42 函数的运算(讲师版)

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函数的概念与运算知识点总结

函数的概念与运算知识点总结函数是数学中的基本概念之一，是一种特殊的关系。

函数可以看作是一个从一个集合到另一个集合的映射关系，它将每个输入映射到一个唯一的输出。

在数学和计算机科学中，函数是解决问题和实现计算的重要工具。

本文将总结函数的概念和运算的知识点，以帮助读者更好地理解和应用函数。

一、函数的定义函数的定义可以用不同的方式表述，但核心思想是一致的。

一个函数包含输入、输出和映射关系。

数学中常见的符号表示函数，例如f(x)、g(x)等。

函数的定义可以分为两类：显性定义和隐性定义。

显性定义是直接给出函数的表达式，例如f(x) = x^2。

隐性定义是通过方程或条件给出函数的定义，例如x^2 + y^2 = 1定义了一个圆的函数关系。

二、函数的性质函数有许多重要的性质，包括定义域、值域、单调性、奇偶性和周期性等。

这些性质可以帮助我们更好地理解和分析函数的特点。

1. 定义域：函数能够接受的输入值的集合称为定义域。

定义域决定了函数的有效输入范围。

2. 值域：函数输出值的集合称为值域。

值域决定了函数的输出范围。

3. 单调性：函数的单调性描述了函数的增减趋势。

函数可以是递增的（单调增加）或递减的（单调减少）。

4. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数关于原点的对称性。

奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。

5. 周期性：函数的周期性描述了函数的重复模式。

周期函数在一定的自变量范围内具有相同的函数值。

三、函数的运算函数的运算是对函数进行组合、变形和分解的过程。

常见的函数运算包括加减、乘除、复合和反函数等。

1. 加减运算：函数的加减运算是将两个函数相加或相减，得到一个新的函数。

例如f(x) + g(x)表示将函数f和g相加得到新的函数。

2. 乘除运算：函数的乘除运算是将两个函数相乘或相除，得到一个新的函数。

例如f(x) * g(x)表示将函数f和g相乘得到新的函数。

3. 复合运算：函数的复合运算是将一个函数作为另一个函数的输入，得到一个新的函数。

欧阳光中数学分析答案

欧阳光中数学分析答案【篇一：数学分析目录】合1．1集合1．2数集及其确界第二章数列极限2．1数列极限2．2数列极限（续）2．3单调数列的极限2．4子列第三章映射和实函数3．1映射3．2一元实函数3．3函数的几何特性第四章函数极限和连续性4．1函数极限4．2函数极限的性质4．3无穷小量、无穷大量和有界量第五章连续函数和单调函数5．1区间上的连续函数5．2区间上连续函数的基本性质5．3单调函数的性质第六章导数和微分6．1导数概念6．2求导法则6．3高阶导数和其他求导法则6．4微分第七章微分学基本定理及使用7．1微分中值定理7．2taylor展开式及使用7．3lhospital法则及使用第八章导数的使用8．1判别函数的单调性8．2寻求极值和最值8．3函数的凸性8．4函数作图8．5向量值函数第九章积分9．1不定积分9．2不定积分的换元法和分部积分法9．3定积分9．4可积函数类r［a，b］9．5定积分性质9．6广义积分9．7定积分和广义积分的计算9．8若干初等可积函数类第十章定积分的使用10．1平面图形的面积10．2曲线的弧长10．3旋转体的体积和侧面积10．4物理使用10．5近似求积第十一章极限论及实数理论的补充11．1cauchy收敛准则及迭代法11．2上极限和下极限11．3实数系基本定理第十二章级数的一般理论12．1级数的敛散性12．2绝对收敛的判别法12．3收敛级数的性质12．4abel-dirichlet判别法12．5无穷乘积第十三章广义积分的敛散性13．1广又积分的绝对收敛性判别法13．2广义积分的abel-dirichlet判别法第十四章函数项级数及幂级数14．1一致收敛性14．2一致收敛性的判别14．3一致收敛级数的性质14．4幂级数14．5函数的幂级数展开第十五章fourier级数15．1fourier级数15．2fourier级数的收敛性15．3fourier级数的性质15．4用分项式逼近连续函数第十六章euclid空间上的点集拓扑16．1euclid空间上点集拓扑的基本概念16．2euclid空间上点集拓扑的基本定理第十七章euclid空间上映射的极限和连续17．1多元函数的极限和连续17．2euclid空间上的映射17．3连续映射第十八章偏导数18．1偏导数和全微分18．2链式法则第十九章隐函数存在定理和隐函数求导法19．1隐函数的求导法19．2隐函数存在定理第二十章偏导数的使用20．1偏导数在几何上的使用20．2方向导数和梯度20．3taylor公式20．4极值20．5logrange乘子法20．6向量值函数的全导数第二十一章重积分21．1矩形上的二重积分21．2有界集上的二重积分21．3二重积分的变量代换及曲面的面积21．4三重积分、n重积分的例子第二十二章广义重积分22．1无界集上的广义重积分22．2无界函数的重积分第二十三章曲线积分23．1第一类曲线积分23．2第二类曲线积分23．3green 公式23．4green定理第二十四章曲面积分24．1第一类曲面积分24．2第二类曲面积分24．3gauss公式24．4stokes公式24．5场论初步第二十五章含参变量的积分25．1含参变量的常义积分25，2含参变量的广义积分25．3b函数和函数第二十六章lebesgue积分26．1可测函数26．2若干预备定理26．3lebesgue积分26．4（l）积分存在的充分必要条件26．5三大极限定理26．6可测集及其测度26．7fubini定理练习及习题解答? 序言复旦大学数学系的数学分析教材从20世纪60年代起出版了几种版本，随着改革开放和对外交流的发展，现代数学观点和方法融入数学分析教材是必然的趋势。

函数的概念与运算

函数的概念与运算函数是数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域。

在数学中，函数可被描述为两个集合之间的映射关系。

简单来说，函数将一个输入值映射到一个唯一输出值。

这种映射关系可以用各种方式表示和运算。

一、函数的定义在数学中，一个函数可以用以下形式来定义：f: A → B，表示从集合A到集合B的映射。

其中，A称为函数的定义域，B称为函数的值域。

对于A中的每个元素a，函数f将其映射到B中唯一的元素。

例如，我们定义一个函数f: ℝ → ℝ，表示从实数集合到实数集合的映射。

这个函数可以用公式来表示：f(x) = 2x + 3。

这个函数的定义域是所有的实数，值域也是所有的实数。

对于任意给定的x，函数f将其映射到2x + 3这个唯一的值。

二、函数的运算函数的运算是指在已定义的函数之间进行操作，得到新的函数。

常见的函数运算包括复合函数、求导和积分等。

1. 复合函数复合函数是指将一个函数作为另一个函数的输入，得到新的函数。

设有两个函数f和g，其中函数f的值域与函数g的定义域相匹配，复合函数可以表示为(f ∘ g)(x) = f(g(x))。

换句话说，复合函数先通过函数g得到一个中间结果，然后将该结果作为函数f的输入。

例如，已知函数f(x) = 2x + 3和函数g(x) = x^2，我们可以计算复合函数h(x) = (f ∘ g)(x)。

首先，通过函数g得到中间结果y = g(x) = x^2，然后将y作为函数f的输入，得到h(x) = f(y) = f(x^2) = 2(x^2) + 3。

2. 求导与积分求导和积分是函数运算中常见的操作，用于研究函数的变化率和面积。

求导是对函数进行微分运算，得到导函数。

导函数描述了原函数在每个点上的变化率。

如果已知一个函数f(x)，它的导函数可以表示为f'(x)或df/dx。

导函数可以告诉我们在给定点上的斜率，即函数曲线的切线。

积分是对函数进行求和运算，得到定积分。

定积分表示了曲线下与x轴之间的面积。

函数的基本概念与运算

函数的基本概念与运算函数是数学中的重要概念，广泛应用于各个领域，包括物理、经济学以及计算机科学等。

在数学中，函数是一种表达两个集合之间关系的工具，通过给定一个输入值，函数可以计算出对应的输出值。

本文将介绍函数的基本概念、符号表示和常见的函数运算。

一、函数的定义与表示函数是一种映射关系，它将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素。

设集合A和集合B，如果对于A中的每个元素a，都存在唯一的b属于B与之对应，则可以说存在一个函数f将a映射到b。

函数可以用不同的表示方法来表示，最常见的表示形式为函数符号和函数图像。

函数符号表示通常使用f(x)的形式，其中f是函数名，x是自变量。

f(x)表示函数对于输入x所对应的输出值。

例如，f(x) = 2x表示一个对应关系，将自变量x乘以2得到相应的输出值。

函数图像表示是通过绘制输入-输出对的关系来表示函数。

通过在坐标系中描绘函数图像，可以更直观地理解函数的性质和变化趋势。

二、函数的基本运算函数之间常常进行各种运算，包括加法、减法、乘法和除法等。

下面将介绍这些基本的函数运算。

1. 加法：设有函数f(x)和g(x)，它们的和函数记作h(x) = f(x) + g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相加得到h(x)的输出值。

2. 减法：设有函数f(x)和g(x)，它们的差函数记作h(x) = f(x) - g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相减得到h(x)的输出值。

3. 乘法：设有函数f(x)和g(x)，它们的乘积函数记作h(x) = f(x) *g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相乘得到h(x)的输出值。

4. 除法：设有函数f(x)和g(x)，其中g(x) ≠ 0，它们的商函数记作h(x) = f(x) / g(x)，即对于相同的输入x，将f(x)和g(x)的对应的输出值相除得到h(x)的输出值。

函数的加减乘除运算

函数的加减乘除运算在数学中，函数是一个非常重要的概念。

函数可以做各种各样的运算，包括加法、减法、乘法和除法。

本文将详细介绍函数的加减乘除运算。

一、函数的定义函数是一种映射关系，它把一个集合中的每个元素都对应到另一个集合中的唯一元素。

在数学中，函数通常表示为f(x)，其中x是函数的自变量，f(x)是函数对应的因变量。

二、函数的加法运算在函数的加法运算中，我们将两个函数相加得到一个新的函数。

具体来说，如果有两个函数f(x)和g(x)，它们的和函数可以表示为h(x) = f(x) + g(x)。

三、函数的减法运算函数的减法运算与加法运算类似，它也是将两个函数相减得到一个新的函数。

如果有函数f(x)和g(x)，它们的差函数可以表示为h(x) = f(x) - g(x)。

四、函数的乘法运算函数的乘法运算是指将两个函数相乘得到一个新的函数。

如果有函数f(x)和g(x)，它们的乘积函数可以表示为h(x) = f(x) * g(x)。

五、函数的除法运算在函数的除法运算中，我们将一个函数除以另一个函数得到一个新的函数。

具体来说，如果有函数f(x)和g(x)，它们的商函数可以表示为h(x) = f(x) / g(x)，其中g(x)不等于零。

在进行函数的加减乘除运算时，需要注意以下几点：1. 函数的定义域：函数的定义域是指自变量的取值范围。

在进行加减乘除运算前，需要确保两个函数具有相同的定义域，以保证运算的有效性。

2. 运算法则：函数的加减乘除运算遵循相应的数学法则。

例如，加法和乘法满足交换律和结合律，减法和除法则不满足。

3. 特殊情况：在进行函数的除法运算时，需要注意除数不等于零的条件。

如果除数为零，那么函数的除法运算将无法进行。

总结：函数的加减乘除运算是数学中常见的运算方式。

通过对函数进行加法、减法、乘法和除法运算，可以得到新的函数。

在进行这些运算时，需要注意函数的定义域和运算法则，以保证运算的有效性和准确性。

通过以上对函数的加减乘除运算的介绍，相信读者对这一概念有了更加全面的了解。

三次埃尔米特插值

《计算方法》课程设计报告学生姓名:张学阳学号：1009300132陈洋1009300109刘睿1009300122 学院:理学院班级: 数学101题目: 分段线性及三次埃尔米特插值通用程序指导教师：宋云飞职称：讲师朱秀丽讲师尚宝欣讲师2012年12月30日目录目录 (I)一、摘要 (1)二、算法设计 (1)2.1分段线性插值 (1)2.2分段三次埃尔米特插值 (1)2.3功能框图 (1)三、例题计算 (1)四、误差及结果分析 (9)4.1例题误差分析 (1)4.2结点个数对插值结果的影响 (1)五、总结及心得体会 (12)参考文献 (13)源程序 (14)一、摘要分段线性插值与分段定义的线性插值,在相邻插值节点的区间上对应的是同一个线性函数。

由于它们的表现形式不一样从而产生为两种不同的计算方法,相应的误差表现形式也不一样.拉格朗日插值余项利用f(x)的二阶导数,要f(x)的二阶导数存在,对于二阶导数不存在的情况不能估算出它的误差,所以适用范围比较小.现在我们可以利用一阶导数就估算出误差,给计算带来许多的方便。

为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。

为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法——三次样条插值成为比较理想的工具。

在代数插值过程中，人们为了获得较好的近似效果，通常情况下是增加插值节点数.由于二次插值比线性插值近似效果好，因此容易错误地认为插值多项式次数越高越好.事实上,随着插值节点的增多，插值多项式不一定收敛到被插值函数.。

通过分段低次插值或样条插值可以得到较好的近似逼近函数，分段低次插值具有公式简单、运算量小、稳定性好、收敛性有保证等优点.随着子区间长度h取得足够小，分段低次插值总能满足所要求的精度.因此分段低次插值应用十分广泛.。

分段线性插值是分段低次插值中常见的方法之一，在本文中对函数在(-5，5)上进行分段线性插值，取不同节点个数n，得到不同分段线性插值函数.并用MATLAB编写分段线性插值函数，最后比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差，从而得出节点数与插值效果的关系。

函数的运算(教案)

课题：函数的运算一、教学内容分析函数的运算内容较为简单，关键在于求和（积）函数的定义域，但其重要性却不容忽视，首先，函数的运算体现了高中数学的一大基本思想方法----转化思想，把陌生化为熟悉，把复杂的函数看作简单的函数的和（积）。

其次，由函数的运算引出()00b y ax a b x=+>>，的图像，利用此类函数的单调性可以解决许多最值问题。

为了引入函数运算，我从实例出发构造了利用基本不等式所不能解决的一个求最值的问题，这样通过创设问题情景，突出了函数运算的必要性，增强学生解决问题的内驱力。

最后运用函数运算，画出耐克函数，解决实例所提出的最值问题。

二、教学目标设计1．理解函数运算的概念及简单的应用。

2．通过对例题的讲解，让学生体会到数形结合，转化思想的重要性。

三、教学重点及难点,函数运算的定义；函数xa x y += ( a > 0 ) 图像画法及性质分析。

四、教学过程设计1、引入函数运算问题1：甲，乙两实验室相距1千米，开车从甲匀速到乙实验室，速度为()6040≤≤x x 千米/小时。

已知小车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度x （千米/小时）的平方成正比，比例系数为1，固定部分为2元1）把全程运输成本y 表示为速度x 的函数。

2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶。

怎样求最小成本能否用基本不等式求最小成本）另找途径。

观察此函数与我们所熟悉的那些函数有关有何关系2、定义函数的运算问题2：设函数()3f x x =,()2g x x =-,求：（1）()()11f g + (2) ()()22f g + (3) ()()f x g x +思考： (3)的定义域的求法怎样定义()f x 与()g x 的和()()f x g x +是否一定是函数呢怎样定义函数的积<是否有必要定义函数的差，商定义：一般地，已知两个函数()()()(),,21D x x g y D x x f y ∈=∈=设,21D D D =并且D 不是空集，那么当D x ∈时，()x f y =与()x g y =都有意义。

函数的加减乘除运算

函数的加减乘除运算函数是数学中的重要概念，它描述了数与数之间的关系。

在数学中，我们经常会遇到对函数进行加减乘除运算的情况。

下面，我将通过具体的例子来说明函数的加减乘除运算的方法和技巧，希望能对中学生及其父母有所帮助。

加法运算是最基本的运算之一。

对于两个函数f(x)和g(x)，它们的加法运算可以表示为f(x) + g(x)。

例如，如果f(x) = 2x + 1，g(x) = 3x - 2，那么它们的和函数就是h(x) = f(x) + g(x) = 2x + 1 + 3x - 2 = 5x - 1。

通过将两个函数的对应项相加，我们可以得到它们的和函数。

减法运算是加法运算的逆运算。

对于两个函数f(x)和g(x)，它们的减法运算可以表示为f(x) - g(x)。

例如，如果f(x) = 2x + 1，g(x) = 3x - 2，那么它们的差函数就是h(x) = f(x) - g(x) = 2x + 1 - (3x - 2) = -x + 3。

通过将被减函数的对应项取相反数，然后与减函数的对应项相加，我们可以得到它们的差函数。

乘法运算是将两个函数的对应项相乘得到一个新的函数。

对于两个函数f(x)和g(x)，它们的乘法运算可以表示为f(x) * g(x)。

例如，如果f(x) = 2x + 1，g(x) = 3x - 2，那么它们的乘积函数就是h(x) = f(x) * g(x) = (2x + 1) * (3x - 2) = 6x^2 + x - 2。

通过将两个函数的对应项相乘，我们可以得到它们的乘积函数。

除法运算是乘法运算的逆运算。

对于两个函数f(x)和g(x)，它们的除法运算可以表示为f(x) / g(x)。

但是需要注意的是，在函数的除法运算中，除数函数g(x)不能为0。

例如，如果f(x) = 2x + 1，g(x) = 3x - 2，那么它们的商函数就是h(x) = f(x) / g(x) = (2x + 1) / (3x - 2)。

420个函数公式释义以及实例

420个函数公式释义以及实例由于您提到了420个函数公式，这是一个庞大的数量，您可以在不同的学科和领域中找到许多不同类型的函数公式。

在下面，我将提供一些不同类型的函数公式的示例，并解释它们的含义。

由于数量众多，我无法提供所有420个函数公式的具体实例，但是可以给出更多领域和学科上的函数公式例子。

1.三角函数公式:a)正弦函数公式: sin(x) = opposite/hypotenuse示例：在一个直角三角形中，如果一个角的正弦值为0.5，且斜边长度为10，则对边的长度是5。

b)余弦函数公式: cos(x) = adjacent/hypotenuse示例：在一个直角三角形中，如果一个角的余弦值为0.8，且斜边长度为5，则邻边的长度是4。

c)正切函数公式: tan(x) = opposite/adjacent示例：在一个直角三角形中，如果一个角的正切值为2，且对边长度为3，则邻边的长度是1.5。

2.指数函数公式:a)指数函数公式: f(x) = a^x示例：对于指数函数f(x) = 2^x，当x取值为2时，f(x)的结果为4。

b)对数函数公式: log_a(x) = b示例：对于对数函数log_2(x) = 3，当x取值为8时，log_2(x)的结果为3。

3.代数函数公式:a)一次函数公式: f(x) = mx + b示例：对于一次函数f(x) = 2x + 1，当x取值为3时，f(x)的结果为7。

b)二次函数公式: f(x) = ax^2 + bx + c示例：对于二次函数f(x) = x^2 - 4x + 4，当x取值为2时，f(x)的结果为0。

4.概率函数公式:a)正态分布函数公式: f(x) = (1/σ√(2π)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))示例：对于正态分布函数f(x) = (1/2π) * e^(-x^2/2)，当x取值为0时，f(x)的结果为0.399。

以上只是少数几个函数公式的示例，并且没有涉及到所有学科和领域。

预科班讲义【数学】讲师版

2 + 5 ______{x|x≤2+ 3 }；
（3）3__ __{x|x=n2 +1,n N*}；
5 ______{x|x=n2 +1,n N*}
（4）(-1,1) __ __{y|y=x2}；
（-1,1）__ __{（x，y）|y=x2}
【答案】① ∈ ② ③ ∈ ④_ ∈
课程简介
第一节
第二节
第三节
第四节
初
升
第五节
高
第六节
第七节
第八节
第九节
第十节
集合的含义集合的表示集合间的关系交集与并集补集及综合应用函数的定义常见函数的定义域抽象函数求定义域求简单函数的解析式求复杂函数的解析式
课程名称
知识体系
题型体系
集合的定义，元素与集合
知识 1：集合的定义
题型 1.集合元素的特性题型 2.元素与集合的关系题型 3.集合与集合间的关系
（5） 2 的近似值的全体
【答案】：(3)、（4）
例 4. 下列各对象不能构成集合的是
（）
A 某校大于 50 岁的教师
B 某校 30 岁的教师
C 某校的年轻教师【答案】：C
D 某校的女教师
例 5. 已知集合 S 中的元素是 a,b,c,其中 a,b,c 为△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（）
例 5.设集合 A 1, 2,3, 4 ，则集合 A 的所有非空子集的元素和的和等于
.
【答案】：80
|题型体系|——题型三元素性质的应用| 例 1. a、b∈R,集合{1，a+b，a}={0， b ，b}，则 b-a=
a
【答案】：2

函数的四则运算

函数的四则运算函数是数学中的重要概念，用来描述输入和输出之间的关系。

函数可以进行四则运算，包括加法、减法、乘法和除法。

在本文中，我们将探讨函数的四则运算，并介绍每种运算的定义和性质。

加法运算：设有两个函数f(x)和g(x)，它们的加法运算定义为f(x) + g(x)，表示将f(x)和g(x)的值在相同的自变量x处相加得到的新函数。

例如，若f(x) = x^2，g(x) = 2x，则f(x) + g(x) = x^2 + 2x。

加法运算满足交换律和结合律，即对任意的函数f(x)，g(x)，h(x)，成立(f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x))。

减法运算：减法运算与加法运算类似，定义为f(x) - g(x)，表示将f(x)和g(x)的值在相同的自变量x处相减得到的新函数。

例如，若f(x)= x^2，g(x) = 2x，则f(x) - g(x) = x^2 - 2x。

减法运算满足减法的逆元素，即对任意的函数f(x)，存在一个函数-g(x)，使得f(x) + (-g(x)) = f(x) -g(x) = 0。

乘法运算：乘法运算定义为f(x) * g(x)，表示将f(x)和g(x)的值在相同的自变量x处相乘得到的新函数。

例如，若f(x) = x^2，g(x) = 2x，则f(x) * g(x) = x^2 * 2x = 2x^3。

乘法运算满足交换律和结合律，即对任意的函数f(x)，g(x)，h(x)，成立(f(x) * g(x)) * h(x) = f(x) * (g(x) *h(x))。

除法运算：除法运算定义为f(x) / g(x)，表示将f(x)和g(x)的值在相同的自变量x处相除得到的新函数。

但需要注意的是，在除法运算中，分母不能为零，即g(x) ≠ 0。

例如，若f(x) = x^2，g(x) = 2x，则f(x) /g(x) = x^2 / 2x = x/2。

高一同步课程数学讲义：函数的运算与基本性质(1)【讲师版】

高一同步数学函数的运算与基本性质（1）讲义编号：1．单调增函数的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调增区间．注意：⑴“任意”、“都有”等关键词；⑵. 单调性、单调区间是有区别的； 2．单调减函数的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当12x x <时，都有 12()()f x f x >，那么就说()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调减区间．3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是上升图像；而函数在其单调减区间上的图像是下降的图像。

（填＂上升＂或＂下降＂） 4．函数单调性证明的步骤：（1）根据题意在区间上设12x x < ；（2）比较12(),()f x f x 大小；(3) 下结论＂函数在某个区间上是单调增（或减）函数＂ .例1．（★☆☆☆☆）画出下列函数图象，并写出单调区间．（1）22y x =-+；（2）1y x=；（3）21, 0()22, 0x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩．【解】（图略）（１）函数22y x =-+的单调增区间为(,0)-∞，单调减区间为(0,)+∞；（２）函数1y x=在(,0)-∞和(0,)+∞上分别单调减，即其有两个单调减区间分别是(,0)-∞和(0,)+∞．（３）函数21, 0()22, 0x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩在实数集R 上是减函数；本题注意：对于函数断开的单调区间不能用并集符号，用文字“和”“或”连接例2. （★☆☆☆☆）(1)证明函数f (x )＝2x －1x 在(－∞，0)上是增函数；证明：设x 1，x 2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2. 则f (x 1)＝2x 1－1x 1，f (x 2)＝2x 2－1x 2，f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫2x 1－1x 1－⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 2＝2(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫1x 2－1x 1＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2＋1x 1x 2，由于x 1<x 2<0，所以x 1－x 2<0,2＋1x 1x 2>0，因此f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在(－∞，0)上是增函数．函数最值1.函数最值的定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ．若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≤恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最大值，记为max 0()y f x =；若存在定值0x A ∈，使得对于任意x A ∈，有0()()f x f x ≥恒成立，则称0()f x 为()y f x =的最小值，记为min 0()y f x =；2．单调性与最值：设函数()y f x =的定义域为[],a b ，若()y f x =是增函数，则max y = ()f a ，min y = ()f b ；若()y f x =是减函数，则max y = ()f b ，min y = ()f a ．例3．（★☆☆☆☆）如图为函数()y f x =，[]4,7x ∈-的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间．【解】由图可以知道：当 1.5x =-时，该函数取得最小值2-；当3x =时，函数取得最大值为3；函数的单调递增区间有２个：( 1.5,3)-和(5,6)；该函数的单调递减区间有三个：(4, 1.5)--、(4,5)和(6,7) 例4. （★☆☆☆☆）求下列函数的最小值：（1）22y x x =-；（2）1()f x x=，[]1,3x ∈．【解】（１）222(1)1y x x x =-=-- ∴当1x =时，min 1y =-；（２）因为函数1()f x x =在[]1,3x ∈上是单调减函数，所以当3x =时函数1()f x x =取得最小值为13．知识点一：函数单调性对于给定区间上的函数()f x ；① 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x x 12，，当x x <12时，都有()()f x f x <12，那么就说()f x 在这个区间上是增函数；② 如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x x 12，，当x x <12时，都有()()f x f x >12，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。

函数的运算.ppt

f(3)=3 f(a)=a
g(3)=1
g(a)=
3 a
h(3)=f(3) ·g(3)=3 h(a)=f(a)·g(a)=a ·a3 =3
h(x)=f(x) ·g(x)=x ·x3
h(a)=f(a)·g(a)=a·a3 =3
f(x)=x
g(x)=
3 x
积函数
定义:已知两个函数y=f(x)(xD1)与 y=g(x)(xD2) ,设D=D1∩D2且D,那么当 xD时, y=f(x) 与y=g(x) 都有意义.我们把函数y=f(x) ·g(x) (x D1 D2 )叫做是函数 y=f(x) 与y=g(x) 的积函数。
5-x , x[0,1) 6-x , x[1,2) 7-x , x[2,3)
-4
8-x , x[3,4)
y
4 1 -1-1o 1 -4
y1=f(x)
4
x
y2= g(x)
{ 4-x, x[0,1)
积函数y1·y2=
2(4-x), x[1,2) 3(4-x), x[2,3)
4(4-x), x[3,4)
例 4、求下列函数的最小值
图
像
认
h(x)=x+1
识
g(x)=1
f(x)=x
研究与学习发现规律
定义域
x=3 x=a
图像认识
f(x)=x
R
f(3)=3 f(a)=a
g(x)=
1 x
h(x)= f(x)+g(x)=x+
1 x
{x|x0,xR}
g(3)=
1 3
g(a)=
1 a
{x|x0,xR}
h(3)=f(3)+g(3)=

函数的概念与运算

函数的概念与运算函数是数学中非常重要的概念，具体地说，函数是一种将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的元素的规则或关系。

函数的概念和运算在数学中有着广泛的应用，不仅在纯数学领域中，也在物理学、工程学和计算机科学等其他学科中起到重要的作用。

本文将探讨函数的定义、性质以及基本的函数运算。

一、函数的定义函数的定义可以简单地分为两部分：定义域和对应关系。

具体地说，设 A 和 B 是两个非空集合，在 A 中的元素称为自变量，而在 B 中的元素称为因变量。

如果存在一种规则或关系，使得 A 中的每个元素在 B中有且只有一个对应的元素，那么就可以说函数 f 是从 A 到 B 的映射，记作f: A → B。

定义域是指函数中自变量可能取值的集合，是函数的合法输入值的范围。

通常用符号“X”表示。

在具体问题中，定义域可以根据实际情况来确定。

对应关系是指自变量和因变量之间的映射关系。

函数可以用不同的方式来表示，如公式、图像、表格等。

以函数 f 为例，如果对于 A 中的任意元素 a，存在 B 中的唯一元素 b 与之对应，即 b = f(a)，则表示 a 在函数 f 下的映射结果为 b。

二、函数的性质函数具有一些基本的性质，这些性质有助于我们理解和分析函数的特点。

1. 定义域和值域：函数的定义域是函数中所有可能的输入值组成的集合，值域是函数中所有可能的输出值组成的集合。

定义域和值域的确定对于函数的运算和应用具有重要意义。

2. 单调性：函数可以是单调递增的或单调递减的。

如果对于定义域中的任意两个元素 a 和 b，当 a < b 时有 f(a) < f(b)，即函数值随自变量递增而递增，那么函数是单调递增的。

类似地，如果当 a < b 时有 f(a) > f(b)，即函数值随自变量递增而递减，那么函数是单调递减的。

3. 奇偶性：函数可以是奇函数或偶函数。

如果对于定义域中的任意元素 a，有 f(-a) = -f(a)，则函数是奇函数。

计算机二级函数公式大全

计算机二级函数公式大全计算机二级考试是一个很重要的考试，对于计算机专业的学生来说，这个考试会涉及到很多知识点，其中，函数公式是一个重要的部分。

在这里，我将为大家介绍一下计算机二级函数公式大全。

一、三角函数公式：1. 正弦函数(sin)：① sinα=-sin(180°-α)② sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ③ sin2α=2sinαcosα④ sin3α=3sinα-4sin^3α⑤sin4α=4sinαcosα-8sin^3αcosα=2sin^2(2α)-2cos^2(2α)sin^2α2. 余弦函数(cos)：① cosα=cos(360°-α)② cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ③ cos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α④ cos3α=4cos^3α-3cosα⑤ cos4α=8cos^4α-8cos^2α+1=(2cos^2(2α)-1)^2-2sin^2(2α)3. 正切函数(tan)：① ta nα=-tan(180°+α)② tan(α±β)= (tanα±tanβ)/(1∓tanαtanβ)③ tan2α=(2tanα)/(1-tan^2α)二、指数函数和对数函数公式：1. 指数函数：① ad*bd=(ab)d② ab/ac=a(b-c)③ a^(-b)=1/a^b④ (a/b)^c=a^c/b^c2. 对数函数：① logab=logc a/logc b② loga (mn)=loga m+loga n③ loga(m/n)=loga m-loga n三、双曲函数公式：1. 双曲正弦函数(sinh)：① sinh(α±β)=sinhαcoshβ±coshαsinhβ② sinh2α=2sinhαcoshα③ sinh3α=3sinhα+4sinh^3α④ sinh4α=8sinh^4α+8sinh^2α+12. 双曲余弦函数(cosh)：① cosh(α±β)=coshαcoshβ±sinhαsinhβ② cosh2α=sinh^2α+cosh^2α③ cosh3α=4cosh^3α-3coshα④ cosh4α=8cosh^4α+8cosh^2α+13. 双曲正切函数(tanh)：① tanh(α±β)=(tanhα±tanhβ)/(1±tanhαtanhβ)② tanh2α=(1-tanh^2α)/(1+tanh^2α)以上就是计算机二级函数公式的大全，对于二级考试的学生来说，掌握函数公式是非常重要的。

函数的运算法则

函数的运算法则函数的运算法则：1. 函数的定义：函数是一种特殊的数学关系，将输入数据（参数）映射到输出数据（值）的规律。

2. 函数运算规律：（1）函数是可以稳定地把输入值转换为输出值，不受输入值改变的影响；（2）函数基于一定规律，任意变量计算出来的结果都是固定的；（3）函数具备一定的可靠性，只有相同的输入值，才会得到相同的输出值；（4）函数计算的结果具有一定的可复用性，按照某种规定，同样的输入值可以计算出不同的结果；（5）函数具备一定的逻辑可读性，按照一定的特定逻辑计算出来的结果即可；（6）函数具有一定的可衡量性，可以按照规定的步骤，使用一定的方法、算法或测试标准，进行比较、分析和验证；（7）函数具有可计算性，可以根据特定的规则对其用某种计算方法进行求值和运算；（8）函数具有一定的可控度，可以按照一定的逻辑推理，利用相关的公式、算法和工具来控制函数的表现；（9）函数具有一定的可自省性，可以通过一些特定的解析方法，来推断出函数的执行流程、参数等信息；（10）函数具有可对比性，可以从更广泛的角度，对比函数内部的算法特征，从而更好地提升效率。

3. 函数的运算表达：（1）函数的一般表达式：函数的一般形式为y=f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f(x)为函数表达式；（2）函数的基本运算步骤：首先根据函数的表达式，将自变量的值带入函数表达式中，然后按照函数的规律求解，得到因变量的值；（3）函数的运算方法：函数的运算方法可以有一些不同，比如说一元函数可以采用图象法、无穷小法、差分法等，来进行求解。

4. 函数的应用：（1）用于描述物理规律和历史变化趋势；（2）用于分析生活现象，探索解决实际问题；（3）用于建模理论概念，证明和推理定理；（4）用于评估和估计实际问题的复杂性；（5）用于分辨数据是否符合分布、趋势和存在规律；（6）用于实现计算机中的科学计算和运算；（7）用于包括人工智能在内的机器学习系统的构建；（8）用于探索现代科学发展过程中隐藏在背后的规律性。

mathcad函数运算

2020/3/19
9
基本数学函数运算
数论函数
gcd(A, B, C, ...) lcm(A, B, C, ...)
mod(x, y) combin(n, k)
permut(n, k)
返回最大公约数
返回最小公倍数
返回 x 除以 y (x modulo y) 的余数
返回由 n 个元素所组成的 k 个元素的子集数返回从 n 个不同元素中一次取出 k 个的不同方法数。
until(icond, x)
返回 x，直到 icond 为负为止。
arg(z)
返回 z 的主值辐角，在 −π—— π 之间
δ(m, n) Φ(x)
ε(i, j, k)
如果 m = n，返回 1，否则返回 0。
若 x 为负值返回 0，x 为正值返回 1，x 为 0 则返回 .5。
返回 3 阶完全反对称张量。如果任意两个自变量相同，结果为 0。如果为偶置换，结果为 1。如果为奇置换，结果为 -1。
asinh（z）反正弦函数 acosh（z）反余弦函数 atanh（z）反正切函数 acoth（z）反余切函数 asech（z）反正割函数 acsch（z）反余割函数
6
基本数学函数运算
对数和指数函数
exp（z）
返回e的z次幂
Ln（z） log（z，b）
返回z的自然对数（z≠0）
返回z的以b为基地对数（z≠0， b≠0），省略b返回以10为基地对数
返回 round(z / y) · y，后者将 z 舍入为 y 的最接近倍数。
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基本数学函数运算
字符串函数
concat(S1, S2, S3, ...)

08.高一寒假数学讲义：函数的单调性(定义法、图象法、性质法)(应用)【讲师版】

高一寒假数学讲义“函数的单调性（定义法、图象法、性质法）（应用）”学生姓名授课日期教师姓名授课时长这一部分知识一般是综合题中最基本的组成部分，先有正确的判断才会有后面一系列顺利的解题，所以相当重要。

函数的单调性1．函数的单调性我们把自变量在定义域中逐渐增加时，函数值逐渐增加(或减小)的性质叫做函数的单调性．对于某个区间上的自变量的任意两个值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f <，则函数)(x f 在这个区间上是增函数。

这个区间叫做函数)(x f 的单调增区间．对于某个区间上的自变量的任意两个值21,x x 当21x x <时，都有)()(21x f x f > 则函数)(x f 在这个区间上是减函数，这个区间叫做函数)(x f 的单调减区间．2．常见函数单调性的判断有关单调函数，我们还可以证明以下一些重要结论：(1)若函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )+g (x )在A 内是增(减)函数．(2)若两个正值函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )•g (x )在区间A 内也是增(减)函数．(3)若两个负值函数y =f (x )和y =g (x )在公共区间A 内都是增(减)函数，则函数y =f (x )•g (x )在区间A 内是减(增)函数．3．复合函数单调性的判断设有函数y =f (u ),及u =g (x ),则我们称形如y =f [g(x)]的函数是复合函数，例如32)(2-+=x x x f 以看作是由u y =和322-+=x x u 复合而成的复合函数，像这样的函数有很多，其中u =g (x )又称之为内层函数，y =f (u ),称之为外层函数．有关复合函数的单调性，我们很容易证明以下结论(证明留给读者自己完成)(见下表)。

函数运算知识点总结归纳

函数运算知识点总结归纳一、函数的概念1. 函数的定义函数是一种特殊的关系，它把一个或多个输入值映射到一个唯一的输出值。

通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。

2. 函数的符号表示函数通常用f(x)、g(x)、h(x)等符号表示，也可以用其他字母或符号表示。

3. 函数的图像函数的图像是在直角坐标系中表示函数的一种方法，可以直观地看出函数的性质和特点。

二、函数的运算1. 函数的加减法如果有两个函数f(x)和g(x)，那么它们的和是h(x)=f(x)+g(x)，差是h(x)=f(x)-g(x)。

2. 函数的乘法如果有两个函数f(x)和g(x)，那么它们的乘积是h(x)=f(x)g(x)。

3. 函数的除法如果有两个函数f(x)和g(x)，那么它们的商是h(x)=f(x)/g(x)，其中g(x)不等于0。

三、函数的性质1. 奇偶性如果函数满足f(-x)=-f(x)，那么它是奇函数；如果函数满足f(-x)=f(x)，那么它是偶函数。

2. 周期性如果函数满足f(x+T)=f(x)，其中T是一个常数，那么它是周期函数。

3. 单调性如果函数在定义域内满足f'(x)>0，那么它是严格单调递增的；如果函数在定义域内满足f'(x)<0，那么它是严格单调递减的。

四、复合函数1. 复合函数的定义如果有两个函数f(x)和g(x)，那么它们的复合函数是h(x)=f(g(x))。

2. 复合函数的性质复合函数的性质包括结合律和交换律。

五、反函数1. 反函数的定义如果函数f(x)有一个逆函数f^(-1)(x)，那么f^(-1)(f(x))=x，f(f^(-1)(x))=x。

2. 反函数的求法求反函数的方法包括代数法和图像法。

六、函数的极限1. 函数的极限定义当自变量x趋于某个值a时，函数f(x)的极限是一个数L，记作lim(x->a)f(x)=L。

2. 函数的极限性质包括四则运算法则、复合函数极限、无穷大与无穷小、夹逼定理等。

43 函数的奇偶性同步(讲师版)

高一同步课程“函数的奇偶性”学生姓名授课日期教师姓名授课时长教学内容：函数的奇偶性的概念；函数奇偶性的题型及解决方法教学目标：1、理解函数奇偶性的概念；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。

教学重点：1、理解奇偶函数的定义；2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。

教学难点：1、对奇偶性定义的理解；2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。

考情分析：单纯对函数的奇偶性这个知识点的考查，一般以选择题和填空题的方式，判断所给函数的奇偶性或者给定它的奇偶性，来求函数中的参数，考察难度一般为中下等；高考或者一些大型考试中对于函数奇偶性的考查还会结合函数的单调性，周期性考查，考查难度中等偏高。

知识点一：函数的奇偶性的性质1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。

注意：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。

4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。

【试题来源】【题目】判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=|x +1|－|x －1|；（2）f （x ）=（x －1）·x x-+11；（3）f （x ）=2|2|12-+-x x ；（4）f （x ）=⎩⎨⎧>+<-).0()1(),0()1(x x x x x x【答案】见解析【解析】解：（1）函数的定义域x ∈（－∞，+∞），对称于原点.∵f （－x ）=|－x +1|－|－x －1|=|x －1|－|x +1|=－（|x +1|－|x －1|）=－f （x ）， ∴f （x ）=|x +1|－|x －1|是奇函数.（2）先确定函数的定义域.由xx-+11≥0，得－1≤x ＜1，其定义域不对称于原点，所以f （x ）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，根据定义判断.由⎩⎨⎧≠-+≥-,02|2|,012x x 得⎩⎨⎧-≠≠≤≤-.40,11x x x 且故f （x ）的定义域为［－1，0）∪（0，1］，关于原点对称，且有x +2＞0.从而有f （x ）=2212-+-x x =x x 21-，这时有f （－x ）=xx ---2)(1=－x x 21-=－f （x ），故f （x ）为奇函数.（4）∵函数f （x ）的定义域是（－∞，0）∪（0，+∞），并且当x ＞0时，－x ＜0， ∴f （－x ）=（－x ）［1－（－x ）］=－x （1+x ）=－f （x ）（x ＞0）. 当x ＜0时，－x ＞0，∴f （－x ）=－x （1－x ）=－f （x ）（x ＜0）. 故函数f （x ）为奇函数. 【知识点】函数的奇偶性【适用场合】当堂例题【难度系数】2【试题来源】【题目】下列函数是奇函数的是（） A.B. C.D. 【答案】A 【解析】【知识点】函数的奇偶性同步【适用场合】当堂练习【难度系数】2知识点二：函数的奇偶性的判定和证明判断及证明函数奇偶性的方法1、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；用定义法判断函数奇偶性的步骤： ①、判断定义域是否关于原点对称； ②、比较)(x f -与)(x f 的关系。