2013届高三数学二轮复习 专题四 第2讲 空间中的平行与垂直教案

第2讲空间中的平行与垂直自主学习导引真题感悟1．(2012·浙江)设l是直线，α、β是两个不同的平面A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解析利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法．设α∩β＝a，若直线l∥a，且l⊄α，l⊄β，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．答案 B2．(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC -A1B1C1是直三棱柱，所以C C1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以C C1⊥AD.又因为AD⊥DE，C C1，DE⊂平面BC C1 B1，C C1∩DE＝E，所以AD⊥平面BC C1 B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BC C1 B1.(2)因为A1 B1＝A1 C1，F为B1 C1的中点，所以A1F⊥B1 C1.因为C C1⊥平面A1 B1 C1，且A1F⊂平面A1 B1 C1，所以C C1⊥A1F.又因为C C1，B1 C1⊂平面BC C1 B1，C C1∩B1 C1＝C1，所以A1F⊥平面BC C1 B1.由(1)知AD⊥平面BC C1 B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE考题分析空间线面位置关系的判定与证明是高考的必考考点，多以选择题与解答题的形式出现，难度中等，解答高考题时，推理过程不完整是失分的重要原因，需引起特别注意．网络构建高频考点突破考点一：线线、线面的平行与垂直【例1】如图，在平行四边形ABCD 中，CD ＝1，∠BCD ＝60°，且BD ⊥CD ，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G 、H 分别是DF 、BE 的中点． (1)求证：BD ⊥平面CDE ； (2)求证：GH ∥平面CDE ； (3)求三棱锥D －CEF 的体积．[审题导引] (1)先证BD ⊥ED ，BD ⊥CD ，可证BD ⊥平面CDE ； (2)由GH ∥CD 可证GH ∥平面CDE ； (3)变换顶点，求V C －DEF .[规范解答] (1)证明 ∵四边形ADEF 是正方形， ∴ED ⊥AD ，又平面ADEF ⊥平面ABCD ， 平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD . ∴ED ⊥平面ABCD ，∴ED ⊥BD . 又BD ⊥CD ，且ED ∩DC ＝D ， ∴BD ⊥平面CDE .(2)证明 ∵G 是DF 的中点，又易知H 是FC 的中点， ∴在△FCD 中，GH ∥CD ，又∵CD ⊂平面CDE ，GH ⊄平面CDE ， ∴GH ∥平面CDE .(3)设Rt△BCD 中，BC 边上的高为h ， ∵CD ＝1，∠BCD ＝60°，BD ⊥CD ，∴BC ＝2，BD ＝3，∴12×2×h ＝12×1×3，∴h ＝32，即点C 到平面DEF 的距离是32， ∴V D －CEF ＝V C －DEF ＝13×12×2×2×32＝33.【规律总结】线线、线面位置关系证法归纳(1)证线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证线面平行常用的两种方法：一是利用线面平行的判定定理，把证线面平行转化为证线线平行；二是利用面面平行的性质，把证线面平行转化为证面面平行． (3)证线面垂直常用的方法：一是利用线面垂直的判定定理，把证线面垂直转化为证线线垂直；二是利用面面垂直的性质定理，把证面面垂直转化为证线面垂直；另外还要注意利用教材中的一些结论，如：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等． 【变式训练】1．(2012·山东实验中学一诊)如图，在几何体ABCDEP 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ∥EB ，且PA ＝2BE ＝4 2.(1)证明：BD ∥平面PEC ；(2)若G 为BC 上的动点，求证：AE ⊥PG .证明 (1)连接AC 交BD 于点O ，取PC 的中点F ，连接OF ，EF ， ∵EB ∥PA ，且EB ＝12PA ，又OF ∥PA ，且OF ＝12PA ，∴EB ∥OF ，且EB ＝OF ， ∴四边形EBOF 为平行四边形， ∴EF ∥BD .又∵EF ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，∴BD ∥平面PEC .(2)连接BP ，∵EB AB ＝BA PA＝12， ∠EBA ＝∠BAP ＝90°，∴△EBA ∽△BAP ，∴∠PBA ＝∠BEA ， ∴∠PBA ＋∠BAE ＝∠BEA ＋∠BAE ＝90°， ∴PB ⊥AE .∵PA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面APEB ， ∴平面ABCD ⊥平面APEB ，∵BC ⊥AB ，平面ABCD ∩平面APEB ＝AB ， ∴BC ⊥平面APEB ，∴BC ⊥AE ，∴AE ⊥平面PBC ， ∵G 为BC 上的动点，∴PG ⊂平面PBC ，∴AE ⊥PG .考点二：面面平行与垂直【例2】如图所示，已知在三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形． (1)求证：DM ∥平面APC ；(2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积．[审题导引] (1)只要证明MD ∥AP 即可，根据三角形中位线定理可证； (2)证明AP ⊥BC ；(3)根据锥体体积公式进行计算．[规范解答] (1)证明 由已知，得MD 是△ABP 的中位线，所以MD ∥AP . 又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，故MD ∥平面APC . (2)证明 因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点， 所以MD ⊥PB .所以AP ⊥PB .又AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC . 因为BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC . 又BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ， 所以BC ⊥平面APC .因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC .(3)由题意，可知MD ⊥平面PBC ，所以MD 是三棱锥D －BCM 的一条高，所以V M －DBC ＝13×S △BCD ×MD ＝13×221×53＝107.【规律总结】面面平行与垂直的证明技巧在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本．在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直．【变式训练】2．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD.证明(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)如图，连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BF⊂平面ABCD，所以BF⊥平面PAD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.考点三：平面图形的折叠问题【例3】(2012·南京模拟)在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点(如图1)．将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置，连接B′C(如图2)．图1 图2(1)若平面AB ′D ⊥平面ADC ，求三棱锥B ′－ADC 的体积；(2)记线段B ′C 的中点为H ，平面B ′ED 与平面HFD 的交线为l ，求证HF ∥l ； (3)求证：AD ⊥B ′E .[审题导引] (1)解题的关键是根据折叠前后的线面位置关系求得B ′到平面ADC 的距离，可利用线面垂直求得；(2)线面平行⇒线线平行； (3)线面垂直⇒线线垂直．[规范解答] (1)在直角△ABC 中，D 为BC 的中点， 所以AD ＝BD ＝CD .又∠B ＝60°，所以△ABD 是等边三角形． 取AD 中点O ，连接B ′O ，所以B ′O ⊥AD . 因为平面AB ′D ⊥平面ADC ， 平面AB ′D ∩平面ADC ＝AD ， B ′O ⊂平面AB ′D ， 所以B ′O ⊥平面ADC .在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝1，D 为BC 的中点，所以AC ＝3，B ′O ＝32. 所以S △ADC ＝12×12×1×3＝34.所以三棱锥B ′－ADC 的体积为V ＝13×S △ADC ×B ′O ＝18.(2)证明 因为H 为B ′C 的中点，F 为CE 的中点， 所以HF ∥B ′E .又HF ⊄平面B ′ED ，B ′E ⊂平面B ′ED ， 所以HF ∥平面B ′ED .因为HF ⊂平面HFD ，平面B ′ED ∩平面HFD ＝l ， 所以HF ∥l .(3)证明 由(1)知，B ′O ⊥AD .因为AE ＝33，AO ＝12，∠DAC ＝30°， 所以EO ＝AE 2＋AO 2－2AE ·AO cos 30°＝36. 所以AO 2＋EO 2＝AE 2.所以AD ⊥EO .又B ′O ⊂平面B ′EO ，EO ⊂平面B ′EO ，B ′O ∩EO ＝O ， 所以AD ⊥平面B ′EO .又B ′E ⊂平面B ′EO ，所以AD ⊥B ′E . 【规律总结】解决翻折问题的注意事项(1)解决与翻折有关的几何问题的关键是搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．(2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中去解决． 【变式训练】 3．如图1，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，E 、F 分别为AD 和BC 上的点，且EF ∥AB ，AD ＝2AE ＝2AB ＝4FC ＝4.将四边形EFCD 沿EF 折起成如图2的形状，使AD ＝AE .(1)求证：BC ∥平面DAE ；(2)求四棱锥D －AEFB 的体积．解析 (1)证明 ∵BF ∥AE ，CF ∥DE ，BF ∩CF ＝F ， AE ∩DE ＝E ，∴平面CBF ∥平面DAE .又BC ⊂平面CBF ，∴BC ∥平面DAE . (2)取AE 的中点H ，连接DH .∵EF ⊥DE ，EF ⊥EA ，∴EF ⊥平面DAE . 又DH ⊂平面DAE ，∴EF ⊥DH .∵AE ＝DE ＝AD ＝2，∴DH ⊥AE ，DH ＝ 3. ∴DH ⊥平面AEFB .则四棱锥D －AEFB 的体积V ＝13×3×2×2＝433.名师押题高考【押题1】已知直线a 、b 与平面α、β，且b ⊥α，则下列命题中正确的是①若a ∥α，则a ⊥b ；②若a ⊥b ，则a ∥α； ③若b ∥β，则α⊥β；④若α⊥β，则b ∥β. A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．②③解析 命题①，若a ∥α，过直线a 作一平面γ，使得α∩γ＝c ，则由线面平行的性质定理可得a ∥c ，又因为b ⊥α，c ⊂α，所以b ⊥c ，故有a ⊥b ，所以该命题为真；命题②，若a ⊥b ，b ⊥α，则直线α与平面α的位置关系有两种：a ⊂α或a ∥α，故该命题为假；命题③，若b ∥β，则过直线b 作一平面δ，使得δ∩β＝d ，则由线面平行的性质定理可得b ∥d ，又b ⊥α，所以d ⊥α，因为d ⊂β，所以由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故该命题为真；命题④，若α⊥β，b ⊥α，则直线b 与平面β的位置关系有两种：b ⊂β或b ∥β，故该命题为假．综上，①③为真命题，故选A. 答案 A[押题依据] 线面的平行与垂直，是立体几何的主体内容，在高考试题中通常会有一道解答题和一道选择题或填空题，主要考查线面位置关系的判定与性质，一般难度不大．【押题2】如图，在三棱锥A －BOC 中，AO ⊥平面COB ，∠OAB ＝∠OAC ＝π6，AB ＝AC ＝2，BC ＝2，D 、E 分别为AB 、OB 的中点． (1)求证：CO ⊥平面AOB .(2)在线段CB 上是否存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ？若存在，试确定F 的位置；若不存在，请说明理由．解析 (1)证明 因为AO ⊥平面COB ，所以AO ⊥CO ，AO ⊥BO ， 即△AOC 与△AOB 为直角三角形． 又因为∠OAB ＝∠OAC ＝π6，AB ＝AC ＝2，所以OB ＝OC ＝1.由OB 2＋OC 2＝1＋1＝2＝BC 2， 可知△BOC 为直角三角形． 所以CO ⊥BO ，又因为AO ∩BO ＝O ，所以CO⊥平面AOB.(2)在线段CB上存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，此时F为线段CB的中点．如图，连接DF，EF，因为D、E分别为AB、OB的中点，所以DE∥OA.又DE⊄平面AOC，所以DE∥平面AOC.因为E、F分别为OB、BC的中点，所以EF∥OC.又EF⊄平面AOC，所以EF∥平面AOC，又EF∩DE＝E，EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，所以平面DEF∥平面AOC.[押题依据] 线面的平行与垂直是立体几何的必考内容，通常要考一个解答题，本题不仅突出考查了线面的平行与垂直，而且以立体几何为背景．考查了探索性问题，题目新颖灵活、重点突出、难度适中，故押此题．。