构造平行四边形证题的技巧

构造平行四边形证题的技巧

吴健

在证明某些几何问题时，若能根据图形的特征，添加恰当的辅助线构造出平行四边形，并利用其性质可使问题化难为易，化繁为简，下面举例说明。 一. 构造平行四边形证两线段平行

例1. 已知如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于O ，E 、F 分别为OB 、OD 的中点，过O 任作一直线分别交AB 、CD 于G 、H 。

求证：GF//EH 。 证明：连结GE 、FH

四边形ABCD 是平行四边形

COH AOG DCO BAO ,OC OA ∠=∠∠=∠=∴又 OH OG COH

AOG =∴∆≅∆∴

又OF OE =

∴四边形EHFG 是平行四边形 EH //GF ∴

二. 构造平行四边形证两线段相等

例2. 如图，ABC ∆中，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，BD=CE 连结DE ，交BC 于F ，∠BAC 外角的平分线交BC 的延长线于G ，且AG//DE 。

求证：BF=CF

分析：过点C 作CM//AB 交DE 于点M ，可以证明BD=CM ，然后再利用平行四边形的性质得到BF=CF

证明：过点C 作CM//AB 交BE 于点M ，连接BM 、CD ，则∠CME=∠ADE CM

BD BD

CE CM E CM E 2E ,1ADE 2

1DE //AG //

===∠=∠∴∠=∠∠=∠∴∠=∠ 且

∴四边形BMCD 为平行四边形 故

BF=CF

三. 构造平行四边形证线段的不等关系

例3. 如图，AD 是ABC ∆的边BC 上的中线，求证：)AC AB (2

1

AD +<

分析：欲证)AC AB (2

1

AD +<

，即要证AC AB AD 2+<，设法将2AD 、AB 、AC 归结到一个三角形中，利用三角形任意两边之和大于第三边来证明。注意到AD 为ABC ∆的中线，故可考虑延长AD 到E ，使DE=AD ，则四边形ABEC 为平行四边形。从而问题得证。

证明：延长AD 到E ，使DE=AD ，连结BE 、EC DC BD ,DE AD ==

∴四边形ABEC 是平行四边形 AC BE =∴

在ABE ∆中，AE

)AC AB (2

1

AD +<∴

点评：此题是利用三角形三边关系定理、平行四边形的判定，通过延长中线将证明三角形中三条线段间的不等关系，转化为三角形三边之间的关系，从而使问题迎刃而解。

四. 构造平行四边形证线段的倍分关系

例4. 如图，分别以ABC ∆中的AB 、AC 为边向外作正方形ABEF 和正方形ACGH ，M 是BC 的中点，求证：FH=2AM

证明：延长AM 到D ，使MD=AM ，连结BD 、CD ，

M

是BC 的中点 ∴四边形ABDC 为平行四边形 ABD

FAH 180BAC FAH 90HAC FAB 180ABD BAC ∠=∠∴︒

=∠+∠∴︒=∠=∠︒

=∠+∠∴而

又AF=BA ，AH=AC=BD AD FH ABD

FAH =∴∆≅∆∴

故FH=2AM

五. 构造平行四边形证两线段互相平分

例5. 平面上三个等边三角形BCF ABD ACE ∆∆∆、、两两共有一个顶点，如图所示，求证：CD 与EF 互相平分

分析：要证CD 与EF 互相平分，须证四边形DFCE 是平行四边形 证明：连结DE 、DF 、AF 易知AD=AB=BD EC AC DF DBF

ABC ABC

FBA 60DBF BC BF ==∴∆≅∆∴∠=∠-︒=∠=，

又AE=AC ，AD=AB

∠DAE=60°－∠EAB=∠BAC FC

BC DE ABC

ADE ==∴∆≅∆∴

∴四边形DECF 是平行四边形 故CD 与EF 互相平分

六. 构造平行四边形证角的不等关系

例6. 如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，对角线AC>BD

求证：∠DBC>∠ACB

证明：过点D 作DE//AC 交BC 的延长线于点E ，则四边形ACED 是平行四边形 DE AC ,E ACB =∠=∠∴

又BD AC >

BD DE >∴

在BDE ∆中，∠DBE>∠E ACB DBC ∠>∠∴

七. 构造平行四边形证线段的和差关系

例7. 如图，ABC ∆中，点E 、F 在边AB 上，AE=BF ，ED//AC//FG ，求证：ED+FG=AC

证明：过E 作EH//BC 交AC 于H AC //ED ,BC //EH

∴四边形CHED 为平行四边形 BFG

A ,

B AEH AC

//FG ,BC //EH ∠=∠∠=∠∴

又AE=BF ， AC

HC AH FG ED ED

HC FG AH FBC

AEH =+=+∴==∴∆≅∆∴

同步练习：

1. 如图1，在梯形BCED 中，DE//BC 延长BD 、CE 交于A ，在BD 上截取BF=AD 。过F 作FG//BC 交EC 于G ，求证：DE+FG=BC 。

2. 如图2，ABC ∆中，AB=AC ，E 是AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，BE=CF ，EF 交BC 于D 。

求证：DE=DF

3. 如图3，平行四边形ABCD 中，E 、G 、F 、H 分别是四条边上的点，且AE=CF ，BG=DH ，求证：EF 与GH 互相平分

4. 如图4，已知AB=AC ，B 是AD 的中点，E 是AB 的中点，求证CD=2CE

5. 已知：如图5在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC ，点E 在BC 上，点F 在AD 上，AF=CE ，EF 与对角线BD 相交于点O ，求证：O 是BD 的中点。

提示：

1. 过点F 作FM//AC 交BC 于点M ，则有平行四边形FMCG 。

2. 过E 作EG//AC 交BC 于G ，连结CE 、GF 。

3. 连结FH 、HE 、EG 、GF

4. 延长CE 至F ，使EF=CE ，连结AF 、BF 。

5. 连结BF 、DE

BC AD ,DC AB ==

∴四边形ABCD 是平行四边形 BE //FD ∴

又CE AF ,BC AD ==