南京农业大学 概率论与数理统计各章重点知识整理

1 x e 2

t2 2 dt
, (-x)=1-Φ(x) . )-Φ(
2 若 X～N ((, ), 则 Z=
X

~N (0,1), P{x1<X≤x2}=Φ(
x2

x1 ).
若 P{Z>z}= P{Z<-z}= P{|Z|>z/2}=,则点 z,-z,z/ 2 分别称为标准正态分布的上,下,双 侧分位点.注意：(z)=1- , z1- = -z. 14.随机变量 X 的函数 Y=g(X)的分布:连续型随机变量的函数: 若 X 的概率密度为 fX(x),则求其函数 Y=g(X)的概率密度 fY(y)常用两种方法：
1. AB= (A 与 B 互不相容或互斥)事件 A 与 B 不能同时发生；2. AB=且 A∪B=S (A 与 B 互 为逆事件或对立事件)德•摩根律 A B A B
A B A B A=(AB)(AB￣)
3.概率：对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数,记为 P(A),称为事件 A 的概率。对于两两互不相 容的事件 A1,A2,…(A iAj=φ, i≠j, i,j=1,2,…),P(A1∪A2∪…)=P( A1)+P(A2)+… 4.性质：(1)P()=0；(2)有限可加性：对于 n 个两两互不相容的事件 A1,A2,…,A n , P(A1∪A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3) 若 A B, 则 P(A) ≤ P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) ； (4) 对 于 任 一 事 件 A, P(A) ≤ 1, P(A)=1-P(A) ；(5)加法定理:对于任意二事件 A,B ,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 5.条件概率:P(B|A)=P(AB)/P(A)(P(A)>0)。 6.乘法定理：P(AB)=P(A)P(B|A)(P(A)>0)。P(AB)=P(B)P(A|B)(P(B)>0). 7.B1,B2,…,B n 是样本空间 S 的一个划分(BiBj=φ,i≠j,i,j=1,2,…,n, B1∪B2∪…∪B n=S) , 则,当 P(B i)>0 时,有全概率公式 P(A)= P Bi P A Bi (知因求果)
/ / /
f h y h y fY y X 0
y 其它
其中 h(y)是 g(x)的反函数 , = min (g (-),g ()) = max (g (-),g ()) . 如果 f (x)在有限区间[a,b]以外等于零,则 = min (g (a),g (b)) = max (g (a),g (b)) . 15.二维随机变量分布函数的性质：(1)F(x,y)分别关于 x 和 y 单调不减.(2)0≤F(x,y)≤1 , F(x,- )=0, F(-,y)=0, F(-,-)=0, F(,)=1 .(3) F(x,y)关于每个变量都是右连 续的,即 F(x+0,y)= F(x,y), F(x,y+0)= F(x,y) .(4)对于任意实数 x 1<x 2 , y 1<y 2，P{x 1<X
2 (3)X~N (, )参数为,的正态分布 f ( x )
1 e 2
( x )2 2 2
-<x<,
>0.
2 特别, =0, =1 时,称 X 服从标准正态分布,记为 X~N (0,1),其概率密度
( x)
1 e 2

x2 2
, 标准正态分布函数 ( x )
P{ X xi , Y y j } pi j , 为在 Y=yj 条件下随机变量 X 的条件分布律. P{Y y j } p j
同样,对于固定的 i,若 P{X=xi}>0,则称 P{Y=yj|X=x i} P{ X xi , Y y j } pi j , 为在 X=xi 条件下随机变量 Y 的条件分布律. 22.数学期望和方差的定义 随机变量 X
≤x 2 , y 1<Y≤y 2}= F(x2,y2)- F(x2,y1)- F(x1,y2)+ F(x1,y1) 16.二维连续型随机变量及其联合概率密度 1.定义：如果 F(x,y)= f ( u, v )dudv 则称(X,Y)为二维连续型随机变量,称 f(x,y)为 (X,Y) 的 (X 和 Y 的 联 合 ) 概 率 密 度 .2. 性 质 ： (1) 非 负 性
(2)归一性 pk 1
k 1

11.三种离散型随机变量的分布 (1)X~(0-1)分布：P{X=k}=p ,P{X=0}=1–p (0<p<1) .
k (2)X~b(n,p)参数为 n,p 的二项分布 P{X=k}= p 1 p
n k
n k
(k=0，1..)(0<p<1) (>0)
P{ X xi }
pi
离散型变量 分布律 P{X=x i}=pi
连续型变量 概率密度 f(x)
E(X) D(X)=E{[X-E(X)] } 函数 E(Y)=E[g(X)] 23.数学期望与方差的性质:
2

i 1
xi pi
E(X ) p i
2

xf ( x)dx
2 [ x E ( X )] f ( x )dx
(1)分布函数法:先求 Y 的分布函数 FY(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y}= y f X x dx
k
k
其中Δk(y)是与 g(X)≤y 对应的 X 的可能值 x 所在的区间(可能不只一个),然后对 y 求导即得 fY(y)=FY (y) . (2)公式法:若 g(x)处处可导,且恒有 g (x)>0 (或 g (x)<0 ),则 Y=g (X)是连续型随机变量, 其概率密度为

x i i
1
i 1
g ( xi ) pi

g ( x ) f ( x )dx
1. c 为为任意常数时, E(c) = c , E(cX) = cE(X) , D(c) = 0 , D (cX) = c D(X) . 2.X,Y 为任意随机变量时, E (X±Y)=E(X)±E(Y) . 3. X 与 Y 相互独立时, E(XY)=E(X)E(Y) , 4. D(X) = 0 D(X±Y)=D(X)+D(Y) .
i 1 n
当 P(A)>0, P(B i)>0 时,有贝叶斯公式 P (Bi|A)=
P Bi P A Bi P ABi . n P A P Bi P A Bi
i 1
8．独立性：满足 P(AB)=P(A)P(B)称 A、B 为相互独立的事件。 (1)A,B 相互独立P(B)=P(B|A)；(2)若 A 与 B,A 与 B , A 与 B, , A 与 B 中有一对相互独立,则 另外三对也相互独立； （3） 三个事件 A,B,C 满足： P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)= P(B)P(C),称 A,B,C 三事件两两相互独立；若再满足 P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称 A,B,C 三事 件相互独立； （4）n 个事件 A1,A2,…,A n,如果对任意 k(1<k≤n),任意 1≤i1<i2<…<i k≤n.有
P Ai Ai Ai P Ai P Ai P Ai ,则称这 n 个事件 A1,A2,…,A n 相互独立。
1 2 k 1 2 k




9．随机变量 X 的分布函数 F(x)=P{X≤x} 其性质为:(1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1. (2)F(x) 单 调 不 减 , 即 若 x1<x2 , 则 F(x1)≤F(x 2) ； (3)F(x) 右 连 续 , 即 F(x+0)=F(x). (4)P{x1<X≤x2}=F(x2)-F(x1). 10.离散型随机变量的分布律 P{X= x k}= p k (k=1,2,…) 其性质为:(1)非负性 0≤Pk≤1 ;
n i 1
2 2 2 26. 分布 (1)定义:若 X～N(0,1 ) ,则 Y = X i 2 ~ (n)自由度为 n 的 分布.
G
17.边缘分布:(X,Y)关于 X 的边缘分布函数 FX (x) = P{X≤x , Y<}= F (x , );关于 Y 的 边缘分布函数 FY (y) = P{X<, Y≤y}= F (,y) 18.二维离散型随机变量(X,Y):关于 X 的边缘分布律 P{X= x i }= pij = p i· ( i =1,2,…)
y x
f (x,y) ≥ 0 ； (2) 归 一 性 ：
2 F ( x, y) f ( x , y )dxdy 1 ；(3)若 f (x,y)在点(x,y)连续,则 f ( x , y ) x y (4)若 G 为 xoy 平面上一个区域,则 P {( x , y ) G } f ( x , y )dxdy .


1
20.相互独立的随机变量：若对一切实数 x,y,均有 F(x,y)= FX (x) FY (y) ,则称 X 和 Y 相互独
立.离散型 X 和 Y 相互独立 p i j= p i· ·p·j ；连续型 X 和 Y 相互独立 f(x,y)=fX (x)fY (y) 21．条件分布： 二维离散型：设(X,Y)是二维离散型随机变量,对于固定的 j,若 P{Y=yj}>0,则称 P{X=x i |Y=yj}
2

P{X = C}=1 ,C 为常数. E(X) p np (a+b)/2 D(X) p(1-p) np(1-p) (b-a) /12 2
2
24.六种重要分布的数学期望和方差 1.X~ (0-1)分布 P{X=1}= p (0<p<1) 2.X~ b (n,p) (0<p<1) 3.X~ () 4.X~ U(a,b) 5.参数为的指数分布
j 1
关于 Y 的边缘分布律 P{Y= y j }= pij = p·j ( j =1,2,…)
i 1

19. 二 维 连 续 型 随 机 变 量 (X,Y): 关 于 X 的 边 缘 概 率 密 f X(x)= f ( x , y )dy 归 一 性
f X ( x )dx 1 ;关于 Y 的边缘概率密度 fY (y)= f ( x , y )d x 归一性 f Y ( y )dy
2 6.X~ N(, )

2
25.样本均值 X
1 n Xi n i 1
样本方差 S 2
1 n Xi X n 1 i 1

2
样本标准差 S
1 n k 样本 k 阶矩 Ak X i ( k=1,2,…) n i 1
1 n 样本 k 阶中心矩 Bk ( X i X )k ( k=1,2,…) n i 1
k (3))X~()参数为的泊松分布 P{X=k}= e k!
12.连续型随机变量
x
(k=0,1,2,…)
(1).定义：如果 F(x)= f t dt ,-∞< x <∞,则称 X 为连续型随机变量,其中 f (x)称为 X 的概率密度(函数).(2).概率密度的性质：(1)非负性 f(x)≥0;(2)归一性 f ( x )dx =1;(3) P{x 1<X≤x 2}= x f ( x )dx
1

x2
13.三种连续型随机变量分布 (1)X～U (a,b) 区间(a,b)上的均匀分布
1 b f ( x) a 0
a源自文库 xb 其它
(>0).
.F(x)= x-a/b-a
1 x / 若x 0 e (2)X 服从参数为的指数分布. f x 若x 0 0