】〔1〕找出图①中同底等高的三角形，这些三角形的面积相等；〔2〕因为两平行线间的间隔是相等的，所以点C.P到直线n间的间隔相等，也就是说△ABC 与△PAB的公一共边AB上的高相等，所以总有△PAB与△ABC的面积相等；〔3〕只要作一个三角形CEM与三角形CED的面积相等即可．【答案与解析】解：〔1〕∵m∥n，∴点C.P到直线n间的间隔与点A.B到直线m间的间隔相等；又∵同底等高的三角形的面积相等，∴图①中符合条件的三角形有：△CAB与△PAB.△BCP与△APC，△ACO与△BOP；〔2〕∵m∥n，∴点C.P到直线n间的间隔是相等的，∴△ABC与△PAB的公一共边AB上的高相等，∴总有△PAB与△ABC的面积相等；〔3〕连接EC，过点D作直线DM∥EC交BC延长线于点M，连接EM，线段EM所在的直线即为所求的直线．【总结升华】此题主要考察了三角形的面积及平行线的性质，利用平行线间的间隔相等得到同底等高的三角形是解题的关键．创作人：历恰面日期：2020年1月1日。

平行四边形的性质(第一课时对边和对角的关系)(课件)

生活中常见的平行四边形
说一些生活中常见的平行四边形的例子
平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“▱”表示，
下图记作“▱ABCD”。
A
Ｄ
几何描述：
∵AB∥CD,AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形
B
Ｃ
探索平行四边形对边、对角的关系
根据平行四边形的定义，尝试画一个平行四边形，通过直尺和量角器测量，你
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠D=180°，
又∵∠A-∠D=40°，
∴∠A=110°，∠D=70°，
∴∠C=∠A=110°．
故选：C．
）
利用平行四边形的性质求解
如图，在▱ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A=120°，∠BCE的度数为(
A．20° B．30° C．40° D．60°
求证：AC、GH、BC之间的关系
∵ DA、GH、CB垂直于 a
D
H
A
G
C
b
∴ DA // GH // CB 而a // b
∴ ▱AGHD, ▱ABCD, ▱HGBC
∴ AD = GH = BC
B
a
如果两条直线平行，那么一条直线上的所有点到另一条直线的距离都相等，
即两条直线之间的距离相等。
利用平行四边形的性质求解
在平行四边形中，∠与∠的度数之比为: ，则∠C的度数是（）
A．°
B．°
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A+∠B=180°，∠A=∠C
∵∠A：∠B=5:4∴∠A=100°
∴∠C=100°

《平行四边形的性质(第1课时)》说课稿

《平行四边形的性质（第1课时）》说课稿尊敬的评委、老师，大家好！今天我说课的内容是人教版《数学》八年级下册第十九章《四边形》第一节《平行四边形》第一课时。

下面，我将从教材分析、教法学法、教学过程和评价分析四个方面对本课的设计进行说明。

一、教材分析1.教材的地位与作用：本节课既是对已学的平行线、全等三角形等知识的延续和深化，又是进一步学习矩形、菱形、正方形等知识的基础。

为研究两直线平行、线段相等及角相等提供了新的方法和依据，在整个教材中起着承上启下的作用。

2．学情分析：（1）小学阶段对平行四边形的定义已有初步认识，但对于概念的本质属性的理解并不深刻。

（2）通过对平行线、全等三角形的相关知识，具备一定的推理能力。

（3）八年级学生抽象思维和推理能力有限，特别是添加辅助线证明几何命题还存在一定的困难。

3.学习目标：知识目标：理解平行四边形的概念和平行四边形边、角的有关性质。

能力目标：会用平行四边形的性质进行简单的论证和计算，培养学生的动手能力和推理能力。

情感目标：通过探究学习，激发学生学习数学的兴趣，体验数学来源于生活又服务于生活。

4.教学重难点：重点：平行四边形性质的探究和应用。

难点：通过添加辅助线证明平行四边形的性质。

二、教法和学法课程标准指出：教无定法，贵在得法。

为了更好地突出重点，突破难点，本节课主要采用了以合作交流为主的“启发引导式”教学方法。

学生通过自主探究，合作交流展开探究性学习活动。

三、教学过程本节课，我分五个环节进行设计：第1环节：创设情境，导入新课，用时约1分钟；第2环节：提出概念，揭示内涵，用时约6分钟；第3环节：自主探索，感悟新知，用时约10分钟；第4环节：应用迁移，训练思维，用时约20分钟；第5环节：总结反思，拓展升华，用时约3分钟；具体如下：教学环节教学程序设计意图创设情境，导入新课（约3’）猜一猜：“有种图形生的怪，有棱有角偏脑袋，上下左右共四边，两两平行围起来。

”它是什么图形？答案请在下列图片中找：（演示图片，引导学生观察这些图形的共同特征，得出答案：平行四边形）采用谜语引入新课，有利于激发学生的学习兴趣，通过欣赏平行四边形的实物图片，引导学生从实物中抽象出几何图形。

平行四边形的性质

北师新版8年级下册第6章第一节平行四边形的性质（第一课时）一、教材分析（一）对教学内容的认识（1）课程标准要求：理解平行四边形的概念，探索并证明平行四边形的性质。

核心概念突出体现的是几何直观，应用能力和推理能力（2）教材分析：平行四边形是我们常见的一种图形，它具有十分和谐的对称美。

边和角的性质是它最基本的性质，是平行四边形其他性质证明过程的依据。

本课的知既是平行线和三角形知识的应用和深化，又是学习平行四边形判定知识的基础，也是研究是特殊的平行四边形的性质的起始，本课在本章中起着承上启下的作用，它在图形与几何的教学中有着举足轻重的地位。

教学重点确定为：理解并掌握平行四边形的概念及其性质．二、学情分析知识基础：学生在小学阶段已对平行四边形有了初步、直观的认识。

对于八年级的学生来说，已经学习了平行线、三角形全等等知识，对图形的三种基本的全等变换方式：轴对称、平移、旋转有了初步的了解，具有一定推理能力和说理能力，认知困难：对于几何的转化思想和严密的推论平行四边形的性质，从知识结构和知识能力上都有所欠缺。

经验基础：自然界和现实生活中具平行四边形特征的许多事物都为学生的认知提供了经验基础.综合以上分析，本节课的教学难点为：探究平行四边形的性质三、目标制定课标分析：《课程标准》中与本节课相关的描述有：理解平行四边形的概念，探索并证明平行四边形的性质。

现将本节课的课标从两个方面进行分解。

从认知角度进行分解：3四、评价设计针对本节课的三个学习目标，本节课的评价任务如下：评价任务一：学生能够认真观察图形，并能够进行积极地思考、总结.评价任务二：学生能够结合图形直观感知平行四边形的性质，并能够举例验证及尝试说理，并能够运用性质解决几何问题.评价任务三：学生能够积极主动地进行动手操作，得到正确的结论.评价任务四：学生能够认真观察、积极参与拼图活动，并能从活动中体验数学的乐趣，感受成功的快乐，认识和欣赏生活中的平行四边形.五、教法、学法依据以上分析确定本节课的教法：引导发现法和小组合作交流法。

人教版八年级下册数学平行四边形的性质

平行四边形
性质
两组对边分别平行且相等两组对角分别相等，邻角互补
两条平行线间的平行线段相等两条平行线间的距离处处相等
作业
必做题：教科书第49页习题18.1第1、2、8题.
选做题：如图， ABC 是等腰三角形，P是底边BC上一动点，
且PE∥AB，PF∥AC．求证：PE+PF=AC．
A E
F
B
线间
b
的
A
B
距
离
两条平行线之间的垂线段相等.
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.
以致用
如图，直线a∥b ，△PAB与△CAB 的面积相等吗？为什么？
a
P
C
b
A
H
BQ
你还能画出一些与△PAB 面积相等的三角形吗？
课小堂总结结
定义两组对边分别平行的四边形
ABCD
读作：平行四边形ABCD
活动二
D
C
A
B
根据定义可知平行四边形的对边互相平行。除此之外还有什么性质呢？
观察猜想
平行四边形的性质
A
D
B
C
平行四边形的对边相等．平行四边形的对角相等．
求证:平行四边形的对边相等、对角相等.
证一证
已知：四边形ABCD是平行四边形.
求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC. 证明：如图，连接AC.
2.如图，在 ABCD中，BC=9cm,CD=5cm,若BE平分∠ABC
，则ED＝______
A
E
Ｄ
B
Ｃ
活动三
平行线间的距离

北京版数学八年级下册《平行四边形的性质(一)》说课稿4

北京版数学八年级下册《平行四边形的性质（一）》说课稿4一. 教材分析北京版数学八年级下册《平行四边形的性质（一）》这一节，是在学生已经掌握了平行四边形的概念、性质和判定基础上进行教学的。

本节内容主要包括平行四边形的对边相等、对角相等、对边平行和对角线互相平分的性质。

通过这些性质的学习，为学生进一步研究几何图形的性质和解决问题提供了重要的基础。

二. 学情分析学生在学习这一节内容时，已经具备了初步的平行四边形知识，具备了一定的观察、分析和推理能力。

但部分学生对于一些概念和性质的理解还不够深入，需要通过实例和练习来进一步巩固。

此外，学生在学习过程中，需要加强对于几何图形的直观认识和空间想象能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握平行四边形的对边相等、对角相等、对边平行和对角线互相平分的性质，能够运用这些性质解决一些简单的问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习几何图形的兴趣，培养学生的观察能力、思考能力和合作意识。

四. 说教学重难点1.教学重点：平行四边形的对边相等、对角相等、对边平行和对角线互相平分的性质。

2.教学难点：对于一些特殊四边形（如矩形、菱形等）的性质的理解和应用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生主动探究、合作交流。

2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等软件，展示几何图形的动态变化，增强学生的直观感受。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的平行四边形图片，引导学生回顾平行四边形的概念和性质，为新课的学习做好铺垫。

2.自主探究：让学生通过观察、操作、推理等方法，发现平行四边形的对边相等、对角相等、对边平行和对角线互相平分的性质。

3.合作交流：学生分组讨论，分享自己的发现和思考，互相借鉴和学习，形成对于平行四边形性质的共识。

6.1 平行四边形的性质课件北师大版数学八年级下册

北师大版八年级数学下册
平行四边形的性质（1）
一、情境引入
二、探究新知
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
几何语言：
判定
∵AB∥CD，AD∥BC ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
几何语言：
性质
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC .
2.记作：□ABCD 或□DCBA
A
D
E
F
B
C
三、巩固练习
（三）能力拓展（链接中考）
（2020·河池）如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA=3，EB=5，ED=4，则CE的长是 ( C )
A. 5 2 C. 4 5
B. 6 2 D. 5 5
D
C
4
A 3E 5 B
四、课堂小结
通过这节课的学习你有什么收获？
五、作业
②
GP
③
④
H
BF
C
性质探究
探究一：对称性
如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,然后在它们
对角线的交点O处钉一个图钉，现将其中一个平行四边形绕点O旋转
180°，你有什么发现?
A
D
O
●
平行四边形是中心对称图形，
两条对角线的交点是它的对称中心.
B
C
性质探究
探究二：边、角性质
活动1（动手操作）：请同学们拿出课前准备好的不同的平行四边形纸片，先在它的顶点处分别标上字母A、B、C、D，然后以小组为单位，利用直尺或量角器，度量一下它的边和角，你有什么发现？
对边相等平行四边形对角相等
邻角互补
你能运用已学的知识推理证明出平行四边形边、角之间的关系

八年级下册数学平行四边形

八年级下册数学平行四边形八年级下册数学平行四边形一、概念解析数学中的平行四边形指的是有两对平行边的四边形，而四边形则是有四个顶点和四条边的图形。

在平行四边形中，对边是两两平行且相等的。

此外，平行四边形也可以借助对角线来证明它的性质。

二、性质讲解1. 对边平行且相等由于平行四边形必须包含两对平行边，因此它的对边也都是平行的且相等的。

这一性质使得平行四边形在计算周长和面积时更为方便。

2. 对角线互相平分平行四边形通过对角线将它分成两个三角形，而这两个三角形可以视为互相平分对角线的两个三角形。

而由于对角线是平分对角线的，所以它们的长度也是相等的。

3. 同底异侧三角形面积相等同底异侧三角形指的是有共同底边但在底边两侧的两个三角形。

在平行四边形中，这两个三角形的高度一致，因此根据三角形面积公式（面积 = 底边 * 高 / 2）可得出它们的面积相等。

三、相关应用1. 计算周长和面积对于一个已知四边长和对边长度的平行四边形，可以使用周长公式（周长 = 2 *（边长1 + 边长2））来计算它的周长。

而计算面积则可以利用对角线之一作底边和高度计算得出（面积 = 对角线长度 * 竖直距离 / 2）。

2. 指导向量运算平行四边形也可以被用来辅助指导向量的相关运算，如向量加减法、向量投影等。

3. 应用于建筑斜面设计在建筑领域中，平行四边形被广泛应用于斜面设计中。

斜面视为平行四边形，可以使用平面几何的相关知识来进行计算和设计。

四、练习题1. 给定平行四边形ABCD，已知AB=5cm，BC=8cm，BD=6cm，求此平行四边形的周长。

2. 在平行四边形ABCD中，AC是一条斜线段，且AC平分BD。

已知AB=5cm，AD=9cm，BD=6cm，求平行四边形的面积。

3. 平行四边形ABCD中，BD的长度等于对角线AC的长度，且∠BAC = 60°。

若AB的长度为8cm，则平行四边形的面积为多少？五、总结通过对平行四边形的概念、性质以及应用的讲解与练习题的讲解，我们可以更深入地了解和掌握平行四边形的相关知识，并在实际的数学问题中加以应用。

平行四边形的性质1

A
O
B
∵四边形ABCD是 ∴ ∠A=∠C， ∠B=∠D
D
C
平行四边形是中心对称图形
如图，a / / b, AB 直线a于点A, CD 直线b 于点C , 则：
BD 的长；（1）点B与点D的距离是指线段 _______ DC 的长；（2）点D到直线b的距离是指线段 ______ AB （3）两平行线a、b间的距离是指线段 ______
A
8
B
练习
如图，已知 ABCD 中，AD=3,BD⊥AD, 且BD=4, 你能求出平行四边形的周长吗?
D
解： ∵BD ⊥AD ∴ ∠ADB=90 ° 在Rt △ADB中，AD=3，BD=4 ∴AB= =25（勾股定理） 4 32 又∵四边形ABCD为平行四边形（已知） ∴ AD=BC=3 （平行四边形对边相等） AB=DC=5 ∴ ABCD的周长=2(AD+AB) =2(3+5) =16
１解: 在 ABCD中, ∠ABC=∠D=1 ８0°- ∠１= 1８0°- ８0°= 100° ∠A=∠C= 1８0°- ∠D = 1８0°- 100°= ８0°(两直线平行,同旁内角互补) 或∠A=∠C= ∠１=８0°(两直线平行,内错角相等)
例2 如图，已知
ABCD 中，AB=8, 周长等于24，求其余三条边的长. C D
l1
它与点与点的距离、点到直线的距离的联系与区别
F
D
B
l2
如图，l1 // l2 ，点A、C、E在l1上，线段AB、 CD 、EF都垂直于 l2 ，垂足分别为 B、D 、F，则 AB、CD、EF的长短相等吗？为什么？
平行线间的距离处处相等
∟
∟

人教版八年级数学下册第18章平行四边形知识要点总结

人教版八年级数学下册第18章平行四边形知识要点总结第18章平行四边形复习平行四边形知识点一、平行四边形定义：二、平行四边形的性质边：1.两组对边互相平行且相等；符号语言：角：2.两组对角分别相等；符号语言：对角线：3.对角线互相平分。

符号语言：对称性：中心对称图形但不一定是轴对称图形平行线之间的距离：平行线间的距离都相等符号语言：∵AE∥BF且AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF∴AB＝CD＝EF三、平行四边形的判定边：1. 两组对边分别平行．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：2. 两组对边分别相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：3. 一组对边平行且相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：角：4. 两组对角分别相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：对角线：5.对角线互相平分的四边形是平行四边形；符号语言：四、平行四边形的面积公式S□ABCD=ah(a是边,h是这个边的高）；五、与三角形有关的知识点1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段．．叫做三角形的中位线。

2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半符号语言：3.取值范围：利用三角形的性质：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边如：已知□ABCD 两对角线的长分别为6和8，则较短边长x 的取值范围为1<x<7.4.直角三角形性质定理（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt △ABC 中，且AD ＝CD∴ BD=AD=CD（2）直角三角形中，30°角所对应的直角边等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt △ABC 中，且∠A=30°∴BC=12AC 或 2BC=AC特殊的平行四边形知识点—矩形一、矩形的定义：二、矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的四个角都是直角；符号语言：3.矩形的对角线平分且相等。

符号语言：三、矩形判定1.有一个角是直角的平行四边形．．．．．叫做矩形。

八年级数学下册18、1平行四边形的性质第1课时平行四边形及其边角性质授课课件新版华东师大版

知3－讲
ABCD中，∠A =40°，求其他各内角
解：在 ABCD中， ∠A = ∠C，∠B = ∠D(平行四边形的对角相等). ∵∠A=40°，∴∠C=40°. 又∵AD//BC， ∴∠A + ∠B = 180°, ∴∠B = 180° - ∠A=180°- 40° = 140°， ∴∠D = ∠B = 140°.
证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD(平行四边形的对边相等)， AB//CD(平行四边形的对边平行)，
∴∠CDE =∠AED. 又∵DE是∠ADC的平分线， ∴∠ADE =∠CDE, ∴∠ADE =∠AED， ∴AD = AE. 又∵AD=BC (平行四边形的对边相等) ∴AE=BC. ∴BE+BC=BE+AE=AB=CD.
第18章平行四边形
18.1 平行四边形的性质
第1课时平行四边形及其边角性质
1 课堂讲解平行四边形的定义
平行四边形的性质——对边相等
平行四边形的性质——对角相等
2 课时流程平行线之间的距离
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
知识点 1 平行四边形的定义
知1－导
平行四边形是生活中常见的图形，你能举出一些实例吗?
知2－导
知识点 2 平行四边形的性质——对边相等
你还发现平行四边形有哪些性质？
我们还发现：平行四边形的对边相等、对角相等. 请你尝试证明这些结论.
知2－讲
边的性质：平行四边形对边平行；平行四边形对边相等．
数学表达式：如图，∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC.
知3－讲
要点精析：由于组成平行四边形的元素有边、角，因此讨论其性质也应从边、角这两个方面去看． (1)从边看：平行四边形的对边平行且相等； (2)从角看：平行四边形的对角相等、邻角互补． 3.易错警示：已知平行四边形得出什么性质，要根据