构造平行四边形证题的技巧

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证明面面平行的方法

证明面面平行的方法面面平行是几何学中的一个重要概念，它指的是两个平面在空间中没有交点，且它们的法向量平行。

在实际问题中，我们常常需要证明两个平面是平行的，下面将介绍几种常用的方法来证明面面平行的情况。

首先，最直接的方法是利用平面的法向量来进行证明。

设有两个平面分别为平面α和平面β，它们的法向量分别为n1和n2。

要证明这两个平面平行，只需证明它们的法向量平行即可。

具体来说，如果n1与n2平行，则可以得出平面α和平面β是平行的。

因此，我们可以通过计算这两个法向量的夹角来判断它们是否平行。

若夹角为0度或180度，则说明这两个法向量平行，从而得出这两个平面是平行的。

其次，我们可以利用平面上的直线来证明平面的平行关系。

如果两个平面平行，那么它们在空间中的任意一条直线在这两个平面上的投影也是平行的。

因此，我们可以通过构造一条直线，然后在这两个平面上找到它们的投影，如果这两个投影是平行的，那么就可以得出这两个平面是平行的结论。

另外，我们还可以利用平行四边形的性质来证明平面的平行关系。

如果在空间中存在两个平行四边形，那么它们所在的平面也是平行的。

因此，我们可以通过构造平行四边形来证明两个平面的平行关系。

具体来说，我们可以在这两个平面上分别找到两个平行四边形，如果这两个平行四边形是平行的，那么就可以得出这两个平面是平行的结论。

最后，我们还可以利用向量的线性组合来证明平面的平行关系。

如果两个平面平行，那么它们上任意一点的法向量之间存在线性关系。

因此，我们可以通过选取这两个平面上的三个点，然后计算它们的法向量，如果这三个法向量之间存在线性关系，那么就可以得出这两个平面是平行的结论。

综上所述，我们可以利用平面的法向量、平面上的直线投影、平行四边形的性质以及向量的线性组合等方法来证明两个平面的平行关系。

在实际问题中，我们可以根据具体情况选择合适的方法来进行证明，以便更加方便和准确地得出结论。

通过掌握这些方法，我们可以更好地理解和运用平面的平行关系，为解决实际问题提供更多的思路和方法。

构造平行四边形证题的技巧

构造平行四边形证题的技巧构造平行四边形证题的技巧一. 构造平行四边形证两线段平行例1. 已知如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于O，E、F分别为OB、OD的中点，过O任作一直线分别交AB、CD于G、H。

求证：GF//EH。

证明：连结GE、FH四边形ABCD是平行四边形又四边形EHFG是平行四边形二. 构造平行四边形证两线段相等例2. 如图，中，D在AB上，E在AC的延长线上，BD=CE连结DE，交BC 于F，∠BAC外角的平分线交BC的延长线于G，且AG//DE。

求证：BF=CF分析：过点C作CM//AB交DE于点M，可以证明BD=CM，然后再利用平行四边形的性质得到BF=CF证明：过点C作CM//AB交BE于点M，连接BM、CD，则∠CME=∠ADE四边形BMCD为平行四边形故BF=CF三. 构造平行四边形证线段的不等关系例3. 如图，AD是的边BC上的中线，求证：分析：欲证，即要证，设法将2AD、AB、AC归结到一个三角形中，利用三角形任意两边之和大于第三边来证明。

注意到AD为的中线，故可考虑延长AD到E，使DE=AD，则四边形ABEC为平行四边形。

从而问题得证。

证明：延长AD到E，使DE=AD，连结BE、EC四边形ABEC是平行四边形在中，AE 即2AD<ab+ac< p="">点评：此题是利用三角形三边关系定理、平行四边形的判定，通过延长中线将证明三角形中三条线段间的不等关系，转化为三角形三边之间的关系，从而使问题迎刃而解。

四. 构造平行四边形证线段的倍分关系例4. 如图，分别以中的AB、AC为边向外作正方形ABEF和正方形ACGH，M是BC 的中点，求证：FH=2AM证明：延长AM到D，使MD=AM，连结BD、CD，是BC的中点四边形ABDC为平行四边形又AF=BA，AH=AC=BD故FH=2AM五. 构造平行四边形证两线段互相平分例5. 平面上三个等边三角形两两共有一个顶点，如图所示，求证：CD与EF互相平分分析：要证CD与EF互相平分，须证四边形DFCE是平行四边形证明：连结DE、DF、AF易知AD=AB=BD又AE=AC，AD=AB∠DAE=60°-∠EAB=∠BAC四边形DECF是平行四边形故CD与EF互相平分六. 构造平行四边形证角的`不等关系例6. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC>BD求证：∠DBC>∠ACB证明：过点D作DE//AC交BC的延长线于点E，则四边形ACED 是平行四边形又在中，∠DBE>∠E七. 构造平行四边形证线段的和差关系例7. 如图，中，点E、F在边AB上，AE=BF，ED//AC//FG，求证：ED+FG=AC证明：过E作EH//BC交AC于H四边形CHED为平行四边形又AE=BF，同步练习：1. 如图1，在梯形BCED中，DE//BC延长BD、CE交于A，在BD上截取BF=AD。

数学平行四边形证明题技巧思路与方法

数学平行四边形证明题技巧思路与方法
证明平行四边形的一般方法是使用平行线的性质和几何定理，以下是一些常用的技巧思路和方法：
1. 平行线的性质：平行线具有许多重要的性质，例如对应角相等、内错角相等、同旁内角互补等等。

可以利用这些性质来推导出平行四边形的相关结论。

2. 逆向思维：当需要证明一个四边形是平行四边形时，可以从相反的方向思考。

即首先假设该四边形不是平行四边形，然后推导出矛盾结论，从而得出原命题的正确性。

3. 利用已知条件：观察已知条件，比如已知两条边平行或已知两条边等长，然后利用这些已知条件进行推导证明。

例如，通过使用平行线的性质证明两组对应边相等等。

4. 使用平行四边形的定义：平行四边形的定义是对角线互相平分，可以利用这一定义来证明平行四边形的性质。

例如，通过证明对角线的中点连线平行于两边，或证明对角线互相垂直等。

5. 利用其他几何定理：除了平行线的性质外，还可以利用其他几何定理来证明平行四边形的性质。

例如，利用三角形的一些性质或相似三角形的性质来推导出平行四边形的相关结论。

总的来说，证明平行四边形的关键是灵活运用几何定理和性质，善于利用已知条件进行推导，并运用逆向思维来证明。

在证明
过程中，需要详细演算和陈述每一步的推导过程，注重逻辑严密和证明的完整性。

平面几何的证明平行四边形的对角线性质及其证明

平面几何的证明平行四边形的对角线性质及其证明平面几何的证明——平行四边形的对角线性质及其证明平行四边形是平面几何中常见的一类图形，它具有独特的性质和特点。

其中，对角线是平行四边形中的重要元素，它与平行四边形的其他线段有着密切的联系。

本文将探讨平行四边形的对角线性质，并进行相应的证明。

1. 平行四边形的对角线性质在平行四边形中，对角线具有以下重要性质：性质1：平行四边形的对角线互相平分。

设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，我们需要证明AO=CO和BO=DO。

证明：根据平行四边形的定义，对边平行且等长，可得AO=CO和BO=DO。

性质2：平行四边形的对角线互相垂直。

证明：根据平行四边形的性质，对边平行，因此AD∥BC和AB∥CD。

又知道对角线AC和BD相交于点O，根据垂直的定义，若AC和BD相交于O点，则AO⊥BO，CO⊥DO。

因此可得到对角线互相垂直的结论。

性质3：平行四边形的对角线互相等长。

证明：根据平行四边形的性质，对边平行且等长，可得AB=CD和AD=BC。

再根据性质1和性质2可知，AO=CO，BO=DO，结合AD=BC和AB=CD，可得AO=CO=BO=DO。

因此，平行四边形的对角线互相等长。

2. 平行四边形对角线性质的证明下面我们将对平行四边形的对角线性质进行证明，以确保其准确性和可信度。

证明1：平行四边形的对角线互相平分。

给定平行四边形ABCD，点O为其对角线AC和BD的交点。

我们需要证明AO=CO和BO=DO。

证明过程：构造平行四边形的辅助线段：连接点O和点A，连接点O和点C。

由平行四边形的定义可知，AD∥BC，因此∠OAB=∠OCD（对应角相等）。

同理可得，∠OAD=∠OBC。

由于∠OAB=∠OCD和∠OAD=∠OBC，根据直线平分角定理可得AO=CO和BO=DO。

因此，平行四边形的对角线互相平分得证。

证明2：平行四边形的对角线互相垂直。

给定平行四边形ABCD，点O为其对角线AC和BD的交点。

判定平行四边形的五种方法

判定平行四边形的基本方法判定一个四边形是平行四边形共有五种方法：定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形判定3：对角线互相平分的四边形是平行四边形判定4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形一、运用定义“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定，证两组对边分别平行。

1、如图，在平行四边形ABCD 中，∠DAB 、∠BCD 的平分线分别交BC 、AD 边于点E 、F ，求证：四边形AECF 是平行四边形证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∠DAB =∠BCD ，∴AF ∥EC . 又∵∠1=21∠DAB ，∠2=21∠BCD ，∴∠1=∠2. ∵AD ∥BC ， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∴AE ∥CF .∴四边形AECF 是平行四边形.（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）1.如图1，已知△ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD =CE ，连结DE 并延长至点F ，使EF =AE ，连结AF 、BE 和CF(1)请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；(2)判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。

解：（1）选证△BDE ≌△FEC 证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴BC =AC ，∠ACD =60°∵CD =CE ，∴BD =AE ，△EDC 是等边三角形∴DE =EC ，∠CDE =∠DEC =60° ∴∠BDE =∠FEC =120°又∵EF =AE ，∴BD =FE ，∴△BDE ≌△FECAFB D CE图1A B C D E 1 32 F（2）四边形ABDF是平行四边形理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等边三角形∵∠CDE=∠ABC=∠EF A=60°∴AB∥DF，BD∥AF∵四边形ABDF是平行四边形。

平行四边形几何辅助线专题详解

平行四边形几何辅助线专题详解1 平行四边形知识框架{分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4个点的坐标平行四边形的面积{利用面积解决问题方程思想构造中位线{连接法{连接两中点知一中点，取另一中点知两中点，构双中位线倍长法{倍长垂直于角平分线的线段倍长线段方法1 分类讨论思想分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4点坐标一、动态讨论解题技巧：点在线段的不同位置，也会造成不同的结果（1）1个点的移动如下图，1个点C 在直线AB 上移动，会出现3种情况：①在线段AB 左侧；②在线段AB 当中；③在线段AB 右侧，具体见例1.（2）2个点的移动如下图，2个点C、D在线段AB上移动（C、D两点在AB中），会出现2种情况：①点C在点D的左侧；②点C在点D的右侧，具体见例2.例1.▱ABCD的内角∠BCD的平分线CE交射线DA于点E，若AE=3，DE=4，求▱ABCD的周长。

例2.在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，求AB的长。

二、高的位置的讨论解题技巧：在平行四边形中作高，会出现2种情况：①在图形内；②在图形外。

（1）过点作下（上）侧边的高如下图，过点A作▱ABCD下侧的边CD上的高AE。

因▱ABCD倾斜方向的变化，高会存在两种情况，具体见例1（2）过点右（左）侧边的高如下图，过点B作▱ABCD的右侧边AD上的高AE。

因▱ABCD倾斜大小的变化，高会存在两种情况，具体见例2上述两种情况实质是同一种情况经过翻折后得到的，为同一种情况。

例1.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，若AB=5，BC=6，求CE的值。

例2.在▱ABCD中，AD=BD=4，BE是AD边上的高，∠EBD=30°，求△ABD的面积。

初中数学中的平行四边形解题技巧详解

初中数学中的平行四边形解题技巧详解平行四边形是初中数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。

在解题过程中，我们需要掌握一些基本的解题技巧。

本文将详细介绍初中数学中平行四边形的解题方法及技巧。

一、平行四边形的基本性质平行四边形是指具有两对对边分别平行的四边形。

在解题过程中，我们首先需要掌握平行四边形的基本性质。

1. 两对对边分别平行：平行四边形的两对对边分别平行，这是平行四边形的最基本的性质。

2. 对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分。

这意味着平行四边形的对角线将平行四边形分成两个全等的三角形。

3. 同底三角形面积相等：若两个三角形有一个共同的底，且底上的高相等，则这两个三角形的面积相等。

利用这一性质，我们可以简化解题过程。

二、平行四边形解题技巧1. 判断平行四边形的条件：在解题过程中，首先要判断给定的四边形是否为平行四边形。

我们可以通过观察边的长度和夹角的关系来判断是否为平行四边形。

2. 利用平行四边形的性质：在解题过程中，我们可以利用平行四边形的性质简化问题。

例如，判断一条线段是否平行于另一条线段，可以利用平行四边形的对角线互相平分的性质。

3. 利用同底三角形的性质：在解题过程中，若需要比较两个三角形的面积，我们可以利用平行四边形的同底三角形面积相等的性质简化问题。

比如，如果需要判断两个三角形的面积大小，我们可以找到它们的共同底，并比较高的长度。

4. 应用平行四边形的周长公式：在解题过程中，如果已知平行四边形的一些边长，我们可以利用平行四边形的周长公式求解未知边长。

5. 运用平行四边形的扩充性质：平行四边形具有很多扩充性质，例如，平行四边形的对角线相等、平行四边形的同位角相等等。

在解题过程中，我们可以利用这些扩充性质进行推理和求解。

三、实例分析为了更好地理解平行四边形的解题技巧，下面我们通过一些实例进行详细分析。

例题1：已知平行四边形ABCD中，AB=5cm，BC=8cm，AC=10cm，求平行四边形的周长和对角线长度。

数学教案-平行四边形的判定

数学教案－平行四边形的判定数学教案－平行四边形的判定（精选3篇）数学教案－平行四边形的判定篇1教学建议1.重点平行四边形的判定定理重点分析平行四边形的判定方法涉及平行四边形元素的各方面，同时它又与平行四边形的性质联系，判定一个四边形是否为平行四边形是利用平行四边形性质解决其他问题的基础，所以平行四边形的判定定理是本节的重点.2.难点灵活运用判定定理证明平行四边形难点分析平行四边形的判定方法较多，综合性较强，能灵活的运用判定定理证明平行四边形，是本节的难点.3.关于平行四边形判定的教法建议本节研究平行四边形的判定方法，重点是四个判定定理，这也是本章的重点之一.1.教科书首先指出，用定义可以判定平行四边形.然后从平行四边形的性质定理的逆命题出发，来探索平行四边形的判定定理.因此在开始的教学引入中，要充分调动学生的情感因素，尽可能利用形式多样的多媒体课件，激发学生兴趣，使学生能很快参与进来.2.素质教育的主旨是发挥学生的主体因素，让学生自主获取知识.本章重点中前三个判定定理的顺序与它的性质定理相对应，因此在讲授新课时，建议采用实验式教学模式或探索式教学模式：在证明每个判定定理时，由学生自己去判断命题成立与否，并根据过去所学知识去验证自己的结论，比较各种方法的优劣，这样使每个学生都积极参与到教学中，自己去实验，去探索，去思考，去发现，在动手动脑中得到的结论会更深刻――同时也要注意保护学生的参与积极性.3.平行四边形的判定方法较多，综合性较强，能灵活的运用判定定理证明平行四边形，是本节的难点.因此在例题讲解时，建议采用启发式教学模式，根据题目中具体条件结合图形引导学生根据分析法解题程序从条件或结论出发，由学生自己去思考，去分析，充分发挥学生的主体作用，对学生灵活掌握熟练应用各种判定定理会有帮助.教学设计示例1[教学目标] 通过本节课教学,使学生训练掌握平行四边形的各条判定定理,并能灵活地运用平行四边形的性质定理和判定定理及以前学过的知识进行有关证明,培养学生的逻辑思维能力。

数平行四边形的方法和技巧

数平行四边形的方法和技巧如何求解平行四边形的方法和技巧平行四边形是一种特殊的四边形，它的对边是平行的，而且对边长度相等。

在解决平行四边形问题时，我们可以运用一些方法和技巧，帮助我们更好地理解和解决问题。

本文将一步一步回答如何求解平行四边形的方法和技巧。

第一步：了解平行四边形的基本属性在求解平行四边形时，首先需要了解它的基本属性。

平行四边形的对边是平行的，而且对边长度相等，这意味着我们可以利用这些属性来解决问题。

第二步：利用平行四边形的性质推导出其他结论平行四边形具有一些重要的性质，可以帮助我们推导出其他结论，从而解决问题。

以下是一些常用的性质：1. 对边平行性质：平行四边形的对边是平行的。

这意味着我们可以利用对边平行的性质来推导出其他结论。

2. 对边等长性质：平行四边形的对边长度相等。

这意味着我们可以利用对边等长的性质来推导出其他结论。

3. 内角和性质：平行四边形的内角和为180度。

这意味着我们可以利用内角和的性质来推导出其他结论。

通过运用这些性质，我们可以推导出一些重要的结论，如同位角相等、内错角相等等。

这些结论可以帮助我们更好地理解和解决平行四边形的问题。

第三步：利用平行四边形的特殊性质解决问题在解决平行四边形问题时，我们还可以利用其特殊性质，采用一些特定方法和技巧。

1. 平行线截取等腰三角形：当我们需要求解平行四边形的边长或角度时，可以利用平行线截取等腰三角形的方法。

我们可以通过画一条辅助线，构造一个等腰三角形，从而利用等腰三角形的性质来求解平行四边形问题。

2. 平行线截取相似三角形：当我们需要求解平行四边形的边长比或者面积比时，可以利用平行线截取相似三角形的方法。

我们可以通过画一条辅助线，构造一个相似三角形，从而利用相似三角形的性质来求解平行四边形问题。

3. 使用向量法：当给定平行四边形的顶点坐标时，我们可以使用向量法来求解平行四边形的边长、面积等问题。

我们可以将平行四边形的向量表示进行计算，从而得到所求解的结果。

证明平行四边形的技巧

证明平行四边形的技巧证明平行四边形的技巧平行四边形该如何去证明呢?证明的方法又是的呢?下面就是啦店铺给大家整理的证明平行四边形内容，希望大家喜欢。

证明平行四边形的方法如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE。

已知∠BAC=30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF。

求证：四边形ADFE是平行四边形。

设BC=a,则依题意可得：AB=2a,AC=√3a,等边△ABE ,EF⊥AB=>AF=1/2AB=a,AE=2a,EF=√3a∵∠DAF=∠DAC+∠CAB=60°+30°=90°,AD=AC=√3a,∴DF=√(AD²+AF²)=2a∴AE=DF=2a,EF=AD=√3a =>四边形ADFE是平行四边形1两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义)2两组对边分别相等的四边形是平行四边形3一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4对角线互相平分的四边形是平行四边形5两组对角分别相等的四边形是平行四边形1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形3、两组对边分别相等的四边形是平行四边形4、对角线互相平分的四边形是平行四边形21.画个圆，里面画个矩形2.假设圆里面的是平行四边形3.因为对边平行，所以4个角相等4.平行四边四个角之和等于360，5.360除以4等于906.所以圆内平行四边形为矩形..3判定(前提：在同一平面内)(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;(2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; (3)两组对边分别平行的四边形是平行四边形; (4)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形(5)两组对角分别相等的四边形为平行四边形(注：仅以上五条为平行四边形的判定定理，并非所有真命题都为判定定理，希望各位读者不要随意更改。

) (第五条对，如果对角相等，那么邻角之和的二倍等于360°，那么邻角之和等与180°，那么对边平行，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)所以这个四边形是平行四边形) 编辑本段性质(矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形。

初三解平行四边形的技巧

初三解平行四边形的技巧
解平行四边形的技巧如下：
1. 首先，确定平行四边形的两对边是否平行。

对于一个四边形，如果
两对边互相平行，则可以判断为平行四边形。

2. 计算平行四边形的周长。

平行四边形的周长等于四条边的长度之和。

3. 计算平行四边形的面积。

可以使用公式：面积 = 底边长度× 高，其中底边长度是任意一条平行四边形的边长，高是与底边平行的另一
条边的长度。

4. 求解平行四边形的对角线。

对角线可以通过两条相邻边之间的夹角
和边长来计算。

使用余弦定理或正弦定理可以求得对角线的长度。

5. 判断平行四边形的特性。

平行四边形具有以下特性：对边相等，对
角线相等，任意两条相邻边之间的夹角相等，对角线互相平分。

通过掌握这些技巧，我们可以更加准确地计算和解决与平行四边形相
关的问题。

平行四边形全等的判定定理

平行四边形全等的判定定理平行四边形全等的判定定理是一个在几何学中非常重要且有指导意义的定理。

它不仅可以帮助我们判断两个平行四边形是否全等，还可以在解决实际问题时提供指导。

下面将详细介绍这个定理。

首先，让我们回顾一下平行四边形的定义。

平行四边形是指具有两对平行边的四边形。

它的特点是两边两对角线相等，而且对角线相交的内角相互补。

平行四边形的全等性质意味着当两个平行四边形的对应边相等且对应角相等时，这两个平行四边形是全等的。

定理表述如下：如果两个平行四边形的对应边相等且对应角相等，则这两个平行四边形是全等的。

定理的证明可以通过使用平行四边形的定义以及其他几何性质来完成。

首先，我们可以使用平行四边形的定义来证明对应边相等。

根据定义，平行四边形的两对边是平行的，因此它们长度相等。

因此，如果两个平行四边形的对应边相等，那么它们具备了全等的第一条特征。

接下来，我们需要证明对应角相等。

根据平行四边形的定义，它的两对角线相等。

当两个平行四边形的两对角线相等时，它们对应的角也相等。

这可以通过使用角的补角性质来证明。

两个平行四边形具有相等的对角线，所以它们的内角必然相等。

因此，当两个平行四边形的对应角相等，它们符合全等的第二条特征。

综上所述，当两个平行四边形的对应边相等且对应角相等时，它们是全等的。

这个定理对我们解决几何问题非常有指导意义。

在解决问题时，我们可以根据这个定理来判断两个平行四边形是否全等，从而得出问题的答案。

例如，我们可以利用这个定理来求解实际问题。

假设我们需要寻找一个与已知平行四边形全等的平行四边形。

我们可以通过观察已知平行四边形的边长和内角来寻找合适的构造。

根据定理，我们可以在平面上绘制一个与已知平行四边形的对应边相等且对应角相等的平行四边形。

这个新绘制的平行四边形与已知平行四边形就是全等的。

总而言之，平行四边形全等的判定定理是一个非常有用的几何定理。

它帮助我们判断两个平行四边形是否全等，并在解决实际问题时提供指导。

第6章平行四边形题型解读7 直角坐标系中的平行四边形-2020-2021学年北师大版八年级数学下册

《平行四边形》题型解读7 直角坐标系中的平行四边形【知识梳理】： 1.总体解题分析思路线：2.常见添辅助线方法：①过平行四边形顶点作坐标轴的垂线段，把点的坐标转化成线段长； ②连接对角线，利用中点坐标公式求解点的坐标；【典型例题】例1.已知如图，平行四边形ABCD 的边AB 在轴上，顶点D 在轴上，AD=4，AB=5，点A 的坐标为（-2，0），则点B 的坐标为____________, 点C 的坐标为____________, 点D 的坐标为____________ 【解题过程】作CE ⊥x 轴，∵点A 的坐标为（-2，0），∴OA=2，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=4,AB=CD=5,∴OB=3,∴BE=2,在Rt △OAD 中，由勾股定理可得OD=2√3,∵∠DAO=∠CBE,OA=BE=2,∠AOD=∠CEB=90º,∴△AOD ≌△BEC,∴CE=OB=2√3,∴B(3,0)、D(0,2√3)、C(5,2√3).例2.如图，在平面直角坐标系中，AB//OC ，A （0，12），B （a,12），C （b,0），且满足b =√a −21+√21−a +16. 动点P 从点A 出发，在线段AB 上以每秒2个单位长度的速度向点B 运动；动点Q 从点O 出发在线段OC 上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P 、Q 同时出发，当点P 运动到点B 时，点Q 随之停止运动.设运动时间为t （秒）. （1）求B ，C 两点的坐标；（2）当t 为何值时，四边形PQCB 是平行四边形？请求出此时P ，Q 两点的坐标；（3）当t 为何值时，△PQC 是以PQ 为腰的等腰三角形？并求出P 、Q 两点的坐标.【解题过程】（1）∵b =√a −21+√21−a +16，∴√a −21≥0，√21−a ≥0，∴a=21,∴b=16,∴B(21,12)、C(16,0)；（2）如图1，由题可知：AP=2t,PB=21-2t ，OQ=t,QC=16-t ，∵当四边形PQCB 是平行四边形时，∴PB=QC ，即21-2t=16-t ，解得t=5，此时AP=10,OQ=5，∵AB//OC ，∴点B 、P 的纵坐标相同，∴P(10,12)、Q(5,0)。

平行四边形解题规律技巧

证明：∵AB＝BF，∴∠BAF＝∠F．∵∠EAD＝∠BAF， ∴∠EAD＝∠F，∴AD∥BC． ∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)． ∴∠BAD＝∠C(平行四边形的对角相等)．点评：平行四边形的对角相等是继三角形全等和等边对等角之后又一种证明两角相等的方法．
综合利用平行四边形的性质和全等三角形判定与性质证明线段或角相等的方法首先利用平行四边形的性质得到直线平行线段相等或角的相等关系再把所得结论作为判定三角形全等的条件再根据全等三角形的性质得线段或角相等
1．利用平行四边形的定义判断平行四边形的方法利用定义识别平行四边形首先要看所给图形是否是四边形，其次是四边形的两组对边是否分别平行．
7．综合利用平行四边形的判定和性质证明线段或角的相等关系
在证明时首先选择适当的方法证明平行四边形，再根据性质得线段或角相等．
例7 如图7，△ABF中，AB＝BF，∠EAD＝∠BAF，
AD＝BC，求证：∠BAD＝∠C．
分析：∠BAD和∠C是四边形ABCD的对角，因此只需证明四边形ABCD是平行四边形就可以证明∠BAD＝∠C，由已知条件知AD＝BC，因此可再证明 AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形可证．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO． ∵AB＋CD＋AD＋CB＝60，AO＋AB＋OB－(OB＋BC＋OC)＝8， ∴AB＋BC＝30，AB－BC＝8．∴AB＝CD＝19 cm，BC＝AD＝11 cm．答：这个平行四边形各边长分别为19 cm、11 cm、19 cm、11 cm．点评：(1)平行四边形的邻边之和等于平行四边形周长的一半． (2)平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．

平行四边形解题方法与技巧

♦解读平行四边形1.正确理解平行四边形的概念有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.用数学语言表示为:在四边形ABCD中,若AB〃DC,AD#BC,则四边形ABCD是平行四边形.记作口ABCED.平行四边形的定义也是判定一个四边形是不是平行四边形的一种方法.2.掌握平行四边形的性质平行四边形的性质可以从以下三个方面去理解：(1)从边着眼:平行四边形的两组对边分别平行且相等；(2)从角着眼:平行四边形的两组对角分别相等,邻角互补；(3)从对角线着眼:平行四边形的对角线互相平分.事实上，平行四边形的对角线除了互相平分外，它还是将四边形转化为三角形的“桥梁”，在处理许多与平行四边形有关的问题时,常用“对角线”互相平分这一性质解决.如：OABCD的周长为26,对角线AC和BD相交于点0,若AAOB的周长比AAOD的周长多1,这样我们就可以利用平行四边形的对边相等和对角线互相平分得到AB+AD=13,,AB-AD=1,从而求得AB=7,AD=6.3.掌握平行四边形的判定方法判定一个四边形是平行四边形的方法主要有：(1)两组对边分别平行；(2)两组对边分别相等；(3)一组对边平行且相等；(4)两组对角分别相等；(5)两条对角线互相平分.♦平行四边形性质的活用平行四边形除了具有一般四边形的性质外，还具有以下特性：(1)对边平行且相等；⑵对角相等,邻角互补；(3)对角线互相平分；⑷是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心；(5)平行四边形被对角线分成的4个三角形的面积相等.例1:已知：如图，在DABCD中，E、F分别是AB、CD的中点.求证：(1)AAFD^ACEB；(2)四边形AECF 是平行四边形.例2:如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD上的点，且NDAF二NBCE.(1)求证：△DAFSBCE；(2)若NABC=60°,NECB=20°,NABC的平分线BN交AF与M,交AD于N,求NAMN的度数.♦判定平行四边形的五种基本方法判定平行四边形的五种方法1 .两组对边分别平行例：如图1,已知4ABC 是等边三角形，D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD=CE,连结DE 并延长至点F,使 EF=AE,连结AF 、BE 和CF⑴请在图中找出一对全等三角形，并加以证明；⑵判断四边形ABDF 是怎样的四边形，并说明理由。

证明平行四边形的方法

证明平行四边形的方法平行四边形是一种特殊的四边形，它具有两对对边平行且相等的性质。

在几何学中，我们经常需要证明一个四边形是平行四边形，下面将介绍几种常用的证明方法。

1. 利用对角线。

首先，我们可以利用平行四边形的对角线性质来证明。

对于一个四边形ABCD，如果它是平行四边形，那么对角线AC和BD会互相平分。

我们可以利用这一性质来进行证明。

首先，我们假设ABCD是一个平行四边形，然后通过对角线AC和BD的交点O来证明这一点。

我们可以利用三角形的性质来证明AO=OC，BO=OD，从而得出结论ABCD是平行四边形。

2. 利用边的性质。

其次，我们还可以利用平行四边形的边的性质来进行证明。

对于一个四边形ABCD，如果它是平行四边形，那么相邻的两条边是相等的。

我们可以利用这一性质来进行证明。

首先，我们假设ABCD是一个平行四边形，然后通过分析其边的性质来证明AB=CD，BC=AD，从而得出结论ABCD是平行四边形。

3. 利用角的性质。

最后，我们还可以利用平行四边形的角的性质来进行证明。

对于一个四边形ABCD，如果它是平行四边形，那么相邻的两个内角是补角。

我们可以利用这一性质来进行证明。

首先，我们假设ABCD是一个平行四边形，然后通过分析其角的性质来证明∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°，从而得出结论ABCD是平行四边形。

综上所述，我们可以利用对角线、边、角的性质来证明一个四边形是平行四边形。

在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的证明方法来进行推导，从而得出结论。

通过掌握这些证明方法，我们可以更加灵活地运用几何知识，解决各种与平行四边形相关的问题。

利用中点法解决平行四边形存在性问题

利用中点法解决平行四边形存在性问题平行四边形作为特殊的四边形,一直是中考试题中的主角。

尤其是在综合了函数知识后动态研究它的存在性问题，对学生分析问题和解决问题的要求较高。

此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质；考查识图作图、运算求解、数学表达等能力；数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想。

学生在处理问题的时候,往往不能正确分类，导致漏解。

此外,在解题时一般需要添设辅助线，利用平行四边形的性质，转化为全等进行计算,学生顺利完成的难度就更大。

如何才能让他们有目的的进行分类、简单明了的给出解答，从而减轻学习负担呢？借助平行四边形的对角线互相平分，即对角线的中点互相重合，来探究平行四边形的存在性问题就是一个很好的途径，简称“中点法”。

不需画图证明，跨越了复杂的推理过程和艰难的探索发现以及证明过程，学生的思路清晰明了。

一、已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点。

此类题是解决平行四边形存在性问题的基础题。

由于有三个点A、B、C已经确定，在作图时，一般会分别选择AB、AC、BC为对角线来进行画图，根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称来解决问题。

具体求解方法是利用平行四边形的对角线互相平分，即对角线的中点互相重合。

如果平行四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（, ）、B（，）、C（, ）、D（, ），则,，化简为,。

即平行四边形每条对角线上两个顶点的横坐标之和相等,纵坐标之和也相等。

简称“中点法”。

例：如图1，抛物线交轴于，两点，交轴于点．若平面内有一点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．图1解：先求出三个点坐标，A(-2,0)、B(4,0)、C(0，-4），再分别以三边为平行四边形对角线构造平行四边形，如图答-1：①以为对角线，,；同理=4，所以；②以为对角线，；③以为对角线，.综上所述，的坐标为.二、已知两个定点，另外两个点一般在抛物线上或抛物线对称轴上或x轴上或y轴上。

构造平行四边形8招

构造平行四边形8招吴健张崇俊平行四边形是特殊的四边形，它具有对边相等、对角相等、对角线互相平分等诸多性质。

在证（解）一些几何问题时，若能根据图形的特征，添加恰当的辅助线构造平行四边形，并利用其性质可使问题化难为易，化繁为简，证明过程极为简便。

下面分类举例说明。

一、构造平行四边形证两线段平行例1 在△ABC，AC>AB，在它的两边AB、AD上分别截取BD=CE，F、G分别是BC 和DE的中点，求证：FG和∠BAC的平分线AT平行。

分析：要证FG∥AT，须证四边形GFKN是平行四边形，而四边形GFKN可通过角平分线AT和中点去构造。

如图。

证明：过B、D分别作AT的垂线，垂足分别为K、N，且分别交AC于M、Q，连接GN、FK，则由AT平分∠BAC，得DN=NQ，又由DG=EG得NG EQ，同理FK MC。

又由TA平分∠BAC，DN⊥AN，BK⊥AK得BD=MQ，又BD=CE，∴QE=MC，∴NG FK。

∴四边形GFKN是平行四边形。

故FG和∠BAC的平分线平行。

二、构造平行四边形证两线段相等例2 如图，△ABC中，AB=AC，E是AB上一点，F是AC延长线上一点，BE=CF，EF交BC于D，求证：DE=DF。

证明：过E作EG∥AC交BC于G，连接CE、GF。

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB。

∵∠EGB=∠ACB，∴∠ABC=∠EGB，∴EG=BE。

∵BE=CF，∴EG=CF，又EG∥CF，∴四边形EGFC是平行四边形，∴DE=DF。

三、构造平行四边形证两线段互相平分例3 平行四边形ABCD中，E、F分别在AD、BC上，且AE=CF，AF与BE相交于G，CE与DF相交于H，求证EF与GH互相平分。

分析：欲证EF与GH互相平分，只须四边形EGFH为平行四边形，利用已知条件可知四边形AFCE、四边形EBFD都是平行四边形，所以可得AF∥EC，BE∥DF，从而四边形GFHE为平行四边形。

证明：平行四边形ABCD中，AD BC。

平行四边形对角相等的证明

平行四边形对角相等的证明平行四边形是几何学中的一个重要概念，它具有许多特殊的性质。

其中一个重要的性质是平行四边形的对角线相等。

本文将详细介绍并证明平行四边形对角相等的原因。

让我们回顾一下平行四边形的定义。

平行四边形是指具有两组平行的对边的四边形。

换句话说，平行四边形的对边是平行的。

图形中的对角线是连接非相邻顶点的线段。

我们要证明的是，平行四边形的对角线相等，即对角线AB和CD的长度相等。

为了证明这个性质，我们可以利用平行四边形的其他性质以及一些基本几何定理。

首先，我们可以利用平行四边形的定义得出以下结论：结论1：平行四边形的对边相等。

结论2：平行四边形的对边互相平行。

根据结论1，我们可以得到AB = CD和AD = BC。

现在，我们需要证明对角线AB和CD的长度相等，即AB = CD。

我们可以通过构造平行四边形的中线来证明这一点。

中线是连接平行四边形的两组对边中点的线段。

设中线的交点为O。

根据结论1，我们知道AO = \(\frac{1}{2}\)AB和CO = \(\frac{1}{2}\)CD。

根据结论2，我们知道AO和CO是平行的。

接下来，我们可以利用三角形的性质来证明AO和CO相等。

由于AO和CO是平行四边形的中线，所以它们将平行四边形分成了两个相似的三角形。

根据相似三角形的性质，我们知道AO与CO的比例等于AB与CD的比例，即\(\frac{AO}{CO}\) = \(\frac{AB}{CD}\)。

另一方面，根据结论1，我们知道AB = CD，所以\(\frac{AO}{CO}\) = \(\frac{AB}{CD}\) = 1。

根据比例的性质，当两个比例相等时，它们的比值等于1。

因此，我们得出结论AO = CO。

根据结论1，我们知道AO = \(\frac{1}{2}\)AB和CO = \(\frac{1}{2}\)CD。

由于AO = CO，我们可以得出\(\frac{1}{2}\)AB = \(\frac{1}{2}\)CD。

题型专项研究：平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质

题型6平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质,备考攻略)1．简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题．2．四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题．3．平行四边形的存在性问题．4．四边形与二次函数的综合题．1．折叠、轴对称及特殊平行四边形的性质应用出错．2．平行四边形的存在性问题中解有遗漏．3．很难解答四边形与二次函数的综合题，无从下手．1．四边形是几何知识中非常重要的一块内容，因其“变化多端”更是成为中考数学考试的一个热门考点．近几年随着新课改的不断深入，中考题更加考查学生思维能力，如出现一些图形折叠、翻转等问题．这类问题的实践性强，要利用图形变化前后线段、角的对应相等关系，构造一些特殊三角形等知识来求解．2．中考还常把四边形与平面直角坐标系结合起来考查，这类题目不仅仅把“数”与“形”联系起来思考，更提高同学们综合运用知识的能力．数形结合题目可以考查学生对“新事物”“新知识”的接受和理解能力，也考查学生运用所学知识来解决“新事物”“新知识”的能力．3．四边形作为特殊的四边形，一直是中考试题中的主角．尤其是在综合了函数知识后动态研究它的存在性问题，对学生分析问题和解决问题的要求较高．此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．1．简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题：平行四边形具有对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分等性质，它们在计算、证明中都有广泛的应用：(1)求角的度数；(2)求线段的长；(3)求周长；(4)求第三边的取值范围．2．四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题：有关矩形纸片折叠的问题，通过动手操作去发现解决问题的方法．其规律为利用折叠前后线段、角的对应相等关系，构造直角三角形，利用勾股定理来求解．折叠问题数学思想：(1)思考问题的逆向(反方向)，(2)转化与化归思想；(3)归纳与分类的思想；(4)从变寻不变性的思想．3．综合了函数知识后动态研究平行四边形的存在性问题：此类题目主要考查平行四边形的判定与性质、函数解析式的确定与性质，考查识图作图、运算求解、数学表达等能力，数形结合、分类讨论、函数与方程等数学思想．学生在处理问题的时候，往往不能正确分类，导致漏解．此外，在解题时一般需要添设辅助线，利用平行四边形的性质，转化为全等进行计算，学生顺利完成的难度就更大．如何才能让他们有目的的进行分类、简单明了的给出解答，从而减轻学习负担呢？借助平行四边形的对角线性质，来探究平行四边形的存在性问题就是一个很好的途径．4．四边形与二次函数的综合题是压轴题：综合考查了二次函数，一次函数，尺规作图，勾股定理，平面直角坐标系，一元二次方程，轴对称——翻折，最值问题．读懂题目、准确作图、熟悉二次函数及其图象是解题的关键．解决压轴题关键是找准切入点，如添辅助线，构造定理所需的图形或基本图形；紧扣不变量，并善于使用前题所采用的方法或结论；深度挖掘题干，反复认真的审题，在题目中寻找多解的信息，等等．压轴题牵涉到的知识点较多，知识转化的难度较高，除了要熟知各类知识外，平时要多练，提高知识运用和转化的能力．,典题精讲)◆简单的应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质或判定解答证明题【例1】(成都中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为________．【解析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质证出OA＝AB＝OB＝3，得出BD＝2OB ＝6，由勾股定理求出AD即可．【答案】3 31．(巴中中考)如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连接AE，如果∠ADB＝30°，则∠E＝__15__°.2．(2017甘肃中考)如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形BEDF 是平行四边形； (2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，O 是BD 的中点， ∴∠A ＝90°，AD ＝BC ＝4，AB ∥DC ，OB ＝OD, ∴∠OBE ＝∠ODF.在△BOE 和△DOF 中，⎩⎨⎧∠OBE ＝∠ODF ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF(ASA ), ∴EO ＝FO,∴四边形BEDF 是平行四边形；(2)当四边形BEDF 是菱形时，BD ⊥EF, 设BE ＝x ，则DE ＝x ，AE ＝6－x. 在Rt △ADE 中，DE 2＝AD 2＋AE 2, ∴x 2＝42＋(6－x)2, 解得：x ＝133.∵BD ＝AD 2＋AB 2＝213， ∴OB ＝12BD ＝13.∵BD ⊥EF,∴EO ＝BE 2－OB 2＝2133，∴EF ＝2EO ＝4133.◆四边形动态问题——旋转变换类、平移变换类、折叠变换类，运动问题类，利用折叠(翻折)、轴对称解答最值问题【例2】(宿迁中考)如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A ．2B . 3C . 2D ．1【解析】根据翻折不变性，AB ＝FB ＝2，BM ＝1，在Rt △BFM 中，可利用勾股定理求出FM 的值．【答案】B3．(咸宁中考)已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5，0)，OB ＝45，点P 是对角线OB 上的一个动点，D(0，1)，当CP ＋DP 最短时，点P 的坐标为( D )A ．(0，0)B .⎝⎛⎭⎫1，12C .⎝⎛⎭⎫65，35D .⎝⎛⎭⎫107，57(第3题图)(第4题图)4．(苏州中考)矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B 的坐标为(3，4)，D 是OA 的中点，点E 在AB 上，当△CDE 的周长最小时，点E 的坐标为( B )A ．(3，1)B .⎝⎛⎭⎫3，43C .⎝⎛⎭⎫3，53 D ．(3，2)5．(黄冈中考)如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边CD ，BC 上，且DC ＝3DE ＝3a ，将矩形沿直线EF 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点P 处，则FP ＝.6．(2017甘肃中考)如图，E ，F 分别是▱ABCD 的边AD ，BC 上的点，EF ＝6，∠DEF ＝60°，将四边形EFCD 沿EF 翻折，得到EFC′D′，ED ′交BC 于点G ，则△GEF 的周长为( C )A ．6B ．12C ．18D ．247．(2017广东中考)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F.(1)求证：△BDF 是等腰三角形；(2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FG 交BD 于点O. ①判断四边形BFDG 的形状，并说明理由； ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长．解：(1)如图①，根据折叠，∠DBC ＝∠DBE, 又AD ∥BC,∴∠DBC ＝∠ADB, ∴∠DBE ＝∠ADB, ∴DF ＝BF,∴△BDF 是等腰三角形；(2)①∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC, ∴FD ∥BG.∴四边形BFDG 是平行四边形． ∵DF ＝BF,∴四边形BFDG 是菱形； ②∵AB ＝6，AD ＝8, ∴BD ＝10， ∴OB ＝12BD ＝5.假设DF ＝BF ＝x ，∴AF ＝AD －DF ＝8－x.∴在Rt △ABF 中，AB 2＋AF 2＝BF 2，即62＋(8－x)2＝x 2,解得x ＝254，即BF ＝254， ∴FO ＝BF 2－OB 2＝⎝⎛⎭⎫2542－52＝154， ∴FG ＝2FO ＝152. ◆解决平面直角坐标系中平行四边形存在性问题【例3】(2017大理中考模拟)如图，A ，B ，C 是平面上不在同一直线上的三个点． (1) 画出以 A ，B ，C 为顶点的平行四边形；(2)若 A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1，5)，(－5，1)，(2，2)，请写出这个平行四边形第四个顶点 D 的坐标．【解析】利用坐标系的知识点解题．【答案】(1)如图所示；(2)第四个顶点D 的坐标为(－2，－2)或(6，6)或(－8，4)．1．(兰州中考)如图所示，菱形ABCD 的周长为20 cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，sin A ＝35，则下列结论正确的个数有( C )①DE ＝3 cm ；②BE ＝1 cm ；③菱形的面积为15 cm 2；④BD ＝210 cm . A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．(济南中考)如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，过对角线交点O 作OE ⊥AC 交AD 于E ，则AE 的长是( D )A ．1.6B ．2.5C ．3D ．3.4(第2题图)3．(珠海中考)如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4 cm，则点P到BC的距离是__4__cm.4．(新疆中考)如图，▱ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将▱ABCD沿过点A 的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.(1)求证：四边形BCED′是菱形；(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．解：(1)∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E.∵DE∥AD′，∴∠DEA＝∠EAD′，∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，∴∠DAD′＝∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE＝AD′.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，∴CE＝D′B，CE∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形；(2)∵AD＝AD′，∴▱DAD′E是菱形．∴D与D′关于AE对称．连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′＋PB的最小值，过D作DG⊥BA于G.∵CD ∥AB ，∴∠DAG ＝∠CDA ＝60°. ∵AD ＝1，∴AG ＝12，DG ＝32，BG ＝52，∴BD ＝DG 2＋BG 2＝7， ∴PD ′＋PB 的最小值为7.5．(资阳中考)如图，在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)，双曲线y ＝kx(k ≠0，x ＞0)过点D.(1)求双曲线的解析式；(2)作直线AC 交y 轴于点E ，连接DE ，求△CDE 的面积．解：(1)∵▱ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)， ∴点D 的坐标为(1，2)． ∵点D 在双曲线y ＝kx 上，∴k ＝1×2＝2，∴双曲线的解析式为y ＝2x ；(2)∵直线AC 交y 轴于点E ， ∴点E 的横坐标为0. ∵AD ＝2，∵S △ADC ＝12·(3－1)·AD ＝2，∴S △CDE ＝S △EDA ＋S △ADC ＝1＋2＝3.。

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