第六章 大学物理

当v c 时 v c 0 m m0 dv F m0 dt
设质点在恒力 F 作用下做加速直线运动。
F
1 v
m0
2
c
2 32

dv dt
32
解得
dv F v 1 2 dt m0 c
2

dv 当v c 时， 0 dt
相对论能量
设某一质点在外力F作用下，由静止开始沿Ox 轴做一维运动。
Ek mc m0c
2
2
E mc
2
2
2
E0 m0c
E mc
结论：如果一个物体的质量 m 发生变化，必然伴 随着它的能量 E 发生相应的变化。 相对论把质量守恒与能量守恒结合起来，统 一成更普遍的质能守恒定律。
讨论动能：
1 2 2 2 Ek mc m0c m0c 1 1 v2 c2
2l 2 ct0 vt t c c 2 2
2
2
解得：
t
t0 v2 1 2 c
t t0
v c t t0
原时：在某一参考系中同一地点先后发生两个事 件的时间间隔。（固有时间） 时间延缓：在S系中记录下两事件的时间间隔大于 在S’系中记录到的原时。
解： l l cos x S S´
l y l l sin y
´
x x
1 v 2 c 2 l cos 1 v 2 c 2 lx lx
2 l l x2 l y l 1 v 2 c 2 cos 2 0.79 m
tan
ly lx

l sin l cos 1 v c
2 2
2
6327'
vt
洛伦兹变换
洛伦兹变换
原点 O 与 O 重合时， 作为计时起点，
y
S
y S P
t t 0 Px, y, z, t
vt
x x
x
v
x
Px, y, z, t
光路（1）
• 光顺着以太方向传播
cv v c
v c cv
2
• 光逆着以太方向传播 往返一次所需时间：
l l 2l v t1 1 2 cv cv c c

1
狭义相对论基本原理 与时空的相对性
狭义相对论基本原理
狭义相对论的两条基本假设： • 狭义相对论的相对性原理：在所有惯性系中，物 理定律的表达形式都相同。 • 光速不变原理：在所有惯性系中，真空中的光速 具有相同的量值c 。
vc
，则
1 v c
2
2
为虚数
结论：真空中的光速是一切客观实体的速度极限。
相对论速度变换
根据洛伦兹变换，可以导出相对论速度变换式。
ux v u x ux v 1 2 c
u y 1 v2 c2 uy ux v 1 2 c uz 1 v2 c2 u z ux v 1 2 c
3 1 4 2 1 0
其中各粒子的静质量分别为：
氘核（ H）： 氚核（ H）： 氦核（ 4 2
1 中子（0
3 1
2 1
mD 3.3437 10
解：
x1
1 v c
x1 vt1
2
x2
1 v c

x2 vt 2
2
t2 t1
x2 x1
( x2 x1 ) v(t2 t1 ) 1 v c
3 2
2
1 v c
x2 x1
2
2.0 10
3
1.0 10
1 v c
例1 静系中子的平均寿命为 = 2.210-6 s。据报 导，在一组高能物理实验中，当它的速度为v = 0.9966c 时通过的平均距离为8 km。试说明这一现 象。
解： 按经典力学
L v 3 108 2.2 106 m 660 m
按相对论力学
t

1 v c
2 2
1 2
v2 1 2 c
1 v2 3 v4 1 2 4 2c 8c
1 3 v4 2 Ek m0 v m0 4 2 8 c
v c 时
1 Ek m0 v 2 2
例6 在一种热核反应中，反应式为
2 1
H H He n
由动能定理：
Ek Fdx
积分可得：
v
0
1 v
2 2
m0
2
c
2 32

v m0 vdv dv dx 2 2 32 0 dt 1 v c


Ek
m0c
1 v c
2
m0c mc m0c
2 2
2
上式虽从一个特例推出，却具有普遍意义。
相对论动能： 相对论总能量： 相对论静能：
3 v c 2
v t1 2 x1 c t1 2 1 v c
v t 2 2 x2 c t2 2 1 v c
v (t 2 t1 ) 2 ( x2 x1 ) c t 2 t1 2 1 v c
v ( x2 x1 ) v t2 t1 2 2 ( x2 x1 ) c 1 v c 2 c 3 3 6 2 10 s 5.77 10 s 2c
u v ux x u v 1 x2 c y 1 v 2 c 2 u uy u v 1 x2 c
u 1 v 2 c 2 uz z u v 1 x2 c
例3 在惯性系S中，有两事件同时发生在x轴上相距 1.0103 m处，从S ´观察到这两事件相距2.0103 m。 试问由S系测得此两事件的时间间隔为多少？பைடு நூலகம்
伽利略变换 经典力学相对性原理
原点 O 与 O 重合时， 作为计时起点，
t t 0
y
S
y S P
Px, y, z, t Px, y, z, t
vt
x x
x
v
x
o
z
z
o
伽利略的时空变换式：
x x vt y y z z t t
z
O
z
O
在S系中观测，t 时刻 O 离开 O 的距离为 vt 。
S : x为原长
y
S
y S P
S:
1 v2 c2 x
vt
x x
x
v
x
x vt x 1 v 2 c 2
解得：
o
z
z
o
x
x vt 1 v c
2 2
在 S系中观测，同理可得：
x
x vt 1 v2 c2
u u v
对速度变换式两边对时间求导 加速度变换矢量式：
a a
F ma F ma
a x a x a y a y a z a z
结论：牛顿运动方程在任意两个不同惯性参考 系中其形式保持不变。 力学相对性原理：力学规律对于一切惯性参考系 都是等价的。
时空的相对性
1. 同时的相对性
v
S
S
v
2. 时间的延缓
反射镜
反射镜
S
c
d
B 光源
v
S
l d
c
vt B 光源
v
2d S : t 0 c
vt S: l d 2
2 2
2l 2 vt 2 t d c c 2
2
从两时间式中消去d，有
消去 x ，可得
t
t vx c 2 1 v c
2 2
逆变换：
t
vx c 2 t 1 v c
2
2 2
2
当
有
v c
v c 0
x x vt
t t
结论：在速度远小于光速 c 时，相 对论结论与牛顿力学结论相同。
洛伦兹变换
x
x vt 1 v c
第 六 章
狭义相对论
爱因斯坦
——公众谓之人类最高智慧的象征
法国物理学家朗之万（P. Langevin,1872 — 1946）曾 这样评价过爱因斯坦： 他的伟大可以与牛顿 相比拟；按我的意见，他 也许比牛顿更伟大一些。 因为他对于科学的贡献更 深入到人类思想基本概念 的结构中。
基于绝对时空的力学理论

8
2.2 10 6 1 0.9966
2
s 26.9 10 6 s
3
L vt 3 10 26.9 m 8 10 m
3. 长度的收缩
S
v
l0
O x1
x2
x
2l0 往返时间：t0 c
入射路程：
d S
v
vt1 x x x2
d l vt1 d ct1


解得：
l l0 1 v 2 c 2
原长：在相对于观察者静止的参考系中测得的物 体长度。（固有长度） 长度收缩 ：运动物体的长度小于原长， l l0 。 当
v c
l l0
注意：长度收缩只发生在运动的方向上。
例2 一长为1 m的棒，相对于S´系静止并与 x´轴夹 角´= 45º 。问：在S系的观察者来看，此棒的长度 以及它与x 轴的夹角为多少？（已知 v 3c 2 ）
相对论动力学
相对论质量与动量