数学知识点人教A版高中数学必修四 2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》教案-总结
人教新课标A版高中数学(必修4)2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 课件
二、基础知识讲解
c3o、s向ar量,br的夹角rar brr |a||b|
cos x1x2y1y2
x12y12 x22y22
随堂练习
r
rr
rr
3 、 已 知 向 量 a ( 1 ,1 ),2 a b (4 ,2 ),则 a 与 b 的
夹 角 为 ;
4
三、例题分析
例 1 、 已 知 A O B 中 ， O 为 原 点 ， A (2 ,2 ),B (,1 ) 且 A B O 是 钝 角 ， 求 的 取 值 范 围
ar1、 br数量|a r积||b 的r|定co义s
2、向量的模
r rr |a| aa
rr a•bx 1x 2y 1y2
r |a| x12y12
特 别 的 ， 若 A(x1,y1),B(x2,y2),则 uuur |AB| (x2x1)2(y2y1)2
随堂练习
u u u ru u u r u u u r
注：两个向量的数量积是否为零是判断相应的两条直 线是否垂直的重要方法之一。
如证明四边形是矩形，三角形的高，菱形对角 线垂直等。
三、例题分析 例2、已知A（1、2），B（2，3），C（2，5），试 判断ΔABC的形状，并给出证明。
u u u r u u u r 变 式 ： 在 R t A B C 中 ， A B ( 2 , 3 ) , A C ( 1 , k ) , 求 k 的 值
ar1、 br数量|a r积||b 的r|定co义s
rr a•bx 1x 2y 1y2
随堂练习
rr
1 、 已 知 向 量 a (1 ,3 ),b (2 ,5 ),则
rr
rr rr
a b 17 ;(a b )(2 a b ) 8 .
高中数学人教A版必修4讲义：第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角含答案
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角预习课本P106～107，思考并完成以下问题(1)平面向量数量积的坐标表示是什么？(2)如何用坐标表示向量的模、夹角、垂直？[新知初探]1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量的模等于向量坐标的平方和．()(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.()(3)若两个非零向量的夹角θ满足cos θ＜0，则两向量的夹角θ一定是钝角．()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是()A．23B．7C．－23D．－7答案：D3．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是() A．{2,3} B．{－1,6} C．{2} D．{6}答案：C4．已知a＝(1，3)，b＝(－2,0)，则|a＋b|＝________.答案：2平面向量数量积的坐标运算[典例](1)(全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1 D．2(2)(广东高考)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5 B．4C．3 D．2[解析](1)a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.(2)由AC＝AB＋AD＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)，得AD·AC＝(2,1)·(3，－1)＝5.[答案](1)C(2)A数量积坐标运算的两条途径进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.解：(1)因为a与b同向，又b＝(1,2)，所以a＝λb＝(λ，2λ)．又a·b＝10，所以1·λ＋2·2λ＝10，解得λ＝2>0.因为λ＝2符合a与b同向的条件，所以a＝(2,4)．(2)因为b·c＝1×2＋2×(－1)＝0，所以(b·c)·a＝0·a＝0.向量的模的问题[典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a ⊥c ，b ∥c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －4＝0，2y ＋4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2.∴a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，a ＋b ＝(3，－1)． ∴|a ＋b |＝10.(2)由题意可设AB ＝λa (λ＞0)， ∴AB ＝(2λ，3λ)．又|AB |＝213，∴(2λ)2＋(3λ)2＝(213)2，解得λ＝2或－2(舍去)． ∴AB ＝(4,6)．又A (1，－2)，∴B (5,4)． [答案] (1)B (2)(5,4)求向量的模的两种基本策略(1)字母表示下的运算：利用|a |2＝a 2，将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算：若a ＝(x ，y )，则a ·a ＝a 2＝|a |2＝x 2＋y 2，于是有|a |＝x 2＋y 2. [活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________． 解析：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ)， |2a －b |＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ)2 ＝4cos 2θ－43cos θ＋3＋4sin 2θ ＝7－43cos θ，当且仅当cos θ＝－1时，|2a －b |取最大值2＋ 3. 答案：2＋32．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.解析：∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，∴a·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －(a·b )b ＝(2,4)－6(－1,2)＝(2,4)－(－6,12)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2. 答案：82向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________.(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[解析] (1)∵a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)， ∴a ＋λb ＝(3－λ，2＋2λ)． 又∵(a ＋λb )⊥b ， ∴(a ＋λb )·b ＝0，即(3－λ)×(－1)＋2×(2＋2λ)＝0， 解得λ＝－15.(2)c ＝a ＋kb ＝(2－k,1－k )，d ＝a ＋b ＝(1,0)， 由cos π4＝22得(2－k )×1＋(1－k )×0(2－k )2＋(1－k )2·12＋02＝22，∴(2－k )2＝(k －1)2，∴k ＝32.[答案] (1)－15 (2)32解决向量夹角问题的方法及注意事项(1)先利用平面向量的坐标表示求出这两个向量的数量积a ·b 以及|a ||b |，再由cos θ＝a ·b|a ||b |求出cos θ，也可由坐标表示cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22直接求出cos θ.由三角函数值cos θ求角θ时，应注意角θ的取值范围是0≤θ≤π.(2)由于0≤θ≤π，利用cos θ＝a ·b|a ||b |来判断角θ时，要注意cos θ<0有两种情况：一是θ是钝角，二是θ＝π；cos θ>0也有两种情况：一是θ为锐角，二是θ＝0.[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小． 解：(1)∵a ∥b ，∴3x ＝4×9，∴x ＝12. ∵a ⊥c ，∴3×4＋4y ＝0，∴y ＝－3， ∴b ＝(9,12)，c ＝(4，－3)．(2)m ＝2a －b ＝(6,8)－(9,12)＝(－3，－4)， n ＝a ＋c ＝(3,4)＋(4，－3)＝(7,1)． 设m ，n 的夹角为θ， 则cos θ＝m ·n |m ||n |＝－3×7＋(－4)×1(－3)2＋(－4)272＋12＝－25252＝－22.∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4， 即m ，n 的夹角为3π4.求解平面向量的数量积[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[解] [法一 定义法]如图，根据题意可得△ABC 为直角三角形，且B ＝π2，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB＝4×5cos(π－C )＋5×3cos(π－A ) ＝－20cos C －15cos A ＝－20×45－15×35＝－25. [法二 坐标法]如图，建立平面直角坐标系， 则A (3,0)，B (0,0)，C (0,4)．∴AB ＝(－3,0)，BC ＝(0,4)，CA ＝(3，－4)．∴AB ·BC ＝－3×0＋0×4＝0，BC ·CA ＝0×3＋4×(－4)＝－16， CA ·AB ＝3×(－3)＋(－4)×0＝－9.∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0－16－9＝－25. [法三 转化法]∵|AB |＝3，|BC |＝4，|AC |＝5， ∴AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(AB ＋BC ) ＝CA ·AC ＝－|AC |2＝－25.求平面向量数量积常用的三个方法(1)定义法：利用定义式a ·b ＝|a ||b |cos θ求解； (2)坐标法：利用坐标式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2解题；(3)转化法：求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后进行计算．[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．解析：法一：以O 为坐标原点，OA ，OC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则由已知条件，可得OD ＝⎝⎛⎭⎫1，12，OE ＝⎝⎛⎭⎫12，1. 故cos ∠DOE ＝OD ·OE |OD |·|OE |＝1×12＋12×152×52＝45.法二：∵OD ＝OA ＋AD ＝OA ＋12OC ，OE ＝OC ＋CE ＝OC ＋12OA ，∴|OD |＝52，|OE |＝52，OD ·OE ＝12OA 2＋12OC 2＝1， ∴cos ∠DOE ＝OD ·OE |OD ||OE |＝45.答案：45层级一 学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－3解析：选D 向量a 在b 方向上的投影为a·b |b |＝－62＝－3.选D.2．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10解析：选B 由a ⊥b 得a·b ＝0， ∴x ×1＋1×(－2)＝0，即x ＝2， ∴a ＋b ＝(3，－1)， ∴|a ＋b |＝32＋(－1)2＝10.3．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6D ．12 解析：选D 2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )，由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12.4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( ) A ．865B ．－865 C ．1665D ．－1665解析：选C 设b ＝(x ，y )，则2a ＋b ＝(8＋x,6＋y )＝(3,18)，所以⎩⎪⎨⎪⎧8＋x ＝3，6＋y ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5，y ＝12，故b ＝(－5,12)，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1665.5．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形解析：选A 由题设知AB ＝(8，－4)，AC ＝(2,4)，BC ＝(－6,8)，∴AB ·AC ＝2×8＋(－4)×4＝0，即AB ⊥AC .∴∠BAC ＝90°， 故△ABC 是直角三角形．6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2. 答案：27．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 解析：∵a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)， ∴|a |＝2，|2a ＋b |＝2，a ·(2a ＋b )＝2， ∴cos θ＝a ·(2a ＋b )|a ||2a ＋b |＝12，∴θ＝π3.答案：π38．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．解析：设b ＝(x ，y )(y ≠0)，则依题意有⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1，3x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝32，故b ＝⎝⎛⎭⎫12，32.答案：⎝⎛⎭⎫12，329．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解：(1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x ) ＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3. (2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 即x (2x ＋4)＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)， a －b ＝(－2,0)，|a －b |＝2.当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)， a －b ＝(2，－4)，|a －b |＝4＋16＝2 5. 综上，|a －b |＝2或2 5.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值． 解：(1)∵AB ＝(－3，－1)，AC ＝(1，－5)， ∴AB ·AC ＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2. ∵AB ＋AC ＝(－2，－6)， ∴|AB ＋AC |＝4＋36＝210.(2)∵AB －t OC ＝(－3－2t ，－1＋t )，OC ＝(2，－1)，且(AB －t OC )⊥OC ， ∴(AB －t OC )·OC ＝0，∴(－3－2t )×2＋(－1＋t )·(－1)＝0， ∴t ＝－1.层级二 应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b解析：选C 由题意知|a |＝12＋02＝1，|b |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22，a ·b ＝1×12＋0×12＝12，(a －b )·b ＝a ·b －|b |2＝12－12＝0，故a －b 与b 垂直． 2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)解析：选C 设P (x,0)，则AP ＝(x －2，－2)，BP ＝(x －4，－1)， ∴AP ·BP ＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1， 故当x ＝3时，AP ·BP 最小，此时点P 的坐标为(3,0)．3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞ 解析：选C x 应满足(x,2)·(－3,5)＜0且a ，b 不共线，解得x ＞103，且x ≠－65，∴x ＞103. 4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294 解析：选B 设C (x ，y )，则OC ＝(x ，y )． 又OA ＝(－3,1)，∴AC ＝OC －OA ＝(x ＋3，y －1)． ∵AC ∥OB ，∴5(x ＋3)－0·(y －1)＝0，∴x ＝－3. ∵OB ＝(0,5)，∴BC ＝OC －OB ＝(x ，y －5)，AB ＝OB －OA ＝(3,4)． ∵BC ⊥AB ，∴3x ＋4(y －5)＝0，∴y ＝294， ∴C 点的坐标是⎝⎛⎭⎫－3，294. 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.解析：因为向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，所以c ＝ma ＋b ＝(m ＋4,2m ＋2)，所以a ·c ＝m ＋4＋2(2m ＋2)＝5m ＋8，b·c ＝4(m ＋4)＋2(2m ＋2)＝8m ＋20.因为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，所以c·a |c|·|a|＝c·b |c|·|b|，即a·c |a |＝b·c|b |，所以5m ＋85＝8m ＋2025， 解得m ＝2. 答案：26．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．解析：以D 为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示．则D (0,0)，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，设E (1，a )(0≤a ≤1)． 所以DE ·CB ＝(1，a )·(1,0)＝1，DE ·DC ＝(1，a )·(0,1)＝a ≤1， 故DE ·DC 的最大值为1.答案：1 17．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，∵|c |＝25，∴x 2＋y 2＝25，∴x 2＋y 2＝20.由c ∥a 和|c |＝25，可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4. 故c ＝(2,4)或c ＝(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0，即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，∴2×5＋3a ·b －2×54＝0，整理得a ·b ＝－52， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π.8．已知OA ＝(4,0)，OB ＝(2,23)，OC ＝(1－λ)OA ＋λOB (λ2≠λ)．(1)求OA ·OB 及OA 在OB 上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB ＝BC 时，求λ的值；(3)求|OC |的最小值．解：(1)OA ·OB ＝8，设OA 与OB 的夹角为θ，则cos θ＝OA ·OB | OA ||OB |＝84×4＝12， ∴OA 在OB 上的投影为|OA |cos θ＝4×12＝2.(2)AB ＝OB －OA ＝(－2,2 3 )，BC ＝OC －OB ＝(1－λ)·OA －(1－λ)OB ＝(λ－1)AB ，所以A ，B ，C 三点共线． 当AB ＝BC 时，λ－1＝1，所以λ＝2. (3)|OC |2＝(1－λ)22OA ＋2λ(1－λ)OA ·OB ＋λ22OB＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，|OC |取到最小值，为2 3.。
人教A版数学必修四课件：第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
注意反向时系数 为负数，正向时
系数为正数
数量 积的 坐标 表示
1.知识结构 向量数量积公式
两点间距离公式
向量的模、夹角、垂直公式
2.三个重要公式 向量模公式：设 a (x1, y1), 则 a x12 y12
三
两点间距离公式：若 A(x1, y1), B(x2, y2 )，
(2)∵ a 与 b 的夹角为锐角，
∴cos θ>0，且 cos θ≠1，∴ a ·b >0 且 a 与 b 不同向． 因此 1＋2λ>0，∴λ>－12.又 a 与 b 共线且同向时，λ＝2. ∴ a 与 b 的夹角为锐角时，λ 的取值范围为－21，2∪(2，
＋∞)．
【方法规律】 1．两非零向量夹角 θ 的范围满足 0°≤θ≤180°，
【即时训练】
已知向量 , , BA
=
1 2
,
3
2
BC
=
3 2
,
1 2
则∠ABC= ( A )
A.30° B.45° C.60° D.120°
例 2 . 设 a ( 5 , 7 ) ,b ( 6 , 4 ) ,求 a b , a 与 b 间 的 夹 角
法；因式分解法等，掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
优等生经验谈：听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程，那么后面的结论自然就出现了，学习起来才能够举 一反三，事半功倍。
2019/7/8
最新中小学教学课件
人教A版高中数学必修四2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
探究点二 平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式
思考1 若a＝(x，y)，如何计算向量的模|a|? 答 ∵a＝xi＋yj， ∴a2＝(xi＋yj)2＝(xi)2＋2xyi·j＋(yj)2 ＝x2i2＋2xy i·j＋y2j2. 又∵i2＝1，j2＝1，i·j＝0， ∴a2＝x2＋y2，∴|a|2＝x2＋y2， ∴|a|＝ x2＋y2.
呈重点、现规律
1.向量的坐标表示简化了向量数量积的运算.为利用向量法解决 平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力 的工具支持. 2.应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长 度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学 问题的能力.
3.注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可 以对比学习、记忆.若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).则a∥b⇔x1y2－ x2y1＝0，a⊥b⇔x1b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝ ___8___2__. 解析 ∵a＝(2,4)，b＝(－1,2)，∴a·b＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c＝a－6b，∴c2＝a2－12a·b＋36b2＝20－12×6＋36×5＝128. ∴|c|＝8 2.
y2之间的关系如何？反之成立吗？
答 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
思考2 设a，b都是非零向量，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与
b的夹角，那么cos θ如何用坐标表示？
答
cos θ＝|aa|·|bb|＝
x1x2＋y1y2 .
x21＋y21· x22＋y22
3 例如，(1)若a＝(3,0)，b＝(－5,5)，则a与b的夹角为___4_π____. (2)已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形状是_____直__角_三 角形.
人教A版高中数学高一必修4第二章2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
量为 ( 1 , 1 )或(- 1 , - 1 )
55
55
7、RtABC 中，AB (2,3) ，AC (1,k ) ，则k的
值为 ① A = 90o时k = - 2 3
② B = 90o时k = 11
3
③C = 90o时k = 3 13
2
8、以原点和A（5，2）为两个顶点作等腰 直角三角形OAB，B=90，求点B的坐标.
a b ab = 0
设a =（x1 , y1 ), b = (x2 , y 2 ), 则 a b x1x2 + y1y2 = 0
（2）平行
若a =（x1 , y1 ), b = (x2 , y 2 ), 则 a//b x1y2 - x2y1 = 0.
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b的夹角为θ（0o θ 180o），
AB AC = 1(-3) + 1 3 = 0
AB AC
∴△ABC是直角三角形.
例4:求a = ( 3 - 1, 3 + 1)与向量的夹角为45°的
单位向量．
解： 设所求向量为 b = (cosα,sinα)
∵ a 与 b 成45° ∴ a b = 2 8 = 2 2
另一方面 ( 3 1)cos ( 3 1)sin 2
(2)已知a = (2, 3),b = (-2, 4),求（a + b）（ a - b）.
解： 法一：a + b = (0, 7),a - b = (4, -1) （a + b）（ a - b）= 0 4 + 7 (-1) = -7.
法二
:
(a
+
b）（ a
-
b）=
2
人教A版高中数学必修四2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角牛老师
已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b的值是( )
A．23
B．7
C．－23
D．－7
[答案] D
设a＝(2,1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角θ为锐角．求λ的取 值集合．
[答案] {λ|λ>－12，且λ≠2}
[解析]
Байду номын сангаас
cosθ＝|aa|··b|b|＝
2λ＋1 5· λ2＋1
∵θ为锐角，有0<cosθ<1，
∴0<
2λ＋1 5· λ2＋1<1.
∴22λλ＋ ＋11<>0，5· λ2＋1，
解得λ>－12， λ≠2.
解法二：∵a＝(2，－1)，b＝(3，－2)， ∴3a－b＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)， a－2b＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)． ∴(3a－b)·(a－2b)＝3×(－4)＋(－1)×3 ＝－15.
命题方向2 求向量的夹角
(1)已知a＝(1， 3)，b＝( 3＋1， 3－1)，求a与b 的夹角；
►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
人教A版高中数学必修四2.4.2《平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》PPT课件
证明:AB (2 1,3 2) (1,1)C(-2,5)
AC (2 1,5 2) (3,3)
B(2,3)
AB AC 1 (3) 1 3 0
A(1,2)
AB AC
x
三角形ABC 是直角三角形.
0
练习2：以原点和A（5，2）为两 个顶点作等腰直角三角形OAB， B=90，求点B的坐标.
4、两向量夹角公式的坐标运算
设a与b的夹角为（0 180）， 则cos a b
ab
设a （x1, y1), b (x2, y2 ),且a与b夹角为， (0 180 )则cos x1x2 y1 y2 .
x12 y12 x22 y22 其中 x12 y12 0，x22 y22 0.
一、复习引入
(1)a b a b cos
2
(2)a a a 或 a
a a；
a b a b 0; cos a b .
ab
我们学过两向量的和与差可以转 化为它们相应的坐标来运算,那么怎 样用 a和b的坐标表示a b呢？
二、新课学习
1、平面向量数量积的坐标表示
如图，i是x轴上的单位向量， j是y
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)
2
2
x1x2 i x1 y2 i j x2 y1i j y1 y2 j
x1x2 y1 y2
故两个向量的数量积等于它们对应
坐标的乘积的和。即
y A(x1,y1)
a b x1x2 y1 y2. B(x2,y2) a
bj
oi x
4
求k的值.
答案：（1）b (3 , 4)或b ( 3 , 4).
55
55
（2）（ 2，2 2）或（ 2， 2 2）；（3）k 5.
高一数学(新人教A版必修4)考点清单《2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角命题方向数量积的坐标运算、已知向量∥，＝()，·＝.()求向量的坐标．()若、同向，＝(，－)，求(·)·，(·)·.[解析]()设＝(，)，∴·＝＋.∵∥，∴＝.由(\\(＝，＋＝，))解得(\\(＝，＝))或(\\(＝－，＝－.))∴＝()或＝(－，－)．()∵、同向，∴＝()．∴(·)·＝[×＋×(－)]·＝·＝.(·)·＝(＋×)·＝·(，－)＝(，－)．、已知＝(，－)，＝(，－)，求(－)·(－)．[分析]先求出·，，，再对(－)·(－)展开求解．[解析]解法一：因为·＝×＋(－)×(－)＝，＝＋(－)＝，＝＋(－)＝，所以(－)·(－)＝－·＋＝×－×＋×＝－.解法二：∵＝(，－)，＝(，－)，∴－＝(，－)－(，－)＝(，－)，－＝(，－)－(，－)＝(－)．∴(－)·(－)＝×(－)＋(－)×＝－.命题方向求向量的夹角、()已知＝(，)，＝(＋，－)，求与的夹角；()已知()，()，(－)，求证△是锐角三角形．[解析]()解：由＝(，)，＝(＋，－)，得·＝＋＋×(－)＝，＝，＝. 设与的夹角为θ，则θ＝＝，又≤θ≤π，所以θ＝.()证明：由条件得＝()，＝(－)，＝(，－)，因为·＝－＋＝－<，所以、的夹角是钝角，从而∠为锐角．同理∠，∠也为锐角，所以△是锐角三角形．、设＝(，－)，＝()，若＋与的夹角为°，求实数的值．[解析]＋＝(，－)＋()＝(＋，－)．(＋)·＝(＋，－)·()＝＋.＋＝＝.由(＋)·＝＋°，得＋＝·，即＋－＝.∴＝－或＝，经检验＝－不合题意，舍去，∴＝.命题方向利用平行、垂直求参数、在△中，＝()，＝(，)，且△的一个内角为直角，求的值．[解析]当∠＝°时，·＝，∴×＋×＝.∴＝－.当∠＝°时，·＝，＝－＝(－，－)＝(－，－)，∴×(－)＋×(－)＝.∴＝.。
人教A版高中数学必修42.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
- 9 - λ ≠0
规律总结：
设两个非零向量a =(x1, y1),b=(x2, y2 )的夹角为θ，则
(1) θ = 900 ⇔ x1x2 + y1 y2 = 0;
(2) θ = 00 或180 0 ⇔ x1 y2 - x2 y1 = 0;
(3) 00 < θ < 900 ⇔
x1x2 + y1 y2 > 0 x1 y2 - x2 y1 ≠0；
定 义： a •b = a b cosθ
模长公式： a = a • a 夹角公式： cosθ = a •b
ab
垂直关系： a ⊥b⇒a•b=0
探究新知
问题2：平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向 量的加法、减法、数乘都可以用坐标表示， 向量的数量积可否类比也用坐标表示呢？
新课引入
已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2), 怎样用a与b的坐标表示a·b?
解: (1)由已知得 3• λ+1×(- 3) = cos450 32 +12 λ2 +(- 3)2
即 3λ - 3= 5 • λ2 +9
解得 λ = 6. (2)若夹角θ 为锐角，则有 cosθ > 0, 且 cosθ ≠1,
∴a • b > 0且a与b不同向。
3λ - 3 > 0
即
解得 λ >1.
3λ - 3 > 0
即
解得 λ >1.
- 9 - λ ≠0
故a与b的夹角θ是锐角时， λ的取值范围为
(1，ư + y1 y2
例2、已知 a =(3,1),b =(λ，-3)，
x12 + y12 x22 + y22
人教高中数学必修四《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》说课稿
《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》说课稿尊敬的各位评委大家好：我说课的题目是《2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》，下面我从教材分析、学情分析、教学目标分析、教法学法分析、教学过程分析、教学媒体设计及教学评价设计六个方面对本节课的教学进行说明。
一、教材分析1、教材的地位和作用本节课是普通高中课程标准实验教科书（人教A版）《数学必修4》第二章第四节“平面向量的数量积”的第二课时---平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，平面向量数量积的坐标表示，就是运用坐标这一量化工具表达向量的数量积运算，为研究平面中的距离、垂直、角度等问题提供了全新的手段。
它把向量的数量积与坐标运算两个知识点紧密联系起来，是全章重点之一。
本节课是是在学生已经掌握了平面向量数量积的含义及运算律的基础上进行教学的，因此难度不大。
根据新课标的要求和学生的实际我确定本节课的重难点如下：2．教学重点、难点（1）教学重点1.掌握平面向量数量积的坐标表示方法；2.掌握向量垂直的坐标表示的条件及平面内两点间的距离公式；3.能用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题. （２）教学难点用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.二、学情分析此之前学生已学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积概念及运算，但数量积是用长度和夹角这两个概念来表示的，应用起来不太方便，如何用坐标这一最基本、最常用的工具来表示数量积，使之应用更方便，就是摆在学生面前的一个亟待解决的问题。
因此，本节内容的学习是学生认知发展和知识构建的一个合情、合理的“生长点”。
三、教学目标分析根据本节课的特点,结合新课程标准对本节课的教学要求和学生的认知规律,我从以下三个方面确定了以下教学目标:(1)知识与技能目标:⑴掌握平面向量数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；⑵掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；⑶掌握两个平面向量的夹角的坐标公式；⑷能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；(2) 过程与方法目标：经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验在此基础上探究发现向量的模、夹角等重要的度量公式的成功乐趣，培养学生的探究能力、创新精神。
人教版高中数学必修42. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(结)
2. 4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角命题方向1 数量积的坐标运算例1. 已知向量a ∥b ，b ＝(1,2)，|a ·b |＝10.(1)求向量a 的坐标．(2)若a 、b 同向，c ＝(2，－1)，求(b ·c )·a ，(a ·b )·c .[分析] 解答本题可根据a 与b 共线设出a 的坐标，再利用已知条件构建方程(组)求得a 的坐标，进而进行求解．[解析] (1)设a ＝(x ，y )，∴a ·b ＝x ＋2y .∵a ∥b ，∴y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ，|x ＋2y |＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4. ∴a ＝(2,4)或a ＝(－2，－4)．(2)∵a 、b 同向，∴a ＝(2,4)．∴(b ·c )·a ＝[1×2＋2×(－1)]·a ＝0·a ＝0.命题方向2 求向量的夹角例2. (1)已知a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)，求a 与b 的夹角；(2)已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,5)，求证△ABC 是锐角三角形．[分析] (1)分别求出a ·b ，|a |，|b |，代入夹角公式求解；(2)△ABC 是锐角三角形，即三个内角都是锐角，分别求出相应向量夹角的余弦值，确定该三角形三个内角的余弦值均大于0即可．[解析] (1)解：由a ＝(1，3)，b ＝(3＋1，3－1)，得a ·b ＝3＋1＋3×(3－1)＝4，|a |＝2，|b |＝2 2.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝22， 又0≤θ≤π，所以θ＝π4. (2)证明：由条件得AB →＝(1,1)，BC →＝(－4,3)，CA ＝(3，－4)，因为AB →·BC →＝－4＋3＝－1<0，所以AB →、BC →的夹角是钝角，从而∠ABC 为锐角．同理∠BCA ，∠BAC 也为锐角，所以△ABC 是锐角三角形．命题方向3 利用平行、垂直求参数例3. 在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．[分析] 本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论，讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性．[解析] 当∠A ＝90°时，AB →·AC →＝0，∴2×1＋3×k ＝0.∴k ＝－23. 当∠B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，∴2×(－1)＋3×(k －3)＝0.∴k ＝113. 当∠C ＝90°时，AC →·BC →＝0，∴－1＋k (k －3)＝0.∴k ＝3±132. 综上所述：k ＝－23或113或3±132.命题方向4 已知夹角求参数例4 设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围．[分析] θ为钝角，则cos θ<0.[解析] 由cos θ<0得x <85， 因为a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ， 所以a 与b 反向，θ＝π，故x <85且x ≠－52.。
高一数学人教A版必修4课件：2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(1)
挑战自我，点点落实
→ → → → ∴向量OC与OP共线，设OC＝tOP(t∈R)，
→ 则OC＝t(2,1)＝(2t，t)， → → → ∴CA＝OA－OC＝(1－2t,7－t)，
→ → → CB＝OB－OC＝(5－2t,1－t)，
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
→ → ∴CA· CB＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t) ＝5t2－20t＋12 ＝5(t－2)2－8.
积相等，横横纵纵积相反.
明目标、知重点
预习导学
→ 2. 你 能 用 向 量 法 推 导 两 点 间 距 离 公 式 | AB | ＝ x2－x12＋y2－y12吗？
挑战自我，点点落实
→ 答 AB＝(x2－x1，y2－y1)，
→ → →2 → 2 ∴AB· AB＝AB ＝|AB| ＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2，
第二章——
明目标、知重点
2.4 平面向量的数量积
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
[学习目标]
1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐
标表示进行向量数量积的运算.
2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离
公式.
3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.
明目标、知重点
栏目索引
CONTENTS PAGE
1 预习导学
2 课堂讲义 3 当堂检测
明目标、知重点
挑战自我，点点落实 重点难点，个个击破 当堂训练，体验成功
预习导学
挑战自我，点点落实
[知识链接] 1.已知非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).a∥b与a⊥b坐标表 示有何区别？ 答 若a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0. 若a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0. 两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错
人教A版数学必修四教案：2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角一、教学分析平面向量的数量积,教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.前面我们学习了平面向量的数量积,以及平面向量的坐标表示.那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后,就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面,由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角,因此在实现向量数量积的坐标表示后,向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算,结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示.教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练,让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的,这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基础.二、教学目标1、知识与技能：掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
2、过程与方法：通过用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系，明确数学是研究数与形有机结合的学科。
3、情感态度与价值观：能用所学知识解决有关综合问题。
三、重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用.四、教学设想（一）导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题.思路2.在平面直角坐标系中,平面向量可以用有序实数对来表示,两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来表示？若能,如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时,平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示.（二）推进新课、新知探究、提出问题①平面向量的数量积能否用坐标表示?②已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢?③怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件？④你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究.前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系,那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的运算关系,这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程,教师给予必要的提示和 补充.推导过程如下:∵a =x 1ｉ+y 1j ,b =x 2ｉ+y 2j ,∴a ·b =(x 1ｉ+y 1j )·(x 2ｉ+y 2j )=x 1x 2ｉ2+x 1y 2ｉ·j +x 2y 1ｉ·j +y 1y 2j 2.又∵ｉ·ｉ=1,j ·j =1,ｉ·j =j ·ｉ=0,∴a ·b =x 1x 2+y 1y 2.教师给出结论性的总结,由此可归纳如下:1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.2°向量模的坐标表示若a =(x,y),则|a |2=x 2+y 2,或|a |=22y x +.如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),那么a =(x 2-x 1,y 2-y 1),|a |=.)()(212212y y x x -+-3°两向量垂直的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0.4°两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量,a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ是a 与b 的夹角,根据向量数量积的定义及坐标表示,可得 cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +∙++=∙讨论结果:略.（三）应用示例例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC 的形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题.判断平面图形的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角.可先作出草图,进行直观判定,再去证明.在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等,则此平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三点,我们发现△ABC 是直角三角形.下面给出证明. ∵AB =(2-1,3-2)=(1,1),AC =(-2-1,5-2)=(-3,3),∴AB ·AC =1×(-3)+1×3=0. ∴AB ⊥AC .∴△ABC 是直角三角形.点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结论给出充分的证明.变式训练在△ABC 中,AB =(2,3),AC =(1,k),且△ABC 的一个内角为直角,求k 的值.解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论.若∠A=90°,则AB ⊥AC ,所以AB ·AC =0.于是2×1+3k=0.故k=32-. 同理可求,若∠B=90°时,k 的值为311; 若∠C=90°时,k 的值为2133±. 故所求k 的值为32-或311或2133±.例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC 的余弦值;(2)a =(3,0),b =(-5,5),求a 与b 的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2)的数量积a ·b =x 1x 2+y 1y 2和模|a |=2121y x +,|b |=2222y x +的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值,即cosθ=222221212121||||y x y x y y x x b a b a +∙++=∙.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时,需注意两向量夹角的范围是0≤θ≤π.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚,以免出现不必要的错误.解:(1)AB =(5,1)-(2,-2)=(3,3), AC =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), ∴AB ·AC =3×(-1)+3×6=15.又∵|AB |=2233+=32,|AC |=226)1(+-=37,∴cos ∠BAC=.74745372315||||=∙=∙AC AB AC AB (2)a ·b =3×(-5)+0×5=-15,|a |=3,|b |=52.设a 与b 的夹角为θ,则 cosθ=.2225315||||-=⨯-=∙b a b a 又∵0≤θ≤π,∴θ=43π.点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高.变式训练设a =(5,-7),b =(-6,-4),求a ·b 及a 、b 间的夹角θ.(精确到解:a ·b =5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a |=74)7(522=-+,|b |=52)4()6(22=-+- 由计算器得cosθ=52742⨯-≈-0.03.利用计算器中得θ≈92°.例3 已知|a |=3,b =(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)若a ⊥b ,求a ;(2)若a ∥b ,求a.活动:对平面中的两向量a =(x 1,y 1)与b =(x 2,y 2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性,向量垂直的坐标表示x 1x 2+y 1y 2=0与向量共线的坐标表示x 1y 2-x 2y 1=0很容易混淆,应仔细比较并熟记,当难以区分时,要从意义上鉴别,两向量垂直是a ·b =0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习,多给出这两种类型的同式变形训练.解:(1)设a =(x,y),由|a |=3且a ⊥b ,得⎩⎨⎧=+==+,032,9||222x x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=,13136,1313913136,13139y x y x 或 ∴a =或)13136,13139(-a =.13136,13139- (2)设a =(x,y),由|a |=3且a ∥b ,得⎩⎨⎧=-==+.023,9||222y x a y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==13139,13136y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.13139,13136y x∴a =或)13139,13136(a =)13139,13136(--. 点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标.变式训练求证:一次函数y=2x-3的图象(直线l 1)与一次函数y=21-x 的图象(直线l 2)互相垂直.解:在l1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l1上取两点A(1,-1),B(2,1).同理,在直线l2上取两点C(-2,1),D(-4,2),于是:AB=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1, 2),CD=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示,可得AB·CD=1×(-2)+1×2=0,∴AB⊥CD,即l1⊥l2.（四）课堂小结1.在知识层面上,先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示,向量的模,两向量的夹角,向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律,夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表示.2.在思想方法上,教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法,定义法,待定系数法等.（五）作业。
人教新课标A版高一数学《必修4》2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
②
cos 联立解之：
1 3 sin ， 2 2 1 3 sin 或 cos 2 ， 2
3 1 1 3 b1 , 或b2 , 2 2 2 2
课堂练习
（1）已知 a 3 ， b 1,2 且 a // b ，求 a .
于它们对应坐标的乘积之和；
（2） 要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度、角
度、方程、及垂直问题.
谢谢大家！
S
θ
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角. 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念.
探究点1
平面向量的数量积
ab cos | a || b |
a b a b cos
a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据)
a b ba 1 ． 运算律： a b a b a b 2．
证明：∵ AB 2 1,3 2 1,1
AC 2 1,5 2 3,2
∴
AB AC 1 3 1 3 0
ABC 是直角三角形.
拓展提升：
例3．求 a 3 1, 3 1 与向量的夹角为 45 的单位向量．
第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
学习目标
1．了解平面向量数量积的运算
2．学会平面向量数量积的坐标表示
复习回顾
夹角的范围
数量积 性质
0
a b a b cos
a· a=|a|2
或 a aa
（简写 a2 = |a|2）
(1) a · b= b ·a 运算律
3 6 3 6 a , 或a , 5 5 5 5
人教A高中数学必修4第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
4 当且仅当 t＝ 时取等号． 5 7 5 4 即|a＋tb|的最小值为 ，此时 t＝ . 5 5
[答案]
(1)2 5
人教A版数学·必修4
返回导航
上页
下页
向量模的问题的解题策略 (1)字母表示下的运算，利用|a|2＝a2 将向量模的运算转化为向量的数量积的问题． (2)坐标表示下的运算，若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2.
人教A版数学·必修4
返回导航
上页
下页
01 课前 自主梳理
02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
人教A版数学·必修4
返回导航
上页
下页
[自主梳理] 一、两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a 与 b 的夹角为 θ. 数量积 两个向量的数量积等于相应坐标乘积 的 和，即 a· b＝x1x2＋y1y2
解析：因为 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)， 3×－ 3＋1×1 1 所以 cos θ＝ 2 2 2 2＝－2， 3 ＋1 － 3 ＋1 又 0° ≤θ≤180° ，所以 θ＝120° .
答案：120°
人教A版数学·必修4
返回导航
上页
下页
探究一 [典例 1]
平面向量数量积的坐标运算
返回导航
上页
Байду номын сангаас
下页
2．若 a＝(4，－2)，b＝(k，－1)，且 a⊥b，则 k＝________.
1 解析：a· b＝(4，－2)· (k，－1)＝4k＋2，因为 a⊥b，所以 4k＋2＝0，k＝－ . 2 1 答案：－ 2 3．已知 a＝( 3，1)，b＝(－ 3，1)，则向量 a，b 的夹角 θ＝________.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的：
1.掌握平面向量数量积运算规律；
2.能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；
3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：平面向量数量积及运算规律.
教学难点：平面向量数量积的应用
教学过程：
一、复习引入：
1．平面向量数量积（内积）的定义：
2．两个向量的数量积的性质： 设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量.
1︒ e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ； 2︒ a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0
3︒ 当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |. 特别的a ⋅a = |a |2
或a a a ⋅=||
4︒cos θ =
||||b a b a ⋅ ； 5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 3．练习：
（1）已知|a |=1，|b |=2，且(a -b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是（ ）
A.60° B .30° C.135° D.４５°
（2）已知|a |=2，|b |=1，a 与b 之间的夹角为
3π，那么向量m =a -4b 的模为（ ） A.2 B .2
3 C.6 D.12 二、讲解新课：
探究：已知两个非零向量),(11y x a =，),(22y x b =，怎样用a 和b 的坐标表示b a ⋅？.
1、平面两向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即b a ⋅2121y y x x += 2. 平面内两点间的距离公式
（1）设),(y x a =，则222||y x a +=或22||y x a +=.
（2）如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，
那么221221)()(||y y x x a -+-=(平面内两点间的距离公式)
3． 向量垂直的判定
设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x
4． 两向量夹角的余弦（πθ
≤≤0） co s θ =||||b a b a ⋅⋅222221212
121y x y x y y x x +++=
二、讲解范例：
例1 已知A (1， 2)，B (2， 3)，C (-2， 5)，试判断△ABC 的形状，并给出证明.
例2 设a = (5， -7)，b = (-6， -4)，求a ·b 及a 、b 间的夹角θ(精确到1o )
分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
例3 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?
分析：为求a 与b 夹角，需先求a ·b 及｜a ｜·｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a ＝（１，
3），b ＝（3＋１，3－１） 有a ·b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2．
记a 与b 的夹角为θ，则ｃｏｓθ＝22=⋅⋅b a b a 又∵０≤θ≤π，∴θ＝4
π 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
三、课堂练习：1、P107面1、2、3题
2、已知A (3，2)，B (-1，-1)，若点P (x ，-
21)在线段AB 的中垂线上，则x = . 四、小结： 1、b a ⋅2121y y x x +=
2、平面内两点间的距离公式 221221)()(||y y x x a -+-=
3、向量垂直的判定：
设),(11y x a =，),(22y x b =，则b a ⊥ ⇔02121=+y y x x
五、课后作业：《习案》作业二十四。
思考： 1、如图，以原点和A (5， 2)为顶点作等腰直角△OAB ，使∠B = 90︒，求点B 和向量AB 的坐标.
解：设B 点坐标(x ， y )，则OB = (x ， y )，AB = (x -5， y -2)
∵OB ⊥AB ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2
-5x - 2y = 0 又∵|OB | = |AB | ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2
即：10x + 4y = 29 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+27
2323272941002522112
2y x y x y x y x y x 或
∴B 点坐标)23,27
(-或)27,23(；AB =)27,23(--或)2
3,27(- 2 在△ABC 中，AB =(2， 3)，AC =(1， k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 值. 解：当A = 90︒时，AB ⋅AC = 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k =2
3- 当B = 90︒时，AB ⋅BC = 0，BC =AC -AB = (1-2， k -3) = (-1， k -3)
∴2×(-1) +3×(k -3) = 0 ∴k =311
当C = 90︒时，AC ⋅BC = 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴
k =2133±。