【期末专练】北京市房山区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题

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2020学年北京市房山区高二第二学期期末数学试题(解析版)

2020学年北京市房山区高二第二学期期末数学试题一、单选题1．抛物线28x y =的焦点坐标为 A ．（0，2） B ．（2，0） C ．（0，4） D ．（4，0）【答案】 A【解析】根据抛物线标准方程求得p ，从而得焦点坐标．【详解】由题意28p =，4p =，∴焦点在y 轴正方向上，坐标为(0,2)．故选A ．【点睛】本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．解题时要掌握抛物线四种标准方程形式． 2．复数21i-的共轭复数是 A ．-1+i B ．-1-i C ．1+i D ．1-i【答案】D【解析】化简复数为标准形式，然后写出共轭复数．【详解】22(1)11(1)(1)i i i i i +==+--+，其共轭复数为1i -．故选D ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．3．已知双曲线2212x y m -=，则m=A ．4B ．2CD ．1【答案】B【解析】根据离心率公式计算．【详解】由题意c =，∴c ea ===2m =．故选B ．【点睛】本题考查双曲线的离心率，解题关键是掌握双曲线的标准方程，由方程确定,a b ．4．如图，在空间四边形ABCD 中，设E ，F 分别是BC ，CD 的中点，则AD u u u r +12（BC uuu r -BD u u u r）等于A ．AD u u u rB ．FA u u u rC ．AF u u u rD ．EF u u u r【答案】C【解析】由向量的线性运算的法则计算．【详解】BC u u u r -BD u u u r ＝DC u u u r ，11()22BC BD DC DF -==u u u r u u u r u u ur u u u r ，∴AD u u u r +12（BC u u u r -BD u u u r）AD DF AF =+=u u u r u u u r u u u r ．故选C ．【点睛】本题考查空间向量的线性运算，掌握线性运算的法则是解题基础．5．若d r =（4，2，3）是直线l 的方向向量，n r=（-1，3，0）是平面α的法向量，则直线l 与平面α的位置关系是 A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．相交但不垂直【答案】D【解析】判断直线l 的方向向量与平面的法向量的关系，从而得直线与平面的位置关系．【详解】显然d u r与n r 不平行，因此直线l 与平面α不垂直，又4(1)23302d n ⋅=⨯-+⨯+⨯=u r r ，即d u r与n r 不垂直，从而直线l 与平面α不平行，故直线l 与平面α相交但不垂直．故选D ．【点睛】本题考查用向量法判断直线与平面的位置关系，方法是由直线的方向向量与平面的法向量的关系判断，利用向量的共线定理和数量积运算判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行和垂直，然后可得出直线与平面的位置关系．6．“m ≠0”是“方程22x y -=m 表示的曲线为双曲线”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据双曲线的标准方程进行判断．【详解】0m =时，方程220x y -=表示两条直线y x =±，0m ≠时，方程可化为221x y m m-=，0m >时表示焦点在x 轴上的双曲线，0m <时表示焦点在y 轴上的双曲线．故选C ．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，考查充分必要条件，解题关键是掌握双曲线的标准方程．7．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论错误的是A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1APD ∠的取值范围是（0，2π] C ．11B D PC -三棱锥的体积为定值 D ．11DC D P ⊥ 【答案】B【解析】根据线面位置关系进行判断．【详解】∵11D A ⊥平面1AA P ，∴平面11D A P ⊥平面1A AP ，A 正确；若P 是1A B 上靠近1A 的一个四等分点，可证此时1D PA ∠为钝角，B 错；由于1//BP CD ，则//BP 平面11B D C ，因此11P B D C -的底面是确定的，高也是定值，其体积为定值，C 正确；1D P 在平面11CC D D 上的射影是直线1D C ，而11⊥D C DC ，因此11DC D P ⊥，D正确．故选B ．【点睛】本题考查空间线面间的位置关系，考查面面垂直、线面平行的判定，考查三垂线定理等，所用知识较多，属于中档题．8．设F 是椭圆222516x y +=1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点iP （i =1,2,3,···）1PF ，2P F ，3P F ，···组成公差为d （d>0）的等差数列，则d 的最大值为 A ．25B ．310 C ．15D ．110【答案】B【解析】求出椭圆点到F 的距离的最大值和最小值，再由等差数列的性质得结论．【详解】椭圆2212516x y +=中5,4,3a b c ===，而PF 的最大值为8a c +=，最小值为2a c -=，∴21120826P F PF d -=≤-=，310d ≤．故选B ．【点睛】本题考查椭圆的焦点弦的性质，考查等差数列的性质，难度不大．二、填空题9．已知a,b ∈R,i 是虚数单位，（a+bi ）i=2+3i ，则a=____________,b=____________ 【答案】3 -2 【解析】求出a bi +．【详解】由题意2332ia bi i i++==-，∴3a =，2b =-．故答案为（1）3；（2）－2．【点睛】本题考查复数的运算，考查复数的概念，属于基础题．10．在空间直角坐标系中，已知点M （1，0，1），N （-1，1，2），则线段MN 的长度为____________【解析】根据两点间距离公式计算．【详解】MN ==．【点睛】本题考查空间两点间距离公式，属于基础题． 11．若双曲线的渐近线方程为y =±32x ，则满足条件的一个双曲线的方程为____________【答案】2249x y -=1（答案不唯一）【解析】由双曲线标准方程与渐近线方程的关系可得．【详解】渐近线方程为y =±32x 的双曲线方程为33()()(0)22x y x y λλ+-=≠，则22149x y -=就是其中之一．故答案为22149x y -=．【点睛】本题考查双曲线的几何性质：渐近线，与双曲线22221x y a b-=共渐近线的双曲线方程为2222(0)x y a bλλ-=≠，此方程对焦点没有要求，即焦点可在x 轴上，也可在y 轴上．12．如图，在长方形ABCD-1111A B C D 中，设AD=A 1A =1，AB=2，则1AC u u u u r ·BC uuu r等于____________【答案】1【解析】选取1,,AB AD AA u u u r u u u r u u u r为基底，把其它向量都用基底表示后计算．【详解】由题意111()AC BC AB AD AA AD AB AD AD AD AA AD ⋅=++⋅=⋅+⋅+⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r21AD ==u u u r ．故答案为1．【点睛】本题考查空间向量的数量积，解题关键是选取基底，把向量用基底表示后再进行计算．13．已知椭圆22221x y a b+=（a>b>0）的离心率为e ，1F ，2F 分别为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P 使得∠12F PF 是钝角，则满足条件的一个e 的值为____________ 【答案】32（答案不唯一，22<e<1）【解析】当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大，因此满足题意时，此角必为钝角．【详解】由题意当P 为短轴端点时，12F PF ∠为钝角，∴1cb≥，∴2222c b a c ≥=-，222c a >，212e >1e <<．答案可为2．【点睛】本题考查椭圆的几何性质．解题中注意性质：P 是椭圆上任意一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，当P 为短轴端点时，12F PF ∠最大． 14．已知曲线W 的方程为y +2x -5x=0①请写出曲线W 的一条对称轴方程________________ ②曲线W 上的点的横坐标的取值范围是____________ 【答案】y=0（或x=52） [0,5] 【解析】①由于曲线方程中变量,x y 是分开的，因此可只考虑纵坐标的对称性，也可只考虑横坐标的对称性；②解不等式250x x -≤可得．【详解】①由方程知(,)x y 是曲线上的点时，点(,)x y -也是曲线上的点，因此0y =是一条对称轴，同样点5(,)2x y -与5(,)2x y +也同时是曲线上的点，因此52x =也是一条对称轴；②250x x -≤，05x ≤≤．故答案为①0y =（或52x =）；②[0,5]．【点睛】本题考查曲线与方程，考查用方程研究曲线的性质，属于基础题．三、解答题15．已知复数122,34z a i z i =+=-（a ∈R,i 为虚数单位）（I ）若12·z z 是纯虚数，求实数a 的值；（II ）若复数12z z 在复平面上对应的点在第二象限，求实数a 的取值范围【答案】（Ⅰ）38a =-（II ）3823a <<【解析】（I ）计算出12z z ，由其实部为0，虚部不为0可求得a 值；（II）计算出12zz，由其实部小于0，虚部大于0可求得a的取值范围．【详解】解：（I）由复数122,34z a i z i=+=-得12·z z=（2a i+）（34i-）=3a+8+（6-4a）i若12·z z是纯虚数，则3a+8=0，（6-4a）≠0，解得a=-83（II）12zz=()()()()234238643434342525a i ia i a aii i i+++-+==+--+若12zz在复平面上对应的点在第二象限，则有380640aa-<⎧⎨+>⎩解得-3823a<<【点睛】本题考查复数的乘除运算，考查复数的概念与几何性质，属于基础题．16．如图，三棱柱ABC-111A B C中，1CC⊥平面ABC，AC⊥AB，AB=AC=2，C1C=4，D为BC的中点（I）求证：AC⊥平面AB11B A；（II）求证：1A C∥平面AD1B；（III）求平面1ADB与平面11ACC A所成锐二面角的余弦值【答案】（Ⅰ）见解析（II）见解析（III）23【解析】（I）C1C⊥平面ABC，得A1A⊥平面ABC，从而A1A⊥AC，再结合已知可证得线面垂直；（II）连接1A B，与A1B相交于点O，连接DO，可证DO∥1A C，从而证得线面平行；（III）以1,,AB AA AC为,,x y z轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出两平面1ADB和平面11ACC A的法向量，由法向量的夹角余弦值求得二面角的【详解】（I）∵C1C⊥平面ABC，A1A∥C1C∴A1A⊥平面ABC，∴A1A⊥AC又AC⊥AB，AB∩A1A=A∴AC⊥平面AB11B A·（II）连接1A B，与A1B相交于点O，连接DO∵D是BC中点，O是1A B中点，则DO∥1A C，1AC⊄平面AD1B，DO⊂平面AD1B∴1A C P平面AD1B（III）由（I）知，AC⊥平面AB11B A，A1A⊥AB如图建立空间直角坐标系A-xyz·则A（0，0，0），B（2，0，0），1B（2，4，0），D（1，0，1），ADu u u r=（1，0，1），1ABu u u r=（2，4，0）设平面AD1B的法向量为nr=（x,y,z），则1··n ADn AB⎧⎪⎨⎪⎩u u u vru u u vr，即240x zx y+=⎧⎨+=⎩取y=1，得nr=（-2，1，2）平面AC11C A的法向量为ABu u u r=（2，0，0）Cos<nr,ABu u u r>=·n ABn ABu u u rru u u rr=-23·则平面AD1B与平面AC11C A所成锐二面角的余弦值为23本题考查线面垂直的判定与线面平行的判定，考查用向量法求二面角．立体几何中线面间的平行与垂直一般用判定定理进行证明，而求空间角一般用空间向量法求解．17．已知抛物线C ：2y =2px （p>0）的准线方程为x=-12,F 为抛物线的焦点（I ）求抛物线C 的方程；（II ）若P 是抛物线C 上一点，点A 的坐标为（72,2）,求PA PF +的最小值；（III ）若过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于M ，N 两点，求线段MN 的中点坐标。

北京市房山区2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题(含解析)

房山区2019--2020学年度第一学期期末检测试卷高二数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.椭圆1的离心率是（）2243x y +=C. D. 1312【答案】D 【解析】【分析】由椭圆方程可知、、的值，由离心率求出结果．22143x y +=a b c c e a =【详解】解：由椭圆可知，，，，22143x y +=2a =b =1c =离心率，∴12c e a ==故选：．D 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质的应用，求出、的值是解题a c 的关键，属于基础题．2.在空间若把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是（）A. 一个球 B. 一个圆C. 半圆D. 一个点【答案】B 【解析】【分析】利用共面向量的概念及向量的模即可得答案．【详解】解：平行于同一平面的所有非零向量是共面向量，把它们的起点放在同一点，则终点在同一平面内，又这些向量的长度相等，则终点到起点的距离为定值．故在空间把平行于同一平面且长度相等的所有非零向量的起点放在同一点，则这些向量的终点构成的图形是一个圆．故选：．B 【点睛】本题考查方程，关键是理解共面向量的概念，属于基础题．3.双曲线的渐近线方程为 2214y x -=()A. B. C.D.2y x=±y =12y x=±y x =【答案】A 【解析】【分析】直接利用双曲线的标准方程的渐近线方程为，求出双曲线的渐近线22221x y a b -=b y x a =±方程即可．【详解】解：因为双曲线的标准方程为，则它的渐近线方程为：．2214y x -=2y x =±故选：．A 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查计算能力，属于基础题．4.已知向量与向量垂直，则实数x 的值为（）()2,3,5a =-()4,,1b x =-A. ﹣1B. 1C. ﹣6D. 6【答案】B 【解析】【分析】根据数量积的坐标计算公式代入可得的值．x 【详解】解：向量，与向量垂直，则，()2,3,5a =-()4,,1b x =-0a b =由数量积的坐标公式可得：，24(3)5(1)0x ⨯+-⨯+⨯-=解得，1x =故选：．B 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，以及数量积的坐标公式，属于基础题．5.已知双曲线1的焦点为F 1，F 2，P 为其上一点.若点P 到F 1的距离为15，则点226436x y -=P 到F 2的距离是（）A. 31B. 1C. ﹣1D. ﹣1或31【答案】A 【解析】【分析】直接利用双曲线的定义，转化求解即可．【详解】解：双曲线的焦点为，，为其上一点．2216436x y -=1F 2F P 所以，12216PF PF a -==若点到的距离为，P 1F 115PF =，21516PF ∴-=解得或（舍去），231PF =21PF =-所以点到的距离是：．P 2F 31故选：．A 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的定义的应用，属于基础题．6.已知直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的l ()1,2,1a =-α()2,4,2b =-l α位置关系是 ()A. B. C. D. //l αl α⊥l α⊂l α∈【答案】B 【解析】【分析】由已知可求，判断与共线，即可得解．2b a = b al a ⊥【详解】解：直线的方向向量，平面的法向量，l ()1,2,1a =-α()2,4,2b =-，∴2b a = 则与共线，可得：．∴b al a ⊥故选：．B 【点睛】本题考查满足线面平行的条件的判断，考查线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．7.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，向量与向量的夹角是（）AB11C A A. 150° B. 135°C. 45°D. 30°【答案】B 【解析】【分析】由题意利用正方体的性质，求出向量与向量的夹角．AB11C A 【详解】解：如图，正方体中，，，1111ABCD A B C D -11//AB A B 11//AC A C 的补角即为向量与向量的夹角．111C A B ∴∠AB11C A 为等腰直角三角形，111C A B ∆，11145C A B ∴∠=︒量与向量的夹角为，∴AB11C A 18045135︒-︒=︒故选：．B 【点睛】本题主要考查两个向量的夹角，正方体的性质，属于中档题．8.已知抛物线上的点到抛物线焦点的距离，则点到轴的距离等216y x =P 10m =P y d 于（）A. 12 B. 9C. 6D. 3【答案】C 【解析】【分析】由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出的横坐标，即为到轴的P P y 距离．【详解】解：由抛物线的方程可得准线方程为：，设的横坐标为，由抛物线的4x =-P 0x 性质可得，所以，所以到轴的距离为6，0410x +=06x =P y 故选：．C 【点睛】考查抛物线的定义的理解，属于基础题．9.已知双曲线的离心率，则实数的取值范围是 2214x y k +=2e <k ()A. 或B.C.D.k 0<3k >30k -<<120k -<<83k -<<【答案】C 【解析】【分析】直接利用双曲线的方程，求出离心率，利用已知条件求解即可．【详解】解：双曲线可知，并且，，双曲线的离心率为：2214x y k +=k 0<2a=c =，e =，12e << ，∴12<<解得，综上．120k -<<120k -<<故选：．C【点睛】本题考查双曲线的基本性质的应用，注意双曲线方程的判断，属于基础题．10.如果抛物线的焦点为．点为该抛物线上的动点，又点．那么24y x =F M (1,0)A -的最大值是 ||||MF MA ()A.D. 112【答案】D 【解析】【分析】由题意可得在抛物线的准线上，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到A 准线的距离可得，所以的最大值时，，，三点共线，可得结||||MF MN MA AM =||||MF MA A M F 果．【详解】解：由抛物线的方程可得，焦点，准线方程为：，点在(1,0)F 1x =-(1,0)A -准线上，作准线交于，由抛物线的性质可得，所以，MN ⊥N |||MF MN =||||||||MF MN MA MA =在三角形中，，所以的最大值时，最小，AMN cos MNMAFMA =∠||||MF MA FAM ∠当，，上的共线时，最小，所以这时的最大值为1，A M F FAM ∠||||MF MA 故选：．D【点睛】考查抛物线简单几何性质，属于基础题．11.“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件是 221mx ny +=y ()A. B. C. D.0m n >>0n m >>0mn >0mn <【答案】A 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，即可得到结论．【详解】解：若方程表示椭圆，则，，m 0n ≠则方程等价为，22111x y m n +=若方程表示焦点在轴上椭圆，y 则等价为，11n m >>解得：，0m n >>故选：．A 【点睛】本题主要考查椭圆的定义和方程，将条件转化为标准方程形式是解决本题的关键，属于基础题．12.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点Q 是平面A 1BCD 1内的动点，且点Q 到直线AB 1和直线BC 的距离相等，则动点Q 的轨迹是（）A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分【答案】D 【解析】【分析】由题意画出图形，证明到直线的距离为到点的距离，再由抛物线的定义得动点Q 1AB Q G 的轨迹．Q 【详解】解：如图，在正方体中，有平面，则，1111ABCD A B C D -11A D ⊥11AA B B 111A D AB ⊥又，，平面，平面，11AB A B ⊥1111A B A D A = 1A B ⊂11A BCD 11A D ⊂11A BCD 平面，1AB ∴⊥11A BCD 设，连接，则，垂直为，11A B AB G = QG 1QG AB ⊥G 而与在平面内，且，G BC 11A BCD G BC ∉又点到直线和直线的距离相等，即点到的距离与到直线的距离相等，Q 1AB BC Q G BC 由抛物线定义可知，动点的轨迹是抛物线的一部分．Q 故选：．D 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查抛物线定义的应用，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.13.设θ是直线与平面所成的角，则角θ的取值范围是_____.【答案】[0，].2π【解析】【分析】当直线在平面内或直线平行于平面时，取最小值0，当直线与平面垂直时，取最大值θθ，由此能求出角的取值范围．2πθ【详解】解：是直线与平面所成的角，θ当直线在平面内或直线平行于平面时，取最小值0，θ当直线与平面垂直时，取最大值，θ2π角的取值范围是．∴θ0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦故答案为：．0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查线面角的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．14.双曲线1的实轴长为_____.22169y x -=【答案】8.【解析】【分析】直接利用双曲线标准方程，求出实轴长即可．【详解】解：双曲线的实轴长为：．221169y x -=2248a =⨯=故答案为：8．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．15.抛物线的准线方程是_____，焦点坐标是_____.28x y =-【答案】 (1). y ＝2 (2). （0，﹣2）.【解析】【分析】由抛物线的方程直接可得的值及焦点所在轴，求出结果．p 【详解】解：由抛物线可得：，所以，且焦点在轴的负半轴上，28x y =-28p =4p =y 所以焦点即：，准线，0,2p ⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,2-22p y ==故答案分别为：；．2y =()0,2-【点睛】考查抛物线的标准方程求焦点坐标及准线方程，属于基础题．16.以下三个关于圆锥曲线的命题：①设，为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线；A B k ||||PA PB k -=P ②方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；22520x x -+=③双曲线与椭圆有相同的焦点．221259x y -=22135x y +=其中真命题的序号为_____（写出所有真命题的序号）.【答案】②③.【解析】【分析】（1）根据双曲线的定义知①不正确，（2）解方程知两个正根，一根大于1作双曲线的离心率，一根小于1作椭圆的离心率，判定②正确；，（3）求出双曲线的焦点与椭圆的焦点，判定③正确．【详解】解：①平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数的点1F 2F 12(||)k k F F <的轨迹叫做双曲线，当时是双曲线的一支，当时，表示射线，①不0||k AB <<||k AB =∴正确；②方程的两根是2和，2可作为双曲线的离心率，可作为椭圆的离心22520x x -+=1212率，②正确；③双曲线与椭圆的焦点都是，有相同的焦点，③正确；221259x y-=22135x y +=()故答案为：②③．【点睛】本题考查了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，属于基础题．17.在长方体中，，则二面角的大小为_____.1111ABCD A B C D -13AB A A ==1A BC A --【答案】45°.【解析】【分析】设，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，AD a =D DA x DC y 1DD z 利用向量法能求出二面角的大小．1A BC A --【详解】解：设，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空AD a =D DA x DC y 1DD z 间直角坐标系，则平面的法向量，ABC ()0,0,1m =，，，()1,0,3A a (),3,0B a ()0,3,0C ，0，，，，，(BC a =- 0)1(0BA =3-3)设平面的法向量，1A BC (),,n x y z =则，取，得，1，，1·0·330n BC ax n BA y z ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩ 1y =(0n = 1)设二面角的大小为，1A BC A --θ则，||cos ||||m n m n θ==．45θ∴=︒二面角的大小为．∴1A BC A --45︒故答案为：45︒【点睛】本题考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．18.已知椭圆E ：，的右焦点为，过点F 的直线交椭圆E 于22221x y a b +=0a b >>()3,0F A 、B 两点．若AB 的中点坐标为，则E 的方程为__________.()1,1-【答案】221189x y +=【解析】【分析】设，，采用“点差法”，得，再根据直线过点，()11,A x y ()22,B x y 212212y y b x x a -=-()3,0F 和AB 的中点坐标，得，结合椭圆中a ，b ，c 的关系，可求得，()1,1-121212y y x x -=-29b =，即可得E 的方程.218a =【详解】已知，设，，则①，②，3c =()11,A x y ()22,B x y 2211221x y a b +=2222221x y a b +=已知AB 的中点坐标为，，()121,1 2x x -+=，则122y y +=-①－②得，()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=∴， ()222121222212121y y x x b b b x x a y y a a -+=-⋅=-⨯-=-+∵，∴，即，1212011312y y x x -+==--2212b a =222a b =又，22229a b c b =+=+∴，，即E 的方程为.29b =218a =221189x y +=【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了弦的中点有关问题；在中点弦或弦的中点问题中，常采用“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式求解.三、解答题：本大题共4小题，每题15分，共60分.19.如图，在直三棱柱中，，，，，点111ABC A B C -3AC =4BC =5AB =14AA =是的中点．D AB （1）求异面直线与所成的角；AC 1BC （2）求证：平面．1//AC 1CDB【答案】（1）（2）证明见解析2π【解析】【分析】（1）因为，，，利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，3AC =4BC =5AB =ABC ∆．因为三棱柱为直三棱柱，可得平面，建立空间直AC BC ⊥111ABC A B C -1C C ⊥ABC 角坐标系，利用向量夹角公式即可得出．（2）建立空间直角坐标系，利用直线方向向量、平面的法向量关系即可得出．【详解】解：（1）因为，，，3AC =4BC =5AB =所以，所以是直角三角形，222AC BC AB +=ABC ∆所以，所以2ACB π=AC BC⊥因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，111ABC A B C -1C C ⊥ABC 所以，1C C AC ⊥1C C BC⊥以为原点，分别以、、为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，C CA CB 1CC x y z 则，0，，，0，，，4，，，0，(0C 0)(3A 0)(0B 0)1(0C 4)所以直线的方向向量为，直线的方向向量为，AC (3,0,0)CA =1BC 1(0,4,4)BC =-设异面直线与所成的角为，AC 1BC θ因为，10CA BC = 所以，cos 0θ=所以异面直线与所成的角为．AC 1BC 2π（2）由（1）可知，，4，，则，3,2,02D ⎛⎫ ⎪⎝⎭1(0B 4)3,2,02CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 1(0,4,4)CB =设平面的法向量为，则，所以1CDB (,,)n x y z = 1·0·0CD n CB n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 3202440x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩令，则，，所以4x =3y =-3z =(4,3,3)n =-直线的方向向量为，1AC 1(3,0,4)AC =-因为，平面，所以平面．10AC n =1AC ⊄1CDB 1//AC 1CDB 【点睛】本题考查了空间位置关系、线面面面平行与垂直的判定性质定理、三角形中位线定理、法向量的应用、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆的左、右xOy 1F 2F 2222:1(0)x y E a b a b +=>>焦点，顶点的坐标为，且，点是椭圆上一点，直线交B (0,)b 2||BF =41,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭E 2CF 椭圆于点．A （1）求椭圆的方程；E（2）求的面积．ABC ∆【答案】（1）（2）2212x y +=43【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质，将代入椭圆方程，即可求得的值，求得椭圆方程；C b （2）由（1）可知，求得直线的方程，代入椭圆方程，求得点坐标，求得，2CF A ||AB 即可求得的面积．ABC ∆【详解】解：（1）因为顶点的坐标为，，B (0,)b 2||BF =所以，2||BF a ===因为点在椭圆上，所以，解得，41,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭22161991a b +=21b =故所求椭圆的方程为.2212x y +=（2）因为点的坐标为，点的坐标为，C 41,33⎛⎫⎪⎝⎭2F (1,0)所以直线的斜率，所以直线的方程为，2CF 131413k ==-2CF 1y x =-由得，，所以或，221220y x x y =-⎧⎨+-=⎩2340x x -=01x y =⎧⎨=-⎩4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以点的坐标为，所以，A (0,1)-||2AB =所以．1442233ABC S ∆=⨯⨯=【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，直线的斜率公式，考查转化思想，计算能力，属于中档题．21.已知为抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，F 2:2(0)C y px p =>F A B为坐标原点．O （1）当抛物线过点时，求抛物线的方程；C (1,2)M -C （2）证明：是定值．OA OB【答案】（1）y 2＝4x （2）证明见解析【解析】【分析】（1）将点代入抛物线方程，即可求得的值，求得抛物线方程；M p （2）分类讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程，代入抛物线方程，根据韦达定理l 及向量的坐标运算，即可证明是定值．OA OB【详解】解：（1）因为抛物线过点，2:2(0)C y px p =>(1,2)M -所以，，42p =2p =所以抛物线的方程；C 24y x =（2）证明：当直线斜率存在时，，设直线的方程为，则l (,0)2p F l ()2py k x =-，2((1)22(2)p y k x y px ⎧=-⋯⎪⎨⎪=⋯⎩将（1）代入（2）得，，化简得，222kp kx px⎛⎫-= ⎪⎝⎭222(2)04k p kx k p p x -++=设，的坐标分别为，，则，A B ()11,x y ()22,x y 2124p x x =因为点，都在抛物线上，所以，，A B 22y px =2112y px =2222y px =所以，所以，22212122y y p x x =22412y y p =因为点，分布在轴的两侧，所以，所以，A B x 120y y <212y y p =-所以，，所以，是定值．11(,)OA x y = 22(,)OB x y = 2121234OA OB x x y y p =+=-当直线无斜率时，，设，的坐标分别为，，，，则l (,0)2p F A B 1(x 1)y 2(x 2)y ，代入抛物线方程得，，，122px x ==22y px =221y p =222y p =所以，因为点，分布在轴的两侧，所以，所以，22412y y p =A B x 120y y <212y y p =-所以，，所以，是定值．11(,)OA x y = 22(,)OB x y = 2121234OA OB x x y y p =+=- 综上，，是定值．234p OA OB =-【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查分类讨论思想，计算能力，属于中档题．22.如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，AB ＝PA ＝1，ADF是PB 中点，E 为BC 上一点.=（1）求证：AF ⊥平面PBC ；（2）当BE 为何值时，二面角C ﹣PE ﹣D 为45°.【答案】（1）证明见解析（2）BE=【解析】【分析】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向A AD x AB y AP z 量法能证明平面．AF ⊥PBC （2）设，，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量BE a =(),1,0E a PDE PCE 法能求出当为．BE =C PED --45︒【详解】解：（1）证明：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间A AD x AB y AP z直角坐标系，，，是中点，1AB PA ==AD =F PB ，0，，，0，，，1，，1，，，(0A ∴0)(0P 1)(0B 0)C 0))D，，，，，(0,1,1)PB =- 1)PC =- (0F 1212，，，(0AF = 121)2，，0AF PB = 0AF PC =，，AF PB ∴⊥AF PC ⊥平面．AF ∴⊥PBC （2）设，，1，，，，BE a =(E a ∴0)(DE a =1)PD =-设平面的法向量，PDE (,,)n x y z =则，·(0·0n DE a x y n PD z ⎧=-+=⎪⎨=-=⎪⎩取，得，1x =(1n =a -平面的法向量为，PCE 11(0,,22AF = 二面角为，C PED --45︒，cos ,n AF ∴<解得a =当为．∴BE =C PED --45︒【点睛】45本题考查直线与平面垂直的证明，考查使得二面角为的线段长的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，属于中档题．。

北京房山区房山第二中学2019-2020学年高二数学理模拟试题含解析

北京房山区房山第二中学2019-2020学年高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数图像上一点，以点为切点的切线为直线，则直线的倾斜角的范围是（）A. B．C． D．参考答案：D略2. 设，则( )A. 2B. 3C. 4D. 5参考答案：B【分析】利用复数的除法运算求出，进而可得到.【详解】，则，故，选B.【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了复数的模，属于基础题。

3. △ABC中，若a=1，b=2，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理求得sinB的值．【解答】解：△ABC中，若a=1，b=2，sinA=，则由正弦定理可得=，即=，∴sinB=，故选：A．4. 函数，若函数有3个零点，则实数a的值为（）A．－2 B．－4 C．2 D．不存在参考答案：C5. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱C1D1的中点，则异面直线A1B、EC的夹角的余弦值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取A1B1中点F，则BF∥EC，∠A1BF是异面直线A1B、EC的夹角，由此能求出异面直线A1B、EC的夹角的余弦值．【解答】解：取A1B1中点F，则BF∥EC，∴∠A1BF是异面直线A1B、EC的夹角，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A1F=1，A1B=，BF=，∴cos∠A1BF===．故选：A．6. 若复数为纯虚数，则x的值为（）A．2． B． -1. C．．Ｄ．．参考答案：D略7. 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的，，有，则（）．A. B.C. D.参考答案：A由对任意x1，x2 [0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，得f(x)在[0，＋∞)上单独递减，所以，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行8. 把十进制数15化为二进制数为（ C ）A． 1011 B．1001 (2） C． 1111（2）D．1111参考答案：C9. 复数则A.1B.C.D.参考答案：B本题主要考查复数的四则运算与复数的模., 则10. 某人从湖里捞一网鱼，共条，做上记号后放入湖中，数日后再捞一网，共条，若其中做记号的鱼有条，估计湖中全部鱼的数量为（）参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 双曲线的焦距是▲，双曲线C的渐近线方程是▲ .参考答案：标准方程：，，则焦距为；渐近线。

北京市房山区2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题

2019-2020 学年度第二学期期末检测试卷高一数学本试卷共 5 页，150 分。

考试时长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。

第一部分（选择题共 50 分）一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）下列命题中，正确的是（A ）3 点确定一个平面（B ）一条直线和一个点确定一个平面（C ）四边形是平面图形（D ）三角形是平面图形（2）在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，异面直线 AB , B 1D 1 所成角的大小为（A ） 90︒（B ） 60︒ （C ） 45︒ （D ） 30︒D 1C 1A 1B 1CAB（3）要得到函数 y = sin (x - π) 的图像，只需将函数 y = sin x 的图像4π π（A ）向左平移 4 个单位（B ）向右平移 4 个单位π π（C ）向上平移 4 个单位（D ）向下平移 4个单位（4）下列函数中，奇函数是（A ） y = tan x （B ） y = cos2x （C ） y = sin （x + π）（D ） y = x +12DAEFG H（5）如果向量a ， b 满足| a |=2 ， a ⋅ b =3 ，且a， b 的夹角为 π 3，那么 | b | 等于1 （A ） 3（B ）3（C ） 3（D ） 3（6）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a , b ,那么b =c ，如果a = 2，A = 45︒ ，B = 30︒ ，（A ）（B ） 22（C ）（D ）62（7）设m ， n 是两条不同的直线，α ， β ， γ 是三个不同的平面，给出下列四个命题：① 如果m //α ， n //α ，那么m //n ；② 如果m ⊥ α ， n ⊥ α ，那么m //n ； ③ 如果m //α ， m //β ，那么α //β ；④ 如果α ⊥ γ ， β ⊥ γ ，那么α //β ．其中真命题的序号是（A ）①（B ）②（C ）③（D ）④（8）如图，在三棱锥 A - BCD 中， E , F 分别为 AB , AD 的中点，过 EF 的平面截三棱锥得到的截面为 EFHG ．则下列结论中不．一．定．成立的是（A ） EF � GH （B ） BD � G H（C ） G H � 平面 ABD BD（D ） A C � 平面EFHGC（9）函数 f ( x ) = sin 2 x 的最小正周期为（A ） 4π（B ） 2π（C ） π（D ） π2π 5π（10）已知函数 f (x ) = sin ϖ x + cos ϖ x (ϖ > 0) 在( ,) 上仅有1个最值，且是最大值，6 12则实数ϖ 的值不．可．能．为（A ）1（B ） 2（C ）5 47 （D ）63262 ENM PDBDC学校：班级：姓名：考号：（18）（本小题共14分）（19）（本小题共14分）第二部分（非选择题共 100 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

北京市房山区2019-2020学年高二下学期期末考试数学答案

北京市房山区2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题参考答案1．A 【思路点拨】由集合补集、并集的概念运算即可得解.【解析】因为全集{}2,1,1,2,3,4U =--，集合{}2,1,2,3A =-，所以{}U1,4A =-,又集合{}1,2,2,4B =--，所以(){}U 1,2,2,4A B =--.故选：A.2．D 【思路点拨】利用集合的基本运算，直接求解即可【解析】{}1P x x =>-，{}24Q x x =<}{22x x =-<<，则PQ ={}12x x -<<故选：D.【名师指导】本题考查集合的基本运算，属于基础题3．A 【思路点拨】分式不等式等价于()()320x a x --<，利用不等式的解集，直接求a .【解析】不等式()()303202x ax a x x -<⇔--<-，解集为123x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，可知133a =，1a .故选：A4．B 【思路点拨】由{}A B a =，可知3a =或a =，再回代验证，集合是否满足互异性. 【解析】{}A B a =，3a ∴=或a =，当3a =时，{A =，{}1,3B =，成立当a =时，0a =或1a =，当0a =时，{}3,0A =，{}1,0B =，成立当1a =时，{}3,1A =，{}1,1B =，不满足互异性，所以不成立，综上可知0a =或3. 故选：B【名师指导】易错点睛：根据列举法表示集合的交，并，补集，求参数时，需回代验证是否满足互异性，否则会出现增根的现象.5．B 【思路点拨】利用导数的四则运算计算结果.【解析】()()()()3323233x x x x x f x x e x e x e x e x e x '''=⋅+⋅=+=+.故选：B6．D 【思路点拨】直接利用作差比较法比较即得正确选项.【解析】22a b -=22)()0,,a b a b a b +->∴>（所以A 选项是错误的. 2a ab -=2()0,.a a b a ab ->∴>所以B 选项是错误的.11a b -=110,.b a ab a b ->∴>所以C 选项是错误的. 1b a -=0, 1.b a b a a -<∴<所以D 选项是正确的. D 故选：.【名师指导】(1)本题主要考查不等式的性质和实数比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较实数大小，常用包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配方、因式分解、通分等）→与1比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用比差.7．D 【思路点拨】由基本不等式运算即可得解.【解析】因为0m >，0n >，且0m n +-=，所以m n =+≥，所以3mn ≤，当且仅当m n ==时，等号成立，所以mn 的最大值是3. 故选：D.【名师指导】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1） “一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 8．A 【思路点拨】由充分条件、必要条件的定义，判断即可得解. 【解析】当0a <时，函数ln y x =与ay x=均在()0,∞+上单调递增，所以()ln af x x x=+在定义域内为增函数，故“0a <”能推出“函数()f x 在定义域内为增函数”；当0a =时，()ln f x x =，满足函数()f x 在定义域内为增函数，所以“函数()f x 在定义域内为增函数”推不出“0a <”；所以“0a <”是“函数()f x 在定义域内为增函数”的充分不必要条件. 故选：A.9．C 【思路点拨】利用导数分析函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性，进而可求得函数2cos y x x =+在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.【解析】对于函数2cos y x x =+，12sin y x '=-. 当06x π<<时，12sin 0y x '=->；当62x ππ<<时，12sin 0y x '=-<.所以，函数2cos y x x =+在区间0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在区间,62ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.所以，max 2cos666y πππ=+=故选：C.【名师指导】利用导数求解函数在区间上的最值时，首先要注意区分函数最值与极值的区别．求解函数的最值时，要先求函数()y f x =在[],a b 内所有使()0f x '=的点，再计算函数()y f x =在区间内所有使()0f x '=的点和区间端点处的函数值，最后比较即得． 10．A 【思路点拨】根据分段函数的定义域，分情况解不等式. 【解析】当0x ≤时，()2f x x =+，此时()222f x x x x ≥⇔+≥，()()220120x x x x --≤⇔+-≤，解得12x -≤≤，所以不等式的解集为[]1,0-，当0x >时，()2f x x =-+，此时()222f x x x x ≥⇔-+≥，()()220120x x x x +-≤⇔-+≤，解得：21x -≤≤，所以不等式的解集为(]0,1，综上可知不等式的解集为[]1,1-. 故选：A11．D 【解析】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为()f x 是偶函数，则()()g x f x '=是奇函数，所以()()g x g x -=-，应选答案D ．12．B 【解析】由题意得,函数()363f x x bx b =-+的导数()2'36f x x b =-在(0,1)内有零点，且()()'00,'10f f ,即60b -<,且360b ->， ∴102b <<，故选B.13．x N ∀∈，220x x +-≠【思路点拨】根据特称命题否定为全称命题，即可得结果. 【解析】因为特称命题的否定是全称命题，否定特称命题时，要将存在量词改写为全称量词，所以，命题x ∃∈N ，220x x +-=的否定为 x N ∀∈，220x x +-≠. 故答案为：x N ∀∈，220x x +-≠【名师指导】易错点睛：全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别：（1）否定全称和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词、存在量词改写为全称量词，二是要否定结论；（2）一般命题的否定只需直接否定结论即可.14．2【思路点拨】根据导函数的图像求出函数的单调区间，由极值点的定义即可求解. 【解析】由导函数的图像可知，函数的单调递增区间为(),0-∞，()2,+∞，单调递减区间为[]0,2，所以0x =为极大值点，2x =为极小值点，所以函数()y f x =的极值点有2个. 故答案为：2 15．14【思路点拨】由导数的几何意义可得切线的斜率，进而可得切线的方程，即可得解. 【解析】由题意，()()222222+-'==++x xy x x ，当1x =-时，2y '=，所以曲线2xy x =+在点()1,1--处的切线斜率为2，所以该切线方程为()121y x +=+即21y x =+，易得该切线与坐标轴的交点分别为1,02⎛⎫-⎪⎝⎭，()0,1，所以该切线与坐标轴围成的三角形面积1111224S =⨯⨯=. 故答案为：14. 16．3，2，1(答案不唯一)【思路点拨】由题意举出反例即可得解. 【解析】由题意，整数x ，y ，z 满足x y z >>，但不满足x y z >+，所以x ，y ，z 的值依次可以为3，2，1. 故答案为：3，2，1(答案不唯一). 17．x 52＞【思路点拨】由已知求出1户居民去年12月份的用水量，然后求出今年1月份该小区居民用水总量，再由题意可得（8﹣x ）×800+8×200＜6000，化简得答案．【解析】1000户居民去年12月份总用水量为8000吨，则1户居民去年12月份的用水量为80001000=8吨． 1户居民安装了节水龙头后一个月的用水量为（8﹣x ）吨，则今年1月份该小区居民用水总量为（8﹣x ）×800+8×200． ∴（8﹣x ）×800+8×200＜6000，解得x 52＞． ∴x 满足的关系式为x 52＞．故答案为：x 52＞．【名师指导】本题考查一次函数模型的应用，属简单题，只需认真理解题意即可.18．①②③【思路点拨】举出反例可判断①②③，按照[]102x x ≤-<、[]112x x ≤-<分类，即可判断④，即可得解.【解析】对于①，由[]2.33-=-，[]2.32-=-可得[][]2.3 2.3-≠-，故①为假命题；对于②，由31222⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦可得313222⎡⎤⎡⎤+≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故②为假命题；对于③，由3232⎡⎤⨯=⎢⎥⎣⎦，3222⎡⎤⨯=⎢⎥⎣⎦可得332222⎡⎤⎡⎤⨯≠⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故③为假命题；对于④，当[]102x x ≤-<时，[]12x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[][]22x x =，此时满足[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦；当[]112x x ≤-<时，[]112x x ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，[][]221x x =+，此时满足[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦；故④为真命题；故答案为：①②③.【名师指导】解决本题的关键是准确理解题目中的概念，举出合理反例、合理分类. 19．铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.【思路点拨】法一：因为体积为350cm 高为2cm ，所以底面积是定值25，设长为xcm ，则宽为25x，列出表面积结合基本不等式即可；法二：列出表面积后，利用求导函数的方法求最值. 【解析】解法1：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，则.. 表面积251002544425S x x x x=++⨯=++..2565≥=.. 当且仅当25x x=，即5x =时，表面积有最小值65. 所以这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省. 答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.解法2：设铁盒底面的长为xcm ，宽为25x，表面积为2ycm ，则. ()2510025444250y x x x x x=++⨯=++> 22210041004x y x x -'=-=.. 令2241000x y x -'==得，5x =.当()0,5x ∈时，0y '<，函数224100x y x -'=为减函数；当()5,+∈∞x 时，0y '>，函数224100x y x-'=为增函数；所以当5x =时，y 有最小值65.答：这个铁盒底面的长与宽均为5cm 时，用料最省.20．【思路点拨】（1）求出()0f 和()0f '的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）求出函数()y f x =的极值点，列表分析函数()y f x =的单调性以及导数符号的变化，即可得出函数()y f x =的单调区间和极值.【解析】解：（1）因为()39f x x x =-，所以()239f x x '=-当1x =时，()18=-f ，()16f '=-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线过点()1,8-，斜率为6k =-所以切线方程为()861y x +=--，即620x y ++=. （2）函数()f x 的定义域为R令()2390f x x '=-=得，x =所以函数()f x 的单调增区间为(),3-∞-，()3,+∞；减区间为()3,3-当=x ()f x 有极大值，(f =当3x =时，函数()f x 有极小值，f=-【名师指导】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数求函数的单调区间和极值，考查计算能力，属于基础题.21．【思路点拨】（1）根据定义域的定义，列方程求解即可；（2）把m 与3-的大小关系进行分类讨论，进而利用M N ⊆求解即可【解析】解：（1）因为函数()x f =M 102x x +≥-得，()()12020x x x ⎧+-≤⎨-≠⎩，所以12x -≤< 所以{}12M x x =-≤<.（2）当3m >-时，不等式30x x m +≤-等价于()()300x x m x m ⎧+-≤⎨-≠⎩，所以{}3N x x m =-≤< 因为M N ⊆，所以2m ≥. 当3m =-时，不等式30x x m+≤-等价于不等式10≤，解集N ϕ=，不满足条件M N ⊆. 当3m <-时，不等式30x x m +≤-等价于()()300x x m x m ⎧+-≤⎨-≠⎩，所以{}3N x m x =<≤-，不满足条件M N ⊆. 综上，m 的取值范围为2m ≥.【名师指导】本题考查集合的包含关系，考查定义域的求法，以及一元二次不等式的求解，主要考查学生分类讨论的思想，属于中档题22．.【思路点拨】（1）求得导函数，利用导数判断单调性即可求出极值进而求得最值；（2）若不等式()()0f x g x +>在()0,∞+上恒成立，等价于2e xm x>-在()0,+∞上恒成立，只需2maxe x m x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭构造函数()2e xh x x =-，利用导数求得最值即可得解.【解析】解：（1）当1m =，函数()f x 定义域为()(),00,-∞⋃+∞()()22e 1e e =xx x x x f x x x--'= 令()()210x e x f x x-'==，则=1x所以()f x 的减区间为(),0-∞，()0,1；增区间为()1,+∞所以当1x =时，函数()f x 有最小值()1e 1e 1f ==.（2）不等式()()0f x g x +>在()0,+∞上恒成立等价于不等式e >0+xmx x在()0,+∞上恒成立，故不等式2e xm x>-在()0,+∞上恒成立，令()2e xh x x =-，()0,+x ∈∞，则()()3e 2x x h x x-'= 当()0,2x ∈时，()0h x '>，所以()h x 在()0,2上为增函数；当()2,x ∈+∞时，()0h x '<，所以()h x 在()2,+∞上为减函数；所以()()2maxe 24h x h ==-，所以24e m >-.【名师指导】结论点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 ()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为()min 0f x > ，若()0f x <恒成立()max 0f x ⇔<；（3）若()()f x g x > 恒成立，可转化为()()min max f x g x >（需在同一处取得最值）.。

北京市房山区2019-2020学年数学高二下期末调研试题含解析

；
直线与曲线相切.
下列命题中为假命题的是（）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．若向量，，，，且，则与的夹角等于________
14．设圆锥的高是，母线长是，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为_______.
15．若点的柱坐标为，则点的直角坐标为______；
A． B．
C． D．
10．已知函数的导函数的图像如图所示，则（）
A．有极小值，但无极大值B．既有极小值，也有极大值
C．有极大值，但无极小值D．既无极小值，也无极大值
11．已知函数，其中为自然对数的底数，则对任意，下列不等式一定成立的是（）
A． B．
C． D．
12．现有下面三个命题
常数数列既是等差数列也是等比数列；
本题考查的是有关限制条件的排列数的问题，第一需要注意先把不相邻的元素找出来，将剩下的排好，这里需要注意定序问题除阶乘，第二需要将不相邻的两个元素进行插空，利用分步计数原理求得结果，注意特殊元素特殊对待。
2．C
【解析】
分析：由题意首先求得集合B，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：求解二次不等式可得，
【详解】
根据题意分步进行分析：①将《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的首诗词全排列，则有
种顺序
《将进酒》排在《望岳》的前面，
这首诗词的排法有种
②，这首诗词排好后，不含最后，有个空位，在个空位中任选个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有种安排方法
则后六场的排法有种
故选
【点睛】
【详解】
令，由已知等式可得：，

2020-2021学年北京市房山区高二(下)期末数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年北京市房山区高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知全集U=R，集合M={x|−2≤x≤3}，则集合∁U M=()A. {x|−2<x<3}B. {x|x<−2或x>3}C. {x|−2≤x≤3}D. {x|x≤2或x≥3}2.若a>b，则下列不等式一定成立的是()A. a2>b2B. 1a >1bC. a−1>b−2D. a+b>2√ab3.已知命题p：所有能被2整除的整数都是偶数，那么￢p为()A. 所有不能被2整除的整数都是偶数B. 所有能被2整除的整数都不是偶数C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数4.要得到函数y=cos3x(x∈R)的图象，只需将函数y=cosx(x∈R)的图象上的所有点()A. 横坐标变为原来的13(纵坐标不变)B. 横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)C. 纵坐标变为原来的13(横坐标不变)D. 纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变)5.sin10π3=()A. 12B. −12C. √32D. −√326.函数f(x)=sin(x+π4)的一条对称轴可以为()A. x=−π2B. x=0 C. x=π4D. x=π27.若命题“∀x∈[1,2]，ax+1>0”是真命题，则a的取值范围是()A. (−12,+∞) B. [−12,+∞) C. (−1,+∞) D. [−1,+∞)8.“−2<x<3”是“x2−2x−3<0成立”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 一个半径为2m 的水轮，水轮圆心O 距离水面1m ，已知水轮每分钟转动(按逆时针方向)3圈，当水轮上的点P 从水中浮现时开始计时，即从图中点P 0开始计算时间.当时间t =10秒时，点P 离水面的高度为( )A. 3mB. 2mC. 1mD. 0m10. 已知函数f(x)=cos 2x +sinx ，则下列结论中正确的是( )A. f(x)是奇函数B. f(x)的最大值为2C. f(x)在(π2,5π6)上是增函数D. f(x)在(−π,0)上恰有一个零点二、单空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 已知等差数列{a n }中，a 1=4，a 4+a 6=12，则a 3= ______ ．12. 已知函数f(x)=ln(2x +1)，则函数f(x)的定义域为______ ；f(x)的导函数f′(x)= ______ ．13. 在△ABC 中，cosA =13，则tanA = ______ ． 14. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f(x)的最小正周期T = ______ ，函数f(x)的解析式为______ ．15. 能够说明“设θ∈R ，若sinθ<√22，则0<θ<π4”为假命题的一个θ的值为______ ．16. 已知在数列{a n }中，a 1=1，a n+1+a n =b n (b >0)，其前n 项和为S n .给出下列四个结论：①b =1时，S 5=3； ②a 3>0；③当b >1时，数列{a n }是递增数列；④对任意b>0，存在λ∈R，使得数列{a n−λb n}成等比数列．其中所有正确结论的序号是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17.已知等比数列{a n}满足a1=1，a5=18a2．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n}的前n项和S n；(Ⅲ)比较S n与2的大小，并说明理由．18.在平面直角坐标系xOy中，角α，β的顶点都与坐标原点重合，始边都落在x轴的正半轴.角α的终边与单位圆的交点坐标为(45,35)，将角α的终边逆时针旋转π3后得到角β的终边．(Ⅰ)直接写出sinα，cosα的值；(Ⅱ)将β用含α的代数式表示；(Ⅲ)求sin(α+β)的值．19.已知函数f(x)=√3sin2x−2sin2x+m，再从下列条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．(Ⅰ)求m的值；(Ⅱ)求函数f(x)在[0,π2]上的单调递增区间．条件①：f(x)的最大值与最小值之和为0；)=0．条件②：f(π220.某公司欲将一批货物从甲地运往乙地，甲地与乙地相距120千米，运费为每小时60元，装卸费为1000元，货物在运输途中的损耗费的大小(单位：元)是汽车速度(千米/小时)值的2倍.(注：运输的总费用=运费+装卸费+损耗费)(Ⅰ)若汽车的速度为50千米/小时，求运输的总费用；(Ⅱ)汽车以每小时多少千米的速度行驶时，运输的总费用最小？求出最小总费用．).21.已知函数f(x)=(ax2+x+1)e x(a≤12(Ⅰ)求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程；(Ⅱ)证明：当x≤0时，f(x)≤1．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵U=R，M={x|−2≤x≤3}，∴∁U M={x|x<−2或x>3}．故选：B．进行补集的运算即可．本题考查了集合的描述法的定义，补集及其运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：令a=1，b=−2，a>b，但a2<b2，故A选项错误，令a=2，b=1，a>b，但1a <1b，故B选项错误，∵a>b，−1>−2，由不等式的可加性，可得a−1>b−2，故C选项正确，令a=−2，b=−3，a>b，但a+b>2√ab不成立．故选：C．根据已知条件，结合不等式的可加性和特殊值代入法，即可求解．本题考查了不等式的性质，掌握特殊值代入法是解本题的关键，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，所以命题p：所有能被2整除的整数都是偶数，则￢p为：存在一个能被2整除的整数不是偶数．故选：D．利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，即可得到答案．本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：要得到函数y=cos3x(x∈R)的图象，只需将函数y=cosx(x∈R)的图象上的所有点的横坐标变为原来的13(纵坐标不变)，故选：A．直接利用三角函数的关系式的伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：sin10π3=sin(3π+π3)=−sinπ3=−√32．故选：D．直接利用诱导公式化简，通过特殊角的三角函数求值即可．本题考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值的求法，基本知识的考查．6.【答案】C【解析】解：对于函数f(x)=sin(x+π4)，令x=−π2，求得f(x)=−√22，不是最值，故x=−π2不是f(x)的一条对称轴，故A错误；令x=0，求得f(x)=√22，不是最值，故x=0不是f(x)的一条对称轴，故B错误；令x=π4，求得f(x)=1，是f(x)的最大值，故x=π4是f(x)的一条对称轴，故C正确；令x=π2，求得f(x)=√22，不是最值，故x=π2不是f(x)的一条对称轴，故D错误，故选：C．由题意利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：命题“∀x ∈[1,2]，ax +1>0”是真命题， ①当a >0时，y =ax +1在[1,2]上单调递增，所以a +1>0，解得a >−1，故a >0； ②当a =0时，1>0恒成立，符合题意； ③当a <0时，y =ax +1在[1,2]上单调递减，所以2a +1>0，解得a >−12，故−12<a <0．综上所述，a 的取值范围为(−12,+∞)．故选：A ．将问题转化为恒成立，然后利用分类讨论的思想，分a >0，a =0和a <0，分别求解即可得到答案．本题考查了命题真假的应用，不等式恒成立问题的求解，函数单调性的判断与应用，分类讨论思想的运用，考查了逻辑推理能力，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：由x 2−2x −3<0，得−1<x <3， ∵(−1,3)⊂(−2,3)，∴“−2<x <3”是“x 2−2x −3<0成立”的必要而不充分条件．故选：B ．求解一元二次不等式，然后结合集合间的关系及充分必要条件的判定得答案．本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定，是基础题．9.【答案】B【解析】解：t =10秒时，水轮转过角度为3×2π60×10=π，延长P 0O ，交圆O 于点P ，如图所示：则t =10秒时，P 0转到点P 位置；设水轮与水面的另一交点为N ，连接PN ，则PN ⊥P 0N ，取NP 0的中点M ，连接OM ，则OM ⊥NP 0，在Rt △MOP 0中，OM =1，OP 0=2，所以OM 是△PNP 0的中位线，所以PN =2OM =2，即点P 离开水面的高度为2m ．故选：B ．根据题意，利用三角形的中位线，即可求出10秒后点P 离开水面的高度．本题考查了三角函数模型应用问题，理解题意建立数学模型，是解题的关键，是基础题．10.【答案】C【解析】解：函数f(x)=cos 2x +sinx =−sin 2x +sinx +1，A ：因为f(−x)=−sin 2x −sinx +1≠−f(x)，所以不是奇函数，所以A 不正确；令t =sinx ∈[−1,1]，B ：则函数为g(t)=−t 2+t +1=−(t −12)2+54，所以当t =12时，函数最大值为54，所以B 不正确； C ：t =sinx 在(π2,5π6)单调递减，且t ∈(12,1)，而g(t)=−t 2+t +1=−(t −12)2+54，在(12,1)单调递减，由复合函数的单调性可得f(x)在(π2,5π6)单调递增，所以C 正确；D ：t =sinx 在x ∈(−π,0)，则t ∈(0,1]，g(t)=−t 2+t +1=0，解得t =1±√52∉(0,1]，所以函数无零点，所以D 不正确；故选：C ．函数整理关于sin x 的二次函数，换元可得二次函数，由复合函数的单调性可判断所给命题的真假．本题考查复合函数的单调性的应用，属于中档题．11.【答案】5【解析】解：∵等差数列{a n}中，a1=4，a4+a6=12，∴4+3d+4+5d=12，解得d=12，∴a3=4+2×12=5．故答案为：5．利用等差数列的通项公式直接求解．本题考查等差数列的第3项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】(−12,+∞)22x+1【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln(2x+1)，有2x+1>0，解可得x>−12，即函数f(x)的定义域为(−12,+∞)，其导数f′(x)=(2x+1)′×12x+1=22x+1，故答案为：(−12,+∞)，22x+1．根据题意，由函数的解析式可得2x+1>0，解可得函数的定义域，利用复合函数的求导公式计算可得答案．本题考查导数的计算，注意复合函数导数的计算公式，属于基础题．13.【答案】2√2【解析】解：因为在△ABC中，cosA=13，所以sinA=√1−cos2A=2√23，则tanA=sinAcosA=2√2．故答案为：2√2．由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．14.【答案】π f(x)=2sin(2x −π6)【解析】解：由图可知函数图像过点(−π6,−2)和(π3,2)，并且是图像上的最低点和最高点，所以可判断出A =2，12T =π3−(−π6)=π2，∴T =π=2πω，∴ω=2，∴f(x)=2sin(2x +φ)，将点(π3,2)代入f(x)中可得2sin(2×π3+φ)=2，解得φ=−π6+2kπ，∵|φ|<π2， ∴φ=−π6，∴f(x)=2sin(2x −π6)．故答案为：π；f(x)=2sin(2x −π6)．根据图像求出函数解析式，结合三角函数的性质即可进行求解．本题考查了三角函数最值的求解，利用图像求出三角函数的解析式是解决本题的关键．15.【答案】5π6【解析】解：“设θ∈R ，若sinθ<√22，则0<θ<π4”为假命题，当θ=5π6时，成立，故答案为：5π6．直接利用三角函数的值的应用和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，赋值法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16.【答案】①②④【解析】解：①当b =1时，a n+1+a n =1，则a n+2+a n+1=1，即a n+1+a n =a n+2+a n+1，则a n =a n+2，则a 1=a 3=a 5=1，a 2=a 4=0，则S 5=3；故①正确；②因为a n+1+a n =b n (b >0),a 1=1，所以a 2+a 1=b,a 3+a 2=b 2，第11页，共15页即a 3=b 2−b +1=(b −12)2+34>0，故②正确； ③当b >1时，不妨设b =32，则甴a n+1+a n =b n (b >0),a 1=1，得a 2+a 1=32，则a 2=−a 1+32=12，则a 2<a 1，故数列{a n }是递增数列错误；故③错误； ④设，则a n+1+a n =λb n+1+λb n =(λb +λ)b n ， ∵a n+1+a n =b n (b >0)， ∴λb +λ=1，即λ=1b+1，存在λ=1b+1，数列{a n −λb n }成等比数列，此时公比q =−1；故④正确．故答案为：①②④．对于①，直接算出数列{a n }的前5项，再相加即可判断①；对于②，把a 3用b 来表示，即可判断a 3与0的大小，进而判断②；对于③，取b =32，可得a 2<a 1，进而判断③错误；对于④，当a n −λb n =0恒成立时可以求出λ=1b+1，所以存在λ=1b+1，数列{a n −λb n }成等比数列，所以④正确．本题考查数列的递推关系，考查数列的单调性，考查等比数列的概念，考查数学抽象的核心素养，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)∵等比数列{a n }满足a 1=1，a 5=18a 2，∴q 4=18q ，解得q =12，∴数列{a n }的通项公式a n =12n−1． (Ⅱ)数列{a n }的前n 项和： S n =1−12n 1−12=2−22n ．(Ⅲ)∵S n =2−22n ，22n >0，第12页，共15页∴S n <2．【解析】(Ⅰ)利用等比数列通项公式列方程，求出q =12，由此能求出数列{a n }的通项公式．(Ⅱ)利用等比数列前n 项和公式能求出数列{a n }的前n 项和． (Ⅲ)由S n =2−22n ，22n >0，得到S n <2．本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(I)∵角α的终边与单位圆的交点坐标为(45,35)，∴sinα=35，cosα=45．(II)∵角α的终边逆时针旋转π3后得到角β的终边， ∴β=α+π3． (III)∵β=α+π3，∴sin(α+β)=sin(α+α+π3)=sin(2α+π3)，∵sinα=35，cosα=45，∴sin2α=2sinαcosα=2×35×45=2425，cos2α=2cos 2α−1=2×(45)2−1=725， ∴sin(2α+π3)=sin2α⋅cos π3+cos2α⋅sin π3=2425×12+725×√32=24+7√350．【解析】(I)根据已知条件，结合三角函数的定义，即可求解． (II)角α的终边逆时针旋转π3后得到角β的终边，即β=α+π3．(III)根据已知条件，结合三角函数的二倍角公式，以及正弦函数的两角和公式，即可求解．本题考查了三角函数的定义，以及三角函数的二倍角公式和正弦函数的两角和公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=√3sin2x −2sin 2x +m =√3sin2x +cos2x −1+m =2sin(2x +π6)+m −1，若条件①：f(x)的最大值最小值分别为2+m−1=m+1，−2+m−1=m−3，由题意可得：m+1+m−3=0，可得m=1，所以m的值为1；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=2sin(2x+π6)，它的单调递增区间满足：−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，而x∈[0,π2]，所以令k=0，可得x∈[0,π6]，k≥1或k≤−1时，无交集，所以函数在[0,π2]上的单调递增区为：[0,π6]；若条件②：f(π2)=0，即2sin(π+π6)+m−1=，可得2(−12)+m−1=0，解得：m=2，所以m的值为2；(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=2sin(2x+π6)+1，它的单调递增区间满足：−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，而x∈[0,π2]，所以令k=0，可得x∈[0,π6]，k≥1或k≤−1时，无交集，所以函数在[0,π2]上的单调递增区为：[0,π6]；综上所述，函数在[0,π2]上的单调递增区为：[0,π6].【解析】(Ⅰ)先将函数恒等变形即辅助角公式化简，然后分别有条件①②可得m的值；(Ⅱ)先求函数在R上的单调递增区间，取适当的k的值满足在[0,π2]上求出函数的单调递增区间．本题考查三角函数的恒等变形及函数的单调性区间的求法，属于中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)设汽车的速度为x千米/小时，则损耗费为2x元，运输的总费用y=60⋅120x +1000+2x=7200x+2x+1000，当x=50时，y=720050+2×50+1000=1244，故当汽车的速度为50千米/小时，运输的总费用为1244元．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，运输的总费用y=7200x +2x+1000≥2√7200x⋅2x+1000=1240，当且仅当7200x=2x，即x=60千米/小时，y取得最小值，为1240，第13页，共15页第14页，共15页故当汽车以每小时60千米的速度行驶时，运输的总费用最小，为1240元．【解析】(Ⅰ)设汽车的速度为x 千米/小时，可推出运输的总费用y =7200x+2x +1000，再把x =50代入，求得y 的值，即可；(Ⅱ)利用基本不等式，求取(Ⅰ)中y 的最小值，即可．本题考查函数的实际应用，基本不等式的应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=(2ax +1)e x +(ax 2+x +1)e x =[ax 2+(2a +1)x +2]e x ， k 切=f′(0)=2，又f(0)=1，所以曲线y =f(x)在x =0处的切线方程为y −1=2(x −0)，即y =2x +1． (Ⅱ)证明：要证f(x)=(ax 2+x +1)e x ≤1，(a ≤12). 需证ax 2+x +1≤1e x ，只需证ax 2+x +1−1e x ≤0，因为a ≤12，只需证12x 2+x +1−1e x ≤0，令g(x)=12x 2+x +1−1e x ，则g(0)=0， g′(x)=x +1+1e x，g′(0)=2>0，g″(x)=1−1ex =e x −1e x≤0在(−∞,0)上恒成立，所以g′(x)在(−∞,0)为减函数，所以g′(x)≥g′(0)=2，所以g(x)在(−∞,0)上为增函数，所以g(x)≤g(0)=0，所以f(x)≤1．【解析】(Ⅰ)求导得f′(x)=[ax 2+(2a +1)x +2]e x ，由导数的几何意义可得k 切=f′(0)=2，又f(0)=1，即可得出答案．(Ⅱ)要证f(x)=(ax 2+x +1)e x ≤1，(a ≤12)，只需证ax 2+x +1−1e x ≤0，由a ≤12，需证12x2+x+1−1e x≤0，令g(x)=12x2+x+1−1e x，则g(0)=0，只需证明g(x)max≤0，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．第15页，共15页。

2020年北京市房山区数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

2020年北京市房山区数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．甲、乙、丙、丁四人参加驾校科目二考试，考完后，甲说：我没有通过，但丙已通过；乙说：丁已通过；丙说：乙没有通过，但丁已通过；丁说：我没有通过．若四人所说中有且只有一个人说谎，则科目二考试通过的是（）A．甲和丁B．乙和丙C．丙和丁D．甲和丙【答案】C【解析】【分析】逐一验证，甲、乙、丙、丁说谎的情况，可得结果.【详解】若甲说谎，则可知丁通过，但丁说没通过，故矛盾若乙说谎则可知丁没有通过，但丙说丁通过，故矛盾若丙说谎则可知丁通过，但丁说没有通过，故矛盾若丁说谎，则可知丙、丁通过了科目二所以说谎的人是丁故选：C【点睛】本题考查论证推理，考验逻辑推理以及阅读理解的能力，属基础题.2．五个人站成一排，其中甲乙相邻的站法有（）A．18种B．24种C．48种D．36种【答案】C【解析】【分析】A即可得出结论．将甲乙看作一个大的元素与其他元素进行排列，再乘22【详解】五个人站成一排，其中甲乙相邻，A，将甲乙看作一个大的元素与其他3人进行排列44A，再考虑甲乙顺序为22故共4242=48A A ⋅种站法.故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用，求排列组合常用的方法有：元素优先法、插空法、捆绑法、隔板法、间接法等，解决排列组合问题对学生的抽象思维能力和逻辑思维能力要求较高，本题属于简单题. 3．函数y=2x 2–e |x|在[–2,2]的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D4．已知α∈R ，10sin 2cos αα+=，则tan2α=( ) A ．43B ．34 C ．34-D ．43-【答案】C 【解析】【分析】将10sin 2cos αα+=两边同时平方，利用商数关系将正弦和余弦化为正切，通过解方程求出tan α，再利用二倍角的正切公式即可求出tan2α. 【详解】()22222225sin 4sin cos 4cos sin 2cos =sin 4sin cos 4cos =2sin cos αααααααααααα++=++++再同时除以2cos α，整理得22tan 4tan 45tan 12ααα++=⇒+23tan 8tan 30αα--= 故tan 3α=或1tan 3α=-，代入22tan tan21tan ααα=-，得3tan 24α=-. 故选C. 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简和求值，考查了二倍角的正切公式以及平方关系，商数关系，属于基础题.5．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，且x R ∀∈，有()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，则()f x 图象的一个对称中心坐标是（） A ．2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．,03π⎛-⎫⎪⎝⎭ C ．2,03π⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,03π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】首先根据函数的最小正周期和最值确定函数的解析式，进一步利用整体思想求出函数图象的对称中心. 【详解】由()()sin f x x ωϕ=+的最小正周期为4π，得12ω=，因为()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，所以()max3f x f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，即()12232k k Z ππϕπ⨯+=+∈，由2πϕ<，得3πϕ=，故()1sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令()123x k k Z ππ+=∈，得()223x k k Z ππ=-∈，故()f x 图象的对称中心为()22,03k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，当0k =时，()f x 图象的对称中心为2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查的知识要点：正弦型函数的性质、周期性和对称中心的应用及相关的运算问题，属于基础题. 6．函数2sin 1xy x x =++的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】结合函数的性质，特值及选项进行排除. 【详解】当1x =时，2sin12y =+>，可以排除A,C 选项；由于2sin xy x x =+是奇函数，所以2sin 1x y x x=++关于点(0,1)对称，所以B 对， D 错. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数图象的识别，由解析式选择函数图象时，要注意特值法的使用，侧重考查直观想象的核心素养.7．已知函数()y f x =的导数是()'y f x =，若()0,x ∀∈+∞，都有()()'2xf x f x <成立，则( )A ．(2332f f >B ．()212f f<C ．()4332f f <D ．()()412f f >【答案】D 【解析】分析：由题意构造函数()()()20f x g x x x=>，结合函数的单调性整理计算即可求得最终结果.详解：令()()()20f x g x x x=>，则：()()()()()243'2'2'f x x f x xxf x f x g x xx⨯-⨯-==，由()0,x ∀∈+∞，都有()()'2xf x f x <成立，可得()'0g x <在区间()0,∞+内恒成立，即函数()g x 是区间()0,∞+内单调递减，据此可得：()()12g g >，即()()221212f f >，则()()412f f >.本题选择D 选项.点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 8．《九章算术》中有这样一个问题：今有竹九节，欲均减容之（其意为：使容量均匀递减），上三节容四升，下三节容二升，中三节容几何？（） A ．二升 B ．三升C ．四升D ．五升【答案】B 【解析】【分析】由题意可得，上、中、下三节的容量成等差数列．再利用等差数列的性质，求出中三节容量，即可得到答案．【详解】由题意，上、中、下三节的容量成等差数列，上三节容四升，下三节容二升，则中三节容量为4232+=，故选B ．【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的应用，其中解答中熟记等差数列的等差中项公式是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 9．幂函数的图象过点(14,2) ，那么(8)f 的值为（）A ．4B ．64C ．D ．164【答案】A 【解析】【分析】【详解】设幂函数的解析式为f x x α=（）， ∵幂函数f x （）的图象过点1(4)2，，121148822f αα-∴=∴=-∴===，．（）. 选A10．记函数()ln(1)f x x =+A ，函数3()221x x g x x -=-++，若不等式(2)(1)2g x a g x ++->对x A ∈恒成立，则a 的取值范围为（）A ．(4,)+∞B ．(2,4]-C ．[4,)+∞D ．(,2)-∞-【答案】C 【解析】【分析】列不等式求出集合(1,1]A =-，设3()22xxF x x -=-+，可得()F x 既是奇函数又是增函数，故原题等价于(2)(1)0F x a F x ++->，结合奇偶性和单调性以及分离参数思想可得13a x >-在(]1,1-上恒成立，根据13x -的范围即可得结果. 【详解】由1010x x +>⎧⎨-≥⎩得11x -<≤，即(1,1]A =-设3()22xxF x x -=-+，()()322x x F x x F x --=-=--，即函数()F x 在R 上为奇函数，又∵22xxy -=-和3y x =为增函数， ∴3()22xxF x x -=-+既是奇函数又是增函数由(2)(1)2g x a g x ++->得(2)(1)0F x a F x ++->，则(2)(1)(1)F x a F x F x +>--=-，∴21x a x +>-即13a x >-在(]1,1-上恒成立，∵13[2,4)x -∈-，∴4a …，故选C . 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的应用，恒成立问题，构造函数3()22xxF x x -=-+是解题的关键，属于中档题.11．对任意复数(,)z a bi a b R =+∈，i 为虚数单位，则下列结论中正确的是（） A ．2z z a -= B ．2z z z ⋅=C ．1zz= D ．20z ³【答案】B 【解析】分析：由题可知z a bi =-，然后根据复数的运算性质及基本概念逐一核对四个选项得到正确答案. 详解：已知z a bi =+ 则z a bi =-选项A ，()()22z z a bi a bi bi a -=+--=≠，错误. 选项B ，()()222z z a bi a bi a b z ⋅=+-=+=，正确.选项C ，()()()2222221a bi z a bi a b abi z a bi a bi a bi a b ----===≠++-+，错误. 选项D ，()22222z a bi a b abi =+=-+，20z ≥不恒成立，错误. 故选B.点睛：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算.12．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值为( )A B ．22CD ．4【答案】A 【解析】【分析】设,2sin )P θθ，由此24sin )x y θθθϕ+=+=+，根据三角函数的有界性可得结果. 【详解】椭圆方程为22164x y +=,设,2sin )P θθ,则24sin )x y θθθϕ+=+=+ (其中tan 4ϕ=),故2x y +≤2x y +，故选A .【点睛】本题主要考查椭圆参数方程的应用，辅助角公式的应用，属于中档题. 利用公式()sin cos )f x a x b x x ωωωϕ=+=+ 可以求出:①()f x 的周期2πω;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域⎡⎣；④对称轴及对称中心（由2x k πωϕπ+=+可得对称轴方程，由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．复数()1i i +（i 是虚数单位）的虚部为______．【答案】1 【解析】【分析】先将复数化简，再求虚部即可【详解】()11i i i +=-+，所以复数的虚部为：1故答案为1 【点睛】本题考查复数的基本概念，在复数z a bi =+中，实部为a ，虚部为b ，属于基础题14．乒乓球比赛,三局二胜制.任一局甲胜的概率是(01)p p <<,甲赢得比赛的概率是q ,则q p -的最大值为_____.【解析】分析：采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：甲净胜二局，前二局甲一胜一负，第三局甲胜，由此能求出甲胜概率；进而求得q p -的最大值. 详解：采用三局两胜制，则甲在下列两种情况下获胜：1:20A ：（甲净胜二局），2:21A ：（前二局甲一胜一负，第三局甲胜）．()()212122121P A p P A C p p p p p ==⨯⨯-⨯=-（），（）．因为1A 与2A 互斥，所以甲胜概率为()221221,q PA A p p p =+=+-（）则()2221,q p p p p p -=+-- 设()22322123,y p p p p p p p =+--=-+-2661,y p p =-+-'即答案为318.，注意到01p <<，则函数3223y p p p =-+-在330,⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭和33,1⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭ 单调递减，在3333,⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，故函数在33p +=处取得极大值，也是最大值，最大值为32333333323.66618y ⎛⎫⎛⎫+++=-⨯+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即答案为3. 点睛：本题考查概率的求法和应用以及利用导数求函数最值的方法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用． 15．下列命题中①若()00f x '=，则函数()y f x =在0x x =取得极值；②直线5210x y -+=与函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像不相切；③若z C ∈(C 为复数集），且221z i +-=，则22z i --的最小值是3； ④定积分24164x dx π--=⎰.正确的有__________．【答案】②③④ 【解析】分析：①结合极值点的概念，加以判断即可；②求出导数f′（x ），由切线的斜率等于f′（x 0），根据三角函数的值域加以判断即可；③|z+2﹣2i|=1表示圆，|z ﹣2﹣2i|的几何意义两点的距离，通过连接两定点，由原定特性即可求出最小值；④令y=216x -，则x 2+y 2=16（y≥0），点（x ，y ）的轨迹表示半圆，则该积分表示该圆面积的．详解：①若()00f x '=，且0x 是变号零点，则函数()y f x =在0x x =取得极值，故选项不正确；②直线5210x y -+=与函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像不相切；直线5210x y -+=化为函数形式为5122y x =+，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[]2cos(2)2,23f x π+∈-'=，[]52,22∉-，两者不能相切，故选项正确;③|z+2﹣2i|=1的几何意义是以A （﹣2，2）为圆心，半径为1的圆，|z ﹣2﹣2i|的几何意义是圆上一点到点B （2，2）的距离，连接AB 并延长，显然最小值为AB ﹣1=4﹣1=3，故③正确；④令x 2+y 2=16（y≥0），点（x ，y）的轨迹表示半圆，定积分4-表示以原点为圆心，4为半径的圆面积的14，故定积分4-=11644ππ⨯⨯= ，故④正确．故答案为：②③④点睛：本题以命题的真假为载体考查函数的极值概念，导数的应用于求切线方程，以及复数的几何意义，定积分的几何意义及求法，是一道基础题．注意积分并不等于面积，解决积分问题的常见方法有：面积法，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数；应用公式直接找原函数的方法；利用被积函数的奇偶性得结果.16．曲线21y x =-与坐标轴及2x =所围成封闭图形的面积是__________．【答案】83【解析】分析：首先利用定积分表示曲边梯形的面积，然后计算定积分．详解：曲线21y x =-与两坐标轴及2x =所围成的图形的面积为2122331121118(1)(1)()().11333x dx x dx x x x x --------⎰⎰＝＝即答案为83．点睛：本题考查了定积分的运用求曲边梯形的面积；正确利用定积分表示是关键．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．选修4-5：不等式选讲已知函数()()2log 12f x x x m =++--. （Ⅰ）当5m =时，求函数()f x 的定义域；（Ⅱ）若关于x 的不等式()1f x ≥的解集是R ，求m 的取值范围. 【答案】（1）{3x x >或}2x <-（2）1m £. 【解析】试题分析：（1）函数去绝对值号化为分段函数即可求解；（2）分离参数得：122m x x ≤++--在R 上恒成立，利用绝对值性质122321x x ++--≥-=即可得到m 范围内. 试题解析：（1）由题意1250x x ++-->，令()21,1123,1221,2x x g x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-<<⎨⎪-≥⎩解得3x >或2x <-，∴函数的定义域为{3x x >或}2x <-（2）()1f x ≥，∴()22log 121log 2x x m ++--≥=，即122x x m ++--≥.由题意，不等式122x x m ++--≥的解集是R ，则122m x x ≤++--在R 上恒成立. 而122321x x ++--≥-=，故1m ≤.点睛：恒成立问题是常见数学问题，一般可考虑分离参数处理，分离参数后问题转化为求最值，可考虑均值不等式、函数最值，绝对值的性质、三角函数等方法来处理. 18．已知函数()()2ln 1f x x a x =++．（1）若函数()y f x =在区间[)1,+∞内是单调递增函数，求实数a 的取值范围；（2）若函数()y f x =有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()210f x x <<．（注：e 为自然对数的底数）【答案】（1）[4,)-+∞；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）函数()y f x =在区间[)1,+∞上是单调递增函数，()201af x x x '=+≥+，化为：222a x x ≥--，[1,)x ∈+∞.利用二次函数的单调性即可得出.（2）222()1x x af x x '++=+在区间(1,)-+∞上有两个不相等的实数根，⇔方程2220x x a ++=在区间(1,)-+∞上有两个不相等的实数根.令2()22g x x x a =++，利用根的分布可得a 的范围，再利用根与系数关系可得：21222211,220,,02x x x x a x ⎛⎫+=-++==- ⎪⎝⎭，得()()()22222221222ln 11x x x x f x x x -++=--，令()2222ln(1)1(),,012x x x x h x x x-++⎛⎫=∈- ⎪--⎝⎭.利用导数研究其单调性极值与最值即可得出. 【详解】（1）解：∵函数()y f x =在区间[)1,+∞上是单调递增函数， ∴()201af x x x '=+≥+，化为：222a x x ≥--，[1,)x ∈+∞，令2()22g x x x =--，则211()24,122g x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭时取等号. 4a ∴≥-.∴实数a 的取值范围是[4,)-+∞；（2）证明：222()1x x af x x '++=+在区间(1,)-+∞上有两个不相等的实数根，即方程2220x x a ++=在区间(1,)-+∞上有两个不相等的实数根，记2()22g x x x a =++，则112(1)0102g g ⎧->-⎪⎪⎪->⎨⎪⎛⎫⎪-< ⎪⎪⎝⎭⎩，解得102a <<，212222111,220,,022x x x x a x ⎛⎫∴+=-++==∈- ⎪⎝⎭， ()()()()222222222211222ln 1ln 11x x x x f x x a x x x x -++++∴==--，令()2222ln(1)1(),,012x x x x h x x x-++⎛⎫=∈- ⎪--⎝⎭，22()2ln(1)(1)x h x x x '=+++，记22()2ln(1)(1)x p x x x =+++， 23262()(1)x x p x x '++∴=+，令2235()262222u x x x x ⎛⎫=++=+- ⎪⎝⎭在1,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递增.110,(0)2022u u ⎛⎫-=-<=> ⎪⎝⎭，因此函数()p x '存在唯一零点01,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，使得(0)0p x '=，当 01,,()02x x p x '⎛⎫∈-< ⎪⎝⎭；当()0,0x x ∈时，()0p x '>，而()p x 在01,2x ⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减，在()0,0x 单调递增，而1(0)0,12ln 202p p ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭， max ()0p x ∴<，()0h x '∴<，∴函数()h x 在1,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减， 1(0)()2h h x h ⎛⎫∴<<- ⎪⎝⎭，可得：10()ln 22h x <<-，即()2110ln 22f x x <<-+.【点睛】本题考查了利用导数研究单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题.19．如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PB BC ⊥，PD CD ⊥，且PA AB =，E 为PD 中点．(1)求证：PA ⊥平面ABCD ； (2)求二面角A BE C --的余弦值．【答案】 (1)证明见解析；(2) 5-. 【解析】【分析】（1）推导出BC AB ⊥，BC PB ⊥，从而BC ⊥平面PAB ，进而BC PA ⊥．求出CD PA ⊥，由此能证明PA ⊥平面ABCD ．（2）以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A BE C --的正弦值．【详解】（1）∵底面ABCD 为正方形， ∴BC AB ⊥，又BC PB ⊥，AB PB B ⋂=， ∴BC ⊥平面PAB ， ∴BC PA ⊥.同理CD PA ⊥，BC CD C ⋂=， ∴PA ⊥平面ABCD .（2）建立如图的空间直角坐标系A xyz -，不妨设正方形的边长为2.则 (0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(2,0,0)B设(;,)m x y z =r为平面ABE 的一个法向量，又(0,1,1)AE =u u u r ，(2,0,0)AB =u u u r ，020m AE y z m AB x ⎧⋅=+=⎨⋅==⎩u u u v v u u uv v ，令1y =-，1z =，得(0,1,1)m =-r 同理(1,0,2)n =r是平面BCE 的一个法向量，则cos ,||||5m n m n m n ⋅<>===r r r rr r . ∴二面角A BE C --的余弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题． 20．已知函数()22ln 3f x x x x ax =+-+（1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线;（2）若存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（e 是自然对数的底数），使不等式()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）4a =（2）132a e e≤+- 【解析】【分析】（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，利用导数的几何意义，列出方程组，即可求解；（2）把不等式()0f x ≥成立，转化为32ln a x x x ≤++，构造函数()()32ln 0h x x x x x=++>，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．【详解】（1）设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则()00f x =，()00f x '=，即()()000000002ln 2202ln 30f x x x a f x x x x ax ⎧=++-=⎪⎨=+-+='⎪⎩，解得014x a =⎧⎨=⎩，即当4a =时，x 轴为曲线()y f x =的切线．（2）由题意知22ln 30x x x ax +-+≥，即32ln a x x x≤++，设()()32ln 0h x x x x x =++>，则()()()2231231x x h x x x x +-'=+-=，当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0h x '<，此时()h x 单调递减;当(]1,x e ∈时，()0h x '>，此时()h x 单调递增.存在1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使()0f x ≥成立，等价于()max a h x ≤，即()1max ,a h h e e⎧⎫⎛⎫≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭，又1123h e e e ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()32h e e e =++，故()1h h e e ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以132a e e≤+-. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．21．从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任意取出三个不同的数字. （Ⅰ）求取出的这三个数字中最大数字是8的概率；（Ⅱ）记取出的这三个数字中奇数的个数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望. 【答案】()I . 14；（Ⅱ）见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）取出的这三个数字中最大数字是8，其余两个从1，2，3，4，5，6，7中取．（Ⅱ）取出的这三个数字中奇数的个数为0、1、2、3，求出相应的概率，即可求得分布列及期望．2739C 1.8P C 4==解（Ⅰ）取出的这三个数字中最大数字是的概率；（Ⅱ）ξ的所有可能取值为：0、1、2、3 则213454339915(0),(1),2114C C C P P C C ξξ======1234553399105(2),(3),2142C C C P P C C ξξ======所以随机变量ξ的分布列为所以ξ的数学期望3E ξ=. 点睛：（1）本题主要考查古典概型和离散型随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) E ξ=11x p +22x p +…n n x p ++… 为ξ的均值或数学期望，简称期望． 22．已知函数()|21|f x x a =--()a R ∈．（1）若()f x 在[]1,2-上的最大值是最小值的2倍，解不等式()5f x ≥；（2）若存在实数x 使得1()(1)2f x f x <+成立，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）31{|}22x x x 或≥≤-；（Ⅱ）()2,-+∞.【解析】分析：（1）根据()f x 在[]1,2-上的最大值是最小值的2倍求出a 的值，再解不等式()5f x ≥.(2)先分离参数得4221a x x >--+，再求右边式子的最小值，得到a 的取值范围. 详解：（1）∵[]1,2x ∈-，∴()min 12f x f a ⎛⎫==-⎪⎝⎭，()()()max 123f x f f a =-==-， ∴32a a -=-，解得3a =-，不等式()5f x ≥，即212x -≥，解得32x ≥或12x ≤-，故不等式()5f x ≥的解集为31|22x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或．（2）由()()112f x f x <+，得4221a x x >--+，令()4221g x x x =--+，问题转化为()min a g x >，又()123,,21161,,22123,,2x x g x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩故()min 122g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则2a >-，所以实数a 的取值范围为()2,-+∞．点睛：（1）本题主要考查不等式的解法和求绝对值不等式的最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力.(2)本题易错，得到4221a x x >--+，问题转化为()min a g x >，不是转化为()max a g x >,因为它是存在性问题.。

房山区 2019-2020 学年度第二学期期末检测试卷高二数学

（16）能够说明“设 x, y, z 是任意实数．若 x > y > z ，则 x > y+z ”是假命题的一组整数
x, y, z 的值依次为______.
（17）某小区有居民1000 户，去年12 月份总用水量为 8000 吨.今年开展节约用水活动，
有 800 户安装了节水龙头，这些用户每户每月节约用水 x 吨，使得今年1月份该小
（5）已知函
（A） 3 （C） x （6）已知 a
（A） a
（7）已知 m （A）1
（8）已知函
（A）充（C）充
（9）函数 y
（A）
π 3
（10）已知函
（A）{ （C）{
（11）观察的函数
（A）（12）若函数
（A）
学校________________
高二数学试卷第 1 页（共 4 页）
卷
上，在试卷个选项中，
用铁皮做一个体积为 50cm3 ，高为 2 cm 的长方体无盖铁盒，这个铁盒底面的长与宽各为多少 cm 时，用料最省？
班级________________ 姓名_________________
房山区 2019-2020 学年度第二学期期末检测试卷高二数学
本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，
（B）{x | −2 ≤ x ≤ 2}
（C）{x | −2 ≤ x ≤ 1}
（D）{x | −1 ≤ x ≤ 2}
（11）观察 (x2 )′ = 2x ， (x4 )′ = 4x3 ， cos′ x = − sin x ，由归纳推理可得：若定义在 R 上

北京市房山区2019-2020学年数学高二第二学期期末调研试题含解析

北京市房山区2019-2020学年数学高二第二学期期末调研试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合(){}{}1234,,,|1,0,1,1,2,3,4iA x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“222212344x x x x +++≤ ”的元素个数为（）A ．60B ．65C ．80D ．81【答案】D 【解析】由题意可得，222212344x x x x +++≤成立，需要分五种情况讨论：当222212340x x x x +++= 时，只有一种情况，即12340x x x x ====；当222212341x x x x +++= 时，即12341,0x x x x =±===，有1428C =种；当222212342x x x x +++= 时，即12341,1,0x x x x =±=±==，有24424C =种；当222212343x x x x +++= 时，即12341,1,1,0x x x x =±=±=±=，有34832C =种当222212344x x x x +++= 时，即12341,1,1,1x x x x =±=±=±=±，有16种，综合以上五种情况，则总共为：81种，故选D.【点睛】本题主要考查了创新型问题，往往涉及方程，不等式，函数等，对涉及的不同内容，先要弄清题意，看是先分类还是先步，再处理每一类或每一步，本题抓住123,4,,x x x x 只能取相应的几个整数值的特点进行分类，对于涉及多个变量的排列，组合问题，要注意分类列举方法的运用，且要注意变量取值的检验，切勿漏掉特殊情况.2．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】D 【解析】【分析】令()3g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．【详解】令3()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，又(2)3f =，所以(2)35g +=，所以(2)2g =，()22g -=-，所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题． 3．抛物线28y x =的焦点坐标为（） A ．()0,2 B ．()2,0- C ．()2,0 D ．()0,2-【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线的标准方程可得出抛物线的焦点坐标. 【详解】由题意可知，抛物线28y x =的焦点坐标为()2,0，故选：C.【点睛】本题考查抛物线焦点坐标的求解，考查计算能力，属于基础题.4．已知命题1:0,2p x x x∀>+≥,那么命题p ⌝为 A ．10,2x x x ∀>+< B ．10,2x x x ∀+<≤ C ．10,2x x x∃>+<D ．10,2x x x∃+<≤【答案】C 【解析】【分析】【详解】全称命题的否定是特称命题,要前改量词，后面否定结论,故选C.5．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念,制定节能减排的目标,先调查了用电量 (单位:千瓦·时)与气温 (单位: )之间的关系,随机选取了4天的用电量与当天气温,并制作了以下对照表：（单位：）17 14 10 -1（单位：千瓦时）24 34 38 64由表中数据得线性回归方程: ,则由此估计:当某天气温为12时,当天用电量约为（）A ．56千瓦时B ．36千瓦时C ．34千瓦时D ．38千瓦时【答案】B【解析】【分析】计算出和的值，将点的坐标代入回归直线方程，得出的值，再将代入可得出的值，即为所求结果。

2019-2020学年北京市房山区数学高二第二学期期末调研试题含解析

2019-2020学年北京市房山区数学高二第二学期期末调研试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．在三棱锥P ABC -中，2AB BC ==，AC =PB ⊥面ABC ，M ，N ，Q 分别为AC ，PB ，AB 的中点，MN =，则异面直线PQ 与MN 所成角的余弦值为（）A ．5B ．5C ．35D ．452．数学40名数学教师，按年龄从小到大编号为1,2，…40。

现从中任意选取6人分成两组分配到A,B 两所学校从事支教工作，其中三名编号较小的教师在一组，三名编号较大的教师在另一组，那么编号为8,12,28的数学教师同时入选并被分配到同一所学校的方法种数是 A ．220B ．440C ．255D ．5103．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取6次，设摸得黑球的个数为X ，已知()3E X =，则m 等于（） A ．2B ．1C ．3D ．54．椭圆22145x y +=的焦点坐标是（）A ．()1,0±B ．()3,0±C ．()0,1±D ．()0,3±5．设随机变量X~N （0，1），已知( 1.96)0.025P X <-=，则( 1.96)P X <=（） A ．0.025 B ．0.050 C ．0.950 D ．0.9756．已知()()221f x x x f '=+⋅，则3()f '等于( )A ．-4B ．-2C ．1D ．27．已知函数321()(2)73f x x ax a x =-++--，若()f x 的两个极值点的等差中项在区间[1,3)-上，则整数a =（） A ．1或2B ．2C ．1D ．0或18．从某大学中随机选取8名女大学生，其身高x （单位：cm ）与体重y （单位：kg ）数据如下表：若已知y 与x 的线性回归方程为ˆ0.8585.71yx =-，那么选取的女大学生身高为175cm 时，相应的残差为（） A ．0.96-B ．0. 96C ．63. 04D ． 4.04-9．函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭向右平移()0ϕϕπ≤≤个单位后得到函数()g x ，若()g x 在,66ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ的取值范围是（）A ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πB ．20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．已知函数()f x 的定义域为D ，若对于,,a b c D ∀∈，(),(),()f a f b f c 分别为某三角形的三边长，则称()f x 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①()(0)xf x e x =>②2()3(01)f x x x =+≤≤③12()(14)f x x x =≤≤④22()21x xf x +=+.其中为“三角形函数”的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．411．已知集合{}13A x R x =∈-≤≤，{}22B x R x =∈-≤≤，则A B I ＝（） A ．{}23x x -≤≤B ．{}12x x -≤≤C ．{}0,1,2D ．{}1,212．设a=log 20.3，b=10lg0.3，c=100.3，则 A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．记122331909090(90)90k k n nn n n n n X C C C C C =-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-（n 为正奇数），则X 除以88的余数为______14．函数ln y x x =在x e =处的切线方程是______.15．已知x ∈R ，若xi x =，i 是虚数单位，则x =____________． 16．若12edx a x =⎰，则6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______。

北京市房山区2019-2020学年新高考高二数学下学期期末调研试题

同步练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．以下说法中正确个数是（）①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”；<成立，只需证22<； ③用数学归纳法证明2231111n n a a a a a a++-+++++=-（1a ≠，n ∈+N ，在验证1n =成立时，左边所得项为21a a ++； ④命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，但小前提使用错误.A ．1B ．2C ．3D ．4 2．若()()20n ax a +≠的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a 的取值范围为（）A ．()[],02,3-∞B ．()11,0,32⎡⎤-∞⎢⎥⎣⎦C ．[]2,3D ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3．512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为 A ．-40B ．-20C ．20D ．40 4．已知函数()(]()ln ,0,11,1,x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则()2f f ⎡⎤⎣⎦等于（） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．ln21-5．已知定义域为正整数集的函数()f x 满足()()()()1,11f x y f x f y f +=++=，则数列()()(){}()11*n f n f n n N -+∈的前99项和为（）A ．19799-B ．19797-C ．19795-D ．19793- 6．若复数(6)z i i =+，则复数z 在复平面内的对应点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导数'()f x 满足x 2'()f x ＜1，则下列不等式中一定成立的是（）A ．f （14）+1＜f （13）＜f （12）﹣1B ．f （12）+1＜f （13）＜f （14）﹣1 C ．f （14）﹣1＜f （13）＜f （12）+1 D ．f （12）﹣1＜f （13）＜f （14）+1 8．下列命题中：①“”是“”的充要条件； ②已知随机变量服从正态分布，则； ③线性回归直线方程一定经过样本中心； ④命题“”的否定是“”. 其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．函数()ln x f x e x =在1x =处的切线方程是()A ．()1y e x =-B ．1y ex =-C ．()21y e x =-D ．e y x =-10．若12i -是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个虚数根，则（）A ．2b =，3c =B ．2b =，1c =-C ．2b =-，1c =-D ．2b =-，3c =11．已知215n C =，那么2n A =（）A ．20B ．30C ．42D ．7212．盒中装有10个乒乓球，其中6个新球，4个旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次取出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为（）A ．35B ．110C ．59D ．25二、填空题：本题共4小题13．已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：千克)服从正态分布(100,64)N .现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，则其中质量在区间(92,100)内的产品估计有________件.附：若2(,)X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈.14．已知5250125(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x -=+++++++…，2a =________.15． “2x x >”是“1x >”的_______条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中一个）16．如图，在三角形ABC ∆中，D 为BC 边上一点，AD AB ⊥ 且BD 2CD =，1tan 5CAD ∠=，则tan B 为______.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

3.2019.7房山高二下期末试题+答案

2019北京房山高二（下）期末数学本试卷共6页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题纸交回，试卷自行保存。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）抛物线的焦点坐标为A. （0，2）B. （2，0）C. （0，4）D. （4，0）（2）复数的共轭复数是A. -1+iB. -1-iC. 1+iD. 1-i（3）已知双曲线的离心率为，则m=A. 4B. 2C.D. 1（4）如图，在空间四边形ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则+（-）等于A.B.C.D.（5）若=（4，2，3）是直线l的方向向量，=（-1，3，0）是平面α的法向量，则直线l与平面α的位置关系是A. 垂直B. 平行C. 直线l在平面α内D. 相交但不垂直（6）“m≠0”是“方程=m表示的曲线为双曲线”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件（7）如图，棱长为1的正方体ABCD-中，P为线段上的动点，则下列结论错误的是A. 平面平面B. ∠AP的取值范围是（0，]C. 三棱锥的体积为定值D. D⊥P（8）设F是椭圆=1的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点（i=1,2,3,···），，，···组成公差为d（d>0）的等差数列，则d的最大值为A. B. C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知a,b∈R,i是虚数单位，（a+bi）i=2+3i，则a= ,b=（10）在空间直角坐标系中，已知点M（1，0，1），N（-1，1，2），则线段MN的长度为（11）若双曲线的渐近线方程为y=±x，则满足条件的一个双曲线的方程为（12）如图，在长方形ABCD-中，设AD=A=1，AB=2，则·等于（13）已知椭圆（a>b>0）的离心率为e，，分别为椭圆的两个焦点，若小强数学椭圆上存在点P 使得∠是钝角，则满足条件的一个e的值为（14）已知曲线W的方程为+-5x=0①请写出曲线W的一条对称轴方程②曲线W上的点的横坐标的取值范围是三、解答题共6题，共80分。

2019-2020学年北京市房山区数学高二第二学期期末调研试题含解析

2019-2020学年北京市房山区数学高二第二学期期末调研试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设3(2)()(1)(2)x a x f x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，若8(3)9f =-，则实数a 是（） A ．1B ．-1C ．19D ．0【答案】B【解析】【分析】根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案.【详解】 ()()()2833123,9f f f a -=-==+=- 解得a=-1,故选B【点睛】本题考查分段函数函数值的计算，解决策略:(1)在求分段函数的值f(x 0)时，一定要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式;(2) 求f(f(f(a)))的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则.2．已知集合{|20},{|M x x N x y =-<==，则M N ⋃= A ．{ | -1}x x >B ．{|12}x x -≤<C ．{ |-12}x x <<D ．R【答案】D【解析】【分析】先解出集合M 与N ，再利用集合的并集运算得出M N ⋃.【详解】 {}{}202M x x x x =-<=<Q ，{{}{}101N x y x x x x ===+≥=≥-， M N R ∴=U ，故选D.【点睛】本题考查集合的并集运算，在计算无限数集时，可利用数轴来强化理解，考查计算能力，属于基础题．3．38(2)(1x -的展开式中不含．．4x 项的各项系数之和为（） A ．26-B ．230C ．254D ．282【解析】【分析】采用赋值法，令1x =得：求出各项系数之和，减去4x 项系数即为所求【详解】()()8321x x -+展开式中，令1x =得展开式的各项系数和为82. 而()81x +展开式的的通项为28,r r C x 则()()8321x x -+展开式中含4x 项系数为8288226,C C ⋅-=- 故()()8321x x -+的展开式中不含．．4x 项的各项系数之和为 ()8226282.--=故选D.【点睛】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反．4．在一项调查中有两个变量x （单位：千元）和y （单位：t ），如图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y 关于x 的回归方程类型的是（）A ．y ＝a+bxB ．y ＝xC ．y ＝m+nx 2D ．y ＝p+qe x （q ＞0）【答案】B【解析】散点图呈曲线，排除A 选项，且增长速度变慢，排除,C D 选项，故选B .5．已知函数()ln f x x ax =-在其定义域内有两个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．1(0,)eB ．(,)e -∞C ．(0,)eD ．1(,)e e 【答案】A【解析】分析：由题意可得()0f x =即ln x a x=有两个不等的实数解．令ln x g x x =（），求出导数和单调区间、极详解：函数()ln f x x ax =-在其定义域内有两个零点，等价为()0f x =即ln x a x =有两个不等的实数解．令()ln ,0x g x x x =>（），21ln x g x x -'=（），当x e ＞时，0g x g x （）＜，（）'递减；当0x e ＜＜时，0g x g x '（）＞，（）递增．g x （）在x e =处取得极大值，且为最大值1e．当0x y →+∞→，．画出函数y g x =（）的图象，由图象可得10a e＜＜时，y g x =（）和y a =有两个交点，即方程有两个不等实数解，()f x 有两个零点．故选A ．点睛：本题考查函数的零点问题，注意运用转化思想，考查构造函数法，运用导数判断单调性，考查数形结合的思想方法，属于中档题． 6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，M ，N 是双曲线上关于原点对称的两点，P 是双曲线上的动点，直线PM ，PN 的斜率分别为1212,(0)k k k k ⋅≠，若12k k +的最小值为2，则双曲线的离心率为( ) A 2B 5 C 3D ．32【答案】A【解析】【分析】先假设点的坐标，代入双曲线方程，利用点差法，可得斜率之间为定值，再利用12||||k k +的最小值为2，即可求得双曲线的离心率．【详解】由题意，可设点(,)M p q ，(,)N p q --，(,)P s t ． ∴22221p q a b -=，且22221s t a b-=．两式相减得222222t q b s p a-=-．再由斜率公式得：22212222t q b k k s p a -==-． 2||||b k k +Q …根据12||||k k +的最小值为2，可知22b a =，所以a=b. 所以2c a =∴2c e a==，故选：A 【点睛】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据点的对称性，利用点差法进行化简是解决本题的关键．7．指数函数x y a =是增函数，而1()2x y =是指数函数，所以1()2x y =是增函数，关于上面推理正确的说法是（）A ．推理的形式错误B ．大前提是错误的C ．小前提是错误的D ．结论是真确的【答案】B【解析】分析: 指数函数x y a =是R 上的增函数，这个说法是错误的，要根据所给的底数的取值不同分类说出函数的不同单调性，有演绎推理的定义可知，大前提错误。

北京市房山区2019-2020学年高二第二学期期末数学调研试题

基础练习一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知直线l 的倾斜角为45o，直线l 与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> 的左、右两支分别交于,M N 两点，且12,MF NF 都垂直于x 轴（其中12,F F 分别为双曲线C 的左、右焦点），则该双曲线的离心率为 A ．3B ．5C ．51-D ．5+122．已知函数()(]()ln ,0,11,1,x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则()2f f ⎡⎤⎣⎦等于（） A ．-1B ．0C ．1D ．ln21-3．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（） A ．30B ．36C ．60D ．724．2021年起，新高考科目设置采用“312++”模式，普通高中学生从高一升高二时将面临着选择物理还是历史的问题，某校抽取了部分男、女学生调查选科意向，制作出如右图等高条形图，现给出下列结论： ①样本中的女生更倾向于选历史； ②样本中的男生更倾向于选物理； ③样本中的男生和女生数量一样多；④样本中意向物理的学生数量多于意向历史的学生数量. 根据两幅条形图的信息，可以判断上述结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．如果)12fx x x =+，则()f x 的解析式为（）A ．()()21f x x x =≥ B ．()()210f x x x =-≥C ．()()211f x x x =-≥D ．()()20f x xx =≥6．若6ax x ⎛- ⎝展开式的常数项为60，则a 值为( )A ．4B ．4±C ．2D ．2±7．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 、B 分别是双曲线左、右两支上关于坐标原点O 对称的两点，且直线AB 的斜率为22.M 、N 分别为2AF 、2BF 的中点，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，则双曲线的离心率为（） A ．3B ．6C ．63+D ．62-8．复数()2i i 12i 1z m m =-+++-对应的点在第二象限，其中m 为实数，i 为虚数单位，则实数的取值范围（） A ．（﹣∞，﹣1） B ．（﹣1，1）C ．（﹣1，2）D ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）9．已知0a <，若43(2)x x-的展开式中各项系数之和为81，则展开式中常数项为（） A ．1B ．8C ．24D ．3210．已知下列说法：①对于线性回归方程ˆ35yx =-，变量x 增加一个单位时，y 平均增加5个单位； ②甲、乙两个模型的2R 分别为0.98和0.80，则模型甲的拟合效果更好；③对分类变量X 与Y ，随机变量2K 的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大； ④两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数就越接近1．其中说法错误的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．411．下列命题中正确的个数( )①“，”的否定是“，”；②用相关指数可以刻画回归的拟合效果，值越小说明模型的拟合效果越好；③命题“若，则”的逆命题为真命题；④若的解集为，则.A ．B ．C ．D ．12．在区间[1,2]-上随机取一个数k ，使直线(4)y k x =-与圆224x y +=相交的概率为（） A ．33B ．32C 23D 3 二、填空题：本题共4小题13．函数()log (43)(0a f x x a =->且1)a ≠的图象所过定点的坐标是________. 14．1:0l x y +=， 2:10l ax y ++=，若12l l //，则实数a 的值为_______．15．已知函数()2242,0,0x x x x f x x e x ⎧-++≥=⎨-<⎩，若函数()()2g x f x a =+恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________．16．精准扶贫期间，5名扶贫干部被安排到三个贫困村进行扶贫工作，每个贫困村至少安排一人，则不同的分配方法共有____________种．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

北京市房山区2019-2020学年数学高二第二学期期末调研试题含解析

北京市房山区2019-2020学年数学高二第二学期期末调研试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】将直线的参数方程化为普通方程，得出该直线的斜率，即可得出该直线的倾斜角。

【详解】直线的直角坐标方程为，斜率所以.故选：B.【点睛】本题考查利用直线的参数方程求直线的倾斜角，参数方程化为普通方程是常用方法，而参数方程化为普通方程有两种常见的消参方法：①加减消元法；②代入消元法；③平方消元法。

2．下列命题中真命题的个数是（） ①x R ∀∈，42x x >；②若“p q ∧”是假命题，则,p q 都是假命题；③若“x R ∀∈，320x x -+≤”的否定是“x R ∃∈，3210x x -+>” A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B 【解析】若1x =，42x x =则，故命题①假；若“p q ∧”是假命题，则,p q 至多有一个是真命题，故命题②是假命题；依据全称命题与特征命题的否定关系可得命题“32,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>”，即命题③是真命题，应选答案B ．3．由曲线24x y =，24x y =-，4x =，4x =-围成图形绕y 轴旋转一周所得为旋转体的体积为1V ，满足2216x y +≤，22(2)4x y +-≥，22(2)4x y ++≥的点(,)x y 组成的图形绕y 轴旋一周所得旋转体的体积为2V ，则（） A ．1212V V =B ．1223V V =C ．12V V =D ．122V V =【答案】C【解析】【分析】由题意可得旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，求出所得截面的面积相等，利用祖暅原理知，两个几何体体积相等．【详解】解：如图，两图形绕y 轴旋转所得的旋转体夹在两相距为8的平行平面之间，用任意一个与y 轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为||y ，所得截面面积21(44||)S y π=-，22222(4)[4(2||)](44||)S y y y πππ=----=-12S S ∴=，由祖暅原理知，两个几何体体积相等，故选：C ．【点睛】本题主要考查祖暅原理的应用，求旋转体的体积的方法，体现了等价转化、数形结合的数学思想，属于基础题．4．已知函数()e 2xf x x a =--在[]1,1-恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（）A ．[]22ln 2,e 2--B ．(]22ln 2,e 2--C ．122ln 2,2e ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ D ．122ln 2,2e ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】本题可转化为函数y a =与e 2xy x =-的图象在[]1,1-上有两个交点，然后对e 2xy x =-求导并判断单调性，可确定e 2xy x =-的图象特征，即可求出实数a 的取值范围.【详解】由题意，可知e 20x x a --=在[]1,1-恰有两个解，即函数y a =与e 2xy x =-的图象在[]1,1-上有两个交点，令()e 2xg x x =-，则()e 2xg x '=-，当()0g x '=可得ln 2x =，故1ln 2x -<<时，()0g x '<；ln 21x <<时，()0g x '>. 即()e 2xg x x =-在[]1,ln 2-上单调递减，在(]ln 2,1上单调递增，()112eg -=+，()1e 2g =-，()ln 222ln 2g =-，因为()()11g g ->，所以当22ln 2e 2a -<≤-时，函数y a =与e 2xy x =-的图象在[]1,1-上有两个交点，即22ln 2e 2a -<≤-时，函数()e 2xf x x a =--在[]1,1-恰有两个零点.故选B. 【点睛】已知函数有零点（方程有根）求参数值常用的方法：（1）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（2）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解. 5．由曲线1xy =与直线y x =，3y =所围成的封闭图形面积为（）A ．2ln3-B ．ln3C ．2D ．4ln3-【答案】D 【解析】根据题意作出所围成的图形，如图所示，图中从左至右三个交点分别为1(,3),(1,1),(3,3)3，所以题中所求面积为1312311131311(3)(3)(3ln )|(3)|4ln 32S dx x dx x x x x x =-+-=-+-=-⎰⎰ ，故选D 6．设集合，，则（） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】根据交集定义求解．【详解】由题意．故选D ．【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题． 7．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，满足()'()f x f x >，且(0)1f =，则不等式()x e f x >（e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．(1,)-+∞B ．(0,)+∞C ．(1,)+∞D ．(,0)-∞【答案】B 【解析】令()()()()()0,(0)1x xf x f x f xg x g x g e e -=∴=<'=' 所以()xe f x >()1(0)0g x g x ⇒=⇒ ,选B.点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如()()f x f x '<构造()()x f x g x e=，()()0f x f x '+<构造()()xg x e f x =，()()xf x f x '<构造()()f x g x x=，()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等 8．某商场要从某品牌手机a 、 b 、 c 、 d 、e 五种型号中，选出三种型号的手机进行促销活动，则在型号a 被选中的条件下，型号b 也被选中的概率是（） A ．35B ．12C ．310D ．14【答案】B 【解析】【分析】设事件A 表示“在型号a 被选中”，事件B 表示“型号b 被选中”，则()35P A =，1335()C P AB C =，由此利用条件概率能求出在型号a 被选中的条件下，型号b 也被选中的概率. 【详解】解从a 、b 、c 、d 、e 5种型号中，选出3种型号的手机进行促销活动．设事件A 表示“在型号a 被选中”，事件B 表示“型号b 被选中”，()35P A =，13353()10C P AB C ==，∴在型号a 被选中的条件下，型号b 也被选中的概率：3P(AB)110P(B |A)3P(A)25===，故选：B. 【点睛】本题考查条件概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题. 9．已知1~(4,)3B ξ，并且23ηξ=+，则方差D η=（） A ．932 B ．98C ．943D ．959【答案】A 【解析】试题分析：由1~(4,)3B ξ得()()()1283242343399D D D D ξηξξ=⨯⨯=∴=+== 考点：随机变量的期望 10．如图，在△ABC 中, 13AN NC =u u u v u u u v ,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A ．B ．C ．19D ．【答案】C 【解析】【分析】先根据共线关系用基底AB AC→→，表示AP→，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m 的值.【详解】如下图，∵,,B P N 三点共线，∴，∴，即,∴①,又∵13AN NC =u u u v u u u v，∴，∴28=99AP m AB AC m AB AC →→→→→=++②，对比①，②，由平面向量基本定理可得：．【点睛】本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力.11．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,...8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．有下列5个曲线类型：①ˆˆy bx a =+；②y x d =；③ln y p q x =+；④21k x y k e =+；⑤212y c x c =+，则较适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程的是( ) A ．①② B ．②③C ．②④D ．③⑤【答案】B 【解析】分析：先根据散点图确定函数趋势，再结合五个选择项函数图像，进行判断选择.详解：从散点图知，样本点分布在开口向右的抛物线(上支)附近或对数曲线(上部分)的附近，所以y ＝x d 或y ＝p ＋qlnx 较适宜，故选B.点睛：本题考查散点图以及函数图像，考查识别能力.12．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（） A ．240种 B ．188种 C ．156种 D ．120种【答案】D 【解析】当E,F 排在前三位时，2231223()N A A A ==24,当E,F 排后三位时，122223322()()N C A A A ==72，当E,F 排3，4位时，112232322()N C A A A ==24，N=120种，选D.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知球O 的半径为1，A 、B是球面上的两点，且AB =P 是球面上任意一点，则PA PB ⋅u u u v u u u v的取值范围是__________．【答案】13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】分析：以球心为坐标原点建立空间直角坐标系，设点,,A B P 的坐标，用来表示PA PB ⋅u u u r u u u r，进而求出答案.详解：由题可知1,OA OB AB ===则1131cos 2112AOB +-∠==-⨯⨯，23AOB π∠=以球心O 为坐标原点，以OA 为x 轴正方向，平面OAB 的垂线为z 轴建立空间坐标系，则()1,0,0A，1,,022B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，设(),,P x y z ()1,,PA x y z =---u u u r，1,2PB x y z ⎛⎫=---- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ()()()222211221122PA PB x x y y z x y z x ⎛⎫⎛⎫∴⋅=---+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=++--+u u u u u r u u u r(),,P x y z Q 在球面上，则222221,1x y z x y ++=+≤()1122PA PB x ∴⋅=-u u u u u r u u u r设m x =+，当直线0x m -=与圆221x y +=相切时，m 取得最值.1=得2m =22m ∴-≤≤ 1322PA PB -≤⋅≤u uu r u u u r故答案为13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 点睛：本题考查了空间向量数量积的运算，使用坐标法可以简化计算，动点问题中变量的取值范围是解此类问题的关键.14．函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示，则函数()f x 在(),a b 内有________个极大值点。