第十章 具有耦合电感的电路
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10章 含有耦合电感的电路
jω L2 (支路 支路3)L ± 同侧取 同侧取“ 支路 3=±M(同侧取“＋”,异 异
R2
侧取“ 侧取“－”) (支路 1’=L1 m M，M前所取符 支路1)L 支路 ， 前所取符 号与L 号与 3中的相反 (支路 2’=L2 m M，M前所取 支路2)L 支路 ， 前所取 符号与L 符号与 3中的相反
反相串联无互感等效电路
R1 u1 u M L1 R1 L1-M u1 R2 u2 L2 u R2 L2-M u2
Z = Z1 + Z 2 = R1 + R2 + jω ( L1 + L2 − 2 M )
R1
L1 u1
2、顺向串联 、 每一耦合电感支路的阻抗为： 每一耦合电感支路的阻抗为：
Z1 = R1 + jω ( L1 + M )
两个耦合线圈的磁通链可表示为： 两个耦合线圈的磁通链可表示为：
ψ 1 = ψ 11 ± ψ 12
= L1i1±Mi2
ψ 2 = ±ψ 21 + ψ 22
= ±Mi1+L2i2 上式表明， 上式表明 ， 耦合线圈中的磁通链与施感电流 线性关系 关系， 成 线性 关系 ， 是各施感电流独立产生的磁通链叠 加的结果。 加的结果。
di di u2 = R2i + ( L2 −M ) dt dt di = R2i + ( L2 − M ) dt
无互感等效电路
R1 u1 u M L1 R1 L1-M u1 R2 u2 L2 u R2 L2-M u2
di u = u1 + u 2 = ( R1 + R2 )i + ( L1 + L2 − 2 M ) dt
L1 N1 L2 N2
电路第十章含有耦合电感的电路
则，自感磁通和互感磁通方感向磁通方向相反，故1，3端
.. . . .. .. . . .. 一致，故1，4是同名端，（不2是，同名端，1，4是同名端，
3也是同名i1 端） i2 （2，3也是同名端i1 ） i2
1 23 4
1 23 4
同名端只与线圈的绕向有关，与电流方向无关。 只要知道线圈的绕向，就能标出同名端。
L L1L2 M2 L1 L2 2M
M2 L1L2
M L1L2 M L1 L2
2
几何平均值（小） 算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求 ∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数 k M M max
最大值
i(t)
••
u ( t ) L1 L2
i(t)
u(t)
L1 -
di
M
dt +
L2
+
M
di
- dt
utL1d d ti Md d ti L2d d ti Md dti
L1
L2
2Mdi
dt
L
di dt
反接时，串联电感值为
LL1L22M
电感贮能 WL 12LiL2 0
即L一定为正值
L1L22M
M L1 L2 2
实际值
M L1 L 2
0k1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另一个线 圈交链达到使M无法再增加
紧耦合，强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
4.耦合电感的T型等效
.. . . .. .. . . .. 一致，故1，4是同名端，（不2是，同名端，1，4是同名端，
3也是同名i1 端） i2 （2，3也是同名端i1 ） i2
1 23 4
1 23 4
同名端只与线圈的绕向有关，与电流方向无关。 只要知道线圈的绕向，就能标出同名端。
L L1L2 M2 L1 L2 2M
M2 L1L2
M L1L2 M L1 L2
2
几何平均值（小） 算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求 ∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数 k M M max
最大值
i(t)
••
u ( t ) L1 L2
i(t)
u(t)
L1 -
di
M
dt +
L2
+
M
di
- dt
utL1d d ti Md d ti L2d d ti Md dti
L1
L2
2Mdi
dt
L
di dt
反接时，串联电感值为
LL1L22M
电感贮能 WL 12LiL2 0
即L一定为正值
L1L22M
M L1 L2 2
实际值
M L1 L 2
0k1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另一个线 圈交链达到使M无法再增加
紧耦合，强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
4.耦合电感的T型等效
第十章含有耦合电感的电路-精选文档
d di u L dt dt
+
u _
在此电感元件中，磁链Ψ和感 应电压u均由流经本电感元件的电 流所产生，此磁链感应电压分别称 为自感磁链和自感电压。
2、互感：如图所示表示两个耦合电感，电流i1在线 圈1和2中产生的磁通分别为Φ11和Φ21，则Φ21≤Φ11。 这种一个线圈的磁通交链于另一线圈的现象，称为 磁耦合。电流i1称为施感电流。Φ11称为线圈1的自感 磁通，Φ21称为耦合磁通或互感磁通。如果线圈2的 匝数为N2，并假设互感磁通Φ21与线圈2的每一匝都 交链，则互感磁链为Ψ21＝N2Φ21。
§10-1 互感
耦合电感：耦合元件，储能元件，记忆元件。
一、耦合电感：为互感线圈的理想化电路模型
1 、自感：对于线性非时变电感元件，当电流的 参考方向与磁通的参考方向符合右螺旋定则时， 磁链Ψ与电流I满足Ψ＝Li，L为与时间无关的正实 常数。
根据电磁感应定律和线圈的绕向，若电压的参考 正极性指向参考负极性的方向与产生它的磁通的参 考方向符合右螺旋定则时，也就是在电压和电流关 联参考方向下，则
输入阻抗Z为
Z Z Z ( 8 j 4 ) 8 . 94 26 . 57 1 2
为： 50 0 V 令U ，解得 I
50 0 I U / Z A 5 . 59 26 . 57 A 8 . 94 26 . 57
第十章 含有耦合电感的电路
内容提要
本章主要介绍耦合电感中的磁耦合 现象、互感和耦合因数、耦合电感的同 名端和耦合电感的磁通链方程、电压电 流关系；还介绍含有耦合电感电路的分 析计算及空心变压器、理想变压器的初 步概念。
§10-1 互感 §10-2 含有耦合电感电路的计算 §10-3 空心变压器
第10章 含有耦合电感的电路
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2. 耦合电感的并联
i
M
①同侧并联
+
u
L1
di1 dt
M
di2 dt
u –
i1 * * i2
L1
L2
u
L2
di2 dt
M
di1 dt
i = i1 +i2
解得u, i 的关系：
u
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
di dt
返回 上页 下页
等效电感：
Leq
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就不
需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i参考方
向即可。
M
*
*
i1
+ u21 –
u21
M
di1 dt
M
* i1
* – u21 +
u21
M
di1 dt
返回 上页 下页
例 i1 M i2
+* *+ u_1 L1 L2 _u2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
第10章 含有耦合电感的电路
本章重点
10.1 互感 10.2 含有耦合电感电路的计算 10.3 耦合电感的功率 10.4 变压器原理 10.5 理想变压器
首页
重点
1.互感和互感电压 2.有互感电路的计算 3.变压器和理想变压器原理
返回
10.1 互感
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中， 如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整 流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟 悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件 的电路问题的分析方法是非常必要的。
2. 耦合电感的并联
i
M
①同侧并联
+
u
L1
di1 dt
M
di2 dt
u –
i1 * * i2
L1
L2
u
L2
di2 dt
M
di1 dt
i = i1 +i2
解得u, i 的关系：
u
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
di dt
返回 上页 下页
等效电感：
Leq
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就不
需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i参考方
向即可。
M
*
*
i1
+ u21 –
u21
M
di1 dt
M
* i1
* – u21 +
u21
M
di1 dt
返回 上页 下页
例 i1 M i2
+* *+ u_1 L1 L2 _u2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
第10章 含有耦合电感的电路
本章重点
10.1 互感 10.2 含有耦合电感电路的计算 10.3 耦合电感的功率 10.4 变压器原理 10.5 理想变压器
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重点
1.互感和互感电压 2.有互感电路的计算 3.变压器和理想变压器原理
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10.1 互感
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中， 如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整 流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟 悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件 的电路问题的分析方法是非常必要的。
电路原理第十章含耦合电感电路
•
•
•
•
U R1 I1 +j L1 I1 －j M I 2
•
•
•
•
U R 2 I 2 +j L2 I 2 －j M I1
•
•
•
I I1 I2
根据前面的电路图，列写方程：
U (R1 jL1)I1 jMI2 Z1I1 ZM I2
U (R2 jL2 )I2 jMI1 Z2I2 ZM I1
Ψ21 Ψ22
Ψ11 Ψ12
Ψ21 Ψ22
i1 a + u1
i2
-b
c+
u2
d
i1 *a + u1 -b
i2 c + u2 -d *
(a)
(b)
说明耦合线圈的伏安关系用图
Ψ1=Ψ11 +Ψ12 Ψ2=Ψ22 +Ψ21
Ψ1=Ψ11 －Ψ12 Ψ2=Ψ22 －Ψ21
11
21
N1 i1
N2
+ u11 – + u21 –
同名端与两个线圈的绕向和相对位置有关。
11
s
0
N1 i1 * •
+ u11 –
N2
N3
*
•
+ u21 – – u31 +
i
1*
*2
1•*
2
3
1'
2'
1'
2'*
3' •
两个以上线圈彼此耦合时，同名端应一对一对加以标记。 如果每个电感都有电流时，每个电感的磁通链等于自感磁 通链和所有互感磁通链的代数和。
通链Ψ22 。22 部分或全部与线圈1相链，产生线圈2对线圈
第十章含耦合电感的电路
若使输出功率达到最大，问变压比为多少？此时输 出功率等于多少？
r R
E
(a)
r R
E
(b)
直接连接
P
I
2
R
E R
r
2
R
8
6 100
2
8
25mW
用匝比为n = 3的变压器耦合
扬声器的反射阻抗
R'
N1 N2
2
R
300 100
i1 * N1
n :1
i2
பைடு நூலகம்
+
N2
u2
*
－
实际变压器与理想变压器近似的条件
变压器原、副边线圈自电感 ：L1、L2 耦合电感 ： M k L1L2 近似条件： k M 1 L1、L2很大
L1L2
n n1 n2
例题
一个理想变压器的额定值是2400V/120V，9.6kVA且 在次级有50匝。计算：（a）匝数比，（b）初级的匝 数，（c）初级绕组和次级绕组的额定电流值。
原、副边匝比： 初级匝数：
n V1 2400 20 V2 120
n1 n 50 2050 1000 匝
初级绕组和次级绕组的额定电流值
I1
9600 V1
9600 2400
4A
I2
9600 V2
9600 120
80A
例题
求负载的端电压 U 2。
副边电压、电流关系。 配合电阻元件等，可模拟实际变压器
r R
E
(a)
r R
E
(b)
直接连接
P
I
2
R
E R
r
2
R
8
6 100
2
8
25mW
用匝比为n = 3的变压器耦合
扬声器的反射阻抗
R'
N1 N2
2
R
300 100
i1 * N1
n :1
i2
பைடு நூலகம்
+
N2
u2
*
－
实际变压器与理想变压器近似的条件
变压器原、副边线圈自电感 ：L1、L2 耦合电感 ： M k L1L2 近似条件： k M 1 L1、L2很大
L1L2
n n1 n2
例题
一个理想变压器的额定值是2400V/120V，9.6kVA且 在次级有50匝。计算：（a）匝数比，（b）初级的匝 数，（c）初级绕组和次级绕组的额定电流值。
原、副边匝比： 初级匝数：
n V1 2400 20 V2 120
n1 n 50 2050 1000 匝
初级绕组和次级绕组的额定电流值
I1
9600 V1
9600 2400
4A
I2
9600 V2
9600 120
80A
例题
求负载的端电压 U 2。
副边电压、电流关系。 配合电阻元件等，可模拟实际变压器
第10章含有耦合电感的电路37072共42页
i1 +
i2 +
L1
L2
- - u1
M
di2 dt
+
–
-
+
M
di1 dt
–
u2
-
i2
注意受控电压源 （即互感电压）的 极性问题
12
相量模型：耦合电感的受控电源模型
i1
+
u 1 L1
-
M
L2
+ i2
+
•
U1
u2
-
-
•
I1
jωL1
•+
jM I2
-
•
I2
+
jω L2
•
U2
+
•
jM I1
-
-
•
•
•
U1 jωL1 I1 jωM I2
jωM
•
I
.
.
R1
+
jωL1
U1 -
jωL2 R2
a
b
16
• 解：1、求开路电压
•+
U1 -
•
I
.
jωM
.
R1
jωL1
jωL2 R2
•
•
•
U oc R2 I jωM I
•
( R2
jωM ) R1
U1 jωL1 R2
300V
a +
•
U oc
b-
17
• 2、求等效阻抗
Jω(L1-M) R1
+ uL11
*
L2
+ u2 u
-
第十章具有耦合电感的电路
§10-1 互感
i 当线圈周围无铁磁物质(空心线圈)时，11、21与 1成正比，
i 12、22与 2成正比。即：
11 = L1 i1， 21 = M21 i1，
22 = L2 i2， 12 = M12 i2
L1
11 i1
，称L1为自感系数，单位亨( H)。
M 21
21 i1
§10-1 互感
例 图示电路，i1=10A，i2=5cos(10t)，L1=2H，L2=3H， M=1H，求两耦合线圈的端电压u1 和u2 。
u1
dΨ1 dt
,
u2
dΨ2 dt
,
Ψ1 L1i1 Mi2 Ψ2 L2i2 Mi1
i1 M i2
+* u_1 L1
*+ L2 _u2
u1
磁通链和互感磁通链的代数和。即：
1= 11 + 12 2= 22+ 21
§10-1 互感
说明:
自磁通: 由本身电流在本身线圈中产生的磁通 22 11 互磁通 :由电流在临近线圈中产生的磁通 12 21 *若11、12方向相同1 11 12
若21、22方向相同2 21 22 若11、12方向相反1 11 12 若21、22方向相反2 22 -21
§10-1 互感
3、同名端
同名端是耦合电感不同线圈中这样两个端, 若电流从同
名端流入指向另一端, 则此电流在另一线圈中产生的互感
电压也从同名端指向另一端。
说明： 同名端标号：“”或“*”
1 = L1 i1 ± M i2 2 = ± M i1 + L2 i2
i1 M i2
10具有耦合电感的电路
§10-1 互感：（mutual inductance ） 两个靠近的线圈，当任一个线圈通有变动的电流时，这个变动的电流所产生的磁通，除了穿过本线圈，从而产生自感电压外，还将有一部分穿过另一线圈，在另一线圈中产生感应电压。
这种现象称为互感现象，这个感应电压称为互感电压。
同理：第十章 具有耦合电感的电路一个线圈的磁通交链另一个线圈的现象——磁耦合。
[注]：下标说明第一个下标：表示该量所在线圈的标号。
第二个下标：表示产生该量的原因所在线圈的标号。
可见：ф21、ф12——互感磁通，是非本线圈中电流产生的磁通。
与它对应的磁通链称为互感磁通链：Ψ12 = N1ф12；Ψ21 = N2ф21ф11、ф22——自感磁通，是本线圈中电流产生的磁通。
与它对应的磁通链称为自感磁通链：Ψ11 = N1ф11=Li1；Ψ22 = N2ф22u12 、u21——互感电压，是由互感磁通引起的。
若据线圈的绕向及互感磁通的方向来选择互感电压的参考方向，使它们符合右螺旋关系，则有：给互感下定义：（Ψ11 = N 1ф11 =Li 1）1212121212i M ;i M ==ψψ线圈中的互感磁通链与产生它的那一线圈中的电流之比称为互感系数或互感。
即：可以证明：M M M ==2112 ，单位：亨（H ） 则互感电压又可以表示成：具有互感的两个线圈的符号：（据u L1而定的参考方向）若u 21>0,该参考方向为实际方向；若u 21<0,该参考方向与实际方向相反互感电压的正负——靠同名端（dotted terminals）来判断：已知同名端（定义）：当两个电流分别从两个线圈的对应端子流入，其所产生的磁场相互加强时，则这两个对应端子称为同名端。
当施感电流的进端与互感电压参考方向（已知）的正极性端互为同名端（已知）时，则互感电压取“+”，否则，取“-”。
如：若：反过来，若已知耦合线圈，需标记出同名端，其方法如下：1）使耦合线圈之一通以施感电流；2）据载流线圈的绕向按右螺旋关系确定其它耦合线圈中互感磁通的方向；3）再据互感磁通与所在线圈的绕向按右螺旋关系一一确定每一个耦合线圈中互感电压的正极性端，则互感电压的正极性端与施感电流的进端构成同名端。
第10章 含有耦合电感的电路
•
–
相量形式
2
–
U1
+
2
•
•
+ –
U
j ωM I
j ωM I 1
–
–
–
还可以用电流控制电压源来表 示互感电压的作用。 示互感电压的作用。
9
控制源形式的互感模型
思考：三种不同形式的方程特点？ 思考：三种不同形式的方程特点？
章目录 返回 上一页 下一页
五、耦合系数 (coupling coefficient)k： ：
Φ
* 2 2'
1'
di > 0, dt
u22' = M di > 0 dt
R S 1 ♦ 1'
i *
电压表瞬时正偏。 电压表瞬时正偏。 思考：当开关 打开时 电压表？ 打开时， 思考：当开关S打开时，电压表？
*2 ♦ 2'
+ V –
12
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10--2 含有耦合电感电路的计算
在正弦交流电路中， 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
*
*
L2
△
L1
+ u2 _
时域形式
•
•
U 1 = j ω L1 I 1 + j ω M I 2
•
•
•
I1
jωM
•
I
2
+
•
U
2
•
= jω M I 1 + jω L2 I 2
•
•
•
j ω L1
*
*
+
j ω L2
•
U1
I
–
相量形式
2
–
U1
+
2
•
•
+ –
U
j ωM I
j ωM I 1
–
–
–
还可以用电流控制电压源来表 示互感电压的作用。 示互感电压的作用。
9
控制源形式的互感模型
思考：三种不同形式的方程特点？ 思考：三种不同形式的方程特点？
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五、耦合系数 (coupling coefficient)k： ：
Φ
* 2 2'
1'
di > 0, dt
u22' = M di > 0 dt
R S 1 ♦ 1'
i *
电压表瞬时正偏。 电压表瞬时正偏。 思考：当开关 打开时 电压表？ 打开时， 思考：当开关S打开时，电压表？
*2 ♦ 2'
+ V –
12
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10--2 含有耦合电感电路的计算
在正弦交流电路中， 在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
*
*
L2
△
L1
+ u2 _
时域形式
•
•
U 1 = j ω L1 I 1 + j ω M I 2
•
•
•
I1
jωM
•
I
2
+
•
U
2
•
= jω M I 1 + jω L2 I 2
•
•
•
j ω L1
*
*
+
j ω L2
•
U1
I
第十章 含有耦合电感的电路讲解
ZM Z11
U1
求Zeq，将独立源置零：
得：Zeq
U 2 I2
Z 22
M 2
Z11I1 ZM I2 U1 — —① ZM I1 Z22I2 0 — —②
目的：寻求原副边等效电路。
1、原边等效电路：
由方程②得： ③代入①得：
I1
I2
Z11
ZM
Z
ZZ22M
M Z22
I1
U1
③
Z1
铁芯的作用：增大导磁率μ，减小漏磁损耗.
3、空心变压器： 没有铁芯的变压器，原副绕组绕在非铁磁材料制成的骨架上； 铁芯变压器：K≈1； 空心变压器：K很小——最大特点：电磁特性为线性；
空心变压器电路模型
二、空心变压器的特性方程
R1 jL1I1 jMI2 U1
jMI1 R2 RL jL2 jX I2 0
可见：公共端为异名端时， 可从公共端抽出一个－M，原来的 两个电感变为：L1+M，L2+M；
2、互感线圈的并联
2、互感线圈的并联（同侧并联和异侧并联） 再用互感消去法看串联两种情况：
Z R1 R2 jL1 L2 2M Z R1 R2 jL1 L2 2M
U1 I1
Z11
ZM 2 Z22
Z11
M 2
Z22
M
Z22
2
的物理意义：原边施I1，由于互感的作用（磁的
耦合）
将副边阻抗反映到原边的等效阻抗。
引入阻抗的性质与Z22相反，即感性变为容性
2、副边等效电路
第10章含有耦合电感的电路
•
• • •
耦合系数 k：表示两个耦合线圈磁耦合的紧密程度。 ：表示两个耦合线圈磁耦合的紧密程度。 def k = M ≤1 L1 L2 全耦合: 全耦合 Φ11= Φ21 ，Φ22 =Φ12
Q ∴ ∴ N1Φ11 L1 = i1 M 12 M 21 = L1 L2 k =1 N 2Φ22 L2 = i2 , N1Φ12 M 12 = i2 N 2Φ21 M 21 = i1
当 L1=L2 时 , M=L 4L L= 0 书例10－ 书例 －3 反接 顺接
二、耦合电感的并联 1. 同侧并联： 同侧并联： M i + u R1 –
•
i1 L1
*
*
i2 L2
di1 di2 u = R1i1 + L1 +M dt dt di di u = R2 i2 + L2 2 + M 1 dt dt
R2 jωM
i = i1 +i2
I
+
•
•
•
I1
*
*
I
2
U = R1 I 1 +jω L1 I 1 + jω M I 2
U = R 2 I 2 +jω L2 I 2 + jω M I 1
• • • •
•
•
•
•
jωL1
U
jωL2 R2
R1 –
I = I1+ I2
•
•
•
2. 异侧并联 i + u R1 –
同名端通常用标志“ 如图： 同名端通常用标志“·” 表示 ，如图：
i1 a + u1 b (a)
耦合电感的电路符号
M
• • •
耦合系数 k：表示两个耦合线圈磁耦合的紧密程度。 ：表示两个耦合线圈磁耦合的紧密程度。 def k = M ≤1 L1 L2 全耦合: 全耦合 Φ11= Φ21 ，Φ22 =Φ12
Q ∴ ∴ N1Φ11 L1 = i1 M 12 M 21 = L1 L2 k =1 N 2Φ22 L2 = i2 , N1Φ12 M 12 = i2 N 2Φ21 M 21 = i1
当 L1=L2 时 , M=L 4L L= 0 书例10－ 书例 －3 反接 顺接
二、耦合电感的并联 1. 同侧并联： 同侧并联： M i + u R1 –
•
i1 L1
*
*
i2 L2
di1 di2 u = R1i1 + L1 +M dt dt di di u = R2 i2 + L2 2 + M 1 dt dt
R2 jωM
i = i1 +i2
I
+
•
•
•
I1
*
*
I
2
U = R1 I 1 +jω L1 I 1 + jω M I 2
U = R 2 I 2 +jω L2 I 2 + jω M I 1
• • • •
•
•
•
•
jωL1
U
jωL2 R2
R1 –
I = I1+ I2
•
•
•
2. 异侧并联 i + u R1 –
同名端通常用标志“ 如图： 同名端通常用标志“·” 表示 ，如图：
i1 a + u1 b (a)
耦合电感的电路符号
M
第10章 含有耦合电感的电路
i
R1
L1 u1
i
R1
u1
L1
u
M
R2 u2
u
M R2 u2
L2
L2（a）顺向串联电路（来自）反向串联电路1、计算公式
对于反向串联电路，按图示参考方向，列写 KVL方程为： di di
u 1 R 1 i ( L1 M )
i
R1 u1
L1
dt
dt di dt di dt di dt )
R 1 i ( L1 M ) u 2 R2i ( L2 di dt
1 L1 i1 M i 2
2
M i1 L 2 i 2
i L 例1：下图中，i1 1 0 A ，2 5 co s(1 0 t ) A ，1 2 H ， L M 求 2 3 H ， 1H 。求两耦合线圈中的磁通链。
1
i1
M
i2
2
L2 u2 2’
1 1 L1 i1 2 0 W b
U j M I 3 [ R 1 j ( L1 M )] I 1 U j M I 3 [ R 2 j ( L 2 M )] I 2
根据上述方程可以给出一个无互感的等效电路， 如右下图所示：
I3
j M
I3
I2
j M
I1
解：
1 L1 i1 M i 2 [ 2 0 5 co s(1 0 t )]W b
2
M i1 L 2 i 2 [1 0 1 5 co s(1 0 t )]W b
u 1 L1 u2 M
R1
L1 u1
i
R1
u1
L1
u
M
R2 u2
u
M R2 u2
L2
L2（a）顺向串联电路（来自）反向串联电路1、计算公式
对于反向串联电路，按图示参考方向，列写 KVL方程为： di di
u 1 R 1 i ( L1 M )
i
R1 u1
L1
dt
dt di dt di dt di dt )
R 1 i ( L1 M ) u 2 R2i ( L2 di dt
1 L1 i1 M i 2
2
M i1 L 2 i 2
i L 例1：下图中，i1 1 0 A ，2 5 co s(1 0 t ) A ，1 2 H ， L M 求 2 3 H ， 1H 。求两耦合线圈中的磁通链。
1
i1
M
i2
2
L2 u2 2’
1 1 L1 i1 2 0 W b
U j M I 3 [ R 1 j ( L1 M )] I 1 U j M I 3 [ R 2 j ( L 2 M )] I 2
根据上述方程可以给出一个无互感的等效电路， 如右下图所示：
I3
j M
I3
I2
j M
I1
解：
1 L1 i1 M i 2 [ 2 0 5 co s(1 0 t )]W b
2
M i1 L 2 i 2 [1 0 1 5 co s(1 0 t )]W b
u 1 L1 u2 M
电路分析基础第10章 含有耦合电感的电路
+
2
线圈彼此耦合的情况:
线圈1中的电流i1产生自感磁通链ψ11和互感 磁通链ψ21, 同样线圈2中的电流i2也产生自感磁通 链ψ22和互感磁通链ψ12 （图中未标出）.
L1
N1
L2
N2
11
i1 i1
21
2‘ _
i2
1‘
1
u21
+
2
L1
N1
L2
N2
11
i1 i1
21
2‘ _
i2
1‘
1
u21
22 L2i2
12 M12i2 21 M 21i1 互感磁通链 上式中M12和M21称为互感系数，简称互感。
互感用符号M表示，单位为:亨利H。 由于互感具有互易性质，即M12= M21 ， 当只有两个线圈耦合时，可略去下标，统一使用M。
两个耦合线圈的磁通链可表示为：
1 11 12
d 1 di1 di2 u1 L1 M dt dt dt d 2 di1 di2 u2 M L2 dt dt dt
令自感电压 互感电压
di1 u11 L1 dt di2 u12 M dt
u 22
di2 L2 dt
di1 u 21 M dt
di2 u 22 L2 自感电压 dt di1 u 21 M 互感电压 dt 说明 u12是变动电流i2在L1中产生的互感电压，
Z1 R1 j ( L1 M )
u
R1 u1
L1
M
R2
u2
L2
Z 2 R2 j ( L2 M )
而
Z Z1 Z 2 R1 R2 j ( L1 L2 2M )
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1、互感元件的伏安关系 、 5、当两个线圈中都有电流，因为 当两个线圈中都有电流， di di u1 = uL1 + uM12 = L 1 + M 2 耦合电感线性且有M12=M21，所 dt dt 以各线圈电压为其自感电压和互 di2 di1 感电压之和（电阻电压不计时） 感电压之和（电阻电压不计时） u2 = uL2 + uM 21 = L dt + M dt
& & & [( R1 + R2 ) + jω( L1 + L2 + 2M)]I1 − [R2 + jω( L2 + M)]I3 = US
R3
& I3 & I3
C
& + ( R + R ) + j(ωL − 1 ) + 2M) I = 0 & − [R2 + jω( L2 + M)]I1 2 3 2 3 ωC
& I2
Z 22
Zref 2
2 XM = Z11
jX M & + U1 Z11 −
二、含空芯变压器的电路分析
& I1
R1
jω M
* j ω L1
& R2 I 2
+ & U −
1
* jω L 2
RL
1、直接列写方程法。 直接列写方程法。 2、受控源等效法。 受控源等效法。 3、互感消去法（两线圈有公共节点） 互感消去法（两线圈有公共节点） 4、反映阻抗法（原边等效电路或副边等效电路） 反映阻抗法（原边等效电路或副边等效电路）
1& 有条件③电感无穷大： & 有条件③电感无穷大： I1 = − I2 n
Le = L1 + L2 + 2M(加强)
②反接串联：电流从一个线圈的同名端流出，从另一个线圈 反接串联：电流从一个线圈的同名端流出， 同名端流入。 同名端流入。
Le = L1 + L2 − 2M(减弱 )
+ 1 & U
1− '
& I
M * L1
（*） ）
+1
L2 *
& I
L1 +L1+2M
& ⇒ U −' 1
第四节 理想变压器 φ 22 理想变压器的伏安关系： 一、理想变压器的伏安关系： 1 i1 φ 11 理想变压器是实际的铁心变压器的 + 一种抽象。有以下的理想化条件： 一种抽象。有以下的理想化条件： u1 N1 N2 − 无损耗。变压器原副边电阻为零， ①无损耗。变压器原副边电阻为零， 1' R1=0，R2=0。 全耦合。 ②全耦合。 原线圈的磁通全部穿过副 K(耦合系数 = M ) L1L2 线圈，副线圈的磁通全部穿过原线圈。 线圈，副线圈的磁通全部穿过原线圈。 电感无穷大。 ③电感无穷大。L1 = ∞，L2 = ∞，M = ∞。 φ 1）电压关系： 电压关系： 由条件② 由条件②得： 12 = φ22，φ21 = φ11 ϕ1 = ϕ11 + ϕ12 = N1(φ11 + φ12 ) = N1(φ11 + φ22 ) = N1φ 所以有： 所以有： ϕ2 = ϕ22 + ϕ21 = N2 (φ22 +φ21 ) = N2 (φ22 +φ11) = N2φ 又有条件① 又有条件①R1=0，R2=0 n :1 u1 N1 dϕ dφ + + = =n u1 = 1 = N1 * u2 N2 * dt dt u2 u1 ⇒ & dϕ dφ U1 N1 u2 = 2 = N2 − − = =n dt dt & U2 N2
R1 , L1为原线圈的电阻和电感 ， I1 R2 , L2为副线圈的电阻和电感 ， M为两线圈的互感， 为两线圈的互感， + & Rl , XL为负载的电阻和电抗。 1 为负载的电阻和电抗。 U 列出原副边回路的电压方程： 列出原副边回路的电压方程：− & & & ( R1 + jX L1 ) I1 − jX M I2 = U1 & & − jX M I2 + ( R2 + jX L2 + Rl + jXl ) I2 = 0
2
⇒
j ω L1 &+ jω M I 2
i3
3
−
& I3
3
+jω M I&⇒ −
1
jω L 2
新节点
M
& & & U13 = jωL1 I1 + jωMI2 & & & U = jωMI + jωL I
& & & I3 = I1 + I2
23 23 1
i3
3
2 2
& & & & & & U13 = jωL1 I1 + jωM( I3 − I1 ) = jω( L1 − M) I1 + jωMI3 & & & & & & U = jωM( I − I ) + jωL I = jω( L − M) I + jωMI
& I 1 R1
jω( L1 + M)
a'
+ & US −
R3
& I2
R2
& I3
C
注意：在运用上述各种分析方法时不可将有互感的两线圈分开 注意：在运用上述各种分析方法时不可将有互感的两线圈分开 不可将有互感的两线圈
第三节 变压器原理 一、空 芯变压器的伏安关系 变压器一般有两个线圈， 变压器一般有两个线圈，与电 源相联的称为原线圈 原线圈， 源相联的称为原线圈，与负载相联 副线圈。 的称为副线圈 的称为副线圈。原线圈引出端称为 原边（初级） 原边（初级），副线圈引出端称为 副边（次级） 副边（次级），原边与副边没有电 的联系。其电路模型如图： 的联系。其电路模型如图：
2、受控源等效法 、
(
& I 1 R1
jω L1
2
a
jωL2
R3
1 1 1 & )Ua + + R1 + jωL1 R2 + jωL2 R − j 1 3 ωC & & & US jωMI2 jωMI1 = − + R1 + jωL1 R1 + jωL1 R2 + jωL2
−jω M I& +
+ & US −
+ u1 −
1
i2
M * L1 * L2
2
1'
i1
− u2 +
2'
− u1 +
1
i2
M * L1
2
1'
i1
L2 *
+ u2 −
2'
& & R2 I 2 I 1 R1 7、互感元件的VAR的相量形式 1 2 jω M + (计电阻电压时) + * * & & = ( R + jωL ) I ± jωMI & & & U2 U1 j ω L1 jω L 2 U1 1 1 1 2 − − & = ( R + jωL ) I ± jωMI & & U2 2 2 2 1 2'
& jω M I 1
+ −
& I2
R2
− jωM
jω(L2 + M)
& I3
C
& & & & Ua + jωMI2 + ( R1 + jωL1 ) I1 = US
& & & Ua − jωMI1 + ( R2 + jωL2 ) I2 = 0
3、互感消取法(两线圈有公共节点)
( 1 1 + R1 + jω( L1 + M) R2 + jω( L2 + M) & 1 US & = )Ua' + 1 R1 + jω( L1 + M) R3 − j(ωM + ) ωC
第十章 具有耦合电感的电路
第一节 互感线圈的电路模型 一、互感线圈的伏安关系 1、在线圈N1中通入交变电流产生 di1 1 的交变磁通， 的交变磁通，在本线圈感应电压 uL1 = L dt (自感电压)。 2、交变磁通部分或全部穿过线 交变磁通部分或全部穿过 部分或全部穿过线 di1 圈N2在N2产生感应电压u21 (互感 uM 21 = M21 dt 电压) 3、在线圈N2中通入交变电流 产生的交变磁通， 产生的交变磁通，在本线圈感 应电压(自感电压)。
L2 & & (3 （jωL I1 + jω L L2 I2） ) 1 1 L 1 & & & L2 1 再由（）得I = U1 − L2 I = U1 − 1 I 3 （） U2 & & & 1 由 得 = = 再由（ 1 2 2 & jωL1 L1 jωL1 n 1 L1 n （） U1 U 式得： 由（2）式得： & 2 =
& 解得1：I1 = & U1Z22 = 2 Z11Z22 − ZM & U1 Z11 − Z Z22