数学实验 Mathematic实验五一元函数积分

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数学实验 Mathematic实验一一元函数的图形

天水师范学院数学与统计学院
实验报告
实验项目名称一元函数的图形
所属课程名称数学实验
实验类型微积分实验
实验日期2011.9.21
班级
学号
姓名
成绩
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致.
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求.
3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识.
4．实验环境：实验用的软、硬件环境.
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容.概括整个实验过程.
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作.对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明.对于创新性实验，应注明其创新点、特色. 6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析.
7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论.
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议.
9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价.。

mathematica实验报告5张西西

mathematica实验报告5张西西Mathematica是一款强大的数学软件，可以进行各种数值计算和符号计算。

在本次实验中，我使用Mathematica进行了一些数值计算的实验，并总结了实验结果。

首先，我使用Mathematica计算了一元函数的数值积分。

通过使用内置的函数NIntegrate，我计算了函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的数值积分。

结果显示，该函数在该区间上的数值积分为1/3接下来，我进行了一元方程的数值求解实验。

我使用内置函数NSolve，求解了方程x^2 - 2x + 1 = 0。

结果显示，方程的解为x = 1然后，我进行了一些线性代数的实验。

首先，我使用内置函数LinearSolve，求解了线性方程组Ax = b，其中A是一个2x2的矩阵，b是一个长度为2的向量。

结果显示，方程组的解为x = {1, 2}。

接着，我使用内置函数Eigenvalues和Eigenvectors，计算了一个2x2的矩阵的特征值和特征向量。

结果显示，该矩阵的特征值为{-1, 2}，特征向量为{{1, 2}, {1, -1}}。

最后，我进行了一些常微分方程的数值解实验。

我使用内置函数NDSolve，求解了一阶常微分方程dy/dx = y，初始条件为y(0) = 1、结果显示，该方程的数值解为y = Exp[x]。

综上所述，通过本次实验，我使用Mathematica进行了一些数值计算的实验，包括数值积分、方程求解、线性代数和常微分方程的数值解。

Mathematica的强大功能和简洁的语法使得这些实验变得简单而又高效。

我相信在未来的学习和工作中，Mathematica将会成为我不可或缺的工具。

02项目一Mathematica 一元函数微分学

实验一一元函数微分学实验1 一元函数的图形（基础实验）实验目的通过图形加深对函数及其性质的认识与理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析函数的有关特性与变化趋势的方法,建立数形结合的思想; 掌握用Mathematica 作平面曲线图性的方法与技巧.基本命令1. 在平面直角坐标系中作一元函数图形的命令Plot: Plot[f[x],{x,min,max},选项]Plot 有很多选项(Options), 可满足作图时的种种需要, 例如,输入Plot[x^2,{x,-1,1},AspectRatio->1,PlotStyle->RGBColor[1,0,0],PlotPoints->30]则输出2x y =在区间11≤≤-x 上的图形. 其中选项AspectRatio->1使图形的高与宽之比为1. 如果不输入这个选项, 则命令默认图形的高宽比为黄金分割值. 而选项PlotStyle->RGBColor[1,0,0] 使曲线采用某种颜色. 方括号内的三个数分别取0与1之间. 选项PlotPoints->30令计算机描点作图时在每个单位长度内取30个点, 增加这个选项会使图形更加精细.Plot 命令也可以在同一个坐标系内作出几个函数的图形, 只要用集合的形式{f1[x],f2[x],…} 代替f[x].2.利用曲线参数方程作出曲线的命令ParametricPlot:ParametricPlot[{g[t],h[t]},{t,min,max},选项]其中)(),(t h y t g x ==是曲线的参数方程. 例如,输入ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2 Pi},AspectRatio->1]则输出单位圆t y t x sin ,cos ==的图形.3. 利用极坐标方程作图的命令PolarPlot如果想利用曲线的极坐标方程作图, 则要先打开作图软件包. 输入<<Graphics`Graphics`执行以后, 可使用PolarPlot 命令作图. 其基本格式为PolarPlot[r[t],{t,min,max},选项]例如曲线的极坐标方程为,3cos 3t r =要作出它的图形. 输入PolarPlot[3 Cos[3 t], {t,0,2 Pi}]便得到了一条三叶玫瑰线.4. 隐函数作图命令ImplicitPlot这里同样要先打开作图软件包, 输入<<Graphics\ImplicitPlot.m命令ImplicitPlot 的基本格式为ImplicitPlot[隐函数方程, 自变量的范围, 作图选项]例如方程22222)(y x y x -=+确定了y 是x 的隐函数. 为了作出它的图形, 输入ImplicitPlot[(x^2+y^2)^2==x^2-y^2,{x,-1,1}]输出图形是一条双纽线.5. 定义分段函数的命令Which 命令Which 的基本格式为Which[测试条件1, 取值1, 测试条件2, 取值2,…]例如, 输入w[x_]=Which[x<0,-x,x>=0,x^2]虽然输出的形式与输入没有改变, 但已经定义好了分段函数:⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=0,0,)(2x x x x x w现在可以对分段函数)(x w 求函数值, 也可作出函数)(x w 的图形.实验举例初等函数的图形例1.1 作出指数函数x e y =和对数函数x y ln =的图形. 输入命令Plot[Exp[x],{x,-2,2}]则输出指数函数x e y =的图形.输入命令Plot[Log[x],{x,0.001,5},PlotRange->{{0,5},{-2.5,2.5}},AspectRatio->1]则输出对数函数x y ln =的图形.注①：x 的, 第二组数{-2.5,2.5}是描述y 的.注②：有时要使图形的x 轴和y 轴的长度单位相等, 需要同时使用PlotRange 和AspectRatio 两个选项. 本例中输出的对数函数的图形的两个坐标轴的长度单位就是相等的. 例1.2 作出函数x y sin =和x y csc =的图形观察其周期性和变化趋势. 为了比较, 我们把它们的图形放在一个坐标系中. 输入命令Plot[{Sin[x],Csc[x]},{x,-2 Pi,2 Pi},PlotRange->{-2 Pi,2 Pi},PlotStyle->{GrayLevel[0],GrayLeve1[0.5]}, AspectRatio->1]注：.例1.3 作出函数x y tan =和x y cot =的图形观察其周期性和变化趋势.输入命令Plot[{Tan[x],Cot[x]},{x,-2 Pi,2 Pi},PlotRange->{-2 Pi,2 Pi},PlotStyle->{GrayLeve1[0],GrayLeve1[0.5]},AspectRatio->1]例 1.4 将函数x y ,sin =数的图形间的关系.输入命令p1=Plot[ArcSin[x],{x,-1,1}];p2=Plot[Sin[x],{x,-Pi/2,Pi/2},PlotStyle->GrayLeve1[0.5]]; px=Plot[x,{x,-Pi/2,Pi/2},PlotStyle->Dashing[{0.01}]];Show[p1,p2,px,PlotRange->{{-Pi/2,Pi/2},{-Pi/2,Pi/2}},AspectRatio->1]注 Show[…]命令把称为p1,p2和px 的三个图形叠加在一起显示. 选项PlotStyle->Dashing[{0.01}]使曲线的线型是虚线.例1.5 (教材例1.1) 给定函数24325555)(x x x x x x f +++++=(a) 画出)(x f 在区间]4,4[-上的图形;(b) 画出区间]4,4[-上)(x f 与)()sin(x f x 的图形. 输入命令f[x_]=(5+x^2+x^3+x^4)/(5+5x+5x^2);g1=Plot[f[x],{x,-4,4},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]];则输出)(x f 在区间]4,4[-上的图形.输入命令g2=Plot[Sin[x]f[x],{x,-4,4},PlotStyle->RGBColor[0,1,0]]; Show[g1,g2];则输出区间]4,4[-上)(x f 与)()sin(x f x 的图形.注: Show[…]命令把称为例1.6 在区间]1,1[-画出函数xy 1sin=的图形. 输入命令Plot[Sin[1/x],{x,-1,1}];则输出所求图形，从图中可以看到函数x y 1sin=在0=x 附近来回震荡.二维参数方程作图例1.7 作出以参数方程)20(sin ,cos 2π≤≤==t t y t x 所表示的曲线的图形. 输入命令ParametricPlot[{2 Cos[t],Sin[t]},{t,0,2 Pi},AspectRatio->Automatic]则可以观察到这是一个椭圆.注在ParametricPlot 命令中选项AspectRatio->Automatic 与选项AspectRatio->1是等效的.例 1.8分别作出星形线)20(s i n 2,c o s233π≤≤==t t y t x 和摆线),sin (2t t x -= )40)(cos 1(2π≤≤-=t t y 的图形.输入命令ParametricPlot[{2 Cos[t]^3,2 Sin[t]^3},{t,0,2 Pi},AspectRatio->Automatic] ParametricPlot[{2*(t-Sin[t]),2*(1-Cos[t])},{t,0,4 Pi},AspectRatio->Automatic]则可以分别得到星形线和摆线的图形.例1.9 画出参数方程⎩⎨⎧==tt t y tt t x 3cos sin )(5cos cos )(的图形：输入命令ParametricPlot[{Cos[5 t]Cos[t],Sin[t]Cos[3t]},{t,0,Pi}, AspectRatio->Automatic];则分别输出所求图形.例1.10 (教材例1.2) 画出以下参数方程的图形.(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫⎝⎛-=tt t y tt t x sin 7511sin 5)(cos 7511cos 5)( (2) ⎩⎨⎧-+=-+=t t t t y t t t t x sin )4cos 2sin 1()(cos )4cos 2sin 1()(分别输入以下命令:ParametricPlot[{5Cos[-11/5t]+7Cos[t],5Sin[-11/5t]+7Sin[t]},{t,0,10Pi},AspectRatio->Automatic];ParametricPlot[(1+Sin[t]-2 Cos[4*t])*{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2*Pi},AspectRatio->Automatic,Axes->None]; 则分别输出所求图形.例1.11 作出极坐标方程为)cos 1(2t r -=的曲线的图形.曲线用极坐标方程表示时, 容易将其转化为参数方程. 故也可用命令ParametricPlot[…]来作极坐标方程表示的图形.输入命令r[t_]=2*(1-Cos[t]);ParametricPlot[{r[t]*Cos[t],r[t]*Sin[t]},{t,0,2 Pi},AspectRatio->1]可以观察到一条心脏线.极坐标方程作图例1.12 (教材例1.3) 作出极坐标方程为10/t e r =的对数螺线的图形.输入命令<<Graphics`执行以后再输入PolarPlot[Exp[t/10],{t,0,6 Pi}]则输出为对数螺线的图形.隐函数作图例1.13 (教材例1.4) 作出由方程xy y x 333=+所确定的隐函数的图形(笛卡儿叶形线). 输入命令<<Graphics\ImplicitPlot.m执行以后再输入ImplicitPlot[x^3+y^3==3x*y,{x,-3,3}]输出为笛卡儿叶形线的图形.分段函数作图例1.14 分别作出取整函数][x y =和函数][x x y -=的图形. 输入命令Plot[Floor[x],{x,-4,4}]可以观察到取整函数][x y =的图形是一条阶梯形曲线.输入命令Plot[x-Floor[x],{x,-4,4}]得到函数][x xy -=的图形, 这是锯齿形曲线（注意: 它是周期为1的周期函数.）例1.15 作出符号函数x y sgn =的图形. 输入命令Plot[Sign[x],{x,-2,2}]就得到符号函数的图形. 点0=x 是它的跳跃间断点.g[x_]: = -1/; x<0; g[x_]: = 0/; x=0; g[x_]: = 1/; x>0; Plot[g[x],{x,-2,2}]便得到上面符号函数的图形. 其中组合符号“/；”的后面给出前面表达式的适用条件例1.16 (教材例1.5) 作出分段函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=0,,0,cos )(x e x x x h x 的图形.输入命令h[x_]:=Which[x<=0,Cos[x],x>0,Exp[x]] Plot[h[x],{x,-4,4}]则输出所求图形.注:一般分段函数也可在组合符号“/;”的后面来给出前面表达式的适用条件.例1.17 (教材例1.6) 作出分段函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(2x x xx x f 的图形. 输入命令f[x_]:=x^2Sin[1/x]/;x!=0;f[x_]:=0/; x=0;Plot[f[x],{x,-1,1}];则输出所求图形.函数性质的研究例1.18 研究函数)3(log 3)(35x e x x f x -++=在区间]2,2[-上图形的特征. 输入命令Plot[x^5+3E^x+Log[3,3-x],{x,-2,2}];则输出所求图形. 由图形容易看出, 从左到右, 图形渐渐上升. 因而是增函数.例1.19 判断函数x x x f ππ2cos 2sin )(+=是否为周期函数.任选一个较大的范围, 如取]4,4[-, 在此区间上画出函数)(x f 的图形如图所示.Plot[Sin[2Pi x]+Cos[2Pi x],{x,-4,4}];可以看出函数的图形以某一宽度以单位重复出现.例 1.20 判断函数133)(23+++==x x x x f y 的反函数的存在性. 若存在, 求反函数的表达式, 并画出起图形.先解方程,13323+++=x x x y 求x . 输入命令Solve[y==x^3+3x^2+3x+1,x]; 因此, 所求反函数为.13x y +-= 再输入命令Plot[-1+x^(1/3),{x,-3,3}];则输出反函数在区间]3,3[-内的图形.注：若一个函数满足: 一个y 对应着一个x , 则其反函数一定存在,且在表达式中将y 换成常量求解x , 即将所的表达式中y 换成x , x 换成y 即得到反函数的表达式.作函数图形的动画例1.21 制作函数cx sin 的图形动画, 观察参数c 对函数图形的影响. 输入命令.Do[Plot[Sin[c x],{x,-Pi,Pi},PlotRange->{-1,1}],{c,1,4,1/3}];则输出图形动画.例1.22 (教材例1.7) 作出函数cx x x f sin )(2+=的图形动画,观察参数c 对函数图形的影响. 输入命令Do[Plot[x^2+Sin[c x],{x,-3,3},PlotRange->{-1,5}],{c,1,5,1/3}];则输出所求动画图形.实验习题1. 把正切函数x tan 和反正切函数x arctan 的图形及其水平渐近线2/,2/ππ=-=y y 和直线 x y =用不同的线型画在同一个坐标系内.2. 作出双曲正切函数x tanh 的图形.3. 输入以下命令Plot[{Sin[x],Sin[2 x],Sin[3 x]},{x,0,2 Pi}, PlotStyle->{RGBColor[1,0,0], RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]}]理解选项的含义.4. 为观察复合函数的情况,分别输入以下命令:Plot[Sqrt[1+x^2],{x,-6,6},PlotStyle->{Dashing[{0.02,0.01}]}] Plot[Sin[Cos[Sin[x]]],{x,-Pi,Pi}]Plot[Sin[Tan[x]]-Tan[Sin[x]]/x^2,{x,-5,5}] Plot[{E^x,ArcTan[x],E^ArcTan[x]},{x,-5,5}]5. 观察函数的叠加, 输入以下命令:a1=Plot[x,{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0]}]a2=Plot[2 Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[1,1,0]}] a3=Plot[x+2 Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}] Show[a1,a2,a3]6. 分别用ParametricPlot 和PolarPlot 两种命令, 作出五叶玫瑰线θ5sin 4=r 的图形.7. 用ImplicitPlot 命令作出椭圆322+=+xy y x 的图形.8. 选择以下命令的一部分输入, 欣赏和研究极坐标作图命令输出的图形.PolarPlot[Cos[t/2],{t,0,4 Pi}] PolarPlot[1-2 Sin[5 t],{t,0,2 Pi}] PolarPlot[Cos[t/4],{t,0,8 Pi}] PolarPlot[t*Cos[t],{t,0,8,Pi}] PolarPlot[t^(-3/2),{t,0,8 Pi}] PolarPlot[2 Cos[3 t],{t,0,Pi}] PolarPlot[1-2 Sin[t],{t,0,2 PI}] PolarPlot[4-3 Cos[t],{t,0,2 Pi}]PolarPlot[Sin[3 t]+Sin[2 t]^2,{t,0,2 Pi}] PolarPlot[3 Sin[2 t],{t,0,2 Pi}] PolarPlot[4 Sin[4 t],{t,0,2 Pi}]PolarPlot[Cos[2 t]+Cos[4 t]^2,{t,0,2 Pi}] PolarPlot[Cos[2 t]+Cos[3 t]^2,{t,0,2 Pi}]PolarPlot[Cos[4 t]+Cos[4 t]^2,{t,0,2 Pi},PlotRange->All]实验2 极限与连续（基础实验）实验目的通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用 Mathematica 画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.基本命令1.画散点图的命令ListPlot:ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…{xn,yn}},选项]或者ListPlot[{y1,y2,…yn},选项]前一形式的命令,在坐标平面上绘制点列),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 的散点图;后一形式的命令, 默认自变量i x 依次取正整数,,,2,1n 作出点列为),(,),,2(),,1(21n y n y y 的散点图. 命令ListPlot 的选项主要有两个:(1) PlotJoined->True, 要求用折线将散点连接起来; (2) PlotStyle->PointSize[0.02], 表示散点的大小. 2.产生集合或者数表的命令Table:命令Table 产生一个数表或者一个集合. 例如, 输入Table[j^2,{j,1,6}]则产生前6个正整数的平方组成的数表{1,4,9,16,25,36}.3.连加求和的命令Sum:命令Sum 大致相当于求和的数学符号∑. 例如, 输入Sum[1/i,{i,100}]//N执行后得到1001312111++++ 的近似值.与Sum 类似的还有连乘求积的命令Product. 4. 求函数多次自复合的命令Nest: 例如, 输入Nest[Sin,x,3]则输出将正弦函数自己复合3次的函数Sin[Sin[Sin[x]]]5.求极限的命令Limit: 其基本格式为Limit[f[x],x->a]其中f(x)是数列或者函数的表达式, x->a 是自变量的变化趋势. 如果自变量趋向于无穷, 用 x->Infinity.对于单侧极限, 通过命令Limit 的选项Direction 表示自变量的变化方向. 求右极限, 0+→a x 时, 用Limit[f[x],x->a,Direction->-1]; 求左极限, 0-→a x 时, 用Limit[f[x],x->a,Direction->+1]; 求+∞→x 时的极限, 用Limit[f[x],x->Infinity,Direction->+1]; 求-∞→x 时的极限, 用Limit[f[x],x->Infinity,Direction->-1]。

一元函数积分学及其应用实验总结与反思

一元函数积分学及其应用实验总结与反思
一元函数积分学是微积分的重要分支，它研究的是函数的积分、面积、弧长等概念和性质。

通过对函数的积分，我们可以得到函数的原函数，进一步求解曲线下的面积、曲线的弧长等问题，同时也可应用于物理、经济、工程等领域的实际问题中。

在进行一元函数积分学及其应用的实验过程中，我获得了以下总结和反思：
1. 实验准备要充分：在进行实验之前，我需要对相关的理论知识进行复习和准备，确保自己对一元函数积分学的基本概念和方法有清晰的理解。

同时，还需要准备好实验所需的材料和工具，确保实验可以顺利进行。

2. 实验过程要仔细：在进行实验过程中，我需要认真观察和记录实验现象，遵循实验操作规范，确保数据的准确性和可靠性。

同时，还需要注意实验环境的安全，避免实验过程中出现意外情况。

3. 实验结果要进行分析和总结：在实验结束后，我需要对实验结果进行仔细的分析和总结，找出规律和问题。

如果实验结果与理论知识不符，我需要思考可能的原因，并尝试解决问题。

同时，还可以通过实验结果对理论知识进行验证，加深对知识的理解。

4. 实验中的创新思维：在进行一元函数积分学及其应用的实验中，我也可以尝试一些创新思维，比如探索新的实验方法、设计新的实验方案等。

通过创新思维，我可以更好地理解和应用一元函数积分学的知识，提高自己的实践能力。

总的来说，一元函数积分学及其应用的实验是提高自己对知识理解和应用能力的重要途径。

通过认真准备、仔细实施和精确分析，我可以更好地掌握一元函数积分学的知识，并将其应用于实际问题中。

同时，也可以培养自己的创新思维和实践能力。

Mathematica实习四定积分以及相关应用问题

472 实习四定积分以及相关应用问题实习目的1.掌握用Mathematica 求定积分2.用定积分求面积、平面曲线的弧长和旋转体的体积。

实习准备1.定积分的运算在不定积分中加入积分的上下限便成为定积分(definite integral)。

Mathematica 的定积分命令和不定积分的命令相同，但必须指定积分变量的上下限。

(1) Integrate[f,{x,下限,上限}](2) ⎰dx x f b a )(例1 计算定积分⎰-dx xx 151。

解 dx xx In 1:]1[51-=⎰ Out[1]=4-2ArcTan[2]和不定积分一样,除了我们指定的积分变量之外,其它所有符号都被作常数处理.例2 计算定积分⎰+dx e x a x 3220。

解 dx a xExp x In ]3[:]2[220+=⎰ 2726272]2[6aa e e Out ++-= 1 数值积分如果Mathematica 无法解出积分的符号表达式或者定积分的结果过于冗长而失去意义时，我们就可以用数值积分求解。

数值积分只能进行定积分的运算，即必须指定上、下限。

用Mathematica 求解数值积分有两种形式：(1) NIntegrate[f,{x,a,b}] x 从a 到b ，做)(x f 的数值积分。

(2) N[⎰dx x f b a )(] 求定积分表达式的数值例3 求定积分⎰dx x )sin(sin 30π。

解用Integrate 命令无法求)sin(sin x 的定积分，用NIntegrate 命令即可求得473其数值积分。

In[1]:=NIntegrate[Sin[Sin[x]],{x,0,Pi/3}]Out[1]=0.466185求定积分表达式的数值，也能得到与上式相同的结果。

]dx ]]Sin[Sin[N[:]2[In 3/0x Pi ⎰=Out[2]=0.466185例4 求定积分dx e x 210-⎰的近似值。

Mathematica数学入门教程【12】-积分

Mathematica数学入门教程【12】-积分
在本教程中可以学会在 Mathematica 下怎样用 Wolfram 语言来解决典型的数学问题, 从基本的算术计算到微积分, 涵盖了从 K12 到大学及其以后科学研究各个阶段内容.
通过学习本教程, 学生在数学的各个层次都可以掌握相关如何用Wolfram 语言进行计算, 绘制图形和制作演示文档, 以此来锻炼在未来职场中所需的计算思维和能力.
译自: FAST INTRODUCTION FOR MATH STUDENTS 英文教程
好了, 现在让我们在下一篇的Mathematica快速数学入门课堂再见. 这里感谢各位每一位看到这里的老师和朋友!
Thank You, Everyone! Happy Weekend!
图片设计: 新浪账号@神烦咕
本入门教程全部内容:
1 - 指令的输入
2 - 分数与小数
3 - 变量和函数
4 - 代数
5 - 2D绘图
6 - 几何绘图
7 - 三角学
8 - 极坐标
9 - 指数函数和对数
10 - 极限
11 - 微分
12 - 积分
13 - 序列
14 - 求和
15 - 级数
16 - 更多2D绘图
17 - 3D绘图
18 - 多元微积分
19 - 矢量分析和可视化
20 - 微分方程
21 - 复分析
22 - 矩阵和线性代数
23 - 离散数学
24 - 概率
25 - 统计
26 - 数据图和最佳拟合曲线
27 - 群论
28 - 数学智力题
29 - 互动模式
30 - 数学排版
31 - 笔记本文档
32 - 云部署。

实验库1：一元函数微分学5

1实验一一元函数微积分学实验5 抛射体的运动（综合实验）引言 Mathematica 可以被用来探索各种各样的可能性,从而能在给定的假设条件下模拟出所求数学问题的解.下面讨论的问题是关于抛射体的飞行的一个样本实验,具体在这里就是研究炮弹在没有空气阻力情况下的运动. 我们意图通过这样一个范例,让读者了解如何利用数学实验方法来探索一个数学问题的求解. 在你写实验报告时,一定要清楚地解释你做了什么以及为什么要这样做,同时逐步熟悉科学报告的写作方法.问题根据侦察,发现离我军大炮阵地水平距离10km 的前方有一敌军的坦克群正以每小时 50km 向我军阵地驶来,现欲发射炮弹摧毁敌军坦克群. 为在最短时间内有效摧毁敌军坦克,要求每门大炮都能进行精射击,这样问题就可简化为单门大炮对移动坦克的精确射击问题. 假设炮弹发射速度可控制在0.2km/s 至0.6km/s 之间,问应选择怎样的炮弹发射速度和怎样的发射角度可以最有效摧毁敌军坦克.说明假设不考虑空气阻力,则炮弹的运动轨迹由参数方程t a v t x )sin ()(=,221)cos ()(gt t a v t y -=给出,其中v 是炮弹发射的初速度,a 是炮弹的发射角,g 是重力加速度（9.8m/2s ）. 上面第一个方程描述炮弹在时刻t 的水平位置,而第二个方程描述炮弹在时刻t 的垂直位置.我们假设大炮位于坐标原点（0==y x ）,y 轴正向垂直向上,x 轴水平指向敌军坦克. 下面先利用Mathematica 绘图命令显示出炮弹运行的典型轨迹. 输入horiz[v_,a_,t_]:=v Cos[a Pi/180] tvert[v_,a_,t_]:=v Sin[a Pi/180] t-(1/2) g t^2g=9.8假定炮弹发射的初速度为0.25km/s, 发射角为 65,输入ParametricPlot[{horiz[250,65,t],vert[250,65,t]},{t,0,50},PlotRange->{0,5000},AxesLabel->{x,y}]得到炮弹运行轨迹的典型图形（图5-1）:2图5-1实验报告在上述假设下,进一步研究下列问题:(1) 选择一个初始速度和发射角,利用Mathematica 画出炮弹运行的轨迹.(2) 假定坦克在大炮前方10km 处静止不动,炮弹发射的初速度为0.32km/s,应选择什么样的发射角才能击中坦克？画出炮弹运行的几个轨迹图,通过实验数据和图形来说明你的结论的合理性.(3) 假定坦克在大炮前方10km 处静止不动,探索降低或调高炮弹发射的初速度的情况下,应如何选择炮弹的发射角？从上述讨论中总结出最合理有效的发射速度和发射角.(4) 在上题结论的基础上,继续探索,假定坦克在大炮前方10km 处以每小时50km 向大炮方向前进,此时应如何制定迅速摧毁敌军坦克的方案？实验6 一元函数积分学(基础实验)实验目的掌握用Mathematica 计算不定积分与定积分的方法. 通过作图和观察, 深入理解定积分的概念和思想方法. 初步了解定积分的近似计算方法. 理解变上限积分的概念. 提高应用定积分解决各种问题的能力.实验举例：1、用定义计算定积分当)(x f 在],[b a 上连续时, 有∑∑⎰=∞→-=∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=n k n n k n b a n a b k a f n a b n a b k a f n a b dx x f 110)(lim )(lim )( 因此可将 ∑-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-10)(n k n a b k a f nab 与 ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-n k n a b k a f n a b 1)( 作为⎰b adx x f )(的近似值. 为了下面计算的方便, 在例1.1中定义这两个近似值为b a f ,,和n 的函数.3例1.1 (教材例1.1) 计算⎰102dx x 的近似值.输入s1[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,0,n-1}]];s2[f_,{a_,b_},n_]:=N[(b-a)/n*Sum[f[a+k*(b-a)/n],{k,1,n}]];再输入Clear[f];f[x_]=x^2;js1=Table[{2^n,s1[f,{0,1},2^n],s2[f,{0,1},2^n]},{n,1,10}];TableForm[js1,TableHeadings->{None,{ "n", "s1", "s2"}}]则输出n s1 s22 0.125 0.6254 0.21875 0.468758 0.273438 0.39843816 0.302734 0.36523432 0.317871 0.34912164 0.325562 0.341187128 0.329437 0.33725256 0.331383 0.335289512 0.332357 0.3343111024 0.332845 0.333822这是⎰102dx x 的一系列近似值. 且有.21102s dx x s <<⎰例1.2 计算⎰10sin dx x x的近似值.输入Clear[g];g[x_]=Sin[x]/x;js2=Table[{n,s2[g,{0,1},n]},{n,3,50}]则得到定积分的一系列近似值:{{3,0.91687},{4,0.924697},{5,0.929226},…,{48,0.944421},{49,0.944455},{50,0.944488}}4 注：用这种方法(矩形法)得到的定积分的近似值随n 收敛很慢. 可以用梯形法或抛物线法改进收敛速度(见教材中的有关章节). 如果用Nintegrate 命令可以得到本题的比较精确的近似值为0.946083.例1.3 用定义求定积分⎰b a dx x 2的动画演示.输入Clear[f,x,a,b];f[x_]=x^2;a=0;b=1.5;m=0;g1=Plot[f[x],{x,a,b},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]},DisplayFunction->Identity];For[j=3,j<=50,j+=2,m=j;tt1={ };tt2={ };For[i=0,i<m,i++,x1=a+i*(b-a)/m;x2=x1+(b-a)/m;tt1=Append[tt1,Graphics[{RGBColor[0,0,1],Rectangle[{x1,0},{x2,f[x2]}]}]];tt2=Append[tt2,Graphics[{RGBColor[0,0,1],Rectangle[{x1,f[x1]},{x2,0}]}]]];Show[tt1,tt2,g1,DisplayFunction->$DisplayFunction,PlotLabel->m ''intervals '']]执行以上命令, 可得到一系列图形(共24幅), 如果观察动画, 只要选中24幅图形中的任一幅图形, 双击以后即可以形成动画. 当分割越来越细时, 观察小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的关系, 有助于理解定积分的概念及其几何意义。

04【实验三】--一元微积分2

【实验三】一元微积分【实验目的】通过实验，学习和掌握在Mathematica 系统下，观察、分析和计算一元函数的极限、导数，以及求一元函数极值的基本方法.【实验准备】一、观察函数的变化趋势观察函数的变化趋势可以采用下列两种方法： 1.当∞→x 时：首先在某一较小的区间内作出函数的图形，然后再逐次加大区间的范围，作出动画图形，观察函数的变化趋势.2.当0x x →时：在某一点附近取一小区间，作出函数在该区间上的图形，然后逐次缩小区间的范围，观察函数在该点的变化趋势.例1 观察函数x x x f sin 1)(2=，当∞→x 时的变化趋势. 解先取一个较小的区间，如[1，30]，作出函数在这一区间上的图形In[1]:= Plot1x 2Sin x ,x,1,30,AxesLabel x,yGraphics发现在区间[1，30]上函数逐渐趋近于0.下面逐次加大区间的范围，进行观察：分别取区间为[1，40]、…[1，100]…作出函数的图形 In[2]:= Plot1x 2Sin x ,x,1,40,AxesLabelx,yOut[2]:= Graphics………………In[3]:= Plot1x 2Sin x ,x,1,100,AxesLabel x,yGraphics………………从以上所作图形进行观察，得到结论：当∞→x 时，函数的极限趋向于0.制作函数x xx f sin 1)(2=在区间[1，100]内变化的动画图形，观察该函数的变化趋势.In[1]:= i 3;While i20,Plot1x 2Sin x ,x,1,5i ,PlotRange1,100,0.008,0.004;i输入以上程序后，执行运算可得一系列函数图形，选中包含所有图形的线框，即可播放动画图形.例2 观察函数xx x f 1)1()(+=，当0→x 时的变化趋势解取0x In[1]:= Plot 1x1x ,x,1,1,AxesLabelx,yOut[1]:= Graphics然后再取[-0.1，0.1]，[-0.01，0.01]，[-0.001，0.001]，分别在这些小区间上作出In[2]:= Plot 1x1x ,x,0.1,0.1,AxesLabelx,yOut[2]:= GraphicsIn[3]:= Plot 1x1x ,x,0.01,0.01,AxesLabelx,yOut[3]:= GraphicsIn[4]:= Plot 1x1x ,x,0.001,0.001,AxesLabelx,yOut[4]:= Graphics此时，图形已集中在纵坐标上的2.718与2.7185之间，如此继续下去，可以得出此范围会逐渐缩小至点2.71828…，因而得到e x xx =+→10)1(lim二、极限的计算例3 计算下列极限： (1)xxx 5sin 3sin lim0→；(2)在区间[-4，4]上作出函数x e y =的图形，并求x x e -→0lim 与x x e +→0lim . 解 (1)In[1]:= (2)In[2]:= Plotx,x,4,4,AxesLabelx,y ,PlotRange 0,10Out[2]:= ?Graphics ? In[3]:= Limit @Exp @x D ,x ?0,Direction ?-1DOut[3]:= 1In[4]:= Limit @Exp @x D,x ?0,Direction ?1DOut[4]:= 12.调用外部函数求极限求一个较复杂函数的极限，无法使用内部函数Lim it 求解，这就需要调用外部函数进行求解，具体步骤如下：(1)加载函数库``Limit Calculus <<； (2)运用Lim it 命令求极限.例4 求])11([lim 2n n n ne +-∞→解 In[1]:= <<Calculus`Limit` In[2]:= Limit @H 1+1?n L ^H n ^2L ?Exp @n D ,n ??D希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！Out[2]:=三、观察函数在某一点的变化率作出函数24)(x x x f +=在点5.10=x 处的割线向切线变化的动画图形. In[1]:= f x_:x^4x^2;x0 1.5;In[2]:= For i 1,i 200,i1.2,h 1i; Plot f x ,f 1.5f ' 1.5x 1.5,f 1.5f 1.5h f 1.5h x 1.5,x,1,3, AspectRatio 1,PlotRange1,3,0,60, PlotStyleRGBColor 1,0,1,RGBColor 0,1,0, RGBColor 1,0,0说明：(1)定义函数和给定的横坐标0x ；(2)函数)(x f 在点))(,(00x f x 的割线方程为)()()()(0000x x hx f h x f x f y --++=；切线方程是))(()(00/0x x x f x f y -+=.(3)播放动画，观察到当0→h 时，割线的极限即为函数在点0x 的切线. 四、导数与微分的计算 1.求函数)(x f y =的导数例5 求下列函数的导数 (1)5)1(x y -=，求/y ；(2) x e y x cos =，求//y 及)2(//πy ；(3)x x y )1(+=，求/y . 解 (1) In[1]:= D@H 1-x L ^5,xDOut[1]:= -5H 1-xL 4(2) In[2]:= u =D @e ^x *Cos @x D ,8x ,2<DOut[2]:= -e x Cos @x D +e x Cos @x D Log @eD 2-2e x Log @e D Sin @x DIn[3]:=? Out[3]:= -2e p ?2Log @e DIn[4]:=D1x ^x,xOut[4]:=H L J 2.计算参数方程所确定的导数对由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y y t x x 确定的函数)(x f y =的导数dtdxdt dy dx dy /=例 6 设)(x f y =是由参数方程πθθθ≤≤⎩⎨⎧==0,sin 2cos 2y x 所确定的函数，求dx dy 及1|=x dx dy的值.解 In[1]:=u =pD @8s =D @2Sin @q D ,q D ,r =D @2 Cos @q D ,q D <,s ?r DOut[1]:=pD 2Cos,2Sin,CotIn[2]:=u .Out[3]:=pD1,3,13.计算函数)(x f y =的微分例7 求函数x y 2sin 3=的微分.解 In[1]:=Dt Sin 2x ^3Out[1]:=6Cos 2x Dt x Sin 2x 24.计算由隐函数所确定的导数对隐函数方程0),(=y x F 所确定的导数)(x y y =，Mathematica 虽然没有提供隐函数的命令，但是我们可以通过下列方法完成计算过程：(1)定义函数，(2)求微分，(3)解方程.例8 已知122=+y x ，求/x y . 解 (1)In[1]:=fx^2y^21…………………定义函数Out[1]:=x 2y 21(2)In[2]:=dfDt f,x…………………………求微分Out[2]:=2x 2y Dt y,x0 (3)In[3]:=Solve df,Dt y,x ………………解方程Out[3]:=Dt y,xxy五、导数的应用——计算函数)(x f y =的极小值和极大值在Mathematica 系统中用m FindM inim u 命令求函数的极小值，格式如下：说明：1.在求函数极值时，首先要作出函数在某一区间的图形，通过图形观察函数在区间的不同区域内的大致极值点，然后用m FindM inim u 命令以这些点作为初始条件搜索函数在这一区间内的极值.2.Mathematica 没有提供m FindMaxim u 命令，如果想求出极大值，先将函数乘以1-，再用m FindM inim u 命令求出的极小值乘以1-得到极大值.例9 求函数x x ex f x +=-3sin 6)(42在]4,4[-内的极值.解首先定义函数)(x f ： In[1]:=f x_:6Expx 24Sin 3xx ;In[2]:=Plot f x ,x,4,4,AxesLabelx,yOut[2]:= ?Graphics ? 由于函数)(x f 有多个区域的极小值，因此改变初始值能求得函数在不同区域的极小值.下面利用m FindM inim u 命令求极小值，通过图形观察到初始值分别为82.-,50.-,51.-,3-. In[3]:=FindMinimum f x ,x,0.5Out[3]:=6.1282,x 0.514795在514795.0-=x 处有极小值 –6.1282In[4]:=FindMinimum f x ,x,1.8Out[4]:=1.86866,x1.46049在46049.1=x 处有极小值 –1.86866In[5]:=FindMinimum f x ,x,3 Out[5]:=3.70903,x2.57313在57313.2-=x 处有极小值 –3.70903 下面，求函数的极大值In[6]:=FindMinimum f x ,x,0.5Out[6]:=6.1282,x0.514795在514796.0=x 处有极大值 6.1282 In[7]:=FindMinimumf x ,x,2.5Out[7]:=3.70903,x2.57313在57313.2=x 处有极大值 3.70903 In[8]:=FindMinimum f x ,x, 1.5Out[8]:=1.86866,x1.46049在46049.1-=x 处有极大值 1.86866 六、积分的计算在Mathematica 系统中用Integrate 函数或用模板中的积分运算符号进行积分的计算，其例10 计算下列积分 (1)⎰dx xe x 2； (2)dx e x ⎰4； (3)⎰+∞∞-+21xdx .希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！解(1) In[1]:= Integrate x Exp x^2,x 或 In[1]:=?x *e x 2?xOut[1]:=x 22Out[1]:=x 22(2) In[2]:= Integrate Exp x ,x,0,4或 ?Out[2]:= 222或Out[2]:= 222(3) ?Out[3]:= p例11 计算下列积分的数值解 1.⎰+∞-0dx xe x； 2.dx xx⎰10sin . 解 In[1]:= NIntegrate x Expx ,x,0,Out[1]:= 1. In[2]:= NIntegrate Sin xx,x,0,1七、积分的应用——求函数曲线围成的面积问题例12 求以心脏线t t r cos 44)(+=的内部与圆6=r 的外部围成的面积. 解 (1)定义函数In[1]:= r1t_:44Cos t In[2]:= r2t_:6 (2)在同一坐标系下作出函数图形In[3]:= Graphics`Graphics`In[4]:= PolarPlot 44Cos t ,6,t,0,2,AxesLabelx,y ,PlotStyleRGBColor 1,0,0,RGBColor 0,0,1Graphics(3)求出交点坐标 In[5]:= Solve r1t r2t ,tOut[5]:=t3,t3(4)计算面积In[6]:= Integrate 12r1t2r2t2,t,3,3Out[6]:= 123638【实验问题】 1.连续利率的问题：若在银行开设了一个0a 元的存款帐户，银行每年会支付%r 的利息，则n 年后，存款总额0221)1()1()1(a r a r a r a n n n n +==+=+=-- .(1)若银行每月结算一次利息，每月利率为12r，n 年后的本息是多少？ (2)银行每天结算一次利息，每天利率为365r，n 年后的本息是多少？ (3)若银行每小时、每分钟、每秒钟，……结算一次利息呢？ (4)一般地，设银行每年结算m 次利息，每个结算周期的利率为mr，n 年后的本息之和为多少？当m 趋于无穷大时，结算周期变为无穷小，这意味着，银行连续不断地向顾客支付利息，这种存款方式称为连续复利结算.下面探讨在连续复利情况下，试计算n 年后的存款总额.设r 为年利率，银行每年结算m 次利息，每个结算周期的利率为mr，n 年后的存款总额为mn n mr a m b )1()(0+=. 以1元存款，年利率为%10，在10年后的存款总额为例. 首先定义a01;r0.10;n10b m_,n_,r_:a01r m ^m n①每年结算一次（1=m ） b 1,n,r 2.59374②每月结算一次)12(=mb 12,n,r 2.70704③每天结算一次（365=m ） b 365,n,r 2.71791④每小时结算一次（24365⨯=m ） b 36524,n,r 2.71827⑤每秒结算一次（360024365⨯⨯=m ）b 365243600,n,r 2.71828从计算结果可以看出，随着计算结果的增加，1元存款10年后的存款总额越来越接近e .由计算可知：1.01010)1.01()1.01()(mm mm m b +=+=当m 趋近于无穷大时e m m b mm m =+=∞→∞→1.010)1.01(lim )(lim一般地rn rnr mm mn m n m e a mr a m r a m b 000)1(lim )1(lim )(lim =+=+=∞→∞→∞→结论：连续结算方式下的n 年后存款额计算公式 rn n e a b 0=.2.除雪机除雪模型：有条10km 长的公路，由一台除雪机负责除雪.每当路面雪的平均厚度达到0.5m 时，除雪机开始工作.但是雪仍在下，路面雪的厚度在不断增加，除雪机的前进速度不会降低.当雪的厚度达到1.5m 时，除雪机将无法工作.问除雪机能否将整条公路的积雪清除？当然，这与降雪的速度有关，以下在一些合理的假设下进行讨论和计算.已知：在无雪的路面上除雪机的行驶速度为10m/s ；雪下了1小时，雪最大时路面积雪的厚度以0.1cm/s 的速度增加，前半小时雪越下越大，后半小时雪越下越小.假设：除雪机的速度v 随雪的厚度h 线性变化，利用已知条件可得)321(10h v -=.而h 是时间t 的函数，设前半小时)(t h '匀速增加而后半小时匀速减少，可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤='--36001800),18002(1018000,180010)(33t t t tt h （单位： m/s ）再积分得到ds s h t h t)()(0⎰'=注意：)(t h 也是分段函数. 下面利用Mathematica 计算先将分段函数合写成一个式子 In[1]:= h10.001s 1800UnitStep s UnitStep s 18002s 1800UnitStep s 1800UnitStep s3600;注：1h 是)(s h '，对它求定积分得到雪的厚度)(t h .In[2]:= h =?th1 ?s;In[3]:= v =10 H 1-2h ?3L ; In[4]:= h?.t ?1800 Out[4]:= 0.9 当s t 1800=时，雪的厚度是0.9m.In[5]:= h?.t ?3600 Out[5]:= 1.8 当s t 3600=时，雪的厚度是1.8m.除雪机从雪的厚度是0.5m 开始工作，直到雪的厚度是1.5m 时停止，以下求出它开始和停止的工作时间，再积分得到它前进的距离.In[6]:= FullSimplify @h ,t <1800DOut[6]:= 2.77778?10-7t 2In[7]:= Solve @%==0.5,tD希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！Out[7]:= 8t ?-1341.64<,8t ?1341.64<In[8]:= t0=t?.%@2D Out[8]:= 1341.64In[9]:= FullSimplify @h ,t >1800DOut[9]:= 2.77778?10-7H -6145.58+t L H -1054.42+t L In[10]:= Solve @%? 1.5,t DOut[10]:= 8t ?2560.77<,8t ?4639.23<In[11]:= t1=t?.%@1D Out[11]:= 2560.77 In[12]:=?t1v ?tOut[12]:= 3859.94说明：由于函数)(t h 是分段的，解方程的函数Solve 对它无能为力，只好分段求解. In[6]是通过有条件的化简，成功地得到当1800<t 时)(t h 的表达式.接下来，使用Solve函数求除雪机开始工作的时刻0t ，并从解集中提取出合理的答案.同样再得到除雪机停止工作的时刻1t ，最后In[12]求除雪机前进的距离，Out[12]表明除雪机只能清除大约4km 的积雪.【实验任务】一、计算下列极限 1. x x x 11lim0-+→；2.xx x x sin 2cos 1lim 0-→； 3.x x x 1)21(lim +→.二、求下列函数的导数及高阶导数 1.x x x y 2log 3lg 2ln +-=，求/y ； 2.x x y =，求/y ； 3.x x y 2sin 2=,求)10(y .三、已知)(x f y =由下列参数方程确定，求/y .希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！1.⎩⎨⎧=-=tt y t t x cos )sin 1(；2.⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x tt cos sin ，在2π=t 处. 四、已知)(x f y =由下列隐函数确定，求/y . 1.)(y x e xy +=； 2.y xe y -=1.五、求函数x x x y ln cos 2=在区间[1，20]内的极值. 六、计算下列积分 1.dx xx⎰2cos sin ；2.⎰ππ-222cos tdt ；3.dx x⎰+∞141.七、计算由曲线θ=cos 3r 及θ+=cos 1r 所围成图形的公共部分的面积.（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。

05实验五一元函数积分学

0.9457
500
0.9462
0.9459
注用这种方法（矩形法）得到的定积分的近似值随n收敛的很慢。可以利用梯形法或抛物线法改进收敛速度（quad命令就是利用抛物线法的）。
5.2.2 不定积分计算
【例3】求 x2(1x3)5dx。
输入: syms x int('x^2*(1-x^3)^5',x)
5.1.2数值积分命令
b

quad('f',a,b)命令是用辛普森法求定积分
似值。其形式为:
a
f ( x ) d x 的近
syms x
quad('f(x)',a,b)

例如求定积分
1
sin
x2dx
的近似值，可以输入:
0
syms x
quad('sin(x.^2)',0,1)
则输出为:
ans=
具体为: (1)int(f)求函数f关于syms定义的符号变量的不定积分; (2)int(f,v)求函数f关于变量v的不定积分; (3)int(f,a,b)求函数f关于syms定义的符号变量的从a到b
的定积分; (4)int(f,v,a,b)求函数f关于变量v的从a到b的定积分。
dx 0
输入: diff(int('w(x)',0,(cos(x))^2))
则得到输出: ans=-2*cos(x)*sin(x)*w(cos(x)^2)
即: 2cos(x)sin(x)w (cos2x)
注这里使用了复合函数求导公式。
5.2.5 定积分应用
【例12】求曲线 g(x)xsin2x(0x)与x轴所围成的图形

用Mathematica进行一元函数积分学实验的研究

４．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ在定积分上的应用
格式：Ｉｎｔｅｇｒａｔｅ［ｆ［ｘ］，，ａ，６）］直接从
模板上选取相应模块。
Ｖ＝ＰｉＩｎｔｅｒａｇｔｅ［１［ｘ］＇２，｛ｘ，０，ｌｌＪ
次性与有效性。如，针对管理人员、操作人
进、常抓不懈，不断开发教育培ｌＪ资源，不
Ｉｎｔｅｒａｇｔｅ［ｆｉｘ］，｛Ｘ，－￣ｍｉｔｙ，Ｉｎｉｆｎｉｔｙ｝］或直接从
交点坐标：（（ｘ０），【ｘ０），（ｘｌ｝）
输入：Ａ＝Ｉｎｔｅｇｒａｔｅ【ｇ［ｘ卜ｆ【ｘＪ，｛ｘ，０，１）】
输出：万
实验２求不定积分：Ｉｘａｒｃｔａｎｘｄｘ
输人：Ｉｎｔｅｇｒａｔｅ［ｘＡｒｃＴａｎ［ｘ］，ｘ】输出：一（ｘ／２）＋ＡｒｃＴａｎ［ｘ］／２＋１／２Ｘ２ＡｒｃＴａｎ［ｘ］２．用Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ求定积分格式：Ｉｎｔｅｇｒａｔｅ［／［］，｛，口，６｝】或直接从模板上选取相应模块。
直接从模板上选取相应模块。输入：ｔＩｘ＿］：＝ｘ
Ｐｌｏｔ［ｘ＇２，｛Ｘ，０，１｝，ＰｌｏｔＳｔｙｌｅ－－－￣｛Ｒｅｄ，
Ｔｈｉｃｋｎｅｓｓ［０．ｏｏ５１｝，Ｆｉｌｌｉｎｇ一＞Ａｘｉｓ１

Mathematic计算实习

计算实验课高等数学计算实验题目一、一元微积分部分：1．给定函数()2342555x x x f x x x +++=++(a )画出f (x )在区间[-4,4]上图形；与sin(x )f (x )的图形；Set ::write : Tag Times in 1.f x is Protected .More?Graphics )Graphics )2.做出分段函数()21sin ,00,0x x f x x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，的图形。

Set ::setrpt : Cannot assign to raw object 0in pattern 0 ;x_.More?SetDelayed ::write : Tag Times in 02.is Protected .More?Graphics3.求函数极限1lim 1x x x →∞⎛⎞+⎜⎟⎝⎠，并输出函数11x x ⎛⎞+⎜⎟⎝⎠的图形。

Set ::write : Tag Times in 3.f @x D is Protected .More?General ::stop : Further output of Plot ::plnr willbe suppressed during this calculation .More?Graphics 4.作函数sin x 及自复合函数的图形()()()5sin sin sin ,x L 144424443()()()10sin sin sin ,x L 144424443()()()30sin sin sin ,x L 144424443f(x)=Sin[x]Plot[Sin[x],{x,-4p ,4p }]Set ::write : Tag Times in f x is Protected .More?Graphicsf(x)=Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[x]]]]]Plot[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[x]]]]],{x,-4p ,4p }]Set ::write : Tag Times in f x is Protected .More?GraphicsGraphicsf(x)=Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[x]]]]]]]]]]Plot[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[x]]]]]]]]]],{x,-4p,4p} ]Syntax::noinfo:Input expression containsinsufficient information to interpret result.More?GraphicsSet::write:Tag Times in F x is Protected.More?GraphicsGraphicsf(x)=Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin [Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[x]]]]]]]]]]] ]]]]]]]]]]]]]]]]]]]Plot[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin [Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[x]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]]],{x,-4p,4p}]Syntax::noinfo:Input expression containsinsufficient information to interpret result.More?GraphicsSet::write:Tag Times in f x is Protected.More?in[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[Sin[x]]]]]]]]]]]]]]]]]] ]]]]]]]]]]]]Graphics5.求由方程2222210x xy y x y −++++−确定的隐函数的一阶、二阶导数。

实验五用Mathematica软件计算一元函数的积分解读

实验五用Mathematica 软件计算一元函数的积分实验目的:1. 掌握用Mathematica 软件作求不定积分和定积分语句和方法。

2. 熟悉软件在建模中应用实验准备：数学概念1. 不定积分2. 定积分实验过程与要求:教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。

实验的内容:一、利用Mathematica 软件包计算不定积分在Mathematica 系统中用Integrate 函数求函数的不定积分，基本格式为：Integrate [f [x ],x ]其中f [x ]是以x 为自变量的函数或表达式.实验求dx x x x )9arctan 2sin 4(3⎰-+-.解 In[1]:= Integrate[x ^3-4Sin[x ]+2ArcTan[x ]-9,x ]注意结果中省略了常数C .实验求dx xx x ⎰++cos 1sin . 解 In[2]:= Integrate[(x +Sin[x ])/(1+Cos[x ]),x ]课后实验用笔算和机算两种方法求下列各积分：（1）()⎰+dx x x 232 （2）⎰+dx x x 122 （3）⎰-dx x x 21arcsin （4）⎰+dx x x 21arctan （5）⎰+dx x x sin 43cos （6）⎰+-dx ee x x 1 （7）⎰xdx x 22cos sin （8）⎰+dx ee x x 12二、求定积分和广义积分在Mathematica 系统中定积分的计算也用Integrate 函数，基本格式为：Integrate [f [x ],{x ,a ,b }]其中表{x ,a ,b }中，x 为积分变量，a ,b 分别代表积分下限和上限，当b 为∞时，即为广义积分.实验求xdx x cos 102⎰.解 In[3]:= Integrate[(x ^2)Cos[x ],{x ,0,1}]实验求dx e x ⎰+∞-02.解 In[4]:= Integrate[Exp[-2x ],{x ,0,+Infinity}] Out[4]=12如果要得积分值的近似值，可将N 函数作用于上，对于某些已经被证明其原函数不能用初等函数来表示的积分也可直接用Nintegrate 求其数值解.实验求xdx x cos 102⎰的近似值.解 In[5]:= NIntegrate[(x ^2)Cos[x ],{x ,0,1}]Out[5]=0.239134实验求dx xx ⎰10sin 的数值解. 解 In[6]:= NIntegrate[Sin[x ]/x ,{x ,0,1}] Out[6]=0.946083实验三、应用实验本实验研究转售机器的最佳时间问题人们使用机器从事生产是为获得更大的利润。

Mathematica7.0计算一元函数微积分

Ａｂｔｃ：ｈａｃｌｓｈｓｌｎｅｎａｍｐｒａｔｕｉｏｅｈｇｅｔｅｔｓｔａｈｎ．ＩｈｔｄｆｓｔＴｅｃｌｕｕａｏｇｂｅｎｉｏｔｎｎｔｆｔｉｈｒｍａｈｍａｉｅｃｉｇｎｔｅｓｕｙｏ瑚Ｉｈｃ
（宁机电职业技术学院，辽宁辽丹东１８０）１０９
摘
要：积分是高等数学教学的重要单元，生在学习微积分时会接触大量的导数方程、分和相关演算等微学积
知识，解起来难度很大。文章列举Ｍａｈｍｔａ软件中对微积分的应用，过这些应用可以解决学生学习数学时遇理ｔｅａｉｃ通
作者简介：琳琳（９０）男，宁丹东人。讲师，究方向：用数学、朱１８一，辽研应数学建模。
２８
朱琳琳
例９输入ＰｌＰ０［Ｃｓｔ｛，，Ｐ｝：ｏａｌｔｏ［】ｔ０２ｉｒ２２，】输出图４：
［］济大学数学组．等数学（版）．京：３同高第６［北Ｍ】高等教育出版社，０７２０．［］．．ｎｒ．４ＡＤＡｄｅ用Ｍａｅａｃ做微积分实验［．京：ｔｍｔａｈｉＭ】北清华大术学院学报第１１卷
双月刊
第４期
２１０２年７月
ｄｉ３６６ｉｎ１７ — １Ｘ２１．．８ｏ：１９９．ｓ．１９４．２００１．ｓ６０４２

一元函数的不定积分与定积分

基础实验：
1.求下列函数的一个原函数
1) a sin x
ln( x 1) 2) x 1
3) x arctan x
2
4)
1 sin 2 x cos 2 x
2. 计算下列定积分
1) (3x 2 x 1)dx
2 2
4
2)
e
1
1 ln x dx x
3) x 1dx
0
2
1 x 1x 4) (1 x )e dx 1/ 2 x
4
一元函数的不定积分与定积分
实验目的： 1.加深理解积分理论中分割、近似、求和、取极限的思想方法． 2.学习求积分的命令Integrate与NIntegrate． 3.熟悉Mathematica软件在积分运算的重要作用．
实验准备：
一.数学概念： 1. 不定积分； 2. 定积分； 3. 变限积分；二.数学命令与功能： 1. Integrate[ f[x], x] 功能：计算函数f(x)的一个原函数。 2. Integrate[ f[x], { x, a, b }] 功能：计算函数f(x)在区间[a,b]上的定积分值。
2
3. 求下列变限积分对x的导数
1) sin t dt
2 a
x
2)
x2
x
a tdt
3)
sin x
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f (t 2)dt
4. 求
1
1 1 1 2 2 32 5 11
1
和的近似值与精确值．
5. 计算积分
sin sin xdx
0
探索实验：
1. 模拟定积分的近似计算方法：定积分的基本思想是a.化整为零； b.以常代变；c.积零为整；d. 取极限。

mathematica 积分过程

mathematica 积分过程【最新版】目录1.Mathematica 简介2.积分的概念与方法3.Mathematica 进行积分的过程4.示例：使用 Mathematica 计算积分5.总结正文【1.Mathematica 简介】Mathematica 是一款强大的数学软件，由沃尔夫冈·克莱因（Wolfram Research）开发，广泛应用于科学、工程和教育等领域。

Mathematica 可以帮助用户解决各种数学问题，包括微积分、线性代数、概率论等。

【2.积分的概念与方法】积分是微积分中的一种重要运算，表示求解一个函数在某一区间上的累积量。

积分的方法有多种，如不定积分、定积分等。

【3.Mathematica 进行积分的过程】使用 Mathematica 进行积分的过程相对简单。

首先，打开Mathematica 软件，输入需要积分的函数表达式；然后，使用积分函数（如Integrate）进行计算；最后，Mathematica 会自动给出积分结果。

【4.示例：使用 Mathematica 计算积分】假设我们要计算函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 1] 上的定积分，可以使用以下步骤：1.打开 Mathematica 软件，输入函数表达式：f[x] = x^22.输入积分函数：Integrate[f[x], {x, 0, 1}]3.Mathematica 自动计算结果：2/3【5.总结】Mathematica 作为一款强大的数学软件，在解决积分问题方面具有很高的效率和准确性。

通过简单易用的操作界面，用户可以轻松地完成各种积分计算。

一元微积分的编程实现

2.2实验2 一元微积分的编程实现【实验目的与要求】实验目的：熟悉用Mathematic进行一元微积分计算的编程方法。

先修内容：第一篇计算机数学第1章极限与连续和第2章微分与积分。

实验要求：掌握数学表达式的正确书写格式；熟悉Mathematic有关一元微积分的常用命令、常用数学函数。

【实验原理】Mathematic的基本语法、数学表达式的正确书写格式；有关一元微积分的常用命令、常用数学函数。

【实验步骤】2.2.1实验内容1 极限Mathematica计算极限的命令是Limit它的使用方法主要有表2.2.1种的一些命令。

表2.2.1极限的主要命令及说明Limit[expr,x →x0,Direction →-1] 当x 趋向于x0时求expr 的右极限Infinity 无穷大趋向的点可以是常数，也可以是+∞，-∞ 。

注意Mathemica 没有区分∞和+∞，求x →∞时的极限要小心。

下面就具体操作几个运行极限的Mathemica 程序。

1．求632lim 2-+∞→x x x利用Limit[expr,x → Infinity]命令，计算∞→x lim expr ；再将表达式expr 转化成 6322-+x x ，其中Sqrt[x^2+2]是指22+x 。

具体运行程序参见图2.2.1。

图2.2.1运行632lim2-+∞→x x x 的Mathemica 程序2．求220sin lim xxx → 利用Limit[expr,x →0]命令，计算0lim →x expr ；再将表达式expr 转化成22sin x x ，其中Sin[x]^2是指sin 2x 。

具体运行程序参见图2.2.2。

图2.2.2运行220sin lim xxx →的Mathemica 程序3．求x x ln lim 0+→利用Limit[expr,x →0,Direction →-1]命令，计算+→0lim x expr ；再将表达式expr 转化成lnx ，其中Log[x]是指lnx 。

数学实验报告实验五一元函数积分

数学与统计学院实验报告实验项目名称所属课程名称实验类型实验日期班级学号姓名成绩附录1：源程序x 34Log3x54Log1xx4 3218x4Log x14x4Log x2ArcTan32Tan x625Sinh355 3239120023ArcTan35523ArcTan33910.1x2If Re x20Im x20, 0.0999445SinIntegral 1.x20.1x2,Integrate Sin0.1t0.1x20.1t0.1x2,t,0,1,Assumptions Re x20Im x2032Erf411428Erf22Erfi4114428附录2：实验报告填写说明1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。

2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。

3．实验原理：简要说明本实验项目所涉及的理论知识。

4．实验环境：实验用的软、硬件环境。

5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。

概括整个实验过程。

对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。

对于设计性和综合性实验，在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字说明。

对于创新性实验，应注明其创新点、特色。

6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析）：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记录、数据和相应的分析。

7．实验结论（结果）：根据实验过程中得到的结果，做出结论。

8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。

9．指导教师评语及成绩：指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。

mathematic计算积分

mathematic计算积分数学是一门研究数量、结构、变化以及空间的学科，其中一个重要的分支就是数学分析。

数学分析是研究函数、极限、连续性和积分等概念以及它们之间的关系的学科。

而本文将聚焦于其中的积分这一概念，并探讨一些与积分相关的内容。

一、积分的概念积分是微积分学中的重要概念，它是对函数的一个整体特征的描述。

在数学上，通过对函数的积分，我们可以计算出曲线下的面积、函数的平均值、函数的变化率等等。

积分的符号通常用∫来表示，例如∫f(x)dx表示对函数f(x)进行积分。

二、定积分与不定积分在积分的概念中，有两种常见的形式，分别是定积分和不定积分。

定积分是对函数在一定区间内的积分，通常表示为∫a^b f(x)dx，其中a和b分别是积分的下限和上限。

而不定积分则是对函数的积分而不指定具体的区间，通常表示为∫f(x)dx。

三、积分的基本性质积分具有一些重要的性质，例如线性性质、可加性、换元法等。

线性性质指的是对于任意的常数c和函数f(x)、g(x)，有∫(cf(x)+g(x))dx = c∫f(x)dx + ∫g(x)dx。

可加性指的是对于函数f(x)和g(x)，有∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx。

换元法是一种常用的积分计算方法，通过变量替换来简化积分的计算。

四、积分的应用领域积分在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用。

以物理学为例，积分可以用来计算物体的质量、体积、功、能量等。

在经济学中，积分可以用来计算消费曲线下的总消费量、生产曲线下的总生产量等。

在工程学中，积分可以用来计算电流、电压、力等。

五、积分的计算方法对于一些简单的函数，我们可以直接使用积分的定义进行计算。

但是对于一些复杂的函数，我们可以使用一些特定的积分计算方法，如换元法、分部积分法、三角函数积分法等。

这些方法可以帮助我们简化积分的计算过程，提高计算效率。

六、积分的意义与应用举例积分的意义不仅仅是计算曲线下的面积或求函数的平均值，它还可以用来解决实际问题。

Mathematica数学实验——一元函数图象的绘制

教师指导实验4实验名称：一元函数图象的绘制一、问题：绘制常见的一元初等函数的图象。

二、实验目的：学会使用Mathematica 进行函数图象的绘制，并对图形作简单的修饰。

三、预备知识：本实验所用的Mathematica 命令提示。

1、Plot[f(x),{x,a,b}] 绘制函数()f x 在区间[,]a b 上的图象2、Plot[{f 1(x),f 2(x)},{x,a,b}] 绘制函数12(),()f x f x 在区间[,]a b 上的图象3、图形修饰选项的介绍：AspectRatio （图形的高宽比设置）RGBColor （颜色设置） AxesLabel （坐标轴标记设置）GridLines （网格线设置）PlotStyle （图形的属性设置） PlotLabel （图形的标注设置）Thickness （图形的相对线宽设置）四、实验的内容和要求：1、在同一坐标系绘制函数sin y x =和cos y x =在[2,2]ππ-的图象，并作一定的修饰；2、分别绘制函数22()x f x e -=和()ln sin()f x x x x =+的图象并作一定的修饰。

五、操作提示1、在同一坐标系绘制函数sin y x =和cos y x =在[2,2]ππ-的图象，并作一定的修饰； Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,-2π,2π}]在同一坐标系绘制函数sin y x =和cos y x =在[2,2]ππ-的图象 Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,-2π,2π},AxesLabel->(“x ”,”y ”)]对坐标轴进行标记Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,-2π,2π},AxesLabel->(“x ”,”y ”),AspectRatio->1/(2π)]设定图形的高宽比为1:2πPlot[{Sin[x],Cos[x]},{x,-2π,2π},AxesLabel->(“x ”,”y ”),AspectRatio->1/(2π)PlotStyle->{{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.01]},{RGBColor[0,0,1], Thickness[0.01]}}]设定正弦线和余弦线的颜色分别为红色和蓝色，相对线宽均为0.01Plot[{Sin[x],Cos[x]},{x,-2π,2π},AxesLabel->(“x ”,”y ”),AspectRatio->1/(2π)PlotStyle->{{RGBColor[1,0,0], Thickness[0.01]},{RGBColor[0,0,1], Thickness[0.01]}},PlotPoints->50]规定绘图时取的最少点数50，增加图形的光滑度最终图形显示为2、分别绘制函数22()x f x e-=和()ln sin()f x x x x =+的图象并作一定的修饰。

数学实验-Mathematic应用实验

目录实验01 基本语法 (1)实验02 一元函数极限与导数运算 (8)实验03 一元函数微分学及其应用 (20)实验04 一元函数积分学及其应用 (33)实验05 绘制空间图形 (43)实验06 多元函数微分学 (61)实验07 多元函数积分学 (72)实验08 无穷级数及其应用 (82)实验09 常微分方程及其应用 (94)实验10 编程 (106)实验01 基本语法实验内容：Mathematica软件在数值计算、符号计算、编程方面的基本语法数据类型在Mathematic中，基本的数据类型有四种：整数、有理数、实数和复数。

整数与整数的计算结果是精确的整数或有理数。

例如2的100次方是一个31位的整数：ln[1]:=2^100Out[1]=1267650600228228229401496703205376有理数是由两个整数的比来组成如：In[2]:=12345/5555Out[2]=2469 1111实数有两种表示形式：(1)用数学表达式精确表示,例如：2(2)用浮点数近似表示，包括小数形式和指数形式。

例如：In[3]:=0.239998In[4]:=1.23*^12复数是由实部和虚部组成，实部和虚部可以用整数、实数、有理数表示。

用I表示虚数单位。

如：In[6]:=3+0.7I数值类型转换在Mathematica中的提供以下几个函数达到转换的目的：函数功能N[x] 将x转换成实数（有效位一般为6位）N[x,n] 将x转换成近似实数，精度为nRationalize[x] 给出x的有理数近似值Rationalize[x,dx] 给出x的有理数近似值，误差小于dx 举例:In[1]:=N[5/3,20]Out[1]=1.6666666666666666667In[2]:=Rationalize[%]Out[2]=5 3数学常数Mathematica定义了一些常见的数学常数，这些数学常数都是精确数。

常数意义Pi 表示π＝3.14159……E 自然对数的底e＝2.71828……Degree 1度，π/180弧度I 虚数单位iInfinity 无穷大∞数学常数表示精确值。