2018年中考数学 第1编 教材知识梳理篇 第8章 圆 第22讲 圆的有关性质(精练)试题(含答案)
圆中考 知识点总结
圆中考知识点总结圆是中学数学中的一个重要知识点，在中考数学中起着重要的作用。
因此，掌握圆的相关知识对于中考数学是非常重要的。
本文将对中考数学中关于圆的知识点进行总结，帮助学生更好地复习和掌握圆的相关知识。
知识点总结一、基本概念1. 圆的定义：圆是由平面上距离一个确定点一定距离的点的全体组成的集合。
2. 圆的要素：圆心、半径、直径、弧、圆周。
3. 圆的性质：圆的直径是圆周的两倍，圆周上任意两点与圆心的距离相等。
二、圆的相关公式1. 圆的周长公式：C=2πr。
2. 圆的面积公式：S=πr²。
三、圆的相关定理1. 直径定理：直径所对应的两个锐角为直角。
2. 圆的切线定理：过圆外一点引圆的切线与过该点作圆的半径垂直。
3. 圆的切线与弦的性质：相交弦定理、弦切定理。
4. 圆的内切与外切定理：内切定理、外切定理。
四、圆的相关应用1. 圆的面积和周长的应用：计算圆的面积、周长和扇形面积等。
2. 圆的几何关系：切线与圆的位置关系、相交弦的性质等。
3. 圆的倒影与旋转：圆的旋转变换、圆的倒影变换。
五、解题技巧1. 熟练掌握圆的相关公式和定理，能够正确应用公式和定理解题。
2. 多做练习，培养解决问题的能力，提高解题技巧。
3. 注意细节，正确理解题目的意思和要求，避免因理解错误而导致错误答案。
六、经典例题1. 已知AB是∠O的平分线，且AC⊥BC，求证：AC=BC。
2. 已知AB与CD是两条相交的直径，P是与AB、CD相交的一点，求证：PA²+PB²=PC²+PD²。
3. 如图，ΔABC是等边三角形，M、N分别是BC、AB的中点，P为AM的垂足，若PA=2，则求BP的长。
4. 四通五达服装公司要在正方形草坪内竖立一些旗杆，使得每个旗杆都最多不见这块草坪中心的五分之一。
那么最多可以竖立几个旗杆？结语通过对圆的相关知识点进行总结，我们可以更好地掌握圆的相关概念、公式、定理和应用。
圆形的性质知识点总结
圆形的性质知识点总结圆形是几何学中的一个重要概念，具有许多独特的性质和特征。
在本文中，我们将总结圆形的一些重要性质，并探讨它们在几何学和数学中的应用。
1. 圆的定义和元素圆是一个平面内的点到一个固定点的距离等于一个固定长度的所有点的集合。
其中，固定点称为圆心，固定长度称为半径。
圆通常用符号“O”来表示圆心，用符号“r”来表示半径。
2. 圆的直径圆的直径是通过圆心并且两端点在圆上的线段。
直径的长度等于半径的两倍，通常用字母“d”表示。
直径是圆的一个重要概念，在许多几何学问题中具有重要作用。
3. 圆的周长圆的周长是圆形的边界长度，也称为圆周。
周长的长度等于直径乘以π（圆周率），通常用符号“C”来表示。
周长是圆形的一个重要特征，我们可以通过周长计算圆的面积和其他重要性质。
4. 圆的面积圆的面积是圆形内部的区域大小。
圆形的面积等于半径的平方乘以π，通常用符号“S”来表示。
面积是圆形的另一个重要特征，在解决许多几何学和数学问题中具有重要作用。
5. 圆的弧长圆的弧长是圆形的一部分边界长度，通常用符号“L”来表示。
弧长的计算公式为弧长等于圆周率乘以半径乘以角度的弧度值。
弧长是圆形的一个重要概念，在解决许多几何学问题和实际应用中具有重要作用。
6. 圆的弧度和角度圆的弧度是一个角度的度量单位，通常用符号“rad”表示。
圆的弧度等于弧长除以半径。
角度是另一个角度的度量单位，通常用符号“°”表示。
圆周率π等于180°。
弧度和角度是圆形的重要性质，它们在解决几何学和数学问题中起着重要作用。
7. 圆的切线和切点圆的切线是一个与圆相切的直线，切点是切线与圆相切的点。
切线和切点是圆形的重要概念，在解决许多几何学和数学问题中具有重要作用。
8. 圆的切割和相交圆的切割是一个直线或平面将圆分成两个或多个部分，圆的相交是两个或多个圆共有的部分。
切割和相交是圆形的重要性质，在解决许多几何学问题和实际应用中具有重要作用。
圆的相关知识点总结
圆的相关知识点总结1. 圆的定义圆是平面上到一个确定点（圆心）的距离恒定的所有点的集合。
这个距离称为圆的半径，用字母r表示。
圆的边界称为圆周，圆周上的任意一点到圆心的距离都等于半径r。
用数学符号来表示一个圆，可以用(x - h)² + (y - k)² = r²来描述，其中(h, k)是圆心的坐标。
2. 圆的性质（1）圆的直径：过圆心的任意一条线段，两端点恰好在圆上，这条线段称为圆的直径，其长度等于圆的半径的两倍。
（2）圆的弧：圆周上任意两点之间的部分称为圆的弧，如果这两点在圆上是相邻的，则这个弧称为圆周弧；如果这两点不相邻，则这个弧称为圆的割弧。
（3）圆心角：以圆心为顶点的两条射线所夹的角称为圆心角，其度数是弧所对的圆周角的度数的一半。
（4）正接线：与圆相切的直线称为正接线。
（5）切点：正接线与圆相切的点称为切点。
3. 相关公式（1）圆的周长：圆的周长等于直径乘以π（π≈3.14），即C=2πr。
（2）圆的面积：圆的面积等于半径的平方乘以π，即A=πr²。
4. 圆的相关定理（1）圆心角定理：圆周上的任意两个弧所对的两个圆心角相等。
（2）弧长定理：圆的弧长等于这个弧所对的圆心角的度数与圆的周长的比值。
（3）切线定理：切线与半径的夹角等于90度。
（4）切线与弦的定理：切线与相同弧上的弦相等。
（5）切割定理：两条相交的直线分别与圆相交，它们与圆的交点之间的线段成比例。
5. 圆的应用（1）圆的运动学：圆的运动学可以应用于自然界中很多运动规律的研究，比如行星绕太阳的运动、车轮滚动等。
（2）圆的几何解决问题：圆的性质和定理可以应用于解决很多实际的几何问题，如建筑设计、机械制造等。
（3）圆的应用于工程中：圆的性质和定理在工程中有着广泛应用，比如在建筑设计、电子制造、地理测量等方面。
总结：圆作为平面几何中的基本图形之一，在数学和实际生活中有着广泛的应用。
掌握圆的定义、性质、相关公式和定理等内容对于理解数学知识和解决实际问题至关重要。
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中考数学圆的重点知识点整理
中考数学圆的重点知识点是为各位考生提供了圆可以看作是到定点的距离
等于定长的点的集合、圆的外部可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合、圆的内部可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合等的整理资料。
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中考数学圆的知识点
圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
中考数学圆的轨迹
1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆;
2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线;
3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离
等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直
线距离都相等的一条直线距离都相等的一条直线
中考数学圆的位置关系
1、点与圆的位置关系:
点在圆内 d
点在圆上 d=r 点B在圆上
点在此圆外 d>r 点A在圆外。
圆的认识知识点总结
圆的认识知识点总结圆是我们数学中的一个基本几何概念，在日常生活中也经常遇到。
本文将对圆的定义、性质及相关定理进行总结，希望能够更好地帮助大家理解和应用圆的相关知识。
一、圆的定义及基本术语1. 圆的定义：圆是平面上到一个固定点的距离等于定长的点的集合。
2. 圆心：圆形的中心点称为圆心，通常用大写字母O表示。
3. 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段称为半径，通常用小写字母r表示。
4. 圆的直径：通过圆心并且两端点都在圆上的线段称为圆的直径，直径的长度等于半径长度的两倍。
5. 圆的弦：圆上的两个点之间的线段称为圆的弦。
二、圆的性质1. 圆上任意两点之间的线段都是弦，弦的长短决定了其距离圆心的远近。
2. 弦与其所对的圆心角，它们之间的关系是：当一个弦被圆分成两段时，两段弧所对的角相等；而当一个弧被多个弦分成几段时，各弦所对的角之和等于该弧所对的角。
3. 圆的半径相等，即圆的所有半径长度都相等。
4. 圆的直径是圆上最长的弦，并且它等于圆的半径长度的两倍。
5. 在同一个圆中，弧度越大，对应的圆心角越大。
三、圆的相关定理1. 圆心角定理：在同一个圆中，圆心角所对的弧长是一定的。
换句话说，圆心角相等的弧长相等，圆心角不等的弧长不等。
2. 弧长定理：在同一个圆中，两条相交弦所对的弧长之和等于这两条弦所对的圆心角所对应的弧长之和。
3. 弦切角定理：当一个弦与一个切线相交时，两个交角的差等于这条弦所对的弧的圆心角。
4. 切线定理：从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的切点与该外点构成的两个三角形是相似三角形。
5. 弦切线性质：从圆外一点引圆的切点与切线相连，该切线与引线所对的圆心角相等。
综上所述，圆是平面几何中的重要概念，其性质及相关定理也是我们应用数学知识解决问题的基础。
掌握了圆的定义、基本术语、性质和定理，我们就能更加深入地理解和运用圆的相关知识。
希望本文对大家的学习有所帮助。
初中数学圆知识点总结归纳
初中数学圆知识点总结归纳一、圆的基本性质圆的定义：平面内到定点距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
其中定点称为圆心，定长称为半径。
圆的基本性质：(1)圆是中心对称图形，对称中心为圆心。
(2)圆是轴对称图形，对称轴为经过圆心的任意一条直线。
(3)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。
(4)圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
(5)弦心距定理：在同圆或等圆中，弦心距等于所对弧的半径的一半。
二、圆的几何表示圆的方程：在平面直角坐标系中，以圆心为坐标原点，以半径为r的圆的方程为x^2 + y^2 = r^2。
圆的标准方程：以圆心为坐标原点，以半径为r，且经过点P(x0, y0)的圆的方程为(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2。
圆的参数方程：以x为参数，描述圆的方程为x = x0 + rcos(θ)，y = y0 + rsin(θ)，其中θ为参数。
三、与圆相关的定理和性质切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线性质定理：圆的切线上的任一点到圆心的距离等于半径。
切线长定理：经过圆外一点引两条切线，它们的切线长相等。
相交弦定理：经过圆内一点引两条弦，它们的交点与该点的距离乘积等于常数。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等。
圆幂定理：对于同圆或等圆中的两个相等的非零实数，有：(ab)(cd) = (ac)(bd) - (ad)(b*c)。
弦中点定理：经过弦的两个端点的直径垂直于这条弦。
相交弦定理：两弦交于圆内一点，各弦被这点所平分。
余弦定理：对于任何三角形ABC，有c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)。
正弦定理：对于任何三角形ABC，有a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。
中考关于圆的知识点有哪些
中考关于圆的知识点有哪些数学以一门学科的面目出现，往往让同学们感到非常高大上，有些知识点又很难懂。
但其实，数学与每个人、与我们的生活是息息相关的。
下面是小编给大家带来的中考关于圆的知识点，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧!数学中考知识点总结圆知识点：一、圆1、圆的有关性质在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段OA 叫半径。
由圆的意义可知：圆上各点到定点(圆心O)的距离等于定长的点都在圆上。
就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。
心的距离小于半径的点的集合。
圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。
连结圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧;小于半圆的弧叫劣弧。
由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。
圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。
能够重合的两个圆叫等圆。
同圆或等圆的半径相等。
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。
二、过三点的圆l、过三点的圆过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。
2、反证法反证法的三个步骤：①假设命题的结论不成立;②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾;③由矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。
证明：设有两个以上是钝角则两个钝角之和>180°与三角形内角和等于180°矛盾。
不可能有二个以上是钝角。
即最多只能有一个是钝角。
三、垂直于弦的直径圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。
初中数学知识归纳圆的概念和性质
初中数学知识归纳圆的概念和性质圆是初中数学中的一个重要概念，它有许多独特的性质。
下面将对圆的概念和性质进行归纳。
一、圆的概念圆是由平面上所有到一个固定点的距离都相等的点的集合。
固定点叫做圆心，等距离叫做半径。
圆可以用圆心和半径表示，通常表示为∠O(r)，其中O表示圆心，r表示半径。
二、圆的性质1. 圆上任意两点的距离都相等。
即圆上的任意两点A和B，都有AB = r，其中r为圆的半径。
2. 圆的直径是圆上任意两点间的最大距离。
直径d等于半径的两倍，即d = 2r。
3. 相交弧：圆上的两条弧如果有一个公共点，则称它们为相交弧。
4. 弧度：圆心角对应的弧长与圆的半径的比值叫做弧度。
常用弧度符号表示为θ。
5. 弧长：圆周上任意两点间的弧长等于该圆心角的弧度数乘以圆的半径。
即L = θr。
三、圆的相关公式1. 圆的面积公式：S = π * r²，其中S表示圆的面积，r表示半径。
π是一个常数，约等于3.14。
2. 圆的周长公式：C = 2π * r，其中C表示圆的周长，r表示半径。
3. 弓形的面积公式：A = 1/2 * θ * r²，其中A表示弓形的面积，θ表示圆心角的弧度数，r表示半径。
4. 弦与弦的关系公式：如果两条弦相交，且其中一条被另一条平分，则两条弦的乘积等于交叉部分之间的弦的乘积。
即AB * CD = BC * AD。
四、圆的常见问题类型1. 判断关系：判断两个图形是否为圆，判断是否为同心圆等。
2. 计算问题：根据已知条件计算圆的面积、周长等。
3. 推理问题：利用圆的性质进行推理，解决几何问题。
4. 证明问题：根据已知条件进行推导，证明一个几何命题。
5. 应用问题：将圆的概念和性质应用于生活实际，解决实际问题。
五、常见解题思路1. 利用定义：根据圆的定义进行判断或运用相关公式进行计算。
2. 运用性质：根据圆的性质推导出结论，解决几何问题。
3. 运用变换：将圆的问题转化为其他图形的问题，通过转换求解。
圆的知识点总结初三
圆的知识点总结初三圆是几何学中的一种基本形状，它在我们的生活中随处可见。
在初中的几何学中，圆也是一个重要的知识点。
本文将对圆的相关知识进行总结。
1. 圆的定义和性质圆是由一个平面上到一个点的所有点构成的集合。
圆面的中心是到圆上所有点距离相等的点。
圆上的任意两点与圆心的连线称为半径。
圆的直径是通过圆心的一条线段，它的长度等于圆周长的两倍。
圆的周长是圆周上所有点到圆心的距离之和，即2πr（r为圆的半径）。
圆的面积是圆内所有点构成的区域的大小，其公式为πr²。
2. 周长和面积的计算计算圆的周长和面积时，需要明确圆的半径或直径。
如果给定了半径r，可以直接使用2πr计算周长，πr²计算面积。
如果给定了直径d，可以使用πd计算周长，π(d/2)²计算面积。
3. 弧和弦圆上的两点之间的线段称为弦。
如果这个弦的两个端点和圆心连接起来，这个弦将分割出一个圆的弧。
弧上的一点可以通过给定的起始点和终点来确定。
弦的长度表示为线段的长度，弧的长度表示为两个端点之间对应弧度的弧长。
4. 弧度和角度度数是表示角度大小的单位，它将圆周等分为360份。
而弧度则是另一种度量角度大小的单位，它将圆周等分为2π份。
可以通过度数和弧度之间的转换来进行换算。
5. 切线和切圆切线是直接与圆相切的直线。
切线和半径之间的夹角是90度。
如果一条直线与圆的某一点相切，那么它一定是切线。
切圆是在一个圆内部画一个切线，使该切线恰好划分圆上另一个点。
切圆的一种特殊情况是切正方形，这时切线恰好划分正方形的对角线。
6. 弧长和扇形面积弧长是圆周上弧对应的线段长度。
计算弧长时需要知道圆的半径和弧度。
扇形是圆心角所对应的其余圆周的部分，它的面积可以通过弧度和圆的半径计算得出。
7. 圆的应用圆的应用广泛，不仅出现在日常生活中，还在科学和工程领域有着重要的应用。
例如，在建筑设计中，圆形的建筑物如圆顶和圆塔具有优美的外观。
在工程中，圆形的平滑形状能够减轻对结构的压力。
初中复习资料圆的有关性质知识点归纳
初中复习资料圆的有关性质知识点归纳一、圆的有关概念及其对称性1．圆的定义(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________；(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．2．圆的有关概念(1)连接圆上任意两点的________叫做弦；(2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧．(3)________相等的两个圆是等圆．(4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．3．圆的对称性(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性．二、垂径定理及推论1．垂径定理垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧．2．推论1(1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3．推论2圆的两条平行弦所夹的弧________．4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．三、圆心角、弧、弦之间的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．2．推论同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．四、圆心角与圆周角1．定义顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．2．性质(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数．(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．(3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．五、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补．与圆有关的位置关系一、点与圆的位置关系1．点和圆的位置关系点在圆______，点在圆______，点在圆______．2．点和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么点在圆外⇔________；点在圆上⇔________；点在圆内⇔________.3．过三点的圆(1)经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的________；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．二、直线与圆的位置关系1．直线和圆的位置关系________、________、________.2．概念(1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆________，这条直线叫做圆的________；(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆________，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆________．3．直线和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r，直线l到圆心的距离为d，那么直线l和⊙O相交⇔________；直线l和⊙O相切⇔________；直线l和⊙O相离⇔________.三、切线的判定和性质1．切线的判定方法(1)经过半径的________并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离________半径的直线是圆的切线．2．切线的性质圆的切线垂直于经过________的半径．3．切线长定理过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．四、三角形(多边形)的内切圆1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念(1)和三角形各边都______的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的______，这个三角形叫做圆的______三角形；(2)和多边形各边都______的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．2．三角形的内心的性质三角形的内心是三角形三条________的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部．五、圆与圆的位置关系1．概念①两圆外离：两个圆______公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的______；②两圆外切：两个圆有______的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的______；③两圆相交：两个圆有______公共点；④两圆内切：两个圆有______的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的______；⑤两圆内含：两个圆______公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的______．2．圆与圆位置关系的判断设两圆半径分别为R 和r ，圆心距为O 1O 2＝d .两圆外离⇔d ＞______；两圆外切⇔d ＝______；两圆相交⇔______＜d ＜______(R ≥r )；两圆内切⇔d ＝______(R ＞r )；两圆内含⇔______≤d ＜______(R ＞r )．六、两圆位置关系的相关性质1．两圆相切、相交的有关性质(1)相切两圆的连心线必经过________．(2)相交两圆的连心线垂直平分________．2．两圆位置关系中常作的辅助线(1)两圆相交，可作公共弦．(2)两圆相切，可作公切线．圆的有关计算一、弧长、扇形面积的计算1．如果弧长为l ，圆心角的度数为n °，圆的半径为r ，那么弧长的计算公式为l ＝__________.2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n °，所在圆半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则S ＝__________或S ＝12lr ；扇形的周长＝2r ＋l .二、圆柱和圆锥1．圆柱的侧面展开图是__________，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的__________，宽等于圆柱的__________．如果圆柱的底面半径是r ，则S 侧＝2πrh ，S 全＝2πr 2＋2πrh .2．圆锥的轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个__________，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的__________，扇形的半径等于圆锥的__________．因此圆锥的侧面积：S 侧＝12l ·2πr ＝πrl (l 为母线长，r 为底面圆半径)；圆锥的全面积：S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.三、正多边形和圆1．正多边形：各边__________、各角__________的多边形叫做正多边形．2．多边形的外接圆：经过多边形__________的圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形．3．正多边形的__________的圆心叫做正多边形的中心，__________的半径叫做正多边形的半径．4．中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．5．正多边形每一边所对的__________的圆心角叫做正多边形的中心角，正n 边形的每个中心角都等于__________．温馨提示 (1)正多边形的各边、各角都相等．(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心．(3)边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心．(4)边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．四、不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1．直接用公式求解．2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．。
中考圆形知识点总结归纳
中考圆形知识点总结归纳一、圆的定义及性质1. 定义：圆是平面上到一个定点的距离等于定长的点的全体构成的集合。
2. 圆心和半径：圆心是到圆上任一点的距离相等的点；半径是圆心到圆上任一点的距离。
3. 直径：通过圆心并且有圆上两点的线段叫做直径，直径的长度等于两倍的半径。
4. 切线和切点：在圆上的一点处与圆相切的直线叫做切线，切线与圆相切的点叫做切点。
二、圆的周长和面积1. 周长：圆的周长等于直径乘以π（π≈3.14）。
2. 面积：圆的面积等于半径的平方乘以π。
三、角与弧1. 圆心角与弧长的关系：圆心角的度数等于对应圆周的弧长所对应的圆心角的两倍。
2. 弧长的计算：弧长等于圆周长乘以所含圆心角的度数除以360度。
3. 弧度制：1弧度等于半径长所对应的圆心角的弧长。
4. 弧长与扇形面积的计算：扇形面积等于扇形对应的圆心角的弧度除以2π乘以圆的面积。
四、相交圆的位置关系1. 相交圆的位置关系：两个圆相交于两个不同的点，一个点，或者不相交。
2. 内切和外切圆：两个圆内切的位置关系就是一个圆在另一个圆内部，一个圆与另一个圆外切的位置关系就是一个圆的周长与另一个圆的圆心的距离相等。
五、圆的应用1. 圆的模型：圆在自然界中有丰富的应用，例如铁路辙、车轮、橱柜的拉手等都是圆形的。
2. 饼图：根据数据用圆形图示数据的比例和百分比，通过饼图可以直观的看出不同部分所占的比例。
综上所述，圆形是数学中重要的基本图形之一，在日常生活和工作中都有着广泛的应用，掌握圆形的基本概念和性质对于学习和生活都是非常有帮助的。
希望大家能够认真学习圆形知识，掌握相关的计算方法，提高自己的数学能力。
中考圆形知识点总结归纳
中考圆形知识点总结归纳圆形是中学数学中一个重要的几何概念，在中考中也是一个常见的考点。
本文将对中考中涉及到的圆形知识进行总结和归纳，帮助考生复习和掌握这一部分内容。
一、圆的基本概念圆是由平面上任意一点到另一点的距离都相等的点的集合。
其中，距离相等的这个固定值称为圆的半径，用字母r表示。
圆心是圆上任意两点的连线的垂直平分线的交点。
二、圆的性质1. 圆上任意两点之间的距离都等于圆的半径。
2. 圆心角的度数等于它所对的弧的度数，且圆心角所对的弧长等于圆的半径乘以圆心角的弧度值。
3. 相等弧所对的圆心角是相等的。
4. 圆的内切正多边形的中心与圆心重合。
三、弧1. 圆周角：圆周角是指以圆心为顶点的角，它的两边是相交于圆上的两条弧。
圆周角的度数等于它所对的弧的度数。
2. 弦：圆内部连接两点的线段称为弦。
弦分割出的两条弧叫做弦所对的弧。
3. 弧长：指圆上的一段弧所对应的圆周长度。
弧长等于圆心角的弧度值乘以圆的半径。
四、相交弦与切线的性质1. 相交弦定理：相交弦所对的弧相等，或者说两个相交弦所对应的圆心角相等。
2. 切线的性质：切线与半径的垂直分割线。
切线于半径的交点处所对应的圆心角为直角。
五、圆的面积和周长1. 圆的面积公式：S = πr²，其中S为圆的面积，r为圆的半径，π取近似值3.14。
2. 圆的周长公式：C = 2πr，其中C为圆的周长。
六、圆的应用1. 圆的切线与圆的性质：切线与切点间的弦相等，切线切割出的小圆与大圆相似。
2. 弧长与扇形面积：扇形面积等于扇形所对的圆心角的弧长所占整个圆的比例乘以圆的面积。
总结：通过对中考圆形知识点的总结和归纳，我们可以看到，圆形在中考中的考点比较多，涉及到圆的基本概念、性质、弧、相交弦与切线的性质、面积和周长以及应用等方面的内容。
对于考生而言，要牢固掌握圆的基本概念和性质，熟练运用相关公式和定理，灵活应用于解题过程中。
只有通过不断的实践和练习，才能在考试中熟练运用所学的圆形知识，取得好的成绩。
初中数学圆的知识点归纳总结
初中数学圆的知识点归纳总结圆的定义和基本性质圆是由与其中心距离相等的点构成的集合。
圆上的点到圆心的距离称为半径，圆上任意两点之间的距离称为弦，两弦相交的点称为弦心。
圆与半径垂直的线段称为半径，半径的两个端点就是圆的弧。
圆的一半称为半圆，圆通过的两点和弧称为弓形。
对于一个圆，它有以下的基本性质：1. 圆上的任意点到圆心的距离都相等，这个距离就是半径。
2. 任意两点都可以通过圆心来连成一条弧，两个弧的中心角相等，所对的弧度也相等。
3. 总是存在一条直径，直径是通过圆心并且两端点都在圆上的线段。
直径的长度是半径的两倍。
4. 圆的面积和周长可以通过半径或直径来计算。
圆的公式和定理1. 面积公式圆的面积公式是S=πr²，其中S代表圆的面积，r代表半径的长度。
π是圆周率，取近似值为3.14。
2. 周长公式圆的周长公式是C=2πr，其中C代表圆的周长，r代表半径的长度。
同样地，π是圆周率，取近似值为3.14。
3. 弧长公式弧长公式是L=2πr(θ/360)，其中L代表弧长，r代表半径的长度，θ代表圆心角的度数。
注意，角度θ需要用360制表示。
4. 弧度制弧度是用弧长单位或者弧线圆心角单位来度量一个角的大小。
弧度制与度数制的换算关系是1弧度=180/π。
5. 切线定理切线定理表明，如果一条直线与圆相切，那么直线和半径在切点处垂直。
6. 弦切角定理弦切角定理表明，一个切线和它所切的弦所夹的角等于这个弦所对的圆心角的一半。
7. 弦长定理弦长定理表明，两个相交弦的乘积等于外切或内切弦的乘积。
8. 弧度定理弧度定理表明，相等弧的所对的圆心角是相等的。
圆的运用1. 圆与三角形圆与三角形的关系多种多样，常见的有圆上求角、弧长和面积等问题。
例如，常用的正弦定理和余弦定理中，都涉及到圆的概念。
2. 圆与单位圆单位圆是指半径等于1的圆。
单位圆常用来研究三角函数，例如正弦函数和余弦函数就是通过单位圆来定义的。
3. 圆与几何图形的求解在几何图形的求解过程中，圆经常被用来帮助求解。
圆的认识与性质知识点总结
圆的认识与性质知识点总结圆是几何学中常见的图形，具有独特的性质和特点。
在本文中，我们将对圆的基本概念、性质和相关定理进行总结和归纳。
一、圆的基本概念圆是由平面上距离一个固定点（圆心）相等的所有点组成的集合，这些点到圆心的距离称为半径。
以圆心为中心，半径为半径的线段称为半径线。
常用符号表示圆的半径为r，直径为d，周长为C，面积为S。
二、圆的性质1. 圆的直径和半径的关系：直径是圆中任意两点之间的最长线段，它等于半径的两倍，即d=2r。
2. 圆的周长和直径的关系：圆的周长是圆的一周的长度，它等于直径乘以π，即C=πd或C=2πr。
3. 圆的面积公式：圆的面积等于半径的平方乘以π，即S=πr²。
4. 圆的对称性：圆具有轴对称性和中心对称性，对圆上的任意一点P，以圆心O为对称中心，关于O对称的点P'也在圆上。
5. 圆的切线和法线：圆上一点的切线与半径垂直，并且切线的方向与该点对应的半径线相同，切线的两个端点都在圆上；圆上一点的法线与切线垂直。
三、圆的相关定理1. 弧度制：圆的度数制和弧度制是两种常用的角度制度。
弧度制是以弧长相等的圆心角所对应的圆心角的大小为单位。
一个圆的弧长等于半径长的弧所对应的圆心角的弧度数，即弧长L=rθ，其中θ是角度，L是弧长，r是半径。
2. 圆的圆心角和弧度的关系：一个圆的圆心角所对应的弧长等于半径长的弧所对应的圆心角的弧度数，即L=rθ，其中L是弧长，r是半径，θ是圆心角的角度，根据该定理，可以将角度和弧度进行相互转换。
3. 相交弧定理：在同一个圆或者等圆中，两条弦所对应的弧相等，两条切线所对应的弧相等。
4. 等弧的定理：在同一个圆或者等圆中，等长的弧所对应的圆心角相等。
5. 弧与切线的关系：一个角的顶点在圆上，角的一边是切线，另一边是割线，则这个角等于其所对应的弧所对应的圆心角的一半。
6. 弦切角的定理：两条切线所夹的角等于这两条切线所对应的弧之间的角的一半。
初三圆的知识点归纳总结
初三圆的知识点归纳总结圆是初中数学中一个重要的几何概念，它涉及到的知识点较多。
下面将对初三圆的知识点进行归纳总结，以便于读者更好地理解和掌握。
1. 圆的定义与性质圆是平面上的一条曲线，其上的任意两点到圆心的距离相等。
圆由无数点组成，其中最重要的是圆心和半径。
- 圆心：圆上所有点到圆心的距离相等，通常用字母O表示。
- 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，通常用字母r表示。
2. 相关公式与计算圆的周长和面积是初三学习中需要重点掌握的计算公式。
- 圆的周长公式：C = 2πr，其中π取近似值3.14，r为半径。
- 圆的面积公式：S = πr²，其中π取近似值3.14，r为半径。
3. 弧与弦圆上的弧是圆上两点之间的曲线段，弧由圆心角所确定。
圆上任意两点之间的线段称为弦。
- 弧长：弧长可以通过圆心角与圆的周长的比例来计算，通常用字母l表示。
l = (θ/360) × 2πr，其中θ为圆心角的度数。
- 弦长：弦长可以通过半径和圆心角来计算，通常用字母s表示。
s = 2r × sin(θ/2)，其中θ为圆心角的度数。
4. 切线与切点在圆上，过圆上一点的直线称为切线，该点称为切点。
圆的切线与半径的关系如下：- 切线与半径的垂直关系：切线与通过切点的半径垂直相交。
- 切线的长度：切线的长度可以通过直角三角形的定理计算。
假设切点坐标为(x₀, y₀)，半径为r，则切线长为L = √(x₀² +y₀²)。
5. 弧度制与角度制圆的度量可以用角度制和弧度制来表示。
- 角度制：一个圆的360°被等分为若干个小部分，每个小部分被称为1度（1°）。
- 弧度制：一个圆的一周对应的弧长为2π，定义为2π弧度（2π rad），因此1弧度约等于57.3°。
6. 圆的其他性质- 在同一个圆上，相等弧所对圆心角相等，圆心角相等则所对弧相等。
- 在同一个圆上，位于圆上的两条弦相等，则其所对的圆心角相等。
圆的基本概念与性质知识点总结
圆的基本概念与性质知识点总结圆是几何学中的一个基本概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
它具有许多独特的性质和特点，本文将为你总结圆的基本概念以及其相关的性质知识点。
1. 圆的定义圆是平面上一组距离相等的点的集合。
其中，距离相等的点叫做圆心；与圆心距离相等的线段叫做半径；连接圆上任意两点的线段叫做弦；通过圆心并且连接圆上某一点的线段叫做半径。
2. 圆的性质2.1 圆的半径性质- 圆上任意两点间的弦相等，并且等于半径的长度。
- 半径垂直于弦，并且平分弦。
- 圆上相等弧所对的弦相等。
- 以圆心为端点的弧叫做半圆，圆心角为180°。
2.2 圆的直径性质- 直径是圆上任意两点间的最长弦，等于半径的两倍。
- 直径的中点即为圆心。
- 圆上的半径与直径垂直，并且被直径平分。
2.3 圆的面积性质- 圆的面积公式为：A = πr²（其中，A表示面积，r表示半径）。
- 圆的面积只与半径有关，与圆心角和弦长无关。
2.4 圆的弧长性质- 弧长公式为：L = 2πr（其中，L表示弧长，r表示半径）。
- 弧长与圆心角成正比，即弧长等于圆心角度数与周长的比值。
3. 圆的相关定理3.1 切线定理- 切线是与圆相切的直线，切点在圆上。
- 切线与半径垂直。
3.2 弧度制与度制的转换- 弧度制是以半径等于1的圆的圆心角作为单位，记作rad。
- 度制是以圆心角为单位，记作°。
- 弧度制与度制的转换关系为：1° = π/180 rad。
4. 圆的应用领域- 在几何学中，圆被广泛运用于计算圆的面积、周长和弧长等。
- 在物理学中，圆被用于描述物体的运动轨迹和行星的绕轨道运动等。
- 在工程学中，圆被应用于建筑设计、机械制造和电路设计等。
综上所述，圆作为几何学中的基本概念，具有独特的性质和特点。
了解圆的基本概念和性质对于深入理解几何学、物理学和工程学等领域的知识有着重要的意义。
同时，圆的应用广泛，为我们解决问题和进行实践提供了重要的工具。
中考圆知识点归纳总结
中考圆知识点归纳总结中考圆是初中数学中非常重要的一个知识点，也是数学的基础。
掌握了中考圆的相关知识，不仅对于进一步学习数学有很大的帮助，也对于解决实际问题有很大的应用价值。
下面将对中考圆的知识点进行归纳总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一部分内容。
1. 圆的基本概念圆是平面上距离一个固定点一定距离的点的集合，这个固定点叫做圆心，这个固定距离叫做半径。
圆通常用字母 O 表示圆心，用字母 r 表示圆的半径。
圆上的任一点到圆心的距离都等于半径，这一点是圆的重要性质之一。
2. 圆的相关线段在圆周上取两点 A、B，连接这两点和圆心 O，得到三条线段，分别是弧 AB、弦 AB 和半径 OB。
弧 AB 是连通 A、B 两点的曲线部分，弦 AB 是圆上连接 A、B 两点的线段，半径OB 是以 O 为端点的一段线段。
圆有很多重要的线段长度关系定理，比如：弦长定理、弦切定理、弦心定理等。
3. 圆的面积和周长圆的周长和面积是圆的重要特征。
圆的周长又叫做圆周长或者圆的周长，通常用字母 C 或者 P 表示，圆周长的计算公式是C=2πr，其中 r 表示圆的半径，π 是一个数学常数，约等于3.14。
圆的面积通常用 S 表示，圆的面积计算公式是S=πr²。
4. 圆中角的度量圆上的角分为圆心角、弧对应角和弦对应角。
圆心角的度数等于它所对的圆弧的度数，弧对应角和弦对应角的度数相等。
圆心角、弧对应角和弦对应角之间有很多重要的关系，比如角度的计算，叠加与相交的等。
5. 圆的切线和切点在圆上一个点处的切线是与这个点的切线有且只有一个交点的直线。
圆上的切线长相等。
切点是与切线有且只有一个公共点的圆上的点。
圆的切线和切点有很多重要的定理，比如切线与半径垂直定理等。
中考圆的知识点比较基础但非常重要，掌握了这些知识对于学生进一步学习数学有很大的帮助。
希望同学们多加练习和实践，加强对中考圆知识点的理解和掌握，提高数学的应用能力。
中考圆的知识点总结
中考圆的知识点总结中考数学中，圆是一个重要的几何图形，涉及的知识点较多。
在考试中，对圆的相关知识的理解和掌握是非常关键的。
本文将对中考数学中与圆有关的知识点进行总结和归纳，帮助考生理清思路，更好地备战中考数学。
1. 圆的定义圆是平面上到一个定点的距离等于定值的所有点构成的图形。
其中，定点叫做圆心，距离叫做半径。
2. 圆的性质（1）圆上任意两点之间的线段，叫做弧。
（2）圆的直径是圆上任意两点连线沿圆内部的最大距离，它的长度是半径的2倍。
（3）圆的周长是圆周上的所有点连成的折线的长度。
（4）圆内任意两点与圆心连线的夹角是等腰三角形的夹角。
3. 圆的相关公式（1）圆的周长公式：C = 2πr（其中，C表示周长，r表示半径，π取3.14）。
（2）圆的面积公式：A = πr²（其中，A表示面积）。
4. 圆的位置关系（1）相离：两个圆没有交点，且圆心之间的距离大于两个圆的半径之和。
（2）相切外切：两个圆有且仅有一个公共切点，且圆心之间的距离等于两个圆的半径之和。
（3）相交：两个圆有两个交点，且圆心之间的距离小于两个圆的半径之和。
（4）包含内切：一个圆完全包含另一个圆，且两个圆心之间的距离小于等于两个圆的半径之差。
5. 判定正方形和矩形的方法如果一个四边形的四个角都是直角，并且四条边的长度相等，就可以判定为正方形。
若四边形的对边相等且相邻边两两相等，则可以判定为矩形。
6. 圆锥的相关知识（1）圆锥的配准：当给出圆锥的高及底面的半径时，可以通过连接圆锥的顶点、底面圆心以及连接顶点和底面圆周上的一点构成一个直角三角形，从而确定圆锥的顶部的位置。
（2）圆锥的表面积公式：S = πr² + πrl（其中，S表示表面积，r 表示底面半径，l表示斜高）。
（3）圆锥的体积公式：V = 1/3πr²h（其中，V表示体积，r表示底面半径，h表示高）。
7. 圆柱的相关知识（1）圆柱的表面积公式：S = 2πrh + 2πr²（其中，S表示表面积，r表示底面半径，h表示高）。
中考圆形知识点总结归纳
中考圆形知识点总结归纳圆形是中考数学中的一个重要知识点，它涉及到多个概念和性质，以下是对中考圆形知识点的总结归纳：圆的基本定义圆是一个平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。
这个距离称为半径。
圆的方程圆的标准方程是 \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)，其中 \( (h, k) \) 是圆心的坐标，\( r \) 是半径。
圆的性质1. 圆周上的任意一点到圆心的距离都等于半径。
2. 圆的直径是圆上两点之间的最长距离，直径的长度是半径的两倍。
3. 圆内任意两点之间的线段，最短的是直线段，即直径。
4. 圆的切线在切点处与半径垂直。
圆的面积和周长- 圆的面积公式是 \( A = \pi r^2 \)。
- 圆的周长（圆周）公式是 \( C = 2\pi r \)。
圆与直线的位置关系1. 直线与圆相离：直线与圆没有公共点。
2. 直线与圆相切：直线与圆有一个公共点，即切点。
3. 直线与圆相交：直线与圆有两个公共点。
圆与圆的位置关系1. 两圆外离：两圆没有公共点。
2. 两圆外切：两圆只有一个公共点。
3. 两圆相交：两圆有两个公共点。
4. 两圆内切：一个圆完全包含在另一个圆内，只有一个公共点。
5. 两圆内含：一个圆完全包含在另一个圆内，没有公共点。
圆的内接多边形1. 内接于圆的多边形，其所有顶点都在圆上。
2. 正多边形是内接于圆的多边形，且所有边长相等，所有内角相等。
圆的外切多边形1. 外切于圆的多边形，其所有边都与圆相切。
2. 正多边形的外接圆是所有顶点都与圆相切的圆。
圆的弧和扇形1. 弧是圆上两点之间的线段。
2. 扇形是圆心角和它所对的弧所围成的区域。
圆的切线和割线1. 切线是与圆相切的直线。
2. 割线是与圆相交的直线，但不经过圆心。
结束语通过以上对中考圆形知识点的总结归纳，我们可以看到圆的几何性质和计算在中考数学中占有重要地位。
掌握这些知识点对于解决相关的几何问题至关重要。
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第八章圆
第二十二讲圆的有关性质
1．(2017福建中考)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是( D)
A．∠ADC B．∠ABD
C．∠BAC D．∠BAD
,(第1题图)) ,(第2题图)) 2．如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O切线．A为切点，BC经过圆心．若∠B＝20°，则∠C的大小等于( D) A．20°B．25°C．40°D．50°
3.如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，则∠BOD的度数是( D)
A．25°B．30°C．40°D．50°
,(第3题图)) ,(第4题图)) 4．(2017西宁中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为( C)
A.15 B．2 5 C．215 D．8
5．(2017泸州中考)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E.若AB＝8，AE＝1，则弦CD的长是( B)
A.7 B．27 C．6 D．8
,(第5题图)) ,(第6题图)) 6．如图，一个台球从点C射向球桌边沿AB上的点Q，然后反射出去，正好碰到在点D的另一个球．如果C，D两点正好在以AB为直径的半圆弧上(O是圆心)，连接OC，OD，CD.下面有四个结论：
①∠AQC＝∠BQD；②∠CQD＝∠COD；③∠AOC＝∠CDQ; ④AQ·BQ＝CQ·DQ.那么，其中正确的结论是__①③④__．
7．(2017甘肃中考)如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝32°，则∠C＝__58°__．
,(第7题图)) ,(第8题图)) 8．(2017包头中考)如图，点A，B，C为⊙O上的三个点，∠BOC＝2∠AOB，∠BAC＝40°，则∠ACB＝__20__°.
9．(2017北京中考)如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的点，AD ＝CD.若∠CAB＝40°，则∠CAD＝__25°__．
,(第9题图)) ,(第10题图))
10．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点G ，点F 是CD 上一点，且满足CF FD ＝13
，延长AF 交⊙O 于点E ，连结AD ，DE ，若CF ＝2，AF ＝3.给出下列结论：①△ADF∽△AED；②FG＝2；③tan E ＝
52
；④S △DEF ＝4 5.其中正确的是__①②④__．(写出所有正确结论的序号)
11．如图，AB 为⊙O 的弦，AB ＝8，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ，且CD ＝1，求⊙O 的半径．
解：连结OA.∵OC⊥AB，
∴AD ＝DB ＝12
AB ＝4. 设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r －1.
在Rt △OAD 中，OA 2＝AD 2＋OD 2
，
∴r 2＝(r －1)2＋42
整理，得2r ＝17，∴r ＝172
. ∴圆的半径是172
. 12．(2017临沂中考模拟)如图，⊙O 中，直径CD⊥弦AB 于E ，AM ⊥BC 于M ，交CD 于N ，连结AD.
(1)求证：AD ＝AN;
(2)若AB ＝42，ON ＝1，求⊙O 的半径．
解：(1)∵∠BAD 与∠BCD 是同弧所对的圆周角，
∴∠BAD ＝∠BCD，
∵AE ⊥CD ，AM ⊥BC ，
∴∠AMC ＝∠AEN＝90°.
∵∠ANE ＝∠CNM，
∴∠BCD ＝∠BAM，
∴∠BAM ＝∠BAD.
在△ANE 与△ADE 中，
∵⎩⎪⎨⎪⎧∠BAM ＝∠BAD，AE ＝AE ，∠AEN ＝∠AED，
∴△ANE ≌△ADE ，∴AD ＝AN ；
(2)连结AO.∵AB＝42，AE ⊥CD ，
∴AE ＝2 2.又∵ON＝1，
∴设NE ＝x ，则OE ＝x －1，NE ＝ED ＝x ，
r ＝OD ＝OE ＋ED ＝2x －1，
则AO ＝OD ＝2x －1.
∵△AOE 是直角三角形，AE ＝22，OE ＝x －1，AO ＝2x －1，
∴(22)2＋(x －1)2＝(2x －1)2
，
解得x 1＝2，x 2＝－43
(舍去)． ∴r ＝2x －1＝3.
13．(2017和平二模)已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，在BC 上取一点O ，以O 为圆心，OB 为半径作圆，且⊙O 过A 点．
(1)如图①，若⊙O 的半径为5，求线段OC 的长；
(2)如图②，过点A 作AD∥BC 交⊙O 于点D ，连结BD ，求BD AC 的值．
图① 图②
解：(1)∵△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，
∴∠B ＝∠C＝30°.∵OA ＝OB ，
∴∠BAO ＝∠B＝30°，
∴∠AOC ＝30°＋30°＝60°，
∴∠OAC ＝90°.
∵OA ＝5，∴OC ＝2AO ＝10；
(2)连结OD.
∵∠AOC ＝60°，AD ∥BC ，
∴∠DAO ＝∠AOC＝60°.
∵OD ＝OA ，∴∠ADO ＝60°，
∴∠DOB ＝∠ADO＝60°.
∵OD ＝OB ，
∴△DOB 是等边三角形，
∴BD ＝OB ＝OA.
在Rt △OAC 中，tan C ＝tan 30°＝OA AC ＝33，
即BD AC ＝33.
14．如图，在⊙O 上有定点C 和动点P ，位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点
Q ，已知⊙O 半径为52，tan ∠ABC ＝34
，则CQ 的最大值是( D ) A ．5 B .154 C .253 D .203
15.在⊙O 中，直径AB ＝6，BC 是弦，∠ABC ＝30°，点P 在BC 上，点Q 在⊙O 上，且OP⊥PQ.
(1)如图①，当PQ∥AB 时，求PQ 的长度；
(2)如图②，当点P 在BC 上移动时，求PQ 长的最大值．
,图①)
,图②) 解：(1)连结OQ.
∵PQ ∥AB ，OP ⊥PQ ，
∴OP ⊥AB.
在Rt △OBP 中，∵tan B ＝OP OB
， ∴OP ＝3tan 30°＝ 3.
在Rt △OPQ 中，∵OP ＝3，OQ ＝3，
∴PQ ＝OQ 2－OP 2＝6；
(2)连结OQ.
在Rt △OPQ 中，PQ ＝OQ 2－OP 2 ＝9－OP 2，
当OP 的长最小时，PQ 的长最大，
此时OP⊥BC，则OP ＝12OB ＝32
， ∴PQ 长的最大值为9－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝332.。