北邮通信原理课件 第三章 随机过程
合集下载
通信原理随机过程
4
通信原理
2.随机过程的均值及相关函数 （时域） (1) 均值: E X (t) mX (t)
任何随机过程都可以看成是一个零均值随机 过程与一个确定函数的和。 X (t) X (t) mX (t)
(2) 相关函数:自相关函数 E X (t1)X (t2) RX (t1,t2) 互相关函数 E X (t1)Y (t2 ) RXY (t1,t2)
（2）自相关函数
RY (t1,t2 ) E[Y (t)Y (t )]
E[ X (t u)X (t v)h(u)h(v)dvdu]
RX ( u v)h(u)h(v)dvdu RY ( )
(6) 零均值随机过程和确定信号之和的功率谱密度为PX ( f ) Pm( f )
7
通返信回原目理录
3.2 平稳随机过程
1.定义 2.各态历经性（遍历性） 3.联合平稳 4.复平稳过程 5.零均值平稳过程通过滤波器 6.平稳序列 7.循环平稳过程
1.定义
（1）严平稳随机过程(狭义平稳)
如果对于任意n和t1, t2 , …,tn以及 有
通信原理
安建伟
北京科技大学通信工程系
第3章随机过程
3.1 随机过程的统计特性 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯过程 3.4 高斯白噪声 3.5 匹配滤波器
2
通信原理
引言
为什么研究随机过程？
– 通信中，信号、干扰、噪声等都是随机信号， 具有一定的统计规律性。
– 随机过程是随机信号的数学模型。
研究什么？
T 2T T
时间平均
1T
lim x(t)
x(t )dt
通信原理-随机过程课件
一个随机过程在时间上是否具有某种 稳定的统计特性。如果一个随机过程 在长时间观察下表现出稳定的统计特 性，则称该随机过程具有遍历性。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
遍历性的数学描述
对于一个随机过程，如果存在一个常 数$c$，使得对于任意的时间$t$，有 $E[X(t)]=c$，则称该随机过程具有遍 历性。其中$X(t)$表示在时刻$t$的随 机变量的取值。
标量乘法
标量乘法满足结合律和分 配律，即对于任意标量a 和任意随机过程X，有 a(X+Y)=aX+aY。
线性变换的应用
信号处理
在通信系统中，信号经常 需要进行线性变换以实现 调制、解调、滤波等操作 。
控制系统
在控制系统中，线性变换 被广泛应用于系统的分析 和设计，如传递函数、状 态方程等。
图像处理
在图像处理中，线性变换 被广泛应用于图像的增强 、滤波、变换等操作。
04
CATALOGUE
随机过程的平稳性
平稳性的定义
平稳性定义
一个随机过程如果对于任何正整数n，以及任何非负整数k，其n维联合分布函 数与n+k维联合分布函数相同，则称该随机过程是严平稳的。
数学表达式
若对于任意的正整数n和任意的非负整数k，都有P(X_1, X_2, ..., X_n) = P(X_1+k, X_2+k, ..., X_n+k)，则称随机过程{X_t}是严平稳的。
06
CATALOGUE
随机过程的功率谱密度
功率谱密度的定义
功率谱密度
表示随机信号的功率随频率的分布， 是描述随机信号频域特性的重要参数 。
定义方式
功率谱密度函数通常由傅里叶变换来 定义，将随机信号的时域表示转换为 频域表示。
通信原理教程3-随机过程
X (t1 ) 和 X (t2 ) 分别是在时刻
t1 、 t 2 观察X(t)
得到的两个随机变量。自相关函数表示在两个时 刻对同一个随机过程抽样的两个随机值的相关程 度。
平稳随机过程
平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移 而变化。 设随机过程{Ｘ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1 ＜t2＜…＜tn, tk∈T， k=1, 2, …, n，以及h为任意值，且 x1, x2, …, xn∈R，有
随机过程的统计特性
随机过程的统计特性用分布函数、概率密度函数或数字 特征来描述。 设X(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， 其 取值X(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以 用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量X(t1)小 于或等于某一数值x1 的概率P［X(t1)≤x1 ］，简记为FX(x1, t1)， 即 FX(x1,t1)=P［X(t1)≤x1］
E[ ST j d
R( ) PX ( f )e
j
df
上式表明，PX(f )和R( )是一对傅里叶变换：
PX(f
)的性质：
PX(f ) 0, 并且PX(f )是实函数。 PX(f ) ＝PX(-f )，即PX(f )是偶函数。
【例】某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωc t+θ)， 其中A和ωc均为常数，θ是在(0, 2π)内均匀分 布的随机变量。 （1） 求X(t)的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论X(t)是否具有各态历经性。
解 (1) 先考察ξ(t)是否广义平稳。 X(t)的数学期望为
t1 、 t 2 观察X(t)
得到的两个随机变量。自相关函数表示在两个时 刻对同一个随机过程抽样的两个随机值的相关程 度。
平稳随机过程
平稳随机过程的定义：
统计特性与时间起点无关的随机过程。 所谓平稳随机过程，是指它的统计特性不随时间的推移 而变化。 设随机过程{Ｘ(t)，t∈T},若对于任意n和任意选定t1 ＜t2＜…＜tn, tk∈T， k=1, 2, …, n，以及h为任意值，且 x1, x2, …, xn∈R，有
随机过程的统计特性
随机过程的统计特性用分布函数、概率密度函数或数字 特征来描述。 设X(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1∈T， 其 取值X(t1)是一个一维随机变量。而随机变量的统计特性可以 用分布函数或概率密度函数来描述。我们把随机变量X(t1)小 于或等于某一数值x1 的概率P［X(t1)≤x1 ］，简记为FX(x1, t1)， 即 FX(x1,t1)=P［X(t1)≤x1］
E[ ST j d
R( ) PX ( f )e
j
df
上式表明，PX(f )和R( )是一对傅里叶变换：
PX(f
)的性质：
PX(f ) 0, 并且PX(f )是实函数。 PX(f ) ＝PX(-f )，即PX(f )是偶函数。
【例】某随机相位余弦波X(t)=Acos(ωc t+θ)， 其中A和ωc均为常数，θ是在(0, 2π)内均匀分 布的随机变量。 （1） 求X(t)的自相关函数与功率谱密度； （2） 讨论X(t)是否具有各态历经性。
解 (1) 先考察ξ(t)是否广义平稳。 X(t)的数学期望为
随机过程_课件---第三章
随机过程_课件---第三章第三章随机过程3.1 随机过程的基本概念1、随机过程定义3-1 设(),,F P Ω是给定的概率空间，T 为一指标集，对于任意t T ∈，都存在定义在(),,F P Ω上，取值于E 的随机变量()(),X t ωω∈Ω与它相对应，则称依赖于t 的一族随机变量(){},:X t t T ω∈为随机过程，简记(){}tX ω，{}tX 或(){}X t 。
注：随机过程(){,:,}X t t T ωω∈Ω∈是时间参数t 和样本点ω的二元函数，对于给定的时间是()00,,t T X t ω∈是概率空间(),,F P Ω上的随机变量；对于给定样本点()00,,X t ωω∈Ω是定义在T 上的实函数，此时称它为随机过程对应于0ω的一个样本函数，也成为样本轨道或实现。
E 称为随机过程的相空间，也成为状态空间，通常用""t X x =表示t X 处于状态x 。
2、随机过程分类：随机过程t X 按照时间和状态是连续还是离散可以分为四类：连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列。
3、有穷维分布函数定义3-2 设随机过程{}t X ，在任意n 个时刻1,,n t t 的取值1,,nt tX X 构成n 维随机向量()1,,n t t XX ，其n 维联合分布函数为：()()11,,11,,,,nnt t nt t nF x x P X x Xx ≤≤其n 维联合密度函数记为()1,,1,,n t tn f x x 。
我们称(){}1,,11,,:1,,,nt t n n Fx x n t t T ≥∈ 为随机过程{}t X 的有穷维分布函数。
3.2 随机过程的数字特征1、数学期望对于任何一个时间t T ∈，随机过程{}t X 的数学期望定义为()()tX t t E X xdF x μ+∞-∞==?()t E X 是时间t 的函数。
2、方差与矩随机过程{}t X 的二阶中心矩22()[(())],tX t t t Var X E X E X t T σ==-∈称为随机过程{}t X 的方差。
北邮通信原理课件A-3随机过程讲解学习共53页PPT
13、遵守纪律的风气的培养，只有领 导者本 身在这 方面以 身作则 才能收 到成效 。—— 马卡连 柯 14、劳动者的组织性、纪律性、坚毅 精神以 及同全 世界劳 动者的 团结一 致，是 取得最 后胜利 的保证 。—— 列宁 摘自名言网
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢！
北邮通信原理课件A-3随机过 程讲解学习
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
15、机会是不守纪律的。——雨果
谢谢！
北邮通信原理课件A-3随机过 程讲解学习
11、战争满足了，或曾经满足过人的 好斗的 本能， 但它同 时还满 足了人 对掠夺 ，破坏 以及残 酷的纪 律和专 制力的 欲望。 ——查·埃利奥 特 12、不应把纪律仅仅看成教育的手段 。纪律 是教育 过程的 结果， 首先是 学生集 体表现 在一切 生活领 域—— 生产、 日常生 活、学 校、文 化等领 域中努 力的结 果。— —马卡 连柯(名 言网)
36、自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
第3章-通信原理-随机过程
第3章随机过程3.1 随机过程基本概念自然界中事物的变化过程可以大致分成为两类：(1) 确定性过程：其变化过程具有确定的形式，数学上可以用一个或几个时间t的确定函数来描述。
(2) 随机过程：没有确定的变化形式。
每次对它的测量结果没有一个确定的变化规律。
数学上，这类事物变化的过程不可能用一个或几个时间t的确定函数来描述。
随机信号和噪声统称为随机过程。
1. 随机过程的分布函数随机过程定义：设S k(k=1, 2, …)是随机试验。
每一次试验都有一条时间波形(称为样本函数)，记作x i(t)，所有可能出现的结果的总体{x1(t), x2(t)，…, x n(t)，…}构成一随机过程，记作ξ(t)。
无穷多个样本函数的总体叫做随机过程。
随机过程具有随机变量和时间函数的特点。
在进行观测前是无法预知是空间中哪一个样本。
在一个固定时刻t1，不同样本的取值x i(t1)是一个随机变量。
随机过程是处于不同时刻的随机变量的集合。
设ξ(t)表示一个随机过程，在任意给定的时刻t1其取值ξ(t1)是一个一维随机变量。
随机变量的统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。
把随机变量ξ(t1)小于或等于某一数值x1的概率记为F1(x1, t1)，即如果F1对x1的导数存在，即ξ (t)样本函数的总体（随机过程）11{()}P t xξ≤11111(,){()}F x t P t xξ=≤称为ξ(t)的一维概率密度函数。
同理，任给t 1, t 2, …, t n ∈T, 则ξ(t)的n 维分布函数被定义为为ξ(t)的n 维概率密度函数。
2. 随机过程的数字特征用数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。
数字特征是指均值、方差和相关系数。
是从随机变量的数字特征推广而来的。
(1) 数学期望（均值）表示随机过程的n 个样本函数曲线的摆动中心，即均值。
积分是对x 进行的，表示t 时刻各个样本的均值，不同时刻t 的均值构成摆动中心。
北邮通信原理课件A-3随机过程讲解学习53页PPT
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
北邮通信原理课件A-3随机过程讲解 学习
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
北邮通信原理课件A-3随机过程讲解 学习
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要生气要争气，不要看破要突 破，不 要嫉妒 要欣赏 ，不要 托延要 积极， 不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
【北邮考研通信原理课件】第三章 随机过程
3.3 平稳随机过程
• 平稳随机过程相关函数的性质
1 RX 0 E X 2 t ，是统计平均功率，与t无关 2 RX RX 需实随机过程 3 RX RX 0 4若X t T X t ，则RX T RX 5一般， 时，可以认为X t 和X t 相互独立，
所以若E
u
h
v
dudv
RX
u
v h u h v dudv
RY
3.5 平稳随机过程通过线性系统
• X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度
RXY t1,t2 E X t1 Y t2
E
X
t1
h
u
X
t2
u
du
RX
u
h
u
du
RX
*
h
RXY
PXY f F RXY PX f H f
RXY t1, t2 mX t1 mY t2
3.2 随机过程的统计特性
• 不相关与独立 •
若两随机过程X t 和Y t 对任何t1,t2有 • 两随机过程C相XY互独t1立, t2，则必0定，不则相这关；两若随不相机关过，则程不不一相 定独关立
• 对于正态（高斯）随机过程，不相关与独立是等价的
• 系统框图
Y
t
X
t
*h
t
X
a
h
t
a
da
h
u
X
t
u du
3.5 平稳随机过程通过线性系统
• Y(t)为平稳随机过程
mY
t
E
Y
t
h
u
E
X
t
u
du
E
X
t
北邮通信原理课件A-3随机过程讲解学习
E( X Y ) E( X ) E(Y )
E(XY)称相关函数
物理意义
描述两维随机变量(X,Y)的相互关系
几个概念
独立
f(x,y)=f(x)f(y)
不相关
COV(X,Y)=0
正交
E(XY)=0
3.2 随机过程
一、概念 二、统计特性
一、概念
样本函数：
样本空
S1
间
随机过程
S2
x1(t)
2
P ()d
A2 2
3.4 高斯随机过程与高斯白噪声
信道中的噪声
脉冲噪声 窄带噪声
起伏噪声
热噪声 散弹噪声 宇宙噪声
起伏噪声为高斯随机过程
一、 高斯随机变量
的一个实现 Sn
t
随机过程：
x2(t)
样本函数
的集合
t (t)
任意时刻 的取值为随 机变量
xn(t) t
tk
随机过程没有确定的时间函数，只能从统计角 度，用概率分布和数字特征来描述。
二、统计特性
概率分布 数学期望（均值） 方差 协方差函数 相关函数
1. 概率分布
随机过程ξ(t) 在任一时刻t1的取值是随机变量， 则随机变量ξ(t1)的取值小于等于某一数值x1 的概率为ξ(t)的一维概率分布函数：
的问题大为简化。
例题(例3-1)
设一个随机相位的正弦波为 (t) Acos(ct )
其中，A和c均为常数；是在(0, 2π)内均匀分布的随 机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。
【解】
(1)先求(t)的统计平均值： A2
a(t) 0; R( ) cos c 2
(2) 求(t)的时间平均值
O
通信原理第3讲随机过程
脉冲噪声产生原因
脉冲噪声的产生与线路的物理性质、传输信号的特性以及周围环 境的干扰有关。
脉冲噪声影响
脉冲噪声会对信号造成干扰，导致数据传输错误，降低通信系统 的可靠性。
数字通信中的码间干扰
1 2 3
码间干扰定义
在数字通信中，由于信号的传输速率较高，前后 码元之间会产生相互干扰，这种现象称为码间干 扰。
意义
相关函数在通信系统中用于描述信号的时域特性和噪 声特性，对于信号的检测和识别具有重要意义。
功率谱密度和相关函数的关系
关系
功率谱密度和相关函数是描述随机信号特性的重要参数，它 们之间存在一定的关系。一般来说，功率谱密度和相关函数 可以互相推导，它们在描述信号的特性和分析通信系统时具 有互补性。
应用
描述随机过程在不同时刻取值之间的 相关性。
谱密度函数
描述随机过程的频率特性。
互相关函数
描述两个随机过程在不同时刻取值之 间的相关性。
交叉谱密度函数
描述两个随机过程的频率特性之间的 关系。
03
随机过程的平稳性和遍历 性
平稳随机过程
01
02
03
定义
如果一个随机过程的统计 特性不随时间的推移而变 化，则称该随机过程为平 稳随机过程。
多径衰落产生原因
无线信号在传播过程中会遇到多种障碍物，如建筑物、树 木等，这些障碍物会反射、折射和散射信号，导致接收端 接收到的信号包含多个路径的成分。
多径衰落影响
多径衰落会导致信号的幅度和相位发生变化，从而影响通 信质量，产生误码率，降低通信系统的性能。
有线通信中的脉冲噪声
脉冲噪声定义
在有线通信中，由于线路中存在阻抗不匹配、电磁干扰等原因， 会在信号中产生突发的脉冲噪声。
脉冲噪声的产生与线路的物理性质、传输信号的特性以及周围环 境的干扰有关。
脉冲噪声影响
脉冲噪声会对信号造成干扰，导致数据传输错误，降低通信系统 的可靠性。
数字通信中的码间干扰
1 2 3
码间干扰定义
在数字通信中，由于信号的传输速率较高，前后 码元之间会产生相互干扰，这种现象称为码间干 扰。
意义
相关函数在通信系统中用于描述信号的时域特性和噪 声特性，对于信号的检测和识别具有重要意义。
功率谱密度和相关函数的关系
关系
功率谱密度和相关函数是描述随机信号特性的重要参数，它 们之间存在一定的关系。一般来说，功率谱密度和相关函数 可以互相推导，它们在描述信号的特性和分析通信系统时具 有互补性。
应用
描述随机过程在不同时刻取值之间的 相关性。
谱密度函数
描述随机过程的频率特性。
互相关函数
描述两个随机过程在不同时刻取值之 间的相关性。
交叉谱密度函数
描述两个随机过程的频率特性之间的 关系。
03
随机过程的平稳性和遍历 性
平稳随机过程
01
02
03
定义
如果一个随机过程的统计 特性不随时间的推移而变 化，则称该随机过程为平 稳随机过程。
多径衰落产生原因
无线信号在传播过程中会遇到多种障碍物，如建筑物、树 木等，这些障碍物会反射、折射和散射信号，导致接收端 接收到的信号包含多个路径的成分。
多径衰落影响
多径衰落会导致信号的幅度和相位发生变化，从而影响通 信质量，产生误码率，降低通信系统的性能。
有线通信中的脉冲噪声
脉冲噪声定义
在有线通信中，由于线路中存在阻抗不匹配、电磁干扰等原因， 会在信号中产生突发的脉冲噪声。
通信原理第3章-随机过程
•若E[X(t)]、E[X*(t)X(t+t)]与t无关，则为宽平稳 •若还有E[X(t)X(t+t)]与t无关，则其实部Xc(t)与虚
部Xs(t)是实平稳过程
各态历经性（遍历性）
•令x(t)是X(t)的某一个样本函数，若X(t)的某个数字 特征可以通过x(t)的对应时间平均得，则称该随机 过程的该数字特征具有遍历性。
实偶函数的傅氏变换是实偶函数
3.4 高斯随机过程（正态）
若从随机过程X(t)中任意采n个点，所得n个随 机变量总是服从联合高斯分布，则称X(t)为高 斯随机过程。
1) 对于高斯过程，宽平稳=严平稳：
对于宽平稳高斯过程，两个随机变量之间的协 方差只与时间差有关。将式(3.4.1)左边的 t1,t2,…,tn统一偏移t时，协方差矩阵B不变，即 (3.4.1)右边不变
对于t1和t2时刻的两个随机变量X1=X(t1)， X2=X(t2)： (1) 相关值E[X1X2]一般是t1和t2的二元函数，称为自
相关函数，记为RX(t1,t2)。 (2)自协方差函数：扣除均值后的自相关函数。
(3) 归一化协方差函数(相关系数)：扣除均值，再使 方差归一化为后的自相关函数。
随机过程的多维分布函数
数可能不同，记为t的函数：F(x,t)=P[X(t)≤x] , 称作 随机过程X(t)的一维分布函数。 • 如果对应的概率密度p(x,t)存在，称为X(t)的一维概 率密度。
2.随机过程X(t)的数字特征
对于t时刻的随机变量X=X(t)，有如下数字特征 (1) 数学期望(统计平均值)：E[X] (2) 二阶矩：E[X2] (3) 方差：扣除均值后的二阶矩 就一般随机过程而言，以上数字特征都是t的函数。
通信原理第3章-随机过 程
部Xs(t)是实平稳过程
各态历经性（遍历性）
•令x(t)是X(t)的某一个样本函数，若X(t)的某个数字 特征可以通过x(t)的对应时间平均得，则称该随机 过程的该数字特征具有遍历性。
实偶函数的傅氏变换是实偶函数
3.4 高斯随机过程（正态）
若从随机过程X(t)中任意采n个点，所得n个随 机变量总是服从联合高斯分布，则称X(t)为高 斯随机过程。
1) 对于高斯过程，宽平稳=严平稳：
对于宽平稳高斯过程，两个随机变量之间的协 方差只与时间差有关。将式(3.4.1)左边的 t1,t2,…,tn统一偏移t时，协方差矩阵B不变，即 (3.4.1)右边不变
对于t1和t2时刻的两个随机变量X1=X(t1)， X2=X(t2)： (1) 相关值E[X1X2]一般是t1和t2的二元函数，称为自
相关函数，记为RX(t1,t2)。 (2)自协方差函数：扣除均值后的自相关函数。
(3) 归一化协方差函数(相关系数)：扣除均值，再使 方差归一化为后的自相关函数。
随机过程的多维分布函数
数可能不同，记为t的函数：F(x,t)=P[X(t)≤x] , 称作 随机过程X(t)的一维分布函数。 • 如果对应的概率密度p(x,t)存在，称为X(t)的一维概 率密度。
2.随机过程X(t)的数字特征
对于t时刻的随机变量X=X(t)，有如下数字特征 (1) 数学期望(统计平均值)：E[X] (2) 二阶矩：E[X2] (3) 方差：扣除均值后的二阶矩 就一般随机过程而言，以上数字特征都是t的函数。
通信原理第3章-随机过 程
通信原理课件第3章 随机信号分析(21年)
x1 a(t1) x2 a(t2 ) f2 (x1, x2;t1,t2 )dx1dx2
自相关函数与自协方差函数之间的关系:
B(t1,t2 ) R(t1,t2 ) a(t1)a(t2 ) 若随机过程在两个时刻中的一个随机变量均 值为零，则：
B(t1,t2 ) R(t1,t2 )
lim Px () E[Pf ()]
T
E FT () 2
T
lim S 1
2
Px
()d
1
2
E FT () 2 d
T
T
3. 功率谱密度与自相关函数的关系
维纳-辛钦定理：
R( ) Px ()
或
R( ) Px ( f )
Px ()
R( )e j d
R ( ) 1
2
Px
(
)e
（3）高斯过程不同时刻互不相关则也统计独立。
若平稳随机过程x (t)、 (t) 统计独立
Bx (t1,t2 ) E[x (t1)(t2 )] ax a E[x (t1)]E[ (t2 )] ax a 0
则互不相关
fn (x1, x2,, xn;t1,t2,,tn )
1
n
1
(2 ) 21 2... n B 2
E2[x (t)]
（5） R(0) R() 2
x (t) 的交流功率
D[x (t)] E x 2(t) a2 (t)
R( )
R(0)
2
R()
0
2. 平稳随机过程的功率谱密度
f (t)
…
…
O
t
f T(t)
－
T 2
O
T 2
t
lim Pf () T
第3章_随机过程
偶函数
2013-8-1
通信原理
19
第3章 随机过程
3.2 平稳随机过程
3.2.1定义
1.狭义平稳随机过程
假设一个随机过程ξ(t)，如果它的任何n维分布或概率密 度函数与时间起点无关，即对于任意的t 和τ，随机过程ξ(t) 的n 维概率密度函数满足 fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn） =fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ） 则称ξ(t)是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
记为 （t） 2
x 2 f1 ( x，t )dx [a (t )]2
称为随机过程ξ(t)的方差。 －－相对于均值的振动程度 。
2013-8-1
通信原理
13
第3章 随机过程
4.协方差与相关函数－－随机过程不同时刻取值之间的相 互关系 衡量随机过程ξ(t)在任意两个时刻t1和t2上获得的随机变量 ξ(t1)和ξ(t2)的统计相关特性时，常用协方差函数B(t1，t2)和相 关函数R(t1，t2)来表示。 （1）相关函数 ξ(t1)和ξ(t2)的二阶原点混合矩
概率论：随机变量分析－－分布函数和概率密度
2013-8-1
通信原理
6
第3章 随机过程
3.1.1 随机过程的分布函数
１. 分布函数和概率密度 （1）一维描述 ●一维分布函数 随机过程ξ(t)任一时刻 t1 的取值是随机变量ξ(t1)，则随机 变量ξ(t1)小于等于某一数 值 x1的概率 F1（x1，t1）=P[ξ(t1) ≤x1] 叫做随机过程ξ(t)的一维分布函数。 （3.1.1）
2013-8-1
通信原理
7
2013-8-1
通信原理
19
第3章 随机过程
3.2 平稳随机过程
3.2.1定义
1.狭义平稳随机过程
假设一个随机过程ξ(t)，如果它的任何n维分布或概率密 度函数与时间起点无关，即对于任意的t 和τ，随机过程ξ(t) 的n 维概率密度函数满足 fn（x1，x2，...，xn；t1，t2，...，tn） =fn（x1，x2，...，xn；t1+τ，t2+τ，...，tn+τ） 则称ξ(t)是严平稳随机过程或狭义平稳随机过程。
记为 （t） 2
x 2 f1 ( x，t )dx [a (t )]2
称为随机过程ξ(t)的方差。 －－相对于均值的振动程度 。
2013-8-1
通信原理
13
第3章 随机过程
4.协方差与相关函数－－随机过程不同时刻取值之间的相 互关系 衡量随机过程ξ(t)在任意两个时刻t1和t2上获得的随机变量 ξ(t1)和ξ(t2)的统计相关特性时，常用协方差函数B(t1，t2)和相 关函数R(t1，t2)来表示。 （1）相关函数 ξ(t1)和ξ(t2)的二阶原点混合矩
概率论：随机变量分析－－分布函数和概率密度
2013-8-1
通信原理
6
第3章 随机过程
3.1.1 随机过程的分布函数
１. 分布函数和概率密度 （1）一维描述 ●一维分布函数 随机过程ξ(t)任一时刻 t1 的取值是随机变量ξ(t1)，则随机 变量ξ(t1)小于等于某一数 值 x1的概率 F1（x1，t1）=P[ξ(t1) ≤x1] 叫做随机过程ξ(t)的一维分布函数。 （3.1.1）
2013-8-1
通信原理
7
随机过程第三章-PPT
对于左边,若随机过程均方连续,则随机过程得自相关 函数,在上也处处连续。
总之,若随机过程处处均方连续,则它得自相关函数所 在上也处处连续,反之也成立。
性质3、1 若随机过程X(t)就m是 s 则它得数学期望也必定连续,即:
lim E[ X (t t)] E[ X (t)]
t 0
连续得,
E [| X (t t) X (t) |2 ]≥ E2[ X (t t) X (t)]≥ 0
性质3、2 如果自关函数RX (t1,t2 ) 在 t1 t2 时连 续,且存在二阶偏导数
2R t1t2 t1 t2
则随机过程在均方意义下存在导数(证明略)
应当指出,随机过程有导数,首先过程必须就是连
续得,但随机过程得连续性不能保证过程一定有
导数。
2、 随机过程得均方导数X (t) 得数学期望
E
lim
t1 0
X
(t1
t1 )
Y (t2 ) t1
X
(t1 )Y
(t2
)
lim E[ X (t1 t1)Y (t2 )] E[ X (t1)Y (t2 )]
t1 0
t1
lim RXY (t1 t1, t2 ) RXY (t1, t2 )
t1 0
t1
RXY (t1, t2 ) t1
x满足
lim E
n
xn x 2
0
则称随机变量序列xn依均方收敛于随机变量x,并记
为
lim
n
xn
x
或 xn m s (xm·s——就是英文Mean—Square缩写)
1、 两个均方收敛性判据
里斯—菲希尔定理:对随机变量序列
构造柯西序列
如果满足
总之,若随机过程处处均方连续,则它得自相关函数所 在上也处处连续,反之也成立。
性质3、1 若随机过程X(t)就m是 s 则它得数学期望也必定连续,即:
lim E[ X (t t)] E[ X (t)]
t 0
连续得,
E [| X (t t) X (t) |2 ]≥ E2[ X (t t) X (t)]≥ 0
性质3、2 如果自关函数RX (t1,t2 ) 在 t1 t2 时连 续,且存在二阶偏导数
2R t1t2 t1 t2
则随机过程在均方意义下存在导数(证明略)
应当指出,随机过程有导数,首先过程必须就是连
续得,但随机过程得连续性不能保证过程一定有
导数。
2、 随机过程得均方导数X (t) 得数学期望
E
lim
t1 0
X
(t1
t1 )
Y (t2 ) t1
X
(t1 )Y
(t2
)
lim E[ X (t1 t1)Y (t2 )] E[ X (t1)Y (t2 )]
t1 0
t1
lim RXY (t1 t1, t2 ) RXY (t1, t2 )
t1 0
t1
RXY (t1, t2 ) t1
x满足
lim E
n
xn x 2
0
则称随机变量序列xn依均方收敛于随机变量x,并记
为
lim
n
xn
x
或 xn m s (xm·s——就是英文Mean—Square缩写)
1、 两个均方收敛性判据
里斯—菲希尔定理:对随机变量序列
构造柯西序列
如果满足
北邮通信原理课件A-3随机过程讲解学习共53页文档
•
29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
•
30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
学习
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
北邮通信原理课件A-3随机过程讲解
•
26、我们像鹰一样，生来就是自由的 ，但是 为了生 存，我 们不得 不为自 己编织 一个笼 子，然 后把自 己关在 里面。 ——博 莱索
•
27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
•
28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
第三章通信原理《随机过程》
PPT文档演模板
第三章通信原理《随机过程》
•结论：平稳随机过程的均值（和方差是与时间t无关 的常数，自相关函数只是时间间隔τ的函数，而与所 选取的时间起点无关。
• 在工程中，我们常用这两个条件来直接判断随机 过程的平稳性，并把同时满足均值为常数、自相关 函数只与时间间隔 有关的随机过程定义为广义平稳 随机过程。
• 显然，严平稳必定是广义平稳，反之不一定成立。
• 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多可视为 平稳的随机过程。以后的讨论除特殊说明，均假定 是广义平稳的，简称平稳。
PPT文档演模板
第三章通信原理《随机过程》
• 下面我们来看一道例题，来判断一个随机过程 是否是平稳随机过程？
•例题：某随机过程是一个幅度、角频给定的正弦波， •其相位值是随机的，即 •式中： 与 为常数， 在 内均匀分布随 •机变量，试证明其为广义平稳过程。
•是二维概率密度函数。
• 协方差函数、 相关函数体现了随机过程
的二维统计特性。
PPT文档演模板
第三章通信原理《随机过程》
(3) 协方差函数与 相关函数的关系：
若随机过程的数学期望为零，则协方差函数与相 关函数是相同的。即使数学期望不为零，协方差函数 与相关函数尽管形式不同，但它们所描述的随机过程 内部联系的效果是相同的。本书将采用相关函数。
一维分布函数：
一维概率密度函数：
PPT文档演模板
第三章通信原理《随机过程》
•一般情况下： 一维分布函数： 一维概率密度函数：
和
即是 的函数，又是时间 的函数。很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程
在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分，
通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
若X(t)，Y(t)是宽平稳随机过程
互相关函数只 与t2-t1=τ 有关
RXY (t1, t2 ) E[ X (t )Y (t )] RXY ( )
称X(t)，Y(t)为联合宽平稳随机过程
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
15
4. 平稳随机过程相关函数的性质 统计平均功率 (与t无关)
T, 此项为0
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
24
所以
维纳-辛钦定理
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
25
8. 平稳随机过程功率谱密度的性质
①
② ③ ④
PX ( ) 0
T
T
x(t )dt
时间相关函数
如果满足
1 x(t ) x(t ) lim T 2T
T
T
x(t ) x(t )dt
P{E[ X (t )] x(t )} 1 P{RX ( ) x(t ) x(t )} 1
均值遍 历过程
自相关遍 历过程
则X(t)称为宽遍历随机过程
' ' 2 ' m
'
' 2
' m
Fn,m Fn Fm
p n , m p n pm
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
9
(2) 两个随机过程的数字特征
互相关函数
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
3.2 随机过程的统计特性
1、概率分布函数和概率密度函数
一维 分布函数 概率密度 n维 分布函数
F1 ( x1 , t1 ) P[ X (t1 ) x1 ]
F1 ( x1 , t1 ) p1 ( x1 , t1 ) x1
Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn )
相互独立，必定不相关，反之，不一定
正态(高斯)过程，不相关和独立是等价的
2013-12-4 北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@ 10
3.3 平稳随机过程
1. 狭义(严)平稳随机过程定义
对于任意n和t1, t2, …, tn以及 有
分布函数
Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) Fn ( x1 , x2 ,, xn , t1 , t2 ,, tn )
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
5
2、随机过程的数字特征
（1）数学期望 （2）方差
E[ X (t )]
xp1 ( x, t )dx m X (t )
D[ X (t )] E{X (t ) E[ X (t )]}2
2 2 E[ X 2 (t )] mX (t ) X (t )
（3）自相关函数(统计平均或称集平均)
E[ X (t1 ) X (t 2 )] R X (t1 , t 2 )
x1 x 2 p 2 ( x1 , x 2 , t1 , t 2 )dx1 dx2
当t2 = t1+ 时,
RX (t1, t2 ) R(t1, t1 )
第三章 随机过程
北京邮电大学信息工程学院 牛凯 2013年12月
3.1 引言
随机信号 –不能用确定的时间函数来描述，但有一 定的统计规律性的信号 通信系统中哪些信号是随机信号 – 通信信号 – 随机干扰和随机噪声 数学模型 – 随机过程: 是随机信号和随机噪声的数 学模型
2013-12-4 北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@ 2
3.两随机过程的联合分布函数 和数字特征
(1) 联合分布函数和概率密度 [n+m]维的联合分布函数
' ' Fn,m ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ; y1 , y2 ,, ym ; t 1' , t2 ,, tm )
' ' P{X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn ; Y (t 1' ) y1 , Y (t2 ) y2 ,, Y (tm ) ym }
随机过程
随机过程是与时间有关的随机变量，在确定的时
刻它是随机变量
样函数
– 随机过程的具体取值称作其实现(样函数),是 时间的函数
样函数空间Ω
– 所有实现构成的(全体)集合称作随机过程的样 函数空间Ω 所有样函数x(t)、y(t)及其统计特性构成了随机过 程X(t)、Y(t)
2013-12-4 北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@ 3
C X (t1, t2 ) X (t1, t2 ) X (t1 ) X (t2 )
如果 X (t1 , t2 ) 0 (或C X (t1, t2 ) 0) 则称X (t1 )和X (t2 )不相关
2013-12-4 北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@ 7
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
20
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
21
=T/2-t1
T
T/2
(1) >0
T/2
t1
-T/2
-T/2 -T
(2) <0
=-T/2-t1
2013-12-4
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
19
7. 维纳－辛钦定理
平稳随机过程自相关函数与功率谱密度互为傅利叶变换
RX ( ) PX ( )
| FT ( ) |2 FT ( ) FT* ( )
1 T /2 T /2 1 j ( t t1 ) 1 E[ X (t ) X (t )] e dt dt 平稳过程 T T / 2 T / 2
[n+m]维的联合概率密度
' ' Fn ,m ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ; y1 , y2 ,, ym ; t 1' , t 2 ,, t m )
x1x2 xn y1y2 ym
' ' pn,m ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ; y1 , y2 ,, ym ; t 1' , t2 ,, tm )
RX ( ) 与 X (t )具有相同的周期函数
lim 若 E[ X (t )] 0 则 | | RX ( ) 0
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
16
5. 各态历经性（遍历性） 时间平均
1 x(t ) lim T 2T
xyp2 ( x, t1 , y, t2 )dxdy
互协方差函数
C XY (t1, t2 ) E{[ X (t1 ) mX (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]}
RXY (t1, t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) t1 , t2 , CXY (t1 , t2 ) 0, 则X (t )与Y (t )不相关。
P{X (t1 ) x1, X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn }
概率密度
pn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn )
Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) x1x2 xn
2013-12-4
– 狭义平稳随机过程在一、二阶矩同时存在的条件下， 是广义平稳随机过程 – 例如：柯西分布，一、二阶矩不存在， n维分布可能存在
1 f ( x) a 2 ( x )2
2013-12-4
a
ห้องสมุดไป่ตู้
a 0, x,
13
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
X (t )是实平稳过程，自相关函数
RX ( )
RX ( ) E[ X (t ) X (t )]
性质 ①
② 偶函数 ③ ④ ⑤
RX (0) E[ X 2 (t )]
RX ( ) RX ( ) | RX ( ) | RX (0)
1Ω电阻上的瞬 时功率(t时刻)
RX(0)最大
称X(t)狭义平稳随机过程(严平稳随机过程)
注：任意n维分布函数只与 t2-t1=τ有关
2013-12-4 北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@ 11
2. 宽平稳随机过程定义 满足
E[ X (t )] mX
数学期望与 时间无关
RX (t1, t2 ) RX ( )
自相关函数只 与t2-t1=τ 有关
称X(t)为宽平稳随机过程(广义平稳)
注：只要求一维和二维分布存在 并不要求n>2维分布存在
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
12
狭义(严)平稳与广义(宽)平稳随机过程的关系
– 狭义平稳随机过程不一定是广义平稳随机过程
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
17
严遍历过程
若X(t)的所有统计平均特性和所有相应的时间平均特性 都相等，称X(t)为严遍历过程或窄义遍历过程 • 遍历过程必定是平稳过程，但平稳过程不一定是遍历过程
互相关函数只 与t2-t1=τ 有关
RXY (t1, t2 ) E[ X (t )Y (t )] RXY ( )
称X(t)，Y(t)为联合宽平稳随机过程
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
15
4. 平稳随机过程相关函数的性质 统计平均功率 (与t无关)
T, 此项为0
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
24
所以
维纳-辛钦定理
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
25
8. 平稳随机过程功率谱密度的性质
①
② ③ ④
PX ( ) 0
T
T
x(t )dt
时间相关函数
如果满足
1 x(t ) x(t ) lim T 2T
T
T
x(t ) x(t )dt
P{E[ X (t )] x(t )} 1 P{RX ( ) x(t ) x(t )} 1
均值遍 历过程
自相关遍 历过程
则X(t)称为宽遍历随机过程
' ' 2 ' m
'
' 2
' m
Fn,m Fn Fm
p n , m p n pm
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
9
(2) 两个随机过程的数字特征
互相关函数
RXY (t1 , t2 ) E[ X (t1 )Y (t2 )]
3.2 随机过程的统计特性
1、概率分布函数和概率密度函数
一维 分布函数 概率密度 n维 分布函数
F1 ( x1 , t1 ) P[ X (t1 ) x1 ]
F1 ( x1 , t1 ) p1 ( x1 , t1 ) x1
Fn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn )
相互独立，必定不相关，反之，不一定
正态(高斯)过程，不相关和独立是等价的
2013-12-4 北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@ 10
3.3 平稳随机过程
1. 狭义(严)平稳随机过程定义
对于任意n和t1, t2, …, tn以及 有
分布函数
Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) Fn ( x1 , x2 ,, xn , t1 , t2 ,, tn )
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
5
2、随机过程的数字特征
（1）数学期望 （2）方差
E[ X (t )]
xp1 ( x, t )dx m X (t )
D[ X (t )] E{X (t ) E[ X (t )]}2
2 2 E[ X 2 (t )] mX (t ) X (t )
（3）自相关函数(统计平均或称集平均)
E[ X (t1 ) X (t 2 )] R X (t1 , t 2 )
x1 x 2 p 2 ( x1 , x 2 , t1 , t 2 )dx1 dx2
当t2 = t1+ 时,
RX (t1, t2 ) R(t1, t1 )
第三章 随机过程
北京邮电大学信息工程学院 牛凯 2013年12月
3.1 引言
随机信号 –不能用确定的时间函数来描述，但有一 定的统计规律性的信号 通信系统中哪些信号是随机信号 – 通信信号 – 随机干扰和随机噪声 数学模型 – 随机过程: 是随机信号和随机噪声的数 学模型
2013-12-4 北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@ 2
3.两随机过程的联合分布函数 和数字特征
(1) 联合分布函数和概率密度 [n+m]维的联合分布函数
' ' Fn,m ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ; y1 , y2 ,, ym ; t 1' , t2 ,, tm )
' ' P{X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn ; Y (t 1' ) y1 , Y (t2 ) y2 ,, Y (tm ) ym }
随机过程
随机过程是与时间有关的随机变量，在确定的时
刻它是随机变量
样函数
– 随机过程的具体取值称作其实现(样函数),是 时间的函数
样函数空间Ω
– 所有实现构成的(全体)集合称作随机过程的样 函数空间Ω 所有样函数x(t)、y(t)及其统计特性构成了随机过 程X(t)、Y(t)
2013-12-4 北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@ 3
C X (t1, t2 ) X (t1, t2 ) X (t1 ) X (t2 )
如果 X (t1 , t2 ) 0 (或C X (t1, t2 ) 0) 则称X (t1 )和X (t2 )不相关
2013-12-4 北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@ 7
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
20
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
21
=T/2-t1
T
T/2
(1) >0
T/2
t1
-T/2
-T/2 -T
(2) <0
=-T/2-t1
2013-12-4
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
19
7. 维纳－辛钦定理
平稳随机过程自相关函数与功率谱密度互为傅利叶变换
RX ( ) PX ( )
| FT ( ) |2 FT ( ) FT* ( )
1 T /2 T /2 1 j ( t t1 ) 1 E[ X (t ) X (t )] e dt dt 平稳过程 T T / 2 T / 2
[n+m]维的联合概率密度
' ' Fn ,m ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t 2 ,, t n ; y1 , y2 ,, ym ; t 1' , t 2 ,, t m )
x1x2 xn y1y2 ym
' ' pn,m ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ; y1 , y2 ,, ym ; t 1' , t2 ,, tm )
RX ( ) 与 X (t )具有相同的周期函数
lim 若 E[ X (t )] 0 则 | | RX ( ) 0
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
16
5. 各态历经性（遍历性） 时间平均
1 x(t ) lim T 2T
xyp2 ( x, t1 , y, t2 )dxdy
互协方差函数
C XY (t1, t2 ) E{[ X (t1 ) mX (t1 )][Y (t2 ) mY (t2 )]}
RXY (t1, t2 ) mX (t1 )mY (t2 ) t1 , t2 , CXY (t1 , t2 ) 0, 则X (t )与Y (t )不相关。
P{X (t1 ) x1, X (t2 ) x2 ,, X (tn ) xn }
概率密度
pn ( x1, x2 ,, xn ; t1, t2 ,, tn )
Fn ( x1 , x2 ,, xn ; t1 , t2 ,, tn ) x1x2 xn
2013-12-4
– 狭义平稳随机过程在一、二阶矩同时存在的条件下， 是广义平稳随机过程 – 例如：柯西分布，一、二阶矩不存在， n维分布可能存在
1 f ( x) a 2 ( x )2
2013-12-4
a
ห้องสมุดไป่ตู้
a 0, x,
13
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
X (t )是实平稳过程，自相关函数
RX ( )
RX ( ) E[ X (t ) X (t )]
性质 ①
② 偶函数 ③ ④ ⑤
RX (0) E[ X 2 (t )]
RX ( ) RX ( ) | RX ( ) | RX (0)
1Ω电阻上的瞬 时功率(t时刻)
RX(0)最大
称X(t)狭义平稳随机过程(严平稳随机过程)
注：任意n维分布函数只与 t2-t1=τ有关
2013-12-4 北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@ 11
2. 宽平稳随机过程定义 满足
E[ X (t )] mX
数学期望与 时间无关
RX (t1, t2 ) RX ( )
自相关函数只 与t2-t1=τ 有关
称X(t)为宽平稳随机过程(广义平稳)
注：只要求一维和二维分布存在 并不要求n>2维分布存在
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
12
狭义(严)平稳与广义(宽)平稳随机过程的关系
– 狭义平稳随机过程不一定是广义平稳随机过程
2013-12-4
北京邮电大学信息与通信工程学院 niukai@
17
严遍历过程
若X(t)的所有统计平均特性和所有相应的时间平均特性 都相等，称X(t)为严遍历过程或窄义遍历过程 • 遍历过程必定是平稳过程，但平稳过程不一定是遍历过程