数学分析汇总表

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期中数学分析表

成绩统计
原有人数
参考
人数
总分
平均分
合格人数
合格率
优生人数
优秀率
低分人数
低分率
最高分
最低分
173
169
13291
80.6
151
89.3
61
36.1
10
4.7
100
3
答
卷
情
况
分
析
一．口算：学生计算能力不强，全队同学不多，大多同学会错一题至两题。
二．填空：四双手有40个手指该题错得较多，两个数都是5，积是25，商1错得较多。
三．比大小：学会因为粗心有部分题目做错，整体完成较好。
四．填符号：学会完成较好，但有部分粗心。
五．观察：有几个学生完全错误，但多数学生完成较好。
六．看图写算式：有学生写成2×6=12,12÷2=6
七．按要求画图：对惩罚意义的理解不透，学会的逆向思维较差，完成O的个数是三角形的3倍，这条题很差。
八．解决问题：用除法解决问题最差，（1/2题完成较差）提数学问题不懂格式。
3、试题总量：偏多（）；适中（√）；偏少（）
4、考试时间：适中（√）；偏多（）；偏少（）；您认为（50）分钟合适
5、难度评价：容易（）；较容易（）；适中（）；偏难（）；难（√）
改进意见：解决问题中的题目意思表述不清。第一小题：不应该在一大堆草莓上面还多画个草莓，这样导致学生数多一个草莓。第二小题：前面画了一辆面包车并注明限乘8人的图，后面就不需要再用文字解释，造成双重条件，扰乱学生思维。
答
卷
情
况
分
析教Βιβλιοθήκη 学改进措
施
1，要加强学生的审题能力，运用各种方法培养学生理解题意，加大训练量。

（完整版）最新数学分析知识点最全汇总

（完整版）最新数学分析知识点最全汇总第⼀章实数集与函数§1实数授课章节：第⼀章实数集与函数——§1实数教学⽬的：使学⽣掌握实数的基本性质．教学重点：(1)理解并熟练运⽤实数的有序性、稠密性和封闭性；(2)牢记并熟练运⽤实数绝对值的有关性质以及⼏个常见的不等式．（它们是分析论证的重要⼯具）教学难点：实数集的概念及其应⽤．教学⽅法：讲授．（部分内容⾃学）教学程序：引⾔上节课中，我们与⼤家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给⼤家介绍这门课程的主要内容．⾸先，从⼤家都较为熟悉的实数和函数开始．[问题]为什么从“实数”开始．答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这⾥的“函数”是定义在“实数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我们要先了解⼀下实数的有关性质．⼀、实数及其性质1、实数(,q p q p ?≠有理数:任何有理数都可以⽤分数形式为整数且q 0)表⽰，也可以⽤有限⼗进⼩数或⽆限⼗进⼩数来表⽰.⽆理数:⽤⽆限⼗进不循环⼩数表⽰.{}|R x x =为实数--全体实数的集合．[问题]有理数与⽆理数的表⽰不统⼀，这对统⼀讨论实数是不利的．为以下讨论的需要，我们把“有限⼩数”（包括整数）也表⽰为“⽆限⼩数”．为此作如下规定：例： 2.001 2.0009999→L ；利⽤上述规定，任何实数都可⽤⼀个确定的⽆限⼩数来表⽰．在此规定下，如何⽐较实数的⼤⼩？2、两实数⼤⼩的⽐较1）定义1给定两个⾮负实数01.n x a a a =L L ，01.n y b b b =L L . 其中3 2.99992.001 2.0099993 2.9999→-→--→-L L L ；；00,a b 为⾮负整数，,k k a b (1,2,)k =L 为整数，09,09k k a b ≤≤≤≤．若有,0,1,2,k k a b k ==L ，则称x 与y 相等，记为x y =；若00a b >或存在⾮负整数l ，使得,0,1,2,,k k a b k l ==L ，⽽11l l a b ++>，则称x ⼤于y 或y ⼩于x ，分别记为x y >或y x <．对于负实数x 、y ，若按上述规定分别有x y -=-或x y ->-，则分别称为x y =与x y <（或y x >）．规定：任何⾮负实数⼤于任何负实数．2）实数⽐较⼤⼩的等价条件（通过有限⼩数来⽐较）．定义2（不⾜近似与过剩近似）：01.n x a a a =L L 为⾮负实数，称有理数01.n n x a a a =L 为实数x 的n 位不⾜近似；110n n n x x =+称为实数x 的n 位过剩近似，0,1,2,n =L .对于负实数01.n x a a a =-L L ，其n 位不⾜近似011.10n n n x a a a =--L ；n 位过剩近似01.n n x a a a =-L .注：实数x 的不⾜近似n x 当n 增⼤时不减，即有012x x x ≤≤≤L ；过剩近似n x 当n 增⼤时不增，即有012x x x ≥≥≥L ．命题：记01.n x a a a =L L ，01.n y b b b =L L 为两个实数，则x y >的等价条件是：存在⾮负整数n ，使n n x y >（其中n x 为x 的n 位不⾜近似，n y 为y 的n 位过剩近似）．命题应⽤例1．设,x y 为实数，x y <，证明存在有理数r ，满⾜x r y <<．证明：由x y <，知：存在⾮负整数n ，使得n n x y <．令()12n n r x y =+，则r 为有理数，且n n x x r y y ≤<<≤．即x r y <<．3、实数常⽤性质（详见附录Ⅱ．289302P P -）．1）封闭性（实数集R 对,,,+-?÷）四则运算是封闭的．即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍是实数．2）有序性：,a b R ?∈，关系,,a b a b a b <>=，三者必居其⼀，也只居其⼀.3）传递性：a b c R ?∈，，，,a b b c a c >>>若，则．4）阿基⽶德性：,,0a b R b a n N ?∈>>??∈使得na b >．5）稠密性：两个不等的实数之间总有另⼀个实数．6）⼀⼀对应关系：实数集R 与数轴上的点有着⼀⼀对应关系．例2．设,a b R ?∈，证明：若对任何正数ε，有a b ε<+，则a b ≤．（提⽰：反证法．利⽤“有序性”，取a b ε=-）⼆、绝对值与不等式1、绝对值的定义实数a 的绝对值的定义为,0||0a a a a a ≥?=?-从数轴看，数a 的绝对值||a 就是点a 到原点的距离．||x a -表⽰就是数轴上点x 与a 之间的距离．3、性质1）||||0;||00a a a a =-≥=?=（⾮负性）；2）||||a a a -≤≤；3）||a h h a h ；4）对任何,a b R ∈有||||||||||a b a b a b -≤±≤+（三⾓不等式）； 5）||||||ab a b =?；6）||||a ab b =（0b ≠）．三、⼏个重要不等式1、,222ab b a ≥+ .1 sin ≤x . sin x x ≤2、均值不等式:对,,,,21+∈?R n a a a Λ记 ,1 )(121∑==+++=ni i n i a n n a a a a M Λ (算术平均值) ,)(1121nn i i n n i a a a a a G ???? ??==∏=Λ (⼏何平均值) .1111111)(1121∑∑====+++=n i i n i i n i a n a n a a a na H Λ (调和平均值)有平均值不等式:),( )( )(i i i a M a G a H ≤≤即：1212111n n a a a nna a a +++≤≤+++L L 等号当且仅当n a a a ===Λ21时成⽴.3、Bernoulli 不等式:(在中学已⽤数学归纳法证明过),1->?x 有不等式(1)1, .n x nx n +≥+∈N当1->x 且0≠x ,N ∈n 且2≥n 时,有严格不等式.1)1(nx x n +>+ 证：由01>+x 且>+++++=-++?≠+111)1(1)1( ,01Λn n x n x x ).1( )1( x n x n n n +=+>.1)1( nx x n +>+?4、利⽤⼆项展开式得到的不等式:对,0>?h 由⼆项展开式,!3)2)(1(!2)1(1)1(32n n h h n n n h n n nh h ++--+-++=+Λ有 >+n h )1( 上式右端任何⼀项.［练习］P4．5［课堂⼩结］：实数：⼀实数及其性质⼆绝对值与不等式. [作业]P4．1．(1)，2．(2)、(3)，3§2数集和确界原理授课章节：第⼀章实数集与函数——§2数集和确界原理教学⽬的：使学⽣掌握确界原理，建⽴起实数确界的清晰概念. 教学要求：(1)掌握邻域的概念；(2)理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运⽤.教学重点：确界的概念及其有关性质（确界原理）.教学难点：确界的定义及其应⽤.教学⽅法：讲授为主.教学程序：先通过练习形式复习上节课的内容，以检验学习效果，此后导⼊新课.引⾔上节课中我们对数学分析研究的关键问题作了简要讨论；此后⼜让⼤家⾃学了第⼀章§1实数的相关内容.下⾯，我们先来检验⼀下⾃学的效果如何！1、证明：对任何x R ∈有：(1)|1||2|1x x -+-≥；(2) |1||2||3|2x x x -+-+-≥. （111(2)12,121x x x x x -=+-≥--∴-+-≥Q （））（2121,231,23 2.x x x x x x -+-≥-+-≥-+-≥（）三式相加化简即可）2、证明：||||||x y x y -≤-.3、设,a b R ∈，证明：若对任何正数ε有a b ε+<，则a b ≤.4、设,,x y R x y ∈>，证明：存在有理数r 满⾜y r x <<.[引申]：①由题1可联想到什么样的结论呢？这样思考是做科研时的经常的思路之⼀.⽽不要做完就完了！⽽要多想想，能否具体问题引出⼀般的结论：⼀般的⽅法？②由上述⼏个⼩题可以体会出“⼤学数学”习题与中学的不同；理论性强，概念性强，推理有理有据，⽽⾮凭空想象；③课后未布置作业的习题要尽可能多做，以加深理解，语⾔应⽤.提请注意这种差别，尽快掌握本门课程的术语和⼯具.本节主要内容：1、先定义实数集R 中的两类主要的数集——区间与邻域；2、讨论有界集与⽆界集；3、由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.⼀、区间与邻域1、区间（⽤来表⽰变量的变化范围）设,a b R ∈且a b <.有限区间区间⽆限区间，其中{}{}{}{}|(,)|[,]|[,)|(,]x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b x R a x b a b ?∈<<=∈≤≤=∈≤<=∈<≤=开区间: 闭区间: 有限区间闭开区间:半开半闭区间开闭区间:{}{}{}{}{}|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x R x R ?∈≥=+∞?∈≤=-∞??∈>=+∞??∈<=-∞??∈-∞<<+∞=?⽆限区间2、邻域联想：“邻居”.字⾯意思：“邻近的区域”.与a 邻近的“区域”很多，到底哪⼀类是我们所要讲的“邻域”呢？就是“关于a 的对称区间”；如何⽤数学语⾔来表达呢？（1）a 的δ邻域：设,0a R δ∈>，满⾜不等式||x a δ-<的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域，记作(;)U a δ，或简记为()U a ，即 {}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+.其中a δ称为该邻域的中⼼，称为该邻域的半径.（2）点a 的空⼼δ邻域{}(;)0||(,)(,)()o o U a x x a a a a a U a δδδδ=<-<=-?+@.（3）a 的δ右邻域和点a 的空⼼δ右邻域{}{}00(;)[,)();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ++++=+=≤<+=+=<<+@@（4）点a 的δ左邻域和点a 的空⼼δ左邻域{}{}00(;)(,]();(;)(,)().U a a a U a x a x a U a a a U a x a x a δδδδδδ+---=-=-<≤=-=-<<@@（5）∞邻域，+∞邻域，-∞邻域{}()||,U x x M ∞=>（其中M 为充分⼤的正数）； {}(),U x x M +∞=>{}()U x x M -∞=<-⼆、有界集与⽆界集1、定义1（上、下界）：设S 为R 中的⼀个数集.若存在数()M L ，使得⼀切x S ∈都有()x M x L ≤≥，则称S 为有上（下）界的数集.数()M L 称为S 的上界（下界）；若数集S 既有上界，⼜有下界，则称S 为有界集.闭区间[],a b 、开区间b a b a ,( ),(为有限数）、邻域等都是有界数集，集合 {}) , ( ,sin ∞+∞-∈==x x y y E 也是有界数集.若数集S 不是有界集，则称S 为⽆界集.) , 0 ( , ) 0 , ( , ) , (∞+∞-∞+∞-等都是⽆界数集,集合∈==) 1 , 0 ( ,1 x xy y E 也是⽆界数集. 注：1）上（下）界若存在，不唯⼀；2）上（下）界与S 的关系如何？看下例：例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性.解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界1；但N +⽆上界.因为假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取[]0[]1n M M M =+（符号表⽰不超过的最⼤整数），则0n N +∈，且0n M >.综上所述知：N +是有下界⽆上界的数集，因⽽是⽆界集.例2证明：（1）任何有限区间都是有界集；（2）⽆限区间都是⽆界集；（3）由有限个数组成的数集是有界集.[问题]：若数集S 有上界，上界是唯⼀的吗？对下界呢？(答：不唯⼀，有⽆穷多个).三、确界与确界原理1、定义定义2（上确界）设S 是R 中的⼀个数集，若数η满⾜：(1) 对⼀切,x S ∈有x η≤（即η是S 的上界）; (2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>（即η是S 的上界中最⼩的⼀个），则称数η为数集S 的上确界，记作sup .S η=从定义中可以得出：上确界就是上界中的最⼩者.命题1sup M E = 充要条件1）,x E x M ?∈≤；2）00,,o x S x M εε?>?∈>-使得.证明：必要性，⽤反证法.设2）不成⽴，则00,,o x E x M εε?>?∈≤-使得均有，与M 是上界中最⼩的⼀个⽭盾.充分性（⽤反证法），设M 不是E 的上确界，即0M ?是上界，但0M M >.令00M M ε=->，由2），0x E ?∈，使得00x M M ε>-=，与0M 是E 的上界⽭盾.定义3（下确界）设S 是R 中的⼀个数集，若数ξ满⾜：（1）对⼀切,x S ∈有x ξ≥（即ξ是S 的下界）；（2）对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<（即ξ是S 的下界中最⼤的⼀个），则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=.从定义中可以得出：下确界就是下界中的最⼤者.命题2 inf S ξ=的充要条件：1）,x E x ξ?∈≥；2）ε?＞0，00,x S x ∈有＜.ξε+上确界与下确界统称为确界.例3（1）,) 1(1-+=n S n 则sup S = 1 ；inf S = 0 . （2）{}.),0( ,sin π∈==x x y y E 则sup S = 1 ；inf S = 0 . 注：⾮空有界数集的上（或下）确界是唯⼀的.命题3：设数集A 有上（下）确界，则这上（下）确界必是唯⼀的.证明：设sup A η=，sup A η'=且ηη'≠，则不妨设ηη'<A sup =η?A x ∈?有η≤xsup A η'=?对ηη'<，0x A ?∈使0x η<，⽭盾.例：sup 0R -= ，sup 11n Z n n +∈??= ?+??，1inf 12n Z n n +∈??= ?+?? {}5,0,3,9,11E =-则有inf 5E =-.开区间(),a b 与闭区间[],a b 有相同的上确界b 与下确界a例4设S 和A 是⾮空数集，且有.A S ?则有.inf inf ,sup sup A S A S ≤≥. 例5设A 和B 是⾮空数集.若对A x ∈?和,B y ∈?都有,y x ≤则有.inf sup B A ≤证明：,B y ∈?y 是A 的上界,.sup y A ≤?A sup ?是B 的下界,.inf sup B A ≤?例6A 和B 为⾮空数集,.B A S Y =试证明:{}. inf , inf m in inf B A S = 证明：,S x ∈?有A x ∈或,B x ∈由A inf 和B inf 分别是A 和B 的下界,有A x inf ≥或{}. inf , inf m in .infB A x B x ≥?≥即{} inf , inf m in B A 是数集S 的下界,{}. inf , inf m in inf B A S ≥?⼜S A S ,??的下界就是A 的下界,S inf 是S 的下界,S inf ?是A 的下界,;inf inf A S ≤?同理有.inf inf B S ≤于是有{} inf , inf m in inf B A S ≤.综上,有{} inf , inf m in inf B A S =.1. 数集与确界的关系:确界不⼀定属于原集合.以例3⑵为例做解释.2. 确界与最值的关系:设 E 为数集.（1）E 的最值必属于E ,但确界未必,确界是⼀种临界点.（2）⾮空有界数集必有确界(见下⾯的确界原理),但未必有最值.（3）若E max 存在,必有.sup max E E =对下确界有类似的结论.4. 确界原理:Th1.1(确界原理).设S ⾮空的数集.若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界.这⾥我们给⼀个可以接受的说明 ,E R E ?⾮空，E x ∈?，我们可以找到⼀个整数p ，使得p 不是E 上界，⽽1p +是E 的上界.然后我们遍查9.,,2.,1.p p p Λ和1+p ，我们可以找到⼀个0q ，900≤≤q ，使得0.q p 不是E 上界，)1.(0+q p 是E 上界，如果再找第⼆位⼩数1q ，,Λ如此下去，最后得到Λ210.q q q p ，它是⼀个实数，即为E 的上确界.证明：（书上对上确界的情况给出证明，下⾯讲对下确界的证明）不妨设S 中的元素都为⾮负数，则存在⾮负整数n ，使得1）S x ∈?，有n x >；2）存在S x ∈1，有1+≤n x ；把区间]1,(+n n 10等分，分点为n.1，ｎ.2，．．．,ｎ.9, 存在1n ，使得 1）S ∈?，有；1.n n x >；2）存在S x ∈2，使得10112.+≤n n x ．再对开区间111(.,.]10n n n n +10等分，同理存在2n ，使得1）对任何S x ∈，有21.n n n x >；2）存在2x ，使2101212.+≤n n n x 继续重复此步骤，知对任何Λ,2,1=k ，存在k n 使得1）对任何S x ∈，k k n n n n x 10121.->Λ；2）存在S x k ∈，k k n n n n x Λ21.≤．因此得到ΛΛk n n n n 21.=η．以下证明S inf =η．（ⅰ）对任意S x ∈，η>x ；（ⅱ）对任何ηα>，存在S x ∈'使x '>α．［作业］：P9 1（1），（2）； 2； 4（2）、（4）；７§3函数概念授课章节：第⼀章实数集与函数——§3 函数概念教学⽬的：使学⽣深刻理解函数概念.教学要求：（１）深刻理解函数的定义以及复合函数、反函数和初等函数的定义，熟悉函数的各种表⽰法；（２）牢记基本初等函数的定义、性质及其图象.会求初等函数的存在域，会分析初等函数的复合关系.教学重点：函数的概念.教学难点：初等函数复合关系的分析.教学⽅法：课堂讲授，辅以提问、练习、部分内容可⾃学.教学程序：引⾔关于函数概念，在中学数学中已有了初步的了解.为便于今后的学习，本节将对此作进⼀步讨论.⼀、函数的定义１．定义１设,D M R∈，，如果存在对应法则f，使对x D存在唯⼀的⼀个数y M∈与之对应，则称f是定义在数集D上的函数，记作→:f D M→ .|x y数集D称为函数f的定义域，x所对应的y，称为f在点x的函数值，记为()f D.f x.全体函数值的集合称为函数f的值域，记作()即{}==∈.()|(),f D y y f x x D２．⼏点说明（1）函数定义的记号中“:f D M→”表⽰按法则f建⽴D到M 的函数关系，|x y→表⽰这两个数集中元素之间的对应关系，也记作→.习惯上称x⾃变量，y为因变量.|()x f x（2）函数有三个要素，即定义域、对应法则和值域.当对应法则和定义域确定后，值域便⾃然确定下来.因此，函数的基本要素为两个：定义域和对应法则.所以函数也常表⽰为：(),y f x x D =∈. 由此，我们说两个函数相同，是指它们有相同的定义域和对应法则.例如：1）()1,,f x x R =∈ {}()1,\0.g x x R =∈（不相同，对应法则相同，定义域不同）2）()||,,x x x R ?=∈ 2(),.x x x R ψ=∈（相同，只是对应法则的表达形式不同）.（3）函数⽤公式法（解析法）表⽰时，函数的定义域常取使该运算式⼦有意义的⾃变量的全体，通常称为存在域（⾃然定义域）.此时，函数的记号中的定义域可省略不写，⽽只⽤对应法则f 来表⽰⼀个函数.即“函数()y f x =”或“函数f ”.（4）“映射”的观点来看，函数f 本质上是映射，对于a D ∈，()f a 称为映射f 下a 的象.a 称为()f a 的原象.（5）函数定义中，x D ?∈，只能有唯⼀的⼀个y 值与它对应，这样定义的函数称为“单值函数”，若对同⼀个x 值，可以对应多于⼀个y 值，则称这种函数为多值函数.本书中只讨论单值函数（简称函数）.⼆、函数的表⽰⽅法1 主要⽅法：解析法（公式法）、列表法（表格法）和图象法（图⽰法）.2 可⽤“特殊⽅法”来表⽰的函数.1）分段函数：在定义域的不同部分⽤不同的公式来表⽰.例如 1,0sgn 0,01,0x x x x >??==??-，（符号函数）（借助于sgnx 可表⽰()||,f x x =即()||sgn f x x x x ==）.2）⽤语⾔叙述的函数.（注意；以下函数不是分段函数）例１）[]y x =（取整函数）⽐如： [3.5]=3, [3]=3, [-3.5]=-4.常有 [][]1x x x ≤<+, 即[]01x x ≤-<.与此有关⼀个的函数[]{}y x x x =-@（⾮负⼩数函数）图形是⼀条⼤锯，画出图看⼀看.２）狄利克雷（Dirichlet ）函数1,()0,x D x x ?=??当为有理数,当为⽆理数,这是⼀个病态函数，很有⽤处，却⽆法画出它的图形.它是周期函数，但却没有最⼩周期，事实上任⼀有理数都是它的周期.３）黎曼（Riemman ）函数 1,(,,()0,0,1(0,1)p p x p q N q q q R x x +?=∈?=??=?当为既约分数),当和内的⽆理数.三函数的四则运算给定两个函数12,,,f x D g x D ∈∈，记12D D D =U ，并设D φ≠，定义f 与g 在D 上的和、差、积运算如下：()()(),F x f x g x x D=+∈；()()(),G x f x g x x D =-∈；()()(),H x f x g x x D =∈. 若在D 中除去使()0g x =的值，即令{}2\()0,D D x g x x D φ=≠∈≠g ，可在D g 上定义f 与g 的商运算如下；()(),()f x L x x Dg x =∈g . 注：１）若12D D D φ==U ，则f 与g 不能进⾏四则运算.２）为叙述⽅便，函数f 与g 的和、差、积、商常分别写为：,,,f f g f g fg g+-. 四、复合运算１．引⾔在有些实际问题中函数的⾃变量与因变量通过另外⼀些变量才建⽴起它们之间的对应关系.例：质量为m 的物体⾃由下落，速度为v ，则功率E 为2221122E mv E mg t v gt ?=??=??=?. 抽去该问题的实际意义，我们得到两个函数21(),2f v mv v gt ==，把()v t 代⼊f ，即得221(())2f v t mg t =. 这样得到函数的过程称为“函数复合”，所得到的函数称为“复合函数”.[问题] 任给两个函数都可以复合吗？考虑下例；2()arcsin ,[1,1],()2,y f u u u D u g x x x E R ==∈=-==+∈=.就不能复合，结合上例可见，复合的前提条件是“内函数”的值域与“外函数”的定义域的交集不空（从⽽引出下⾯定义）.2．定义（复合函数）设有两个函数(),,(),y f u u D u g x x E =∈=∈，{}()E x f x D E =∈g I ，若E φ≠g ，则对每⼀个x E ∈g ，通过g 对应D 内唯⼀⼀个值u ，⽽u ⼜通过f 对应唯⼀⼀个值y ，这就确定了⼀个定义在E g 上的函数，它以x 为⾃变量，y 因变量，记作(()),y f g x x E =∈g 或()(),y f g x x E =∈g o .简记为f g o .称为函数f 和g 的复合函数，并称f 为外函数，g 为内函数，u 为中间变量.3. 例⼦例 .1)( ,)(2x x g u u u f y -==== 求 ()[]).()(x g f x g f =ο并求定义域.例⑴._______________)( ,1)1(2=++=-x f x x x f⑵ .1122xx x x f +=??? ??+ 则) ( )(=x fA. ,2xB. ,12+xC. ,22-xD. .22+x例讨论函数()[0,)y f u u ==∈+∞与函数()u g x x R ==∈能否进⾏复合，求复合函数.4 说明１）复合函数可由多个函数相继复合⽽成.每次复合，都要验证能否进⾏？在哪个数集上进⾏？复合函数的最终定义域是什么？例如：2sin ,1y u u v x ===-，复合成：[1,1]y x =∈-.２）不仅要会复合，更要会分解.把⼀个函数分解成若⼲个简单函数，在分解时也要注意定义域的变化. ①2log (0,1)log ,1.a a y x y u u z x =∈→===-②2arcsin , 1.y y u u v x =→===+③2sin 222,,sin .x u y y u v v x =→===五、反函数１.引⾔在函数()y f x =中把x 叫做⾃变量，y 叫做因变量.但需要指出的是，⾃变量与因变量的地位并不是绝对的，⽽是相对的，例如：2()1,f u u t ==+ 那么u 对于f 来讲是⾃变量，但对t 来讲，u 是因变量.习惯上说函数()y f x =中x 是⾃变量，y 是因变量，是基于y 随x 的变化现时变化.但有时我们不仅要研究y 随x 的变化状况，也要研究x 随y 的变化的状况.对此，我们引⼊反函数的概念.２.反函数概念定义设→X f :R 是⼀函数，如果?1x ，X x ∈2, 由)()(2121x f x f x x ≠?≠(或由2121)()(x x x f x f =?=)，则称f 在X 上是 1-1 的.若Y X f →:，)(X f Y =，称f 为满的.若 Y X f →:是满的 1-1 的，则称f 为1-1对应.→X f :R 是1-1 的意味着)(x f y =对固定y ⾄多有⼀个解x ，Y X f →:是1-1 的意味着对Y y ∈，)(x f y =有且仅有⼀个解x .。

考研数学分析详解

考研数学分析详解当然，有的同学不考数学。

不考数学的请跳过这部分。

考数学的请注意，数学对你来说是最重要的科目。

首先大家应该知道，统考的数学包括数学一、数学二、数学三，相同的是满分都是150分，不同的是难度和考试范围以及适用专业。

适用专业请大家参照2018年学术型研究生考试科目（参见附录6），这里就不再赘述了。

考试范围方面，数学一中，高等数学占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%；数学二中，高等数学占78%，线性代数占22%，概率论与数理统计不考；数学三中，高等数学（或微积分）占56%，线性代数占22%，概率论与数理统计占22%。

考试内容方面，因篇幅有限，具体的数学一、数学二、数学三大纲及考试内容请自行在网络上搜索。

这里仅介绍大纲中要求的章节范围。

数学一：①高等数学（函数、极限、连续、一元函数微积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数的微积分学、无穷级数、常微分方程）；②线性代数（行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型）；③概率论与数理统计（随机事件和概率、随机变量及其概率分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验）。

数学二：①高等数学（函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学、常微分方程）；②线性代数（行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型）。

数学三：①高等数学（这里请注意。

上面我为什么在说数学三的时候加了一个括号写上微积分呢？这个就跟我们要看的一些数学复习的经典教材有关了！数学三在高等数学这一部分因为要求的内容相对较少，所以很多学校经济类、管理类专业在本科期间所用教材并非理工类专业通常会使用的《高等数学》同济大学版，更多的学校本科阶段的教材是中国人民大学版《微积分》。

而考数学三的同学中在实际复习过程中使用哪一本教材的都有）（函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程与差分方程）；②线性代数（行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量、二次型）；③概率论与数理统计（随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计、假设检验）。

数学分析知识点总结

估值不等式、积分第一、第二中值定理。
5、定积分与不定积分旳联络
（1）变上限积分旳导数公式；
d
x
f (t )dt f ( x),
dx a
d
b( x)
f (t)dt
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
dx a( x)
（2）牛-莱公式。
（3）可积函数不一定有原函数，有原函数旳函数不一定可积。
n 但其极限是无理数 e.
即数列旳单调有界定理在有理数域不成立。
3. 区间套定理
若{[ an,bn ]}是一种区间套，则在实数系中存在唯一旳点
,使 [an ,bn ],n 1,2,
反例：取单调递增有理数列{an },使an 2, 取单调递减有理数列{bn },使bn 2,
则有理数域内构成闭区间套 [an ,bn ]Q，其在实数系内唯一的公共点为 2 Q.
1）恒等变形（加一项减一项、乘一项除一项、三角恒等变形）；
2）线性运算；
3）换元法：第一类（凑分法）——不需要变换式可逆；第二类——变换式必须可逆；
4）分部积分法——常可用于两个不同类型函数乘积旳积分； “对反幂三指，前者设为u”
5）三种特殊类型函数 “程序化”旳积分法。
注：检验积分成果正确是否旳基本措施。
(6) cos xdx sin x C
(12) e xdx e x C
(13)
a xdx
ax C ln a
(20)
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
(21)
x2
1
a 2 dx
1 2a
ln

数学分析第一章 1.1汇总

第一章教学安排的说明章节题目：实数集与函数学时分配：共5学时§ 1 实数（1学时）§ 2 数集.确界原理（2学时）§ 3 函数概念 ( 1学时 )§ 4 具有某些特性的函数 (1学时 )教学目的：通过教学，使学生正确理解函数、极限与连续的基本概念，熟练掌握极限的运算。

教学要求：1、掌握实数的各条性质，初步理解上下确界的定义及确界原理的实质。

2、正确理解和掌握函数的概念、性质,四则运算,复合函数,反函数的定义。

3、掌握基本初等函数的性质及其图形。

4、掌握初等函数的性质,了解几个常见非初等函数的定义及性质。

5、理解函数的单调性,周期性,奇偶性等,会对初等函数是否具备这些性质。

其他：注: 第一章大部分内容中学学过。

课堂教学方案课题名称、授课时数：§ 1 实数 1学时§ 2 数集确界原理 2学时授课类型：理论课教学方法与手段：讲授为主（部分内容自学）教学目的与要求：1．掌握实数的基本概念、基本性质和最常见的不等式,并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性、实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式2.掌握实数的区间与邻域概念，掌握集合的有界性和确界概念，要求理解实数确界的定义及确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用。

教学重点： 1.实数集的概念性质及应用,；2.数集有界、无界及确界的概念，确界原理。

教学难点：数集确界的定义及其应用，确界原理的证明。

教学内容首先简要介绍“数学分析”课程的内容：分三个学期；所有内容可分为四部分：1）极限理论，包括数列极限、函数极限及函数的连续性；2）一元函数的微积分，包括导数和微分及其应用、不定积分、定积分及其应用、反常积分；这之间包括第七章实数的完备性；3）级数理论，包括数项级数、函数项级数、幂级数、傅里叶级数；4）多元函数的极限与连续，多元函数的微积分，包括多元函数的偏导数与全微分、隐函数定理及其应用、含参变量积分、二重积分、三重积分、曲线积分及曲面积分.数学分析是数学专业的一门重要理论基础课，在之后要学习的课程：复变函数、常微分方程、实变函数都是它最直接的后继课，学好数学分析对这些后继课程的学习是极其重要的，故一定要打好数学分析课程这个理论基础.第一章实数集与函数§ 1 实数复习引新：一、实数集及性质1.实数集：回顾中学中关于实数集的定义.2.实数集性质：四则运算封闭性；三歧性( 即有序性 )；Rrchimedes 性；稠密性: 由有理数和无理数的稠密性, 给出实数稠密性的定义；实数集的几何表示 ─── 数轴:3.两实数相等的充要条件:b a b a =⇔<->∀εε||,0二. 重要不等式1. 绝对值不等式: 定义[1]P3 的六个不等式.2. 其他不等式:（1）（2）均值不等式（3） Bernoulli 不等式:有不等式（4) 由二项展开式对有)...2,1(,!)1)...(1()1(n k h C h k k n n n h kk n k n ==+-->+ .在应用时根据需要确定右边的某一项(k 的值)。

数学分析公式

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

数学分析表

一、成绩统计
(表1)成绩分数段统计表
学生
总数
平均分
第Ⅰ卷
平均分
分数段
150分
140以上
13O以上
120以上
110以上
100以上
90以上
60以上
537
82.91
31.19
0
1
10
26
54
125
235
460
二、客观题抽样情况
（表2）客观题各小题抽样得分率统计表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
平均分
4.8
4.3
4.5
4.7
2.8
4.6
2.2
3.0
3.0
4.3
3.2
2.6
1.5
3.5
4.6
7.76
9.56
8.33
1.54
5.96
得分率
96%
85%
90%
94%
56%
92%
44%
60%
60%
85%
61%
53%
28%
62%
94%
64%
80%
60%
11%
43%
题号
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40

数学分析知识点总结

数学分析知识点总结一、引言数学分析是研究函数、极限、导数、积分等概念的数学分支。

它是现代数学的基础，对于理解和应用更高级的数学理论至关重要。

二、极限与连续性1. 极限的定义与性质- 极限的概念- 极限的性质和运算法则- 无穷小与无穷大- 极限存在的条件2. 无穷级数- 级数的收敛性- 收敛级数的性质- 级数的极限3. 函数的连续性- 连续函数的定义- 间断点的分类- 连续函数的性质三、导数与微分1. 导数的定义- 导数的直观理解- 导数的严格定义2. 导数的计算- 导数的基本公式- 链式法则、乘积法则、商法则 - 高阶导数3. 微分- 微分的概念- 微分的几何意义- 微分的应用四、中值定理与泰勒展开1. 中值定理- 罗尔定理- 拉格朗日中值定理- 柯西中值定理2. 泰勒展开- 泰勒级数- 泰勒展开的应用- 泰勒级数的收敛性五、积分1. 不定积分- 基本积分表- 换元积分法- 分部积分法2. 定积分- 定积分的定义- 定积分的性质- 定积分的计算3. 积分的应用- 面积计算- 体积计算- 平面曲线的弧长六、级数1. 级数的收敛性- 收敛级数的定义- 收敛性的判别方法2. 幂级数- 幂级数的收敛半径- 幂级数的应用3. 傅里叶级数- 傅里叶级数的概念- 傅里叶级数的物理意义七、多元函数分析1. 多元函数的极限与连续性 - 多元函数的极限- 多元函数的连续性2. 偏导数与梯度- 偏导数的定义- 梯度的概念3. 多重积分- 二重积分的定义- 二重积分的计算方法八、结论数学分析是数学学科的基石，它的概念和方法广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。

掌握数学分析的知识点对于理解和解决实际问题具有重要意义。

以上是数学分析的主要知识点概述。

每个部分都可以进一步扩展，包含更多的细节和例子。

这篇文章的结构旨在提供一个清晰的框架，便于读者理解和复习数学分析的核心概念。

(完整版)数学分析复习资料及公式大全

导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

完整版)数学分析复习资料及公式大全

完整版)数学分析复习资料及公式大全导数公式：求导是微积分的重要内容之一，掌握导数公式对于解题至关重要。

常见的导数公式如下：tan(x)的导数为sec^2(x)cot(x)的导数为-csc^2(x)sec(x)的导数为sec(x)·tan(x)csc(x)的导数为-csc(x)·cot(x)ax的导数为ax·ln(a)log_a(x)的导数为1/(x·ln(a))基本积分表：积分是微积分的重要内容之一，掌握基本积分表对于解题至关重要。

数学考试成绩总结分析表

数学考试成绩总结分析表数学考试成绩总结分析表保定市202*年摸底考试数学考试成绩总结分析表202*111班级姓名一、本次考试中暴露出来的主要问题：二、在下一阶段对提高数学成绩有哪些具体措施：三、对数学学科复习方法有什么建议？高碑店一中高三数学一轮复习情况调查表班级姓名202*111一．在学习前确定学习目标、制定学习计划、做好学习准备1．你认为自己的数学成绩（）A优秀B较好C一般D很差。

2．你对现在的高三数学复习有兴趣吗：A.很感兴趣B.比较感兴趣C.一般感兴趣D.没有兴趣3．你对高三数学复习有信心吗？A.充满自信B.比较有把握C.需要再努力D.比较困难4．你确立高三数学复习的目标了吗？A.非常明确B.不断在变化C.不清楚D.没有考虑5.你的复习目标的确立是A.独立B.在老师指导下C.在家长的帮助D.借鉴同学E.没有目标6.你制定高三数学复习的计划了吗？（可多选）A.一学期的计划B.一个月的计划C.一周的计划D.没有考虑7．制定复习计划后，你（）A能自觉执行计划B不能完全执行计划C在执行计划的过程中，希望得到老师或家长的督促D没有考虑复习计划8.你上数学课前预习了吗？A.每一节课前回顾课本相应的知识，并且完成《课堂新坐标》中“考试点梳理”与“学情自测”部分B.每一节课前只能完成《课堂新坐标》中“考试点梳理”与“学情自测”部分C．有时能完成《课堂新坐标》中“考试点梳理”与“学情自测”部分C很少能完成《课堂新坐标》中“考试点梳理”与“学情自测”部分D 从来都不预习二．在学习活动中对学习进展、学习方法作出自我监控、自我反馈和自我调节9.你对老师的教学目的、教学意图和要求了解吗？A.了解，并知道自己应该做什么和怎么去做B.了解，但不知道自己应该做什么C.不了解，但能跟上教师的教学进度和节奏D.不了解，并不能跟上教师的教学进度和节奏10.你在上数学课时A.除了听老师讲，还自觉地进行思考、计算B.除了听老师讲，有时还自主思考、计算C.只能被动地跟着老师的节奏D.跟不上老师的节奏11.你在上数学课时A.经常大胆地发言，表达自己的看法B.有时发言，表达自己的看法C.有自己的看法，但不敢发言D.没有自己的看法，又不发言12.你在复习数学中遇到疑难问题时A.独立思考或查阅资料解决B.先独立思考，再问老师C.没有深入思考，立即问老师D.先独立思考，再问同学E.没有深入思考，立即问同学13.你的数学练习A.除了完成老师布置的，自己经常找其他的练习做B.除了完成老师布置的，自己有时找其他的练习做C.只能完成老师布置的D.不能完成老师布置的14.你阅读有关数学的杂志吗？A.经常B.有时C.从来没有D.不知道有数学杂志15.你复习数学的方法时A.独立摸索出来B.在老师的引导下C.借鉴同学的D.没有考虑16.你对自己复习数学的方法A.每周调整一次B.每次月考后调整一次C.一学期调整一次D.没有考虑三．在学习之后对学习结果进行自我检查、自我总结、自我评价和自我补救17.你每次做完练习后A.认真对答案，并且更正、给对或错、或分数B.只是对答案和更正C.只是对答案D.有时对答案18.你每次做完练习后A.对一些知识、题型、方法进行归纳B.有时对一些知识、题型、方法进行归纳C.不知道怎样归纳D.没有考虑过归纳19.你每次做完练习后A.对一些问题还会进一步思考，是否还有其他的方法，改变一些条件、结论又如何B.有时对一些问题还会进一步思考C.不知道怎样思考D.没有考虑过思考20.你每次测试（包括平时测验、月练、联考等）后A.对自己的数学复习进行一些反思总结B.有时对自己的数学复习进行一些反思总结C.不知道怎样反思总结D.没有考虑过反思总结21.你每次测试（包括平时测验、月练、联考等）后A.对自己的数学复习中出现的问题及时补救B.有时对自己的数学复习中出现的问题及时补救C.不知道怎样补救D.没有考虑过补救22.你对自己高三数学复习的评价A.很满意B.较满意C.一般D.不满意扩展阅读：数学考试成绩总结分析表数学考试成绩总结分析表班级：任课教师：202*年11月9日平实有人数参考总分均人数分64644766．574．735789．06%及格人数及格率优秀人数优秀率3046．88%本次期中考试类型主要有：填空、判断、选择、计算（口算、竖式计算）、画一画以及解决问题。

数学汇总表

数学汇总表
1. 数学符号表：包括各种数学符号的名称、定义和用法。

2. 数学公式表：列出数学中常用的公式及其推导过程。

3. 数学定理表：总结数学中的重要定理和它们的证明。

4. 三角函数表：列出各种三角函数及其常见的性质和图像。

5. 数学函数表：包括常见的数学函数及其性质和图像。

6. 常用数列表：展示常见的数列及其特点和计算方法。

7. 常用数学公式表：包括各种数学中常用的公式和它们的应用场景。

8. 数学问题解答表：列出了常见的数学问题及其解答方法和步骤。

9. 几何图形表：包括各种几何图形的名称、定义、性质和计算公式。

10. 概率与统计表：总结了概率与统计中的常见概念、公式和计算方法。

数学分析资料：积分表

附录III 积分表一、含有x n 的形式：1、∫x n dx=1n x1n +++C, n ≠-1.2二、含有a+bx 的形式：3dx=2b1(bx-aln|a+bx|)+C.4dx=2b 1(bxa a++ln|a+bx|)+C.52b 1[1-n 2-n bx )1)(a -(n a bx )2)(a -(n 1-+++]+C, n ≠1,2.6dx=3b 1-2bx(2a-bx)+a 2ln|a+bx|)+C.7dx=3b 1(bx-bx a a 2+-2aln|a+bx|)+C.8dx=3b 1[bx a 2a +-22bx)2(a a ++ln|a+bx|]+C.93b 1[3-n bx )3)(a -(n 1-++2-n bx )2)(a -(n 2a +-1-n 2bx)1)(a -(n a +]+C,n ≠1,2,3.10a 1ln bx a x ++C.11⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++bxa xlna 1bx a 1a 1+C.12dx=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++bx a xlna b x 1a 1+C. 13dx=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++bx a xlna2b bx)x(a 2bx a a 12+C.三、含有a 2±x 2, a>0的形式：14dx=a 1arctan a x+C. 15dx=2a 1ln a x a -x ++C.16dx=⎥⎦⎤⎢⎣⎡±+±-⎰--dx )x (a x)3-n 2()x (a x )1n (2a 11n 221n 222, n ≠1.四、含有a+bx+cx 2, b 2≠4ac 的形式：17dx=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++++++4ac b C 4ac -b b cx 24ac -b -b cx 2ln 4ac -b 24ac <b C b -4ac b cx 2arctan b-4ac 22222222，，.18dx=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-++⎰dx cx bx a 1b |cx bx a |ln 2c 122.五、含有bx a +的形式： 19、∫bx a x n +dx=[]⎰+-++dx bx a x na bx )(a x 3)b(2n 21-n 3n .20⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++>+++-+0a C a -bxa arctan a-2a C a bx a abx a lna 1，，.21dx=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-⎰dx bx a x 123)-b(2n x bx a 1)-a(n 11-n 1-n , n ≠1.22dx=⎰+++dx bxa x 1a bx a 2.23dx=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++-⎰dx x bx a 25)-b(2n x bx)(a 1)-a(n 11-n 1-n 3, n ≠1.24dx=bx a b3)bx a 2(22+--+C. 25dx=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎰dx bx a x na bx a x 1)b(2n 21-n n .六、含有22a x ±，a>0的形式：26dx=21(x 22a x ±±a 2ln|x+22a x ±|)+C. 27、∫x 222a x ±dx=81[x(2x 2±a 2)22a x ±-a 4ln|x+22a x ±|)+C.2822a x +-aln x a x a 22+++C.2922a x --a ·arccos x a +C. 3022a x x1±-+ln|x+22a x ±|)+C. 3122a x ±|+C.3221(x 22a x ±∓a 2ln|x+22a x ±|)+C.33dx=a1arccos xa +C.34dx=a 1-ln x a x a 22+++C.35dx=∓x a a x 222±+C.36dx=222ax ax ±±+C.七、含有22x -a ，a>0的形式：37dx=21(x 22x -a +a 2arcsin ax )+C. 38、∫x 222x -a dx=81[x(2x 2-a 2)22x -a +a 4arcsin ax ]+C.39dx=22x -a -aln x x -a a 22++C.40dx=22x -a x 1-- arcsin ax+C.41dx=arcsin ax +C.42dx=a 1-ln x x -a a 22++C.43dx=x a x -a 222-+C. 44dx=21(-x 22x -a +a 2arcsin ax )+C.45222x-a ax +C.八、含有sinx 或cosx 的形式：46、∫sinxdx=-cosx+C.47、∫cosxdx=sinx+C.1(x-sinxcosx)+C.48、∫sin2xdx=21(x+sinxcosx)+C.49、∫cos2xdx=21[-sin n-1xcosx+(n-1)∫sin n-2xdx].50、∫sin n xdx=n1[cos n-1xsinx+(n-1)∫cos n-2xdx].51、∫cos n xdx=n52、∫xsinxdx=sinx-xcosx+C.53、∫xcosxdx=cosx+xsinx+C.54、∫x n sinxdx=-x n cosx+n∫x n-1cosxdx.55、∫x n cosxdx=x n sinx-n∫x n-1sinxdx.56∓secx+C.57dx=-cotx±cscx+C.58dx=ln|tanx|+C.九、含有tanx, cotx, secx或cscx的形式：59、∫tanxdx=-ln|cosx|+C.60、∫cotxdx=ln|sinx|+C.61、∫secxdx=ln|secx+tanx|+C.62、∫cscxdx=ln|cscx-cotx|+C.63、∫tan 2xdx=-x+tanx+C. 64、∫cot 2xdx=-x-cotx+C. 65、∫sec 2xdx=tanx+C. 66、∫csc 2xdx=-cotx+C.67、∫tan nxdx=⎰-x dx tan 1-n xtan 2-n 1-n , n ≠1. 68、∫cot nxdx=-⎰-x dx cot 1-n xcot 2-n 1-n , n ≠1. 69、∫sec nxdx=⎰+x dx sec 1-n 2-n 1-n x tanx sec 2-n 2-n , n ≠1. 70、∫csc nxdx=-⎰+x dx csc 1-n 2-n 1-n x cotx csc 2-n 2-n , n ≠1.71dx=21(x ±ln|cosx ±sinx|)+C.7221(x ∓ln|sinx ±cosx|)+C.73∓cscx+C.74±secx+C.十、含有反三角函数的形式： 75、∫arcsinxdx=xarcsinx+2x -1+C. 76、∫arccosxdx=xarccosx-2x -1+C. 77、∫arctanxdx=xarctanx-21ln(1+x 2)+C.78、∫arccotxdx=xarccotx+21ln(1+x 2)+C. 79、∫arcsecxdx=xarcsecx-ln|x+1x 2-|+C. 80、∫arccscxdx=xarccscx+ln|x+1x 2-|+C. 81、∫xarcsinxdx=41[x 2x -1+(2x 2-1)arcsinx]+C. 82、∫xarccosxdx=41[-x 2x -1+(2x 2-1)arccosx]+C. 83、∫xarctanxdx=21[(1+x 2)arctanx-x]+C. 84、∫xarccotxdx=21[(1+x 2)arccotx+x]+C.十一、含有e x 的形式：85、∫a xdx=lnaa x+C.86、∫e x dx=e x +C. 87、∫xe x dx=(x-1)e x +C. 88、∫x n e x dx=x n e x -n ∫x n-1e x dx.89dx=x-ln(1+e x )+C. 90、∫e axsinbxdx=22axb a e +(asinbx-bcosbx)+C.91、∫e axcosbxdx=22axba e +(acosbx+bsinbx)+C.十二、含有lnx 的形式：92、∫lnxdx=x(lnx-1) +C.93dx=4x (ln x -1) +C.94、∫xlnxdx=4x 2(2lnx-1) +C.95、∫x nlnxdx=21n )1n (x ++[(n+1)lnx-1] +C, n ≠-1. 96、∫(lnx)2dx=x[(lnx)2-2lnx+2] +C. 97、∫(lnx)n dx=x(lnx)n -n ∫(lnx)n-1dx. 98、∫sin (lnx)dx=2x [sin(lnx)-cos(lnx)]+C. 99、∫cos (lnx)dx=2x [sin(lnx)+cos(lnx)]+C. 100、∫ln (x+2x 1+)dx=xln(x+2x 1+)-2x 1++C.。

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(完整版)数学分析复习资料及公式大全-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-C ax a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

数学分析定义、定理、推理一览表

定义1给定两个非负实数
其中为非负整数，为整数，若有
则称与相等，记为 .
定义2
定义3
绝对值得一些性质
定义4
区间和邻域
定义5有界的定义
定义6确界的定义
定理1
定理一确界原理
定理2
推广的确界原理任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）.
函数的概念
定义1
函数的四则运算
初等函数
定义2
几个重要的等式（不等式）
数列极限
定义1
收敛数列的性质
定义1设为数列，为正整数集N+的无限子集，且，
则数列称为数列的一个子列，简记为 .
平凡子列：数列本身以及去掉有限项后得到的子列.
非平凡子列：不是平凡子列的子列.
数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限.
定理2.9数列收敛的充要条件是：的任何非平凡子列都收敛.
定理二（单调有界定理）在实数系中，有界的单调数列必有极限.
函数极限
定义
函数极限的性质
无穷小量阶的比较（定义见下页末）
函数极限存在的条件
两个重要极限
常见的几个等价无穷小量
函数的连续
区间上的连续函数
连续函数的性质
导数和微分
定义2单侧导数
导函数
导数的几何意义
求导法则
反函数的导数
复合函数的导数基本Leabharlann 导法则基本初等函数导数公式
参变量函数的导数
高阶导数
定义略
微分
定义1
定理5.10
可微函数
若函数在定义区间上每一点都可微，则称函数为可微函数.
微分的运算法则
高阶微分

数学分析PPT课件汇总

常常应用闭区间套定理将这个数“套”。怎样
应用闭区间套定理呢？首先构造一个具有性质 P*的闭区间，性质P*要根据性质P来定。其次，
通常采用二等分法，将此闭区间二等分，至少有一个闭区间具有性质P*，然后继续使用二等
分法得到满足闭区间套定理条件的和具有性质 P*的闭区间列。根据闭区间套定理，就得到唯一一个具有性质P的数。
数学分析课件
数学分析课程组
黄金大米，又名“金色大米”，是一种转基因大米，通过转基因技术将胡萝卜素转化酶系统转入到大米胚乳中可获得外表为金黄色的转基因大米
§ 4.2 闭区间连续函数整体性质的证明
根据有限覆盖定理（4.1 定理 3），存在有限个开区间，设有 n 个开区间
即 M 0,x a,b | f x | M 。
证法：由已知条件得到函数 f (x) 在[a,b]的每一点的某个
邻域有界.要将函数 f (x) 在每一点的邻域有界扩充到在闭区
间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从而得到 M >0.
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黄金大米，又名“金色大米”，是一种转基因大米，通过转基因技术将胡萝卜素转化酶系统转入到大米胚乳中可获得外表为金黄色的转基因大米
例如：若
I=（0，1），
S
n
1 ,1 1
n
N
，事实上，
x 0,1, m N,使 1 x,有x 1 ,1 S,
m 1
m1
例：
I
(0,1),
S
n
1
1
,
1 n
n
N ,
则
S
没有覆盖区间
I.
事实上， n N, n 1, 1 数(学0分,1)析,课S 件中没有开数区学分间析课包程含组着 1 .