【精品】2018年河南省高考数学一诊试卷及参考答案(文科)
2018年河南省新乡市高考数学一模试卷(文科)
n=23,m=77,sm100,
n=24,m=76,sm100,
n=25,m=75,s=100,
输出n=25,
故选：B.
9.（5分）若函数f（x）=-x2+ax+2lnx在（1,2）上有最大值，则a的取值范围 为（ ）
A
2
【解答】解：f'(x)=-2x+a+2=P‘+自x+2
16.（5分）在厶ABC中，si nA:si nB: si nC=2: 3:4,则厶ABC中最大边所对角
的余弦值为.
17.（5分）已知函数f（x）=1八’，则f（Iog26）+f（._-
212（”+1） “
三、解答题：共70分•解答应写出文字说明•证明过程或演算步骤•第仃〜21
题为必考题•每个试题考生都必须作答•第22、23题为选考题•考生根据要求
2018
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（5分）复数z=8+（-i）17可化简为（）
A.1-i B.0C. 1+i D.2
2.（5分）已知集合A={x|x2-x<0},B={x| a- 1<xva}，若AQB只有一个元
素，则a=（）
(2)若直线’|(t为参数)与曲线C有公共点，求m的取值范围.
o
X
［选修4-5:不等式选讲］(10分)
24.已知函数f(x)=|x-3|.
(1)求不等式f(x)+f(2x)vf(12)的解集；
(2)若X1=3x3-X2,|X3-2|>4,证明：f(X1)+f(X2)>12.
2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷(文科)
2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：{本大题共12小题.每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x|2x﹣1＜1}，B={y|y=}，则A∩B=（）A．[﹣1，0）B．[﹣1，1）C．[0，1]D．[O，1）2．（5分）复数（1+i）3（i是虚数单位）化简的结果是（）A．﹣8B．8C．﹣8i D．8i3．（5分）为了规定学校办学，省电教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查，抽查到班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号，33号，46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是（）A．13B．19C．20D．524．（5分）已知等比数列{an }，a2=，a5=，则数列{log2an}的前10项之和是（）A．45B．﹣35C．55D．﹣555．（5分）若x＞m是x2﹣3x+2＜0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，1]D．[2，+∞）6．（5分）阅读如图所示的程序框图，若输入a=，则输出的k值是（）A．9B．10C．11D．127．（5分）一个几何体的侧视图如图所示，若该几何体的体积为，则它的正视图为（）A．B．C．D．8．（5分）函数f（x）=e ln|x|﹣2sinx的图象大致是（）A．B．C．D．9．（5分）若函数f（x）=的最小值为f（0），则实数a的取值范围（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，0]C．[1，2]D．[0，2] 10．（5分）已知x，y满足约束条件，目标函数z=2x﹣3y的最大值是2，则实数a=（）A．B．1C．D．411．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB．C．6πD．12．（5分）定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），f（0）=0若对任意x ∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，则使得f（x）+e x＜1成立的x的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2013．（5分）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为．14．（5分）如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线与AC两边分别交于M，N两点，且=x，=y，则x+2y的最小值为．15．（5分）双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，若F关于直线+y=0的对称点A是双曲线C上的点，则双曲线C的离心率为．16．（5分）已知函数f（x）=x﹣（a+1）lnx﹣（a∈R，且a＜1），g（x）=x2+e x﹣xe x，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，则a的取值范围是．三、解答题：共5小题，总计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c依次成等差数列．（1）若向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，求cosA的值；（2）若ac=8，求△ABC的面积S的最大值．18．（12分）某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准为：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知甲、乙两所学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取50名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图1所示，乙校的样本中等级为C，D的所有数据的茎叶图如图2所示．（1）求图2中x的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率；（2）在乙校的样本中，从成绩等级为C，D的学生中随机抽取两名学生进行调研，求抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．19．（12分）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，，AB=2BC=2，AC⊥FB．（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；（Ⅱ）求四面体FBCD的体积；（Ⅲ）线段AC上是否存在点M，使EA∥平面FDM？证明你的结论．20．（12分）已知点M，N分别是椭圆的左右顶点，F为其右焦点，|MF|与|FN|的等比中项是，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设不过原点O的直线l与该轨迹交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．21．（12分）已知a∈R，函数f（x）=e x﹣ax．（1）若函数f（x）在区间（﹣e，﹣1）上是减函数，求实数a的取值范围；（2）若函数F（x）=f（x）﹣（e x﹣2ax+2lnx+a）在区间（0，）内无零点，求实数a的最大值．[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．（10分）在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l 交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）若∃x0∈R，使得f（x）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．2018年河南省洛阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：{本大题共12小题.每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的）1．【分析】可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A={x|x＜1}，B={y|y≥0}；∴A∩B=[0，1）．故选：D．【点评】考查描述法、区间表示集合的概念，指数函数的单调性，交集的概念及运算．2．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：（1+i）3==1+=﹣8．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．【分析】根据系统抽样的特征可知抽样是等距抽样的原则，构造一个等差数列，将四个学生的号码从小到大成等差数列，建立等式关系，解之即可．【解答】解：用系统抽样抽出的四个学生的号码从小到大：7，？，33，46成等差数列，因此，另一学生编号为7+46﹣33=20．故选：C．【点评】系统抽样过程中，每个个体被抽取的可能性是相等的，系统抽样的原则是等距，抓住这一原则构造等差数列，是我们常用的方法．4．【分析】设等比数列{an }的公比为q，由a2=，a5=，可得a1q=，=，联立解得q，a1．可得an，log2an．即可得出数列{log2an}的前10项之和．【解答】解：设等比数列{an }的公比为q，∵a2=，a5=，∴a1q=，=，解得q==a1．∴an =．∴log2an=﹣n．数列{log2an}的前10项之和=﹣1﹣2﹣……﹣10=﹣=﹣55．故选：D．【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式求和公式、对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【解答】解：由x2﹣3x+2＜0得1＜x＜2，若x＞m是x2﹣3x+2＜0的必要不充分条件，则m≤1，即实数m的取值范围是（﹣∞，1]，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合不等式的关系是解决本题的关键．6．【分析】根据程序框图的流程，计算运行n次的结果，根据输入a=，判断n 满足的条件，从而求出输出的k值【解答】解：由程序框图知第一次运行s=0+，k=2；第二次运行s=0++，k=3；…∴第n次运行s=0+++…+=×[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=×（1﹣）=，当输入a=时，由n＞a得n＞9，程序运行了10次，输出的k值为11．故选：C．【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，由程序框图判断程序运行的功能，用裂项相消法求和是解答本题的关键．7．【分析】首先画出几何体的复原图，进一步整理出几何体的正视图．【解答】解：根据三视图中的侧视图和俯视图，得知：该几何体为上边是一个直三棱锥，下边是一个正方体，所以：，如图所示：其中左边的方向应该朝里边．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三视图的应用．8．【分析】由已知中函数f（x）=e ln|x|﹣2sinx，分类讨论函数的单调性及极值，利用排除法可得答案．【解答】解：当x＞0时，f（x）=e ln|x|﹣2sinx=x﹣2sinx，f′（x）=1﹣2cosx，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数为减函数，故排除AC；当x＜0时，f（x）=e ln|x|﹣2sinx=﹣x﹣2sinx，f′（x）=﹣1﹣2cosx，当x∈（﹣，0）时，f′（x）＜0，函数为减函数，当x∈（﹣，﹣）时，f′（x）＞0，函数为增函数，故当x=﹣时，函数取极大值此时f（x）=+故当x=﹣时，函数取极小值此时f（x）=﹣，故排除D，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，利用导数法研究函数的图象和性质，难度中档．9．【分析】由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得2+a≥a2，又a≥0，从而解得a的范围．【解答】解：当x＞0时，f（x）=x++a≥2+a；（当且仅当x=，即x=1时，等号成立）；故当x=1时取得最小值2+a，∵f（0）是函数f（x）的最小值，∴当x≤0时，f（x）=（x﹣a）2单调递减，故a≥0，此时的最小值为f（0）=a2，故2+a≥a2，解得，﹣21≤a≤2．又a≥0，可得0≤a≤2．故选：D．【点评】本题考查了分段函数的应用及分段函数的最值的求法，注意运用基本不等式和二次函数的单调性，属于中档题．10．【分析】先作出不等式组的可行域，利用目标函数z=2x﹣3y的最大值为2，求出交点坐标，代入ax+y﹣4=0求解即可．【解答】解：先作出约束条件的可行域如图，∵目标函数z=2x﹣3y的最大值是2，由图象知z=2x﹣3y经过平面区域的A时目标函数取得最大值2．由，解得A（4，2），同时A（4，2）也在直线ax+y﹣4=0上，∴4a=2，则a=，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及目标函数的意义是解决本题的关键．11．【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．12．【分析】构造函数：g（x）=，g（0）==﹣1．对任意x∈R，都有f （x）＞f'（x）+1，可得g′（x）=＜0，函数g（x）在R单调递减，利用其单调性即可得出．【解答】解：构造函数：g（x）=，g（0）==﹣1．∵对任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，∴g′（x）==＜0，∴函数g（x）在R单调递减，由f（x）+e x＜1化为：g（x）=＜﹣1=g（0），∴x＞0．∴使得f（x）+e x＜1成立的x的取值范围为（0，+∞）．故选：A．【点评】本题考查了构造函数法、利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2013．【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵实数a，b满足+=，∴a，b＞0，且≥，解得ab≥2，当且仅当b=2a=时取等号．则ab的最小值2．故答案为：2．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14．【分析】由M，N，G三点共线和△ABC的重心性质，求得x与y的关系式，再利用换元法建立x+2y的解析式，利用基本不等式求得它的最小值．【解答】解：由M，N，G三点共线，∴=λ，∴﹣=λ（﹣）；又点G是△ABC的重心，∴=（+），∴（+）﹣x=λ（y﹣（+）），∴，解得（3x﹣1）（3y﹣1）=1；结合图形知≤x≤1，≤y≤1；令3x﹣1=m，3y﹣1=n，（≤m≤2，≤n≤2）；故mn=1，x=，y=；故x+2y=+2×=++1≥•2+1=+1，（当且仅当=，即m=，n=时，等号成立），∴x+2y的最小值为+1．故答案为：+1．【点评】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，也考查了基本不等式在求最值中的应用问题．15．【分析】求出A点坐标，代入双曲线方程化简得出a，b，c的关系，得出离心率．【解答】解：设F（﹣c，0）关于直线x+y=0的对称点为A（x0，y），则，且=，解得x0=，y=．代入双曲线C的方程可得：，即，令a=1，解得c2=4±2，∴c=或c=（舍）．∴e=．故答案为：．【点评】本题考查了双曲线的性质，点关于直线的对称问题，属于中档题．16．【分析】存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，即 f（x）min ＜g（x）min，由f（x）在[e，e2]上递增，可得f（x）min，利用导数可判断g（x）在[﹣2，0]上的单调性，可得g（x）min ，由 f（x）min＜g（x）min，可求得a的范围；【解答】解：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=（a∈R），当a＜1时，x∈[e，e2]，f′（x）≥0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（e）=e﹣（a+1）﹣；若存在x1∈[e，e2]，使得对任意的x2∈[﹣2，0]，f（x1）＜g（x2）恒成立，即 f（x）min ＜g（x）min，g′（x）=x+e x﹣xe x﹣e x=x（1﹣e x），当x∈[﹣2，0]时g′（x）≤0，g（x）为减函数，g（x）min=g（0）=1，∴e﹣（a+1）﹣＜1，a＞，∴a∈（，1），故答案为：（，1）．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性、求闭区间上函数的最值，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，恒成立问题往往转化为函数的最值加以解决．三、解答题：共5小题，总计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【分析】（1）首先利用等差数列求出边长的关系式，进一步利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果．（2）利用余弦定理的基本不等式求出sinB的范围，进一步利用三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c依次成等差数列，则：2b=a+c．向量=（3，sinB）与=（2，sinC）共线，则：3sinC=2sinB，利用正弦定理得：3c=2b．故：a=2c，b=，所以：cosA==﹣．（2）由于：2b=a+c，则：cosB===．由于：0＜B＜π，则：，所以：，故：三角形面积的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，余弦定理和正弦定理的应用及三角形的面积公式的应用．18．【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，能求出x=0.004，从而得到甲学校的合格率，由此能求出结果．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D 1，D2，由此利用列举法能求出随机抽取2名学生，抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意知10x+0.012×10+0.056×10+0.018×10+0.010×10=1，解得x=0.004，∴甲学校的合格率为1﹣10×0.004=0.96，而乙学校的合格率为：1﹣=0.96，故甲乙两校的合格率相同．（Ⅱ）由题意，将乙校样本中成绩等级为C，D的6名学生记为C1，C2，C3，C4，D 1，D2，则随机抽取2名学生的基本事件有：{C1，C2}，{C1，C3}，{C1，C4}，{C1，D1}，{C1，D2}，{C2，C3}，{C2，C4}，{C2，D1}，{C2，D2}，{C3，C4}，{C3，D1}，{C3，D2}，{C4，D1}，{C4，D2}，{D1，D2}，共15个，其中“抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D”包含的基本事件有9个，∴抽出的两名学生中至少有一名学生成绩等级为D的概率p=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．【分析】（Ⅰ）利用勾股定理的逆定理即可得到AC⊥CB，又AC⊥FB，利用线面垂直的判定定理即可证明；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论可得AC⊥CF，又CF⊥CD，利用线面垂直的判定定理即可得出FC⊥平面ABCD．利用等腰梯形的性质即可得出△BCD的面积，利用三棱锥的体积公式即可得出；（Ⅲ）线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM．利用正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵，AB=2，BC=1，∴AC2+BC2=AB2．∴AC⊥BC．又∵AC⊥FB，BF∩CB=B，∴AC⊥平面FBC．（Ⅱ）解：∵AC⊥平面FBC，∴AC⊥FC．∵CD⊥FC，∴FC⊥平面ABCD．在Rt△ACB中，，∴∠CAB=30°，∴在等腰梯形ABCD中可得∠ABD=∠CDB=∠CBD=30°，∴CB=DC=1，∴FC=1．∴△BCD的面积S==．∴四面体FBCD的体积为：．（Ⅲ）解：线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM，证明如下：连接CE与DF交于点N，连接MN．由 CDEF为正方形，得N为CE中点．∴EA∥MN．∵MN⊂平面FDM，EA⊄平面FDM，∴EA∥平面FDM．所以线段AC上存在点M，使得EA∥平面FDM成立．【点评】熟练掌握勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理、等腰梯形的性质、三棱锥的体积公式、正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键．20．【分析】（1）利用|MF|=a+c，|BN|=a﹣c，是|MF|与|FN|的等比中项．得到（a+c）（a﹣c）=3，结合椭圆的离心率求解即可．（2）直线l的斜率存在且不为0．设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用判别式以及韦达定理，通过OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，推出m2（4k2﹣3）=0，求出，0＜m2＜6，且m2≠3，然后求解三角形的面积的表达式，求解范围即可．【解答】解：（1）解：|MF|=a+c，|BN|=a﹣c，是|MF|与|FN|的等比中项．∴（a+c）（a﹣c）=3，∴b2=a2﹣c2=3．又，解得a=2，c=1，∴椭圆C的方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0．故可设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由题意可知，△=64km﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=48（4k2﹣m2+3）＞0，即4k2+3＞m2，且，又直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，所以，将y1，y2代入并整理得m2（4k2﹣3）=0，因为m≠0，，0＜m2＜6，且m2≠3，设d为点O到直线l的距离，则有，，所以，所以三角形面积的取值范围为．【点评】本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，三角形的面积的范围的求法，考查转化思想以及计算能力．21．【分析】（1）求出原函数的导函数，分离参数a，由题意可得a＞e x在（﹣e，﹣1）上恒成立，求出e x在（﹣e，﹣1）上的范围得答案；（2）求出函数F（x），求其导函数F′（x）=a﹣=，可知当a≤0时函数F （x）在区间（0，）上单调递减，可得F（x）＞F（）＞0，函数F（x）在区间（0，）上无零点；当a＞0时，分0＜a≤4和a＞4分类分析，求得函数F（x）在区间（0，）内无零点的a的范围，则答案可求．【解答】解：（1）∵f（x）=e x﹣ax，∴f′（x）=e x﹣a，∵函数f（x）在区间（﹣e，﹣1）上是减函数，∴f′（x）=e x﹣a＜0在（﹣e，﹣1）上恒成立，∴a＞e x在（﹣e，﹣1）上恒成立，∵y=e x在（﹣e，﹣1）上为增函数，∴a＞e﹣1=；（2）函数F（x）=f（x）﹣（e x﹣2ax+2lnx+a）=ax﹣2lnx﹣a，x∈（0，），∴F′（x）=a﹣=，①当a≤0时，F′（x）＜0在（0，）上恒成立，函数F（x）在区间（0，）上单调递减，则F（x）＞F（）=﹣2ln ﹣a=ln4﹣＞0，∴a≤0时，函数F（x）在区间（0，）上无零点；②当a＞0时，令F'（x）=0得，x=，令F'（x）＞0，得x＞，令F'（x）＜0，得0＜x＜，因此，函数F （x）的单调递增区间是（，+∞），单调递减区间是（0，）．（ⅰ）当≥，即0＜a≤4时，函数F（x）的单调递减区间是（0，），∴F（x）＞F（）=a﹣2ln﹣a=ln4﹣，要使函数F（x）在区间（0，）内无零点，则ln4﹣≥0，得a≤4ln2；（ii）当＜，即a＞4时，函数F （x）的单调递减区间是（0，），单调递增区间是（，），∴F（x）=F（）=2﹣2ln﹣a=2﹣ln4+2lna﹣a，min设g（a）=2﹣ln4+2lna﹣a∴g′（a）=﹣1=＜0，∴g（a）在（4，+∞）上单调递减，∴g（a）＜g（4）=2﹣ln4+2ln4﹣4=ln4﹣2=2（ln2﹣lne）＜0，而当x→0时，f（x）→+∞，∴函数F（x）在区间（0，）内有零点，不合题意．综上，要使函数F（x）=f（x）﹣（e x﹣2ax+2lnx+a）在区间（0，）内无零点，则a的最大值为4ln2．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，是压轴题[选修4-4：参数方程与极坐标系]22．【分析】（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|，化为关于α的三角函数求解．【解答】解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 …（5分）（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…（10分）【点评】本题考查极坐标和直角坐标的互化，直线与圆的位置关系．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即可．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（1）把f（x）用分段函数来表示，令f（x）=0，求得x的值，可得不等式f（x）＞0的解集．（2）由（1）可得f（x）的最小值为f（），再根据f（）＜4m﹣m22 ，求得m的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或 x=3，故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（2）若存在x0∈R，使得f（x）+2m2＜4m，即f（x）＜4m﹣2m2 有解，由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4m﹣2m2 ，求得﹣＜m＜．【点评】本题主要考查分段函数的应用，函数的能成立问题，属于中档题．欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
2018年河南省六市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年河南省六市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．[1，3]C．{0，1，2，3}D．[0，3]2．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝（2a+1）+ i的模为（）A．B．C．D．3．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．4B．7C．10D．124．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21B．20C．19D．185．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称中心完全相同，则φ＝（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α则a∥β7．（5分）为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在[10，50]，其中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n＝（）A．180B．160C．150D．2008．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．49．（5分）若函数在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M﹣m＝（）A．B．2C．D．10．（5分）若正项递增等比数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）＝0（λ∈R），则a6+λa7的最小值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．411．（5分）如图，是计算函数y＝的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是（）A．y＝﹣x，y＝0，y＝x2B．y＝﹣x，y＝x2，y＝0C．y＝0，y＝x2，y＝﹣x D．y＝0，y＝﹣x，y＝x212．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）＝﹣f（x）（其中e＝2.7182…），且在区间[e，2e]上是减函数，令a＝，b＝，c＝，则f（a），f（b），f（c）的大小关系（用不等号连接）为（）A．f（b）＞f（a）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）C．f（a）＞f（b）＞f（c）D．f（a）＞f（c）＞f（b）二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设，，，若，则k＝．14．（5分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣2x+5，则a﹣b＝．15．（5分）抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣＝1相交于M，N两点，若∠MFN＝120°，则a＝．16．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a2＝．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，满足4a cos B﹣b cos C＝c cos B．（1）求cos B的值；（2）若，，求a和c的值．18．（12分）高三一班、二班各有6名学生去参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示．（1）若一班、二班6名学生的平均分相同，求x值；（2）若将竞赛成绩在[60，75）、[75，85）、[85，100]内的学生在学校推优时，分别赋1分、2分、3分，现在从一班的6名参赛学生中选两名，求推优时，这两名学生赋分的和为4分的概率．19．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F﹣EBC的体积．20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．2018年河南省六市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x≤0}，则A∩B＝（）A．{1，2，3}B．[1，3]C．{0，1，2，3}D．[0，3]【解答】解：集合A＝{1，2，3，4}，B＝{x|x2﹣3x≤0}＝{x|0≤x≤3}，则A∩B＝{1，2，3}．故选：A．2．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若为纯虚数，则复数z＝（2a+1）+ i的模为（）A．B．C．D．【解答】解：＝＝，若为纯虚数，则，解得a＝，则z＝（2a+1）+i＝z＝2+i，则复数z＝（2a+1）+i的模为，故选：C．3．（5分）已知变量x，y满足，则2x+y的最大值为（）A．4B．7C．10D．12【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，2），代入目标函数z＝2x+y得z＝2×4+2＝10．即目标函数z＝2x+y的最大值为10．故选：C．4．（5分）已知{a n}为等差数列，a1+a3+a5＝105，a2+a4+a6＝99，以S n表示{a n}的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A．21B．20C．19D．18【解答】解：设{a n}的公差为d，由题意得a1+a3+a5＝a1+a1+2d+a1+4d＝105，即a1+2d＝35，①a2+a4+a6＝a1+d+a1+3d+a1+5d＝99，即a1+3d＝33，②由①②联立得a1＝39，d＝﹣2，∴S n＝39n+×（﹣2）＝﹣n2+40n＝﹣（n﹣20）2+400，故当n＝20时，S n达到最大值400．故选：B．5．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的图象与函数g（x）＝cos（2x+φ）（|φ|＜）的图象的对称中心完全相同，则φ＝（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：若f（x）与g（x）的对称中心相同，则函数的周期相同即，则ω＝2，即f（x）＝2sin（2x+）由2x+＝kπ，即x＝﹣，即f（x）的对称中心为（﹣，0）即g（x）的对称中心为（﹣，0），则g（﹣）＝cos（2×（﹣）+φ）＝cos（kπ﹣+φ）＝±cos（φ﹣）＝0，即φ﹣＝kπ+，则φ＝kπ+，k∈Z当k＝﹣1，φ＝﹣π+＝﹣，故选：D．6．（5分）在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是（）A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥bC．若a∥α，a∥b，则b∥αD．若α∥β，a⊂α则a∥β【解答】解：对于A，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故A错误；对于B，设α∩β＝m，a，b均与m平行，则a∥b，故B错误；对于C，若b⊂α，显然结论不成立，故C错误；对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，即a∥β，故D正确．故选：D．7．（5分）为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额（单位：元）都在[10，50]，其中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n＝（）A．180B．160C．150D．200【解答】解：由频率分布直方图得支出金额在[30，50]的学生所在频率为：1﹣（0.01+0.025）×10＝0.65，∵支出金额在[30，50]的学生有17人，∴n＝＝180．故选：A．8．（5分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为（）A．B．C．2D．4【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：AD＝DC＝BD ＝2，∠ADC＝120°，BD⊥平面ADC，其直观图如图所示：AB＝BC＝2，AC＝2，底面△BCD的面积为：×2×2＝2，侧面△ABD的面积为：×2×2＝2，侧面△ADC的面积为：×2×2×＝，侧面△ACB是腰长为2，底长2的等腰三角形，故底边上的高为＝，其面积为：×2 ×＝，综上可知，最大的面的面积为，故选：B．9．（5分）若函数在{x|1≤|x|≤4，x∈R}上的最大值为M，最小值为m，则M﹣m＝（）A．B．2C．D．【解答】解：可令|x|＝t（1≤t≤4），g（t）＝﹣，由y＝，y＝﹣在[1，4]上递增，可得g（t）在[1，4]递增，g（t）的最小值为1﹣1＝0；最大值为2﹣＝，又f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，则f（x）的最小值为m＝0，最大值为M＝，则M﹣m＝，故选：A．10．（5分）若正项递增等比数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）＝0（λ∈R），则a6+λa7的最小值为（）A．﹣2B．﹣4C．2D．4【解答】解：根据题意，设等比数列{a n}的公比为q，又由{a n}为正面递增等比数列，则q＞1，数列{a n}满足1+（a2﹣a4）+λ（a3﹣a5）＝0，则有1＝（a4﹣a2）+λq（a4﹣a2）＝（1+λq）（a4﹣a2），∴1+λq＝，a6+λa7＝a6（1+λq）＝＝，令g（q）＝，（q＞1），∴g′（q）＝．分析可得：1＜q＜，g′（q）＜0，g（q）在（0，）为减函数，当q＞，g′（q）＞0，g（q）在（，+∞）为增函数，则当q＝时，g（q）取得最小值，此时g（q）＝g（）＝4，∴a6+λa7的最小值为4．故选：D．11．（5分）如图，是计算函数y＝的值的程序框图，则在①、②、③处应分别填入的是（）A．y＝﹣x，y＝0，y＝x2B．y＝﹣x，y＝x2，y＝0C．y＝0，y＝x2，y＝﹣x D．y＝0，y＝﹣x，y＝x2【解答】解：由题意及框图，在①应填y＝﹣x；在②应填y＝x2；在③应填y ＝0故选：B．12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2e）＝﹣f（x）（其中e＝2.7182…），且在区间[e，2e]上是减函数，令a＝，b＝，c＝，则f（a），f（b），f（c）的大小关系（用不等号连接）为（）A．f（b）＞f（a）＞f（c）B．f（b）＞f（c）＞f（a）C．f（a）＞f（b）＞f（c）D．f（a）＞f（c）＞f（b）【解答】解：∵f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2e）＝﹣f（x），∴f（x+2e）＝f（﹣x），∴函数f（x）关于直线x＝e对称，∵f（x）在区间[e，2e]上为减函数，∴f（x）在区间[0，e]上为增函数，∵a＝，b＝，c＝，通过单调性判断，易知0＜c＜a＜b＜e∴f（c）＜f（a）＜f（b），故选：A．二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设，，，若，则k＝．【解答】解：，，＝（k+1，k+2），，则：k+1+k+2＝0，解得k＝﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知函数在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣2x+5，则a﹣b＝4．【解答】解：函数的导数为f′（x）＝1﹣，可得在点（1，f（1））处的切线斜率为1﹣a，由切线方程为y＝﹣2x+5，可得1﹣a＝﹣2，解得a＝3，由切点（1，3），可得3＝1+3+b，解得b＝﹣1，则a﹣b＝4，故答案为：4．15．（5分）抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F，其准线与双曲线﹣＝1相交于M，N两点，若∠MFN＝120°，则a＝．【解答】解：抛物线y2＝2ax（a＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，代入双曲线的方程可得y2＝4（1+）＝4+，可设M（﹣，），∠MFN＝120°，可得tan＝tan60°＝＝，解得a＝，故答案为：．16．（5分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，若{a n}和{}都是等差数列，且公差相等，则a2＝．【解答】解：∵{a n}和{}都是等差数列，且公差d相等，则＝+（n﹣1）d，S n＝na1+d，令n＝2，3，可得：＝+d，＝+2d，化为：2d2＝d，解得d＝，或d＝0．d＝0时，a1＝0，与a1＞0矛盾，舍去．把d＝代入：＝+d，化为：﹣+＝0，解得a 1＝，则a2＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c，满足4a cos B﹣b cos C＝c cos B．（1）求cos B的值；（2）若，，求a和c的值．【解答】解：（1）由题意得，4sin A cos B﹣sin B cos C＝sin C cos B；∴4sin A cos B＝sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A；∵sin A≠0；∴；（2）由得ac cos B＝3，ac＝12；由b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得a2+c2＝24，所以可得．18．（12分）高三一班、二班各有6名学生去参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试，成绩如茎叶图所示．（1）若一班、二班6名学生的平均分相同，求x值；（2）若将竞赛成绩在[60，75）、[75，85）、[85，100]内的学生在学校推优时，分别赋1分、2分、3分，现在从一班的6名参赛学生中选两名，求推优时，这两名学生赋分的和为4分的概率．【解答】解：（Ⅰ）由平均数相同，列方程得93+90+x+81+73+77+61＝90+94+84+72+76+63，解得x＝4；（Ⅱ）由题意知一班赋3，2，1分的学生各有2名，设赋3分的学生为A1，A2，赋2分的学生为B1，B2，赋1分的学生为C1，C2，…（6分）则从6人抽取两人的基本事件为A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2共15种，其中赋分和为4分的有5种，∴这两名学生赋分的和为4的概率为P＝＝．19．（12分）已知四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，SA＝SD＝，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF．（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F﹣EBC的体积．【解答】解：（Ⅰ）连接AC，设AC∩BE＝G，则平面SAC∩平面EFB＝FG，∵SA∥平面EFB，∴SA∥FG，∴△GEA～△GBC，∴，∴，解得．（Ⅱ）∵，∴SE⊥AD，SE＝2，又∵AB＝AD＝2，∠BAD＝60°，∴，∴SE2+BE2＝SB2，∴SE⊥BE，∴SE⊥平面ABCD，所以．20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，上顶点为M，若直线MF1的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为N，△F2MN的周长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l（直线l的斜率不为1）与椭圆交于P，Q两点，点P在点Q的上方，若，求直线l的斜率．【解答】解：（1）根据题意，因为△F1MN的周长为，所以，即，由直线MF1的斜率1，得，因为a2＝b2+c2，所以b＝1，c＝1，所以椭圆的标准方程为．（2）由题意可得直线MF1方程为y＝x+1，联立得，解得N（﹣，﹣），所以，因为，即，所以|QF1|＝2|PF1|，当直线l的斜率为0时，不符合题意，故设直线l的方程为x＝my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），由点P在点Q的上方，且|y2|＝|2y1|，则有y2＝﹣2y1，联立，所以（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，所以，消去y2得，所以，得，又由画图可知不符合题意，所以，故直线l的斜率为．21．（12分）已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（I）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．【解答】解：（I）当a＝4时，f（x）＝（x+1）lnx﹣4（x﹣1）．f（1）＝0，即点为（1，0），函数的导数f′（x）＝lnx+（x+1）•﹣4，则f′（1）＝ln1+2﹣4＝2﹣4＝﹣2，即函数的切线斜率k＝f′（1）＝﹣2，则曲线y＝f（x）在（1，0）处的切线方程为y＝﹣2（x﹣1）＝﹣2x+2；（II）∵f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1），∴f′（x）＝1++lnx﹣a，∴f″（x）＝，∵x＞1，∴f″（x）＞0，∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f′（x）＞f′（1）＝2﹣a．①a≤2，f′（x）＞f′（1）≥0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）＝0，满足题意；②a＞2，存在x0∈（1，+∞），f′（x0）＝0，函数f（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，由f（1）＝0，可得存在x0∈（1，+∞），f（x0）＜0，不合题意．综上所述，a≤2．另解：若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，可得（x+1）lnx﹣a（x﹣1）＞0，即为a＜，由y＝的导数为y′＝，由y＝x﹣﹣2lnx的导数为y′＝1+﹣＝＞0，函数y在x＞1递增，可得＞0，则函数y＝在x＞1递增，则＝＝2，可得＞2恒成立，即有a≤2．22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以平面直角坐标系xOy的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l的参数方程为（t 为参数），圆C的极坐标方程为．（1）求直线l的普通方程与圆C的执直角坐标方程；（2）设曲线C与直线L交于A，B两点，若P点的直角坐标为（2，1），求||P A|﹣|PB||的值．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴直线l的普通方程为y＝x﹣1，∵圆C的极坐标方程为：，∴ρ2＝4ρsinθ+4ρcosθ∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x﹣4y＝0．（2）点P（2，1）在直线l上，且在圆C内，由已知直线l的参数方程是（t为参数）代入x2+y2﹣4x﹣4y＝0，得，设两个实根为t1，t2，则，即t 1，t2异号所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|2x|+|2x﹣1|≤m有解．（I）求实数m的取值范围；（II）已知a＞0，b＞0，a+b＝m，证明：．【解答】（本小题满分10分）解：（Ⅰ）|2x|+|2x﹣1|≥|2x﹣（2x﹣1）|＝1，故m≥1；…（5分）（Ⅱ）∵a＞0，b＞0，∴a+2b＞0，2a+b＞0故＝＝a2+b2+2ab＝（a+b）2，即由（Ⅰ）知a+b＝m≥1，∴．…（10分）。
2018年河南省安阳市高考数学一模试卷(文科)
2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx 4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或5．（5分）已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.8，则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．18210．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是．14．（5分）长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．15．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，﹣3），若圆C：（x﹣a）2+（y ﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100]内，且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80，则称该日畅销，其余为滞销，根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．19．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，PA=PD，AD=4，BC∥AD，AB=BC=CD=2，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}={y|y＞﹣1}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1，2]．故选：D．3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数，在（0，+∞）递增，对于A，f（﹣x）=f（x），是偶函数，且x＞0时，f（x）=x2+x+1，f′（x）=2x+1＞0，故f（x）在（0，+∞）递增，符合题意；对于B，函数f（x）是奇函数，不合题意；对于C，由x+1=0，解得：x≠﹣1，定义域不关于原点对称，故函数f（x）不是偶函数，不合题意；对于D，函数f（x）在（0，+∞）无单调性，不合题意；故选：A．4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或【解答】解：若，则1+cosα=3sinα，又sin2α+cos2α=1，∴sinα=，∴cosα=3sinα﹣1=，∴cosα﹣2sinα=﹣，故选：C．5．（5分）已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．【解答】解：∵，a1=1，a3+a5=6，∴a3+a5=q2+q4=6，得q4+q2﹣6=0，即（q2﹣2）（q2+3）=0，则q2=2，则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12，故选：A．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.8，则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：第一次运行n=1，s=0，满足条件s＜0.8，s==0.5，n=2，第二次运行n=2，s=0.5，满足条件s＜0.8，s=+=0.75，n=3，第三次运行n=3，s=0.75，满足条件s＜0.8，s=0.75+=0.75+0.125=0.875，n=4，此时s=0.875不满足条件s＜0.8输出，n=4，故选：B．7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体，其中长方体的长为4，宽为1，高为1，半圆柱的底面半径为r=1，高为h=1，如图，∴该几何体的体积：V=4×1×1+=4+．故选：D．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：边长AB=a，=•a2•sin=a2；其中正三角形ABC的面积S三角形满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域，如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为的半圆，=•π•=，∴S阴影∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：P=1﹣=1﹣π．故选：B．9．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+7=2a5，∴a1+2d+7=2（a1+4d），化为：a1+6d=7=a7．则S13==13a7=13×7=91．故选：B．10．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象，故选：D．11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点⇔方程a=有3个不同的实根，即函数y=a，g（x）=的图象有3个不同的交点．g′（x）=x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）x∈（﹣∞，﹣3），（2，+∞）时，g（x）递增，x∈（﹣3，2）递减，函数g（x）图如下，结合图象，只需g（2）＜a＜g（﹣3）即可，即﹣＜＜，故选：B．12．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取PF1的中点A，连接OA，∴2=+，=，∴+=，∵，∴•=0，∴⊥，∵，不妨设|PF2|=m，则|PF1|=m，∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m，∴m=a=2（﹣1）a，∵|F1F2|=2c，∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2），∴=9﹣6=（﹣）2，∴e=﹣，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是∃x0∈R，使得．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是“∃x0∈R，使得”．故答案为：∃x0∈R，使得．14．（5分）长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为14π．【解答】解：∵长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，∴球半径R==，∴该球的表面积为S=4π×R2=4=14π．故答案为：14π．15．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），∵=（2，3），=（x，y），∴z=•=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．故答案为：．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，﹣3），若圆C：（x﹣a）2+（y ﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是[0，3] ．【解答】解：设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，得到：，整理得：x2+y2﹣2y﹣3=0，∴点M在圆心为D（0，1），半径为2的圆上．又点M在圆C上，∴圆C与圆D有公共点，∴1≤|CD|≤3，∴1≤≤3，解得0≤a≤3．即实数a的取值范围是[0，3]．故答案为：[0，3]．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，在△ABC中，a+2acosB=c，由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．因为A，B∈（0，π），所以B﹣A∈（﹣π，π），且A+（B﹣A）=B∈（0，π），所以A+（B﹣A）≠π，所以A=B﹣A，B=2A．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．由△ABC为锐角三角形得，得，则0＜cosB＜，由a+2acosB=2得，又由0＜cosB＜，则．18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100]内，且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80，则称该日畅销，其余为滞销，根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．【解答】解：（Ⅰ）由题知，解得5≤n≤9，n可取5，6，7，8，9，代入中，得，解得a=0.15．（Ⅱ）滞销日与畅销日的频率之比为（0.1+0.1+0.2）：（0.3+0.3）=2：3，则抽取的5天中，滞销日有2天，记为a，b，畅销日有3天，记为C，D，E，再从这5天中抽出2天，基本事件有ab，aC，aD，aE，bC，bD，bE，CD，CE，DE，共10个，2天中恰有1天为畅销日的事件有aC，aD，aE，bC，bD，bE，共6个，则这2天中恰有1天是畅销日的概率为p=．19．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，PA=PD，AD=4，BC∥AD，AB=BC=CD=2，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取PA的中点F，连接BF，EF．在△PAD中，EF为中位线，则，又，故，则四边形BCEF为平行四边形，得CE∥BF，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB．解：（Ⅱ）由E为PD的中点，知点D到平面PBC的距离是点E到平面PBC的距离的两倍，则．由题意知，四边形ABCD为等腰梯形，且AB=BC=CD=2，AD=4，其高为，则．取AD的中点O，在等腰直角△PAD中，有，PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，故PO⊥平面ABCD，则点P到平面ABCD的距离即为PO=2．，故三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，|（x+y）（x﹣y）|=2．因为点P在区域W内，所以x+y与x﹣y同号，得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2，即点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D，当直线l的斜率不存在时，，，得．当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，显然k≠0，则，把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0，由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0，得m2=2（k2﹣1）＞0，得k＞1或k＜﹣1．设A（x1，y2），B（x2，y2），由得，同理，得．所以=．综上，△OAB的面积恒为定值2．21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由，得，令f′（x）=0，得．当且x≠0时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x0＞0，则，即，其中（2）式即．记h（x）=4x3﹣3e2x﹣e3，x∈（0，+∞），则h'（x）=3（2x+e）（2x﹣e），得h（x）在上单调递减，在上单调递增，又h（0）=﹣e3，，h（e）=0，故方程h（x0）=0在（0，+∞）上有唯一实数根x0=e，经验证也满足（1）式．于是，f（x0）=g（x0）=3e，f′（x0）=g'（x0）=3，曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程为y﹣3e=3（x﹣e），即y=3x．（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy 的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ，所以ρ2sin2θ=4ρcosθ，即y2=4x，因此曲线C表示顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线．（Ⅱ），化为普通方程为y=2x﹣1，代入y2=4x，并整理得4x2﹣8x+1=0，所以，=，=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，∴，∴．∴，∴，当且仅当m=n时等号成立，∵m，n＞0，解得，当且仅当m=n时等号成立，故m+n的最小值为．（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，当x∈[﹣1，2]时，有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x，∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1，2]恒成立，当时，a（1﹣2x）≥1﹣2x，∴a≥1；当时，a（2x﹣1）≥1﹣2x，∴a≥﹣1．综上：a≥1．故实数a的取值范围是[1，+∞）．。
2018年河南省信阳高中高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年河南省信阳高中高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合M＝{x|y＝lg}，N＝{x|x＜1}，则M∩∁R N＝（）A．（0，2]B．（0，2）C．[1，2）D．（0，+∞）2．（5分）已知复数z＝a+i（a∈R），若z+＝4，则复数z的共轭复数＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i 3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8＝6+a11，则S9＝（）A．27B．36C．45D．544．（5分）已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：∃x∈R，e x＜lnx，则（）A．￢p∨q为真命题B．p∧￢q为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题5．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣5，﹣12），则sin（+α）的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（）A．8πB．C．D．12π7．（5分）若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）A．5B．6C．7D．88．（5分）一组数据共有7个数，记得其中有10，2，5，2，4，2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为（）A．9B．3C．17D．﹣119．（5分）函数f（x）＝（3﹣x2）•ln|x|的大致图象为（）A．B．C．D．10．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为（）A．B．C．D．11．（5分）已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．B．C．D．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x∈R时，均有f（3+x）＝f （2﹣x），2≤f（x）≤8，则满足条件的f（x）可以是（）A．B．C．D．二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足，则该学校今年计划招聘教师最多人．14．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，焦距为8，左顶点为A，在y轴上有一点B（0，b），满足•＝2a，则该双曲线的离心率的值为．15．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a2+b2﹣c2）•（a cos B+b cos A）＝abc，若a+b＝2，则c的取值范围为．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为（t∈R），且，若不等式恒成立，则正实数p的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知向量＝（cos x，﹣），＝（sin x ，cos2x ），x ∈R ，设函数f （x ）＝•．（1）求f （x ）的表达式并完成下面的表格和画出f （x ）在[0，π]范围内的大致图象；（2）若方程f （x ）﹣m ＝0在[0，π]上有两个根α、β，求m 的取值范围及α+β的值．18．（12分）已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查．抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4＝42人．（1）在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（2）在地理成绩及格的学生中，已知a≥10，b≥7，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1＝AC．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥B1﹣AA1EF的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V．若，求的值．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0），圆O：x2+y2＝r2（0＜r＜b）．当圆O的一条切线l：y＝kx+m与椭圆E相交于A，B两点．（Ⅰ）当k＝﹣，r＝1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r是否满足+＝，并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x+a．（Ⅰ）设h（x）＝f（x）﹣g（x），求函数y＝h（x）的单调区间；（Ⅱ）若﹣1＜a＜0，函数M（x）＝，试判断是否存在x0∈（1，+∞），使得x0为函数M（x）的极小值点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．（I）若直线l与圆O相交于A，B两点，求弦长|AB|，若点P（2，4），求|P A|•|PB|的值；（II）以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，圆O和圆C的交点为P，Q，求弦PQ所在直线的直角坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x+2|﹣|2x﹣2|，x∈R．（1）求不等式f（x）≤3的解集；（2）若方程有三个实数根，求实数a的取值范围．2018年河南省信阳高中高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若集合M＝{x|y＝lg}，N＝{x|x＜1}，则M∩∁R N＝（）A．（0，2]B．（0，2）C．[1，2）D．（0，+∞）【解答】解：∵集合M＝{x|y＝lg}＝{x|x（2﹣x）＞0}＝（0，2），又∴N＝{x|x＜1}，∴（∁R N）＝[1，+∞），∴M∩∁R N＝[1，2），故选：C．2．（5分）已知复数z＝a+i（a∈R），若z+＝4，则复数z的共轭复数＝（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i【解答】解：∵z＝a+i，∴z+＝2a＝4，得a＝2．∴复数z的共轭复数＝2﹣i．故选：B．3．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a8＝6+a11，则S9＝（）A．27B．36C．45D．54【解答】解：∵等差数列{a n}的2a8＝6+a11，∴a5+a11＝6+a11，∴a5＝6，∴S9＝＝9a5＝54，故选：D．4．（5分）已知命题p：“a＞b”是“2a＞2b”的充要条件；q：∃x∈R，e x＜lnx，则（）A．￢p∨q为真命题B．p∧￢q为假命题C．p∧q为真命题D．p∨q为真命题【解答】解：命题p：“a＞b”⇔“2a＞2b”，是真命题．q：令f（x）＝e x﹣lnx，f′（x）＝．x∈（0，1]时，f（x）＞0；x＞1时，f （x）单调递增，∴f（x）＞f（1）＝e＞0．∴不存在x∈R，e x＜lnx，是假命题．∴只有p∨q为真命题．故选：D．5．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣5，﹣12），则sin（+α）的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣5，﹣12），则sin（+α）＝﹣cosα＝﹣＝，故选：C．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，图中每一个小方格均为正方形，且边长为1，则该几何体的体积为（）A．8πB．C．D．12π【解答】解：由题意可知几何体是放倒的半个圆柱与半个圆锥的组合体，如图：圆锥，圆锥的底面半径为2，高为4，该几何体的体积为：＝．故选：B．7．（5分）若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（）A．5B．6C．7D．8【解答】解：当输入的值为n＝5时，n不满足第一判断框中的条件，n＝16，k＝1，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n＝8，k＝2，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n＝4，k＝3，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n＝2，k＝4，n不满足第二判断框中的条件，n满足第一判断框中的条件，n＝1，k＝5，n满足第二判断框中的条件，退出循环，即输出的结果为k＝5，故选：A．8．（5分）一组数据共有7个数，记得其中有10，2，5，2，4，2，还有一个数没记清，但知道这组数的平均数、中位数、众数依次成等差数列，这个数的所有可能值的和为（）A．9B．3C．17D．﹣11【解答】解：设这个数字是x，则平均数为，众数是2，若x≤2，则中位数为2，此时x＝﹣11，若2＜x＜4，则中位数为x，此时2x＝，x＝3，若x≥4，则中位数为4，2×4＝，x＝17，所有可能值为﹣11，3，17，其和为9．故选：A．9．（5分）函数f（x）＝（3﹣x2）•ln|x|的大致图象为（）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）＝（3﹣x2）•ln|x|是偶函数，排除A，D选项，（3﹣x2）•ln|x|＝0，当x＞0时，解得x＝1，或x＝，是函数f（x）＝（3﹣x2）•ln|x|在x＞0时的两个零点，当x＝时，f（）＝（3﹣（）2）•ln||＝＜0，可得选项B不正确，故选：C．10．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点P，Q，R分别是棱A1A，A1B1，A1D1的中点，以△PQR为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为（）A．B．C．D．【解答】解：连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE A1C，QF A1C，RG A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h＝PE＝A1C＝．故选：D．11．（5分）已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2+（y﹣4）2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），圆x2+（y﹣4）2＝1的圆心为C （0，4），根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离，进而推断出当P，Q，F三点共线时P到点Q的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小为：，故选：C．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x∈R时，均有f（3+x）＝f （2﹣x），2≤f（x）≤8，则满足条件的f（x）可以是（）A．B．C．D．【解答】解：A.3≤f（x）≤9，不满足2≤f（x）≤8，即A错误；B．显然f（x）不满足f（3+x）＝f（2﹣x），即B错误；C．x∈Q时，3+x，2﹣x∈Q；∴f（3+x）＝2，f（2﹣x）＝2；即f（3+x）＝f（2﹣x）；同理，x∈∁R Q时，有f（3+x）＝f（2﹣x）；显然2≤f（x）≤8，∴C正确；D．f（0）＝2，f（5）＝8；不满足f（3+2）＝f（2﹣2）；即不满足f（3+x）＝f（2﹣x），∴D错误．故选：C．二．填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）某校今年计划招聘女教师x人，男教师y人，若x、y满足，则该学校今年计划招聘教师最多10人．【解答】解：设z＝x+y，作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x+y得y＝﹣x+z，平移直线y＝﹣x+z，由图象可知当直线y＝﹣x+z经过点A时，直线y＝﹣x+z的截距最大，此时z最大．但此时z最大值取不到，由图象当直线经过整点E（5，5）时，z＝x+y取得最大值，代入目标函数z＝x+y得z＝5+5＝10．即目标函数z＝x+y的最大值为10．故答案为：10．14．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，焦距为8，左顶点为A，在y轴上有一点B（0，b），满足•＝2a，则该双曲线的离心率的值为2．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），F（4，0），B（0，b），∴＝（﹣a，﹣b），＝（4，﹣b）∵•＝2a，∴（﹣a，﹣b）•（4，﹣b）＝2a，∴﹣4a+b2＝2a，∴b2＝6a，∴16﹣a2＝6a，∴a＝2，∴e＝＝＝2，故答案为：215．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（a2+b2﹣c2）•（a cos B+b cos A）＝abc，若a+b＝2，则c的取值范围为[1，2）．【解答】解：根据题意，△ABC中，a cos B+b cos A＝a×+b×＝＝c，若（a2+b2﹣c2）•（a cos B+b cos A）＝abc，则有a2+b2﹣c2＝ab，则cos C＝＝，则C＝，又由a+b＝2，则c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝a2+b2﹣ab＝（a+b）2﹣3ab＝4﹣3ab，又由a+b＝2，则ab≤（）2＝1，则c2≥1，则有c≥1，又由c＜a+b＝2，则c的取值范围为[1，2）；故答案为：[1，2）．16．（5分）已知数列{a n}的前n项和为（t∈R），且，若不等式恒成立，则正实数p的取值范围是（，+∞）．【解答】解：由条件可得a1＝S1＝t；当n≥2时，．故a8＝15t＝15，故t＝1，则a1＝1，a n＝2n﹣1．则b n＝n+1，由，及p＞0可得对任意正整数恒成立，设，则，故f（n+1）＜f（n），故{f（n）}是递减数列，最大值为，故只需，故答案为：（，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知向量＝（cos x，﹣），＝（sin x，cos2x），x∈R，设函数f（x）＝•．（1）求f（x）的表达式并完成下面的表格和画出f（x）在[0，π]范围内的大致图象；（2）若方程f（x）﹣m＝0在[0，π]上有两个根α、β，求m的取值范围及α+β的值．【解答】解：（1）f（x）＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣），如图示：（2）由图可知m∈（﹣1，﹣）∪（﹣，1），或，∴或．18．（12分）已知某中学高三文科班学生共有800人参加了数学与地理的水平测试，学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样调查．抽取的100人的数学与地理的水平测试成绩如下表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级；横向，纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩为良好的共有20+18+4＝42人．（1）在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；（2）在地理成绩及格的学生中，已知a≥10，b≥7，求数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率．【解答】（本小题满分为12分）解：（1）∵该样本中，数学成绩优秀率是30%，∴，解得a＝14，b＝100﹣30﹣（20+18+4）﹣（5+6）＝17…（5分）（2）在地里及格学生中，a+b＝100﹣（7+20+5）﹣（9+18+6）﹣4＝31…（6分）∵a≥10，b≥7，∴a，b的搭配有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8），（24，7）（22，9），（23，8），（24，7），共有15种…（8分）记“数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件A，可得7+9+a＜5+6+b，即a+5＜b．事件A包括：（10，21），（11，20），（12，19），共3个基本事件；…（10分）所以，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率P（A）＝＝．…（12分）19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥平面AA1C1C，AA1＝AC．过AA1的平面交B1C1于点E，交BC于点F．（Ⅰ）求证：A1C⊥平面ABC1；（Ⅱ）求证：A1A∥EF；（Ⅲ）记四棱锥B1﹣AA1EF的体积为V1，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为V．若，求的值．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为AB⊥平面AA1C1C，所以A1C⊥AB．[（2分）]在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AA1＝AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以A1C⊥AC1．[（3分）]所以A1C⊥平面ABC1．[（5分）]（Ⅱ）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为A1A∥B1B，A1A⊄平面BB1C1C，[（6分）]所以A1A∥平面BB1C1C．[（8分）]因为平面AA1EF∩平面BB1C1C＝EF，所以A1A∥EF．[（10分）]（Ⅲ）解：记三棱锥B1﹣ABF的体积为V2，三棱柱ABF﹣A1B1E的体积为V3．因为三棱锥B1﹣ABF与三棱柱ABF﹣A1B1E同底等高，所以，[（11分）]所以．因为，所以．[（12分）]因为三棱柱ABF﹣A1B1E与三棱柱ABC﹣A1B1C1等高，所以△ABF与△ABC的面积之比为，[（13分）]所以．[（14分）]20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0），圆O：x2+y2＝r2（0＜r＜b）．当圆O的一条切线l：y＝kx+m与椭圆E相交于A，B两点．（Ⅰ）当k＝﹣，r＝1时，若点A，B都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E的方程；（Ⅱ）若以AB为直径的圆经过坐标原点O，探究a，b，r是否满足+＝，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）当k＝﹣，r＝1时，则切线l：y＝﹣x+m，即2y+x﹣2m＝0，由圆心到l的距离d＝＝1，解得：m＝±，点A，B都在坐标轴的正半轴上，则m＞0，∴直线l：y＝﹣x+，∴A（0，），B（，0），∴B为椭圆的右顶点，A为椭圆的上顶点，则a＝，b＝，∴椭圆方程为：；（Ⅱ）a，b，r满足+＝成立，理由如下：设点A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），直线l与圆x2+y2＝r2相切，则＝r，即m2＝r2（1+k2），①则，（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2＝0．则x1+x2＝﹣，x1x2＝，所以y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝，AB为直径的圆经过坐标原点O，则∠AOB＝90°，则⊥＝0，∴x1x2+y1y2＝+＝＝0，则（a2+b2）m2＝a2b2（1+k2），②将①代入②，＝，∴+＝．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx，g（x）＝x+a．（Ⅰ）设h（x）＝f（x）﹣g（x），求函数y＝h（x）的单调区间；（Ⅱ）若﹣1＜a＜0，函数M（x）＝，试判断是否存在x0∈（1，+∞），使得x0为函数M（x）的极小值点．【解答】解：（I）由题意可知：h（x）＝xlnx﹣x﹣a，其定义域为（0，+∞），则h′（x）＝lnx+1﹣1＝lnx．令h′（x）＞0，得x＞1，令h'（x）＜0，得0＜x＜1．故函数y＝h（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．（II）由已知有，对于x∈（1，+∞），有M′（x）＝．令，则．令q′（x）＞0，有x＞﹣a．而﹣1＜a＜0，所以0＜﹣a＜1，故当x＞1时，q′（x）＞0．∴函数q（x）在区间（1，+∞）上单调递增．注意到q（1）＝﹣a﹣1＜0，．故存在x0∈（1，e），使得M'（x0）＝0，且当x∈（1，x0）时，M'（x）＜0，当x∈（x0，e）时，M'（x）＞0，即函数M（x）在区间（1，x0）上单调递减，在区间（x0，+∞）上单调递增．∴x0为函数M（x）的极小值点．故存在x0∈（1，+∞），使得x0为函数M（x）的极小值点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，圆O的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．（I）若直线l与圆O相交于A，B两点，求弦长|AB|，若点P（2，4），求|P A|•|PB|的值；（II）以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为，圆O和圆C的交点为P，Q，求弦PQ所在直线的直角坐标方程．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l 的参数方程为（t为参数）．消去参数t，可得x﹣y+2＝0，即直线l的普通方程为x﹣y+2＝0．圆O 的参数方程为（θ为参数），根据sin2θ+cos2θ＝1，消去参数θ，得x2+y2＝4，∴圆心O到直线l的距离d ＝＝，故弦长|AB|＝2＝2．联立，得A（0，2），B（﹣2，0），∵P（2，4），∴|P A|＝＝2，|PB|＝，∴|P A|•|PB|＝2＝16．（Ⅱ）圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ+2，∵ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，∴圆C的普通方程为x2+y2＝2x+2．∵圆O方程为x2+y2＝4，∴弦PQ所在直线的直角坐标方程为4＝2x+2，即x +．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝|2x+2|﹣|2x﹣2|，x∈R．（1）求不等式f（x）≤3的解集；（2）若方程有三个实数根，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）原不等式等价于或或，解得：x＜﹣1或，∴不等式f（x）≤3的解集为．（2）由方程可变形为a＝x+|x﹣1|﹣|x+1|，令，第21页（共22页）作出图象如下：于是由题意可得﹣1＜a＜1．第22页（共22页）。
[精品]2018年河南省安阳市高考数学一模试卷及解析答案word版(文科)
![[精品]2018年河南省安阳市高考数学一模试卷及解析答案word版(文科)](https://img.taocdn.com/s3/m/b98e0adb2cc58bd63086bd00.png)
2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x 1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx 4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或5．（5分）已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.8，则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．18210．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是．14．（5分）长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．15．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，﹣3），若圆C：（x﹣a）2+（y ﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100]内，且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80，则称该日畅销，其余为滞销，根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．19．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，PA=PD，AD=4，BC∥AD，AB=BC=CD=2，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}={y|y＞﹣1}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1，2]．故选：D．3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数，在（0，+∞）递增，对于A，f（﹣x）=f（x），是偶函数，且x＞0时，f（x）=x2+x+1，f′（x）=2x+1＞0，故f（x）在（0，+∞）递增，符合题意；对于B，函数f（x）是奇函数，不合题意；对于C，由x+1=0，解得：x≠﹣1，定义域不关于原点对称，故函数f（x）不是偶函数，不合题意；对于D，函数f（x）在（0，+∞）无单调性，不合题意；故选：A．4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或【解答】解：若，则1+cosα=3sinα，又sin2α+cos2α=1，∴sinα=，∴cosα=3sinα﹣1=，∴cosα﹣2sinα=﹣，故选：C．5．（5分）已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．【解答】解：∵，a1=1，a3+a5=6，∴a3+a5=q2+q4=6，得q4+q2﹣6=0，即（q2﹣2）（q2+3）=0，则q2=2，则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12，故选：A6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.8，则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：第一次运行n=1，s=0，满足条件s＜0.8，s==0.5，n=2，第二次运行n=2，s=0.5，满足条件s＜0.8，s=+=0.75，n=3，第三次运行n=3，s=0.75，满足条件s＜0.8，s=0.75+=0.75+0.125=0.875，n=4，此时s=0.875不满足条件s＜0.8输出，n=4，故选：B．7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体，其中长方体的长为4，宽为1，高为1，半圆柱的底面半径为r=1，高为h=1，如图，∴该几何体的体积：V=4×1×1+=4+．故选：D．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：边长AB=a，=•a2•sin=a2；其中正三角形ABC的面积S三角形满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域，如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为的半圆，=•π•=，∴S阴影∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：P=1﹣=1﹣π．故选：B．9．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+7=2a5，∴a1+2d+7=2（a1+4d），化为：a1+6d=7=a7．则S13==13a7=13×7=91．故选：B．10．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象，故选：D．11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点⇔方程a=有3个不同的实根，即函数y=a，g（x）=的图象有3个不同的交点．g′（x）=x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）x∈（﹣∞，﹣3），（2，+∞）时，g（x）递增，x∈（﹣3，2）递减，函数g（x）图如下，结合图象，只需g（2）＜a＜g（﹣3）即可，即﹣＜＜，故选：B．12．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，取PF1的中点A，连接OA，∴2=+，=，∴+=，∵，∴•=0，∴⊥，∵，不妨设|PF2|=m，则|PF1|=m，∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m，∴m=a=2（﹣1）a，∵|F1F2|=2c，∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2），∴=9﹣6=（﹣）2，∴e=﹣，故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定∃x0∈R，使得．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是“∃x0∈R，使得”．故答案为：∃x0∈R，使得．14．（5分）长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为14π．【解答】解：∵长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，∴球半径R==，∴该球的表面积为S=4π×R2=4=14π．故答案为：14π．15．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），∵=（2，3），=（x，y），∴z=•=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．故答案为：．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，﹣3），若圆C：（x﹣a）2+（y ﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是[0，3] ．【解答】解：设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，得到：，整理得：x2+y2﹣2y﹣3=0，∴点M在圆心为D（0，1），半径为2的圆上．又点M在圆C上，∴圆C与圆D有公共点，∴1≤|CD|≤3，∴1≤≤3，解得0≤a≤3．即实数a的取值范围是[0，3]．故答案为：[0，3]．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，在△ABC中，a+2acosB=c，由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．因为A，B∈（0，π），所以B﹣A∈（﹣π，π），且A+（B﹣A）=B∈（0，π），所以A+（B﹣A）≠π，所以A=B﹣A，B=2A．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．由△ABC为锐角三角形得，得，则0＜cosB＜，由a+2acosB=2得，又由0＜cosB＜，则．18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100]内，且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80，则称该日畅销，其余为滞销，根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．【解答】解：（Ⅰ）由题知，解得5≤n≤9，n可取5，6，7，8，9，代入中，得，解得a=0.15．（Ⅱ）滞销日与畅销日的频率之比为（0.1+0.1+0.2）：（0.3+0.3）=2：3，则抽取的5天中，滞销日有2天，记为a，b，畅销日有3天，记为C，D，E，再从这5天中抽出2天，基本事件有ab，aC，aD，aE，bC，bD，bE，CD，CE，DE，共10个，2天中恰有1天为畅销日的事件有aC，aD，aE，bC，bD，bE，共6个，则这2天中恰有1天是畅销日的概率为p=．19．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，PA=PD，AD=4，BC∥AD，AB=BC=CD=2，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取PA的中点F，连接BF，EF．在△PAD中，EF为中位线，则，又，故，则四边形BCEF为平行四边形，得CE∥BF，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB．解：（Ⅱ）由E为PD的中点，知点D到平面PBC的距离是点E到平面PBC的距离的两倍，则．由题意知，四边形ABCD为等腰梯形，且AB=BC=CD=2，AD=4，其高为，则．取AD的中点O，在等腰直角△PAD中，有，PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，故PO⊥平面ABCD，则点P到平面ABCD的距离即为PO=2．，故三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，|（x+y）（x﹣y）|=2．因为点P在区域W内，所以x+y与x﹣y同号，得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2，即点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D，当直线l的斜率不存在时，，，得．当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，显然k≠0，则，把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0，由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0，得m2=2（k2﹣1）＞0，得k＞1或k＜﹣1．设A（x1，y2），B（x2，y2），由得，同理，得．所以=．综上，△OAB的面积恒为定值2．21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由，得，令f′（x）=0，得．当且x≠0时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x0＞0，则，即，其中（2）式即．记h（x）=4x3﹣3e2x﹣e3，x∈（0，+∞），则h'（x）=3（2x+e）（2x﹣e），得h（x）在上单调递减，在上单调递增，又h（0）=﹣e3，，h（e）=0，故方程h（x0）=0在（0，+∞）上有唯一实数根x0=e，经验证也满足（1）式．于是，f（x0）=g（x0）=3e，f′（x0）=g'（x0）=3，曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程为y﹣3e=3（x﹣e），即y=3x．（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ，所以ρ2sin2θ=4ρcosθ，即y2=4x，因此曲线C表示顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线．（Ⅱ），化为普通方程为y=2x﹣1，代入y2=4x，并整理得4x2﹣8x+1=0，所以，=，=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，∴，∴．∴，∴，当且仅当m=n时等号成立，∵m，n＞0，解得，当且仅当m=n时等号成立，故m+n的最小值为．（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，当x∈[﹣1，2]时，有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x，∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1，2]恒成立，当时，a（1﹣2x）≥1﹣2x，∴a≥1；当时，a（2x﹣1）≥1﹣2x，∴a≥﹣1．综上：a≥1．故实数a的取值范围是[1，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：运用举例：1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；xyBCAO2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S、2S、3S、4S，则14S S+=．ls4s3s2s13213. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D作∠ADE=45°，DE交AC于E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．B4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
2018年河南高考数学文真题及答案（已公布）
【导语】2018年河南⾼考⼈数位居全国第⼀，⾼考终于结束了，为了不影响⼤家考试的⼼情，所以2018年河南⾼考数学⽂试题及答案特意在⾼考全部结束后才公布，已经为你把2018年河南⾼考数学⽂真题及答案整理如下，⼤家可以查阅估分，⼀举⾼中好花魁，⾃信奔赴好前程。
说明：2018年河南⾼考数学⽂试卷使⽤的是全国卷I，全国卷I适⽤的地区包括【河_南、河_北、⼭_西、江_西、湖_北、湖_南、⼴_东、安_徽、福_建、⼭_东】
2018全国卷I⾼考数学⽂真题及答案已公布，由于河南⾼考数学⽂试卷采⽤全国卷I，所以就代表了2018河南⾼考数学⽂真题及答案也已公布了。
点击查看：
为⽅便⼤家及时获取2018年河南⾼考成绩、河南⾼考分数线信息，为⼤家整理了《2018河南⾼考成绩、分数线专题》可直接点击进⼊进⾏信息查询。
2018年河南省高考文科数学试题与答案
2018年河南高考文科数学试题与答案（试卷满分150分，考试时间120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．设1i2i 1iz -=++，则z =A ．0B ．12C ．1D 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A ．B ．12πC ．D ．10π6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 8．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则 A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3 B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4 C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3 D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．B ．C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A BC D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为A ．8B ．C ．D ．11．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点()1A a ，，()2B b ，，且2cos 23α=，则a b -=A ．15B C D ．112．设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，，则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．14．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________． 16．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知s i n s i n 4s i ns i nb Cc B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．三、解答题：共70分。
2018年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)
2018年省市高考数学一模试卷〔文科〕一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕复数〔i为虚数单位〕等于〔〕A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i2．〔5分〕设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，假设A∩B=A，那么a的取值围是〔〕A．{a|a≤2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}3．〔5分〕设向量=〔1，m〕，=〔m﹣1，2〕，且≠，假设〔﹣〕⊥，那么实数m=〔〕A．2 B．1 C．D．4．〔5分〕以下说确的是〔〕A．“假设a＞1，那么a2＞1〞的否命题是“假设a＞1，那么a2≤1〞B．“假设am2＜bm2，那么a＜b〞的逆命题为真命题∈〔0，+∞〕，使成立C．∃xD．“假设，那么〞是真命题5．〔5分〕我国古代数学典籍《九章算术》“盈缺乏〞中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？〞现用程序框图描述，如下图，那么输出结果n=〔〕A．4 B．5 C．2 D．36．〔5分〕假设某几何体的三视图〔单位：cm〕如下图，那么该几何体的体积等于〔〕A．10cm3B．20cm3 C．30cm3D．40cm37．〔5分〕假设将函数f〔x〕=sin〔2x+〕图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g〔x〕的图象，那么函数g〔x〕的单调递增区间为〔〕A．[kπ﹣，kπ+]〔k∈Z〕B．[kπ+，kπ+]〔k∈Z〕C．[kπ﹣，kπ﹣]〔k∈Z〕D．[kπ﹣，kπ+]〔k∈Z〕8．〔5分〕数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，且an+2﹣2an+1+an=0〔n∈N*〕，记Tn =，那么T2018=〔〕A．B．C．D．9．〔5分〕函数，假设函数f〔x〕在R上有两个零点，那么实数a的取值围是〔〕A．〔0，1] B．[1，+∞〕C．〔0，1〕D．〔﹣∞，1]10．〔5分〕椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，那么椭圆的离心率的平方为〔〕A．B．C．D．11．〔5分〕我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛〔初赛〕，他们取得的成绩〔总分值140分〕的茎叶图如下图，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，假设正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，那么的最小值为〔〕A．B．2 C．D．912．〔5分〕假设对于任意的正实数x，y都有成立，那么实数m的取值围为〔〕A．B．C．D．二、填空题〔此题共4小题，每题5分，共20分〕13．〔5分〕设变量x，y满足约束条件那么目标函数z=4x﹣y的最小值为．14．〔5分〕如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+〔a﹣1〕y=a﹣7平行，那么a=．15．〔5分〕数列{an }满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，那么log2〔a101+a102+…+a110〕=．16．〔5分〕双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，假设，那么双曲线的渐近线方程为．三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．〔12分〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．〔1〕求角C；〔2〕假设△ABC的面积为，求ab的最小值．18．〔12分〕2017年10月份市进展了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名〔男生800名，女生200名〕学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进展分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数5101547x女生测试情况抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数2310y2〔1〕现从抽取的1000名且测试等级为“优秀〞的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；〔2〕假设测试等级为“良好〞或“优秀〞的学生为“体育达人〞，其它等级的学生〔含病残免试〕为“非体育达人〞，根据以上统计数据填写下面列联表，并答复能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人〞与性别有关？男性女性总计体育达人非体育达人总计临界值表：P〔K2≥k〕0.100.050.0250.0100.005k2.7063.841 5.024 6.6357.879附：〔，其中n=a+b+c+d〕19．〔12分〕如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E 为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．〔1〕求证：PD⊥平面ABC；〔2〕假设，求点B到平面PAC的距离．20．〔12分〕圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px〔p＞0〕，圆心C到抛物线焦点F的距离为．〔1〕求抛物线E的方程；〔2〕不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C 上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．21．〔12分〕函数f〔x〕=lnx﹣a〔x+1〕，a∈R在〔1，f〔1〕〕处的切线与x轴平行．〔1〕求f〔x〕的单调区间；〔2〕假设存在x0＞1，当x∈〔1，x〕时，恒有成立，求k的取值围．22．〔10分〕在平面直角坐标系xOy中，直线l过点〔1，0〕，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．〔1〕写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；〔2〕假设，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．23．设函数f〔x〕=|x+3|，g〔x〕=|2x﹣1|．〔1〕解不等式f〔x〕＜g〔x〕；〔2〕假设2f〔x〕+g〔x〕＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值围．2018年省市高考数学一模试卷〔文科〕参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每题5分，共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．〔5分〕复数〔i为虚数单位〕等于〔〕A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i【解答】解：==﹣1﹣3i应选A2．〔5分〕设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，假设A∩B=A，那么a的取值围是〔〕A．{a|a≤2} B．{a|a≤1} C．{a|a≥1} D．{a|a≥2}【解答】解：∵A∩B=A，∴A⊆B．∵集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，∴a≥2应选：D．3．〔5分〕设向量=〔1，m〕，=〔m﹣1，2〕，且≠，假设〔﹣〕⊥，那么实数m=〔〕A．2 B．1 C．D．【解答】解：∵〔﹣〕⊥，∴〔﹣〕•=0，即2﹣•=0，即1+m2﹣〔m﹣1+2m〕=0，即m2﹣3m+2=0，得m=1或m=2，当m=1时，量=〔1，1〕，=〔0，2〕，满足≠，当m=2时，量=〔1，2〕，=〔1，2〕，不满足≠，综上m=1，应选：B．4．〔5分〕以下说确的是〔〕A．“假设a＞1，那么a2＞1〞的否命题是“假设a＞1，那么a2≤1〞B．“假设am2＜bm2，那么a＜b〞的逆命题为真命题∈〔0，+∞〕，使成立C．∃xD．“假设，那么〞是真命题【解答】解：“假设a＞1，那么a2＞1〞的否命题是“假设a≤1，那么a2≤1〞，故A错；“假设am2＜bm2，那么a＜b〞的逆命题为假命题，比方m=0，假设a＜b，那么am2=bm2，故B错；对任意x＞0，均有3x＜4x成立，故C错；对假设，那么〞的逆否命题是“假设α=，那么sinα=〞为真命题，那么D正确．应选D．5．〔5分〕我国古代数学典籍《九章算术》“盈缺乏〞中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？〞现用程序框图描述，如下图，那么输出结果n=〔〕A．4 B．5 C．2 D．3【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．应选：A．6．〔5分〕假设某几何体的三视图〔单位：cm〕如下图，那么该几何体的体积等于〔〕A．10cm3B．20cm3 C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20〔cm3〕．应选B．7．〔5分〕假设将函数f〔x〕=sin〔2x+〕图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g〔x〕的图象，那么函数g〔x〕的单调递增区间为〔〕A．[kπ﹣，kπ+]〔k∈Z〕B．[kπ+，kπ+]〔k∈Z〕C．[kπ﹣，kπ﹣]〔k∈Z〕D．[kπ﹣，kπ+]〔k∈Z〕【解答】解：将函数f〔x〕=sin〔2x+〕图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g〔x〕=sin[2〔x+〕+]=﹣sin2x的图象，故此题即求y=sin2x的减区间，令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数g〔x〕的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，应选：B．8．〔5分〕数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，且an+2﹣2an+1+an=0〔n∈N*〕，记Tn =，那么T2018=〔〕A．B．C．D．【解答】解：数列{an }的前n项和为Sn，a1=1，a2=2，且an+2﹣2an+1+an=0〔n∈N*〕，那么：数列为等差数列．设公差为d，那么：d=a2﹣a1=2﹣1=1，那么：an=1+n﹣1=n．故：，那么：，所以：，=，=，=．所以：．应选：C9．〔5分〕函数，假设函数f〔x〕在R上有两个零点，那么实数a的取值围是〔〕A．〔0，1] B．[1，+∞〕C．〔0，1〕D．〔﹣∞，1]【解答】解：当x≤0时，f〔x〕单调递增，∴f〔x〕≤f〔0〕=1﹣a，当x＞0时，f〔x〕单调递增，且f〔x〕＞﹣a．∵f〔x〕在R上有两个零点，∴，解得0＜a≤1．应选A．10．〔5分〕椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，那么椭圆的离心率的平方为〔〕A．B．C．D．【解答】解：方法一：依题意，作图如下：A〔﹣a，0〕，B〔0，b〕，F1〔﹣c，0〕，F2〔c，0〕，∴直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P〔x，y〕，那么bx=ay﹣ab，x=y﹣a，∵PF1⊥PF2，那么•=〔﹣c﹣x，﹣y〕•〔c﹣x，﹣y〕=x2+y2﹣c2=〔〕2+y2﹣c2，令f〔y〕=〔〕2+y2﹣c2，那么f′〔y〕=2〔y﹣a〕×+2y，∴由f′〔y〕=0得：y=，于是x=﹣，∴•=〔﹣〕2+〔〕2﹣c2=0，整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈〔0，1〕，∴e2=．椭圆的离心率的平方，应选B．方法二：由直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，由题意可知：直线AB与圆O：x2+y2=c2相切，可得d==c，两边平方，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈〔0，1〕，∴e2=．椭圆的离心率的平方，应选B．11．〔5分〕我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛〔初赛〕，他们取得的成绩〔总分值140分〕的茎叶图如下图，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，假设正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，那么的最小值为〔〕A．B．2 C．D．9【解答】解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+〔0+2+y+1+3+6〕=598+y，乙班学生的平均分是86，且总分为86×7=602，所以y=4，假设正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，那么xy=G2，2G=a+b，即有a+b=4，a＞0，b＞0，那么+=〔a+b〕〔+〕=〔1+4++〕≥〔5+2〕=×9=，当且仅当b=2a=时，的最小值为．12．〔5分〕假设对于任意的正实数x，y都有成立，那么实数m的取值围为〔〕A．B．C．D．【解答】解：根据题意，对于〔2x﹣〕•ln≤，变形可得〔2x﹣〕ln≤，即〔2e﹣〕ln≤，设t=，那么〔2e﹣t〕lnt≤，t＞0，设f〔t〕=〔2e﹣t〕lnt，〔t＞0〕那么其导数f′〔t〕=﹣lnt+﹣1，又由t＞0，那么f′〔t〕为减函数，且f′〔e〕=﹣lne+﹣1=0，那么当t∈〔0，e〕时，f′〔t〕＞0，f〔t〕为增函数，当t∈〔e，+∞〕时，f′〔t〕＜0，f〔t〕为减函数，那么f〔t〕的最大值为f〔e〕，且f〔e〕=e，假设f〔t〕=〔2e﹣t〕lnt≤恒成立，必有e≤，解可得0＜m≤，即m的取值围为〔0，]；应选：D．二、填空题〔此题共4小题，每题5分，共20分〕13．〔5分〕设变量x，y满足约束条件那么目标函数z=4x﹣y的最小值为 1 ．【解答】解：设变量x，y满足约束条件在坐标系中画出可行域三角形，平移直线4x﹣y=0经过点A〔1，3〕时，4x﹣y最小，最小值为：1，那么目标函数z=4x﹣y的最小值：1．故答案为：1．14．〔5分〕如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+〔a﹣1〕y=a﹣7平行，那么a= 3 ．【解答】解：∵直线ax+2y+3a=0与直线3x+〔a﹣1〕y=a﹣7平行，∴，解得a=3．故答案为：3．15．〔5分〕数列{an }满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，那么log2〔a101+a102+…+a110〕=100 ．【解答】解：∵，∴log2an+1﹣log2an=1，即，∴．∴数列{an}是公比q=2的等比数列．那么a101+a102+…+a110=〔a1+a2+a3+…+a10〕q100=2100，∴log2〔a101+a102+…+a110〕=．故答案为：100．16．〔5分〕双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，假设，那么双曲线的渐近线方程为y=±x ．【解答】解：由题意得右焦点F〔c，0〕，设一渐近线OM的方程为y=x，那么另一渐近线ON的方程为y=﹣x，由FM的方程为y=﹣〔x﹣c〕，联立方程y=x，可得M的横坐标为，由FM的方程为y=﹣〔x﹣c〕，联立方程y=﹣x，可得N的横坐标为．由2=，可得2〔﹣c〕=﹣c，即为﹣c=，由e=，可得﹣1=，即有e4﹣5e2+4=0，解得e2=4或1〔舍去〕，即为e=2，即c=2a，b=a，可得渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x．三、解答题：解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．〔12分〕在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．〔1〕求角C；〔2〕假设△ABC的面积为，求ab的最小值．【解答】解：〔1〕由正弦定理可知：===2R，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由2ccosB=2a+b，那么2sinCcosB=2sin〔B+C〕+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，由0＜B＜π，sinB≠0，cosC=﹣，0＜C＜π，那么C=；〔2〕由S=absinC=c，那么c=ab，由c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab，∴=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时取等号，∴ab≥12，故ab的最小值为12．18．〔12分〕2017年10月份市进展了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名〔男生800名，女生200名〕学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进展分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数5101547x女生测试情况抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数2310y2〔1〕现从抽取的1000名且测试等级为“优秀〞的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；〔2〕假设测试等级为“良好〞或“优秀〞的学生为“体育达人〞，其它等级的学生〔含病残免试〕为“非体育达人〞，根据以上统计数据填写下面列联表，并答复能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人〞与性别有关？男性女性总计体育达人非体育达人总计临界值表：P〔K2≥k〕0.100.050.0250.0100.0052.7063.841 5.024 6.6357.879k附：〔，其中n=a+b+c+d〕【解答】解：〔1〕按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20名；∴x=80﹣〔5+10+15+47〕=3，y=20﹣〔2+3+10+2〕=3；抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为A，B，C；两位女生设为a，b；从5名任意选2名，总的根本领件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个；设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件A〞；那么事件包含的根本领件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6个；∴P〔A〕==；〔2〕填写2×2列联表如下：男生女生总计体育达人50555非体育达人301545总计8020100那么K2=≈9.091；∵9.091＞6.635且P〔K2≥6.635〕=0.010，∴在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关〞．19．〔12分〕如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E 为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．〔1〕求证：PD⊥平面ABC；〔2〕假设，求点B到平面PAC的距离．【解答】证明：〔1〕连接CD，据题知AD=4，BD=2，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴cos，∴=8，∴CD=2，∴CD2+AD2=AC2，∴CD⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，CD∩AC=C，∴PD⊥平面ABC．解：〔2〕∵，∴PD=AD=4，∴PA=4，在Rt△PCD中，PC==2，∴△PAC是等腰三角形，∴，设点B到平面PAC的距离为d，由VE﹣PAC =VP﹣AEC，得，∴d==3，故点B到平面PAC的距离为3．20．〔12分〕圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px〔p＞0〕，圆心C到抛物线焦点F的距离为．〔1〕求抛物线E的方程；〔2〕不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C 上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．【解答】解：〔1〕圆C ：x 2+y 2+2x ﹣2y+1=0可化为〔x+1〕2+〔y ﹣1〕2=1， 那么圆心为〔﹣1，1〕．抛物线E ：y 2=2px 〔p ＞0〕，焦点坐标F 〔〕， 由于：圆心C 到抛物线焦点F 的距离为． 那么：， 解得：p=6．故抛物线的方程为：y 2=12x〔2〕设直线的方程为x=my+t ，A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕， 那么：，整理得：y 2﹣12my ﹣12t=0， 所以：y 1+y 2=12m ，y 1y 2=﹣12t ． 由于：OA ⊥OB ． 那么：x 1x 2+y 1y 2=0．即：〔m 2+1〕y 1y 2+mt 〔y 1+y 2〕+t 2=0． 整理得：t 2﹣12t=0， 由于t ≠0， 解得t=12．故直线的方程为x=my+12， 直线经过定点〔12，0〕．当CN ⊥l 时，即动点M 经过圆心C 〔﹣1，1〕时到直线的距离取最大值． 当CP ⊥l 时，即动点M 经过圆心C 〔﹣1，1〕时到动直线L 的距离取得最大值． k MP =k CP =﹣， 那么：m=．此时直线的方程为：x=， 即：13x ﹣y ﹣156=0．21．〔12分〕函数f 〔x 〕=lnx ﹣a 〔x+1〕，a ∈R 在〔1，f 〔1〕〕处的切线与x 轴平行．〔1〕求f 〔x 〕的单调区间；〔2〕假设存在x0＞1，当x∈〔1，x〕时，恒有成立，求k的取值围．【解答】解：〔1〕由可得f〔x〕的定义域为〔0，+∞〕，∵f′〔x〕=﹣a，∴f′〔1〕=1﹣a=0，解得：a=1，∴f′〔x〕=，令f′〔x〕＞0，解得：0＜x＜1，令f′〔x〕＜0，解得：x＞1，故f〔x〕在〔0，1〕递增，在〔1，+∞〕递减；〔1〕不等式f〔x〕﹣+2x+＞k〔x﹣1〕可化为lnx﹣+x﹣＞k〔x﹣1〕，令g〔x〕=lnx﹣+x﹣﹣k〔x﹣1〕，〔x＞1〕，g′〔x〕=，∵x＞1，令h〔x〕=﹣x2+〔1﹣k〕x+1，h〔x〕的对称轴是x=，①当≤1时，即k≥﹣1，易知h〔x〕在〔1，x〕上递减，∴h〔x〕＜h〔1〕=1﹣k，假设k≥1，那么h〔x〕≤0，∴g′〔x〕≤0，∴g〔x〕在〔1，x〕递减，∴g〔x〕＜g〔1〕=0，不适合题意．假设﹣1≤k＜1，那么h〔1〕＞0，∴必存在x0使得x∈〔1，x〕时，g′〔x〕＞0，∴g〔x〕在〔1，x〕递增，∴g〔x〕＞g〔1〕=0恒成立，适合题意．②当＞1时，即k＜﹣1，易知必存在x0使得h〔x〕在〔1，x〕递增，∴h〔x〕＞h〔1〕=1﹣k＞0，∴g′〔x〕＞0，∴g〔x〕在〔1，x〕递增，∴g〔x〕＞g〔1〕=0恒成立，适合题意．综上，k的取值围是〔﹣∞，1〕．22．〔10分〕在平面直角坐标系xOy中，直线l过点〔1，0〕，倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．〔1〕写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；〔2〕假设，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】〔1〕直线L的参数方程为：〔α为参数〕．曲线C的极坐标方程是，转化为直角坐标方程为：y2=8x〔2〕当时，直线l的参数方程为：〔t为参数〕，代入y2=8x得到：．〔t1和t2为A和B的参数〕，所以：，t1t2=﹣16．所以：．O到AB的距离为：d=．那么：=．23．设函数f〔x〕=|x+3|，g〔x〕=|2x﹣1|．〔1〕解不等式f〔x〕＜g〔x〕；〔2〕假设2f〔x〕+g〔x〕＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值围．【解答】解：〔1〕由得|x+3|＜|2x﹣1|，即|x+3|2＜|2x﹣1|2，那么有3x2﹣10x﹣8＞0，∴x＜﹣或x＞4，故不等式的解集是〔﹣∞，﹣〕∪〔4，+∞〕；〔2〕由，设h〔x〕=2f〔x〕+g〔x〕=2|x+3|+|2x﹣1|=，当x≤﹣3时，只需﹣4x﹣5＞ax+4恒成立，即ax＜﹣4x﹣9，∵x≤﹣3＜0，∴a＞=﹣4﹣恒成立，∴a＞，∴a＞﹣1，当﹣3＜x＜时，只需7＞ax+4恒成立，即ax﹣3＜0恒成立，只需，∴，∴﹣1≤a≤6，当x≥时，只需4x+5＞ax+4恒成立，即ax＜4x+1，∵x≥＞0，∴a＜=4+恒成立，∵4+＞4，且无限趋近于4，∴a≤4，综上，a的取值围是〔﹣1，4]．。
2018年河南省中原名校联盟高考数学一模试卷(文科)
2018年河南省中原名校联盟高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|﹣2＜x＜0}，则P∪Q=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（﹣2，﹣1）2．（5分）设复数z=﹣2+i（i是虚数单位），z的共轭复数为，则|（1+z）•|等于（）A．B．2 C．5 D．3．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式关系中，不能成立的是（）A．B．C．a D．a2＞b24．（5分）“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）已知曲线x2+y2=2（x≥0，y≥0）和x+y=围成的封闭图形为Г，则图形Г绕y轴旋转一周后所形成几何体的表面积为（）A．B．（8+4）πC．（8+2）πD．（4+2）π6．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，2a7﹣a8=5，则S11为（）A．110 B．55 C．50 D．不能确定7．（5分）执行如图所示的程序框图，若最终输出的结果为0，则开始输入的x 的值为（）A．B．C．D．48．（5分）据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f（x）=Asin（ωx+φ）+b （A＞0，ω＞0，|φ|＜）的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x﹣）+7 （1≤x≤12，x∈N+）B．f（x）=9sin（x﹣）（1≤x≤12，x∈N+）C．f（x）=2sin x+7 （1≤x≤12，x∈N+）D．f（x）=2sin（x+）+7 （1≤x≤2，x∈N+）9．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．810．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点A在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．11．（5分）已知函数y=f（x），满足y=f（﹣x）和y=f（x+2）是偶函数，且f（1）=，设F（x）=f（x）+f（﹣x），则F（3）=（）A．B． C．πD．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（x+1）e x则对任意的m∈R，函数F（x）=f（f（x））﹣m的零点个数至多有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．9个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=．14．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱为．15．（5分）如图，在△ABC中，若AB=AC=3，cos∠BAC=，=2，则=．16．（5分）如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个判断：①P到F1（﹣4，0）、F2（4，0）、E1（0，﹣4）、E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x、y=﹣x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36．④曲线C总长度不大于6π．上述判断中正确命题的序号为．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若bsin（π﹣A）=acosB，且，求△ABC的面积．18．（12分）如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=AB=1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．19．（12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5﹣7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6﹣8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．附表及公式附表及公式K2=．20．（12分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，过C1的左焦点F1的直线l：x﹣y+2=0，直线l被圆C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（r＞0）截得的弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设C1的右焦点为F2，在圆C2上是否存在点P，满足|PF1|=|PF2|，若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在区间（0，）内无零点，求实数a的最小值．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l：，曲线C：（1）当m=3时，判断直线l与曲线C的位置关系；（2）若曲线C上存在到直线l的距离等于的点，求实数m的范围．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|．（1）若关于x的不等式f（x）＜a有解，求实数a的取值范围：（2）若关于x的不等式f（x）＜a的解集为（b，），求a+b的值．2018年河南省中原名校联盟高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|﹣2＜x＜0}，则P∪Q=（）A．（﹣2，1）B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（﹣2，﹣1）【解答】解：∵P={x|﹣1＜x＜1}，Q={x|﹣2＜x＜0}，∴P∪Q={x|﹣2＜x＜1}=（﹣2，1）．故选：A．2．（5分）设复数z=﹣2+i（i是虚数单位），z的共轭复数为，则|（1+z）•|等于（）A．B．2 C．5 D．【解答】解：∵z=﹣2+i，∴=﹣2﹣i，∴|（1+z）•|=|（1﹣2+i）•（2﹣i）|=|﹣1+3i|==，故选：D．3．（5分）若a＜b＜0，则下列不等式关系中，不能成立的是（）A．B．C．a D．a2＞b2【解答】解：对于A：a＜b＜0，两边同除以ab可得，＞，故A正确，对于B：a＜b＜0，即a﹣b＞a，则两边同除以a（a﹣b）可得＜，故B错误，对于C，根据幂函数的单调性可知，C正确，对于D，a＜b＜0，则a2＞b2，故D正确，故选：B．4．（5分）“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵tanx=1，∴x=kπ+（k∈Z）∵x=kπ+（k∈Z）则tanx=1，∴根据充分必要条件定义可判断：“x=kπ+（k∈Z）“是“tanx=1”成立的充分必要条件故选：C．5．（5分）已知曲线x2+y2=2（x≥0，y≥0）和x+y=围成的封闭图形为Г，则图形Г绕y轴旋转一周后所形成几何体的表面积为（）A．B．（8+4）πC．（8+2）πD．（4+2）π【解答】解：由图象可知旋转形成的几何体的表面积由两个部分组成，第一部分为半圆的表面积为S1=2πR2，R=，∴S1=4πS2旋转所围成的图形为圆锥，其表面积为S2=πRl，R=，l=2S2=2π，故S=（4+2）π故选：D．6．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，2a7﹣a8=5，则S11为（）A．110 B．55 C．50 D．不能确定【解答】解：2a7﹣a8=2（a1+6d）﹣（a1+7d）=a1+5d=a6=5，∴．故选：B．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若最终输出的结果为0，则开始输入的x 的值为（）A．B．C．D．4【解答】解：第一次输入x=x，i=1第二次输入x=2x﹣1，i=2，第三次输入x=2（2x﹣1）﹣1=4x﹣3，i=3，第四次输入x=2（4x﹣3）﹣1=8x﹣7，i=4＞3，输出8x﹣7=0，解得：x=，故选：B．8．（5分）据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f（x）=Asin（ωx+φ）+b （A＞0，ω＞0，|φ|＜）的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f（x）的解析式为（）A．f（x）=2sin（x﹣）+7 （1≤x≤12，x∈N+）B．f（x）=9sin（x﹣）（1≤x≤12，x∈N+）C．f（x）=2sin x+7 （1≤x≤12，x∈N+）D．f（x）=2sin（x+）+7 （1≤x≤2，x∈N+）【解答】解：∵3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，∴当x=3时，函数有最大值为9；当x=7时，函数有最小值5，∴，可得，又∵函数的周期T=2（7﹣3）=8，∴由T=，得ω==，∵当x=3时，函数有最大值，∴3ω+φ=，即+φ=，结合|φ|＜，取k=0，得φ=，∴f（x）的解析式为：f（x）=2sin（x﹣）+7．故选：A．9．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B．10．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点A在该双曲线的左支上，则此双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【解答】解：设F1（﹣c，0），渐近线方程为y=x，F2的对称点为A（m，n），即有=﹣，且•n=•，解得m=，n=﹣，将F1（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：D．11．（5分）已知函数y=f（x），满足y=f（﹣x）和y=f（x+2）是偶函数，且f（1）=，设F（x）=f（x）+f（﹣x），则F（3）=（）A．B． C．πD．【解答】解：由题意得：f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f（﹣x+2）=f（x﹣2），故f（x）=f（x+4），则F（3）=f（3）+f（﹣3）=2f（3）=2f（﹣1）=2f（1）=，故选：B．12．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=（x+1）e x则对任意的m∈R，函数F（x）=f（f（x））﹣m的零点个数至多有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．9个【解答】解：当x＜0时，f（x）=（x+1）e x，可得f′（x）=（x+2）e x，可知x∈（﹣∞，﹣2），函数是减函数，x∈（﹣2，0）函数是增函数，f（﹣2）=，f（﹣1）=0，且x→0时，f（x）→1，又f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）=0，而x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＜0，所以函数的图象如图：令t=f（x）则f（t）=m，由图象可知：当t∈（﹣1，1）时，方程f（x）=t至多3个根，当t∉（﹣1，1）时，方程没有实数根，而对于任意m∈R，方程f（t）=m至多有一个根，t∈（﹣1，1），从而函数F（x）=f（f（x））﹣m的零点个数至多有3个．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=．【解答】解：由题意设等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，因为且a3•a9=2a52，a2=1，所以q•q7=2（q3）2，化简得q2=2，即q=，由a2=a1q=1得，a1==，故答案为：．14．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱为3．【解答】解：由三视图得到几何体如图，CD=1，BC=，BE=，CE=2，DE=3；所以最大值为3，故最长边为DE=3；故答案为：3．15．（5分）如图，在△ABC中，若AB=AC=3，cos∠BAC=，=2，则=．【解答】解：根据条件：===；∴===．故答案为：．16．（5分）如图，两个椭圆，内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，给出下列四个判断：①P到F1（﹣4，0）、F2（4，0）、E1（0，﹣4）、E2（0，4）四点的距离之和为定值；②曲线C关于直线y=x、y=﹣x均对称；③曲线C所围区域面积必小于36．④曲线C总长度不大于6π．上述判断中正确命题的序号为②③．【解答】解：逐一考查所给的说法：对于①，考虑点P不是交点的情况，若点P在椭圆上，P到F1（﹣4，0）、F2（4，0）两点的距离之和为定值、到E1（0，﹣4）、E2（0，4）两点的距离之和不为定值，故错；对于②，两个椭圆关于直线y=x、y=﹣x均对称，曲线C关于直线y=x、y=﹣x均对称，故正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故正确；对于④，曲线C所围区域在半径为3的圆外部，所以曲线的总长度大于圆的周长：6π，故错误；综上可得：上述判断中正确命题的序号为②③．故答案为：②③．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角C的大小；（2）若bsin（π﹣A）=acosB，且，求△ABC的面积．【解答】解：（1）在△ABC中，由，由余弦定理：a2+b2﹣c2=2abcosC，可得：2acsinB=2abcosC．由正弦定理：2sinCsinB=2sinBcosC∵0＜B＜π，sinB≠0，∴2sinC=2cosC，即tanC=，∵0＜C＜π，∴C=．（2）由bsin（π﹣A）=acosB，∴sinBsinA=sinAcosB，∵0＜A＜π，sinA≠0，∴sinB=cosB，∴，根据正弦定理，可得，解得c=1，∴．18．（12分）如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=AB=1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．【解答】解：（Ⅰ）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC．连接BD，交MC于O，连接OP，则由题意，DC=1，MB=2，∴OB=2OD，∵PB=2PA，∴OP∥AD，∵AD⊄平面MPC，OP⊂平面MPC，∴AD∥平面MPC；（Ⅱ）由题意，AM⊥MD，平面AMD⊥平面MBCD，∴AM⊥平面MBCD，∴P到平面MBC的距离为，△MBC中，MC=BC=，MB=2，∴MC⊥BC，∴S==1，△MBC==．△MPC中，MP==CP，MC=，∴S△MPC设点B到平面MPC的距离为h，则由等体积可得，∴h=．19．（12分）心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如表：（单位：人）（Ⅰ）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？（Ⅱ）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5﹣7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6﹣8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．附表及公式附表及公式K2=．【解答】解：（Ⅰ）由表中数据得K2的观测值K2=≈5.556＞5.024，所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；（Ⅱ）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为（如图所示）设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x＞y，∴由几何概型P（A）==即乙比甲先解答完的概率为．20．（12分）已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，过C1的左焦点F1的直线l：x﹣y+2=0，直线l被圆C2：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2（r＞0）截得的弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）设C1的右焦点为F2，在圆C2上是否存在点P，满足|PF1|=|PF2|，若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）直线与x轴的交点坐标为（﹣2，0），∴F1（﹣2，0）．即c=2，又e==，∴a=4，b==2，∴椭圆C1的方程为．（Ⅱ）∵圆心C2（3，3）到直线l的距离d==，又直线l被圆C2截得的弦长为2，∴圆C2的半径r==2，故圆C2的方程为（x﹣3）2+（y﹣3）2=4．设圆C2上存在点P（x，y），满足|PF1|=|PF2|，即|PF1|=|PF2|，又F1（﹣2，0），F2（2，0），∴=•，整理得（x﹣14）2+y2=192，表示圆心在C（14，0），半径是8的圆．∴|CC2|==＜8﹣2，∴两圆没有公共点．∴圆C2上不存在点P满足|PF1|=|PF2|．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（1）若曲线g（x）=f（x）+x上点（1，g（1））处的切线过点（0，2），求函数g（x）的单调减区间；（2）若函数y=f（x）在区间（0，）内无零点，求实数a的最小值．【解答】解：（1）g（x）=f（x）+x=（3﹣a）x﹣2+a﹣2lnx．（x＞0）．g（1）=1，g′（x）=3﹣a﹣，g′（1）=1﹣a．∴切线方程为：y﹣1=（1﹣a）（x﹣1）．∵曲线g（x）在点（1，g（1））处的切线过点（0，2），∴2﹣1=﹣1+a，解得a=2．∴g′（x）=1﹣=，∴0＜x＜2时，函数g（x）单调递减．∴函数g（x）在（0，2）上递减．（2）f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（a∈R）．（x＞0）．f′（x）=2﹣a﹣．∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令h（x）=2﹣，x∈（0，），则h′′（x）=，再令m（x）=lnx+﹣1，x∈（0，），则m′（x）=＜0，故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=1﹣ln2＞0，从而h′（x）＞0，于是h（x）在（0，）递增，∴h（x）＜h（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数y=f（x）在（0，）上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l：，曲线C：（1）当m=3时，判断直线l与曲线C的位置关系；（2）若曲线C上存在到直线l的距离等于的点，求实数m的范围．【解答】解：（1）直线l：，展开可得：=m，化为直角坐标方程：y+x=m，m=3时，化为：y+x﹣3=0，曲线C：，利用平方关系化为：（x﹣1）2+y2=3．圆心C（1，0）到直线l的距离d===r，因此直线l与曲线C相切．（2）∵曲线C上存在到直线l的距离等于的点，∴圆心C（1，0）到直线l的距离d=≤+，解得﹣2≤m≤4．∴实数m的范围是[﹣2，4]．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数f（x）=|x+1|+|x﹣3|．（1）若关于x的不等式f（x）＜a有解，求实数a的取值范围：（2）若关于x的不等式f（x）＜a的解集为（b，），求a+b的值．【解答】解：（1）不等式等价于a＞f（x）min绘制函数f（x）的图象如图所示：观察函数的图象，结合题意可得实数a的取值范围是（4，+∞）．（2）由题意可得：是方程|x+1|+|x﹣3|=a的解，据此有：，求解绝对值不等式：|x+1|+|x﹣3|＜5可得：﹣1.5＜x＜3.5．即：b=﹣1.5，a+b=5﹣1.5=3.5．。
2018年河南省开封市高考数学一模试卷及答案(文科)
2018年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B的真子集个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．8个2．（5分）复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知向量=（m﹣1，1），=（m，﹣2），则“m=2”是“⊥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）在△ABC中，a=2，b=，B=，则A=（）A．B．C． D．或5．（5分）若，则sin2α=（）A．B．C．D．6．（5分）如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知曲线﹣=1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．B．x2﹣y2=1 C．D．x2﹣y2=28．（5分）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．B．C．D．9．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．10．（5分）函数y=xln|x|的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M 上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=（）A．B．445πC．455πD．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）则f（f（2））的值为．14．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx+1的图象在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则a+b=．15．（5分）设x，y满足约束条件，且x，y∈Z，则z=3x+5y的最大值为．16．（5分）一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知正项等比数列{a n}满足a3a9=4a52，a2=1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=2na n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．（Ⅰ）求证：PB⊥平面PEC；（Ⅱ）求三棱锥D﹣PEC的高．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求至少有一次好评的概率．附：（，其中n=a+b+c+d）20．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；（2）求证：线段MN的长为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（t﹣1）xe x，g（x）=tx+1﹣e x．（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．选修4-4：极坐标与参数方程22．（10分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．（I）求实数m、n的值；（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m，求++的最小值．2018年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B的真子集个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．8个【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}，∴A∩B的真子集是∅，{3}，{5}，共3个．故选：B．2．（5分）复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），在第四象限．故选：D．3．（5分）已知向量=（m﹣1，1），=（m，﹣2），则“m=2”是“⊥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵=（m﹣1，1），=（m，﹣2），∴⇔m（m﹣1）﹣2=0．由m（m﹣1）﹣2=0，解得m=﹣1或m=2．∴“m=2”是“⊥”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）在△ABC中，a=2，b=，B=，则A=（）A．B．C． D．或【解答】解：在△ABC中，∵a=2，b=，B=，∴由正弦定理可得：sinA===，∵A∈（，π），∴A=或．故选：D．5．（5分）若，则sin2α=（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴sin2α=﹣cos（）=﹣cos2（）=﹣[2﹣1]=1﹣=1﹣2×=．故选：C．6．（5分）如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，甲的平均成绩为：=（88+89+90+91+92）=90，∵乙的平均成绩超过甲的平均成绩，设数字被污损为x，∴83+83+87+（90+x）+99＞450，x＞8，∴x=9，∴乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为p=．故选：A．7．（5分）已知曲线﹣=1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．B．x2﹣y2=1 C．D．x2﹣y2=2【解答】解：根据题意，若曲线﹣=1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，则a2=b2，c==a，即焦点的坐标为（±a，0）；其渐近线方程为x±y=0，若焦点到渐近线的距离为，则有=a=，则双曲线的标准方程为﹣=1，即x2﹣y2=2；故选：D．8．（5分）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得：由图可知第一次剩下，第二次剩下，…由此得出第7次剩下，可得①为i≤7？②s=③i=i+1故选：D．9．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，由于两球不等，所以排除A；B正确；故选B10．（5分）函数y=xln|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=xln|x|，可得f（﹣x）=﹣f（x），f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，D，当x→0时，f（x）→0，故排除B又f′（x）=lnx+1，令f′（x）＞0得：x＞，得出函数f（x）在（，+∞）上是增函数，故选：C．11．（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M 上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，A（﹣1，0），F（1，0），点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上．设点P的横坐标为m，联立圆与抛物线的方程得x2+4x﹣1=0，∵m＞0，∴m=﹣2+，∴点P的横坐标为﹣2+，∴|PF|=m+1=﹣1+，∴圆F的方程为（x﹣1）2+y2=（﹣1）2，令x=0，可得y=±，∴|EF|=2=2=，故选：D．12．（5分）已知函数，若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n=（）A．B．445πC．455πD．【解答】解：函数，令2x﹣=+kπ得x=+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T=π，0≤x≤，当k=30时，可得x=，∴f（x）在[0，]上有30条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数与y=3的交点x1，x2关于对称，x2，x3关于对称，…，即x1+x2=×2，x2+x3=×2，…，x n﹣1+x n=2×（）将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+...+2x28+x29=2（++...+）=（2+5+8+ (89)×=455π则x1+2x2+2x3+…+2x n+x n=（x1+x2）+（x2+x3）+x3+…+x n﹣1+（x n﹣1+x n）=2﹣1（）=455π，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）则f（f（2））的值为2．【解答】解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）=log3（22﹣1）=1＜2，故有f（1）=2×e1﹣1=2，即f（f（2））=f（1）=2×e1﹣1=2，故答案为214．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx+1的图象在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则a+b=2．【解答】解：函数f（x）=ax3+bx+1的导数为f′（x）=3ax2+b，f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣y﹣1=0，可得3a+b=4，f（1）=3=a+b+1，解得a=1，b=1，则a+b=2．故答案为：2．15．（5分）设x，y满足约束条件，且x，y∈Z，则z=3x+5y的最大值为13．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，作出直线3x+5y=0，∵x，y∈Z，∴平移直线3x+5y=0至（1，2）时，目标函数z=3x+5y的最大值为13．故答案为：13．16．（5分）一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为．【解答】解：∵在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，∴小正四面体的外接球是纸盒的内切球，设正四面体的棱长为a，则内切球的半径为a，外接球的半径是a，∴纸盒的内切球半径是=，设小正四面体的棱长是x，则=x，解得x=，∴小正四面体的棱长的最大值为，故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知正项等比数列{a n}满足a3a9=4a52，a2=1．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=2na n，求数列{b n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）正项等比数列{a n}满足a3a9=4a52，a2=1．则：，解得：，所以：；（Ⅱ）由于：，则：=n•2n﹣1，所以：+…+n•2n﹣1①，则：+…+n•2n②①﹣②得：，即：．18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．（Ⅰ）求证：PB⊥平面PEC；（Ⅱ）求三棱锥D﹣PEC的高．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AD=2AB，E为线段AD的中点，∴AB=AE，取BE中点O，连接PO，则PO⊥BE，又平面PEB⊥平面BCDE，平面PEB∩平面BCDE=BE，∴PO⊥平面BCDE，则PO⊥EC，在矩形ABCD中，∴AD=2AB，E为AD的中点，∴BE⊥EC，则EC⊥平面PBE，∴EC⊥PB，又PB⊥PE，且PE∩EC=E，∴PB⊥平面PEC．（Ⅱ）以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，∵PB=PE=2，则B（，0，0），E（﹣，0，0），P（0，0，），D（﹣2，，0），C（﹣，2，0），∴=（﹣，0，﹣），=（﹣，2，﹣），∴cos∠EPC===，可得：sin∠EPC==，可得：S△EPC=||•||•sin∠EPC=2×2×=2，∵V P=V D﹣EPC，设三棱锥D﹣PEC的高为h，则可得：S△ECD•OP=S△EPC•h，可﹣ECD得：=2×h，∴解得：三棱锥D﹣PEC的高h=1．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成下面的2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？（Ⅱ）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求至少有一次好评的概率．附：（，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（Ⅰ）根据题意，对商品好评次数为200×0.6=120，对服务好评次数为200×0.75=150，填写2×2列联表如下；计算K2=≈11.11＞6.635，∴有99%的把握认为商品好评与服务好评有关；（Ⅱ）根据分层抽样原理，从这200次交易中取出5次交易，抽取商品好评次数为120×=3，不满意次数为2，分别记为a、b、c、D、E，从中选择两次交易，基本事件为ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE共10种，至少有一次好评的事件为ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE共9种，故所求的概率为P=．20．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l1⊥l2；（2）求证：线段MN的长为定值．【解答】解：（I）由准圆方程为x2+y2=4，则a2+b2=4，椭圆的离心率e===，解得：a=，b=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）证明：（1）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，联立，整理得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切，∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，∴l 1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．∵=1，=﹣1，∴•=﹣1，则l 1⊥l2．（2）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x=±，当l1：x=时，l1与准圆交于点（，1）（，﹣1），此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：x=时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4．设经过点P（x0，y0）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x0）+y0，∴由得（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0．由△=0化简整理得（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，∵x02+y02=4．，∴有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：∵l1，l2经过点P（x0，y0），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，∴线段MN的长为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（t﹣1）xe x，g（x）=tx+1﹣e x．（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（t﹣1）xe x，得f′（x）=（t﹣1）（x+1）e x，若t＞1，则x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，若t＜1，则x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，x＞﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，故t＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，t＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，+∞）递减；（2）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，即（t﹣1）xe x﹣tx﹣1+e x≤0对∀x≥0成立，设h（x）=（t﹣1）xe x﹣tx﹣1+e x，h（0）=0，h′（x）=（t﹣1）（x+1）e x﹣t+e x，h′（0）=0，h″（x）=e x[（t﹣1）x+2t﹣1]，t=1时，h″（x）=e x≥0，h′（x）在[0，+∞）递增，∴h′（x）≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）递增，故h（x）≥h（0）=0，显然不成立，∴t≠1，则h″（x）=e x（x+）（t﹣1），令h″（x）=0，则x=﹣，①当﹣≤0即t＜或t＞1时，若t≤，则h″（x）在[0，+∞）为负，h′（x）递减，故有h′（x）≤h′（0）=0，h（x）在[0，+∞）递减，∴h（x）≤h（0）=0成立，若t≥1，则h″（x）在[0，+∞）上为正，h′（x）递增，故有h′（x）≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）递增，故h（x）≥h（0）=0，不成立，②﹣≥0即≤t≤1时，h″（x）在[0，﹣）内有h′（x）≥h′（0）=0，h（x）递增，故h（x）在[0，﹣）内有h（x）≥h（0）=0不成立，综上，t的范围是（﹣∞，]．选修4-4：极坐标与参数方程22．（10分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．【解答】解：（Ⅰ）直线l：3x﹣y﹣6=0，转化为直角坐标方程为：（t为参数），曲线C：ρ﹣4sinθ=0．转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0．（Ⅱ）首先把x2+y2﹣4y=0的方程转化为：x2+（y﹣2）2=4，所以经过圆心，且倾斜角为30°的直线方程为：，则：，解得：，则：=，则：|AP|的最大值为：，|AP|的最小值为：．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．（I）求实数m、n的值；（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m，求++的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵|x+1|+|2x﹣1|≤3，∴或或，解得：﹣1≤x≤1，故m=﹣1，n=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=2，则++=（++）（a+b+c）=[1+1+1+（+）+（+）+（+）]≥+（2+2+2）=+3=，当且仅当a=b=c=时“=”成立．。
2018年河南省高考数学一诊试卷(文科)
2018年河南省高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合A={x∈R|3≤32−x<27}，B={x∈Z|−3<x<1}，则A∩B中元素的个数为（）A.0B.1C.2D.32. 已知a∈R，复数z=(a−i)(1+i)i，若z=z，则a=()A.1B.−1C.2D.−23. 某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：∘C）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A.最低气温与最高气温为正相关B.10月的最高气温不低于5月的最高气温C.月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D.最低气温低于0∘C的月份有4个4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A=π3，3sin2CcosC=2sinAsinB，且b=6，则c=()A.2B.3C.4D.65. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A.128π平方尺B.138π平方尺C.140π平方尺D.142π平方尺6. 定义[x]表示不超过x的最大整数，(x)=x−[x]，例如[2.1]=2，(2.1)=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=()A.−1.4B.−2.6C.−4.6D.−2.87. 若对于任意x ∈R 都有f(x)+2f(−x)=3cosx −sinx ，则函数f(2x)图象的对称中心为（ ）A.(kπ−π4,0)(k ∈Z) B.(kπ−π8,0)(k ∈Z) C.(kπ2−π4,0)(k ∈Z)D.(kπ2−π8,0)(k ∈Z)8. 设x ，y 满足约束条件{2x −y ≥0x +13y ≤1y ≥0，若z =−ax +y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为（ ）A.2或−3B.3或−2C.−13或12D.−13或29. 函数f(x)=x(e −x −e x )4x 2−1的部分图像大致是( )A.B.C.D.10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A.20+12√2+2√14B.20+6√2+2√14C.20+6√2+2√34D.20+12√2+2√3411. 过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若CB→=4BF→，则|AF||BF|=()A.5 3B.52C.3D.212. 已知函数f(x)=e x+x2+lnx与函数g(x)=e−x+2x2−ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A.(−∞, −e]B.(−∞,−1e brackC.(−∞, −1]D.(−∞,−12brack二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）在△ABC中，|AB→+AC→|=|AB→−AC→|，|AB→|=2，则AB→⋅BC→=________一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为________．若α∈(−π2, 0)，sin(α+π4)=−13，则sin2αcos(π4−α)=________．设F1，F2分别是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A(m, 18)在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为________．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=3，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=(−1)n−1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；（2）若要从体重在[60, 70),[70, 80),[80, 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在[70, 80)内的概率．如图，在三棱台ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB＝2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB＝90∘．（1）求证：B1C // 平面A1DE；（2）若AC＝3BC＝6，△AB1C为等边三角形，求四棱锥A1−B1C1ED的体积．如图，椭圆W:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦距与椭圆Ω:x24+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N 两点．（1）求W的标准方程：求|BC||MN|．已知函数f(x)=x −lnx ．（1）若曲线y =f(x)在x =x 0处的切线经过坐标原点，求x 0及该切线的方程；（2）设g(x)=(e −1)x ，若函数F(x)={f(x),x ≥ag(x),x <a 的值域为R ，求实数a 的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为{x =t −√3y =kt （t 为参数），直线l 2的参数方程为{x =√3−my =m 3k（m 为参数），设直线l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C 1．（1）求出曲线C 1的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2，点Q 为曲线C 1的动点，求点Q 到直线C 2的距离的最小值． [选修4-5：不等式选讲]已知f(x)=|x +a|(a ∈R)．（1）若f(x)≥|2x +3|的解集为[−3, −1]，求a 的值；（2）若∀x ∈R ，不等式f(x)+|x −a|≥a 2−2a 恒成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2018年河南省高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】求解指数不等式化简集合A，用列举法表示集合B，再由交集运算性质得答案．【解答】∵A={x∈R|3≤32−x<27}={x∈R|−1<x≤1}，B={x∈Z|−3<x<1}={−2, −1, 0}，∴A∩B={0}．∴A∩B中元素的个数为1．2.【答案】B【考点】复数的运算【解析】根据复数的基本运算进行化简，结合z=z，进行求解即可．【解答】解:z=(a−i)(1+i)i =a+1+(a−1)ii=a+1i+a−1=(a−1)−(a+1)i，则z=(a−1)+(a+1)i，∵z=z，∴a+1=0，得a=−1，故选B.3.【答案】D【考点】频率分布折线图、密度曲线【解析】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：∘C）的数据的折线图，得最低气温低于0∘C的月份有3个．由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：∘C）的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0∘C的月份有3个，故D错误．4.【答案】C【考点】正弦定理【解析】根据正弦定理和余弦定理，列出方程组求出c的值．【解答】△ABC中，A=π3，b=6，∴a2=b2+c2−2bccosA，即a2=36+c2−6c①；又3sin2CcosC=2sinAsinB，∴3c2cosC=2ab，即cosC=3c22ab =a2+b2−c22ab，∴a2+36=4c2②；由①②解得c=4或c=−6（不合题意，舍去）；∴c=4．5.【答案】B【考点】球内接多面体球的体积和表面积【解析】构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，由此能求出这个四棱锥的外接球的表面积．【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径R=√72+52+822=√1382（尺），∴这个四棱锥的外接球的表面积21386.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量z的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得x=5.8y=5−1.6=3.4x=5−1=4满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1−1.4=−0.4，x=1−1=0满足条件x≥0，执行循环体，x=−0.2，y=−1−1.6=−2.6，x=−1−1=−2不满足条件x≥0，退出循环，z=−2+(−2.6)=−4.6．输出z的值为−4.6．7.【答案】D【考点】正弦函数的图象【解析】根据题意求出函数f(x)的解析式，再化f(x)为正弦型函数，可得函数f(2x)的解析式，根据正弦函数的对称性，求出f(2x)图象的对称中心．【解答】∵对任意x∈R，都有f(x)+2f(−x)=3cosx−sinx①，用−x代替x，得f(−x)+2f(x)=3cos(−x)−sin(−x)②，即f(−x)+2f(−x)=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f(x)=sinx+cosx，∴f(x)=√2sin(x+π4)，∴f(2x)=√2sin(2x+π4)．令2x+π4=kπ，k∈Z，求得x=kπ2−π8，故函数f(2x)图象的对称中心为(kπ2−π8, 0)，k∈Z，8.【答案】A【考点】含参线性规划问题简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB），由z=y−ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a>0，目标函数y=ax+z的斜率k=a>0，要使z=y−ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x−y=0平行，此时a=2，若a<0，目标函数y=ax+z的斜率k=a<0，要使z=y−ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+13y=1平行，此时a=−3，综上a=−3或a=2.故选A.9.【答案】B【考点】函数的图象变化【解析】此题暂无解析【解答】解：∵函数f(x)的定义域为{x|x≠±12}，关于原点对称，f(−x)=−x(e x−e−x) 4x2−1=x(e−x−e x)4x2−1=f(x)，∴f(x)为偶函数，其图像关于y轴对称，故排除选项A.令f(x)=0，即x(e −x−e x)4x2−1=0，解得x=0，∴函数f(x)只有一个零点，故排除选项D.当x=1时，f(1)=1e−e3<0，故排除选项C.故选B．10.【答案】D【考点】由三视图求体积由三视图可知该几何体为侧放的四棱柱，代入数据计算．【解答】由三视图可知该几何体为侧放的四棱柱，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=4，AB=3．S ABCD=3×4√2=12√2，S△PBC=12×4×4=8，S△PCD=S△PBA=12×3×4=6，△PAD中AP=PD=5，AD=4√2，∴AD边上的高为√25−8=√17，∴S△PAD=12×4√2×√17=2√34，则该几何体的表面积为12√2+8+6+6+2√34=12√2+20+2√34，11.【答案】A【考点】抛物线的求解【解析】根据题意，设|AF|=a，|BF|=b，作AM、BN垂直准线于点M、N，由CB→=4BF→分析可得|CB|=4|BN|，又由平行线的性质分析可得|CA|=4|AM|，即可得4b+a+b=4a，变形可得ab =53，即可得答案．【解答】根据题意，设|AF|=a，|BF|=b，作AM、BN垂直准线于点M、N，则有|BF|=|BN|=b，|AF|=|AM|=a，若CB→=4BF→，则有|CB|=4|BF|，即|CB|=4|BN|，又由BN // AM，则有|CA|=4|AM|，即有4b+a+b=4a，变形可得ab =53，即|AF||BF|=53，12.【答案】C【考点】函数的图象变化【解析】由题意可化为g(−x)−f(x)=0在(0, +∞)上有解即x+a−lnxx=0在(0, +∞)上有解，即函数y=x+a与y=lnxx 在(0, +∞)上有交点，画出函数y=x+a与y=lnxx在(0, +∞)上的图象，求得直线和曲线相切的条件，即可得到所求a的范围．由题意知，方程g(−x)−f(x)=0在(0, +∞)上有解， 即e x +2x 2+ax −lnx −e x −x 2=0，即x +a −lnx x=0在(0, +∞)上有解，即函数y =x +a 与y =lnx x在(0, +∞)上有交点，y =lnx x的导数为y′=1−lnx x 2，当x >e 时，y′<0，函数y =lnx x递减；当0<x <e 时，y′>0，函数y =lnx x 递增．可得x =e 处函数y =lnx x 取得极大值1e ，函数y =x +a 与y =lnx x在(0, +∞)上的图象如右： 当直线y =x +a 与y =lnx x相切时，切点为(1, 0)，可得a =0−1=−1， 由图象可得a 的取值范围是(−∞, −1]．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 【答案】 −4【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】运用向量的平方即为模的平方，对等式两边平方，可得A 为直角，再由向量数量积的定义和解直角三角形，即可得到所求值． 【解答】在△ABC 中，|AB →+AC →|=|AB →−AC →|， 可得|AB →+AC →|2=|AB →−AC →|2，即有AB →2+AC →2+2AB →⋅AC →=AB →2+AC →2−2AB →⋅AC →， 即为AB →⋅AC →=0，则△ABC 为直角三角形，A 为直角， 则AB →⋅BC →=−BA →⋅BC →=−|BA →|⋅|BC →|⋅cosB =−|BA →|2=−4． 【答案】 π6 【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型） 【解析】由题意画出图形，设出正方体的棱长，分别求出正方体的体积及其内切球的体积，由测度比为体积比得答案． 【解答】 如图，设正方体的棱长为2a ，则其内切球的半径为a ，则V 正方体=8a 3，V 球=4π3a 3，∴ 蜜蜂“安全飞行”的概率为P =V 球V 正方体=4π3a 38a 3=π6．【答案】 73【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得cos(α+π4)的值，再利用二倍角公式、诱导公式求得要求式子的值． 【解答】α∈(−π2, 0)，sin(α+π4)=−13，∴ cos(α+π4)=√1−sin 2(α+π4)=2√23， 则sin2αcos(π4−α)=−cos(2α+π2)sin(α+π4)=1−2cos 2(α+π4)sin(α+π4)=1−2×89−13=73，【答案】 2√21 【考点】双曲线的离心率 【解析】根据双曲线的定义算出△AF 1F 2中，|AF 1|=2a ，|AF 2|=4a ，由△ABF 2是等边三角形得∠F 1AF 2=120∘，利用余弦定理算出c 2=7a 2，b 2=6a 2，结合双曲线的第二定义，可得m ，A 在双曲线上，代入双曲线的方程，即可得出a ，即有实轴长． 【解答】根据双曲线的定义，可得|AF 1|−|AF 2|=2a ， ∵ △ABF 2是等边三角形，即|AF 2|=|AB|， ∴ |BF 1|=2a ，又∵|BF2|−|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120∘，∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2−2|BF1|⋅|BF2|cos120∘，即4c2=4a2+16a2−2×2a×4a×(−12)=28a2，解得c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得ca =|AF2|m−a2c=4am−a√7=√7，则m=√7，由A在双曲线上，可得257−1826a2=1，解得a=√21，则2a=2√21．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】设公差为d，由a52=a2a14，得(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，化简得d2=2a1d，因为d≠0，a1=3，所以d=6，所以a n=6n−3．因为b n=(−1)n−1(6n−3)(6n+3)=(−1)n−1(36n2−9)，所以S2n=(36×12−9)−(36×22−9)+(36×32−9)−(36×42−9)+⋯+(36×(2n−1)2−9)−(36×(2n)2−9)，所以S2n=36(12−22+32−42+⋯+(2n−1)2−(2n)2)，即S2n=−36(1+2+3+4+...+(2n−1)+2n)=−36×2n(1+2n)2=−36(2n2+n)．【考点】数列的求和数列递推式【解析】（1）利用等差数列通项公式、等比数列性质求出a1=3，d=6，由此能求出a n=6n−3．（2）推导出b n=(−1)n−1(6n−3)(6n+3)=(−1)n−1(36n2−9)，从而S2n=36(12−22+32−42+⋯+(2n−1)2−(2n)2)，由此能求出数列{b n}的前2n项和．【解答】设公差为d，由a52=a2a14，得(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)，化简得d2=2a1d，因为d≠0，a1=3，所以d=6，所以a n=6n−3．因为b n=(−1)n−1(6n−3)(6n+3)=(−1)n−1(36n2−9)，所以S2n=(36×12−9)−(36×22−9)+(36×32−9)−(36×42−9)+⋯+(36×(2n−1)2−9)−(36×(2n)2−9)，所以S2n=36(12−22+32−42+⋯+(2n−1)2−(2n)2)，即S2n=−36(1+2+3+4+...+(2n−1)+2n)=−36×2n(1+2n)2=−36(2n2+n)．【答案】由频率分布直方图估计该校的100名同学的平均体重为：x=45×0.005×10+55×0.035×10+65×0.030×10+75×0.020×10+ 85×0.010×10=64.5．要从体重在[60, 70),[70, 80),[80, 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，体重在[60, 70)内的男生中选：6×0.0300.030+0.020+0.010=3人，体重在[70, 80)内的男生中选：6×0.0200.030+0.020+0.010=2人，体重在[80, 90]内的男生中选：6×0.010.03+0.02+0.01=1人，再从这6人中选2人当正副队长，基本事件总数n=C62=15，∴这2人中至少有1人体重在[70, 80)内的概率p=1−C42C62=35．【考点】频率分布直方图列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】（1）由频率分布直方图能估计该校的100名同学的平均体重．（2）要从体重在[60, 70),[70, 80),[80, 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，体重在[60, 70)内的男生中选3人，体重在[70, 80)内的男生中选2人，体重在[80, 90]内的男生中选1人，再从这6人中选2人当正副队长，利用对立事件概率计算公式能求出这2人中至少有1人体重在[70, 80)内的概率．【解答】由频率分布直方图估计该校的100名同学的平均体重为：x=45×0.005×10+55×0.035×10+65×0.030×10+75×0.020×10+85×0.010×10=64.5．要从体重在[60, 70),[70, 80),[80, 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，体重在[60, 70)内的男生中选：6×0.0300.030+0.020+0.010=3人，体重在[70, 80)内的男生中选：6×0.0200.030+0.020+0.010=2人，体重在[80, 90]内的男生中选：6×0.010.03+0.02+0.01=1人，再从这6人中选2人当正副队长，基本事件总数n=C62=15，∴这2人中至少有1人体重在[70, 80)内的概率p=1−C42C62=35．【答案】∵在三棱台ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB＝2A1B1，∴DE // BC，DB∥=A1B1，∴四边形DBB1A1是平行四边形，∴A1D // BB1，∵A1D∩DE＝D，BB1∩BC＝B，A1D、DE⊂平面A1DE，BB1、BC⊂平面BCB1，∴平面A1DE // 平面B1BC，∵B1C⊂平面B1BC，∴B1C // 平面A1DE．∵AC＝3BC＝6，△AB1C为等边三角形，AB＝2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB＝90∘．∴AE＝3，DE＝1，B1E=√62−32=3√3，∠AED＝90∘，∴四棱锥A1−B1C1ED的体积：V A1−B1C1ED =V ADE−A1B1C1−V A1−ADE＝S△ADE⋅B1E−13×S△ADE×B1E=23S△ADE×B1E=23×12×AE×DE×B1E=23×12×3×1×3√3＝3√3．【考点】直线与平面平行【解析】（1）推导出DE // BC，DB∥=A1B1，从而四边形DBB1A1是平行四边形，进而A1D // BB1，由此能证明平面A1DE // 平面B1BC，从而B1C // 平面A1DE．（2）四棱锥A1−B1C1ED的体积V A1−B1C1ED =V ADE−A1B1C1−V A1−ADE=S△ADE⋅B1E−1 3×S△ADE×B1E=23S△ADE×B1E，由此能求出结果．【解答】∵在三棱台ABC−A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB＝2A1B1，∴DE // BC，DB∥=A1B1，∴四边形DBB1A1是平行四边形，∴A1D // BB1，∵A1D∩DE＝D，BB1∩BC＝B，A1D、DE⊂平面A1DE，BB1、BC⊂平面BCB1，∴平面A1DE // 平面B1BC，∵B1C⊂平面B1BC，∴B1C // 平面A1DE．∵AC＝3BC＝6，△AB1C为等边三角形，AB＝2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB＝90∘．∴AE＝3，DE＝1，B1E=√62−32=3√3，∠AED＝90∘，∴四棱锥A1−B1C1ED的体积：V A 1−B 1C 1ED =V ADE−A 1B 1C 1−V A 1−ADE ＝S △ADE ⋅B 1E −13×S △ADE ×B 1E =23S △ADE ×B 1E =23×12×AE ×DE ×B 1E =23×12×3×1×3√3 ＝3√3．【答案】（1）由题意可得{a 2=4a 2−b 2=1 ， ∴ {a 2=4b 2=3故W 的标准方程为y 24+x 23=1．（2）联立{y 24+x 23=1x 24+y 2=1得{x 2=3613y 2=413 ∴y 2x 2=19，∴ k OA =13，易知B(0, 1)，∴ l 的方程为y =−3x +1． 联立{y =−3x +1x 24+y 2=1，得37x 2−24x =0，∴ x =0或2437，∴ |BC|=√1+(−3)2×|2437−0|=24√1037，联立{y =−3x +1y 24+x 23=1，得31x 2−18x −9=0，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=1831，x 1x 2=−931，∴ |MN|=√1+(−3)2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12031，故|BC||MN|=31√10185． 【考点】椭圆的定义 【解析】（1）由题意可得{a 2=4a 2−b 2=1，求出a 2，b 2，即可得到W 的标准方程， （2）先求出直线l 的方程为y =−3x +1，分别与椭圆W 和椭圆Ω，联立方程组，求出BC 和MN ，比较即可 【解答】（1）由题意可得{a 2=4a 2−b 2=1 ， ∴ {a 2=4b 2=3故W 的标准方程为y 24+x 23=1．（2）联立{y 24+x 23=1x 24+y 2=1 得{x 2=3613y 2=413 ∴y 2x =19，∴ k OA =13，易知B(0, 1)，∴ l 的方程为y =−3x +1． 联立{y =−3x +1x 24+y 2=1，得37x 2−24x =0，∴ x =0或2437，∴ |BC|=√1+(−3)2×|2437−0|=24√1037，联立{y =−3x +1y 24+x 23=1，得31x 2−18x −9=0，设M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)， 则x 1+x 2=1831，x 1x 2=−931，∴ |MN|=√1+(−3)2×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=12031，故|BC||MN|=31√10185． 【答案】由已知得f ′(x)=1−1x (x >0)， 则x 0−lnx 0x 0=1−1x 0，所以x 0=e ，所以所求切线方程为y =(1−1e )x ． 令f ′(x)=1−1x =x−1x>0，得x >1；令f ′(x)<0，得0<x <1．所以f(x)在(0, 1)上单调递减，在[1, +∞)上单调递增， 所以f(x)min =f(1)=1，所以f(x)∈[1, +∞)．而g(x)=(e −1)x 在(−∞, a)上单调递增，所以g(x)∈(−∞,(e −1)a)． 欲使函数F(x)={f(x),x ≥ag(x),x <a的值域为R ，须a >0．①当0<a ≤1时，只须(e −1)a ≥1，即a ≥1e−1，所以1e−1≤a ≤1．②当a >1时，f(x)∈[a −lna, +∞)，g(x)∈(−∞,(e −1)a)，只须a −lna ≤(e −1)a 对一切a >1恒成立，即lna +(e −2)a ≥0对一切a >1恒成立， 令φ(x)=lnx +(e −2)x(x >1)，得φ′(x)=1x +(e −2)=(e−2)x+1x>0，所以φ(x)在(1, +∞)上为增函数，所以φ(x)>φ(1)=e −2>0，所以a −lna ≤(e −1)a 对一切a >1恒成立． 综上所述：a ≥1e−1．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】（1）先求导，再根据导数的几何意义即可求出切线方程，（2）根据导数先求出函数f(x)的值域，再求出g(x)的值域，根据函数F(x)={f(x),x ≥a g(x),x <a 的值域为R ，需要分类讨论，根据导数和函数的最值即可求出a 的范围． 【解答】由已知得f ′(x)=1−1x (x >0)， 则x 0−lnx 0x 0=1−1x 0，所以x 0=e ，所以所求切线方程为y =(1−1e )x ． 令f ′(x)=1−1x =x−1x>0，得x >1；令f ′(x)<0，得0<x <1．所以f(x)在(0, 1)上单调递减，在[1, +∞)上单调递增， 所以f(x)min =f(1)=1，所以f(x)∈[1, +∞)．而g(x)=(e −1)x 在(−∞, a)上单调递增，所以g(x)∈(−∞,(e −1)a)． 欲使函数F(x)={f(x),x ≥ag(x),x <a的值域为R ，须a >0．①当0<a ≤1时，只须(e −1)a ≥1，即a ≥1e−1，所以1e−1≤a ≤1．②当a >1时，f(x)∈[a −lna, +∞)，g(x)∈(−∞,(e −1)a)，只须a −lna ≤(e −1)a 对一切a >1恒成立，即lna +(e −2)a ≥0对一切a >1恒成立， 令φ(x)=lnx +(e −2)x(x >1)，得φ′(x)=1x +(e −2)=(e−2)x+1x>0，所以φ(x)在(1, +∞)上为增函数，所以φ(x)>φ(1)=e−2>0，所以a−lna≤(e−1)a对一切a>1恒成立．综上所述：a≥1e−1．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]【答案】∵直线l1的参数方程为{x=t−√3y=kt（t为参数），∴直线l1的普通方程为y=k(x+√3)，①∵直线l2的参数方程为{x=√3−my=m3k（m为参数），∴直线l2的普通方程为y=13k(√3−x)，②①×②，消k，得：x23+y2=1．∵k≠0，∴y≠0，∴曲线C1的普通方程为x23+y2=1(y≠0)．∵直线C2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2，∴直线C2的直角坐标方程为x+y−8=0，由（1）知曲线C1与直线C2无公共点，∵曲线C1的参数方程为{x=√3cosαy=sinα，(α为参数，α≠kπ，k∈Z)，∴曲线C1上的点Q(√3cosα, sinα)到直线的距离为：d=√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，∴当sin(α+π3)=1时，d取最小值3√2．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）求出直线l1的普通方程为y=k(x+√3)，①，直线l2的普通方程为y=13k(√3−x)，②，①×②，消k，能求出曲线C1的普通方程．（2）直线C2的直角坐标方程为x+y−8=0，曲线C1上的点Q(√3cosα, sinα)到直线的距离为：d=√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，当sin(α+π3)=1时，d取最小值3√2．【解答】∵直线l1的参数方程为{x=t−√3y=kt（t为参数），∴直线l1的普通方程为y=k(x+√3)，①∵直线l2的参数方程为{x=√3−my=m3k（m为参数），∴直线l2的普通方程为y=13k(√3−x)，②①×②，消k，得：x23+y2=1．∵ k ≠0，∴ y ≠0，∴ 曲线C 1的普通方程为x 23+y 2=1(y ≠0)．∵ 直线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=4√2， ∴ 直线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0， 由（1）知曲线C 1与直线C 2无公共点，∵ 曲线C 1的参数方程为{x =√3cosαy =sinα ，(α为参数，α≠kπ，k ∈Z)，∴ 曲线C 1上的点Q(√3cosα, sinα)到直线的距离为： d =√3cosα+sinα−8|√2=|2sin(α+π3)−8|√2，∴ 当sin(α+π3)=1时，d 取最小值3√2． [选修4-5：不等式选讲]【答案】f(x)≥|2x +3|即|x +a|≥|2x +3|，平方整理得：3x 2+(12−2a)x +9−a 2≤0，所以−3，−1是方程 3x 2+(12−2a)x +9−a 2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到{12−2a−3=−49−a 23=3...4分解得a =0...5分因为f(x)+|x −a|≥|(x +a)−(x −a)|=2|a|...7分所以要不等式f(x)+|x −a|≥a 2−2a 恒成立只需2|a|≥a 2−2a...8分 当a ≥0时，2a ≥a 2−2a 解得0≤a ≤4，当a <0时，−2a ≥a 2−2a 此时满足条件的a 不存在， 综上可得实数a 的范围是0≤a ≤4...10分 【考点】绝对值三角不等式 【解析】（1）根据二次函数的性质得到关于a 的方程组，解出即可；（2）问题转化为2|a|≥a 2−2a ，通过讨论a 的范围，得到关于a 的不等式，解出即可． 【解答】f(x)≥|2x +3|即|x +a|≥|2x +3|，平方整理得：3x 2+(12−2a)x +9−a 2≤0，所以−3，−1是方程 3x 2+(12−2a)x +9−a 2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到{12−2a−3=−49−a 23=3...4分解得a =0...5分因为f(x)+|x −a|≥|(x +a)−(x −a)|=2|a|...7分所以要不等式f(x)+|x −a|≥a 2−2a 恒成立只需2|a|≥a 2−2a...8分 当a ≥0时，2a ≥a 2−2a 解得0≤a ≤4，当a <0时，−2a ≥a 2−2a 此时满足条件的a 不存在， 综上可得实数a 的范围是0≤a ≤4...10分。
2018年河南省高考数学一模试卷(文科)
2018年河南省高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知集合A={x|x<0, 或x>2}，B=N，则集合(∁R A)∩B中元素的个数为（）A.2B.3C.4D.52. 若复数(a+3i)(1−2i)（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（）A.−6B.13C.32D.√133. 已知f(x)=sinx−tanx，命题p:∃x0∈(0, π2)，f(x0)<0，则（）A.p是假命题，￢p:∀x∈(0, π2)，f(x)≥0B.p是假命题，￢p:∃x0∈(0, π2)，f(x0)≥0C.p是真命题，￢p:∀x∈(0, π2)，f(x)≥0D.p是真命题，￢p:∃x0∈(0, π2)，f(x0)≥04. 已知程序框图如图，则输出i的值为（）A.7B.9C.11D.135. 设不等式组{x+y≤4y−x≥0x−1≥0，表示的平面区域为D，则z=y+1x的取值范围为（）A.[32, 4] B.(32, 4) C.[2, 4] D.[32, 2]6. 已知a=0.63.1，b=4.10.6，c=log0.64.1，则a，b，c的大小关系为（）A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b7. 《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( )A.1+√2B.1+2√2C.2+√2D.2+2√28. 已知数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规律，这个数列的第2018项a 2018等于（ ） A.131 B.163C.64D.6329. 若等边三角形ABC 的边长为3，平面内一点M 满足6CM →−3CA →=2CB →，则AM →⋅BM →的值为( ) A.−152B.−2C.2D.15210. 关于函数f(x)=3sin(2x −π3)+1(x ∈R)，下列命题正确的是（ ） A.由f(x 1)=f(x 2)=1可得x 1−x 2是π的整数倍 B.y =f(x)的表达式可改写成f(x)=3cos(2x +π6)+1 C.y =f(x)的图象关于点(3π4, 1)对称 D.y =f(x)的图象关于直线x =−π12对称11. 设函数f(x)=mx 2−mx −1，若对于x ∈[1, 3]，f(x)<−m +4恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A.(−∞, 0]B.[0,57) C.(−∞,0)∪(0,57) D.(−∞,57)12. 设双曲线的方程为x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)，若双曲线的渐近线被圆M:x 2+y 2−10x =0所截得的两条弦长之和为12，已知△ABP 的顶点A ，B 分别为双曲线的左、右焦点，顶点P 在双曲线上，则|sinP||sinA−sinB|的值等于（ ） A.35B.√73C.53D.√7二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）已知圆的方程为x 2+y 2−6x −8y =0，则该圆过点(3, 5)的最短弦长为________．若函数f(x)={x(x −b),x ≥0,ax(x +2),x <0(a, b ∈R)为奇函数，则f(a +b)的值为________．a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S15=________．在等差数列{a n}中，a6=12已知三棱柱ABC−A1B1C1的底面是正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，若有一半径为2的球与三棱柱的各条棱均相切，则AA1的长度为________．三、解答题（共70分）已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2B+sin2C−sin2A= sinBsinC．求A；（2）已知D为BC中点，AD=√19，BC=√7，求△ABC的面积．2如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB // CD，∠BAD=90∘，DC=DA=2AB=2√5，点E为AD的中点，BD∩CE=H，PH⊥平面ABCD，且PH= 4．（1）求证：PC⊥BD（2）线段PC上是否存在一点F，使三棱锥P−BFD的体积为5√2？若存在，请找出点F 的位置；若不存在，请说明理由．某地区为了解学生学业水平考试的状况，从参加学业水平考试的学生中抽出160名，统计他们的数学成绩（均为整数），得到频率分布直方图如图所示．(1)估计这次考试数学成绩的平均分和众数；(2)假设成绩在[90,100]的学生中有3人得满分100分，有2人得99分，其余学生的数学成绩都不相同．现从90分以上的学生中任取2人，求这两人成绩相同的概率．x2y222px(p >0)的焦点，点(2, 4)在抛物线C 2上． （1）求椭圆的方程；（2）若过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆C 1交于A ，B 两点，记△ABP 三条边所在直线斜率乘积为t ，求t 的最大值．已知a ≠0，函数f(x)={−x 3+x 2,x <ealnx,x ≤e．（1）讨论函数f(x)的零点的个数；（2）若函数的图象上存在两点M ，N ，使得△MON 是以O 为直角顶点的直角三角形（其中O 为坐标原点），且斜边MN 的中点恰好在y 轴上，求实数a 的取值范围． [选修4-4：坐标系与参数方程选讲]在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1:{x =tcosαy =tsinα （t 为参数），l 2:{x =tcos(α+π4)y =tsin(α+π4)（t 为参数），其中α∈(0, 3π4)，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ−4cosθ=0．（1）写出l 1，l 2的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）设l 1，l 2分别与曲线C 交于点A ，B （非坐标原点），求|AB|的值． [选修4-5：不等式选讲]设函数f(x)=|x −a|(a >0)．（1）当a =2时，解不等式f(x)≥1−2x ；（2）已知f(x)+|x −1|的最小值为3，且m 2n =a(m >0, n >0)，求m +n 的最小值．参考答案与试题解析2018年河南省高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1.【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】可先求出∁R A={x|0≤x≤2}，然后进行交集的运算即可．【解答】∁R A={x|0≤x≤2}；∴(∁R A)∩B={0, 1, 2}．2.【答案】A【考点】复数的运算【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，再由实部为0且虚部不为0联立求得a值．【解答】∵(a+3i)(1−2i)=(a+6)+(3−2a)i是纯虚数，∴{a+6=03−2a≠0，解得a=−6．3.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用命题的否定【解析】利用特称值，判断特称命题的真假，利用命题的否定关系，特称命题的否定是全称命题写出结果．【解答】f(x)=sinx−tanx，x∈(0, π2)，当x=π4时，∴f(x)=√22−1<0，命题p:∃x0∈(0, π2)，f(x0)<0，是真命题，命题p:∃x0∈(0, π2)，f(x0)<0，则￢p:∀x∈(0, π2)，f(x)≥0．4.【答案】D【考点】【解析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=1，i=3；当S=1时，不满足退出循环的条件，故S=3，i=5；当S=3时，不满足退出循环的条件，故S=15，i=7；当S=15时，不满足退出循环的条件，故S=105，i=9；当S=105时，不满足退出循环的条件，故S=945，i=11；当S=945时，不满足退出循环的条件，故S=10395，i=13；当S=10395时，满足退出循环的条件，故输出的i=13，5.【答案】A【考点】简单线性规划【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．【解答】不等式组{x+y≤4y−x≥0x−1≥0，表示的平面区域为D，如图：则z=y+1x的几何意义是可行域内的点与(0, −1)连线的斜率，由图象可知QB的斜率最小，QA的斜率最大，B(2, 2)，A(1, 3)，则z=y+1x 的最大值为：4，最小值为：32．6.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解答】∵0<a=0.63.1<0.60=1，b=4.10.6>4.10=1，c=log0.64.1<log0.61=0，∴a，b，c的大小关系为b>a>c．7.【答案】C【考点】由三视图求表面积由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥， 画出图形结合图形求出它的表面积． 【解答】解：由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形， ∴ 四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱PD ⊥底面ABCD ，且侧棱PD =1，∴ 四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且PA =PC =√2， ∴ 四棱锥的表面积为S =S 底面ABCD +2S △PAD +2S △PAB=1+2×12×1×1+2×12×1×√2=2+√2． 故选C . 8.【答案】 D【考点】数列的概念及简单表示法 【解析】观察数列的特征，得出它的项数是1+2+3+...+k =k(k+1)2(k ∈N ∗)，在每一个k 段内是k 个分数(k ∈N ∗, k ≥3)，且它们的分子分母和为k +1；进而求出第2018项即可． 【解答】观察数列：11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…， 得出：它的项数是1+2+3+...+k =k(k+1)2(k ∈N ∗)，并且在每一个k 段内，是k 个分数(k ∈N ∗, k ≥3)，且它们的分子分母和为k +1(k ∈N ∗, k ≥3)； 由k =63时，k(k+1)2=2016<2018(k ∈N ∗)，故a 2018在64段中，∴ 该数列的第2018项a 2018为第64组的第2项， 故a 2018=632，【答案】 B【考点】平面向量数量积的运算向量加减混合运算及其几何意义 【解析】根据条件可先求出CA →∗CB →=92，而由6CM →−3CA →=2CB →即可得出CM →=12CA →+13CB →，这样即可用CA →,CB →分别表示出AM →,BM →，然后进行数量积的运算即可． 【解答】解：等边三角形ABC 的边长为3； ∴ CA →⋅CB →=|CA →||CB →|cos60∘=92；6CM →−3CA →=2CB →； ∴ CM →=12CA →+13CB →；∴ AM →=AC →+CM →=−CA →+12CA →+13CB →=−12CA →+13CB →，BM →=BC →+CM →=−CB →+12CA →+13CB →=12CA →−23CB →； ∴ AM →⋅BM →=(−1CA →+1CB →)⋅(1CA →−2CB →)=−14CA →2+12CA →⋅CB →−29CB →2=−94+94−2=−2． 故选B . 10.【答案】 D【考点】正弦函数的图象 【解析】 此题暂无解析 【解答】得x =kπ2+π6(k ∈Z)，所以x 1=k 1π2+π6(k 1∈Z ),x 2=k 2π2+π6(k 2∈Z )，所以x 1−x 2=π2(k 1−k 2)(k 1,k 2∈Z )，是π2的整数倍，故A 错误；由f(x)=3sin (2x −π3)+1，得f(x)=−3cos (2x −π3+π2)+1=−3cos (2x +π6)+1，故B 错误；由2x −π3=kπ(k ∈Z)，得x =kπ2+π6(k ∈Z)．令kπ2+π6=3π4(k ∈Z)，解得k =76，不符合题意，故C 错误；由2x −π3=kπ+π2(k ∈Z)，得x =kπ2+5π12(k ∈Z)．令k =−1，则x =−π12，即y =f(x)的图象关于直线x =−π12对称，故D 正确． 故选D ． 11.【答案】 D【考点】二次函数的性质 二次函数的图象 【解析】利用分离参数法，再求出对应函数在x ∈[1, 3]上的最大值，即可求m 的取值范围． 【解答】由题意，f(x)<−m +4，可得m(x 2−x +1)<5． ∵ 当x ∈[1, 3]时，x 2−x +1∈[1, 7]， ∴ 不等式f(x)<0等价于m <5x 2−x+1． ∵ 当x =3时，5x 2−x+1的最小值为57， ∴ 若要不等式m <5x 2−x+1恒成立，则必须m <57，因此，实数m 的取值范围为(−∞, 57)，12.【答案】 C【考点】 双曲线的特性 【解析】根据垂径定理求出圆心到直线的距离为d =4，再根据点到直线的距离公式可得3|sinP|2c 2R2c 2a =53【解答】双曲线的一条渐近线方程为y=bax，双曲线的渐近线被圆M:x2+y2−10x=0，即(x−5)2+y2=25所截得的两条弦长之和为12，设圆心到直线的距离为d，则d=√25−9=4，∴√a2+b2=4，即5b=4c，即b=45c∵a2=c2−b2=925c2，∴a=35c，∴|AP−BP|=2a，由正弦定理可得APsinB =PBsinA=ABsinP=2R，∴sinB=AP2R ，sinA=BP2R，sinP=2c2R，∴|sinP||sinA−sinB|=2c2R|BP2R−AP2R|=2c2a=53，二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】4√6【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据题意，将圆的一般方程变形为标准方程，分析可得其圆心与半径，设P为(3, 5)，圆心为M，分析可得当过点P(3, 5)的直线与连接P与圆心的直线垂直时，弦最短，结合点到直线的距离公式分析可得答案．【解答】根据题意，圆的方程为x2+y2−6x−8y=0，其标准方程为(x−3)2+(y−4)2=25，其圆心为(3, 4)，半径为5，设P为(3, 5)，圆心为M，分析可得当过点P(3, 5)的直线与连接P与圆心的直线垂直时，弦最短，则弦长l=2×√r2−|MP|2=4√6；【答案】−1【考点】函数的求值分段函数的应用【解析】由已知中函数f(x)为奇函数，f(−x)=−f(x)恒成立，可得a，b的值，进而可得f(a+【解答】解：∵ 函数为奇函数， 故f(−x)=−f(x)恒成立， 故{a =−1,−b =2a,即{a =−1,b =2, ∴ f(x)={x 2−2x,x ≥0,−x 2−2x,x <0,∴ f(a +b)=f(1)=1−2=−1. 故答案为−1． 【答案】 120【考点】等差数列的前n 项和 【解析】等差数列{a n }中，a 6=12a 4+4，可得2a 6−a 4=8=a 8．代入S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8，即可得出． 【解答】等差数列{a n }中，a 6=12a 4+4，∴ 2a 6−a 4=8=a 8． S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8=15×8=120．【答案】 2√3【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】由题意求出正三棱柱的高、底面边长，即可求出AA 1的长度． 【解答】由题意，△ABC 的外接圆即为球的大圆，r =2， 设底面△ABC 外接圆圆心G ，即GA =GB =GC =2，从而正三角形ABC 边长2√3， 设球心O ，由题意，E 、D 在球面上，OE =OD =2， F 为DE 中点，则OF ⊥DE ，OF =GD =12GC =1， 在Rt △OEF 中，OE =2，OF =1，∴ EF =√3， ∴ DE =2√3， ∴ AA 1=2√3．三、解答题（共70分）【答案】（1）由正弦定理：sin 2B +sin 2C −sin 2A =sinBsinC ． 转换为：b 2+c 2−a 2=bc ， 即：cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，由于：0<A <π，则：A =π3．（2）由于：a 2=b 2+c 2−2bccosA =7， 所以：b 2+c 2−bc =7①． 由于：D 为BC 中点， 则：AD →2=12(AB →+AC →)，所以：4AD →2=(AB →+AC →)2， 即：b 2+c 2+bc =19② 由①②得：bc =6， 所以：S △ABC =12bcsinA =3√32【考点】 三角形求面积 【解析】（1）直接利用余弦定理求出A 的值．（2）利用余弦定理和向量的线性运算及三角形的面积公式求出结果． 【解答】（1）由正弦定理：sin 2B +sin 2C −sin 2A =sinBsinC ． 转换为：b 2+c 2−a 2=bc ， 即：cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，由于：0<A <π， 则：A =π3．（2）由于：a 2=b 2+c 2−2bccosA =7， 所以：b 2+c 2−bc =7①． 由于：D 为BC 中点， 则：AD →2=12(AB →+AC →)，所以：4AD →2=(AB →+AC →)2， 即：b 2+c 2+bc =19② 由①②得：bc =6， 所以：S △ABC =12bcsinA =3√32【答案】证明：∵ AB // CD ，∠BAD =90∘，∴ ∠EDC =∠BAD =90∘，∵ DC =DA =2AB ，E 为AD 的中点，∴ AB =ED ，则△BAD ≅△EDC ， ∴ ∠DBA =∠DEH ．∵ ∠DBA +∠ADB =90∘，∴ ∠DEH +∠ADB =90∘，则BD ⊥EC ． 又∵ PH ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴ BD ⊥PH ． 又∵ PH ∩EC =H ，且PH 、EC ⊂平面PEC ， ∴ BD ⊥平面PEC ，∵ PC ⊂平面PEC ，∴ PC ⊥BD ；假设线段PC 上存在一点F ，使三棱锥P −BFD 的体积为5√2，由（1）可知，△DHE∽△DAB，且求得BD=EC=5，AB=DE=√5，∴DHDA =EHBA=DEDB，∴EH=1，HC=4，DH=2，HB=3．∵PH、EC、BD两两垂直，且PH=HC=4，∴∠HPC=45∘，∵BD⊥平面PEC，∴V P−BFD=V B−PHF+V D−PHF=13S△PHF×BD=13×12×PH×PF×sin45∘×5=5√23PF=5√2．∴PF=3，∵PC=4√2>3，∴线段PC上存在一点F，满足PF=3，使三棱锥P−BFD的体积为5√2．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直【解析】（1）由已知证明△BAD≅△EDC，得到∠DBA=∠DEH，再由∠DBA+∠ADB=90∘，可得∠DEH+∠ADB=90∘，即BD⊥EC．又PH⊥平面ABCD，得BD⊥PH．由线面垂直的判定可得BD⊥平面PEC，进一步得到PC⊥BD；（2）由（1）可知，△DHE∽△DAB，解三角形可得EH，HC，DH，HB的值，结合PH、EC、BD两两垂直，且PH=HC=4，求得∠HPC=45∘，则BD⊥平面PEC，再由等积法求得PF=3，可得线段PC上存在一点F，满足PF=3，使三棱锥P−BFD的体积为5√2．【解答】证明：∵AB // CD，∠BAD=90∘，∴∠EDC=∠BAD=90∘，∵DC=DA=2AB，E为AD的中点，∴AB=ED，则△BAD≅△EDC，∴∠DBA=∠DEH．∵∠DBA+∠ADB=90∘，∴∠DEH+∠ADB=90∘，则BD⊥EC．又∵PH⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PH．又∵PH∩EC=H，且PH、EC⊂平面PEC，∴BD⊥平面PEC，∵PC⊂平面PEC，∴PC⊥BD；假设线段PC上存在一点F，使三棱锥P−BFD的体积为5√2，由（1）可知，△DHE∽△DAB，且求得BD=EC=5，AB=DE=√5，∴DHDA =EHBA=DEDB，∴EH=1，HC=4，DH=2，HB=3．∵PH、EC、BD两两垂直，且PH=HC=4，∴∠HPC=45∘，∵BD⊥平面PEC，∴V P−BFD=V B−PHF+V D−PHF=13S△PHF×BD=13×12×PH×PF×sin45∘×5=5√23PF=5√2．∴PF=3，∵PC=4√2>3，∴线段PC上存在一点F，满足PF=3，使三棱锥P−BFD的体积为5√2．【答案】解：（1）利用区间中点值估算这160名学生的平均分为45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72（分），众数的估计值为75分．（2）由频率分布直方图知，在160人中，90分以上的学生数为160×0.005×10=8(人)．设“从8人中任取2人，这两人成绩相同”为事件A，记这8人编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，其中4号、5号成绩为99分，6号、7号、8号的成绩为100分．由题意，从8人中任取2人，基本事件有(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, 5)，(1, 6)，(1, 7)，(1, 8)，(2, 3)，(2, 4)，(2, 5)，(2, 6)，(2, 7)，(2, 8)，(3, 4)，(3, 5)，(3, 6)，(3, 7)，(3, 8)，(4, 5)，(4, 6)，(4, 7)，(4, 8)，(5, 6)，(5, 7)，(5, 8)，(6, 7)，(6, 8)，(7, 8)，共28个．其中事件A所包含的基本事件为(4, 5)，(6, 7)，(6,8)，(7, 8)，共4个．由古典概型概率计算公式得P(A)=428=17．【考点】频率分布直方图列举法计算基本事件数及事件发生的概率【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）利用区间中点值估算这160名学生的平均分为45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72（分），众数的估计值为75分．（2）由频率分布直方图知，在160人中，90分以上的学生数为160×0.005×10=8(人)．设“从8人中任取2人，这两人成绩相同”为事件A，记这8人编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8，其中4号、5号成绩为99分，6号、7号、8号的成绩为100分．由题意，从8人中任取2人，基本事件有(1, 2)，(1, 3)，(1, 4)，(1, 5)，(1, 6)，(1, 7)，(1, 8)，(2, 3)，(2, 4)，(2, 5)，(2, 6)，(2, 7)，(2, 8)，(3, 4)，(3, 5)，(3, 6)，(3, 7)，(3, 8)，(4, 5)，(4, 6)，(4, 7)，(4, 8)，(5, 6)，(5, 7)，(5, 8)，(6, 7)，(6, 8)，(7, 8)，共28个．其中事件A所包含的基本事件的个数为(4, 5)，(6, 7)，(6,8)，(7, 8)，共4个．由古典概型概率计算公式得P(A)=428=17．【答案】点(2，在抛物线C 2上，∴ p =4，即c =2，即a 2+b 2=c 2=4，① ∵ 点P(2,（1）在椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，∴ 4a 2+9b 2=1，②，由①②解得a 2=16，b 2=12， ∴ 椭圆方程为x 216+y 212=1；(Ⅱ)椭圆的右焦点为F(2, 0)，由题意可得直线k 的斜率存在， 设直线l 的方程为y =k(x −(2)，(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，当k ≠0时，y k =x −2，得t =k ⋅y 1−3x 1−2⋅y 2−3x 2−3=k 3⋅y 1−3y 1⋅y 2−3y 2=k 3[1−3(1y 1+1y 2)+9y 1y 2]联立直线方程和椭圆方程，消去x ，得(4+3k 2)y 2+12ky −36=0，显然可知△>0，则y 1+y 2=−12k4k 2+3，y 1y 2=−−36k 24k 2+3，∴ t =k 3(1−3y 1+y 2y 1y 2+9y1y 2)=−k 2−34k =−(k +38)2+964则当k =0时，t =0也满足上式，即t =−k 2−34k =0， ∴ 当k =−38时，t max =964． 【考点】 椭圆的定义 【解析】（1）先求出c ，再根据点P(2, 3)在椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，即可求出a 2=16，b 2=12，问题得以解决．（2）右焦点F(2, 0)，直线l:y =k(x −2)，（与椭圆的交点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，从而联立方程再用韦达定理，再写出k PA ，k PB ，从而化简t =k PA ⋅k PB ⋅k ．从而求最大值即可． 【解答】 点(2，在抛物线C 2上，∴ p =4，即c =2，即a 2+b 2=c 2=4，① ∵ 点P(2,（1）在椭圆C 1:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上， ∴ 4a 2+9b 2=1，②，由①②解得a 2=16，b 2=12， ∴ 椭圆方程为x 216+y 212=1；(Ⅱ)椭圆的右焦点为F(2, 0)，由题意可得直线k 的斜率存在，设直线l 的方程为y =k(x −(2)，(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，当k ≠0时，y k =x −2，得t =k ⋅y 1−3x 1−2⋅y 2−3x 2−3=k 3⋅y 1−3y 1⋅y 2−3y 2=k 3[1−3(1y 1+1y 2)+9y 1y 2]联立直线方程和椭圆方程，消去x ，得(4+3k 2)y 2+12ky −36=0，显然可知△>0，则y 1+y 2=−12k4k 2+3，y 1y 2=−−36k 24k 2+3，∴ t =k 3(1−3y 1+y 2y 1y 2+9y 1y 2)=−k 2−34k =−(k +38)2+964则当k =0时，t =0也满足上式，即t =−k 2−34k =0， ∴ 当k =−38时，t max =964．【答案】若−x 3+x 2=0，解得x =0或x =1，此时有两个零点，x =0或x =1， 若a >0时，f(x)=alnx ≥alne =a >0此时无零点， 当a <0时，f(x)=alnx ≤alne =a <0此时无零点， 综上所述，函数f(x)有两个零点0或1，假设曲线y =f(x)上存在两点M 、N 满足题设要求，则点M 、N 只能在y 轴两侧．不妨设M （t, f(t)）(t >0)，则N(−t, t 3+t 2)，∵ △MON 是以O 为直角顶点的直角三角形，∴ OM →⋅ON →=0，即−t 2+f(t)(t 3+t 2)=0 ①．若方程①有解，存在满足题设要求的两点M 、N ；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点M 、N ．若0<t <e ，则f(t)=−t 3+t 2代入①式得：−t 2+(−t 3+t 2)(t 3+t 2)=0， 即t 4−t 2+1=0，而此方程无解，因此t ≥e ，此时f(t)=alnt ， 代入①式得：−t 2+(alnt)(t 3+t 2)=0，即1a =(t +1)lnt ②，令ℎ(x)=(x +1)lnx(x ≥e)， 则ℎ′(x)=lnx +1+1x >0，∴ ℎ(x)在[e, +∞)上单调递增，∵ t ≥e ，∴ ℎ(t)≥ℎ(e)=e +1，∴ ℎ(t)的取值范围是[e +1, +∞)． ∴ 对于0<a ≤1e+1，方程②总有解，即方程①总有解， 故a 的取值范围为(0, 1e+1]．【考点】分段函数的应用 【解析】（1）根据函数零点和方程根的关系即可判断，（2）假设曲线y =f(x)上存在两点M 、N 满足题设要求，则点M 、N 只能在y 轴两侧．不妨设M （t, f(t)）(t >0)，则N(−t, t 3+t 2)，运用向量垂直的条件：数量积为0，构造函数ℎ(x)=(x +1)lnx(x ≥e)，运用导数判断单调性，求得最值，即可得到a 的范围． 【解答】若−x3+x2=0，解得x=0或x=1，此时有两个零点，x=0或x=1，若a>0时，f(x)=alnx≥alne=a>0此时无零点，当a<0时，f(x)=alnx≤alne=a<0此时无零点，综上所述，函数f(x)有两个零点0或1，假设曲线y=f(x)上存在两点M、N满足题设要求，则点M、N只能在y轴两侧．不妨设M（t, f(t)）(t>0)，则N(−t, t3+t2)，∵△MON是以O为直角顶点的直角三角形，∴OM→⋅ON→=0，即−t2+f(t)(t3+t2)=0①．若方程①有解，存在满足题设要求的两点M、N；若方程①无解，不存在满足题设要求的两点M、N．若0<t<e，则f(t)=−t3+t2代入①式得：−t2+(−t3+t2)(t3+t2)=0，即t4−t2+1=0，而此方程无解，因此t≥e，此时f(t)=alnt，代入①式得：−t2+(alnt)(t3+t2)=0，即1a=(t+1)lnt②，令ℎ(x)=(x+1)lnx(x≥e)，则ℎ′(x)=lnx+1+1x>0，∴ℎ(x)在[e, +∞)上单调递增，∵t≥e，∴ℎ(t)≥ℎ(e)=e+1，∴ℎ(t)的取值范围是[e+1, +∞)．∴对于0<a≤1e+1，方程②总有解，即方程①总有解，故a的取值范围为(0, 1e+1]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]【答案】l1，l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R)，θ2=α+π4(ρ∈R)．曲线C的极坐标方程方程为ρ−4cosθ=0．即得ρ2−4ρcosθ=0，利用ρ2x2+y2，x=ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．因为ρ1=4cosα，ρ2=4cos(α+π4)，所以|AB|2=ρ12+ρ22−2ρ1．ρ2cosπ4=16[cos2α+cos2(α+π4)−√2cosαcos(α+π4)]=16[cos2α+12(cosα−sinα)2−cosα(cosα−sinα)]=8，所以|AB|的值为2√2．【考点】参数方程与普通方程的互化【解析】（1）考查直线l1，l2参数方程与极坐标方程的互化，曲线C的极坐标方程与直角坐标方程的互化．重点都是消去参数t．（2）利用l1，l2极坐标方程，结合余弦定理，计算出|AB|的长度．【解答】l1，l2的极坐标方程为θ1=α(ρ∈R)，θ2=α+π4(ρ∈R)．曲线C的极坐标方程方程为ρ−4cosθ=0．即得ρ2−4ρcosθ=0，利用ρ2x2+y2，x=ρcosθ得曲线C的直角坐标方程为(x−2)2+y2=4．因为ρ1=4cosα，ρ2=4cos(α+π4)，所以|AB|2=ρ12+ρ22−2ρ1．ρ2cosπ4=16[cos2α+cos2(α+π4)−√2cosαcos(α+π4)]=16[cos2α+12(cosα−sinα)2−cosα(cosα−sinα)]=8，所以|AB|的值为2√2．[选修4-5：不等式选讲]【答案】当x≥2时，x−2≥1−2x，得x≥1，故x≥2，当x<2时，2−x≥1−2x，得x≥−1，故−1≤x<2，综上，不等式的解集是{x|x≥−1}；∵f(x)+|x−1|的最小值是3，∴f(x)+|x−1|≥|x−a−(x−1)|=|a−1|=3，故a=4，∵m+n=m2+m2+n≥3√m2∗m2∗n3=3，当且仅当m2=n即m=2，n=1时取“=”．【考点】绝对值三角不等式【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出a的值，结合基本不等式的性质求出m+n的最小值即可．【解答】当x≥2时，x−2≥1−2x，得x≥1，故x≥2，当x<2时，2−x≥1−2x，得x≥−1，故−1≤x<2，综上，不等式的解集是{x|x≥−1}；∵f(x)+|x−1|的最小值是3，∴f(x)+|x−1|≥|x−a−(x−1)|=|a−1|=3，故a=4，∵m+n=m2+m2+n≥3√m2∗m2∗n3=3，当且仅当m2=n即m=2，n=1时取“=”．。
2018年河南省郑州市高考数学一模试卷(文科)
2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}3．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．4．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．∃x0∈（0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．36．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm37．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），记T n=，则T2018=（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A．B．2 C．D．912．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m 的取值范围为（）A． B．C．D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为．14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=．15．（5分）已知数列{a n}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）=．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数5101547x女生测试情况抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数2310y2（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？男性女性总计体育达人非体育达人总计临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.879附：（，其中n=a+b+c+d）19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若，求点B到平面PAC的距离．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C 到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x 轴平行．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．2018年河南省郑州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数（i为虚数单位）等于（）A．﹣1﹣3i B．﹣1+3i C．1﹣3i D．1+3i【解答】解：==﹣1﹣3i故选A2．（5分）设集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，若A∩B=A，则a的取值范围是（）A．{a|a≤2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≥2}【解答】解：∵A∩B=A，∴A⊆B．∵集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，∴a≥2故选：D．3．（5分）设向量=（1，m），=（m﹣1，2），且≠，若（﹣）⊥，则实数m=（）A．2 B．1 C．D．【解答】解：∵（﹣）⊥，∴（﹣）•=0，即2﹣•=0，即1+m2﹣（m﹣1+2m）=0，即m2﹣3m+2=0，得m=1或m=2，当m=1时，量=（1，1），=（0，2），满足≠，当m=2时，量=（1，2），=（1，2），不满足≠，综上m=1，故选：B．4．（5分）下列说法正确的是（）A．“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a＞1，则a2≤1”B．“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为真命题C．∃x0∈（0，+∞），使成立D．“若，则”是真命题【解答】解：“若a＞1，则a2＞1”的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故A错；“若am2＜bm2，则a＜b”的逆命题为假命题，比如m=0，若a＜b，则am2=bm2，故B错；对任意x＞0，均有3x＜4x成立，故C错；对若，则”的逆否命题是“若α=，则sinα=”为真命题，则D正确．故选D．5．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果n=（）A．4 B．5 C．2 D．3【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，A=1，S=0，n=1S=2不满足条件S≥10，执行循环体，n=2，a=，A=2，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=3，a=，A=4，S=不满足条件S≥10，执行循环体，n=4，a=，A=8，S=满足条件S≥10，退出循环，输出n的值为4．故选：A．6．（5分）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm3【解答】解：由三视图知几何体为三棱柱削去一个三棱锥如图：棱柱的高为5；底面为直角三角形，直角三角形的直角边长分别为3、4，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故选B．7．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）的图象，则函数g（x）的单调递增区间为（）A．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）B．[kπ+，kπ+]（k∈Z）C．[kπ﹣，kπ﹣]（k∈Z）D．[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+）图象上的每一个点都向左平移个单位，得到g（x）=sin[2（x+）+]=﹣sin2x的图象，故本题即求y=sin2x的减区间，令2kπ+≤2x≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的单调递增区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z，故选：B．8．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），记T n=，则T2018=（）A．B．C．D．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a2=2，且a n+2﹣2a n+1+a n=0（n∈N*），则：数列为等差数列．设公差为d，则：d=a2﹣a1=2﹣1=1，则：a n=1+n﹣1=n．故：，则：，所以：，=，=，=．所以：．故选：C9．（5分）已知函数，若函数f（x）在R上有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[1，+∞）C．（0，1） D．（﹣∞，1]【解答】解：当x≤0时，f（x）单调递增，∴f（x）≤f（0）=1﹣a，当x＞0时，f（x）单调递增，且f（x）＞﹣a．∵f（x）在R上有两个零点，∴，解得0＜a≤1．故选A．10．（5分）已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是F1，F2，在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2，则椭圆的离心率的平方为（）A．B．C．D．【解答】解：方法一：依题意，作图如下：A（﹣a，0），B（0，b），F1（﹣c，0），F2（c，0），∴直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，设直线AB上的点P（x，y），则bx=ay﹣ab，x=y﹣a，∵PF1⊥PF2，则•=（﹣c﹣x，﹣y）•（c﹣x，﹣y）=x2+y2﹣c2=（）2+y2﹣c2，令f（y）=（）2+y2﹣c2，则f′（y）=2（y﹣a）×+2y，∴由f′（y）=0得：y=，于是x=﹣，∴•=（﹣）2+（）2﹣c2=0，整理得：=c2，又b2=a2﹣c2，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，∴e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．方法二：由直线AB的方程为，整理得：bx﹣ay+ab=0，由题意可知：直线AB与圆O：x2+y2=c2相切，可得d==c，两边平方，整理得：c4+3c2c2﹣a4=0，两边同时除以a4，由e2=，e4﹣3e2+1=0，∴e2=，又椭圆的离心率e∈（0，1），∴e2=．椭圆的离心率的平方，故选B．11．（5分）我市某高中从高三年级甲、乙两个班中各选出7名学生参加2018年全国高中数学联赛（河南初赛），他们取得的成绩（满分140分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的中位数是81，乙班学生成绩的平均数是86，若正实数a，b满足a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则的最小值为（）A．B．2 C．D．9【解答】解：甲班学生成绩的中位数是80+x=81，得x=1；由茎叶图可知乙班学生的总分为76+80×3+90×3+（0+2+y+1+3+6）=598+y，乙班学生的平均分是86，且总分为86×7=602，所以y=4，若正实数a、b满足：a，G，b成等差数列且x，G，y成等比数列，则xy=G2，2G=a+b，即有a+b=4，a＞0，b＞0，则+=（a+b）（+）=（1+4++）≥（5+2）=×9=，当且仅当b=2a=时，的最小值为．12．（5分）若对于任意的正实数x，y都有成立，则实数m 的取值范围为（）A． B．C．D．【解答】解：根据题意，对于（2x﹣）•ln≤，变形可得（2x﹣）ln≤，即（2e﹣）ln≤，设t=，则（2e﹣t）lnt≤，t＞0，设f（t）=（2e﹣t）lnt，（t＞0）则其导数f′（t）=﹣lnt+﹣1，又由t＞0，则f′（t）为减函数，且f′（e）=﹣lne+﹣1=0，则当t∈（0，e）时，f′（t）＞0，f（t）为增函数，当t∈（e，+∞）时，f′（t）＜0，f（t）为减函数，则f（t）的最大值为f（e），且f（e）=e，若f（t）=（2e﹣t）lnt≤恒成立，必有e≤，解可得0＜m≤，即m的取值范围为（0，]；故选：D．二、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件则目标函数z=4x﹣y的最小值为1．【解答】解：设变量x，y满足约束条件在坐标系中画出可行域三角形，平移直线4x﹣y=0经过点A（1，3）时，4x﹣y最小，最小值为：1，则目标函数z=4x﹣y的最小值：1．故答案为：1．14．（5分）如果直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，则a=3．【解答】解：∵直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行，∴，解得a=3．故答案为：3．15．（5分）已知数列{a n}满足，且a1+a2+a3+…+a10=1，则log2（a101+a102+…+a110）=100．【解答】解：∵，∴log2a n+1﹣log2a n=1，即，∴．∴数列{a n}是公比q=2的等比数列．则a101+a102+…+a110=（a1+a2+a3+…+a10）q100=2100，∴log2（a101+a102+…+a110）=．故答案为：100．16．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为M，交另一条渐近线于N，若，则双曲线的渐近线方程为y=±x．【解答】解：由题意得右焦点F（c，0），设一渐近线OM的方程为y=x，则另一渐近线ON的方程为y=﹣x，由FM的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=x，可得M的横坐标为，由FM的方程为y=﹣（x﹣c），联立方程y=﹣x，可得N的横坐标为．由2=，可得2（﹣c）=﹣c，即为﹣c=，由e=，可得﹣1=，即有e4﹣5e2+4=0，解得e2=4或1（舍去），即为e=2，即c=2a，b=a，可得渐近线方程为y=±x，故答案为：y=±x．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB=2a+b．（1）求角C；（2）若△ABC的面积为，求ab的最小值．【解答】解：（1）由正弦定理可知：===2R，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，由2ccosB=2a+b，则2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，由0＜B＜π，sinB≠0，cosC=﹣，0＜C＜π，则C=；（2）由S=absinC=c，则c=ab，由c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2+ab，∴=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时取等号，∴ab≥12，故ab的最小值为12．18．（12分）2017年10月份郑州市进行了高三学生的体育学业水平测试，为了考察高中学生的身体素质比情况，现抽取了某校1000名（男生800名，女生200名）学生的测试成绩，根据性别按分层抽样的方法抽取100名进行分析，得到如下统计图表：男生测试情况：抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数5101547x女生测试情况抽样情况病残免试不合格合格良好优秀人数2310y2（1）现从抽取的1000名且测试等级为“优秀”的学生中随机选出两名学生，求选出的这两名学生恰好是一男一女的概率；（2）若测试等级为“良好”或“优秀”的学生为“体育达人”，其它等级的学生（含病残免试）为“非体育达人”，根据以上统计数据填写下面列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为体育达人”与性别有关？男性女性总计体育达人非体育达人总计临界值表：P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.005 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.879附：（，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（1）按分层抽样男生应抽取80名，女生应抽取20名；∴x=80﹣（5+10+15+47）=3，y=20﹣（2+3+10+2）=3；抽取的100名且测试等级为优秀的学生中有三位男生，设为A，B，C；两位女生设为a，b；从5名任意选2名，总的基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个；设“选出的两名学生恰好是一男一女为事件A”；则事件包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb共6个；∴P（A）==；（2）填写2×2列联表如下：男生女生总计体育达人50555非体育达人301545总计8020100则K2=≈9.091；∵9.091＞6.635且P（K2≥6.635）=0.010，∴在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘体育达人’与性别有关”．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAB⊥平面ABC，AB=6，，，D，E为线段AB上的点，且AD=2DB，PD⊥AC．（1）求证：PD⊥平面ABC；（2）若，求点B到平面PAC的距离．【解答】证明：（1）连接CD，据题知AD=4，BD=2，∵AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴cos，∴=8，∴CD=2，∴CD2+AD2=AC2，∴CD⊥AB，又∵平面PAB⊥平面ABC，∴CD⊥平面PAB，∴CD⊥PD，∵PD⊥AC，CD∩AC=C，∴PD⊥平面ABC．解：（2）∵，∴PD=AD=4，∴PA=4，在Rt△PCD中，PC==2，∴△PAC是等腰三角形，∴，设点B到平面PAC的距离为d，=V P﹣AEC，得，由V E﹣PAC∴d==3，故点B到平面PAC的距离为3．20．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0和抛物线E：y2=2px（p＞0），圆心C 到抛物线焦点F的距离为．（1）求抛物线E的方程；（2）不过原点的动直线l交抛物线于A，B两点，且满足OA⊥OB．设点M为圆C上任意一动点，求当动点M到直线l的距离最大时的直线l方程．【解答】解：（1）圆C：x2+y2+2x﹣2y+1=0可化为（x+1）2+（y﹣1）2=1，则圆心为（﹣1，1）．抛物线E：y2=2px（p＞0），焦点坐标F（），由于：圆心C到抛物线焦点F的距离为．则：，解得：p=6．故抛物线的方程为：y2=12x（2）设直线的方程为x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），则：，整理得：y2﹣12my﹣12t=0，所以：y1+y2=12m，y1y2=﹣12t．由于：OA⊥OB．则：x1x2+y1y2=0．即：（m2+1）y1y2+mt（y1+y2）+t2=0．整理得：t2﹣12t=0，由于t≠0，解得t=12．故直线的方程为x=my+12，直线经过定点（12，0）．当CN⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到直线的距离取最大值．当CP⊥l时，即动点M经过圆心C（﹣1，1）时到动直线L的距离取得最大值．k MP=k CP=﹣，则：m=．此时直线的方程为：x=，即：13x﹣y﹣156=0．21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x+1），a∈R在（1，f（1））处的切线与x 轴平行．（1）求f（x）的单调区间；（2）若存在x0＞1，当x∈（1，x0）时，恒有成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）由已知可得f（x）的定义域为（0，+∞），∵f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a=0，解得：a=1，∴f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1，故f（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减；（1）不等式f（x）﹣+2x+＞k（x﹣1）可化为lnx﹣+x﹣＞k（x﹣1），令g（x）=lnx﹣+x﹣﹣k（x﹣1），（x＞1），g′（x）=，∵x＞1，令h（x）=﹣x2+（1﹣k）x+1，h（x）的对称轴是x=，①当≤1时，即k≥﹣1，易知h（x）在（1，x0）上递减，∴h（x）＜h（1）=1﹣k，若k≥1，则h（x）≤0，∴g′（x）≤0，∴g（x）在（1，x0）递减，∴g（x）＜g（1）=0，不适合题意．若﹣1≤k＜1，则h（1）＞0，∴必存在x0使得x∈（1，x0）时，g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．②当＞1时，即k＜﹣1，易知必存在x0使得h（x）在（1，x0）递增，∴h（x）＞h（1）=1﹣k＞0，∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，x0）递增，∴g（x）＞g（1）=0恒成立，适合题意．综上，k的取值范围是（﹣∞，1）．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l过点（1，0），倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是．（1）写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若，设直线l与曲线C交于A，B两点，求△AOB的面积．【解答】（1）直线L的参数方程为：（α为参数）．曲线C的极坐标方程是，转化为直角坐标方程为：y2=8x（2）当时，直线l的参数方程为：（t为参数），代入y2=8x得到：．（t1和t2为A和B的参数），所以：，t1t2=﹣16．所以：．O到AB的距离为：d=．则：=．23．设函数f（x）=|x+3|，g（x）=|2x﹣1|．（1）解不等式f（x）＜g（x）；（2）若2f（x）+g（x）＞ax+4对任意的实数x恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）由已知得|x+3|＜|2x﹣1|，即|x+3|2＜|2x﹣1|2，则有3x2﹣10x﹣8＞0，∴x＜﹣或x＞4，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（4，+∞）；（2）由已知，设h（x）=2f（x）+g（x）=2|x+3|+|2x﹣1|=，当x≤﹣3时，只需﹣4x﹣5＞ax+4恒成立，即ax＜﹣4x﹣9，∵x≤﹣3＜0，∴a＞=﹣4﹣恒成立，∴a＞，∴a＞﹣1，当﹣3＜x＜时，只需7＞ax+4恒成立，即ax﹣3＜0恒成立，只需，∴，∴﹣1≤a≤6，当x≥时，只需4x+5＞ax+4恒成立，即ax＜4x+1，∵x≥＞0，∴a＜=4+恒成立，∵4+＞4，且无限趋近于4，∴a≤4，综上，a的取值范围是（﹣1，4]．。
2018年河南省开封市高考数学一模试卷(文科)
2018年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B的真子集个数为（）A．2个B．3个C．4个D．8个2．（5分）复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知向量=（m﹣1，1），=（m，﹣2），则“m=2”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）在△ABC中，a=2，b=，B=，则A=（）A．B．C．D．或5．（5分）若，则sin2α=（）A．B． C．D．6．（5分）如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．7．（5分）已知曲线﹣=1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．B．x2﹣y2=1 C．D．x2﹣y2=28．（5分）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．B．C． D．9．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．10．（5分）函数y=xln|x|的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M 上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数，若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1＜x2＜x3＜…＜xn，则x 1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn=（）A． B．445πC．455πD．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）则f（f（2））的值为．14．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx+1的图象在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则a+b= ．15．（5分）设x，y满足约束条件，且x，y∈Z，则z=3x+5y的最大值为．16．（5分）一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知正项等比数列{an }满足a3a9=4a52，a2=1．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn =2nan，求数列{bn}的前n项和Sn．18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．（Ⅰ）求证：PB⊥平面PEC；（Ⅱ）求三棱锥D﹣PEC的高．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成下面的 2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计200（Ⅱ）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求至少有一次好评的概率．附：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（，其中n=a+b+c+d）20．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l 1⊥l2；（2）求证：线段MN的长为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（t﹣1）xe x，g（x）=tx+1﹣e x．（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．选修4-4：极坐标与参数方程22．（10分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．（I）求实数m、n的值；（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m，求++的最小值．2018年河南省开封市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B的真子集个数为（）A．2个B．3个C．4个D．8个【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}，∴A∩B的真子集是∅，{3}，{5}，共3个．故选：B．2．（5分）复数在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），在第四象限．故选：D．3．（5分）已知向量=（m﹣1，1），=（m，﹣2），则“m=2”是“⊥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵=（m﹣1，1），=（m，﹣2），∴⇔m（m﹣1）﹣2=0．由m（m﹣1）﹣2=0，解得m=﹣1或m=2．∴“m=2”是“⊥”的充分不必要条件．故选：A．4．（5分）在△ABC中，a=2，b=，B=，则A=（）A．B．C．D．或【解答】解：在△ABC中，∵a=2，b=，B=，∴由正弦定理可得：sinA===，∵A∈（，π），∴A=或．故选：D．5．（5分）若，则sin2α=（）A．B． C．D．【解答】解：∵，∴sin2α=﹣cos（）=﹣cos2（）=﹣[2﹣1]=1﹣=1﹣2×=．故选：C．6．（5分）如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，甲的平均成绩为：=（88+89+90+91+92）=90，∵乙的平均成绩超过甲的平均成绩，设数字被污损为x，∴83+83+87+（90+x）+99＞450，x＞8，∴x=9，∴乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为p=．故选：A．7．（5分）已知曲线﹣=1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（）A．B．x2﹣y2=1 C．D．x2﹣y2=2【解答】解：根据题意，若曲线﹣=1（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，则a2=b2，c==a，即焦点的坐标为（±a，0）；其渐近线方程为x±y=0，若焦点到渐近线的距离为，则有=a=，则双曲线的标准方程为﹣=1，即x2﹣y2=2；故选：D．8．（5分）我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意可得：由图可知第一次剩下，第二次剩下，…由此得出第7次剩下，可得①为i≤7？②s=③i=i+1故选：D．9．（5分）如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1、O2，这两个球相外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可以判断出两球在正方体的面AA1C1C上的正投影与正方形相切，排除C、D，把其中一个球扩大为与正方体相切，则另一个球被挡住一部分，由于两球不等，所以排除A；B正确；故选B10．（5分）函数y=xln|x|的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=xln|x|，可得f（﹣x）=﹣f（x），f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，排除A，D，当x→0时，f（x）→0，故排除B又f′（x）=lnx+1，令f′（x）＞0得：x＞，得出函数f（x）在（，+∞）上是增函数，故选：C．11．（5分）抛物线M：y2=4x的准线与x轴交于点A，点F为焦点，若抛物线M 上一点P满足PA⊥PF，则以F为圆心且过点P的圆被y轴所截得的弦长约为（参考数据：≈2.24）（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，A（﹣1，0），F（1，0），点P在以AF为直径的圆x2+y2=1上．设点P的横坐标为m，联立圆与抛物线的方程得x2+4x﹣1=0，∵m＞0，∴m=﹣2+，∴点P的横坐标为﹣2+，∴|PF|=m+1=﹣1+，∴圆F的方程为（x﹣1）2+y2=（﹣1）2，令x=0，可得y=±，∴|EF|=2=2=，故选：D．12．（5分）已知函数，若函数F（x）=f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，xn，且x1＜x2＜x3＜…＜xn，则x 1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn=（）A． B．445πC．455πD．【解答】解：函数，令2x﹣=+kπ得x=+，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x=+，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T=π，0≤x≤，当k=30时，可得x=，∴f（x）在[0，]上有30条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数与y=3的交点x1，x2关于对称，x2，x3关于对称，…，即x1+x2=×2，x2+x3=×2，…，xn﹣1+xn=2×（）将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2x28+x29=2（++…+）=（2+5+8+…+89）×=455π则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn=（x1+x2）+（x2+x3）+x3+…+xn﹣1+（xn﹣1+xn）=2（）=455π，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）则f（f（2））的值为 2 ．【解答】解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）=log3（22﹣1）=1＜2，故有f（1）=2×e1﹣1=2，即f（f（2））=f（1）=2×e1﹣1=2，故答案为 214．（5分）已知函数f（x）=ax3+bx+1的图象在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣y﹣1=0，则a+b= 2 ．【解答】解：函数f（x）=ax3+bx+1的导数为f′（x）=3ax2+b，f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣y﹣1=0，可得3a+b=4，f（1）=3=a+b+1，解得a=1，b=1，则a+b=2．故答案为：2．15．（5分）设x，y满足约束条件，且x，y∈Z，则z=3x+5y的最大值为13 ．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，作出直线3x+5y=0，∵x，y∈Z，∴平移直线3x+5y=0至（1，2）时，目标函数z=3x+5y的最大值为13．故答案为：13．16．（5分）一个棱长为5的正四面体（棱长都相等的三棱锥）纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，则小正四面体的棱长的最大值为．【解答】解：∵在此纸盒内放一个小正四面体，若小正四面体在纸盒内可以任意转动，∴小正四面体的外接球是纸盒的内切球，设正四面体的棱长为a，则内切球的半径为a，外接球的半径是a，∴纸盒的内切球半径是=，设小正四面体的棱长是x，则=x，解得x=，∴小正四面体的棱长的最大值为，故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知正项等比数列{an }满足a3a9=4a52，a2=1．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记bn =2nan，求数列{bn}的前n项和Sn．【解答】解：（Ⅰ）正项等比数列{an }满足a3a9=4a52，a2=1．则：，解得：，所以：；（Ⅱ）由于：，则：=n•2n﹣1，所以：+…+n•2n﹣1①，则：+…+n•2n②①﹣②得：，即：．18．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=4，E是AD的中点．将△ABE沿BE折起使A到点P的位置，平面PEB⊥平面BCDE，如图2．（Ⅰ）求证：PB⊥平面PEC；（Ⅱ）求三棱锥D﹣PEC的高．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AD=2AB，E为线段AD的中点，∴AB=AE，取BE中点O，连接PO，则PO⊥BE，又平面PEB⊥平面BCDE，平面PEB∩平面BCDE=BE，∴PO⊥平面BCDE，则PO⊥EC，在矩形ABCD中，∴AD=2AB，E为AD的中点，∴BE⊥EC，则EC⊥平面PBE，∴EC⊥PB，又PB⊥PE，且PE∩EC=E，∴PB⊥平面PEC．（Ⅱ）以OB所在直线为x轴，以平行于EC所在直线为y轴，以OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，∵PB=PE=2，则B（，0，0），E（﹣，0，0），P（0，0，），D（﹣2，，0），C（﹣，2，0），∴=（﹣，0，﹣），=（﹣，2，﹣），∴cos∠EPC===，可得：sin∠EPC==，可得：S△EPC=||•||•sin∠EPC=2×2×=2，∵VP﹣ECD =VD﹣EPC，设三棱锥D﹣PEC的高为h，则可得：S△ECD•OP=S△EPC•h，可得：=2×h，∴解得：三棱锥D﹣PEC的高h=1．19．（12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2017年双11期间，某购物平台的销售业绩高达1271亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系，现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．（Ⅰ）完成下面的 2×2列联表，并回答是否有99%的把握，认为商品好评与服务好评有关？对服务好评对服务不满意合计对商品好评对商品不满意合计200（Ⅱ）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求至少有一次好评的概率．附：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（，其中n=a+b+c+d）【解答】解：（Ⅰ）根据题意，对商品好评次数为200×0.6=120，对服务好评次数为200×0.75=150，填写2×2列联表如下；对服务好评对服务不满意合计对商品好评8040120对商品不满意701080合计15050200计算K2=≈11.11＞6.635，∴有99%的把握认为商品好评与服务好评有关；（Ⅱ）根据分层抽样原理，从这200次交易中取出5次交易，抽取商品好评次数为120×=3，不满意次数为2，分别记为a、b、c、D、E，从中选择两次交易，基本事件为ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE共10种，至少有一次好评的事件为ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE共9种，故所求的概率为P=．20．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．已知椭圆C的离心率，其“准圆”的方程为x2+y2=4．（I）求椭圆C的方程；（II）点P是椭圆C的“准圆”上的动点，过点P作椭圆的切线l1，l2交“准圆”于点M，N．（1）当点P为“准圆”与y轴正半轴的交点时，求直线l1，l2的方程，并证明l 1⊥l2；（2）求证：线段MN的长为定值．【解答】解：（I）由准圆方程为x2+y2=4，则a2+b2=4，椭圆的离心率e===，解得：a=，b=1，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）证明：（1）∵准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2），设过点P（0，2）且与椭圆相切的直线为y=kx+2，联立，整理得（1+3k2）x2+12kx+9=0．∵直线y=kx+2与椭圆相切，∴△=144k2﹣4×9（1+3k2）=0，解得k=±1，∴l1，l2方程为y=x+2，y=﹣x+2．∵=1，=﹣1，∴•=﹣1，则l1⊥l2．（2）①当直线l1，l2中有一条斜率不存在时，不妨设直线l1斜率不存在，则l1：x=±，当l1：x=时，l1与准圆交于点（，1）（，﹣1），此时l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证当l1：x=时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2斜率存在时，设点P（x，y），其中x2+y2=4．设经过点P（x0，y）与椭圆相切的直线为y=t（x﹣x）+y，∴由得（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx）x+3（y﹣tx）2﹣3=0．由△=0化简整理得（3﹣x02）t2+2xyt+1﹣y2=0，∵x02+y2=4．，∴有（3﹣x2）t2+2xyt+（x2﹣3）=0．设l1，l2的斜率分别为t1，t2，∵l1，l2与椭圆相切，∴t1，t2满足上述方程（3﹣x2）t2+2xyt+（x2﹣3）=0，∴t1•t2=﹣1，即l1，l2垂直．综合①②知：∵l1，l2经过点P（x，y），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直．∴线段MN为准圆x2+y2=4的直径，|MN|=4，∴线段MN的长为定值．21．（12分）已知函数f（x）=（t﹣1）xe x，g（x）=tx+1﹣e x．（Ⅰ）当t≠1时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=（t﹣1）xe x，得f′（x）=（t﹣1）（x+1）e x，若t＞1，则x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，若t＜1，则x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，x＞﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，故t＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增，t＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，+∞）递减；（2）f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，即（t﹣1）xe x﹣tx﹣1+e x≤0对∀x≥0成立，设h（x）=（t﹣1）xe x﹣tx﹣1+e x，h（0）=0，h′（x）=（t﹣1）（x+1）e x﹣t+e x，h′（0）=0，h″（x）=e x[（t﹣1）x+2t﹣1]，t=1时，h″（x）=e x≥0，h′（x）在[0，+∞）递增，∴h′（x）≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）递增，故h（x）≥h（0）=0，显然不成立，∴t≠1，则h″（x）=e x（x+）（t﹣1），令h″（x）=0，则x=﹣，①当﹣≤0即t＜或t＞1时，若t≤，则h″（x）在[0，+∞）为负，h′（x）递减，故有h′（x）≤h′（0）=0，h（x）在[0，+∞）递减，∴h（x）≤h（0）=0成立，若t≥1，则h″（x）在[0，+∞）上为正，h′（x）递增，故有h′（x）≥h′（0）=0，故h（x）在[0，+∞）递增，故h（x）≥h（0）=0，不成立，②﹣≥0即≤t≤1时，h″（x）在[0，﹣）内有h′（x）≥h′（0）=0，h（x）递增，故h（x）在[0，﹣）内有h（x）≥h（0）=0不成立，综上，t的范围是（﹣∞，]．选修4-4：极坐标与参数方程22．（10分）已知直线l：3x﹣y﹣6=0，在以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ﹣4sinθ=0．（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π），）的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作倾斜角为30°的直线，交l于点A，求|AP|的最值．【解答】解：（Ⅰ）直线l：3x﹣y﹣6=0，转化为直角坐标方程为：（t为参数），曲线C：ρ﹣4sinθ=0．转化为直角坐标方程为：x2+y2﹣4y=0．（Ⅱ）首先把x2+y2﹣4y=0的方程转化为：x2+（y﹣2）2=4，所以经过圆心，且倾斜角为30°的直线方程为：，则：，解得：，则：=，则：|AP|的最大值为：，|AP|的最小值为：．选修4-5：不等式选讲23．已知关于x的不等式|x+1|+|2x﹣1|≤3的解集为{x|m≤x≤n}．（I）求实数m、n的值；（II）设a、b、c均为正数，且a+b+c=n﹣m ，求++的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵|x+1|+|2x﹣1|≤3，∴或或，解得：﹣1≤x≤1，故m=﹣1，n=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）a+b+c=2，则++=（++）（a+b+c）=[1+1+1+（+）+（+）+（+）]≥+（2+2+2）=+3=，当且仅当a=b=c=时“=”成立．。
2018年河南高考数学(文科)高考试题(word版)(附答案)
2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B =A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，， 2．设1i2i 1iz -=++，则z = A．0B ．12C ．1D3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半4．已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D 5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ,过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A ．B ．12πC ．D ．10π6．设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点,则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 8．已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为49．某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3D ．210．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒,则该长方体的体积为 A ．8B ．62C ．82D ．8311．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合,终边上有两点()1A a ，，()2B b ，,且 2cos 23α=，则a b -= A ．15B ．55C ．255D ．112．设函数()201 0x x f x x -⎧=⎨>⎩，≤，,则满足()()12f x f x +<的x 的取值范围是A ．(]1-∞-，B ．()0+∞，C ．()10-，D ．()0-∞，二、填空题（本题共4小题，每小题5分,共20分）13．已知函数()()22log f x x a =+，若()31f =，则a =________．14．若x y ，满足约束条件220100x y x y y --⎧⎪-+⎨⎪⎩≤≥≤，则32z x y =+的最大值为________．15．直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A B ，两点，则AB =________．16．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．三、解答题：共70分。
2018年河南省安阳市高考数学一模试卷(文科)
2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx 4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或5．（5分）已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.8，则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．67．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．18210．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是．14．（5分）长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．15．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，﹣3），若圆C：（x﹣a）2+（y ﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100]内，且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80，则称该日畅销，其余为滞销，根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．19．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，PA=PD，AD=4，BC∥AD，AB=BC=CD=2，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应的点的坐标得答案．【解答】解：∵=，∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}={y|y＞﹣1}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1，2]．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（）A．f（x）=x2+|x|+1 B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx【分析】根据函数的单调性以及函数的奇偶性判断即可．【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数，在（0，+∞）递增，对于A，f（﹣x）=f（x），是偶函数，且x＞0时，f（x）=x2+x+1，f′（x）=2x+1＞0，故f（x）在（0，+∞）递增，符合题意；对于B，函数f（x）是奇函数，不合题意；对于C，由x+1=0，解得：x≠﹣1，定义域不关于原点对称，故函数f（x）不是偶函数，不合题意；对于D，函数f（x）在（0，+∞）无单调性，不合题意；故选：A．【点评】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，考查导数的应用，是一道基础题．4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（）A．﹣1 B．1 C．D．﹣1或【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：若，则1+cosα=3sinα，又sin2α+cos2α=1，∴sinα=，∴cosα=3sinα﹣1=，∴cosα﹣2sinα=﹣，故选：C．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．5．（5分）已知等比数列{a n}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（）A．12 B．10 C．D．【分析】根据等比数列的通项公式求出公比，进行求解即可．【解答】解：∵，a1=1，a3+a5=6，∴a3+a5=q2+q4=6，得q4+q2﹣6=0，即（q2﹣2）（q2+3）=0，则q2=2，则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12，故选：A．【点评】本题主要考查等比数列通项公式的应用，根据条件求出公比的关系是解决本题的关键．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.8，则输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据程序框图，依次计算运行的结果，直到不满足条件s＜0.8，即可得到n的值．【解答】解：第一次运行n=1，s=0，满足条件s＜0.8，s==0.5，n=2，第二次运行n=2，s=0.5，满足条件s＜0.8，s=+=0.75，n=3，第三次运行n=3，s=0.75，满足条件s＜0.8，s=0.75+=0.75+0.125=0.875，n=4，此时s=0.875不满足条件s＜0.8输出，n=4，故选：B．【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图，根据语句判断框图的流程是解答此类问题的关键，属于基础题．7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．4+2πB．C．4+πD．【分析】由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体，其中长方体的长为4，宽为1，高为1，半圆柱的底面半径为r=1，高为h=1，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体，其中长方体的长为4，宽为1，高为1，半圆柱的底面半径为r=1，高为h=1，如图，∴该几何体的体积：V=4×1×1+=4+．故选：D．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图，考查推理能力与计算能力，考查空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（）A．B．C．D．【分析】求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求满足条件正三角形ABC内的点到三角形的顶点A、B、C的距离均不小于1的图形的面积，代入几何概型公式计算即可．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：边长AB=a，其中正三角形ABC的面积S=•a2•sin=a2；三角形满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域，如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为的半圆，∴S=•π•=，阴影∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：P=1﹣=1﹣π．故选：B．【点评】本题考查了几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式计算问题，是中档题．9．（5分）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（）A．49 B．91 C．98 D．182【分析】设等差数列{a n}的公差为d，a3+7=2a5，利用通项公式可得：a1+6d=7=a7．可得S13==13a7．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+7=2a5，∴a1+2d+7=2（a1+4d），化为：a1+6d=7=a7．则S13==13a7=13×7=91．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【分析】利用诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象，故选：D．【点评】本题主要考查诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点⇔方程a=有3个不同的实根，即函数y=a，g（x）=的图象有3个不同的交点．画出函数g（x）图，结合图象，即可．【解答】解：函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点⇔方程a=有3个不同的实根，即函数y=a，g（x）=的图象有3个不同的交点．g′（x）=x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）x∈（﹣∞，﹣3），（2，+∞）时，g（x）递增，x∈（﹣3，2）递减，函数g（x）图如下，结合图象，只需g（2）＜a＜g（﹣3）即可，即﹣＜＜，故选：B．【点评】本题考查了函数与方程思想，数形结合思想，属于中档题．12．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【分析】如图，取PF1的中点A，连接OA，根据向量的加减的几何意义和三角形的中位线的性质以及（O为坐标原点，可得⊥，再根据椭圆的几何性质和勾股定理可得4c2=3×4a2（3﹣2），根据离心率公式计算即可．【解答】解：如图，取PF1的中点A，连接OA，∴2=+，=，∴+=，∵，∴•=0，∴⊥，∵，不妨设|PF2|=m，则|PF1|=m，∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m，∴m=a=2（﹣1）a，∵|F1F2|=2c，∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2），∴=9﹣6=（﹣）2，∴e=﹣，故选：A．【点评】本题考查了借助向量的加减的几何意义和向量的垂直，考查了椭圆的简单性质，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是∃x0∈R，使得．【分析】运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，即可得到所求命题的否定．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是“∃x0∈R，使得”．故答案为：∃x0∈R，使得．【点评】本题考查命题的否定，注意运用全称命题的否定为特称命题，以及量词和不等号的变化，属于基础题．14．（5分）长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为14π．【分析】先求出球半径R，由此能求出该球的表面积．【解答】解：∵长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，∴球半径R==，∴该球的表面积为S=4π×R2=4=14π．故答案为：14π．【点评】本题考查球的表面积的求法，考查长方体、球等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．15．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为．【分析】由约束条件作出可行域，利用数量积的坐标运算可得目标函数z=•=2x+3y，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），∵=（2，3），=（x，y），∴z=•=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．故答案为：．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，﹣3），若圆C：（x﹣a）2+（y ﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是[0，3] ．【分析】设点M（x，y），由由|MA|=2|MO|，得x2+y2+2x﹣3=0，点M在圆心为D（﹣1，0），半径为2的圆上．点M在圆C上，圆C与圆D有公共点，从而1≤|CD|≤3，由此能求出实数a的取值范围【解答】解：设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，得到：，整理得：x2+y2﹣2y﹣3=0，∴点M在圆心为D（0，1），半径为2的圆上．又点M在圆C上，∴圆C与圆D有公共点，∴1≤|CD|≤3，∴1≤≤3，解得0≤a≤3．即实数a的取值范围是[0，3]．故答案为：[0，3]．【点评】本题考察的知识要点：若将题目条件“圆C上存在点M，满足|AM|=2|MO|”，考生多数能想到应该先求出点M满足的曲线方程再求解，圆与圆的位置关系的应用．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）根据题意，由正弦定理可以将a+2acosB=c变形为sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，进而将其变形可得A=B﹣A，即可得结论；（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）的结论分析可得由a+2acosB=2得，有cosB的范围分析可得答案．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，在△ABC中，a+2acosB=c，由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．因为A，B∈（0，π），所以B﹣A∈（﹣π，π），且A+（B﹣A）=B∈（0，π），所以A+（B﹣A）≠π，所以A=B﹣A，B=2A．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．由△ABC为锐角三角形得，得，则0＜cosB＜，由a+2acosB=2得，又由0＜cosB＜，则．【点评】本题考查三角形中的几何计算，涉及三角函数的恒等变形，关键是合理运用正弦定理，分析A、B的关系．18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100]内，且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80，则称该日畅销，其余为滞销，根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．【分析】（Ⅰ）由题知，解得n可取5，6，7，8，9，从而，由此能出a．（Ⅱ）滞销日与畅销日的频率之比为2：3，则抽取的5天中，滞销日有2天，记为a，b，畅销日有3天，记为C，D，E，再从这5天中抽出2天，利用列举法能求出这2天中恰有1天是畅销日的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题知，解得5≤n≤9，n可取5，6，7，8，9，代入中，得，解得a=0.15．（Ⅱ）滞销日与畅销日的频率之比为（0.1+0.1+0.2）：（0.3+0.3）=2：3，则抽取的5天中，滞销日有2天，记为a，b，畅销日有3天，记为C，D，E，再从这5天中抽出2天，基本事件有ab，aC，aD，aE，bC，bD，bE，CD，CE，DE，共10个，2天中恰有1天为畅销日的事件有aC，aD，aE，bC，bD，bE，共6个，则这2天中恰有1天是畅销日的概率为p=．【点评】本题考查实数值的求法，考查概率的求法，考查分布频率、古典概型、列举法等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．19．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，PA=PD，AD=4，BC∥AD，AB=BC=CD=2，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．【分析】（Ⅰ）取PA的中点F，连接BF，EF，EF为中位线，从而四边形BCEF为平行四边形，得CE∥BF，由此能证明CE∥平面PAB．（Ⅱ）由E为PD的中点，知点D到平面PBC的距离是点E到平面PBC的距离的两倍，则．由此能证明三棱锥E﹣PBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取PA的中点F，连接BF，EF．在△PAD中，EF为中位线，则，又，故，则四边形BCEF为平行四边形，得CE∥BF，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB．解：（Ⅱ）由E为PD的中点，知点D到平面PBC的距离是点E到平面PBC的距离的两倍，则．由题意知，四边形ABCD为等腰梯形，且AB=BC=CD=2，AD=4，其高为，则．取AD的中点O，在等腰直角△PAD中，有，PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，故PO⊥平面ABCD，则点P到平面ABCD的距离即为PO=2．，故三棱锥E﹣PBC的体积．【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C 有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．【分析】（Ⅰ）根据点到直线的距离关系建立方程即可求出点的轨迹方程．（Ⅱ）根据直线和双曲线的位置关系，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，|（x+y）（x﹣y）|=2．因为点P在区域W内，所以x+y与x﹣y同号，得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2，即点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D，当直线l的斜率不存在时，，，得．当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，显然k≠0，则，把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0，由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0，得m2=2（k2﹣1）＞0，得k＞1或k＜﹣1．设A（x1，y2），B（x2，y2），由得，同理，得．所以=．综上，△OAB的面积恒为定值2．【点评】本题主要考查点的轨迹方程的求解，结合直线和双曲线的位置关系是解决本题的关键．21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）求出原函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，利用导函数在各区间段内的符号可得函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x0＞0，可得，求出使方程组成立的x值，进一步得到曲线y=f（x）与y=g（x）的公共点的坐标，则曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程可求．【解答】解：（Ⅰ）由，得，令f′（x）=0，得．当且x≠0时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x0＞0，则，即，其中（2）式即．记h（x）=4x3﹣3e2x﹣e3，x∈（0，+∞），则h'（x）=3（2x+e）（2x﹣e），得h（x）在上单调递减，在上单调递增，又h（0）=﹣e3，，h（e）=0，故方程h（x0）=0在（0，+∞）上有唯一实数根x0=e，经验证也满足（1）式．于是，f（x0）=g（x0）=3e，f′（x0）=g'（x0）=3，曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程为y﹣3e=3（x﹣e），即y=3x．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是中档题．（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【分析】（Ⅰ）直接把极坐标方程转化为直角坐标方程．（Ⅱ）首先把参数方程转化为直角坐标方程，进一步利用直线和圆锥曲线的位置关系，建立方程组利用弦长公式求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ，所以ρ2sin2θ=4ρcosθ，即y2=4x，因此曲线C表示顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线．（Ⅱ），化为普通方程为y=2x﹣1，代入y2=4x，并整理得4x2﹣8x+1=0，所以，=，=．【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线与圆锥曲线的位置关系的应用，弦长公式的应用．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当时，，，由此能求出m+n的最小值．（Ⅱ）f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，从而a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1，2]恒成立，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，∴，∴．∴，∴，当且仅当m=n时等号成立，∵m，n＞0，解得，当且仅当m=n时等号成立，故m+n的最小值为．（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，当x∈[﹣1，2]时，有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x，∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1，2]恒成立，当时，a（1﹣2x）≥1﹣2x，∴a≥1；当时，a（2x﹣1）≥1﹣2x，∴a≥﹣1．综上：a≥1．故实数a的取值范围是[1，+∞）．【点评】本题考查代数式的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查基本不等式、含绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。
2018年河南省豫南九校高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年河南省豫南九校高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|2x﹣1≥0}，B＝{x|x2﹣1≤0}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣1}B．{x|x≥1}C．D．2．（5分）复数（i为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．C．1D．3．（5分）的值为（）A．﹣1B．C．D．4．（5分）抛物线x＝2py2（p＞0）的焦点坐标为（）A．B．C．D．5．（5分）已知随机事件A，B发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为（）A．1B．C．D．06．（5分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图象的解析式为（）A．B．C．D．7．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，均为腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．8．（5分）《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d的值为33，则输出的i的值为（）A．4B．5C．6D．79．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°则此球的表面积等于（）A．B．20πC．8πD．10．（5分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若2sin（﹣）＝1，且a＝2．则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．211．（5分）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足xf′（x）＞1，则（）A．f（2）﹣f（1）＞ln2B．f（2）﹣f（1）＜ln2C．f（2）﹣f（1）＞1D．f（2）﹣f（1）＜112．（5分）已知直线l：x+y﹣1＝0截圆Ω：x2+y2＝r2（r＞0）所得的弦长为，点M，N在圆Ω上，且直线l'：（1+2m）x+（m﹣1）y﹣3m＝0过定点P，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x﹣y的最大值为．14．（5分）已知向量，满足，，则向量在方向上的投影为．15．（5分）已知直线ax﹣2by＝2（a＞0，b＞0）过圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0的圆心，则的最小值为．16．（5分）下列结论：①若x＞0，y＞0，则“”成立的一个充分不必要条件是“x＝2，且y＝1”；②存在a＞1，x＞0，使得a x＜log a x；③若函数f（x）＝x4﹣（a﹣1）x2+（a﹣3）x的导函数是奇函数，则实数a＝3；④平面上的动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1的点P的轨迹方程为y2＝4x．其中正确结论的序号为．（填写所有正确的结论序号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设正项等比数列{a n}，a4＝81，且a2，a3的等差中项为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝log3a2n﹣1，数列{b n}的前n项和为S n，数列{c n}满足，T n 为数列{c n}的前n项和，求T n．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AB⊥底面ABCD，P A＝PB，CD ＝2AB＝4，CD∥AB，∠BP A＝∠BAD＝90°．（1）求证：PB⊥平面P AD；（2）若三棱锥C﹣PBD的体积为2，求△P AD的面积．19．（12分）某地区某农产品近几年的产量统计如表：（1）根据表中数据，建立y关于t的线性回归方程；（2）根据（1）中所建立的回归方程预测该地区2018年（t＝7）该农产品的产量．附：对于一组数据（t 1，y1），（t2，y2），…，（t n，y n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率，过F2且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限内的交点为P，且．（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（0，2）的直线l交椭圆C于A，B两点，当时，求直线l的方程．21．（12分）设函数f（x）＝e x+a sin x+b．（1）当a＝1，x∈[0，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求b的范围；（2）若f（x）在x＝0处的切线为x﹣y﹣1＝0，且方程恰有两解，求实数m的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面的公共点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为实数．（1）求证：1+2x4≥2x3+x2；（2）若x+2y+3z＝6，求x2+y2+z2的最小值．2018年河南省豫南九校高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x|2x﹣1≥0}，B＝{x|x2﹣1≤0}，则A∩B＝（）A．{x|x≥﹣1}B．{x|x≥1}C．D．【解答】解：因为集合A＝{x|2x﹣1≥0}＝{x|x≥}，B＝{x|x2﹣1≤0}＝{x|﹣1≤x≤1}，所以A∩B＝{x|≤x≤1}．故选：D．2．（5分）复数（i为虚数单位），则|z|＝（）A．2B．C．1D．【解答】解：∵＝﹣1＝，∴|z|＝1．故选：C．3．（5分）的值为（）A．﹣1B．C．D．【解答】解：∵，故选：B．4．（5分）抛物线x＝2py2（p＞0）的焦点坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线x＝2py2（p＞0）的标准方程为：y2＝x，抛物线的焦点坐标（）．故选：B．5．（5分）已知随机事件A，B发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为（）A．1B．C．D．0【解答】解：∵事件与事件A∪B是对立事件，随机事件A，B发生的概率满足条件，∴某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为：．故选：C．6．（5分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图象的解析式为（）A．B．C．D．【解答】解：把函数经伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得，再向右平移个单位，得＝的图象，故选：B．7．（5分）某空间几何体的三视图如图所示，均为腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知几何体是正方体的一个角，所以几何体的表面积为：＝1+．故选：A．8．（5分）《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的程序框图解决此类问题．现执行该程序框图，输入的d的值为33，则输出的i的值为（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：法一：i＝0，S＝0，x＝1，y＝1开始执行，然后可得：i＝1，S＝1+1，x＝2，y＝…，再执行一行，然后输出i＝6．法二：本题要解决的问题是数列求和的问题，a1＝1+1，a2＝2+（n≥2），可得：a1+a2+…+a n≥33，解得n的最小值为6．故选：C．9．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°则此球的表面积等于（）A．B．20πC．8πD．【解答】解：在△ABC中AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得BC＝2由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r＝2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径R＝，故此球的表面积为4πR2＝20π故选：B．10．（5分）已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若2sin（﹣）＝1，且a＝2．则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．2【解答】解：△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c．若2sin（﹣）＝1，且a＝2．由于：0＜A＜π，则：，所以：，解得：，所以：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，整理得：4＝b2+c2+bc，由于：b2+c2≥2bc，所以：，则：．故选：B．11．（5分）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足xf′（x）＞1，则（）A．f（2）﹣f（1）＞ln2B．f（2）﹣f（1）＜ln2C．f（2）﹣f（1）＞1D．f（2）﹣f（1）＜1【解答】解：根据题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），即x＞0，则，故，即f（2）﹣f（1）＞ln2，故选：A．12．（5分）已知直线l：x+y﹣1＝0截圆Ω：x2+y2＝r2（r＞0）所得的弦长为，点M，N在圆Ω上，且直线l'：（1+2m）x+（m﹣1）y﹣3m＝0过定点P，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，2＝，解得：r＝2，∵直线l'：（1+2m）x+（m﹣1）y﹣3m＝0过定点P，故P（1，1），设MN的中点是Q（x，y），则OM2＝OQ2+MQ2＝OQ2+PQ2，即4＝x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2，化简可得+＝，故Q的轨迹是以（，）为圆心，为半径的圆，∴|PQ|的范围是[，]，故|MN|的范围是[﹣，+]，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知实数x，y满足，则z＝x﹣y的最大值为1．【解答】解：由已知条件，实数x，y满足的可行域如右图阴影部分．其中阴影区域三角形的三个顶点分别为（1，0），（1，2），（，），把三个点分别代入z＝x﹣y检验得：当x＝1，y＝0时，z取得最大值1，故答案为：1．14．（5分）已知向量，满足，，则向量在方向上的投影为．【解答】解：由，，可得﹣＝﹣4＝﹣3，∴＝1，∴向量在方向上的投影为＝，故答案为：．15．（5分）已知直线ax﹣2by＝2（a＞0，b＞0）过圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0的圆心，则的最小值为8．【解答】解：根据题意，圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0的圆心（2，﹣1），又由直线ax﹣2by＝2过圆x2+y2﹣4x+2y+1＝0的圆心，则2a+2b＝2，即有a+b ＝1，则＝++＝4+2（+）≥4+2×2＝8，当a＝b＝时等号成立，故答案为：816．（5分）下列结论：①若x＞0，y＞0，则“”成立的一个充分不必要条件是“x＝2，且y＝1”；②存在a＞1，x＞0，使得a x＜log a x；③若函数f（x）＝x4﹣（a﹣1）x2+（a﹣3）x的导函数是奇函数，则实数a＝3；④平面上的动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1的点P的轨迹方程为y2＝4x．其中正确结论的序号为①②③．（填写所有正确的结论序号）【解答】解：对于①，若x＞0，y＞0，则x＝2，y＝1时，x+2y＝2＝4，充分性成立；x+2y＝2时，x＝2y，不一定有x＝2且y＝1，必要性不成立，∴是充分不必要条件，①正确；对于②，当a＝1.1，x＝1.21时，满足a x＜log a x，即存在a＞1，x＞0，使得a x＜log a x，②正确；对于③，函数f（x）＝x4﹣（a﹣1）x2+（a﹣3）x，∴f′（x）＝4x3﹣2（a﹣1）x+（a﹣3）；由f′（x）是奇函数，得a﹣3＝0，解得a＝3，③正确；对于④，设点P（x，y），由P到定点F（1，0）的距离为，P到y轴的距离为|x|，当x＜0时，P的轨迹方程为y＝0（x＜0）；当x≥0时，又动点P到定点F（1，0）的距离比P到y轴的距离大1，列出等式：﹣|x|＝1，化简得y2＝4x（x≥0），为焦点为F（1，0）的抛物线；则动点P的轨迹方程为y2＝4x或，∴④错误．综上，以上正确的命题是①②③．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设正项等比数列{a n}，a4＝81，且a2，a3的等差中项为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝log3a2n﹣1，数列{b n}的前n项和为S n，数列{c n}满足，T n 为数列{c n}的前n项和，求T n．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q（q＞0），由题意，得解得所以（2）由（1）得，，，∴，∴．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AB⊥底面ABCD，P A＝PB，CD ＝2AB＝4，CD∥AB，∠BP A＝∠BAD＝90°．（1）求证：PB⊥平面P AD；（2）若三棱锥C﹣PBD的体积为2，求△P AD的面积．【解答】证明：（1）棱锥P﹣ABCD中，侧面P AB⊥底P﹣面ABCD＝AB，AD⊂平面ABCD，且AD⊥AB，所以：AD⊥平面P AB．又因为：PB⊂平面P AB，则：PB⊥AD，由PB⊥P A，P A∩AD＝A，P A，AD⊂平面P AD，所以：PB ⊥平面P AD ，（2）取AB 的中点E ，连接PE ， 因为P A ＝PB ， 所以：PE ⊥AB ．又因为PE ⊂平面P AB ，平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ， 所以：PE ⊥平面ABCD ．因为PE 是三棱锥P ﹣BCD 的高，且PE ＝AB ＝1， 且CD ∥AB ，AD ⊥CD ， 所以：，则：V C ﹣PBD ＝V P ﹣BCD ＝，解得：AD ＝3． 则：P A ＝， 又AD ⊥平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， 所以：P A ⊥AD ．19．（12分）某地区某农产品近几年的产量统计如表：（1）根据表中数据，建立y 关于t 的线性回归方程；（2）根据（1）中所建立的回归方程预测该地区2018年（t ＝7）该农产品的产量．附：对于一组数据（t 1，y 1），（t 2，y 2），…，（t n ，y n ），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．【解答】解：（1）由题，，，＝（﹣2.5）×（﹣0.4）+（﹣1.5）×（﹣0.3）+0+0.5×0.1+1.5×0.2+2.5×0.4＝2.8，＝（﹣2.5）2+（﹣1.5）2+（﹣0.5）2+0.52+1.52+2.52＝17.5．所以，又，得，所以y关于t的线性回归方程为．（8分）（2）由（1）知，当t＝7时，，即该地区2018年该农产品的产量估计值为7.56万吨．（12分）20．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率，过F2且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限内的交点为P，且．（1）求椭圆C的方程；（2）过点Q（0，2）的直线l交椭圆C于A，B两点，当时，求直线l的方程．【解答】解：（1）设F1（﹣c，0），F2（c，0），则，∵，∴．①∵，∴．②联立①②得，c＝1，b＝1，．∴椭圆方程为．（2）显然直线l斜率存在，设直线l方程为：y＝kx+2，A点坐标为（x1，y1），B 点坐标为（x2，y2）．联立方程组，得（1+2k2）x2+8kx+6＝0，令△＞0得，，∴，，由弦长公式得，，＝，点O到直线AB的距离，，解得．∴l的方程为：．21．（12分）设函数f（x）＝e x+a sin x+b．（1）当a＝1，x∈[0，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求b的范围；（2）若f（x）在x＝0处的切线为x﹣y﹣1＝0，且方程恰有两解，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）＝e x+a sin x+b，当a＝1时，得f'（x）＝e x+cos x．当x∈[0，+∞）时，e x≥1，cos x∈[﹣1，1]，且当cos x＝﹣1时，x＝2kπ+π，k∈N，此时e x＞1．所以f'（x）＝e x+cos x＞0，即f（x）在[0，+∞）上单调递増，所以f（x）min＝f（0）＝1+b，由f（x）≥0恒成立，得1+b≥0，所以b≥﹣1．（2）由f（x）＝e x+a sin x+b得f'（x）＝e x+a cos x，且f（0）＝1+b．由题意得f'（0）＝e0+a＝1，所以a＝0．又（0，1+b）在切线x﹣y﹣1＝0上．所以0﹣1﹣b﹣1＝0．所以b＝﹣2．所以f（x）＝e x﹣2．即方程有两解，可得xe x﹣2x＝m﹣2x，所以xe x＝m．令g（x）＝xe x，则g'（x）＝e x（x+1），当x∈（﹣∞，﹣1）时，g'（x）＜0，所以g（x）在（﹣∞，﹣1）上是减函数．当x∈（﹣1，+∞）时，g'（x）＞0，所以g（x）在（﹣1，+∞）上是减函数．所以．又当x→﹣∞时，g（x）→0；且有g（1）＝e＞0．数形结合易知：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cos（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面的公共点，求x+y的取值范围．【解答】（本小题满分10分）解：（1）∵圆C的极坐标方程为ρ＝4cos（θ﹣），∴，又∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，…（5分）∴，∴圆C的普通方程为＝0．（2）设z ＝，圆C 的方程＝0．即（x+1）2+（y﹣）2＝4，∴圆C的圆心是C（﹣1，），半径r＝2，将直线l 的参数方程为（t为参数）代入z ＝，得z＝﹣t，又∵直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，∴﹣2≤t≤2，∴﹣2≤﹣t≤2，即的取值范围是[﹣2，2]．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为实数．（1）求证：1+2x4≥2x3+x2；（2）若x+2y+3z＝6，求x2+y2+z2的最小值．【解答】证明：（1）法一：（1+2x4）﹣（2x3+x2）＝2x3（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（2x3﹣x﹣1）＝（x﹣1）（2x3﹣2x+x﹣1）＝（x﹣1）[2x（x2﹣1）+（x﹣1）]＝（x﹣1）2（2x2+2x+1）＝，所以1+2x4≥2x3+x2．法二：（1+2x4）﹣（2x3+x2）＝x4﹣2x3+x2+x4﹣2x2+1＝（x﹣1）2•x2+（x2﹣1）2≥0，所以1+2x4≥2x3+x2．（2）解：因为（由柯西不等式得）所以，当且仅当即时，x2+y2+z2有最小值．第21页（共21页）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018年河南省高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x∈R|3≤32﹣x＜27}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣23．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A=，=2sinAsinB，且b=6，则c=（）A．2 B．3 C．4 D．65．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.87．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或29．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2 11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则=（）A．B．C．3 D．212．（5分）已知函数f（x）=e x+x2+lnx与函数g（x）=e﹣x+2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e]B．C．（﹣∞，﹣1]D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=14．（5分）一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．15．（5分）若α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，则=．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=3，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．18．（12分）从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；（2）若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．（1）求证：B1C∥平面A1DE；（2）若AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，求四棱锥A1﹣B1C1ED的体积．20．（12分）如图，椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．（1）求W的标准方程：（2）求．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣lnx．（1）若曲线y=f（x）在x=x0处的切线经过坐标原点，求x0及该切线的方程；（2）设g（x）=（e﹣1）x，若函数F（x）=的值域为R，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．2018年河南省高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={x∈R|3≤32﹣x＜27}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}，则A∩B中元素的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵A={x∈R|3≤32﹣x＜27}={x∈R|﹣1＜x≤1}，B={x∈Z|﹣3＜x＜1}={﹣2，﹣1，0}，∴A∩B={0}．∴A∩B中元素的个数为1．故选：B．2．（5分）已知a∈R，复数z=，若=z，则a=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：z===+a﹣1=（a﹣1）﹣（a+1）i，则=（a﹣1）+（a+1）i，∵=z，∴a+1=0，得a=﹣1，故选：B．3．（5分）某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据，绘制了下面的折线图．已知该市的各月最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A．最低气温与最高气温为正相关B．10月的最高气温不低于5月的最高气温C．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月D．最低气温低于0℃的月份有4个【解答】解：由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A中，最低气温与最高气温为正相关，故A正确；在B中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B正确；在C中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C正确；在D中，最低气温低于0℃的月份有3个，故D错误．故选：D．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若A=，=2sinAsinB，且b=6，则c=（）A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：△ABC中，A=，b=6，∴a2=b2+c2﹣2bccosA，即a2=36+c2﹣6c①；又=2sinAsinB，∴=2ab，即cosC==，∴a2+36=4c2②；由①②解得c=4或c=﹣6（不合题意，舍去）；∴c=4．故选：C．5．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（）A．128π平方尺B．138π平方尺 C．140π平方尺 D．142π平方尺【解答】解：∵今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长，宽分别为7尺和5尺，高为8尺，∴构造一个长方体，其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺，则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球，∴这个四棱锥的外接球的半径R==（尺），∴这个四棱锥的外接球的表面积为S=4π×R2==138π（平方尺）．故选：B．6．（5分）定义[x]表示不超过x的最大整数，（x）=x﹣[x]，例如[2.1]=2，（2.1）=0.1，执行如图所示的程序框图，若输入的x=5.8，则输出的z=（）A．﹣1.4 B．﹣2.6 C．﹣4.6 D．﹣2.8【解答】解：模拟程序的运行，可得x=5.8y=5﹣1.6=3.4x=5﹣1=4满足条件x≥0，执行循环体，x=1.7，y=1﹣1.4=﹣0.4，x=1﹣1=0满足条件x≥0，执行循环体，x=﹣0.2，y=﹣1﹣1.6=﹣2.6，x=﹣1﹣1=﹣2不满足条件x≥0，退出循环，z=﹣2+（﹣2.6）=﹣4.6．输出z的值为﹣4.6．故选：C．7．（5分）若对于任意x∈R都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx，则函数f（2x）图象的对称中心为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k ∈Z）D．（k∈Z）【解答】解：∵对任意x∈R，都有f（x）+2f（﹣x）=3cosx﹣sinx ①，用﹣x代替x，得f（﹣x）+2f（x）=3cos（﹣x）﹣sin（﹣x）②，即f（﹣x）+2f（﹣x）=3cosx+sinx②；由①②组成方程组，解得f（x）=sinx+cosx，∴f（x）=sin（x+），∴f（2x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=﹣，故函数f（2x）图象的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故选：D．8．（5分）设x，y满足约束条件，若z=﹣ax+y取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）A．2或﹣3 B．3或﹣2 C．﹣或D．﹣或2【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAB）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线2x﹣y=0平行，此时a=2，若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=ax+z与直线x+y=1平行，此时a=﹣3，综上a=﹣3或a=2，故选：A．9．（5分）函数f（x）=的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，）∪（，+∞）f（﹣x）===f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，故排除A，令f（x）=0，即=0，解得x=0，∴函数f（x）只有一个零点，故排除D，当x=1时，f（1）=＜0，故排除C，综上所述，只有B符合，故选：B．10．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．20+12+2B．20+6+2C．20+6+2D．20+12+2【解答】解：由三视图可知该几何体为侧放的四棱锥，棱锥的底面为矩形ABCD，底面与一个侧面PBC垂直，PB=PC=4，AB=3．S ABCD=3×=12，S△PBC=，S△PCD=S△PBA=，△PAD中AP=PD=5，AD=4，∴AD边上的高为，∴S=，△PAD则该几何体的表面积为12+8+6+6+2=12+20+2，故选：D11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与准线交于点C，若，则=（）A．B．C．3 D．2【解答】解：根据题意，设|AF|=a，|BF|=b，作AM、BN垂直准线于点M、N，则有|BF|=|BN|=b，|AF|=|AM|=a，若，则有|CB|=4|BF|，即|CB|=4|BN|，又由BN∥AM，则有|CA|=4|AM|，即有4b+a+b=4a，变形可得=，即=，故选：A．12．（5分）已知函数f（x）=e x+x2+lnx与函数g（x）=e﹣x+2x2﹣ax的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣e]B．C．（﹣∞，﹣1]D．【解答】解：由题意知，方程g（﹣x）﹣f（x）=0在（0，+∞）上有解，即e x+2x2+ax﹣lnx﹣e x﹣x2=0，即x+a﹣=0在（0，+∞）上有解，即函数y=x+a与y=在（0，+∞）上有交点，y=的导数为y′=，当x＞e时，y′＜0，函数y=递减；当0＜x＜e时，y′＞0，函数y=递增．可得x=e处函数y=取得极大值，函数y=x+a与y=在（0，+∞）上的图象如右：当直线y=x+a与y=相切时，切点为（1，0），可得a=0﹣1=﹣1，由图象可得a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．故选C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，|+|=|﹣|，||=2，则•=﹣4【解答】解：在△ABC中，|+|=|﹣|，可得|+|2=|﹣|2，即有2+2+2•=2+2﹣2•，即为•=0，则△ABC为直角三角形，A为直角，则•=﹣•=﹣||•||•cosB=﹣||2=﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）一只蜜蜂在一个正方体箱子里面自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持在该正方体内切球范围内飞行，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为．【解答】解：如图，设正方体的棱长为2a，则其内切球的半径为a，则，，∴蜜蜂“安全飞行”的概率为P=．故答案为：．15．（5分）若α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，则=．【解答】解：α∈（﹣，0），sin（α+）=﹣，∴cos（α+）==，则====，故答案为：．16．（5分）设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线分别交于点A，B，且A（m，18）在第一象限，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的实轴长为2．【解答】解：根据双曲线的定义，可得|AF1|﹣|AF2|=2a，∵△ABF 2是等边三角形，即|AF2|=|AB|，∴|BF1|=2a，又∵|BF2|﹣|BF1|=2a，∴|BF2|=|BF1|+2a=4a，∵△BF1F2中，|BF1|=2a，|BF2|=4a，∠F1BF2=120°，∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2﹣2|BF1|•|BF2|cos120°，即4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）=28a2，解得c2=7a2，b2=6a2，由双曲线的第二定义可得===，则m=，由A在双曲线上，可得﹣=1，解得a=，则2a=2．故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=3，且a2，a5，a14成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（﹣1）n﹣1a n a n+1，求数列{b n}的前2n项和S2n．【解答】解：（1）设公差为d，由，得，化简得d2=2a1d，因为d≠0，a1=3，所以d=6，所以a n=6n﹣3．（2）因为，所以﹣（36×（2n）2﹣9），所以，即S2n=﹣36（1+2+3+4+…+（2n﹣1）+2n）=．18．（12分）从某校高中男生中随机选取100名学生，将他们的体重（单位：kg）数据绘制成频率分布直方图，如图所示．（1）估计该校的100名同学的平均体重（同一组数据以该组区间的中点值作代表）；（2）若要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，再从这6人中选2人当正副队长，求这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图估计该校的100名同学的平均体重为：=45×0.005×10+55×0.035×10+65×0.030×10+75×0.020×10+85×0.010×10=64.5．（2）要从体重在[60，70），[70，80），[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取6人组成一个活动队，体重在[60，70）内的男生中选：6×=3人，体重在[70，80）内的男生中选：6×=2人，体重在[80，90]内的男生中选：6×=1人，再从这6人中选2人当正副队长，基本事件总数n==15，∴这2人中至少有1人体重在[70，80）内的概率p=1﹣=．19．（12分）如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．（1）求证：B1C∥平面A1DE；（2）若AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，求四棱锥A1﹣B1C1ED的体积．【解答】证明：（1）∵在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，AB=2A1B1，∴DE∥BC，DB A 1B1，∴四边形DBB1A1是平行四边形，∴A1D∥BB1，∵A1D∩DE=D，BB1∩BC=B，A1D、DE⊂平面A1DE，BB1、BC⊂平面BCB1，∴平面A1DE∥平面B1BC，∵B1C⊂平面B1BC，∴B1C∥平面A1DE．解：（2）∵AC=3BC=6，△AB1C为等边三角形，AB=2A1B1，B1E⊥平面ABC，且∠ACB=90°．∴AE=3，DE=1，B1E==3，∠AED=90°，∴四棱锥A1﹣B1C1ED的体积：=﹣=S△ADE•B1E﹣====3．20．（12分）如图，椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l与W交于M，N两点．（1）求W的标准方程：（2）求．【解答】解：（1）由题意可得，∴故W的标准方程为．（2）联立得∴，∴，易知B（0，1），∴l的方程为y=﹣3x+1．联立，得37x2﹣24x=0，∴x=0或，∴，联立，得31x2﹣18x﹣9=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则，，∴，故．21．（12分）已知函数f（x）=x﹣lnx．（1）若曲线y=f（x）在x=x0处的切线经过坐标原点，求x0及该切线的方程；（2）设g（x）=（e﹣1）x，若函数F（x）=的值域为R，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由已知得（x＞0），则，所以x0=e，所以所求切线方程为．（2）令，得x＞1；令f'（x）＜0，得0＜x＜1．所以f（x）在（0，1）上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，所以f（x）min=f（1）=1，所以f（x）∈[1，+∞）．而g（x）=（e﹣1）x在（﹣∞，a）上单调递增，所以g（x）∈（﹣∞，（e﹣1）a）．欲使函数的值域为R，须a＞0．①当0＜a≤1时，只须（e﹣1）a≥1，即，所以．②当a＞1时，f（x）∈[a﹣lna，+∞），g（x）∈（﹣∞，（e﹣1）a），只须a﹣lna≤（e﹣1）a对一切a＞1恒成立，即lna+（e﹣2）a≥0对一切a＞1恒成立，令φ（x）=lnx+（e﹣2）x（x＞1），得，所以φ（x）在（1，+∞）上为增函数，所以φ（x）＞φ（1）=e﹣2＞0，所以a﹣lna≤（e﹣1）a对一切a＞1恒成立．综上所述：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的参数方程为（m为参数），设l1与l2的交点为p，当k变化时，p的轨迹为曲线c1（Ⅰ）写出C1的普通方程及参数方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为，Q为曲线C1上的动点，求点Q到C2的距离的最小值．【解答】解：（Ⅰ）将参数方程转化为一般方程，①，②①×②消k可得：．即P的轨迹方程为．C1的普通方程为．C1的参数方程为（α为参数α≠kπ，k∈Z）．（Ⅱ）由曲线C2：，得：，即曲线C2的直角坐标方程为：x+y﹣8=0，由（Ⅰ）知曲线C1与直线C2无公共点，曲线C1上的点到直线x+y﹣8=0的距离为：，所以当时，d的最小值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+a|（a∈R）．（1）若f（x）≥|2x+3|的解集为[﹣3，﹣1]，求a的值；（2）若∀x∈R，不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）≥|2x+3|即|x+a|≥|2x+3|，平方整理得：3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2≤0，所以﹣3，﹣1是方程3x2+（12﹣2a）x+9﹣a2=0的两根，…2分由根与系数的关系得到…4分解得a=0…5分（2）因为f（x）+|x﹣a|≥|（x+a）﹣（x﹣a）|=2|a|…7分所以要不等式f（x）+|x﹣a|≥a2﹣2a恒成立只需2|a|≥a2﹣2a…8分当a≥0时，2a≥a2﹣2a解得0≤a≤4，当a＜0时，﹣2a≥a2﹣2a此时满足条件的a不存在，综上可得实数a的范围是0≤a≤4…10分赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为EM FB2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。